泊松过程
第三章泊松过程
定理 设是{N (t), t≥0}一个强度为l的泊松过程，则对任 意固定的t, N(t)服从泊松分布，即
P(N (t) = k ) = (lt)k e-l t
k!
k = 0,1, 2,L
二、泊松过程的数字特征与特征函数
1. 泊松过程的均值函数
mN (t) = E[N(t)]= lt
2. 泊松过程的方差函数
DN (t) = D[N(t)]= lt
3. 泊松过程的均方值函数
y
2 N
(t)
=
E[N
2
(t)]
=
DN
(t)
+
mN2
(t)
=
lt
+
(lt)2
4. 泊松过程的自相关函数
E(N (t1)N (t2 ))
令t2 ³ t1E{[N (t1)- N (0)][N (t2 )- N (t1)+ N (t1)]} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]+ [N(t1)- N(0)]N(t1)} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N (0)]N (t1)} 增量独立E{[N(t1)- N(0)][N(t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N(0)]N(t1)} 增量独立E[N (t1)- N (0)]E[N (t2 )- N (t1)]+ E{[N (t1)- N (0)]N (t1)}
mN (t) = 4t = DN (t)
RN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 ) + 16t1t2 , t1,t2 Î T
CN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 )
泊松过程的性质
到达时刻的分布
01
到达时刻的分布是均匀分布。在泊 松过程中，到达时刻的概率密度函 数为$f(t) = lambda e^{-lambda t}$，其中$t$是到达时刻。
02
到达时刻的期望和方差分别为 $E(T) = frac{1}{lambda}$和 $Var(T) = frac{1}{lambda^2}$ 。
泊松过程的性质
目录
CONTENTS
• 泊松过程的定义 • 泊松过程的性质 • 泊松过程的统计特性 • 泊松过程的扩展和推广 • 泊松过程的应用
01
CHAPTER
泊松过程的定义
泊松过程的基本概念
01
02
03
随机性
泊松过程是一种随机过程， 其事件的发生具有随机性。
独立性
泊松过程中，任意两个不 相交的时间区间内发生的 事件相互独立。
马尔科夫到达过程是一 种特殊的泊松过程，其 中事件的发生概率只与 当前状态有关，而与过 去的状态无关。
在马尔科夫到达过程中 ，事件的发生是一个马 尔科夫链的过程，即下 一个事件的发生概率只 取决于当前事件是否发 生，而与之前的事件无 关。这种过程具有无记 忆性。
马尔科夫到达过程的数 学表达通常使用马尔科 夫链和概率论，通过状 态转移概率和转移矩阵 来描述。
平稳性
总结词
平稳性是指泊松过程的事件发生频率与时间无关，即单位时间内发生的事件数 是一个常数。
详细描述
在泊松过程中，事件的发生频率是恒定的，不随时间的推移而改变。这意味着 在任意一个固定的时间间隔内，事件发生的次数是一个随机变量，但其均值等 于单位时间间隔内的事件发生率。
无后效性
总结词
无后效性是指泊松过程中，过去的事件不会影响未来的事件。
泊松过程 poisson
泊松过程的几个例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t) 表示电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数， 则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记 X(t) 为时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则 { X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 X(t) 为某网站在时间 [0, t] 内的被访问次数。
分布函数：
s0 0, FW1 X ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, st
分布密度：
se s e (t s ) s t te t
1 / t , 0 s t fW1 X (t )1 (s) 其它 0,
例6
设{ X (t) , t 0 }是具有跳跃强度
(t ) 0.5(1 cost )
的非齐次泊松过程。求 E[X(t)] 和 D[X(t)]。
E[ X (t )] D[ X (t )] 0.5(1 coss)ds
0 t
1 0.5 t sin t
t 0 t0
E[ wn ] n 2 D [ w ] n n
[例1] 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参
数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障， 求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。
[解]
仪器发生第k振动的时刻Wk 就是故障时刻T ， 则T 的概率分布为 分布:
(3) 到达时间的条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到
达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s) 0} P{ X (t ) 1}
第三章 泊松过程
第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 （2）由N(t)的独立增量性可得，N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性) （2）任取 0 t1 t2 tn , （独立增量过程） N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； （3）s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] （增量平稳性） （4）对任意 t 0 和充分小的 t 0 ，有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义： 一计数过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程； （3）对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ，即
