高等代数 典型例题与习题课第二章
《高等代数》第二章习题及答案
习题2.11. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有哪几个？A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答 只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-922147117②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛213321=()11④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0713********=()111813⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x=233323321331322322221221311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++3. 设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3101，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2③ (AB)T ④ A T B T解 ① (A+B)(A-B)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4040002062223101312131013121 ② A 2-B 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20829401114833101310131213121③ (AB)T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9643946331013121TT④ A T B T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112413011321131013121TT 4. 求所有的与A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011可交换的矩阵． 解 设矩阵B 与A 可交换，则B 必是2×2矩阵，设B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，令AB=BA ，即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111011d c b a d c b a 从而有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c c b a a d cd b c a 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=+=+dc d c c b a d b ac a解得，c=0，a=d ，b 为任意数．即与A 可交换的矩阵B 可写成B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a 0． 5. 设A ，B 是n ×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵．证 已知A 是对称矩阵，即A T =A ，从而 (B T AB)T =B T A T (B T ) T =B T AB ，所以B T AB 也是对称矩阵．6. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b 0，求A 2，A 3，…，A k．解A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222000b ab b b a b b a bA 3=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3232230020b ab b b a b b ab b …A k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----k k k k k k b kabb b a b b ab k b 112100)1(0 7.设B 是2×2矩阵．由B 2=02×2能推出B=0吗？试举反例．（提示：参见上题．） 解 不能．例如令B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000a ，当a ≠0时，B ≠0，但B 2=02×2． 8. 设A ，B 是n ×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2的充分必要条件是A 与B 可交换．证 充分性：若A 与B 可交换，即AB=BA ，则(A+2B)(A-5B)=A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-5AB+2AB-10B 2= A 2-3AB-10B 2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2 即 A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA9. 设A ，B 是n ×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换． 证 因A ，B 是n ×n 对称矩阵，即A T =A ，B T =B ．必要性：若AB 是对称矩阵，则(AB)T =AB ，有因 (AB)T =B T A T =BA ，从而AB= BA ，即A 与B 可交换．充分性：若A 与B 可交换，由必要性证明过程反图推，知AB 是对称矩阵．习题2.21.设A ，B ，C 是矩阵，且满足AB=AC ，证明：如果A 是可逆的，则B=C ．证 已知AB=AC ，两边左乘矩阵A -1，有A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C ，从而有EB=EC ，故B=C ．2.设P 是可逆矩阵，证明：线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．证 设X (1)是AX=β的任一解解，即有AX (1)=β成立，两边左乘矩阵P ，得PAX (1)=P β，说明X (1)也是PAX=P β的解．反之，设X (2)是PAX=P β的任一解，即有PAX (2)=P β成立，两边左乘矩阵P -1，得P -1 (PAX (2))= P -1 (P β)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有AX (2)=β，这说明X (2)也是AX=β的解．综合以上可知，线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．3.设P 是n ×n 可逆矩阵，C 是n ×m 矩阵．证明：矩阵方程PX=C 有唯一解．证 令X *=P -1C ，代入PX=C 中验证知X *是矩阵方程的一个解．反之，设X (1)是矩阵方程PX=C的任一解，即有PX (1)=C 成立，两边左乘P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程PX=C 有唯一解．4. 设A 是n ×n 可逆矩阵，且存在一个整数m 使得A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且(E-A)-1=E+A+…+A m-1．证 由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m =E-A m=E-0=E显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知(E-A)-1=E+A+…+A m-1．5.设P ，A 都是n ×n 矩阵，其中P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP)m =P -1A mP ．证 (P -1AP)m =(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE …AP=P -1A m P6. 设A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有(A+B)-1=A -1+B -1？若不是，试举出反例．解 如果A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001都是可逆的，但A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000是不可逆的． 如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B)-1=A -1+B -1．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001，则A ，B 可逆，A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2002可逆，且(A+B)-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2/1002/1，但A -1+B -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002．显然(A+B)-1≠A -1+B -1．7*.设A ，B 都是n ×n 矩阵，满足ABA=A ，β是n ×1矩阵．证明：当且仅当AB β=β时，线性方程组AX=β有解．证 当AB β=β时，记X *=B β，即X *是AX=β的一个解．反之，若线性方程组AX=β有解，设X (1)是它的一个解，即有AX (1)=β，两边左乘(AB)得(ABA)X (1)=AB β用已知条件ABA=A 代到上式左边得AX (1)=AB β 由于X (1)是AX=β的一个解，即AX (1)=β，所以AB β=β．习题2.31.用行和列的初等变换将矩阵A 化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000E 的形式： A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10030140300400001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---04000100301403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000040001403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000040000003000001→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000010000010000012.