小学奥数四年级加乘原理
四年级奥数系列第3讲-加乘原理
加乘原理 例六 五种颜色不同的信号旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一种信 号，问：共可以表示多少种不同的信号？
加乘原理
练一练
红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三 面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？ 如果白旗不能打头又有多少种？
加乘原理 例七 小红和小明举行象棋比赛，按比赛规定，谁先胜头两局谁赢，如果没有胜 头两局，谁先胜三局谁赢．共有多少种可能的情况？
如下图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从A点出发，沿棱爬行，
要求恰好经过每一个顶点一次。问共有多少种不同的走法？
C
D E F B
A
加乘原理 如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取 2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？
例四
加乘原理
练一练
某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个 车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种 不同的车票？
加乘原理 例一 一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点， 则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？
加乘原理
A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5 次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？
练一练
加乘原理 直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角 形？多少个四边形？
例二
a b
加乘原理 三条平行线上分别有2，4，3个点(下图)，已知在不同直线上的任意 三个点都不共线。问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？
练一练
加乘原理 如右图所示，每个小正三角形边长为1，小虫每步走过1，从A出发， 走4步恰好回到A的路有（ ）条。(途中不再回A)
四年级奥数系列第3讲-加乘原理
加乘原理
A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5 次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？
练一练
加乘原理 直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角 形？多少个四边形？
加乘原理 例五 某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位 置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置 表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同的信号？
加乘原理
练一练
五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信 号，问：共可以表示多少种不同的信号？
加乘原理
例十
从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?
加乘原理
练一练
从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?
加乘原理 <作业1> 玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红黄蓝三种颜色给每节涂色。这家工 厂共可以上产多少种颜色不同的玩具棒？
加乘原理 &l点．一只蚂蚁从A点出发，沿棱爬行，
要求恰好经过每一个顶点一次。问共有多少种不同的走法？
C
D E F B
A
加乘原理 如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取 2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？
例四
加乘原理
练一练
某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个 车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种 不同的车票？
例二
小学4年级暑假奥数：加乘原理-讲义-教师版
第1讲 加乘原理【学习目标】1、进一步学习加法原理和乘法原理；2、学会加法原理和乘法原理的解题方法。
【知识梳理】1、加法原理：如果完成一件任务有几类办法，在第一类办法中有1m 种不同方法，在第二类办法中有2m 种不同方法……，在第n 类办法中有n m 种不同方法。
那么完成这件任务共有N ＝1m ＋2m ＋3m ＋……＋n m 种不同的方法。
2、乘法原理（分步）：如果完成一件任务需要分成N 个步骤进行，做第1步有1m 种方法，做第2步有2m 种方法，……做第N 步有n m 种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有N=1m ×2m ×…×n m （种）不同的方法。
【典例精析】【例1】从成都到上海每天有6班火车、3班飞机、1班汽车，请问从成都到上海乘坐这些交通工具有多少种不同的选择？6+3+1=10(种）【趁热打铁-1】老师要求培培在暑假要读一本书，爸爸给小明买了中国4大名著、2本外国名著、3本科普书，培培要从这些书里任选一本书读，请问有多少种不同的选择？4+2+3=9(种）【例2】】海海有红、黄、蓝三件上衣和绿、白两条裤子。
请问他从上衣和裤子中各选一件，有多少种不同的搭配方法？3×2=6(种）【趁热打铁-2】题库中有三种类型的题目，数量分别为 30 道、40 道和 45 道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷。
问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？30×40×45=54000(种）【例3】在图中，一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点，要求任何点不得重复经过。
问：这只甲虫有几种不同走法？3×1×3=9(种）【趁热打铁-3】如图，从甲村去乙村有3条道路，从乙村去丙村有2条道路，从丙村去丁村有4条道路，培培要从甲村经乙村、丙村到丁村共有多少种不同的走法？3×2×4=24(种）【例4】用2、3、4、5、7这5个数字，可以组成多少个无重复数字的五位数？5×4×3×2×1=120(个）【趁热打铁-4】有3、4、5三个数字，能组成____个无重复数字的三位数。
四年级奥数：加乘原理(一)