泊松过程poisson
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
泊松过程的定义
泊松过程的定义泊松过程（Poisson Process）是一种随机过程，它表示了在固定时间段内发生的不同类型事件的概率分布。
泊松过程由泊松分布发展而来，它是一种概率分布，其中包含一个无限的平均特征。
泊松过程是一种重要的概率过程，在许多领域都有应用，例如通讯、生物学、信号处理等等。
泊松过程的定义是描述一个不断发生的随机事件的概率分布，即它是一种持续的随机过程，表示在给定的时间段内，某种类型的事件在某个时间段内会发生多少次。
这种过程的性质是：在一个给定的时间段内，随机事件的发生次数是一个服从泊松分布的随机变量。
泊松过程的定义一般可以描述为：设定一个时间段Δt，若在Δt内某种类型的事件发生m次，则该事件的发生概率满足泊松分布：P(m) = (λΔt)^me-λΔt/ m!，其中λ 是发生次数的平均数，Δt 是时间段，m 是发生次数。
泊松过程的定义还包括“独立性”的要求，即在一定的时间段内，发生的每一次事件都是相互独立的。
此外，泊松过程还有一个重要的性质——“不确定性”，即在一定时间段内，发生的每一次事件是不确定的，也就是说，我们不能准确预测每次发生的次数。
泊松过程是一种重要的概率过程，在一定的时间段内，对某种事件的发生次数的预测，可以使用泊松分布来实现。
泊松过程的应用可以追溯到19世纪，由法国数学家和物理学家泊松（Simeon Denis Poisson）发现，并且受到广泛的应用。
泊松过程的定义和性质是概率论中的重要概念，它主要用于描述在一定的时间段内，某种类型的事件发生的概率分布。
它可以用来描述不同类型事件发生的概率，从而可以模拟不同类型事件的发生情况。
同时，它可以用来研究一定时间段内，某种类型事件发生的概率，从而帮助我们更好地预测未来事件的发生情况。
泊松过程
泊松过程泊松过程是随机过程的一个经典模型，是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。
也就是说，每次事件的发生是相互独立的。
那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。
而泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。
比较：泊松分布泊松过程的主要公式：其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。
泊松分布则是给定了时间。
泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列Tn，即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。
如果每次发生的间隔时间不服从指数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这也是随机过程的推广。
泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程，齐次的意思很简单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面的公式也看得出来。
而非齐次则是变成了,这意味着什么呢？这以为着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发生的频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。
复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，我们怎么描述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的，但是每个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢，这个过程就是复合泊松过程。
复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程的期望很容易求。
更新过程：上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性，那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)]，怎么理解呢，就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。
泊松过程资料
05
泊松过程的未来研究方向
泊松过程在新兴领域的应用前 景
• 新兴领域的泊松过程应用 • 如人工智能、大数据等领域，泊松过程可以用于分析和优化事 件驱动的随机过程 • 如物联网、车联网等领域，泊松过程可以用于分析和优化信息 传输和信号干扰等随机过程
泊松过程的理论研究进展
• 泊松过程的理论研究进展 • 如高维泊松过程、非齐次泊松过程等，拓展泊松过程的理论研 究范围 • 如泊松过程的极限理论、泊松过程的稳定性理论等，深入研究 泊松过程的性质和规律
泊松过程的性能评估
泊松过程的性能评估
• 对泊松过程的控制和优化效果进行评估，如服务效率、等待时间等 • 可以用来指导泊松过程的控制和优化，如改进控制策略、优化资源分配等
泊松过程性能评估的实例
• 服务效率评估：通过比较控制前后的服务效率，评估控制策略的效果 • 等待时间评估：通过比较控制前后的等待时间，评估控制策略的效果
泊松过程：概念与应用
DOCS SMART CREATE
CREATE TOGETHER
DOCS
01
泊松过程的定义
• 是一个随机过程，表示在固定时间间隔内发生随机事件的次数 • 事件是相互独立的，且在每个时间间隔内发生的概率相同
泊松过程的性质
• 事件发生的概率分布服从泊松分布 • 在小时间间隔内，事件发生的概率与时间间隔成正比 • 泊松过程的均值和方差与时间间隔的长度成正比
泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数
• 表示在固定时间间隔内发生k次事件的概率 • 形式为：P(X=k) = (e^(-λt) * λ^k) / k!，其中X表示事件发生的次数，λ表示事件 发生的平均速率，t表示时间间隔的长度
泊松分布的性质
泊松过程
Wn = ∑ Ti
i =1
n
(n ≥ 1)
t
