2..2.1算数平方根双重非负性
北师大版八年级上册 221 平方根(教案)
2.2.1平方根教学目标知识与技能：1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的算术平方根.过程与方法：在合作交流等活动中,培养合作精神和创新精神.情感态度与价值观：积极参与教学活动,发展对数学的好奇心和求知欲.教学重难点重点：算术平方根的概念、性质,会用根号表示一个数的算术平方根.难点：对算术平方根的概念和性质的理解.教学准备教师准备：挂图、多媒体课件.学生准备：复习无理数的概念.教学过程一：导入新课[过渡语]知道无理数的存在,上节给出的问题我们需要解决了.导入一:上节课学习了无理数,了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性,掌握了无理数的概念,知道有理数和无理数的区别是:有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数.比如上一节课我们做过的:由两个边长为1的小正方形,通过剪一剪,拼一拼,得到一个边长为a的大的正方形,那么有a2=2,a=,2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过:若x2=a,则a叫x的平方,反过来x叫a的什么呢?本节课我们一起来学习.导入二:前面我们学习了勾股定理,请大家根据勾股定理,结合图形完成填空:x2=,y2=,z2=,w2=.[设计意图]导入一和导入二都是带着问题进入到这节课的学习,让学生体会到学习算术平方根的必要性.能表示x2=2,y2=3,z2=4,w2=5;能求得z=2,但不能求得x,y,w的值.【说明】导入一是由上节课“数怎么又不够用了”的例子,起到了承前启后的作用,导入二是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用,说明学习这节课的必要性.相对而言,建议选用导入二.二：构建新知[过渡语]有上一章的勾股定理,我们得到x2=2,y2=3,z2=4,w2=5,如何求出x,y,z,w是现在所需要考虑的.一、情境引出新概念思路一:x2=2,y2=3,z2=4,w2=5,已知幂和指数,求底数x,y,z,w,你能求出来吗?思路二:在七年级学习有理数的乘方时,知道自然数的平方,比如12=1,22=4,32=9,…,但是,你能找到哪个数的平方是2吗?哪个数的平方是3吗?哪个数的平方是5吗?那你能估计一下吗?[设计意图]让学生体验概念形成过程,感受到概念引入的必要性.学生可以估算出x,y是1到2之间的数,w是2到3之间的数,但无法表示x,y,w,从而激发学生继续往下学习的兴趣,进而引入新的运算——开方.【说明】无论是导入一,还是导入二,都会激发学生继续往下学习的兴趣,都可以提出同样的问题“已知幂和指数,求底数,你能求出来吗?”二、在上面思考的基础上,明晰概念一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x 就叫做a的算术平方根,记作,读作“根号a”.特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即=0.[设计意图]对算术平方根概念的认识,了解算术平方根的概念,知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的.三、例题讲解例1：求下列各数的算术平方根.(1) 900;(2) 1;(3);(4) 14.〔解析〕体验求一个正数的算术平方根的过程,利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法,让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来,有的正数的算术平方根只能用根号表示,如14的算术平方根是.解:(1)因为302=900,所以900的算术平方根是30,即=30.(2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即=1.(3)因为,所以的算术平方根是, 即.(4)14的算术平方根是.[设计意图]通过对例题的解答,加深学生对算术平方根概念的理解,会求一个正数的算术平方根,更进一步了解算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,负数没有算术平方根.体验求一个正数算术平方根的过程,并为下面的实验应用奠定良好的基础.例2：自由下落物体下落的距离s(m)与下落时间t(s)的关系为s=4.9t2.有一铁球从19.6 m高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间?〔解析〕用算术平方根的知识解决实际问题.利用等式的性质将s=4.9t2进行变形,再用求算术平方根的方法求得题目的解.解:将s=19.6代入公式s=4.9t2,得t2=4,所以t==2(s).即铁球到达地面需要2 s.【说明】强调实际问题t是正数,用的是算术平方根,此题是为得出下面的结论做铺垫的.观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点.[设计意图]让学生认识到算术平方根定义中的两层含义:中的a是一个非负数,a的算术平方根也是一个非负数,负数没有算术平方根.这也是算术平方根的性质——双重非负性.再一次深入地认识算术平方根的概念,明确只有非负数才有算术平方根.[知识拓展]算术平方根有如下性质:(1)一个正数a有一个算术平方根,就是.(2)0有一个算术平方根,就是0.(3)负数没有算术平方根.(4)只要有意义,就表示一个非负数,即≥0.(5)中的a是一个非负数,即a≥0.三、课堂小结1.算术平方根的概念,式子中的双重非负性:一是a≥0,二是≥0.2.算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根.3.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算,利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.四、课堂练习1.若一个数的算术平方根是,那么这个数是. 答案:72.的算术平方根是. 答案:3.的算术平方根是. 答案:4.若=2,则(m+2)2=.解析:本题考查算术平方根的定义,掌握表示方法和实质是关键.故填16.5.求下列各数的算术平方根.36,,15,0.64,10-4,,.解:=6, ,,=0.8,=10-2,, =1.6.如图所示,从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷.若绳子的长度为5.5米,地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米,则帐篷支撑竿的高是多少米?解:由题意得AC=5.5米,BC=4.5米,∠ABC=90°,在RtΔABC中,由勾股定理得AB=(米).所以帐篷支撑竿的高是米.五、板书设计2.2.1平方根1.情境引出新概念.2.在上面思考的基础上,明晰概念.3.例题讲解.六、布置作业一、教材作业【必做题】教材随堂练习第1,3题.【选做题】教材习题2.3第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.填空.(1)81的算术平方根是.(2)0.1是的算术平方根.(3)一个正方形的面积变为原来的4倍,它的边长变为原来的倍.(4)一个正方形的面积变为原来的9倍,它的边长变为原来的倍.(5)一个圆的面积变为原来的n倍, 它的半径变为原来的倍.2.求下列各数的算术平方根.1.96106121【能力提升】3.的算术平方根,若5是a+1的算术平方根,则a=.4.一个数的算术平方根等于它本身的2倍,这个数是.5.x为何值时, 有意义?【拓展探究】6.已知一个自然数的算术平方根是a,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是()A.a+1B .C.a2+1 D .7.求一个正数的算术平方根,有些数可以直接求得,如,有些数则不能直接求得,如,但可以通过计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在联系,运用规律求得,请同学们观察下表:n 160.16 0.001616016000…4 0.4 0.04 40 400 …(1)表中所给的信息中,你能发现什么规律?(请将规律用文字表达出来)(2)运用你发现的规律,探究下列问题.已知≈1.435,求下列各数的算术平方根:①0.0206;②206;③20600.【答案与解析】1.(1)9(2)0.01(3)2(4)3(5)(解析:设现在圆的半径为R,原来圆的半径为r,则πR2=nπr2,所以R =r.)2.解:=1.4,,=11.3.224(解析:=4,=2;52=a+1,a=24.)4.0或4(解析:设这个数为x,则=2x,所以x=4x2,解得x=0或x=4.)5.解:由题意得-≥0,所以x≤0.6.D(解析:一个自然数的算术平方根是a,这个自然数是a2,故该自然数的下一个自然数是a2+1,其算术平方根是.)7.解析:(1)从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答.(2)根据(1)中的规律解答即可.解:(1)被开方数扩大或缩小102n 倍,非负数的算术平方根就相应地扩大或缩小10n倍;或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位,算术平方根的小数点就向左或向右移动n位. (2)①=0.1435.②=14.35.③=143.5.教学反思本节课通过勾股定理和七年级学过的有理数的平方引入,在学生已有知识的基础上,引入新概念、算术平方根的本质特征.通过练习,可以使学生掌握和理解.由于学生是第一次接触算术平方根,时间短,可能有的学生不能真正地理解和掌握,或者不能掌握实质,给以后的学习带来很多麻烦.