[研究生入学考试]高等数学二
2019年全国硕士研究生入学统一考试(高等数学二)真题及答案解析
y
=
g(x) 在 x
=
a 对应的点处相切且曲率相等的充
分但不必条件，应选(A).
(7)设 A 是4阶矩阵，A* 是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有2个向量，
则 r( A*) = ( )
(A)0
应选(B)。
(3)下列反常积分发散的是( )
∫ (A) +∞ xe−xdx 0
∫ (B) +∞ xe−x2 dx 0
【答案】D
+∞ arctan x
∫ (C) 0
1+ x2 dx
+∞ x
∫ (D) 0
1+ x2 dx
【解析】(方法一)
∫ ∫ 由 +∞ xe−xdx = Γ(2) = 1，得 +∞ xe−xdx 收敛；
=
a 处连续，则 lim x→a
f
(x) − g(x) (x − a)2
= 0 是曲线
y = f (x) 和 y = g(x) 在 x = a 对应的点处相切且曲率相等的( )
(A)充分非必要条件，(B)充分必要条件 (C)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件 【答案】A
【解析】若 lim x→a
∫∫ (5)已知平面区= 域 D
{(
x,
y)
||
x
|
+
|
y
|≤
π 2
}
，= 设 I1
D
x2 + y2 dxdy ， I2 =
∫∫ ∫∫ sin x2 + y2 dxdy ， I3 =(1− cos x2 + y2 )dxdy ，则( )
D
研究生入学考试数学二考试大纲
研究⽣⼊学考试数学⼆考试⼤纲研究⽣⼊学考试数学⼆考试⼤纲考试科⽬：数学⼆302考试内容：包含⾼等数学、线性代数题型及分值分布:【⾼等数学部分】⼀、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表⽰法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数；函数关系的建⽴；数列极限与函数极限的定义及其性质；函数的左极限和右极限；⽆穷⼩量和⽆穷⼤的概念及其关系；⽆穷⼩量的性质及⽆穷⼩量的⽐较；极限的四则运算；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：lim 0→∞sinx x =1，limx →∞(1+1x )x =e ；函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质；考试要求理解函数的概念，掌握函数的表⽰法，会建⽴应⽤问题的函数关系。
了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限的关系。
掌握极限的性质及四则运算法则。
掌握极限存在的两个准则，并会利⽤它们求极限，掌握利⽤两个重要极限求极限的⽅法。
理解⽆穷⼩量、⽆穷⼤量的概念，掌握⽆穷⼩量的⽐较⽅法，会⽤等价⽆穷⼩量求极限。
理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。
了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最⼤值和最⼩值定理、介值定理)，并会应⽤这些性质。
⼆、⼀元函数微分学考试内容导数和微分的概念；导数的⼏何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平⾯曲线的切线和法线；导数和微分的四则运算；基本初等函数的导数;复合函数、反函数、隐函数以及参数⽅程所确定的函数的微分法；⾼阶导数；⼀阶微分形式的不变性；微分中值定理；洛必达(L'Hospital)法则；函数单调性的判别；函数的极值；函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数图形的描绘；函数的最⼤值与最⼩值；弧微分；曲率的概念；曲率圆与曲率半径；题型⾼数线代概率总计选择题8 道 2 道0 道10 道填空题5 道 1 道0 道6 道计算题 5 道 1 道0 道 6 道Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js考试要求理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的⼏何意义，会求平⾯曲线的切线⽅程和法线⽅程，了解导数的物理意义，会⽤导数描述⼀些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
-高等数学二 (自命题)
604-《高等数学二(自命题)》考试大纲一、考试性质《高等数学二(自命题)》是为招收大气科学和地球物理学两个一级学科硕士研究生而设置的选拔考试。
它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报气象学、大气物理学与大气环境、固体地球物理学、空间物理学等专业的考生。
二、考试要求要求考生系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试方法和考试时间采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
四、试题结构计算题或证明题。