Wn —— 第n次事件 发生的时刻，或称等待时间， 次事件A发生的时刻 次事件 发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Tn —— 从第 次事件 发生到第 次事件 发生的 从第n-1次事件 发生到第n次事件 次事件A发生到第 次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔 时间间隔，或称第 个时间间隔
=C
k n
s s 1 − t t
k
n−k
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件 已经发生 n 次，求第 次(k < n) 内事件A已经发生 求第k次
事件A发生的时间 的条件概率密度函数。 事件 发生的时间Wk 的条件概率密度函数。 发生的时间
n重贝努利试验中事件 重贝努利试验中事件A发生的 [二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 ] 次数， 次数，则 X ~ B (n, p)
P ( X = k ) = n p k q n−k k
E ( X ) = np , D ( X ) = npq
是常数， [泊松定理] 在二项分布中，设 np=λ 是常数，则有 ] 在二项分布中，
jω X ( t )
]=e
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
m X (t ) = E[ X (t )] = λt
2 σ X (t ) = D X (t ) = λ t
R X ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = λ s (λ t + 1) , ( s < t )
P{ X ( s ) = k X (t ) = n} =
泊松过程
泊松过程泊松过程是指一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个 随机过程 N(t)是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重迭）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间[t,t + τ]内发生的事件的数目标机率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间[t,t + τ]之中事件发生的数目，则随机变量N(t + τ) - N(t)呈现泊松分布，其参数为λτ。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重迭）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。
） 考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T1。
此外，对于n>1，以Tn记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。
序列{Tn,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。
Tn(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量，具有均值1/λ。
Definition of the Poisson processWe describe the situation by the counting process N(t), t > 0, which counts the number of events that have occurred between time 0 and time t. Our model has a single parameter, λ > 0, which isthe average arrival rate per unit time. Before defining the model formally, we make some preliminary calculations based on the following three natural assumptions:• The probability of an event occurring in a short interval of time [t,t+h] is λh+o(h) as h → 0.• The probability of two or more events occurring in interval [t, t + h] is o(h) as h → 0.• The numbers of events occurring in disjoint time intervals are independent.Examples:1.Insurance claims. Insurance companies often model customers’ claims using renewalideas. In this case the interarrival distribution is a crucial element of the calculation ofwhat insurance premium to charge.2.Counter processes. Many devices can be described as counters in that they attempt torecord the occurrence of successive signal pulses impinging on some instrument. Forexample Geiger counters for recording ionization events, or scintillation counters forrecording passage of a subatomic particle.3.Traffic flow. The times at which successive cars pass a monitoring station on a longsingle- lane road can be modelled as a renewal process. Much more generally, any sort of “traffic” can fit a similar model, such as data packets arriving at a server across a network connection. Questions of