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵：①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----134112112 ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----153132543 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----100134010112001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102110011200001112→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011200102110001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02/12/110012/12/301002/12/1012→ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/3010112002→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/30102/12/11001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/112/12/32/12/11②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100153010132001543→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------101610013/23/73/10001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---131100032710001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------13110071850105154043 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1311007185010338724003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----131100718501011298001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1317185112982.解下列矩阵方程：①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111152X ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111201021121101X ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X解 ①⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111152→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11521111→⎪⎪⎭⎫⎝⎛---33701111 →⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7/37/3107/47/401 由此得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=7/37/37/47/4X ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101021111121201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---302120112220201101 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----414300112220201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3/43/13/41006/56/13/10103/23/13/1001 由此得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3/43/13/46/56/13/13/23/13/1X ③对等式两端分别转置得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--233141*********T X 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231013111141122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231014112231111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---520102330031111 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---233005201031111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3/21100520103/70011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3/21100520103/82001 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/21523/82TX⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020102B ，又X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程AX 2B=XB ，求矩阵X ．解 (B,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110010020001102→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10011002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12/1010002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/1001012/11002 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/100102/14/12/1001 从以上看出B 可逆，对AX 2B=XB 两边右乘B -1得AX 2=X ．已知X 可逆，对AX 2=X 两边右乘B -1得AX=E ．又(A,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101010111100001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111100101010001001 所以 X=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111010015.①证明：B 与A 行等价⇔存在可逆矩阵P ，使B=PA ．②证明：B 与A 等价⇔存在可逆矩阵P 与Q ，使B=PAQ ．证 若B 与A 行等价，即A 可经有限次初等行变换得到B ，而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对A 依次左乘初等方阵P 1，P 2，…，P K ，使P k …P 2P 1A=B令P=P k …P 2P 1，则P 是可逆矩阵，且B=PA ．反之，若存在可逆矩阵P ，使B=PA ，因为可逆矩阵P 可以写成一系列初等方阵P 1,P 2, …,P k的乘积，即P=P 1P 2…P k ，从而有B=P 1P 2…P k A ，说明A 可经有限次初等行变换得到B ，即B 与A 行等价．② 若B 与A 等价，即对A 经过有限次初等变换得到B ．而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初等方阵．假设对A 左乘的初等方阵依次为P 1，P 2，…，P s ，对A 右乘的初等方阵依次为Q 1，Q 2，…，Q t ，使P s …P 2P 1AQ 1Q 2…Q t =B令P=P s …P 2P 1，Q=Q 1Q 2…Q t ，则P ，Q 都是可逆矩阵，且B=PAQ ．反之，若存在可逆矩阵P 和Q ，使B=PAQ ，因为可逆矩阵P 和Q 均可以写成一系列初等方阵的乘积，设P=P 1P 2 …P s ，Q=Q 1Q 2…Q t ，这里P i ,Q i 都是初等方阵，从而有B=P 1P 2…P k A Q 1Q 2…Q t ，说明A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到B ，即B 与A 等价． 6*.设A 是s ×n 矩阵，B 是s ×m 矩阵，B 的第i 列构成的s ×1矩阵是βj （j=1,2,…,m ）．证明：矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解．证 先证必要性．如果矩阵方程AX=B 有解，设X *是它的解，则X *是n ×m 矩阵，记X *的第j 列为X *j ，根据矩阵先相乘的规则知，A 与X *j 相乘的结果是βj ，即X *j 是AX=βj 的解（j=1,2,…,m ）．再证充分性．若AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解，设X *j 是AX=βj 的解，这里X *j 是n ×1矩阵，令X *=(X *1, X *2,…,X *m )，则X *是n ×m 矩阵，且X *是矩阵方程AX=B 的解． 7*.设A=(a ij )是n ×n 矩阵．①证明：如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②设B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，设l ≠k ．证明：如果P n (l,k)B=BP n (l,k)，b l =b k ．③证明：如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，则A 是一个数量矩阵．证 ①如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则A 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (h(2))A 表示将矩阵A 的第h 行每个元素乘以2得到的矩阵；等式右端的AP n (h(2))表示将A 的第h 列每个元素乘以2得到的矩阵．从等式可知2a hj = a hj （j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），a ih =2a ih （i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），从而得a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②如果P n (l,k)B=BP n (l,k),则B 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (l,k)B 表示将矩阵B 的第l 行和第k 行交换位置；等式右端的BP n (l,k) 表示将矩阵B 的第l 列和第k 列交换位置．