五、考试内容（一）函数、极限、连续1. 函数的基本性质2. 极限的定义、性质及计算3. 无穷小、无穷大的定义及比较方法4. 连续、间断的定义，闭区间上连续函数的性质（二）一元函数微分学1. 导数和微分的定义与几何意义2. 复合函数、隐函数和参数方程所确定的函数的求导3. 高阶导数、分段函数的导数、微分4. 罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理5. 函数的极值与最值6. 凹凸性、拐点及渐近线7. 洛必达法则（三）一元函数积分学1. 原函数、不定积分和定积分的概念2. 不定积分的换元积分法与分部积分法3. 定积分的性质、积分中值定理和牛顿－莱布尼茨公式4. 定积分的换元积分法与分部积分法5. 有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分6. 变上限积分函数的导数7. 广义积分（无穷限积分、瑕积分）8. 定积分的应用，包含计算平面图形的面积、质心、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、截面面积为已知的立体体积。
（四）向量代数和空间解析几何1. 向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)2. 投影、方向余弦3. 平面方程和空间直线方程4. 平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角与位置关系5. 点到直线的距离、点到平面的距离（五）多元函数微分学1. 二元函数的极限和连续2. 偏导数存在、可微、偏导数连续的定义与关系3. 偏导数(多元复合函数、隐函数)和全微分的计算4. 方向导数与梯度5. 曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线6. 多元函数的极值和条件极值（六）多元函数积分学1. 二重积分的性质与计算（直角坐标、极坐标）2. 三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）3. 两类曲线积分的计算及关系、格林公式4. 两类曲面积分的计算及关系、高斯公式、斯托克斯公式5. 多元函数积分学的应用，包括曲面的面积、物体的体积、曲线的弧长、物体的质量、质心、转动惯量和功等（七）无穷级数1. 常数项级数的基本定义与性质2. 正项级数判别法3. 莱布尼茨判别法、任意项级数4. 幂级数的收敛域、收敛半径、在收敛区间内的和函数5. 函数的幂级数展开式6. 傅里叶级数（八）常微分方程1. 微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的定义2. 变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、伯努利方程3. 降阶法、全微分方程4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理5. 二阶常系数线性微分方程、欧拉方程。
考研数学二的考试范围
考研数学二的考试范围概述考研数学二是研究生入学考试中的一门重要科目。
考生在准备考研数学二时，首先要了解考试的范围，以确定复习的重点和方向。
本文将介绍考研数学二的考试范围，帮助考生更好地备考。
一、高等数学1.极限与连续–数列极限与数列的收敛性–函数极限、连续的概念与性质–间断点与间断类型2.导数与微分–函数的导数与导数的概念与性质–可导函数与常用导数公式–高阶导数、隐函数与参数方程的微分3.微分中值定理与高阶导数的应用–罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理–泰勒公式与用泰勒公式解题4.幂级数与泰勒展开–幂级数收敛域、和函数性质以及收敛半径计算–函数的泰勒展开与用泰勒公式计算函数值5.重积分–二重积分与累次积分–二重积分的计算与应用–三重积分概念与计算方法6.曲线积分与曲面积分–第一类曲线积分与第一类曲面积分–第二类曲线积分与第二类曲面积分–曲线积分与曲面积分的计算与应用二、线性代数1.线性方程组–线性方程组的概念、解的充要条件以及解的表示–线性方程组解的结构性质–线性方程组的参数化表示2.矩阵与行列式–矩阵的基本概念与运算–矩阵的秩、逆矩阵与伴随矩阵–行列式的定义与性质3.线性空间–线性空间的定义与性质–子空间、维数与基–线性空间的同构与线性变换4.线性方程组的特殊解与通解–齐次线性方程组的解的结构–非齐次线性方程组的特殊解与通解5.特征值与特征向量–特征值、特征向量与特征方程–对角化与相似矩阵–线性变换的标准形三、概率论与数理统计1.随机事件与概率–随机事件的概念与运算–概率的公理化定义与性质–条件概率与乘法定理2.随机变量与概率分布–随机变量的概念与分类–离散型随机变量与连续型随机变量–二维随机变量与边缘分布3.随机变量的数字特征–数学期望与方差–协方差与相关系数–极限定理与大数定律4.抽样分布与中心极限定理–抽样分布的基本概念与性质–样本均值与样本方差的抽样分布–中心极限定理及其应用5.统计推断的基本方法–点估计与区间估计–假设检验基本原理与步骤–单总体参数检验6.多样本与拟合优度检验–多样本检验与方差分析–拟合优度检验与独立性检验总结考研数学二的考试范围主要包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分。