四年级奥数：加乘原理（一）1,2,3,…,299,300,这300个自然数中,完全不含有3的自然数共有_____个.【解析】 可以先计算出来含有3的自然数的个数,然后用300减去含有3的自然数的个数,就可以得到完全不含有3的自然数的个数. 1-99中,含有数字3的数有：9+10=19（个）历届杯赛考试中,对计数问题的考察是必不可少的.这部分的题目有一定的方法,目的是考察大家对各类问题的方法的应用能力.要做好这些题目,就需要同学们掌握计数问题的各类方法,枚举法是一种很重要的数学思考方法,是大家必须掌握的一种计数方法.加乘原理的方法也是解决计数问题的常用方法,帮助我们提高解决问题的准确率.名师点题例1知识概述1. 计数问题类型：① 图形计数：线段、三角形、长方形、正方形计数； ② 应用题类型的计数问题. 2. 解决计数问题常用的方法：① 分类计数（加法原理）：如果完成一件工作有几类不关联的方式,在每一类方式中又各有几种不同的方法,使用其中任何一种方法都能独立完成这件工作的不同方法总数,就是完成这件工作的各类方法的总数之和；② 分步计数（乘法原理）：如果完成一件工作有几个相关的步骤,要依次完成这几个步骤,这件工作才能完成,而每一个步骤各有几种不同的方法去完成,那么,完成这件工作的方法总数,就是完成这件工作的各个步骤的方法种数之积.100-199中,含有数字3的数有19个200-300中,含有数字3的数有19+1=20（个）含有3的自然数的个数是19+19+20=58（个）完全不含有3的自然数共有：300-58=242（个）从A点沿直线走最短的路径到B点,共有多少种不同的走法？【解析】标数法解图表类题型从甲地到乙地有2条路,从乙地到丙地有3条路,从丙地到丁地也有2条路.问：从甲地经乙、丙两地到丁地,共有多少种不同的走法？【解析】用A1,A2表示从甲地到乙地的2条路,用B1,B2,B3表示从乙地到丙地的3条路,用C1,C2表示从丙地到丁地的2条路（见下页图）.从甲到丁是分三步走的：第一步甲到乙有2种方法,第二步乙到丙有3种方法,第3步丙到丁有2种方法.对于第一步的每种方法,第二步都有3种方法,所以从甲到丙有2×3=6（种）方法；对从甲到丙的每种方法,第三步都有2种方法,所以不同的走法共有2×3×2＝12（种）.A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1A1B1C2 A1B2C2 A1B3C2例3例2A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2【巩固拓展】1、如图中共有几个三角形？【解析】根据数线段的方法得：（6+5+4+3+2+1）×2+（3+2+1）×2+6+6+1=67（个）2、一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点,要求任何点都不能重复经过.问：这只甲虫共有几种不同走法？【解析】第一步,从A点到C点,有4条路线；第二步C点到B点,有4条路线.由乘法原理,共有4×4=16种不同的走法.3、从A到B,要求每一步都是向右、向上或者斜上方,问有多少种不同的走法？【解析】小明要登上10级台阶,他每一步只能登1级或2级台阶,他登上10级台阶共有多少种不同的登法？【解析】登上第1级台阶只有1种登法.登上第2级台阶可由第1级台阶上去,或者从平地跨2级上去,故有2种登法.登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去,或者从第2级台阶上去,所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和,共有1+2＝3（种）……一般地,登上第n级台阶,或者从第（n—1）级台阶跨一级上去,或者从第（n—2）级台阶跨两级上去.根据加法原理,如果登上第（n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法,则登上第n级有（a＋b）种方法.因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法,就可以依次推算出登上以后各级的方法数.由登上第1级有1种方法,登上第2级有2种方法,可得出下面一串数：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89.其中从第三个数起,每个数都是它前面两个数之和.登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个,即89.也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数（见下图）.例1【巩固拓展】有15根火柴,如果规定每次取2根或3根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【解析】为了便于理解,可以将本题转变为“上15级台阶,每次上2级或3级,共有多少种上法？”所以本题的解题方法与例1类似（见下表）.取完15根火柴共有28种不同取法.右图中每个小方格的边长都是1.一只小虫从直线AB上的O点出发,沿着横线与竖线爬行,可上可下,可左可右,但最后仍要回到AB上（不一定回到O点）.如果小虫爬行的总长是3,那么小虫有多少条不同的爬行路线？【解析】如果小虫爬行的总长是2,那么小虫从AB上出发,回到AB上,其不同路线有6条（见左下图）；小虫从与AB相邻的直线上出发,回到AB上,其不同路线有4条（见右下图）.实际上,小虫爬行的总长是3.小虫爬行的第一步有四种情况：向左,此时小虫还在AB上,由上面的分析,后两步有6条路线；同理,向右也有6条路线；向上,此时小虫在与AB相邻的直线上,由上面的分析,后两步有4条路线；同理,向下也有4条路线.例2根据加法原理,共有不同的爬行路线6＋6＋4＋4＝20（条）【巩固拓展】下图中每个小方格的边长都是1.有一只小虫从O点出发,沿图中格线爬行,如果它爬行的总长度是3,那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？【解析】枚举法：上下、下上、左左、右右、左右、右左共6种例3用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？【解析】组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百位上的数字,除0以外有5种选法；第二步确定十位上的数字,因为数字可以重复,有6种选法；第三步确定个位上的数字,也有6种选法.根据乘法原理,可以组成三位数：5×6×6＝180（个）【巩固拓展】用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数,并把这些六位数从小到大排列,第505个数是__________.【解析】把这些数按照从小到大排列.当最高位是1时,共有5×4×3×2×1=120（个）；当最高位是2、3、4的时候都各有120个,所以共有120×4=480（个）.505-480=25（个）.剩下的25个都是最高位为5的数,当十万位上是5,万位是0的时候,这样的数共有4×3×2×1=24（个）.所以第505个数的万位为1,它是510234.下图,把A,B,C,D,E 五部分用四种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相邻的部分可以使用同一种颜色,那么这幅图一共有多少种不同的着色方法.【解析】从接触面最多的入手,再按照相邻原则依次考虑,从C 开始考虑,有4种着色方法.C 着色后,A 有3种着色方法,A 着色后,B 有2种着色方法,B 着色后,D 有2种着色方法,D 后E 也有2种着色方法. 所以共有4×3×2×2×2=96种【巩固拓展】下图,把A,B,C,D,E 五部分用五种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相邻的部分可以使用同一种颜色,那么这幅图一共有多少种不同的着色方法.【解析】从接触面最多的入手,再按照相邻原则依次考虑,从A 开始考虑,有5种着色方法.B 和A 不同色有4种着色方法,C 和A,B 不同色,有3种着色方法,B 和D 同色时,D 有1种选择,E 有3种选择,当B,D 不同色时,D 有2种选择,E 有2种选择,因此需要对B,D 着色情况进行分类所以共有5×4×3×1×3+5×4×3×2×2=420种（第11届中环杯初赛）如图,35个边长为1厘米的小正方形组成一个5厘米×7厘米的长方形,则图中所有正方形的周长和为（）厘米.