congestion can be answered using renewal theory and therelated theory of queues.4.Inventory systems. A large department store needs to know how much stock of aparticular item to hold, and a schedule for replenishment. The pattern of demands canoften be modelled as a renewal process.In any of these or other similar situations in which events occur randomly in time at some uniform average rate, an assumption of ‘total randomness’ leads to the Poisson process as a model.。
泊松过程
泊松过程马春光machunguang@ 哈尔滨工程大学泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程Poisson 过程是一类直观意义很强,而且极为重要的过程,其应用范围很广,遍及各个领域，公用事业、生物学、物理学、电子通信工程等很多方面的问题都可用Poisson过程物理模拟.考虑一个来到某“服务点”要求服务的“顾客流”, 顾客到服务点的到达过程可认为是Poisson 过程.当抽象的“服务点和“顾客流有不同的含义时，便可得到不同的””Poisson过程. 例如,某电话交换台得电话呼叫,交换台就是服务点，所有的呼叫依先后次序构成一顾客流.计数过程2.7.6 N t ), t 0}定义称实随机过程{(),≥}为计数过程，如果N (t ) 代表到时刻t 所发生的随机事件数.计数过程{N (t ), t ≥0}应该满足下列条件：(1)t ()N ()是非负整数;(2) 代表时间间隔0()()s t N t N s ∀≤<≥，；(3)t-s 内发生的随机事件数.0()()s t N t N s ∀≤<−，Poisson 过程2.7.7 N t t 0}定义称计数过程{(),≥}是参数(强度、比率)为λ(λ>0) 的Poisson 过程，如果：(1) N (0)=0;(2) {N (t ),t ≥0}是平稳的独立增量过程；(3) ，N (t ) 服从参数为λt 的Poisson 分布，即0t ∀>()(()),0,1,2,kt t P N t k e k k λλ−==="！定理2.7.6 设{N (t ),t ≥0}是参数为λ的Poisson 过程，则(1)=0;)=(1) m N (t )λt ，t ≥0; D N (t )λt , t ≥0;C N (s,t )=λmin (s,t ), s,t ≥0；R N (s,t )=λ2st+λmin (s,t ), s,t ≥0.(2)服从参数为的Poisson 分布.0()()s t N t N s ∀≤<−，()t s λ−z 证明：(1) 只需证明：R N (s,t )=λ2st+λmin (s,t ), s,t ≥0.(2)()往证：()(())(()()),0,1,2,kt s t s P N t N s k e k k λλ−−−−==="！)定义2.7.8称计数过程{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，如果：(1) N(0)=0;(2) {N t), t≥0}(){(),}是平稳的独立增量过程；(3) 当充分小时，在(t, t+ )内出现事件一次的概率为tΔtΔΔ，即(4)当充分小时，在(t, t+ )内出现事件两次或是两次()t tλοΔ+ΔtΔtΔ(()()1)()P N t t N t t tλο+−==Δ+Δ以上概率为，即()tοΔ−≥=Δ(()()2)()P N t t N t tο+Δ277277278定理2.7.7定义2.7.7与定义2.7.8等价.证明：z 设定义2.7.7成立，只需证明定义2.7.8中的条件(3)、(4) 成Δ立，即(()()1)()P N t t N t t t λο+Δ−==Δ+Δ(()()2)()P N t t N t t ο+−≥=Δz 设定义2.7.8成立，只需证明0t ∀>()(()),0,1,2,kt t P N t k e k k λλ−==="！泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程Poisson Poisson过程的到达时间间隔分布设N (t )表示知道t 时刻到达的随机点数,{N (t ),t ≥0}是强度为λ的Poisson 过程，分别表示第1个，第2个12,,,,n τττ""12=",…,第n 个,…,随机点的到达时间，称为Poisson 过程的到达时间序列，它是一个随机变量序列，{,1,2,}n n τ令称{T n , n=1,2,…}为Poisson 10,1,2,,0,defn n n T n τττ−=−=="过程的到达时间间隔序列，它也是一个随机变量序列.显然12n nT T T τ=+++"定理2.7.8设{N (t ),t ≥0}是参数为λ的Poisson 过程，T ,n=1,2,…T ,T ,…,T ,…,{n ,,,}是其到达时间间隔序列，则1,2,,n ,,相互独立同服从参数λ的指数分布.即⎧⎧,0()0, 0n t T e t f t t λλ−≥=⎨<⎩1,0()0, 0n tT e t F t t λλ−−≥=⎨<⎩泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程3. 泊松过程的到达时间分布定理2.7.9设{N (t ),t ≥0}是参数为λ的Poisson 过程是其到达时间序列，则1,2,}n τ="1,2,n τ="服从Г分布，即的概率密度函数为{,,,n (,,)n n τ1(),0n t t e t n λλλ−−⎧≥⎪−()(1)0,0n f t t τ=⎨⎪<⎩！泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程4. 泊松过程的到达时间的条件分布)t [0)设{N (t ), t ≥0}是参数为λ的Poisson 过程，如果在[0,t ) 内仅有一个随机点到达，τ是其到达时间，则τ服从[0,t ) 上的均匀分布.0s <t 事实上，当0 ≤ s < t 时，|()1(|()1)(|()1)1N t F s N t P s N t ττ===≤=()(,()1)(()1,()()0) (()1)(()1)s t s P s N t P N s N t N s P N t P N t s λλτ−−−≤==−=====[0)(()1)(()()0) (()1)t P N s P N t N s se e P N t te tλλλ−=−=====从而τ服从[0,t ) 上的均匀分布.4.)t 0}泊松过程的到达时间的条件分布定理2.7.10设{N (t ), t ≥ 0}是参数为λ的Poisson 过程，如果在[0,t ) 内有n 个随机点到达，则n 个到达时间n [0)12nτττ<<<"和n 个相互独立同服从[0,t ) 上均匀分布的随机变量的顺序统计量同分布.12,,n U U U "(1)(2)()n U U U <<<"4. )t 0}泊松过程的到达时间的条件分布例2.7.2假设乘客按照参数为λ的Poisson 过程{N (t ), t ≥ 0}来到一个火车站乘坐某次列车，若火车在时刻t 启程，试求在[0,t ] 内到达火车站乘坐该次列车的乘客等待时间总和的数学期望。