(完整版)2020年研究生入学考试数学二考试大纲
2020年数学二考试大纲考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等数学 约78%线性代数 约22%四、试卷题型结构单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理和泰勒（Taylor ）定理，了解并会用柯西(Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数的最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(),a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数平均值．考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：()(),(,)n y f x y f x y '''== 和 (,)y f y y '''=．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．。
2021年全国硕士研究生入学统一考试(高等数学二)真题及答案解析
dt
当=r 1= 0, h 5 时， dV = −100π , dS = 40π ，故选 C。
dt
dt
(4)设函数 f (x) = ax − b ln x, (a > 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是( ) a
(A) (e, +∞)
(B) (0, e)
(C) (0, 1) e
(D) (1 , +∞) e
故正确答案为 C。
1
∫ (7)设函数 f (x) 在区间[0,1] 上连续，则 f (x)x = ( ) 0
∑n 2k −1 1
(A) lim f ( )
n→∞ k =1
2n 2n
∑n 2k −1 1
(B) lim f ( )
n→∞ k =1
2n n
∑2n
(C) lim
f ( k −1) 1
n→∞ k =1 2n n
为( )
(A) 2, 0
(B)1,1
(C) 2,1
(D)1, 2
【答案】B。
【解析】 f (x1, x2 , x3 ) = (x1 + x2 )2 + (x2 + x3 )2 − (x3 − x1)2 = 2x22 + 2x1x2 + 2x2 x3 + 2x1x3
0 1 1 所以 A = 1 2 1 ，故特征多项式为
【答案】A
【解析】令 f (x) =ax − b ln x =0 ， f ′(x)= a − b ，令 f ′(x) = 0 得驻点 x = b ，
x
a
f ( b ) = a ⋅ b − b ⋅ ln b < 0 ，从而 ln b > 1，可得 b > e ，正确答案为 A。
2023年考研数二21题
2023年考研数二21题（实用版）目录1.考研数二 21 题的背景和重要性2.2023 年考研数二 21 题的具体内容和难度3.考生如何应对 2023 年考研数二 21 题4.考研数二 21 题对考生的启示和影响正文1.考研数二 21 题的背景和重要性考研数二，全称为全国硕士研究生入学统一考试数学二，是中国研究生入学考试的重要组成部分。
数二主要考察考生的数学基础知识和运用能力，是许多专业都要面临的重要考试科目。
其中，数二 21 题作为压轴题，其重要性不言而喻。
这道题目不仅考察考生的数学知识，还考察考生的思维能力和解题技巧。
因此，对于备考考研的考生来说，掌握数二 21 题的解题技巧和方法是非常重要的。
2.2023 年考研数二 21 题的具体内容和难度虽然我们无法提前知道 2023 年考研数二 21 题的具体内容，但我们可以通过分析历年的数二 21 题来推测其大致难度和题型。
一般来说，数二 21 题主要涉及高等数学、线性代数、概率论等数学基础知识，题型包括选择题、填空题、解答题等。
难度方面，数二 21 题通常具有一定的挑战性，需要考生具备较强的数学基础和解题能力。
3.考生如何应对 2023 年考研数二 21 题对于 2023 年的考研数二 21 题，考生可以从以下几个方面进行准备：（1）扎实掌握基础知识。
数二 21 题虽然难度较大，但仍然建立在扎实的数学基础上。
因此，考生需要认真复习高等数学、线性代数、概率论等基础知识，以便在解题时能够信手拈来。
（2）提高解题技巧。
考生可以通过刷题和参加模拟考试，不断总结和提高自己的解题技巧。
特别是对于数二 21 题这种综合性较强的题目，考生需要学会灵活运用所学知识，找到解题的突破口。
（3）加强心理素质。
考试不仅考察知识水平，还考察心理素质。
在面对数二 21 题这样的压轴题时，考生需要保持冷静，避免因为紧张而影响自己的发挥。
4.考研数二 21 题对考生的启示和影响考研数二 21 题对考生的启示主要体现在以下几个方面：（1）重视基础知识。
2018年高等数学二试题及完全解析(Word版)