【解析】图形计数,巧求周长.周长为4的正方形有5×7=35个,周长为8的有4×6=24个,周长为12的有3×5=15个,周长为16有2×4=8个,周长为20的有1×3=3个.所以周长和为4×35+8×24+12×15+16×8+20×3=140+192+180+128+60=700.(第九届“中环杯”四年级决赛)6个人排成一排,甲当排头,乙不当排尾,共有多少种排法？【解析】乘法原理6个人排成一排,甲当排头,乙不当排尾,共有14432196⨯⨯⨯⨯⨯=种排法例2例1（第11届中环杯决赛）如图,某市的街道构成正方形网格,邮递员要从A 经过P 到B.沿着最短路线走,共有__________种不同的走法.【解析】标数法：必须经过P点,从A到P下面的点：2种走法从P点上面的点到B：4种走法一共有2×4=8种走法下图是中国象棋棋盘,如果两人各有一个“车”的棋子,它们不在同一行,也不在同一列就不会被吃掉,那么总共有多少种不同的放置方法使两“车”不相遇.【解析】设甲方先放棋子,可任意放置,故甲方有10×9=90种.对应甲的第一种方法,乙方按照规定必须去掉甲方棋子所在的行和列,所以乙方有9×8=72种甲方共有90种方法,而乙方都有对应他的72种方法因此总共有90×72=6480种不同的放置方法.例4例3例5下图中,要从A走到B,但不能经过C,D两点,如果只能向右,向上,或者斜上方走,一共有多少种不同的走法？BCDA【解析】利用标数法每一点的走法数等于它的左方和下方两个点的方法数的和.1 4 4 7 11 171 3 0 3 4 61 2 3 0 1 2A 1 1 1 1 1答案是17种.例6（小机灵杯精选考题）从1,2,3,4,5,6中选取若干个数,使得它们的和是3的倍数,但不是5的倍数,那么共有多少种不同的取法？【解析】利用标数法先满足是3的倍数：取1个数,有2种方法取2个数,有2*2+1=5种取3个数,有2*2*2=8种取4个数,有5种取5个数,有2种取6个数,有1种共有2+5+8+5+2+1=23种其中再减去5的倍数,也即15的倍数取3个数,有1种（和为15）取4个数,有2种（考虑另两个数的和为6）取5个数,有1种共有4种所以满足条件的是23-4=19种1、如下图中的每个小方格都是面积为1的正方形,那么面积为2的长方形有几个？【解析】用a×b表示矩形的类型,其中a表示矩形的水平长度,b表示矩形的竖直长度.图中每行有4个2×1的矩形,共4行；图中每列有3个1×2的矩形,共5列.所以,图中面积为2的长方形共有4×4+3×5=31（个）.2、一排房有五个房间,在五个房间中住着甲、乙、丙、丁,规定每个房间只许住一个人,并且只允许两个人住的房间挨在一起,第三个人的房间必须和前两个人隔开,有几种住法？【解析】先判断出必须是中间的房间空着,然后有4×3×2×1=24种.3、用0,1,2,3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？【解析】个位数字,只有0、2、4三种可能.如果个位是0,有5×4=20（个）如果是个位是2、4,有2×4×4=32（个）所以,共有20+32=52（个）4、（第12届中环杯初赛）小明要从学校出发去少年宫参加活动,下图是学校到少年宫的路线图,直线表示可以通行的道路,如果小明要尽快到达少年宫,他一共有多少条不同的最短路线可以走？【解析】利用标数法一共有15条最短路线.5、由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？【解析】①8×8×8=512（个）；②4×8×8=256（个）；③4×7×6=168（个）；④1×7×6=42（个）；⑤1×3×6=18（个）．6、一个篮球队,五名队员A、B、C、D、E,由于某种原因,C不能做中锋,而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？【解析】4×4×3×2×1=96（种）．7、（第13届中环杯决赛）如图所示的网格中,要从A到B,方向只能向右或向上,不能经过C以及D,有多少条不同的路径.【解析】利用标数法一共有18条最短路线.。
四年级奥数专题 加法原理和乘法原理
二讲加法与乘法原理知识导航加法原理：做一件事情，完成．．它有n类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有m1+m2+……+mn种不同的方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×mn种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
精典例题例1：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。
问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？思路点拨①：从两个口袋中只需取一个小球,则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。
所以是加法原理的问题。
②：要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。
模仿练习孙老师的一个口袋内装有60个小球，另一个口袋内装有80个小球，所有这些小球颜色各不相同。
问：（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？例2：一把钥匙只能开一把锁，淘气有7把钥匙和7把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？思路点拨要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试6次（如果6次配对失败，第7把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试5次；……第6把锁最多试1次，最好一把锁不用试。
四年级奥数之加乘原理与归纳递推
本讲主线
本讲
1．加法原理、乘法原理
2．加乘原理的综合考察
3.
1. 乘法原理，
如果一件事情需要分几步完成，那么，完成这件事情的总的方法数＝每一步果件事情需要分
中方法数相乘.
2. 加法原理，分类相加
3. 经典案例：穿衣服，组数字，站队问题，染色问题
(乘法)
用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有
色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同
共有多少种不同用四种不同的颜色对下图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同
要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。
问：共有多少种不同的染色方
如果一件事情需要分几步完成，那么，完成这件事情的总的方法数＝每一步件事情需要分几步完成。
小学四年级奥数教程加法原理
例2： 旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、
蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表 示信号，最多能表示出多少种不同的信号？
根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第 一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝3种；第二 类是挂两面信号旗，按前面学的乘法原理会有： 3×2=6种。所以，一共可以表示出不同的信号