在教学中,根据学生的实际情况,在学有余力的情况下,可以对的双重非负性的知识进行适当的拓展.教材习题答案随堂练习(教材第27页)1.解:=6,,,=0.9,.2.解:AB=.3.解:AB==4.8(m).习题2.3(教材第27页)1.解:(1)=7. (2). (3)=0.3. (4)-=-8.2.解:它们的算术平方根依次是11,,1.4,103.3.解:每块地砖的边长是=0.3(m).4.解:设原正方形的边长为a,变化后的正方形的边长为x.①x2=4a2,所以x=2a(负值舍),故边长变为原来的2倍.②x2=9a2,所以x=3a(负值舍),故边长变为原来的3倍.③x2=100a2,所以x=10a(负值舍),故边长变为原来的10倍.④x2=na2,所以x=a(负值舍),故边长变为原来的倍.素材例题：求下列各数的算术平方根.(1); (2)104; (3);(4)(3-π)2.〔解析〕前三个是以不同形式给出的几个数,必须先化简,如(1)中=4,(2)中104=10000,(3)中|-169|=169,然后求它们的平方根,(4)题要特别注意判断π与3的大小.解:(1)因为=4,所以的算术平方根是2.(2)因为104=10000,所以104的算术平方根为100.(3)因为|-169|=169,所以|-169|的算术平方根为13.(4)因为π>3,所以π-3>0,所以(3-π)2的算术平方根为π-3. [解题策略]出现求类似(3-π)2形式的数的算术平方根时,注意判断括号内数的正负.求一个式子的算术平方根时,应先求出这个式子的值,再求这个值的算术平方根.。
平方根的性质
平方根的性质平方根是数学中的重要运算之一，它可以帮助我们求解方程、计算实数的大小关系以及解决各种实际问题。
在本文中，我们将讨论平方根的性质，探究它在数学中的应用和重要性。
1. 平方根的定义平方根可以简单地理解为一个数的平方等于给定数时的值。
对于非负实数a，我们定义其平方根为非负实数x，即x的平方等于a。
可以用符号√a表示平方根，其中√符号称为根号，a称为被开方数。
2. 2.1 平方根存在性对于任何非负实数a，都存在一个唯一非负实数x，使得x的平方等于a。
这意味着平方根在非负实数范围内都是可定义的。
2.2 平方根的基本性质(1) 非负实数的平方根是非负实数。
即对于非负实数a≥0，其平方根√a≥0。
(2) 平方根是一个递增函数。
即如果a≤b，则√a≤√b。
(3) 平方根的平方等于原数。
即对于任何非负实数a，有(√a)^2=a。
3. 平方根的运算性质3.1 平方根的乘法对于非负实数a和b，有以下公式成立：√(a*b) = √a * √b这意味着两个非负实数的乘积的平方根等于它们各自平方根的乘积。
3.2 平方根的除法对于非负实数a和b（b≠0），有以下公式成立：√(a/b) = √a / √b这意味着一个非负实数被另一个非零实数除后的平方根等于它们各自平方根的商。
3.3 平方根的加减法对于非负实数a和b，有以下公式成立：√(a±b) ≠ √a ± √b这是因为平方根的加减法没有一个简单且普适的形式。
4. 平方根在实际问题中的应用4.1 几何应用平方根在几何学中有广泛的应用，特别是在计算图形的边长、面积和体积时。
以长方形为例，它的对角线长度可以通过两条边的平方和的平方根来表示。
4.2 物理应用平方根也在物理学中发挥着重要作用，例如在计算速度、加速度和能量等方面。
结合平方根和其他数学运算，可以推导出许多物理定律和公式。
4.3 统计学应用在统计学中，平方根可以用于计算标准差和方差等统计量。
算术平方根、平方根知识点辅差
知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小.规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分.例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（ ）A.10<<mB.21<<mC.32<<mD.43<<m知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示延伸拓展1.平方根的理解（1）被开方数a 一定是非负数（即正数或0）；（2）平方与开平方是互逆运算；2.例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）0.0009 （2）8125（3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ±，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a也叫做a 的算术平方根.注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ）A.2B.-1C.1D.0随堂巩固一、选择题.1. 4的算术平方根是（ ）A.2B.-2C.±2D.162.下列说法正确的是（ ）A.5是25的算术平方根B.16是4的算术平方根C.-6是()26-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ）A.4B.5C.6D.74.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）A.2与3 之间B.3与4 之间C.4与5之间D.5与6之间5.81的平方根是（ ）A.3±B.3C.9±D.96.下列语句正确的是（ ）A.-2是-4的平方根B.2是()22-的算术平方根C.()22-的平方根是2D.4的平方根是2或-27.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ）A.-8B.8±C.2±D.8±或2±二、填空题1.化简：（1）412= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 .3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。
算术平方根的双重非负性
算术平方根的双重非负性算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax=2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=.算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，即0a≥，a的算术平方根a也是一个非负数，≥．这就是算术平方根的双重非负性．例题：已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即≥，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y的值，进而求得答案．()20,20y≥-≥，且x－1＋3(y－2)2＝0∴x-1=0，y-2=0.∴x=1,y=2∴x－y＝1－2＝－1.方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即≥，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.巩固练习：1.若|x－2|+3-y=0,则xy=______.2.已知()0232212=++++-zyx，求x+y+z的值.3. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范围．参考答案：1. xy =62. 解：因为21-x ≥0，()22+y ≥0，23+z ≥0，且()0232212=++++-z y x ， 所以21-x =0，()22+y =0，23+z =0， 解得21=x ，2-=y ，23-=z ， 所以x +y +z = 3-．3. 解：由04412=+-+-b b a ，可得0)2(12=-+-b a ，因为 1-a ≥0，2)2(-b ≥0， 所以1-a =0，2)2(-b =0，所以a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a < c < b +a ，即1 < c < 3．。
数学人教版七年级下册算术平方根之双重非负性(二)
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自学检测（3分钟）
平方 绝对值 算术平方根 正负性
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交流小结（18分钟）
讨论一 根据上表，关于平方、绝对值、算术平方根的非负性 你得到什么结论？ 一个数的平方、绝对值、算术平方根都是非负数， 也就是它们都具有非负性。这也是算术平方的第二 重非负性。
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交流小结（18分钟）
讨论四
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
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注意：被开方数也要是非负数！
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交流小结（18分钟）
讨论二 如果两个非负相加，它们的结果是什么数（正负 性）？三个非负数相加呢？ 两个非负数的和一定是非负数，三个非负数的和也是 非负数，不管多少个非负数的和都一定是非负数。 讨论三
如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数必须满足 什么条件？你可以用相反数的性质去进行解释吗？ 如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须等于0. 因为两个数相加为0，那么这两个数就应该是相反数，所 以要么是一正一负，要么两个数都是0，根据它们都是非 负数，所以只能都等于0.