泊松过程
nk
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k < n) 事件A发
生的时间Wk 的条件概率密度函数。
P{s Wk s h, X (t ) n} P{s Wk s h X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Wk s h, X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n} P{s Wk s h} P{ X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n}
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
称它为具有参数 >0 的泊松过程
泊松过程例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示 电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为 时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{ X(t), t 0 } 是一 个泊松过程。 考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故 障，立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障 而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松 过程来描述。
时间间隔Tn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Tn , n 1 } 是对应的 时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,…)是独立同分布的均值为1/ 的指数分布。
Tn 的分布函数： Tn 的概率密度函数：
泊松过程
2 N ( t ) D[ N ( t )] D[ N ( t ) N (0)] t
13
解：首先M1(0)=0， M1(t) 具有平稳独立
增量，接下来只需验证 M1(t) 服从均值
为 pt 的泊松分布. 即对任意 t >0 ,
(pt)m pt P{ M 1 ( t ) m } e . m!
下边将用到全概率公式，二项分布的背 景、公式，以及泰勒展式 x n ex n! n 0
泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义1 随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t 为止已经发 生的事件A 的总数，且 N(t) 满足条件
(1) N(t) 0 ， 且 N(t) 取整数； (2)当s< t 时，则 N(s)N(t), 且 N(t)-N(s) 表示在时间(s, t]中事件A 发生的次数.
6
10k 10 P{N (t 1) N (t ) 20} e 0.9984 k 0 k!
20
P{N (t 2) N (t ) 0} e20 2.06109
984 k 0 k!
3
• 定义2 计数过程{N(t)，t 0 }是泊松过程, 如果N(t)满足 (1) N(0)=0， (2) N(t)是独立增量过程， (3) 在任一长度为 t 的区间中，事件A发生 的次数服从参数 t >0 的泊松分布，即 对任意s, t 0，有 n t ( t ) P N ( t s ) N ( s ) n e , n! n 0,1, 2,
排队论大学课件6-泊松过程
复杂系统建模
02
对于复杂的服务系统，如多服务台、多队列等，基于泊松过程
的排队论模型建模难度较大。
数据获取与处理03在实际应用中，获取准确的顾客到达和服务时间数据较为困难，
对模型的验证和应用带来挑战。
未来发展趋势及研究方向
A
非齐次泊松过程研究
针对事件发生率变化的情况，研究非齐次泊松 过程在排队论中的应用。
均值与方差
指数分布的均值和方差都是1/λ，其中λ是单位时间内事件的平 均到达率。因此，到达时间间隔的期望值（均值）和波动程度 （方差）都与事件到达率成反比。
到达次数分布
泊松分布
在给定时间区间内，事件到达的次数服从泊松分布。泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在固 定时间或空间范围内随机事件发生的次数。
泊松过程应用场景
01 02
电话交换系统
在电话交换系统中，用户呼叫的到达可以看作是一个泊松过程。通过泊 松过程可以预测在给定时间内呼叫到达的次数，从而合理安排交换机的 容量。
交通流
道路上车辆到达的情况也可以看作是一个泊松过程。通过泊松过程可以 分析交通流的特性，如车流量、车速等，为交通规划和管理提供依据。
期望值与方差
对于单个事件的等待时间，其期望值（均值）是1/λ，方差也是1/λ。对于多个事件的等待时间，其期望值（均值） 和方差都与事件数量成正比。因此，等待时间的期望值（均值）和波动程度（方差）都与事件到达率成反比。
泊松过程参数估计与检验
03
参数估计方法
01
矩估计法
利用样本矩来估计总体矩，从而获得泊松过程参数的估 计值。
02
最大似然估计法
根据样本数据，构造似然函数，通过最大化似然函数得 到参数的估计值。
泊松过程
9 December 2015
随机过程
§3.1 泊松过程概念
一维分布
定理 设{N(t), t∈T=[0,+∞)}是一强度为λ的泊松过程，
则对任意固定的t >0, N(t)服从泊松分布π(λt )，即
P(N(t)
k)
(t)k k!