1＋6＋33＝40〔种〕。
例6： 右图中每个小方格的边长都是1。一只小虫从
直线AB上的O点出发，沿着横线与竖线爬行，可上 可回下到，O点可〕左。可如右果，小但虫最爬后行仍要回到AB上〔不一定 的总长是3，那么小虫有多 少条不同的爬行路线？
第一步往上，再往左右有两种可能〔因为必须
小学四年级奥数教程-加回法原到理 AB线上〕， 分别是：〔上1，左1，下1〕，
可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？
将至少有连续三位数是1的五位数分成三类：连
问：一天中乘坐这些交续通工五具从位甲地是到乙1地、，共连有多续少种四不同位走法是？ 1、连续三位是1。
连续五位是1，只有11111一种； 再就是左右， 第一步往左，第二步分别上下各一种：〔左1，上1，下1〕，〔左1，下1，上1〕；
A可以是2，3，4中任一个，所以有3＋3＝6〔种〕； 如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法 ……在第n类方法中有
m如n果种小不虫同爬方行法的，总那长么是完3成，这那件么任小连务虫共有续有多少三条不位同的是爬行1路，线？有111AB，A111C，BA111三种情
例1： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，
还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班， 轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地 到乙地，共有多少种不同走法？
四年级奥数加法原理和乘法原理
四年级奥数加法原理和乘法原理今天我们来聊一聊四年级数学里两个超级有趣的概念——加法原理和乘法原理。
听起来是不是有点高大上？别担心，这些东西一点也不难，关键是要懂得怎么去用，怎么去看待。
来吧，跟我一起看一看，加法原理和乘法原理到底是怎么回事，顺便也说几句我们平时不太注意的数学趣事。
你们知道吗？这些原理其实就像我们在厨房做饭一样，分步骤来，就能做好一锅好菜。
加法原理和乘法原理不就是生活中那些简单的道理嘛，只不过它们是用数学的语言告诉我们怎么做事，怎么计划。
好，先来说说加法原理。
说得简单点，就是当你在做事情的时候，如果选择了几种不同的方式，每一种方式都有若干个可能的结果，而你可以选择其中的一种结果，那么这些不同的选择加起来就是所有的可能性。
比如说，假设你今天早上有两种早餐选择：一个是煎饼果子，一个是包子。
如果你去买煎饼果子，你有三种不同口味可以选：甜的、咸的、辣的。
哦，别忘了包子，包子你有两种口味可以选：肉包或者菜包。
这时你一共能选择几种早餐呢？嘿嘿，简单！就是3种（煎饼果子的口味）加2种（包子的口味），一共是5种不同的选择。
这不就像你走进超市，看到架子上满是各种商品，你看着都眼花缭乱，最后你就能从每种商品里选出一个，合起来就是你能拿到的不同组合。
再说乘法原理。
这个呀，更简单了。
乘法原理告诉我们，如果一个事件有几种方式可以发生，而每一种方式都能与另外一些独立的事件组合成结果，那么所有可能的组合数就是各个事件方式数的乘积。
说得更直白点，就是每种选择背后可能会有更多的选择。
比方说，假如你有两个衬衫，三条裤子，和四双鞋子。
那么你穿上哪一件衬衫，都可以和三条裤子搭配，而且每条裤子又能和四双鞋子搭配。
你是不是已经开始在脑袋里琢磨，你能穿几套衣服了？对！你一共可以搭配2×3×4=24套衣服！这就是乘法原理啦！看，你平时是不是也有“拿起了筷子就要点菜”的那种冲动，恨不得所有的美食都尝个遍，那种把不同东西结合起来的感觉，想想就过瘾！这两种原理虽然名字不同，但它们就像是数学中的兄弟，互相配合，互相补充。
小学四年级奥数竞赛班作业第25讲加乘原理与归纳递推
加乘原理与归纳递推是数学中常用的方法和思想，可以帮助我们解决一些复杂的问题。
在这节课上，我们将学习加乘原理和归纳递推，并且通过一些例题来巩固所学的知识。
一、加乘原理加乘原理是数学中常用的计数原理，它是解决排列组合问题的重要方法。
1.加法原理加法原理是指当一个事件可以用若干个不同时出现的事件分解时，事件的总数等于各个事件发生次数的和。
例如，有一个班级，有男生20人，女生30人，那么该班级的总人数就是20+30=50人。
2.乘法原理乘法原理是指当一个事件可以分为若干个顺序进行的步骤时，事件的总数等于各个步骤可行数的乘积。
例如，班级要进行班长选举，有2个男生和3个女生竞选。
首先选男生，有2种可能，然后选女生，有3种可能。
所以，最终的选举结果有2*3=6种可能性。
二、归纳递推归纳递推也是数学中常用的解题思路，通过寻找规律和递推关系，可以解决一些复杂的问题。
归纳递推分为从小到大归纳和从大到小递推两种方法。
1.从小到大归纳从小到大归纳是指通过一些小规模的例子，总结出一般的规律。
例如，假设我们要求1到10的数字的和。
我们可以先计算出1到5的和为15，然后再计算出6到10的和为30，最后将两个结果相加得到1到10的和为45、我们通过这个过程可以发现，1到n的和等于1到(n-1)的和再加上n，这就是归纳递推的思路。
2.从大到小递推从大到小递推是指通过已知的一些结果，推导出未知的结果。
例如，我们要求1到10的数字的和，我们已经知道1到9的和为45，现在我们要求1到10的和，可以将1到9的和加上10得到1到10的和。
这里我们通过已知结果来求未知结果，也是一种归纳递推的方法。
三、例题解析现在我们通过一些例题来巩固所学的加乘原理和归纳递推的知识。
1.有3个红球和4个黄球，将它们排成一排，一共有多少种不同的排法？根据乘法原理，我们可以得到不同排法的总数为3*4=12种。
2.一只提有1个背包，要装5本书，其中有2本百科全书和3本小说。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案47加法、乘法原理(一)
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题加法、乘法原理（一）生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法。
那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们这节课学习的加法原理来解决。
加法原理：完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有m n种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法。
分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于题目的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法。
只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确。
运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数。
加法原理解题三部曲:（1）完成一件事分N类；（2）每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；（3）类类相加。
合理分类是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
例1 书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书。
从中任取一本，共有多少种不同的取法？分析与解：从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6 种取法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5 种取法。