由于B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，且l ≠k ，不妨设l<k ，则有P n (l,k)B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n l k b b b b 001=BP n (l,k)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k lb b b b001比较对应元素，可知b l =b k ．③如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，在①中分别令h=1,2,…,n ，可知A 除对角线上元素以外其它元素都是零，即A 可写成diag(b 1, b 2,…, b n )；在②可令l=1，分别令k=2,…,n ，可知A 的对角线上元素都相等．习题2.41.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．求A 3． 解 A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+244221210A A A A A A A 3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+244221210A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++34242421221310A A A A A A A A A2.①设G=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得GBG=G ． ②设A 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得ABA=A ．证 ①构造n ×m 矩阵B 为B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ，则GBG=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE =G②设矩阵A 的秩为r ，则可经过有限次初等变换使A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE 的形式，即存在可逆的n ×n 矩阵P 和可逆的m ×m 矩阵Q 使PAQ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E =D ，即A=P -1DQ -1．定义n ×m 矩阵B 如下：B=QCP ，其中C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ．则有ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1=P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1= P -1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1=A3*.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4210A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．证明：如果A 1，A 4都是可逆的，则A 也是可逆的，进一步，求A 的逆矩阵．证 如果A 1，A 4都是可逆的，令B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A ，其中A 1-1，A 4-1分别是A 1，A 4的逆阵，B 2是s ×t 矩阵．令AB=E ，即有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s E A A B A E 014221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t s E E 00， 从而 A 1B 2+ A 2A 4-1=0，由此得B 2=-A 1-1A 2A 4-1．说明A 也是可逆的，且A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1414211110A A A A A。
高等代数第三版 (王萼芳 石生明 著) 课后答案 高等教育出版社
（3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。
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3
高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答
首都师范大学 数学科学学院 1100500070
28、（ 1）因为 ± 1 都不是它的根，所以 x2 +1在有理数域里不可约
（2）利用爱森斯坦判别法，取 p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。 （3）不可约 （4）不可约 （5）不可约
1100500070
20、证 因为 f（x）的导函数
所以
于是
从而 f（x）无重根。
21、证 因为
，
，由于 a 是
的 k 重根，故 a
是
的 k+1 重根。代入验算知 a 是 g（x）的根。所以 s-2=k+1 ⇒ s=k+3，即证。
22、证 必要性：设 x0 是 f（x）的 k 重根，从而是
的 k-1 重根，是
33
33
（3）u（x）=-x-1, v(x) = x3 + x2 − 3x − 2
⎧u = 0 ⎧u = −2 7、 ⎨⎩t = 2 或 ⎨⎩t = 3
8、思路：根具定义证明
证：易见 d（x）是 f（x）与 g（x）的公因式。另设 ϕ(x) 是 f（x）与 g（x）的任意公因式，下证
ϕ(x) d(x) 。
⎧ p +1+ m2 = 0
⎧⎪m(2 − p − m2 ) = 0 ⎧m = 0 ⎧q = 1
2、（ 1） ⎨⎩q − m = 0
，
（2）由 ⎨ ⎪⎩q
+1−
p
− m2
=
0
得
⎨ ⎩
p
=
q
+
考研必备高等代数第二章第八节
(1 2 ) ( 2 4 )
A 6 ( 1)
(1 2 ) ( 3 4 )
M6 M6 .
由拉普拉斯定理
D = M1 A1 + M2 A2 + … + M6 A6
1 0 2 1 1 0 2 1 4 1 4 1 1 3 0 1 1 0 3 1 1 3 1 3 1 0 2 1 1 2 1 2 0 1 1 2 4 1 3 1 1 0 1 0 3 1 0 1
*第八节 拉普拉斯 (Laplace) 定理 行列式的乘法规则
主要内容
定义 拉普拉斯定理
行列式的乘法定理
一、定义
这一节介绍行列式的拉普拉斯定理，这个定理
可以看成是行列式按一行展开公式的推广.
首先我们把余子式和代数余子式的概念加以
推广.
定义 9 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行
k 列 (k n) . 位于这些行和列的交点上的 k2 个元素 按照原来的次序组成一个 k 级行列式 M, 称为行列 式 D 的一个 k 级子式. 在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n - k 级行列式 M , 称为 k 级子式 M 的余子式. 从定义立刻看出，M 也是 M 的余子式. 所以 M 和 M 可以称为 D 的一对互余的子式.
(j1 - 1) + (j2 - 2) + … + (jk - k)
= (j1 + j2 + … + jk) - (1 + 2 + … + k)
次列变换.
用 D1 表示这样变换后所得的新行列式，那么
D 1 ( 1)
高等代数(北大版)第2章习题参考答案
第二章 行 列 式1. 求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3)9 8 7 6 5 4 3 2 1;解:1) 所求排列的逆序数为:()1011033110134782695=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
2) 所求排列的逆序数为:()1810345401217986354=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
3) 所求排列的逆序数为:()()36219912345678987654321=-=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
2.选择i 与k 使1) 1274i 56k 9成偶排列； 2) 1i 25k 4897成奇排列。
解: 1) 当3,8==k i 时, 所求排列的逆序数为:()()10011314001274856399561274=+++++++==ττk i ，故当3,8==k i 时的排列为偶排列.。
2)当6,3==k i 时, 所求排列的逆序数为:()()5110110101325648974897251=+++++++==ττk i ，故当6,3==k i 时的排列为奇排列。
3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换。
解: 12345()()()2534125431214354,35,22,1−−→−−−→−−−→−。
4.决定排列()211 -n n 的逆序数,并讨论它的奇偶性。
解: 因为1与其它数构成1-n 个逆序,2与其它数构成2-n 个逆序,……n n 与1-构成1个逆序,所以排列()211 -n n 的逆序数为()[]()()()时排列为奇排列。
当时，排列为偶排列；故当34,2414,4211221211++=+=-=+++-+-=-k k n k k n n n n n n n τ5.如果排列n n x x x x 121- 的逆序数为k ,排列121x x x x n n -的逆序数是多 少?解: 因为比i x 大的数有i x n -个,所以在121x x x x n n -与n n x x x x 121- 这两个排列中,由i x 与比它的 各数构成的逆序数的和为i x n -.因而,由i x 构成的逆序总数 恰为 ()()21121-=-+++n n n 。
高等数学 线性代数 习题答案第二章
第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。
即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 lim 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231n n n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=， 所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…； (2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。
高等代数II课习题课例题精讲(高清PDF)
→
0 2
1 1
0
0
，
0 0
1
−1
0
0
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即存在可逆阵 P ，使得
1 0 0 0
AP
=
0 2
1 1
0 0
0 0
.