et
,
k 0,1,2,
证明：略。
注 该定理指明了泊松过程的一维分布，即在每个固定
P(N(t) 2) o(t), （ 0是常数）
普通性
则称{N(t), t∈T=[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
9 December 2015
随机过程
《随机过程》
1
2015/12/9
§3.1 泊松过程概念
例1 设N(t)为[0 , t)时段内某电话交换台收到的呼叫次 数，t∈[0 , +∞)，N(t)的状态空间为{0 , 1 , 2 ,···}， 且具有如下性质：
(4)在足够小的时间间隔△t内， P(t时间间隔内无呼叫) P(N(t) 0) 1 t o(t) P(t时间间隔内有一次呼叫) P(N(t) 1) t o(t) P(t时间间隔内收到2次以上呼叫) P(N(t) 2) o(t)
则计数过程{N(t), t∈[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
－N(t1)服从参数为λ(t2－t1)的泊松分布, 即 增量平稳性
或齐次性
P(N(t1,
t2
)
k)Βιβλιοθήκη [(t2 t1 k!)]k
e(t2t1
)
,
k 0,1,2,（ 0）
则称{N(t), t∈T=[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
试利用定理说明上述两个泊松过程定义的等价性。
泊松过程详细分析与公式
定理参2 数为λ的泊松过程{N(t),t≥0},事件A第
n 次出现的等待时间Tn服从 (n,分)布,其概率
密度为： f
t
et
(t)n1 ,
(n 1)!
Tn
0,
t 0; t0
注：在排队论中称Tn 服从爱尔朗分布。 证1 因Tn是事件A 第 n次出现的等待时间,故 ｛Tn≤t}={N(t)≥n}={[0, t]内A至少出现n次}
解 设 N(t) 表示在时间t时到达的顾客数
P(N(0.5) 1, N(2.5) 5)
P(N(0.5) 1, N(2.5) N(0.5) 4)
P(N(0.5) 1)P(N(2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!
4!
0.0155
THEOREM： Def 1和Def 2是等价的。
EX
, DX
2
3,若X ~ 1, ,Y ~ 2, ,且X与Y 独立，则
X Y ~ 1 2,.
Proof 2: 因为Tn=X1+X2+···+Xn， Xi均服从指数分布，而参数 为
指数分布即为 1,, 所以Tn服从n,.
3. 来到时刻的条件分布
一、顺序统计量及其分布
1，顺序统计量 设Y1,Y2,···,Yn是n个随机变量，记Y(k)是Y1,Y2,···,Yn 中第k个最
CHAPTER 3 泊松过程
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程 N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)，
t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0 2， N(t)为整数 3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(s , t]中发生的事件的个数。
随机过程第三章-泊松过程
N (t)
定理3.6 设 X (t) Yi 是一复合泊松过程,其中泊松 i 1
过程 N(t) 的强度为 ,则
(1) X (t) 具有独立增量;
(2)若E(Yi ) 1, E(Yi2 ) 2 均存在,则
E[ X (t)] t1,
D[ X (t)] t2
证 (1) 令 t0 t1 tn ,由于N(t)具有独立增量性,故
的泊松分布,故
P{N (10) N (0) 1} (4.5)e4.5
二.复合泊松过程
定义3.6 称随机过程 {X (t),t 0}为复合泊松过程,如果对
于 t 0 ,它可以表示为如下形式
N (t)
X (t) Yi i 1
其中 {N(t),t 0} 是一个泊松过程, Y1, ,Yn 是一族独立同 分布的随机变量,并且与 {N(t),t 0} 独立.