算术平方根之双重 非负性（二）
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学习目标（2分钟解读）
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指导自学（5分钟）
大于等于0的数叫非负数。 一定是非负数的数就具有非负性 回想以前学习的知识中还学过类似的非负性吗？ 两个相反数具备什么性质？ 还有平方和绝对值具有非负性，两个相反数的和为0.
初中数学-春季班-人教版-初一(学生版) 第4讲 平方根与立方根--提高班
第4讲平方根、立方根知识点1 算术平方根1.如果一个正数x的平方等于a，即ax=2，那么这个正数x叫做a的算术平方根. ()0≥a a的算术平方根记为a,读作“根号a”，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0 ，即00=.2.规律小结算术平方根具有双重非负数：（1）被开方数具有非负性，即0≥a；（2）本身具有非负性：即.0≥a注：具有非负数才有算术平方根，而负数没有算术平方根.【典例】例1 （2020秋•辉县市校级期中）如果a是2021的算术平方根，则2021100的算术平方根是()A．10aB．100aC．10a±D．210a【方法总结】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．例2（2020春•威县期末）小辰想用一块面积为2100cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为290cm的长方形纸片，使它的长宽之比为5:3．小辰能否用这张正方形纸片裁出符合要求的纸片？若能请写出具体栽法；若不能，请说明理由．【方法总结】本题考查了一元二次方程的应用以及算术平方根，解题的关键是先求出所裁出的长方形纸片的长．【随堂练习】1．（2020 1.421267≈⋯≈⋯ 4.494441确到0.1)≈___________．2．（2020秋•滨湖区期中）已知21+-的算术平方根为4．a ba-的平方根为3±，31（1）求a、b的值；（2）求2+的算术平方根．a b知识点2 平方根开平方1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根，x=2，那么x叫做a的平方根.即如果a±”，读作“正、负根号a”正数a的平方根表示为“a2.平方根与算术平方根的区别与联系3.开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.开平方是一种运算，它与平方运算是互逆运算，开平方运算的结果就是平方根，我们就是利用开平方与平方的互逆运算关系求平方根.【典例】例1 （2020春•丛台区校级月考）求下列各式中的:(x )（1）29250x -=；（2）24(21)36x -=．A ．53x =和2x = B ．53x =-和2x =或1x =- C ．53x =±和1x =- D ．53x =±和2x =或1x =-【方法总结】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．例2 （2020秋•雁塔区校级月考）若x ，y 210y -=，【方法总结】本题考查了算术平方根以及平方根，解题时注意：一个正数的两个平方根互为相反数．【随堂练习】1．已知一个正数m 的两个不同的平方根是1a -与52a -，求a 和m 的值．2．（2020秋•滨湖区期中）已知21a -的平方根为3±，31a b +-的算术平方根为4．（1）求a 、b 的值；（2）求2a b +的算术平方根．知识点3 立方根1.一般地，如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 叫做a 的立方根或三次方根，这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方.3.理解立方根的概念需注意两点：（1）任意数a ；（2）判断一个数x 是不是某数a 的立方根，就看3x 是不是等于a.4. 立方根的性质（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 .（2）3333a a -=-（3）a a =33)(5.开立方：求一个数立方根的运算，叫做开立方.说明：开立方和立方互为逆运算，借助立方运算，我们可以求任意数的立方根. 【典例】例1 （2020秋•嵊州市期中）已知某正数的两个平方根分别是1-和4a -，12b -的立方根为2．（1）求a ，b 的值．（2）求a b +的平方根．【方法总结】本题主要考查了平方根与立方根，注意一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 例2 （2020秋•碑林区校级月考）已知21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4，求2a b +的立方根．【方法总结】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【随堂练习】1．（2020春•嘉陵区期末）如果37(1)18x -+=，试求x 的值．2．（2020春•鱼台县期末）正数x 的两个平方根分别是2a -，27a -．（1）求a 的值；（2）求1x -这个数的立方根．3．（2020春•盐池县期末）已知21a +的平方根是3±，324a b +-的立方根是2-，求458a b -+的立方根．综合运用1．（20200=，则2020()a b -的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．02．（2020a b +的值为______．3．（2020秋•金牛区校级月考）互为相反数，z 是64的平方根，求x y z-+的平方根．4．（2020春•潮安区期中）有一个边长为9cm 的正方形和一个长为24cm 、宽为6cm 的长方形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少厘米？5．（2020秋•宝应县期中）求下列各式中x 的值．（1）2(1)2x +=；（2）329203x +=．6．（2020秋•荥阳市期中）已知21x +的算术平方根是04，z 是27-的立方根， 求2x y z ++的平方根．7．（2020秋•吴江区期中）（1）若实数m 、n 满足等式|2|0m -，求23m n +的平方根；（2）已知8y8．（2020春•渝水区校级月考）已知一个正数m 的平方根为21n +和43n -．（1）求m 的值；（2）2|3|()0a c n --=，a b c ++的立方根是多少？。
2.2.1 算术平方根 北师大版数学八年级上册
课堂练习
【教材P27 随堂练习 第2题】
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=5，求AB的长.
解：根据勾股定理得 AB = AC2 BC2 52 32 34 .