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析（Word 版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1. 若()212lim1xx x eax bx →++=，则 （ ）（A ）1,12a b ==- （B ）1,12a b =-=- （C ）1,12a b == （D ）1,12a b =-= 【答案】(B )【解析】由重要极限可得()()()2222222112200111lim211lim lim 1(1)lim 1(1)x x x x xx x x x x e ax bx e ax bx x xe ax bx x x e ax bx e ax bx e ax bx e →→→++-++-•++-→=++=+++-=+++-=，因此， 222222001()12lim 0lim 0x x x x x ax bx x e ax bx x x→→++++++-=⇒=ο 22201()(1)()12lim 00,102x a x b x x a b x →++++⇒=⇒+=+=ο 或用“洛必达”：2(1)200012212lim 0lim lim 0222x x x b x x x e ax bx e ax b e a ax x ⇒=-→→→++-++++=⇒=======， 故 1,12a b ==-，选（B ）. 2. 下列函数中在0x =处不可导的是（ ）（A ）()sin f x x x = （B）()f x x =（C ）()cos f x x = （D）()f x =【答案】(D )【解析】根据导数定义，A. 000sin ()(0)limlim lim 0x x x x x x x f x f x x x→→→-===g ，可导；B. 000()(0)lim0x x x f x f x →→→-===, 可导； C. 20001cos 1()(0)2lim lim lim 0x x x x x f x f x x x→→→---=== ，可导；D. 20001122lim limx x x x x x→→→--== ，极限不存在。
全国硕士研究生考试大纲数学二
全国硕士研究生考试大纲数学二全国硕士研究生考试数学二科目主要内容包括：线性代数、数学分析、概率论与数理统计三个部分。
一、线性代数线性代数是数学中的一门基础学科，对于数学的其他分支以及应用科学具有极为重要的作用。
线性代数的主要内容包括向量空间、线性变换、特征值与特征向量等。
向量空间是线性代数的基础概念之一。
在向量空间中，研究向量的线性组合、线性相关与线性无关、基和维数等概念。
线性变换是一种特殊的函数，它将一个向量空间中的向量映射为另一个向量空间中的向量。
在线性变换的研究中，掌握矩阵表示和特征值与特征向量的求解方法十分重要。
二、数学分析数学分析是对数学基本概念和定理的更深入的研究和推广，是数学中的一门核心学科。
数学分析的主要内容包括极限、连续性、一元函数的导数与微分、一元函数的积分等。
极限是数学分析中的重要概念，通过极限的定义和性质，可以研究函数的收敛性和发散性。
连续性是一种函数的基本性质，研究函数的连续性可以帮助我们理解函数的性态。
导数与微分是对函数变化率的研究，通过导数和微分可以求解函数的最值和研究函数的凹凸性。
积分是函数的一个重要性质，通过积分可以求解函数的面积、弧长等。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是数学中的一门应用学科，主要研究随机现象的规律性和不确定性。
概率论的主要内容包括随机事件、概率、条件概率、随机变量等。
数理统计是对统计学中的概念和方法进行数学分析和推广，主要内容包括样本、样本分布、参数估计、假设检验等。
在概率论的学习中，需要掌握基本概念和公式，了解概率的计算方法和条件概率的应用。
随机变量是概率论中的重要概念，研究随机变量的分布函数、密度函数、期望、方差等可以帮助我们更好地理解随机现象。
数理统计是随机现象的定量分析方法，通过样本的收集和分析可以对总体进行推断。
综上所述，全国硕士研究生考试数学二科目的内容较为广泛，涵盖了线性代数、数学分析与概率论与数理统计三个部分。
熟练掌握这些知识和方法，将有助于加深对数学的理解和应用。
考研数学(二)题库(高等数学)-第七章 无穷级数【圣才出品】
n1
n1
n1
C．若正项级数 un 发散，则 un≥1/n n1
D．若级数 un 收敛，且 un≥vn（n＝1，2，3…），则级数 un 也收敛
n1
n1
【答案】A
1 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
【解析】因为 un ， vn 收敛，且 un2＋vn2≥2|unvn|，故级数 2unvn 也收敛。所
n1
1
cos
1 n
；
（2） 1n
1
；
n1
n ln n
（3）
n1
sin na n2
1 n
解：（1）该级数为正项级数，且
1－cos（1/n）～1/（2n2），又因为
n1
1 n2
收敛，
故原级数收敛。
（2）该级数为交错级数。因为|（－1）n/（n－lnn）|＞1/n，故该级数非绝对收敛。
n1
收敛，且|an（－3/2）n|≤|an|2n，故级数
n1
an
3
n
2
绝对收敛，故应选（A）。
二、填空题
1．设
f
x
2x, 4x,
x 0
将 f（x）作周期延拓，则所得傅里叶级数在 x＝π 点
0 x
收敛于______。
【答案】π
【解析】由狄利克雷收敛定理知，x＝π 是 f（x）的间断点，故傅里叶级数在 x＝π 点
【答案】1/3
【解析】
n1
3n
1
2 3n
1