根据加法原理，得到不同的取法的种数是：N＝m1＋m2＝6＋5＝11。
所以从书架上任取一本书，有11种不同的取法。
例2各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？分析与解：个数各个数位上的数字，最大只能是9，24可拆分为：24＝9＋9＋6；24＝9＋8＋7；24＝8＋8＋8。
运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：①由9、9、6这三个数字可组成3个三位数：996、969、699；②由9、8、7这三个数字可组成6个三位数：987、978、897、879、798、789；③由8、8、8这三个数字可组成1个三位数：888。
小学奥数四年级加乘原理
第一讲加乘原理加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……,第N类方式有M（N）种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种方法。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2不同的方法,……，做第n步有mn不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法.核心：分布相乘、分步相加例题1：（1）从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有3个不同的航班,还有一艘轮船直达上海。
那么从天津到上海共有多少种不同的走法?(2）请观察下面的树状图，请问从A到“树叶”节点的路线一共有多少条？练习1：(1）从甲地到乙地,可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中火车有4班,汽车有3班，轮船有2班。
问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同走法？(2)下图中,一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点,要求任何线段和点不得重复经过，问家中最多有多少种走法？例题2：泡泡有许多套服装，帽子数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有运动鞋6双,早晨要从几种服装中各取一个搭配，问：有多少种搭配?练习2：书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任取外语、语文、数学书各一本，有多少种不同的取法？例题3:由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的三位数？百位为7的没有重复数字的三位数？练习3:利用数字1，2，3，4,5共可组成⑴多少个数字不重复的三位数？⑵多少个数字不重复的三位偶数？⑶多少个数字不重复的偶数？例题4：甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，一共有多少种不同的安排方式？如果会驾驶汽车A的只有甲和乙,一共有多少种安排方式？练习4:甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶,则一共有多少种不同的安排方案？例题5：用5种颜色给如图4块区域染色,要求每块区域涂一种颜色,要使相邻区域不是同一种颜色,那么有多少种不同的染色方式？练习5：用5种颜色给如图图形染色，要求每块区域染一种颜色,要使相邻区域不是同一种颜色，有多少种染色方式？作业:1、小明用天平称物体时要用砝码，他在有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，最多能称几种不同重量的物体?（要求砝码只放在一个托盘中）。
四年级奥数：加乘原理(一)
四年级奥数：加乘原理（一）1，2，3，…，299，300，这300个自然数中，完全不含有3的自然数共有_____个.【解析】 可以先计算出来含有3的自然数的个数，然后用300减去含有3的自然数的个数，就可以得到完全不含有3的自然数的个数. 1-99中，含有数字3的数有：9+10=19（个）历届杯赛考试中，对计数问题的考察是必不可少的.这部分的题目有一定的方法，目的是考察大家对各类问题的方法的应用能力.要做好这些题目，就需要同学们掌握计数问题的各类方法，枚举法是一种很重要的数学思考方法，是大家必须掌握的一种计数方法.加乘原理的方法也是解决计数问题的常用方法，帮助我们提高解决问题的准确率.名师点题例1知识概述1. 计数问题类型：① 图形计数：线段、三角形、长方形、正方形计数； ② 应用题类型的计数问题. 2. 解决计数问题常用的方法：① 分类计数（加法原理）：如果完成一件工作有几类不关联的方式，在每一类方式中又各有几种不同的方法，使用其中任何一种方法都能独立完成这件工作的不同方法总数，就是完成这件工作的各类方法的总数之和；② 分步计数（乘法原理）：如果完成一件工作有几个相关的步骤，要依次完成这几个步骤，这件工作才能完成，而每一个步骤各有几种不同的方法去完成，那么，完成这件工作的方法总数，就是完成这件工作的各个步骤的方法种数之积.100-199中，含有数字3的数有19个200-300中，含有数字3的数有19+1=20（个）含有3的自然数的个数是19+19+20=58（个）完全不含有3的自然数共有：300-58=242（个）例2从A点沿直线走最短的路径到B点，共有多少种不同的走法？【解析】标数法解图表类题型例3从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路.问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？【解析】用A1，A2表示从甲地到乙地的2条路，用B1，B2，B3表示从乙地到丙地的3条路，用C1，C2表示从丙地到丁地的2条路（见下页图）.从甲到丁是分三步走的：第一步甲到乙有2种方法，第二步乙到丙有3种方法，第3步丙到丁有2种方法.对于第一步的每种方法，第二步都有3种方法，所以从甲到丙有2×3=6（种）方法；对从甲到丙的每种方法，第三步都有2种方法，所以不同的走法共有2×3×2＝12（种）.A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1A1B1C2 A1B2C2 A1B3C2A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2【巩固拓展】1、如图中共有几个三角形？【解析】根据数线段的方法得：（6+5+4+3+2+1）×2+（3+2+1）×2+6+6+1=67（个）2、一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点都不能重复经过.问：这只甲虫共有几种不同走法？【解析】第一步，从A点到C点，有4条路线；第二步C点到B点，有4条路线.由乘法原理，共有4×4=16种不同的走法.3、从A到B，要求每一步都是向右、向上或者斜上方，问有多少种不同的走法？【解析】例1小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？【解析】登上第1级台阶只有1种登法.登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有2种登法.登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和，共有1+2＝3（种）……一般地，登上第n级台阶，或者从第（n—1）级台阶跨一级上去，或者从第（n —2）级台阶跨两级上去.