课堂练习
【教材P27 随堂练习 第3题】
3.如图，从帐篷支撑杆AB的顶部A向地面拉一根绳子AC
固定帐篷.若绳子的长度为8m，地面固定点C到帐篷支撑
杆底部B的距离是6.4 m，则帐篷支撑杆的高是多少?
解：AC=8m，BC=6.4m， 根据勾股定理得AB = AC 2 BC 2 ， 得AB = 23.04 =4.8（m）， 即帐篷支撑杆的高是4.8m.
课堂练习
【教材P27 习题2.3 第1题】
读作： 根号 a
总
结
(1)算术平方根的双重非负性:①a≥0；② (2)算术平方根的性质： 一个正数的算术平方根是一个正数；
a. 0
0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运 算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求 非负数的算术平方根．
你能根据等式122=144，说出144的算术平方根是多少 吗？并用等式表示出来.
第二章 实数
2.2.1 算术平方根
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
课堂导入
我们以前学过： 若x2=a，则a叫做x的平方，反过来x叫a的什么呢？
12=__1_
22=__4_
32=__9_
_
1 2
2
=
1 ___4___
_
2 3
2
=
4_ ___9___
5 4
2
=
25 __1__6__
初中数学概念大全
1.1.15.2 求近似值的方法：①四舍五入法②收尾法（进一法）③去尾法。
1.1.15.3 有效数字的定义：一个近似数精确到哪一位，从左起第一个不是
0 的数字起，到这一位数字上
的所有数字（包括其中的 0）叫做这个近似值的有效数字。
1.2 实数
1.2.1 平方根
1.2.1.1 平方根的定义：如果一个数的平方等于，这个数就叫做
2.2.2.11 其他乘法公式：
① ② 2.2.3 因式分解
，等于这两个
2.2.3.1 因式分解的定义：把一个多项式化成几个单项式的积的形式，叫做多项式的因式分解。
2.2.3.2 因式分解的注意事项：因式分解要分解到不能再分解为止；因式分解与整式乘法互为逆运算。 2.2.3.3 公因式的定义：一个多项式的各项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式。
就是 0；负数没有平方根。
1.2.1.4 开平方的定义：求一个数的平方根的运算就叫做开平方（开平方和平方互为逆运算）
。
1.2.2 算术平方根
1.2.2.1 算术平方根的定义： 正数有两个平方根， 其中正数 a 的正的平方根叫做 的算术平方根， 记作 ， 读作 “根号 ”。
1.2.2.2 算术平方根的性质： ①具有双重非负性， 即： ≥0， ≥0② =a（ ≥0）③ =∣ ∣，当 ≥0时， = ∣
1.2.6.4 分母有理化定义：在分母含有根式的式子中，把分母中的根号划去的过程叫做分母有理化。
1.2.6.5 二次根式的混合运算：应按顺序先做乘方运算，再做乘除运算，最后做加减运算；若有括号，
应按小、中、大括号的顺序进行运算。 二、代数式 2.1 代数式
2.1.1 代数式的定义：用运算符号把数或字母连接而成的式子叫做代数式。
七年级下册数学期末考复习专题01平方根及立方根(知识点串讲)【含答案】
专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，a≥0．备注：20 ||00a aa a aa a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根练习1．（安徽四十二中中铁国际城校区初一期中）计算16的平方根为（）A．4±B．2±C．4 D．2±练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．3B．81C．3±D．81±例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）14的算术平方根是( )A．12±B．12-C．12D．116练习1．（六安市裕安中学初一期中）16的算术平方根是_____．练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。
例3．（·安徽初一期中）81的平方根是_________；364的算术平方根是_________.练习1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.二. 立方根1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根．记作：．2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．备注：①符号中的根指数“3”不能省略；②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（）A ．4B ．±4C ．8D ．±8练习1．（·淮南初一期中）下列说法中，不正确的是（ ） A ．8的立方根是2 B ．﹣8的立方根是﹣2 C ．0的立方根是0D ．64的立方根是±4练习2．（·北京市昌平区阳坊中学初二期中）8-的立方根是__________．例2．（合肥市第四十五中学初一期中）已知a +3和2a ﹣15是某正数的两个平方根，b 的立方根是﹣2，c 算术平方根是其本身，求2a +b ﹣3c 的值．练习1．（·淮南初一期中）已知5a 2+的立方根是3，3a b 1+-的算术平方根是4，c （1） 求a ，b ，c 的值；（2）求3a b c -+的平方根．练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值.例3．（安徽初一期中）求下列各式中x 的值：（1）2x 2＝4； （2）64x 3 + 27＝0专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，a≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根A试题分析：A、B、C、D都可以根据平方根和算术平方根的定义判断即可．解：A、﹣5是25的平方根，故选项正确；B、25的平方根是±5，故选项错误；C、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误；D、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误．故选A．练习1的平方根为（）A．4±B．2±C．4 D．B，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2±2，故选B．练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．3B．81C．3±D．81±C解：9的平方根是3±.故选：C.例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）14的算术平方根是( )A ．12± B ．12-C ．12D ．116C本题解析: ∵211()24=， ∴14的算术平方根为12+，故选C.练习1 _____． 2，4的算术平方根是2，2.练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是 。
深度研究算术平方根的双重非负性
深度研究算术平方根的双重非负性江苏海安紫石中学 黄本华 226600.0)a ≥具有双重非负性。
一是被开方数具有非负性，即0a ≥。
二是算0。
算术平方根的双重非负性应用十分广泛，有难度，容易错，因此只有深度研究算术平方根的这两个非负性，我们解题才能轻松自如。
一、确定字母的取值范围例1已知实数ａ满足2017a a -=，求22017a -的值。
【分析】要去绝对值就要确定a 的范围。
由被开方数20180a -≥可得。
【解答】20180a -≥，2018a ∴≥∴20170a -<，2017a a ∴-=∴2017=，∴220182017a -=220172018a ∴-=【点评】此题被开方数为非负数具有隐含性，挖掘出这个隐含性，是解题的关键。
二、确定最大值或最小值例2 （2017宁波）当x 取 时，的值最小，最小值是 ；当x 取 时，2﹣的值最大，最大值是 ．【分析】依据算术平方根的非负性可知当10+2x=0时，的值最小，当5﹣x=0时，2﹣的值最大．【解答】当10+2x=0时，的值最小，解得x=﹣5，此时的最小值为0． 当5﹣x=0时，即x=5时，=0，此时2﹣的值最大，最大值是2．【点评】熟练掌握算术平方根的非负性是解本题的关键．三、求字母的值例3 如果y=+3，试求2x+y 的值．【分析】观察到被开方数24x ﹣和24x ﹣互为相反数，而它们又必须都大于等于0，所以它们必须都为0。