1 3
n1
1 3n
2
1 3n 1
1 3
1
lim
n
1 3n
2005年全国硕士研究生入学考试数学二考试大纲.doc
2005年全国硕士研究生入学考试数学二考试大纲数学二[考试科目]高等数学、线性代数高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题的函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的基本概念。
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容。
导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数和微分的四则运算复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数的极值函数单调性的判别函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数．4. 会求分段函数的一阶、二阶导数．5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解柯西中值定理．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．10．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分广义积分定积分的应用考试要求1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解广义积分的概念，会计算广义积分．6．了解定积分的近似计算法．7．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数、隐函数求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。
2024研究生入学考试数学二
有关研究生入学考试“数学二”的考试内容
有关研究生入学考试“数学二”的考试内容如下：
研究生入学考试数学二主要包括高等数学和线性代数两部分内容。
具体来说，高等数学部分主要涉及函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学等方面的知识和能力。
线性代数部分主要涉及行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值和特征向量等方面的知识和能力。
在考试形式和题型上，数学二一般为填空题和解答题两种题型，其中填空题主要考察基本概念和基础知识的掌握程度，而解答题则主要考察考生对知识点的综合运用能力和解题技巧。
总体来说，研究生入学考试数学二的难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和较强的分析能力。
同时，考生还需要掌握各种题型的解题方法和技巧，以便在考试中灵活应对各种题目。
2024年研究生招生考试数学二
2024年研究生招生考试数学二考试大纲和考试内容涉及以下方面：
函数、极限和连续性：考察函数的基本性质、极限的概念及运算，函数的连续性与间断点等。
一元函数微分学：考察导数的概念、基本初等函数的导数、复合函数的导数、隐函数的导数、微分中值定理和洛必达法则等。
一元函数积分学：考察不定积分和定积分的概念、性质和基本运算，以及反常积分的概念和计算方法等。
多元函数微分学：考察多元函数的基本概念、偏导数和全微分，以及多元函数的极值等。
多元函数积分学：考察二重积分的概念、性质和基本运算，以及三重积分的概念和计算方法等。
常微分方程：考察常微分方程的基本概念、一阶常微分方程和二阶线性常微分方程的解法等。
无穷级数：考察正项级数、交错级数、幂级数和傅里叶级数的收敛性及求和法等。
高等数学2
高等数学不是难点万学海文全国硕士研究生入学统一考试数学考试的科目包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计（其中数学二对概率论与数理统计不做要求）。
在数学一、数学三的试卷中，三科所占的比重分别为56%、22%、22%。
在数学二试卷中，高等数学和线性代数分别占78%和22%的比例。
不难看出，高等数学在考研数学中举足轻重的地位。
对于现已进入备战2011状态的广大考生而言，只要找出高数的特点，针对这些特点高效地组织复习，能取得理想的成绩不是难事。
命题特点是复习计划制定的根本，就像是治病需要对症下药一样。
考研出题者年年都会在命题上想要有所创新，但是总归是“万变不离其宗”，变来变去考察的还是我们熟悉的知识点，只是考察的方式变换。
所以，掌握了命题规律是完全可能并且可行的，基于考研命题规律有针对性地制定复习计划、展开复习，这样比盲目复习效果好得多。
海文考研万学海文那么，高数的命题规律究竟是怎样的呢？海文考研命题研究中心的老师基于对最新考纲规定及近年命题规律的深入研究，发现以下一些现象：一、重视考察基础知识从数学考试大纲的考试要求看，要求考生比较系统地理解数学的基本概念、基本理论，掌握数学的基本方法，这个要求也是命题人的基本出发点；近几年考研真题来看，对基础知识的考察越来越多，占得分值也越来越大。
由此得出基础的决定性地位。
如果只从试卷的表面来看，似乎只是通过第一大题单选题及第二大道填空题来考核基础概念和理论。