根据加法原理，如果登上第（n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a＋b）种方法.因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数.由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89.其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和.登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个，即89.也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数（见下图）.【巩固拓展】有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【解析】为了便于理解，可以将本题转变为“上15级台阶，每次上2级或3级，共有多少种上法？”所以本题的解题方法与例1类似（见下表）.取完15根火柴共有28种不同取法.例2右图中每个小方格的边长都是1.一只小虫从直线AB上的O点出发，沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到O点）.如果小虫爬行的总长是3，那么小虫有多少条不同的爬行路线？【解析】如果小虫爬行的总长是2，那么小虫从AB上出发，回到AB上，其不同路线有6条（见左下图）；小虫从与AB相邻的直线上出发，回到AB上，其不同路线有4条（见右下图）.实际上，小虫爬行的总长是3.小虫爬行的第一步有四种情况：向左，此时小虫还在AB上，由上面的分析，后两步有6条路线；同理，向右也有6条路线；向上，此时小虫在与AB相邻的直线上，由上面的分析，后两步有4条路线；同理，向下也有4条路线.根据加法原理，共有不同的爬行路线6＋6＋4＋4＝20（条）【巩固拓展】下图中每个小方格的边长都是1.有一只小虫从O点出发，沿图中格线爬行，如果它爬行的总长度是3，那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？【解析】枚举法：上下、下上、左左、右右、左右、右左共6种例3用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？【解析】组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三步确定个位上的数字，也有6种选法.根据乘法原理，可以组成三位数：5×6×6＝180（个）【巩固拓展】用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第505个数是__________.【解析】把这些数按照从小到大排列.当最高位是1时，共有5×4×3×2×1=120（个）；当最高位是2、3、4的时候都各有120个，所以共有120×4=480（个）.505-480=25（个）.剩下的25个都是最高位为5的数，当十万位上是5，万位是0的时候，这样的数共有4×3×2×1=24（个）.所以第505个数的万位为1，它是510234.下图，把A,B,C,D,E 五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么这幅图一共有多少种不同的着色方法.【解析】从接触面最多的入手，再按照相邻原则依次考虑，从C 开始考虑，有4种着色方法.C 着色后，A 有3种着色方法，A着色后，B 有2种着色方法，B 着色后，D 有2种着色方法，D 后E 也有2种着色方法. 所以共有4×3×2×2×2=96种【巩固拓展】下图，把A,B,C,D,E 五部分用五种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么这幅图一共有多少种不同的着色方法.【解析】从接触面最多的入手，再按照相邻原则依次考虑，从A 开始考虑，有5种着色方法. B 和A 不同色有4种着色方法，C 和A,B 不同色，有3种着色方法，B 和D 同色时，D 有1种选择，E 有3种选择，当B,D 不同色时，D 有2种选择，E 有2种选择，因此需要对B,D 着色情况进行分类所以共有5×4×3×1×3+5×4×3×2×2=420种（第11届中环杯初赛）如图，35个边长为1厘米的小正方形组成一个5厘米×7厘米的长方形，则图中所有正方形的周长和为（ ）厘米.【解析】图形计数，巧求周长.周长为4的正方形有5×7=35个，周长为8的有4×6=24个，周长为12的有3×5=15个，周长为16有2×4=8个，周长为20的有1×3=3个.所以周长和为4×35+8×24+12×15+16×8+20×3=140+192+180+128+60=700.(第九届“中环杯”四年级决赛)6个人排成一排，甲当排头，乙不当排尾，共有多少种排法？【解析】乘法原理6个人排成一排，甲当排头，乙不当排尾，共有14432196⨯⨯⨯⨯⨯=种排法例2例1例3（第11届中环杯决赛）如图，某市的街道构成正方形网格，邮递员要从 A 经过P 到 B.沿着最短路线走，共有__________种不同的走法.【解析】标数法：必须经过P点，从A到P下面的点：2种走法从P点上面的点到B：4种走法一共有2×4=8种走法例4下图是中国象棋棋盘，如果两人各有一个“车”的棋子，它们不在同一行，也不在同一列就不会被吃掉，那么总共有多少种不同的放置方法使两“车”不相遇.【解析】设甲方先放棋子，可任意放置，故甲方有10×9=90种.对应甲的第一种方法，乙方按照规定必须去掉甲方棋子所在的行和列，所以乙方有9×8=72种甲方共有90种方法，而乙方都有对应他的72种方法因此总共有90×72=6480种不同的放置方法.例5下图中，要从A走到B，但不能经过C,D两点，如果只能向右，向上，或者斜上方走，一共有多少种不同的走法？BCDA【解析】利用标数法每一点的走法数等于它的左方和下方两个点的方法数的和.1 4 4 7 11 171 3 0 3 4 61 2 3 0 1 2A 1 1 1 1 1答案是17种.例6（小机灵杯精选考题）从1，2，3，4，5，6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数，那么共有多少种不同的取法？【解析】利用标数法先满足是3的倍数：取1个数，有2种方法取2个数，有2*2+1=5种取3个数，有2*2*2=8种取4个数，有5种取5个数，有2种取6个数，有1种共有2+5+8+5+2+1=23种其中再减去5的倍数，也即15的倍数取3个数，有1种（和为15）取4个数，有2种（考虑另两个数的和为6）取5个数，有1种共有4种所以满足条件的是23-4=19种1、如下图中的每个小方格都是面积为1的正方形，那么面积为2的长方形有几个？【解析】用a×b表示矩形的类型，其中a表示矩形的水平长度，b表示矩形的竖直长度.图中每行有4个2×1的矩形，共4行；图中每列有3个1×2的矩形，共5列.所以，图中面积为2的长方形共有4×4+3×5=31（个）.2、一排房有五个房间，在五个房间中住着甲、乙、丙、丁，规定每个房间只许住一个人，并且只允许两个人住的房间挨在一起，第三个人的房间必须和前两个人隔开，有几种住法？【解析】先判断出必须是中间的房间空着,然后有4×3×2×1=24种.3、用0，1，2，3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？【解析】个位数字，只有0、2、4三种可能.如果个位是0，有5×4=20（个）如果是个位是2、4，有2×4×4=32（个）所以，共有20+32=52（个）4、（第12届中环杯初赛）小明要从学校出发去少年宫参加活动，下图是学校到少年宫的路线图，直线表示可以通行的道路，如果小明要尽快到达少年宫，他一共有多少条不同的最短路线可以走？【解析】利用标数法一共有15条最短路线.5、由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？【解析】①8×8×8=512（个）；②4×8×8=256（个）；③4×7×6=168（个）；④1×7×6=42（个）；⑤1×3×6=18（个）．6、一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？【解析】4×4×3×2×1=96（种）．7、（第13届中环杯决赛）如图所示的网格中，要从A到B，方向只能向右或向上，不能经过C以及D，有多少条不同的路径.【解析】利用标数法一共有18条最短路线.。