从而求出x 的值。
【解答】由题意得，22404020x x x ≥⎧≥⎪≠⎩+⎪⎨﹣﹣，解得2x =，所以，3y =，所以，22237x y +=⨯+=．【评注】：如果一条题目中出现的两个被开方数互为相反数，则这两个被开方数数都为00a =。
例4 已知：=0，求：代数式的值．【分析】右边为0，左边分子是两个非负数的和，所以这两个非负数都必须为0．同时必须注意分母的7a +，既是被开方数，又在分母上，故70a +>，这样避免多解。
平方根的概念与性质
平方根的概念与性质平方根是数学中一个重要的概念，它广泛应用于各个领域。
在数学中，平方根是求一个数的平方的逆运算，可以将平方根定义为满足平方等于该数的非负数。
在讨论平方根的性质前，先来了解一下平方根的符号表示和计算方法。
在数学中，平方根通常用符号√来表示。
例如，√4表示4的平方根，它的值为2，因为2的平方等于4。
而√9则表示9的平方根，它的值为3。
在实际计算中，我们可以利用平方根的定义和公式进行求解。
在数学中，平方根具有以下几个重要的性质。
1. 非负性：平方根是非负数。
根据平方根的定义，如果一个数的平方根存在，则其平方根一定是非负的。
因为任意实数的平方都大于等于0，所以平方根的值不能是负数。
2. 唯一性：每个正数都有唯一的正平方根。
对于任意一个正数，它的平方根是唯一确定的。
例如，4的平方根是2，不存在其他正数的平方等于4。
3. 无理性：大多数数的平方根是无理数。
一个数的平方根如果不是整数，且不能表示为两个整数的比值，那么它就是一个无理数。
例如，2的平方根√2是一个无理数，它无限不循环地连续小数。
4. 代数性：平方根具有代数性质。
对于一个非负实数a和b，有以下代数性质成立：- 任意非负实数a，它的平方根可以表示为±√a。
- 平方根运算具有乘法运算的结合律，即√(ab) = √a * √b。
- 平方根运算具有除法运算的性质，即√(a/b) = √a / √b，其中b不等于0。
除了这些基本性质外，平方根还有一些其他的特性。
在几何学中，平方根的概念与求解直角三角形的边长密切相关。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于其他两条边平方的和。
因此，通过求解平方根可以得到直角三角形的边长。
在物理学中，平方根的概念与速度和加速度的关系密切相关。
加速度是速度对时间的变化率，而速度是位移对时间的变化率。
通过平方根运算，可以求解速度和加速度之间的关系。
在工程学和科学研究中，平方根还被广泛应用于信号处理和图像处理等领域。
典例精析类题典例_巧用算术平方根的两个“非负性”
【例2－3】 如果y＝ x2 4 4 x2 ＋2 013成立， x2
求x²＋y－3的值． 分析：由算术平方根被开方数的非负性知， x²－4≥0，4－x²≥0， 因此，x²－4＝0，即x＝±2； 又x＋2≠0，即x≠－2， 所以x＝2，y＝2 013，于是得解．
解：由题可知x²－4≥0，且4－x²≥0， ∴x²－4＝0，即x＝±2． 又∵x＋2≠0， 即x≠－2， ∴x＝2．
【例2－1】 若 x2 ＋y＝6，则x＝____0______， y＝_____6_____．
解析：由 x2有意义得x＝0，故y＝6． 【例2－2】 若|m－1|＋ n 5 ＝0，则m＝_____1_____， n＝____5______． 解析：根据题意，得m－1＝0，n－5＝0， 所以m＝1，n＝5． 注：若几个非负数的和为0，则每个数都为0.
将x＝2代入y＝ x2 4 4 x2 ＋2 013， x2
可得y＝2 013． ∴x²＋y－3＝2²＋2 013－3＝2 014．
【小结】由于初中阶段学习的非负数有三类，即一 个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平 方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问 题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．
2．巧用算术平方根的两个“非负性” 众所周知，算术平方根 a 具有双重非负性： （1）被开方数具有非负性，即a≥0. （2） a 本身具有非负性，即 a ≥0.这两个非负性形象、 全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问 题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖 掘出题目中隐含的这两个非负性，就可避免用常规方法造成 的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．
此类问题可以分成以下几种形式： （1）算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两 种组成一题〔| |时出现这三个内容〔| | ＋ ( ) ²＋ ＝0〕． （2）题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用 完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利 用非负数的性质进行计算．
二次根式双重非负性的运用
二次根式双重非负性的运用
在实数范围内，我们知道式子表示非负数ａ的算术平方根，它具有双重
非负性：（１）；（２）ａ≥０．运用这两个简单的非负性，再结合非
负数的性质“若几个非负数的和等于０，则这几个非负数都等于０”可以解决一些似乎无从下手的算术平方根问题．
例１已知＋＝０，求ｘ，ｙ的值．
分析：因为≥０，≥０，根据几个非负数之和等于０，
则每个非负数都等于０，可知，从而，解之，得ｘ＝－１，ｙ＝４．
例２若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿．
分析：因为≥０，≥０，故由非负数的性质，得
，两式相加，即得２ｂ－ａ＋１＝０．
例３已知实ａ满足，求ａ-2010的值．
解：由ａ-20110，得ａ2011。
故已知式可化为ａ-2010+=ａ，∴=2010，两边平方并整理，得：ａ-2010＝2011．
例４在实数范围内，求代数式的值．
解：考虑被开方数，得从而，又，故
＝０，ｘ＝４．∴原式＝１．
例５设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．
解：由ａ（ｘ－ａ）≥０及ｘ－ａ≥０得ａ≥０；由ａ（ｙ－ａ）≥０及ａ
－ｙ≥０得ａ≤０，故ａ＝０，从而已知式化为，ｘ＝－ｙ≠０，故原式＝＝.。
2.1 平方根(第1课时)教学设计
第二章实数2. 平方根（第1课时）彬州市新民镇初级中学--郑海宁一，教学目标：1，知识与技能了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．, 2，过程与方法经历概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．3，情感与态度让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．二，教学重点：了解算术平方根的概念，能求一个正数的平方根三，教学难点：了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根四，学法指导：类比乘方运算，发现算术平方根与乘方是互逆运算，利用这种关系归纳，总结算术平方根的特征以及求算术平方根的思路。
五，教学方法：创设问题情境，启发学生探究算术平方根与乘方是互逆运算，得到概念总结求算术平方根的解题过程。