1
−1
0
0
令 (γ1, γ 2 ,γ 3 ,γ 4 ) = (ε1,ε 2 ,ε3,ε4 ) P ，则γ1, γ 2 ,γ 3,γ 4 也是V 的一组基，因此
2
=
2 3 8 3 0
−4 3
− 16 3 1
10 3 40 3 −7
10
3
40
3 8
为线性变换σ 在基η1,η2 ,η3,η4 下的矩阵.
注 在求 B−1 时，可由已知两组基的关系容易解得
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ε1
=
η1
+
2 3
η2
+
2 3
η3
1 0 2 1
1 0 0 0
解（1）
设
A
=
−1 1
2 2
1 5
3 5
，
B
=
−2
0
3 −1
0 1
0 0
，显然
B
是可逆阵.
2
−2
1
−2
1
−1 1
2
由题意知 σ (ε1,ε2,ε3,ε 4 ) = (ε1,ε2 ,ε3,ε4 ) A ， (η1,η2,η3,η4 ) = (ε1,ε 2,ε3,ε4 ) B ，因此，
线性代数第二章习题及解答
··· ··· .. . ···
∗ ∗ . . .
2 a2 n1 + · · · + ann
(1)
(2)
2 2 由 A2 = 0 得到 a2 0 i1 + ai2 + · · · + ain = 0, i = 1, 2, . . . , n 于是 aij = ( ) 1 2 2 cos θ sin θ 8. 设 A = ,B = , C = 2 1 −2 − sin θ cos θ 2 −2 1
证明：|A−1 | =
|A| = ±1
1 |A|
注意到 A−1 的元素为正数所以其行列式必为整数， 即
1 |A|
为正数， 于是只有
若 |A| = ±1, 由于 A−1 = 整数.
A∗ |A|
注意到 Aij 为整数，于是 A∗ 的元素必为整数，则 A−1 的元素为
1 3 0 0 0
0 2
20 −1 −1 0 , P AP = 0 1 0 求 A 0 0 2 1 2 520 0 0 解：P AP −1 P AP −1 · · · P AP −1 = P A20 P −1 = 0 1 0 20 0 0 220 520 0 0 2 · 520 − 1 1 − 220 2 · 520 − 221 20 20 那么 A20 = P −1 2 · 520 − 221 0 1 0 P = 2 · 5 − 2 2 − 2 0 0 20 −520 + 1 −1 + 220 −520 + 221 19. 设 A, B, A + B 可逆， 证明 (A−1 + B −1 )−1 = A(A + B )−1 B
线性代数习题 第二章 (附详解)
线性代数习题 第二章 （附详解）第二章 矩阵及其运算【编号】ZSWD2023B0061 1 已知线性变换3213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解： 由已知221321323513122y y y x x x故3211221323513122x x x y y y321423736947y y y 321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换32133212311542322y y y x y y y x y y x 323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解： 由已知221321514232102y y y x x x321310102013514232102z z z321161109412316z z z所以有 3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设 111111111A150421321B 求3AB 2A 及A TB解：1111111112150421321111111111323A AB2294201722213211111111120926508503092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)127075321134解：127075321134 102775132)2(7111237449635(2)123)321(解：123)321( (1 3 2 2 3 1) (10)(3))21(312解： )21(31223)1(321)1(122)1(2632142(4)20413121013143110412 解：20413121013143110412 6520876(5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x 解：321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x(a 11x 1 a 12x 2 a 13x 3 a 12x 1 a 22x 2 a 23x 3 a 13x 1 a 23x 2 a 33x 3)321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a5 设3121A2101B 问(1)AB BA 吗? 解： AB BA 因为6443AB8321BA 所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗? 解： (A B)2A 22AB B 2因为5222B A52225222)(2B A2914148但 43011288611483222B AB A27151610 所以(A B)2A 22AB B 2(3)(A B)(A B) A 2B 2吗?解： (A B)(A B) A 2B 2因为5222B A1020B A906010205222))((B A B A而718243011148322B A 故(A B)(A B) A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A 20 则A 0解： 取0010A 则A 20 但A 0 (2)若A 2A 则A 0或A E 解： 取0011A 则A 2A 但A 0且A E (3)若AX AY 且A 0 则X Y 解： 取0001A 1111X1011Y则AX AY 且A 0 但X Y7 设101 A 求A 2A 3A k解：12011011012 A1301101120123 A A A101 k A k8 设001001A 求Ak解： 首先观察0010010010012A2220020123232323003033 A A A43423434004064 A A A545345450050105A A AkA k k kk k k k k k k 0002)1(121用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设k 时成立，则k 1时，0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k 由数学归纳法原理知k k k k k k k k k k k A 0002)1(1219 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B TAB 也是对称矩阵 证明： 因为A TA 所以(B TAB)TB T(B TA)TB T A TB B TAB从而B TAB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明： 充分性 因为A TA B TB 且AB BA 所以(AB)T(BA)TA TB TAB即AB 是对称矩阵必要性 因为A TA B TB 且(AB)TAB 所以AB (AB)TB T A TBA11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)5221 解：5221A |A| 1 故A 1存在 因为1225*22122111A A A A A故 *||11A A A1225(2)cos sin sin cos 解cos sin sin cos A |A| 1 0 故A 1存在 因为cos sin sin cos *22122111A A A A A所以 *||11A A Acos sin sin cos(3)145243121解145243121A |A| 2 0 故A 1存在 因为214321613024*332313322212312111A A A AA A A A A A所以 *||11A A A1716213213012(4)n a a a 0021(a 1a 2a n0)解 n a a a A 0021由对角矩阵的性质知n a a a A 1001121112 