但事实并不如此，后面的计算题和证明题如果没有基础做前提，分数还是拿不到。
所以抓住基础，也就抓住了重点。
把知识点系统归类到整体的知识框架中可以避免杂乱无章、毫无头绪的现象。
对于很多同学来说，在复习每一章时应将这一部分的知识点做系统的梳理，颇具难度因此，因此就更重视基础上知识点的理解以帮助知识点系统梳理。
海文考研万学海文二、重视考察综合能力在80年代末90年代初时，考查综合题比重较小，但近几年，综合能力的考查不但出现在大的计算题中，而且在单选题和填空题中也时见身影。
2020年全国硕士研究生入学统一考试(高等数学二)真题及答案解析
x = −1: lim f (x) = ∞ ，则 x = −1 为第二类间断点； x→−1
1
1
x=
0 : lim x→0
f (x) =
lim
x→0
e1− (ex
x ln(1+ x) −1)(x − 2)
=
lim e1−x ⋅ x x→0 x(x − 2)
=
−1 2e
，则 x = 0 为可 = ∞ ，则 x = 1 为第二类间断点； x→1+
1
2 arcsin
xd arcsin
x
0 x(1− x)
0 1− ( x)2
0
=
(arcsin
x= )2 |10
(= π )2 2
π2 4
故应选(A)
(4)已知函数= f (x) x2 ln(1− x) ，当 n ≥ 3 时， f (n) (0) = ( )
(A) − n! n−2
【答案】A 【解析】
(D)
sin3 tdt= , m
3= , n
2 ，则 n(m +1) =5
0
2
故应选(D)
1
(2)函数
f
(x)
=
e x−1 ln |1+ x | (ex −1)(x − 2)
的第二类间断点的个数为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【答案】C
【解析】由 f (x) 的表达式可知， f (x) 共有四个间断点，分别为
(B) n! n−2
(C) − (n − 2)! n
(D) (n − 2)! n
由 ln(1+ x) =x − x2 + x3 − + (−1)n−1 xn + ο (xn ) 2 3 n
考研数学考试大纲(数学一、二、三考试范围)
全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲数学一考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学 约56％线性代数 约22%概率论与数理统计22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限:0sin lim 1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(a,b)内，设函数f(x)具有二阶导数。
考研数学二重点
考研数学二重点数学二不考概率统计，微积分和线性代数各占一半，因此微积分和线性代数部分考试内容都很重要。
不过，由于各学校对各个部分的要求不同，因此在复习时应该有所侧重。
1、微积分部分微积分部分主要考察极限、导数、一元积分、多元函数极值等。
极限是微积分的基础，导数和一元积分是解决实际问题的工具，多元函数极值是微积分的核心。
因此，在复习时，要注重对基本概念和基本理论的理解和掌握，同时要熟悉一些常用的解题方法和技巧。
2、线性代数部分线性代数部分主要考察矩阵、行列式、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等。
矩阵是线性代数的核心，行列式是解决线性方程组的关键，矩阵的特征值和特征向量是研究矩阵的重要工具。
因此，在复习时，要注重对基本概念和基本理论的理解和掌握，同时要熟悉一些常用的解题方法和技巧。
3、考试重点数学二考试重点包括：极限的计算、导数的应用、一元积分的应用、多元函数极值的求解、矩阵的逆运算、行列式的计算、线性方程组的求解等。
在复习时，应该对这些重点进行深入学习和练习，同时要熟悉一些常用的公式和定理，以便在考试中能够快速准确地解决问题。
数学二考试要求考生全面系统地掌握微积分和线性代数的基本概念和基本理论，同时要熟悉一些常用的解题方法和技巧。
在复习时，应该注重对基本概念和基本理论的理解和掌握，同时要进行大量的练习，以便能够熟练地解决问题。
考研数学数学二试题一、选择题（每题5分，共20分）1、以下哪个选项不是线性方程组的解？（A）x1 = 2，x2 = 3（B）x1 = 1，x2 = 2（C）x1 = 0，x2 = -1（D）x1 = 1，x2 = 12、下列哪个函数在区间[0, ∞)上是单调递增的？（A）f(x) = x^2（B）f(x) = x^3（C）f(x) = 2x（D）f(x) = sin x3、下列哪个选项表示一个连续函数？（A）y = x^2 (x > 0)（B）y = sin x (x > 0)（C）y = e^x (x > 0)（D）y = ln x (x > 0)4、下列哪个矩阵不是对称矩阵？（A）1 2 3； 2 4 5； 3 5 6（B）1 0 0； 0 -1 -2； 0 -2 -3 （C）1 -2 3； -2 -4 -5； 3 -5 -6 （D）1 -2 -3； -2 -4 -5； -3 -5 -6二、填空题（每题4分，共16分）5、若一个矩阵的特征值分别为1，-1，2，则其行列式值为____。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