六，教学用具：多媒体课件七，教学过程第一环节：问题情境方法一：问题导入内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大的正方形，那么有22=a ，a ＝ ，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若a x =2，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们一起来学习．方法二：问题导入内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：=2x ，=2y ，=2z ，=2w ．目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．效果：能表示22=x ，32=y ，42=z ，52=w ；能求得2=z ，但不能求得x ，y ，w 的值．说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．第二环节：初步探究内容1：情境引出新概念22=x ，32=y ，42=z ，52=w ，已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？ 目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．效果：学生可以估算出x ，y 是1到2之间的数，w 是2到3之间的数但无法表示x ，y ，w ，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？”内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=．目的：对算术平方根概念的认识．效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的． 内容3：简单运用 巩固概念例1 求下列各数的算术平方根：(1) 900； (2) 1； (3) 6449； (4) 14． 目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是14．效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．答案：解：(1)因为900302=，所以900的算术平方根是30，即30900=；(2)因为112=，所以1的算术平方根是1，即11=；(3)因为6449)87(2=，所以 6449的算术平方根是87， 即876449=； (4)14的算术平方根是14．内容4：回解课堂引入问题22=x ，32=y ，52=w ，那么2=x ，3=y ，5=w ．第三环节：深入探究内容1：例2 自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？目的：用算术平方根的知识解决实际问题．效果：学生多能利用等式的性质将29.4t h =进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．解：将6.19=h 代入公式29.4t h =，得42=t ，所以正数24==t (秒)．即铁球到达地面需要2秒．说明：强调实际问题t 是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的．内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a 中的a 是一个非负数，a 的算术平方根a 也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．第四环节：反馈练习一、填空题：1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；2．9的算术平方根是 ；3．2)32(的算术平方根是 ； 4．若22=+m ，则=+2)2(m ．二、求下列各数的算术平方根：36，144121，15，0.64，410-，225，0)65(． 三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？答案：一、1．7；2．3；3．32；4．16；二、6；1211；15；0.8；210-；15；1． 三、解：由题意得 AC ＝5.5米，BC ＝4.5米，∠ABC ＝90°，在R t △ABC 中，由勾股定理得105.45.52222=-=-=BC AC AB (米)．所以帐篷支撑竿的高是10米．目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．第五环节：学习小结内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：(1)算术平方根的概念，式子a 中的双重非负性：一是a ≥0，二是a ≥0．(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．第六环节：作业布置习题2.3四、教学设计反思1．细讲概念、强化训练要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质2，那么这个正数x就特征就是定义中指出的：“如果一个正数x的平方等于a，即ax叫做a的算术平方根，”的“正数x”，即被开方数是正的，由平方的意义，a也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.2．发展思维、适度拓展在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对a的双重非负性的知识进行适当的拓展.。
2022秋八年级数学上册第二章实数2.2平方根1算术平方根教案新版北师大版
2.2.1 算术平方根一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生刚学完《勾股定理》，通过本章第一节的学习，已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．学生活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》的第二节《平方根》．本节内容计2个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性，因此确定本节的教学目标如下：①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．三、教学过程设计本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．本节课教学流程为：第一环节：问题情境方法一：问题导入内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大的正方形，那么有22=a ，a ＝ ，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若a x =2，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们一起来学习．方法二：问题导入内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：问题情境 初步探究 反馈练习 学习小结 作业布置 深入探究=2x ，=2y ，=2z ，=2w ．目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．效果：能表示22=x ，32=y ，42=z ，52=w ；能求得2=z ，但不能求得x ，y ，w 的值．说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．第二环节：初步探究内容1：情境引出新概念22=x ，32=y ，42=z ，52=w ，已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？ 目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．效果：学生可以估算出x ，y 是1到2之间的数，w 是2到3之间的数但无法表示x ，y ，w ，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？”内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=．目的：对算术平方根概念的认识．效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的． 内容3：简单运用 巩固概念例1 求下列各数的算术平方根：(1) 900； (2) 1； (3) 6449； (4) 14． 目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是14．效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．答案：解：(1)因为900302=，所以900的算术平方根是30，即30900=；(2)因为112=，所以1的算术平方根是1，即11=；(3)因为6449)87(2=，所以 6449的算术平方根是87， 即876449=；(4)14的算术平方根是14． 内容4：回解课堂引入问题 22=x ，32=y ，52=w ，那么2=x ，3=y ，5=w ．