(5)4 e5 4!(7)5 e7 (12)9 e12 9!
5! C94
5 12
4
1
5 12
94
.
(5) E[N(5)]=5, D N 5 5,
Cov[N(5), N(12)] D N 5 5.
例2 事件A的发生形成强度为 的泊松过程 {N(t),t 0}.如 果每次事件发生时以概率 p能够记录下来,并以 M (t)表示到 t时刻被记录下来的事件总数,证明{M (t),t 0} 是一个强度为
(1) N(0) 0;
(2) N(t) 有独立增量;
(3)对任意的 s,t 0,有
P{N (t s) N (s) n} (t)n et ,
n!
n 0,1,2,
由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t
的区间中事件的个数服从参数(均值)为 t 的泊松分布.
第4讲第三章泊松过程
k 1
n
et EDk E[eWk N (t) n]（Dk 与N(t), Wk相互独立） k 1
n
et ED1 E[eWk N (t) n]
k 1
n
E(D1)et E[ eWk N (t) n]
k 1 n
E(D1)et E[
eUk ]
(根据定理3.4 )
k 1
E(D1)et E[ n eUk ] nE(D1)et E(eU1 ) k 1
注： 复合poisson过程 X(t)是包含泊松过程的一 个复合模型，通常不是泊松过程。
N (t)
定理3.6 设 X (t) 是Y复n ,t合 0泊松过程 n1
其中{N( t ),t≥0}是强度为λ的泊松过程,Yn,n=1, 2, …相互独立且同分布，则
1） {X( t ),t≥0 }是独立平稳、增量过程
P{N(s)=k | N(t)=n}, 0<k<n,0<s<t
证明：
P{N(s)=k | N(t)=n}
PN (s) k, N (t) n
P{N (t) n}
PN (s) k, N (t) N (s) n k
P{N (t) n}
PN (s) k PN (t) N (s) n k
当过程的到达率随时间而变化, 此假设就不合理 了.
若过程的增量平稳条件不满足，到达率随时间改变， 设到达率为时间函数λ( t ),则引入非齐次泊松过程概念：
定义：如果计数过程满足下列条件 1）N(0)=0； 2）{N( t ),t≥0 }是一个独立增量过程；
3) P{N(t t) N(t) 1} (t)t o(t);
N (t)
iu Yk E e k 1
泊松过程知识点总结
泊松过程知识点总结泊松过程的定义泊松过程是一种连续时间、非负整数值的随机过程，它具有以下三个基本特征：1. 间断性：泊松过程的取值为非负整数，表示在给定时间段内事件的发生次数。
事件是间断发生的，即事件发生的时间是离散的。
时间的流逝是连续的，但事件的发生是突发的。
2. 独立性：在任意时间段内事件的发生是相互独立的，即过程在不同时间段上的取值是相互独立的。
泊松过程的间断性和独立性是它的两个最基本的性质。
3. 均值稳定性：泊松过程的事件发生率是稳定的，即单位时间段内事件的平均发生次数是一个常数，称为泊松过程的强度参数。
泊松过程的数学描述泊松过程的数学描述可以用随机变量的数学期望和协方差来表示。
假设在时间段[t,t+Δt)内事件的发生次数为N(t, t+Δt)，则泊松过程的强度参数λ为单位时间内事件的平均发生次数。
若Δt→0，则事件的发生次数N(t, t+Δt)服从参数为λΔt的泊松分布，即：P(N(t, t+Δt)=n)= (λΔt)^n / n! * e^(-λΔt)其中，P(N(t, t+Δt)=n)表示时间段[t,t+Δt)内发生n次事件的概率，Δt表示时间段的长度，λ表示泊松过程的强度参数，e为自然对数的底。