解下列矩阵方程 (1)12643152X解：126431521X1264215380232(2)234311*********X 解： 1111012112234311X0332321012343113132538122(3)101311022141X解： 11110210132141X2101101311421212101036612104111 (4)021102341010100001100001010X解： 11010100001021102341100001010X01010000102110234110000101020143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1) 3532522132321321321x x x x x x x x x解： 方程组可表示为321153522321321x x x故0013211535223211321x x x从而有 001321x x x(2) 05231322321321321x x x x x x x x x解： 方程组可表示为012523312111321x x x故3050125233121111321x x x 故有 305321x x x14 设A kO (k 为正整数) 证明(E A) 1E A A 2A k 1证明： 因为A kO 所以E A kE 又因为E A k(E A)(E A A 2A k 1)所以 (E A)(E A A 2A k 1) E由定理2推论知(E A)可逆 且 (E A) 1E A A 2A k 1证明 一方面 有E (E A) 1(E A)另一方面 由A kO 有E (E A) (A A 2) A 2A k 1(A k 1A k)(E A A 2 Ak 1)(E A)故 (E A) 1(E A) (E A A 2A k 1)(E A)两端同时右乘(E A) 1就有 (E A) 1(E A) E A A 2A k 115 设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆 并求A 1及(A 2E) 1证明： 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 即A(A E) 2E或 E E A A)(21 由定理2推论知A 可逆 且)(211E A A 由A 2A 2E O 得A 2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E或 E A E E A)3(41)2( 由定理2推论知(A 2E)可逆 且)3(41)2(1A E E A证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得 |A 2A| 2即 |A||A E| 2 故 |A| 0所以A 可逆 而A 2E A 2|A 2E| |A 2| |A|20 故A 2E 也可逆由 A 2A 2E O A(A E) 2EA 1A(A E) 2A 1E )(211E A A又由 A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E (A 2E)(A 3E) 4 E所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E) 4(A 2 E) 1)3(41)2(1A E E A16 设A 为3阶矩阵 21||A 求|(2A) 15A*| 解： 因为*||11A A A所以 |||521||*5)2(|111 A A A A A |2521|11 A A | 2A 1| ( 2)3|A 1| 8|A| 18 2 1617 设矩阵A 可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*) 1(A 1)*证明： 由*||11A A A得A* |A|A 1所以当A 可逆时 有|A*| |A|n|A 1| |A|n 10 从而A*也可逆因为A* |A|A 1所以(A*) 1|A| 1A又*)(||)*(||1111A A A A A 所以 (A*) 1|A| 1A |A| 1|A|(A 1)* (A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A| 0 则|A*| 0 (2)|A*| |A|n 1证明：(1)用反证法证明 假设|A*| 0 则有A*(A*) 1E 由此得A A A*(A*) 1|A|E(A*) 1O所以A* O 这与|A*| 0矛盾，故当|A| 0时 有|A*| 0(2)由于*||11A A A则AA* |A|E 取行列式得到 |A||A*| |A|n若|A| 0 则|A*| |A|n 1若|A| 0 由(1)知|A*| 0 此时命题也成立 因此|A*| |A|n 119 设321011330A AB A 2B 求B解： 由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故321011330121011332)2(11A E A B01132133020 设101020101A 且AB E A 2B 求B解： 由AB E A 2B 得(A E)B A 2E即 (A E)B (A E)(A E)因为01001010100|| E A 所以(A E)可逆 从而201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B 解： 由A*BA 2BA 8E 得 (A* 2E)BA 8E B 8(A* 2E) 1A 18[A(A* 2E)] 18(AA* 2A)18(|A|E 2A) 18( 2E 2A) 14(E A)14[diag(2 1 2)] 1)21 ,1 21(diag 4 2diag(1 2 1)22 已知矩阵A 的伴随阵8030010100100001*A 且ABA 1BA 13E 求B解： 由|A*| |A|38 得|A| 2由ABA 1BA 13E 得AB B 3AB 3(A E) 1A 3[A(E A 1)] 1A11*)2(6*)21(3A E A E103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中1141P2001 求A 11解： 由P 1AP 得A P P 1所以A 11A=P 11P 1. |P| 31141*P 1141311P而11111120 012001故31313431200111411111A6846832732273124 设AP P 其中111201111P511求 (A) A 8(5E 6A A 2) 解： ( ) 8(5E 6 2)diag(1 1 58)[diag(5 5 5) diag( 6 6 30) diag(1 1 25)] diag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 0 0) (A) P ( )P 1*)(||1P P P1213032220000000011112011112111111111425 设矩阵A、B 及A B 都可逆 证明A 1B 1也可逆 并求其逆阵证明： 因为A 1(A B)B 1B 1A 1A 1B 1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(A B)B 1可逆 即A 1B 1可逆(A 1B 1) 1[A 1(A B)B 1] 1B(A B) 1A26 计算30003200121013013000120010100121 解： 设10211A30122A 12131B30322B则 2121B O B E A O E A222111B A O B B A A而4225303212131021211B B A90343032301222B A 所以 2121B O B E A O E A 222111B A O B B A A9000340042102521即30003200121013013000120010100121900034004210252127 取1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A解：4100120021010*********0021010010110100101D C B A 而01111|||||||| D C B A 故|||||||| D C B A D C B A28 设22023443O O A 求|A 8|及A 4解： 令 34431A22022A则21A O O A A故 8218 A O O A A8281A O O A 1682818281810|||||||||| A A A A