第三环节：深入探究内容1：例2 自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？目的：用算术平方根的知识解决实际问题．效果：学生多能利用等式的性质将29.4t h =进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．解：将6.19=h 代入公式29.4t h =，得42=t ，所以正数24==t (秒)．即铁球到达地面需要2秒．说明：强调实际问题t 是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的． 内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a 中的a 是一个非负数，a 的算术平方根a 也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根． 第四环节：反馈练习一、填空题：1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；2．9的算术平方根是 ；3．2)32(的算术平方根是 ；4．若22=+m ，则=+2)2(m ． 二、求下列各数的算术平方根：36，144121，15，0.64，410-，225，0)65(． 三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？答案：一、1．7；2．3；3．32；4．16；二、6；1211；15；0.8；210-；15；1． 三、解：由题意得 AC ＝5.5米，BC ＝4.5米，∠ABC ＝90°，在R t △ABC 中，由勾股定理得105.45.52222=-=-=BC AC AB (米)．所以帐篷支撑竿的高是10米．目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．第五环节：学习小结内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：(1)算术平方根的概念，式子a 中的双重非负性：一是a ≥0，二是a ≥0．(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．第六环节：作业布置习题2.3四、教学设计反思1．细讲概念、强化训练要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，”的“正数x ”，即被开方数是正的，由平方的意义，a 也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.2．发展思维、适度拓展 在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对a 的双重非负性的知识进行适当的拓展.。
初中数学概念大全
初中数学概念大全1.1有理数1.1.1有理数的定义：整数和分数的统称。
1.1.2有理数的分类：（1）分为整数和分数。
而整数分为正整数、零和负整数；分数分为正分数和负分数。
（2）分为正有理数、零和负有理数。
而正有理数分为正整数和正分数；负有理数分为负整数和负分数。
1.1.3数轴1.1.3.1数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
1.1.3.2数轴的三要素：①原点②正方向③单位长度1.1.3.3每个有理数都能用数轴上的点表示1.1.4相反数1.1.4.1相反数的定义：只有符号不同的两个数就做互为相反数（注：0的相反数为01.1.4.2相反数的意义：离原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数1.1.4.3相反数的判别（1）若a+b=0，则a 、b 互为相反数（2）若两个数的绝对值相等，且符号相反，则这两个数互为相反数。
1.1.5倒数1.1.5.1倒数的定义：若两个数的乘积等于1，则这两个数互为倒数。
（若ab=1 ，则a、b互为倒数）注：零没有倒数。
1.1.6绝对值1.1.6.1绝对值的定义：在数轴上，表示一个数到原点的距离（a的绝对值记作∣a∣）1.1.6.2绝对值的性质：∣a∣≥01.1.7有理数大小的比较1.1.7.1正数大于0，负数小于01.1.7.2正数大于负数1.1.7.3两个正数，绝对值大的这个数就大，绝对值小的这个数就小；两个负数，绝对值大的这个数就小，绝对值小的这个数就大。
1.1.7.4作差法：两个有理数相减。
若大于0，则被减数大；若等于0，则两个数相等；若小于0，则减数大。
1.1.7.5作商法：两个有理数相除（除数或分母不为0）。
若大于1，则被除数大；若等于1，则两个数相等；若小于1，则除数大。
1.1.8有理数的加法1.1.8.1运算法则：①符号相同的两个数相加，取相同的符号，并把绝对值相加②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值（互为相反数的两个数相加等于0）③任何有理数加0仍等于这个数。
第一讲 平方根与算术平方根(解析版)
第一讲平方根与算数平方根目录必备知识点 (1)考点一平方根与算术平方根 (1)考点二算术平方根的双重非负性 (6)考点三平方根的性质 (7)必备知识点1.平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根，从定义可知，a≥0。
2.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。
从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。
3.正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
4.算术平方根的双重非负性①a≥0，②a≥05.平方根的性质①2(0)a a=≥aaaì==í-î()()aa<≥考点一平方根与算术平方根1．64的平方根是（ ）A．±4B．4C．±8D．8【解答】解：∵±8的平方都等于64；∴64的平方根是±8．故选：C．2．已知实数a的一个平方根是4，则它的另一个平方根是（ ）a知识导航A．2B．﹣2C．﹣4D．±2【解答】解：∵数a的一个平方根是4，∴a＝16，∴a的另一个平方根是﹣4，故选：C．3．已知2a﹣1和﹣a+4是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）A．9B．1C．7D．49或【解答】解：∵2a﹣1和﹣a+4是一个正数的平方根，∴①2a﹣1+4﹣a＝0，解得a＝﹣3，把a＝﹣3代入4﹣a得7，∴这个正数的值是49；②2a﹣1＝4﹣a，解得a＝，把a＝代入4﹣a得＝，∴这个正数的值是；故选：D．4．若x+3是9的一个平方根，则x的值为（ ）A．0B．﹣6C．0或﹣6D．±6【解答】解：∵x+3是9的一个平方根，∴x+3＝3或x+3＝﹣3，解得：x＝0或x＝﹣6．故选：C．5．下列说法正确的是（ ）A．4的平方根是2B．﹣4的平方根是﹣2C．（﹣2）2没有平方根D．2是4的一个平方根【解答】解：A、4的平方根是±2，故A错误；B、﹣4没有平方根，故B错误；C、（﹣2）2＝4，有平方根，故C错误；D、2是4的一个平方根，故D正确．故选：D．6．下列判断正确的是（ ）A．0.25的平方根是0.5B．﹣7是﹣49的平方根C．只有正数才有平方根D．a2的平方根为±a【解答】解：A、0.25的平方根是±0.5，故此选项错误；B、﹣7是49的平方根，故此选项错误；C、正数和0都有平方根，故此选项错误；D、a2的平方根为±a，正确．故选：D．7．下列说法中不正确的个数是（ ）①（﹣5）2的平方根是±5；②﹣a2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负；⑤0和1的平方根等于本身．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①（﹣5）2的平方根是±5，故①正确；②a＝0时，﹣a2有平方根，故②错误；③非负数a的平方根是互为相反数，故③错误；④负数没有平方根，一个正数的平方根有两个，互为相反数，故④错误；⑤0的平方根等于它本身，1的平方根是±1，故⑤错误；故选：D．8．若（x+2）2＝2，则x的值是（ ）A．+4B．﹣2C．+2或﹣2D．﹣2或﹣﹣2【解答】解：因为（x+2）2＝2，所以x+2＝±，所以x＝﹣2，或x＝﹣﹣2．故选：D．9．7的平方根是（ ）A．±B．C．D．14【解答】解：7的平方根是：±．故选：A．10．“的平方根是±”用数学式子可表示为（ ）A．＝±B．C．±＝±D．﹣＝【解答】解：，故选：C．