当Δt→0时，上式收敛到n的极限形式，得到泊松过程的发生次数服从泊松分布：P(N(t, t+Δt)=n)= (λt)^n / n! * e^(-λt)泊松过程的期望和方差泊松分布的随机变量N(t, t+Δt)的数学期望和方差分别为：E[N(t, t+Δt)] = λΔtVar[N(t, t+Δt)] = λΔt其中，E[•]表示数学期望运算符，Var[•]表示方差运算符。
泊松过程的性质泊松过程具有多种重要性质，有助于深入理解和应用它的特性：1. 稳定性：泊松过程在时间序列上是稳定的，即在不同时间段上事件的发生次数服从相同的分布。
2. 无记忆性：泊松过程具有无记忆性，即在已知过去时间的事件发生次数的条件下，未来时间的事件发生次数与过去没有关系，事件是相互独立的。
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作者：BUG生成器
来源：知乎
·从一个生活的例子中引出泊松过程
愉快的暑假结束了，同学们陆陆续续来到学校。
在开学当天的上午，学校教导主任开始站在学校门口计数到达学校的同学的个数，每分钟计数一次（单位时间），可能是开学第一天比较清闲，顺便观察一下同学们的精神面貌。
通常在一个短暂的时间段内，单位时间到达学校的人数的数学期望应该是一致的。
这是很容易理解的，毕竟这是一个学生人数众多的学校，在教导主任站在门口的这几个小时内到达学校的人数，相比较学校的总人数是微不足道的，也就是说，这一分钟到达学校人数的期望和下一分钟到达学校的人数的期望是相同的。
同时，对于某一分钟（单位时间），某一个学生在这一分钟到达学校的概率也是相同的，两个同学互不相关，在满足学校到校时间要求的前提下，他们到达学校的时间是自由的。
并且假设每个学生在一分钟内到达学校的概率为P。
这个时候就可以定义随机变量了，假设有n个随机变量，它表示
也就是每个学生都有一个独立的状态，可以是1或者是0，这些所有随机变量加起来就是自观察记录以来到达学校的总人数。
可以看出对于一个确定的时刻t，所有随机变量的和——假设是X，它的概率模型就是比较常见的二项分布。
为什么会是二项分布呢，可能用这种所有学生相互独立的描述方法不易直观理解，那么我们可以这样想，在这样一个确定的时刻，依次询问这个学校所有的学生（不管他有没有到校）有没有到校，那么获得“这个学生已经到校”这个信息的概率是p，“这个学生还
没有到校”的概率是1-p。
拿出来一个学生询问就好比做了一次实验，这个实验的结果（这个结果是从开始到时刻t的整个过程决定的，注意理解）为1就计数+1，为0就不计数。
那么现在就可以根据二项分布的概率模型写出随机变量X的分布函数
同时，刚才我们提到单位时间内到达学校的人数的数学期望是相同的。
我们假设这个人数是λ，并且把它称为“到达率”，那么从开始计数到时刻t，随机变量X的数学期望就可以写成是。
而且对于二项分布的概率模型，数学期望有它固有的表达形式。
这样我们就可以找到每个学生到达学校的概率p和到达率的关系。
因而上面的X的分布函数就可以改写为
而n表示的是学校的总人数，是一个很大的数字，这个时候已经有一种冲动想要计算n趋于无穷的时候X分布律的极限了。
计算过程有点艰辛，放到最后说，这里只展示结果。
没错，这就是泊松过程的表达形式。
这里面一个比较巧妙的地方是，
刚好是
的幂级数展开的每一项。
而后面还乘着一个
，所以很显然把k的所有情况，从0到∞加起来，得到的概率和一定是1。
这从一个侧面印证了概率分布的和为1，同时也让我们更愿意相信这是一个正确的表达式。
剩下的都是纯数学的工作，关于均值、方差、相关函数等，都可以根据定义结合表达式去计算。
有了数学工具，摩拜变摩托。
有兴趣的同学可以看一下我胡乱推导的泊松过程表达式
对其中的某些部分单独变形
这里用到了高等数学中的一个基本的极限。
将它代回原式
而后边的极限部分
这个时候极限的结果要参考分子和分母最高次幂的比值，参考下面取自高等数学知识中的现成极限结论。
因而
从而可以得到最终泊松过程的表达式。