小学奥数-加乘原理
特殊位置优先考虑（一）
例题：
运动会上，甲乙丙丁 4 名运动员组队参加 4 × 100 米 接力赛，甲必须跑第一棒，一共有多少种不同的跑法？
第1棒
第2棒
第3棒
第4棒
甲
乙、丙、丁
第2棒选定1人后
第2、3棒选定后
三人选其一
还剩两人选其一
只剩下1人
1
3
2
1
题目解析：
第一棒已固定为甲，所以第一步的选择种类为1，第2棒的运动员人选可能是乙、丙、丁3人种一人，所以
加乘原理
加法原理：一般地，如果完成一件事有k类 方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类 方法中有m2种不同做法......,第 k 类方法中有mk 种不同做法，则完成这件事共有 m1+m2+......+mk种不同方法。
艾迪要从 3 件不同的外套和 5 条不同的裤子中各选一件穿好出门，他 有多少种不同的搭配方法。
乘法原理解题三部曲
1、完加成法一原件理事解分题n 三个部必曲要步骤；
2、步1步、相完关成（一每件步事都分不k 能类单情独况完成该件事）
3、步2步、相类乘类独立（每类都能单独完成该
件事）
解题思路
第二步：看看另外两类，饮料和小吃不想和中午重复，说明晚饭时，这两种食3物、的类种类类相选加择要各比中午少一种。
乘法原理：一般地，如果完成一 件事可以分成 n 个必要步骤，第一步 有m1种，第二步有m2种......,第 n 步有 mn 种，那么完成这件事情一共有 m1×m2×......×mn 种不同的方法。
1
加乘原理初步知识（一）
例题：
艾迪去吃午饭，发现附近有中餐厅 9 个，西餐厅 5 个，快餐厅 3 个，他准备去其中一家餐厅吃饭，共有多少种不同的选择？
小学四年级奥数竞赛班《加乘原理与归纳递推》
加乘原理与归纳递推是一种数学思维学习方法，它可以帮助学生更有
效地掌握知识和解决问题。
加乘原理是指，如果将两个数A和B相加，同时将这两个数分别乘以
一个数C，那么我们得到的结果是：(A+B)C=AC+BC。
这种思维原理可以用
来解决一些计算方面的问题，如几何图形的分析、几何问题的求解等等。
归纳递推是指，从一个具有特定特征的基本元素出发，通过研究它的
特征并将其包含在其他元素当中，这样就可以一步步地求得一系列新元素
的特征及它们之间的关系。
此外，归纳递推还可以更详细地分析其中一元素，比如一个几何图形，从而理解它的形状与特征。
在学习数学时，学生应该结合加乘原理和归纳递推来学习，不仅可以
更好地理解课程内容，还可以更好地记住。
在解决实际数学问题时，也可
以考虑使用加乘原理和归纳递推等数学思维方法，从而更容易地解决问题。
尤其是学习奥数时，更需要学生学习加乘原理与归纳递推的思维方法，可以使孩子们记忆数学知识和掌握解题的思维模式更加系统化，让孩子们
更有效的解决问题，从而取得更好的学习成绩。
因此，在小学四年级的奥数竞赛班中。
小学四年级奥数竞赛班讲义第25讲加乘原理与归纳递推
加乘原理与归纳递推是奥数竞赛中非常重要的概念。
今天我们来讲解一下这两个概念。
首先是加乘原理。
加乘原理是指：假设有两个事件A和B，事件A有m种可能发生的方式，事件B有n种可能发生的方式，那么两个事件A和B同时发生的方式有m*n种。
这个概念可以用来解决一些计数问题，特别是当两个事件独立发生时。
例如，一件衣服有5种颜色选择，一条裤子有3种颜色选择，一双鞋子有2种颜色选择。
那么一套包括衣服、裤子和鞋子的搭配有5*3*2=30种可能。
接下来是归纳递推。
归纳递推是一种通过已知情况推导出未知情况的方法。
通常需要找到递推公式，然后利用已知情况通过递推公式计算得到未知情况。
例如，我们要计算斐波那契数列中的第n项。
斐波那契数列的前两项是1，第三项开始的每一项都是前两项之和。
根据这个规律，我们可以得到递推公式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
根据已知情况F(1)=1和F(2)=1，我们可以通过递推公式计算得到未知情况的值。
通过加乘原理和归纳递推，我们可以解决一些奥数竞赛中的难题。
下面我们来看一个例子。
例题：小明有3个红色球、4个蓝色球和5个绿色球。
他想从这些球中挑选3个，问他一共有多少种挑法？解法：根据加乘原理，我们可以得到红色球的选择方式有C(3,1)种，蓝色球的选择方式有C(4,1)种，绿色球的选择方式有C(5,1)种。
根据乘法原理，一共有C(3,1)*C(4,1)*C(5,1)=3*4*5=60种挑法。
上面的题目可以通过加乘原理解决。
但是有些问题可能需要通过归纳递推来解决。
下面是一个需要用到归纳递推的例子。
例题：一只蜗牛在一个50级的楼梯上爬行。
蜗牛每次只能往上爬1级或者2级，问蜗牛爬到第50级楼梯的方法数是多少？解法：我们可以用F(n)表示蜗牛爬到第n级楼梯的方法数。
根据题目要求，蜗牛在第50级楼梯时，只能从第49级楼梯或者第48级楼梯爬上来。
所以，蜗牛爬到第50级楼梯的方法数等于蜗牛爬到第49级楼梯的方法数加上蜗牛爬到第48级楼梯的方法数。
四年级下册奥数：缺一不可吗？——加乘原理(含答案)全国通用
缺一不可吗？——加乘原理一、乘法原理例如,兰海老师要从北京到大连拿一份资料,之后再到天津开会.其中,他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机,而他从大连到天津却只想乘船.那么,他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？乘法原理解题步骤：1．分步骤；2．找出每步所对应的方法数；3．如果确定每步都是缺一不可的,那么把每步所对应的方法数相乘.【例 1】豆苗宝宝要从A村去C村上学,由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条,那么豆苗宝宝从A村经B村去C村共有多少种不同的走法？例1图【例 2】如图,一张地图上有五个国家A、B、C、D、E,现在要求用四种不同的颜色区分不同国家,要求相邻的国家不能使用同一种颜色,不同的国家可以使用同—种颜色,那么这幅地图有多少种着色方法？ABCD E例2图二、加法原理例如,兰海老师从北京到天津,他可以乘火车也可以乘长途汽车,现在知道每天有五次火车从北京到天津,有四趟长途汽车从北京到天津,那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？加法原理解题步骤：1．分类；2．找出每类所对应的方法数；3．如果确定每类不是缺一不可的,那么把每类所对应的方法数相加.【例 3】学校组织读书活动,要求每个同学读一本书,豆苗宝宝到图书馆借书时,图书馆有不同的外语书150本,不同的科技书200本,不同的小说100本,那么,豆苗宝宝借一本书可以有多少种不同的选法？【例 4】还是图书馆有不同的外语书150本,不同的科技书200本,不同的小说100本,豆苗宝宝如果要选两本书不同类的书有多少种选法？三、标号、图示在加法原理中的应用【例 5】在下图的街道示意图中,有几处街区有积水不能通行,那行人从A到B的最短路线有多少种？例5图四、加法原理与简单递推【例 6】有一堆火柴共12根,如果规定每次取1～3根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【例 7】一楼梯共10级,规定每步只能跨上一级或两级,要登上第10级,共有多少种不同走法？五、加乘原理综合应用加乘原理解题步骤：1．分；2．找出每步所对应的方法数；3．判断每步是否缺一不可,如果是就用乘法,如果不是就用加法.【例 8】在前100个自然数中取出两个不同的数相加,其和是3的倍数的共有多少种不同的取法？【例 9】地图上有A、B、C、D四个国家(如下图),现有红、黄、蓝、绿四种颜色给地图染色,使相邻国家的颜色不同,但不是每种颜色都必须要用,问有多少种染色方法？【例 1】6 【例 2】96 【例 3】450【例 4】65000【例 5】22 【例 6】927 【例 7】89 【例 8】1650 【例 9】84A B C D例9图。