11．“的平方根是±”用数学式表示为（ ）A．＝±B．＝C．±＝±D．﹣＝﹣【解答】解：“的平方根是±”用数学式表示为±＝±．故选：C．12．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（ ）A．±（m+1）B．（m2+1）C．D．【解答】解：由题意得：这个自然数a为：m2，比这个自然数大1的数为m2+1，即a+1＝m2+1故a+1的平方根用m表示为：±，故选：D．13．81的算术平方根是（ ）A．3B．9C．﹣3D．﹣9【解答】解：∵81＝92，∴81的算术平方根是9，故选：B．14．10的算术平方根是（ ）A．10B．C．﹣D．±【解答】解：∵10的平方根为±，∴10的算术平方根为．故选：B．15．的值是（ ）A ．﹣3B ．3或﹣3C ．3D ．9【解答】解：＝3．故选：C ．16．下列运算正确的是（ ）A ．＝4B ．﹣|﹣2|＝2C ．＝±3D ．23＝6【解答】解：A ．根据算术平方根的定义，，那么A 正确，故A 符合题意．B ．根据绝对值的定义，﹣|﹣2|＝﹣2，那么B 错误，故B 不符合题意．C ．根据算术平方根的定义，＝3，那么C 错误，故C 不符合题意．D ．根据有理数的乘方，23＝8，那么D 错误，故D 不符合题意．故选：A ．17．的平方根是（ ）A ．B ．C ．±2D ．2【解答】解：∵＝2，∴的平方根是±．故选：B ．18．的平方根是（ ）A ．B ．﹣C ．±D ．±【解答】解：＝，的平方根是±．故选：D ．19．下列叙述中，正确的是（ ）A ．a 的平方根是B ．（﹣a ）2的平方根是﹣aC ．一个数总有两个平方根D ．﹣a 是a 2的一个平方根【解答】解：A 、a 的平方根是±．故本选项错误；B 、（﹣a ）2的平方根是a 故本选项错误；C 、负数没有平方根．故本选项错误；D 、﹣a 是a 2的一个平方根．故本选项正确．故选：D ．考点二算术平方根的双重非负性20．已知|a﹣5|+＝0，那么a﹣b＝（ ）A．2B．3C．﹣2D．8【解答】由题意可得a﹣5＝0，b﹣3＝0，故a＝5，b＝3，所以a﹣b＝5﹣3＝2故选：A．21．若实数m，n满足（m﹣6）2+＝0，则的值是（ ）A．2B．2C．2D．4【解答】解：∵实数m，n满足（m﹣6）2+＝0，∴m﹣6＝0，n+2＝0，∴m＝6，n＝﹣2，∴＝＝＝2．故选：B．22．若y＝﹣6，则xy的值为（ ）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【解答】解：由题意，得x﹣≥0且﹣x≥0，所以x﹣＝0．所以x＝，则y＝﹣6，故xy＝×（﹣6）＝﹣3，故选：C．23．计算：（1）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简+|c﹣a|+；（2）已知x、y满足y＝，求5x+6y的值．【解答】解：（1）原式＝|a|+|c﹣a|+|b﹣c|＝﹣a+c﹣a+c﹣b＝﹣2a﹣b+2c；（2）由题意得：，解得：x＝±3，∵x﹣3≠0，解得：x≠3，∴x＝﹣3，则y＝﹣，∴5x+6y＝﹣16．24．已知a为实数，且b2++9＝6b；（1）若a、b为△ABC的两边，求第三边c的取值范围；（2）若a、b为△ABC的两边，第三边c＝5，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵b2++9＝6b，∴b2﹣6b+9+＝0，即（b﹣3）2+＝0，∴b﹣3＝0，a﹣4＝0，解得a＝4，b＝3，∵a、b为△ABC的两边，∴第三边c的取值范围为：1＜c＜7；（2）∵a＝4，b＝3，c＝5，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积为：×3×4＝6．考点三平方根的性质25．计算的结果是 4 ．【解答】解：＝＝4．故答案为：4．26．计算＝ π﹣3 ，＝ π﹣3 ．【解答】解：＝π﹣3，＝π﹣3．故答案π﹣3．27．求下列各式的值．（1）±＝ ±11 ；（2）﹣＝ ﹣0.8 ；（3）﹣＝ ﹣3 ；（4）﹣＝ ﹣14 ；（5）＝ 0.04 ；（6）＝ 0.04 ．【解答】解：（1）±＝±11；（2）﹣＝﹣0.8；（3）﹣＝﹣3；（4）﹣＝﹣14；（5）＝0.04；（6）＝0.04．故答案分别为±11，﹣0.8，﹣3，﹣14，0.04，0.04．28．若实数a、b、c在数轴上的位置如图，则化简＝ c ．【解答】解：由数轴可得出：a＜b＜0＜c，∴a+b＜0，b﹣c＜0，∴＝﹣a+（a+b）+c﹣b，＝c．故答案为：c．29．实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图，化简：＝ ﹣3a ．【解答】解：由题得，c＞0＞b＞a，∴＝﹣a﹣a﹣b+c﹣a+b﹣c＝﹣3a．故答案为﹣3a．。
算术平方根的双重非负性
算术平方根的双重非负性
算术平方根√a(a≥0)具有双重非负性，一是被开方数具有非负性，即a≥0；二是算平方根本身具有非负性，即√a≥0。
算术平方根的双重非负性还有两个特征，一是兼容性，二是隐含性。
算术平方根的性质
双重非负性
如果x=√a
那么：1.a≥0（若小于0，则为虚数）
2.x≥0
与平方根的关系
正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。
负数没有算术平方根。
算术平方根的产生
根号（即算术平方根）的产生源于正方形的对角线长度“根号二”，这个“根号二”的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。
因为按当时的权威解释（也就是毕达哥拉斯学派的学说），万物皆数（也就是说世界上所有的事物都可以用有理数来表示）。
对于这个无理数“根号二”，最终人们选取了用根号来表示。
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当x 取什么值时， 3 x 与 x 3 同时 有意义？
1、x为何值时，下列各式有意义：
(1) 5 3x
(2) x
x 1
考虑:
a a0
分母不为零
a 的非负性2：非负数的算术平方根
为非负数。
即：在 a 中， a 0。
见到式子 x 3 ( y 2)2 z 1 0 你有什么想法？
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分析：要求 x的值关键是求X、Y，
y
X 92和 y 25是一个什么数？
两个非负数相加和为0。
也就是说它们要分别为0。
解：x 92 0，y 25 0
又x 92 y 25 0
解得：
x90
y 25 0
x9 y 25
当x 9, y 25时
有意义。
5、若 2x 3 y 1 0，则x+y= .
见 a 想双重非负性
算术平方根 的非负性
a
a 0 a 0
二次根式：形如 a（a≥0）的式子，叫做二
次根式。
性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
性质 2：( a )2= a (a≥0)
a （a≥0）
性质 3： a2 = |a| = -a （a＜0）
练习：求下列二次根式中字母x的取值范围：
① 2x
② 2x 1
③ 3
x
④ x3 1 5 x
⑤ x2 3
下列各式中，不是二次根式的是（ B） 1
A． 45 B． 3 C． a2 2 D． 2
a 的非负性1：被开方数是非负数。 即：在 a 中，a 0。
当x 取什么值时， x 3有意义；
巩固
7、一个正数的算术平方根为a，则比这 个正数大3的数的算术平方根是( )
A a3 C a2 3
B a 3 D a2 3
6、已知a<0，则下列各式成立的是( )
Aa C a2
B a
D
a3
3、式子 1 3x 有意义，x的取值 范围是( )
A x1
3
C x1
3
B x1
3
D x1
解
：由
题意
得xx
y 4 0 2y 5 0
解方
程组
得yx
3 1
我们已学习了3种非负数，即绝对值、 偶数次方、算术平方根。几个非负数 的和为零，它们就同时为零，然后转 化为方程（或方程组）来解。
已知x、y都是实数，且x 92 y 25 0,求 x的值。
3
X 9 9 3 Y 25 25 5
（2）若 x 5 | y 5 | 0则x+y的 平方根 是0 ；
例3. 求使 x 1 x 1 有意义x的取值范 围.
例4.已知a、b满足等式 a 2 +︱b+5︱=0, 求a2-12b的算术平方根.
巩固
4、当x
时， 2x 3 3 2x
例2、已知： x 3 ( y 2)2 z 1 0 求 x2 y 2 z 2 的值。
非负性： a2 0 a 0 a 0
2、若 2x 3y 1 x y 2 0 ， 求 x y 的值。
例：已知 x y 4 x 2y 5 0，求x、y的值。