初等数论知识点汇总

第一节整数的p进位制及其应用

正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。

基础知识

给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为，则此数可以简记为：（其中）。

由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的次多项式，即，其中

且，像这种10的多项式表示的数常常简记为。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。

为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示：

，其中且。而仍然为十进制数字，简记为。

第二节整数的性质及其应用（1）

基础知识

整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。

1．整除的概念及其性质

在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。

定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作。

由整除的定义，容易推出以下性质：

(1)若且，则(传递性质)；

(2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。更一般，若都是的倍数，则。或着，

则其中；

(3)若，则或者，或者，因此若且，则；

(4)互质，若，则；

(5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则；

(6)(带余除法)设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。注意：共有种可能的取值：0,1，……，。若，即为被整除的情形；

易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。

若是正整数，则

；

若是正奇数，则；（在上式中用代）

(7)如果在等式中取去某一项外，其余各项均为的倍数，则这一项也是的倍数；

(8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数；

(9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；

2．奇数、偶数有如下性质：

(1)奇数奇数=偶数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝奇数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝偶数，奇数奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶

数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；

（2）奇数的平方都可以表示成的形式，偶数的平方可以表示为或的形式；

（3）任何一个正整数，都可以写成的形式，其中为负整数，为奇数。

（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。

3．完全平方数及其性质

能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：

（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；

（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；

（3）奇数平方的十位数字是偶数；

（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；

（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；

（6）平方数的约数的个数为奇数；

（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。

（8）设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若（）＝1，则都是整数的次方幂。一般地，设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若两两互素，则都是正整数的k次方幂。

4．整数的尾数及其性质

整数的个位数也称为整数的尾数，并记为。也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质：

（1）；（2）＝

；

（3）；（4）；

；

（5）若，则；（6）；

（7）；

（8）

5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论）

（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；

（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；

（3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；

（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能；

（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。

6．质数与合数及其性质

1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。

2．有关质（素）数的一些性质

（1）若，则的除1以外的最小正因数是一个质（素）数。如果，则；

（2）若是质（素）数，为任一整数，则必有或（）＝1；

（3）设为个整数，为质（素）数，且，则必整除某个（）；

（4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；

（5）任何大于1的整数能唯一地写成

①的形式，其中为质（素）数（）。上式叫做整数的标准分解式；

（6）若的标准分解式为①，的正因数的个数记为，则

。

第三节整数的性质及其应用（2）

基础知识

最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。