四年级思维奥数加乘原理
第十四讲加乘原理应用活趣味数学一天，四（1）班的小聪同学放学后发现数学书忘在教室里。
于是他去门房找张师傅拿教室的钥匙开门。
张师博性格憨厚，有时候爱开玩笑，还是个数学爱好者。
他笑着对小聪同学说：“对不起，我不小心把九间教室的九把钥匙弄混了，不知道哪把钥匙开哪间教室。
请你想一想，你最多试开多少次就能把你班的教室门打开呢？”同学们，你们知道答案吗？知识提纲：加法原理：为了完成一件事，有几类方法。
第一类方法中有m1种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法……第n类方法中有mn种不同的方法。
那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn,种不同的方法。
乘法原理：为了完成一件事，需要n个步骤。
做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。
那么，完成这件事共有N=m1×m2×…×mn,种不同的方法。
【典型例题1】一把钥匙开一把锁，现在有4把钥匙4把锁,但不知道怎么相配了，那么最多要试_____次，才能确保配对成功。
如果有6把钥匙6把锁，那么最多要试_____次，才能确保把所有的锁都打开。
【分析】4把钥匙和4把锁弄混淆了，可以先拿着第一把钥匙来试，最多试3次就能配对；第二把钥匙最多试2次；第三把钥匙最多只需试1次。
一共要试:3+2+1=6（次），可确保配对。
如果有6把钥匙和6把锁，最多要试几次呢？请同学们自己做做。
【随堂练习1】学校门房的王师傅不小心把9把钥匙和9把锁弄混淆了,不知道哪把钥匙开哪把锁。
请问：最多要试多少次才能确保把钥匙和锁一一配起来？【典型例题2】书架上有2本不同的科技书，5本不同的故事书和4本不同的漫画书。
小华想从书架上任取一本科技书、一本故事书和一本漫画书，一共有多少种不同的取法？【分析】可以分为三个步骤，第一步取科技书，有2种不同的方法；第二步取故事书，有5种不同的方法；第三步取漫画书，有4种不同的方法。
根据乘法原理，可以计算出所有的取法。
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第一讲加乘原理
加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有
M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N) 种方法。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有ml种不同的方法，做第二
步有m2不同的方法，，做第n步有mn不同的方法。
那么完成这件事共有N=m1 x m2 Xm3 n 种不同的方法。
核心：分布相乘、分步相加
例题1 : (1)从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有3个不同的航班，还有一艘轮船直达上海。
那么从天津到上海共有多少种不同的走法？
(2 )请观察下面的树状图，请问从A到“树叶”节点的路线一共有多少条?
练习1 : (1 )从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。
问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种
不同走法？
(2 )下图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B 段和点不得重复经过，问家中最多有多少种走法？
点，要求任何线*干
例题 2 ：泡泡有许多套服装，帽子数量为 5 顶、上衣有10 件，裤子有8 条，还有运动鞋6双，早晨要从几种服装中各取一个搭配，问：有多少种搭配？
练习 2 ：书架上有 6 本不同的外语书， 4 本不同的语文书， 3 本不同的数学书，从中任取外语、语文、数学书各一本，有多少种不同的取法？
例题3：由数字1、2 、3、4、5、6、7、8 可组成多少个没有重复数字的三位数？百位为
7 的没有重复数字的三位数？
练习3：利用数字1，2，3，4，5 共可组成⑴多少个数字不重复的三位数？⑵多少个数字不重复的三位偶数？⑶多少个数字不重复的偶数？
例题4：甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E 这五辆不同型号的汽车，一共有
多少种不同的安排方式？
如果会驾驶汽车 A 的只有甲和乙，一共有多少种安排方式？
练习4 :甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，汽车E
必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案？
例题5 :用5种颜色给如图4块区域染色，要求每块区域涂一种颜色，要使相邻区域不是同
一种颜色，那么有多少种不同的染色方式？
练习5 :用5种颜色给如图图形染色，要求每块区域染一种颜色，要使相邻区域不是同一种
颜色，有多少种染色方式？
作业：
1、小明用天平称物体时要用砝码，他在有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，最多能
称几种不同重量的物体？（要求砝码只放在一个托盘中）。
2、用5种颜色给图1的五个区域染色，相邻的区域染不同的颜色，每个区域染一种颜色。
问：共有
多少种不同的染色方法？
3、 用数字2 , 1 , 0, 3,9能组成多少个数字不重复的四位数？
4、 李红有3本不同的数学书,5本不同的语文书，现要排成一行，共有多少种排法？
如果最中间那本一定是数学书，共有多少种排法？
5、 小月要从8们课程中选学3门，如果数学课和钢琴课时间冲突，不能同时学，她一共有 多少种选
法？
列方程解应用题补充题:
2、有一个六位数字abcde6,如果把个位数字 6移至第一位的前面变成 6abcde,则这个新 1、要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为 溶质
20
% -（溶液 浓度）
六位数是原数的4倍，求这个数.
3、在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质
图书阅读量(单位：本)进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数
比2012年增加10% , 2014年全校学生人数比2013年增加100人
(1 )求2014年全校学生人数；
(2 ) 2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本
(注：阅读总量=人均阅读量X人数)
①2012年全校学生人均阅读量；
②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的 2.5倍，如果2013年、2014年这
两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a, 2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值.。