2.熟练掌握不定积分的基本公式。
3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。
4.熟练掌握不定积分的分部积分法。
5.掌握简单有理函数不定积分的计算。
[主要知识内容]（一）不定积分有关概念1.原函数定义设f（x）是定义在区间I上的一个己知函数，如果存在一个函数F（x），使得在区间I 上的每一点，都有则称F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数。
结论：如果f（x）在某区间上连续，则在这个区间上f（x）的原函数F（x）一定存在。
2.不定积分定义函数f（x）的全体原函数的集合称为f（x）的不定积分，记作并称为积分号，函数f（x）为被积函数，为被积表达式，x为积分变量。
如果F（x）是f（x）的一个原函数，即有，其中C为任意常数（积分常数）。
3.不定积分的性质⑴⑵⑶⑷（k为不等于0的常数）[典型例题]例1[9607]如果等式成立，则f（x）等于A.B. C. D.【答疑编号11030101】[解析] 本小题主要考查不定积分概念。
满分4分。
由不定积分的定义，有，即。
故选B.例2[0004]设cotx是f（x）的一个原函数，则f（x）等于A. csc2x B.-csc2x C.sec2x D. -sec2x【答疑编号11030102】[解析] 本小题主要考查原函数的概念。
满分4分。
由原函数的定义，有f（x）=（cotx）′=-csc2x。
故选B.例3[0304] f（x）=e-x的一个原函数是A. e-xB.e xC.-e-xD. -e x【答疑编号11030103】[解析] 本小题主要考查原函数的概念。
满分4分。
，所以f（x）=-e-x的一个原函数是-e-x。
故选C.例4[0403]设函数，则不定积分等于A. B.2e2x+C C.-2e2x+C D.e2x+C【答疑编号11030104】[解析] 本小题主要考查不定积分的基本性质。
满分4分。
故选D.（二）计算不定积分1.基本积分公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）2.不定积分法（1）直接积分法例1.求下列不定积分（1）【答疑编号11030105】[解析]（2）【答疑编号11030106】[解析]（3）【答疑编号11030107】[解析]（4）【答疑编号11030108】[解析]（5）【答疑编号11030109】[解析]【答疑编号11030110】例2[9904]等于A. B.C. D.【答疑编号11030111】[解析] 本小题主要考查简单函数求不定积分。
满分4分。
.故选A.例3[0322]设函数，求______。
【答疑编号11030112】[解析] 本小题主要考查先作函数式的变换，再求不定积分。
满分4分。
由，得,则（2）第一换元积分法若，且有连续的导数，则证:例1.[0111]______.【答疑编号11030201】[解析] 本小题主要考查凑微分法求不定积分。
满分4分。
解一：解二：常用的凑微分公式：①②③④⑤⑥①②③④⑤⑥⑦例2（1）[0218]计算【答疑编号11030202】[解析] 本小题主要考查凑微分法求不定积分。
满分6分。
（2）【答疑编号11030203】（3）【答疑编号11030204】例3.[0022]计算【答疑编号11030205】[解析] 本小题主要考查凑微分法求不定积分。
满分7分。
例4.[9822]计算【答疑编号11030206】[解析] 本小题主要考查凑微分法求不定积分。
满分6分。
（3）第二换元积分法如果是严格单调可导函数，且，又设具有原函数F（t），则有第二换元积分公式其中是的反函数。
常用的换元类型有：被积函数类型所用代换代换名称正弦代换正切代换根式代换例1.计算【答疑编号11030207】[解析] 本小题主要考查通过简单的根式代换求不定积分。
令，得，dx=2tdt，则有例2.计算【答疑编号11030208】[解析] 本小题主要考查通过简单的根式代换求不定积分。
令，得，，则有例3.计算【答疑编号11030209】[解析] 本小题主要考查通过三角换元（弦变）求不定积分。
令x=sint，得dx = costdt，则有例4.计算【答疑编号11030210】[解析] 本小题主要考查通过三角换元（切变）求不定积分。
令x=tant，得dx=sec2tdt，则有（4）分部积分法分部积分公式u,dv的选择主要有以下类型：类型u,dv的选择幂×指幂×弦令，令幂×对幂×反三令，令指×弦，令例1.计算【答疑编号11030301】[答] xsinx+cosx+C例2计算【答疑编号11030302】[答]例3[0120] 计算【答疑编号11030303】[答]例4计算【答疑编号11030304】[答]例5计算【答疑编号11030305】[答]例6[9921]计算【答疑编号11030306】[解析] 本小题主要考查凑微分法与分部积分法求不定积分。
满分6分。
例7[9621]【答疑编号11030307】例8[9821] 计算【答疑编号11030308】[解析] 本小题主要考查凑微分法与分部积分法求不定积分。
满分6分。