A464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆 求 (1)1O B A O解： 设43211C C C C O B A O 则O B A O 4321C C C Cs n E O O E BC BC AC AC 2143 由此得 s n E BC O BC O AC E AC 2143 121413B C O C O C A C所以O A B O O B A O 111(2)1B C O A解： 设43211D D D D B C O A 则s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121 14113211B D CA B D O D A D所以11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)2500380000120025 解： 设1225A2538B 则5221122511A8532253811B于是850032000052002125003800001200251111B A B A(2)4121031200210001 解： 设 2101A 4103B2112C 则1111114121031200210001B CA B O A BC O A411212458103161210021210001。
高等代数
0 0 0 0 0 0 3x x x 3x x x 3x x x 21 31 12 22 32 13 23 33 11
3 x13 x13 x13 3 x23 x23 x23 3x x x 33 33 33
i 1
s
也为V的子空间，称为 V1 ,V2 , ,Vs 的交空间.
二、子空间的和
1、定义
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a1 a2 | a1 V1 , a2 V2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间. 显然有, V1 V2 V2 V1 ,
则 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 线性无关，且任一 X C ( A) 均可由 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 线性表出. 故 C ( A) L( B1 , B2 , B3 , B4 , B5 ), 维C(A)＝5， B1 , B2 , B3 , B4 , B5 就是的一组基.
由B知，A的列向量线性无关，从而 1 , 2 , 3 线性无关. 故 1 , 2 , 3 为 L( 1 , 2 , 3 ) 的一组基.
1 2 1 又 2 1 3 0, 3 3 0
1 2 3 4 2 1 3 1 1 3 0 3 0 0 可逆 . 0 1
2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2、设 V1 ,V2 为线性空间V的子空间，则以下三
条件等价:
1) V1 V2 2) V1 V2 V1 3) V1 V2 V2
3、 1 , 2 , , s ; 1 , 2, , t 为线性空间V中两组
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
高等代数例题(全部)
高等代数例题第一章 多项式1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有231x mx x px q +-++2．45P 7 设32()(1)22f x x t x x u =++++，3()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、u 的值。
3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3x px q ++有重根的条件。
5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -6．46P 25 证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1nx -在复数域内和实数域内的因式分解。
8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。
求证：11((),())((),())f x g x f x g x =。
10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。
我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最小公倍式。
证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()()[(),()]((),())f xg x f x g x f x g x =。
11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2mn f x xx =+-所得余式为 。
《高等代数》课程习题 .doc
《高等代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）x x x x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x （5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）114300211321221---（3）500000000400030020001000 (4) dc b a 100110011001---. 4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）655565556 2.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a ab aba -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---谢谢观赏（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）3351110243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵 习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
高等代数2
和
a11 a12 La1n
a21 a22 La2n LLLLL an1 an2 Lann
= ∑ (−1) a a La τ (i1i2Lin )+τ ( j1 j2L jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
i1j1i2jL2 Lin jn
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高等代数第二章 行列式
§2.4 行列式的性质与计算
一般用 i ↔ j 写在等号上面表示交换第 i 行与第 j 行; 写在等号下面表示交换第 i 列与 第 j 列。
方法提示：计算行列式的基本方法——化行列式为三角形行列式。
0 1 1 −1 例 1 计算四阶行列式 1 0 2 1 。
−1 1 2 0 −2 0 1 1
（答案：1）
例 2 计算 n 阶行列式
高等代数第二章 行列式
第二章 行列式
§2.1 引言
高等代数的另一个重要概念是行列式。 它是一个形式化运算或表示数字运算结果的符 号形式。下面我们从简单的解方程组问题引进二阶和三阶行列式概念，再通过其定义中所涉
及的排列性质，找出规律，用来定义一般的 n 阶行列式。
设有一个二元线性方程组
⎧⎨⎩ aa1211xx11
（答案： a1a2a3 Lan−1an ⎜⎜⎝⎛1 +
1 a1
+
1 a2
+
1 a3
+L+
1 an−1
+
1 an
⎟⎟⎠⎞ ）
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高等代数第二章 行列式
二、 行列式按某行（列）展开
一般来说，低阶行列式的计算较高阶行列式要简单。 因此，我们自然要考虑能否用较 低阶行列式来表示高阶行列式的问题。为了研究这个问题，先引进行列式元素的余子式和代 数余子式的概念。
高等代数第二章课后习题
第 章 行列式 2
第二章 行列式
6.由行列式定义计算
2x x 1 2
f（x）= 1 3
x 1 -1 2x 1
1 11 x
中 x4 与 x3 的系数，并说明理由.