令，得， dx=2tdt，则有例9[9729]计算【答疑编号11030309】[答]例10[0224]设，求f（x）【答疑编号11030310】[解析] 本小题主要考查不定积分的基本性质与分部积分法求不定积分。
满分7分。
（5）简单的有理函数的不定积分例1[0422] 计算【答疑编号11030311】[解析] 本小题主要考查求简单有理函数的不定积分。
满分6分。
例2计算【答疑编号11030312】[解析] 本小题主要考查求简单有理函数的不定积分。
例3[9722]计算【答疑编号11030313】[解析] 本小题主要考查求简单有理函数的不定积分。
满分6分。
求不定积分的歌：微分积分逆运算，先后积微必还原，不定积分是求原函数，不加常数不算完，不定积分提限外，一表三法记心间，牢记基本积分表，通过求导可检验。
直接积分最基本，恒等变型需熟练，换原积分繁化简，积完分后再还原，第一换元最重要，能凑便凑最简单，第二换元不能凑，根式代换常出现，三角代换有两种，只需弦变与切变，分部积分未转化，确定dv是关键，幂指弦幂在前，幂对反后为先，指乘弦出循环，寻求规律抓典型，掌握技巧会再练，今日唱起积分歌，积分运算不算难。
第二节定积分及其应用[复习考试要求]1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件2.掌握定积分的基本性质3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。
4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。
7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。
[主要知识内容]（一）定积分有关概念1.定义设函数y=f（x）在区间 [a, b]上连续，用分点a=x0<x1<x2<……x n=b,将区间[a, b]分成n个小区间 [x i-1,x i]，其长度为在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点，作乘积，并求和设f（x）在区间 [a, b]上连续且f（x）≥0如果当n→∞，时，上述和的极限存在，且与对[a, b]的分法及的取法无关，则称此极限值为函数f（x）在区间[a, b]上的定积分，记作即并称f（x）在区间[a, b]上可积。
其中f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量，[a, b]称为积分区间，a称为积分上限，b称为积分下限。
由定积分的定义可以得到①②③2.定积分的存在定理（1）如果f（x）在区间[a, b]上连续，则f（x）在[a, b]上可积。
（2）如果f（x）在区间[a, b]上只有有限个有界间断点，则f（x）在[a, b]上可积。
3.定积分的几何意义定积分几何上表示由曲线y=f（x），直线x=a, x=b及x轴围成的各部分面积的代数和。
4.定积分的基本性质（1）。
（k为常数）。
（2）。
（3）。
（4）如果f（x）在区间[a, b]上总有f（x）≤g（x），则。
（5）（6）设M和m分别为f（x）在区间[a, b]上的最大值和最小值，则有（7）积分中值定理如果f（x）在区间[a, b]上连续，则在区间[a, b]上至少存在一点，使得（二）变上限定积分求导定理1.变上限定积分定义定义积分上限x为变量时的定积分称为变上限定积分。
变上限定积分是积分上限x 的函数，记作，一般有2.变上限定积分求导定理定理如果函数f（x）在区间[a, b]上连续，则有推论①②③3.原函数存在定理定理如果函数f（x）在区间[a, b]上连续，则是f（x）在该区间上的一个原函数。
例1[0003]设函数f（x）在区间[a, b]上连续，则下列结论不正确的是A.是f（x）的一个原函数B.是f（x）的一个原函数（a<x<b）C.是－f（x）的一个原函数（a<x<b）D.f（x）在区间 [a,b]上可积【答疑编号11030401】[答]A例2[0113] 设，则【答疑编号11030402】[答] arctanx例3[9912] 若，则【答疑编号11030403】[解析]本小题主要考查变上限定积分求导定理。
满分4分。
例4[9718]设试讨论f（x）在x=0处的连续性。
【答疑编号11030404】[解析] f（0）=2，∵f（0-0）≠f（0+0），∴f（x）在x=0处间断。
（三）计算定积分1.牛顿——莱布尼茨公式如果f(x)在区间[a,b]上的连续，且，则有例1.（1）设f(x)有连续导数，且f(a)=3, f(b)=5，则【答疑编号11030501】[答]2（2）[0606]【答疑编号11030502】例2．【答疑编号11030503】[解析]本小题主要考查用牛——莱公式计算定积分。
例3.己知，则k【答疑编号11030504】[答]30例4（1）[0221] 设函数，求【答疑编号11030505】[解析]本小题主要考查分段函数计算定积分。
（2）【答疑编号11030506】2.定积分的换元积分法换元积分定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，作变换满足：(1)当t在区间上变化时，的值在[a,b]上变化，且，；(2)函数在区间上单调且有连续的导数，则有上式称为定积分的换元积分公式。
例1（1）[0023]计算【答疑编号11030507】[解析]本小题主要考查用换元积分法计算定积分。