3
第二章 行列式
证明奇偶排列各半.
8.设
1
P(x)=
1 .
.
.
1
x
x2...xn-1
a1 a12 ...a1n-1 . .. . .. . ..
x4+5x5=1
2
第 章 行列式 3
1.如果排列 x1 x2...xn-1xn 的逆序数为 k 排列 xnxn-1...x2x1 的逆序数是多少？ 2.在 6 级行列式的展开式中，a23 a31 a a 42 56 a14 a65，a32 a43 a14 a51 a66 a25 这两项应带有什么符号？ 3. 写出 4 级行列式中所有带负号，并且包含因子 a23 的项 .
1）134782695； 2）217986354；
3）987654321.
2.选择 i 与 k 使 1）1274i56k9 成偶排列; 2）1i25k4897 成奇排列.
3.写出把排列 12435 变成排列 25341 的那些对换.
4.决定排列 n(n-1)…21 的逆序数，并讨论它的奇偶性 .
1
第二章 行列式
2由行列式性质求第二章行列式2464273271014543443342721621第二章行列式b1c1c1a1a1b1b2c2c2a2a2b2a1b1c1a2b2c21y第二章行列式第二章行列式第二章行列式第二章行列式第二章行列式第二章行列式第二章行列式第二章行列式5x
第二章 行列式
1. 决定以下九级排列的逆序数，从而决定他们的奇偶性。
行列式的基本计算方法—第二章习题课材料
a11 " # ak 1 " c11 " # cr1 " a11 " # ak 1 " 0 " # 0 " c11 " # ck 1 " b11 " # br1 " 0 " # 0 " # 0 # b11 " b1r br1 " b rr 0
a1k # akk c1k # crk a1k # akk 0 # 0 c1r # akr b1r # b rr a11 # ak 1 c11 # cr1
λ -1
例 计算 -2
-2
λ -5 -6 例 计算 1 λ
-1
二、抽象行列式的基本类型 抽象行列式的计算虽然在原则上也是将其化为上三角形或下三角形行列式来计算， 但情 形较数字行列式复杂的多. 今介绍几种基本的抽象行列式的处理方法. 类型 1 大多数元素为零的行列式 对这类行列式，一般先按行（列）展开，再观察规律. 例 计算下列行列式
# ai 2 " # an 2 "
a11 #
性质 3
a12 # # an 2
"
a1n # #
a11 # b1 # a n1
a12 # b2 #
" a1n # " bn + # ann
a11 # c1 # a n1
a12 " # c2 " # an 2 "
a1n # cn . # ann
b1 + c1 b2 + c2 " bn + cn = # a n1 " ann
5
3
−1
2 5 1 4 5
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数第二章课后习题
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
x1-m
x2
…
xn
x1
x2-m … xn
3）
.
.
.
.
. .
.
.
.
x1
x2
…
xn-m
第二章 行列式
第 章 行列式
2
1
第二章 行列式
5x1+6x2=1 x1+5x2+6x3=0 4） x2+5x3+6x4=0 x3+5x4+6x5=0
x4+5x5=1
2
第 章 行列式 3
ห้องสมุดไป่ตู้
a a ...a 2
n-1
n-1
n-1 n-1
其中 a1，a2，...，an-1 是互不相同的数. 1) 由行列式定义说明，p(x)是一个 n-1 次多项式;
2)由行列式性质,求 p(x)的根 .
4
1.计算下面的行列式:
第二章 行列式
246 427 327
1)
1014 543 443 ;
-342 721 621
1
第 章 行列式 2
第二章 行列式
6.由行列式定义计算
2x x 1 2
f（x）= 1 3
x 1 -1 2x 1
1 11 x
中 x4 与 x3 的系数，并说明理由.
3
第二章 行列式
证明奇偶排列各半.
8.设
1
P(x)=
1 .
.
.
1
x
x2...xn-1
a1 a12 ...a1n-1 . .. . .. . ..
高等代数作业第二章行列式答案
高等代数作业第二章行列式答案第二章行列式§1—§4一、填空题1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，52．四阶行列式44?=ija D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a3．设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =ΛΛΛΛΛΛΛ则._____122122211121=n n nnn na a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ(1)2(1)n n d -- 4．行列式11111111---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （）√2. 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则121112222121n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d （）×3. 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则d a a a a a a a a a nnn n n n-=112112122221ΛΛΛΛΛΛΛΛ（）×4.abcd zzz dy y c x b a =000000 ( ) √ 5.abcd dcx b y x a z y x-=000000 （）× 6.0000000=yxh gf e d c b a （）√7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。
（）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。
（）×9.n na a a a a a ΛN 2121= （）× 10. 0100002000010ΛΛΛΛΛΛΛΛΛnn -=n ！（）× 三、选择题1．行列式01110212=-k k 的充分必要条件是 ( ) D（A ）2=k （B ）2-=k （C ）3=k （D ）2-=k 或 32．方程093142112=x x 根的个数是( )C （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )A（A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a aa （C ）346542165321a a a a a a （D ）513312446526a a a a a a4. n 阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（）项 A（A ）2!n （B ）22n （C ）2n （D ）2)1(-n n5．若(145)11243455(1)k l k l a a a a a τ-是五阶行列式的一项，则l k ,的值及该项的符号为( )B （A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）3,1k l ==，符号为正；（D ）1,3k l ==，符号为负6．如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( )C（A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M 7．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D ( )C（A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24四、计算题1．计算3214214314324321解：3 2142143143243213 21421431432111110 =123012101 210111110------=4 40004001 210111110---=400004001 210111110---==1602. 计算311113111131 1113. 解：3111131111311113=3111 1311113111116?=2 000020000201 1116?=.48263=?高等代数第五次作业第二章行列式§5—§7一、填空题1. 设ij ij A M ,分别是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 02. 122305403-- 中元素3的代数余子式是 .6-3. 设行列式4321630211118751=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= .0,66- 4. 若方程组??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k . 2≠5. 含有n 个变量，n 个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解. 0≠ 二、判断题1. 若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于2n n -，则D=0 （）√2.222)(00000000a b b a a b b a ab -= （）√ 3.222)(00000000b a a b b a a b b a -= （）√4.0=d b a c d b c a b d c a b d a c （）√ 5.483111131111311113= （）√ 6.)(000000hx gy a yh fdx g e c b a -= （）× 7.0107310111187654321=--- （）√三、选择题1. 行列式102211321的代数余子式13A 的值是( )D（A ）3 （B ）1- （C ）1 （D ）2- 2．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )D（A ）行列式主对角线上的元素全为零（B ）行列式主对角线上有一个元素为零（C ）行列式零元素的个数多于n 个（D ）行列式非零元素的个数小于n 个3．若111111111111101)(-------=x x f ，则)(x f 中x 的一次项系数是( )D（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-4．4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于( )D（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a bb a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 5．如果122211211=a a a a ，则方程组 ??=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a 的解是( )B （A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =（B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x = （C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=6. 三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( )B（A ）3 （B ）7 （C ）–3 （D ）-77．如果方程组 ??=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则 k =( )C （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）3 四、计算题1. 计算D=10011001101aa aa ---解：方法1：100110011001aa a a ---21r r ?=a aa a 100110001011---21r ar +=aaa a a 1001100100112--+-32r r ?=aaa a a10101100112-+--232(1)r a r ++=aa a a a a 100120011001123-++--=aa a a 11223-++=.13)1()2(2423++=+++a a a a a a 方法2：将行列式按第一行展开，有：1001101101a aa a---=1011011010101a a a aa a-----=1]01111[2++---?a aaa a a=1])1([22++++a a a a a .1324++=a a 2. 计算12125431432321-=n n n D n ΛM M M M ΛΛΛ解：12125431432321-n n n ΛM M M M ΛΛΛ121)1(254)1(143)1(32)1(21212121-++++=n n n n n n n n n n ΛM M M M ΛΛΛ1 21125411431321)1(21-+=n n n n ΛM MM M ΛΛΛ11101111110321)1(21ΛMMM M ΛΛΛn nnn n --+=111111111)1(21ΛM M MΛΛn n n n n ---+=)1()1(0000111)1(121212)1(+-=---+=--n n n n n n n n n ΛM M MΛΛ3. 计算6427811694143211111解：6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(------=12= 4. 计算=n D 12111111111n a a a +++L L M M M L解：=n D 12111111111na a a +++LL M M MLna a a ΛM M M ΛΛ1101101121++=12111111+111a a ++LLM M ML1211--+=n n n a a a D a Λ).11(1 21∑=+=ni in a a a a Λ 5. 解方程：22x 9132513232x 213211--=0. 解：22x9132513232x 213211--=223310131000103211x x -----=2 23310131000103211)1(x x ----?-=223300130000103211)1(x x ----?-=22400130000103211)1(x x ---?-=223(1)(4)x x ---.2,1±±=∴x五、证明题1．证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 证明：2．设111,12,11,111211ΛΛM M M Λn n n n n a a a a a a D ---=，求证：n D D D D +++=Λ21，其中k D ()1,2,,k n =L 为将D 中第k 列元素换成121,,,,1n x x x -L 后所得的新行列式。
《高等代数》课程习题 .doc
感谢你的观看《高等代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）x x x x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x （5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）114300211321221---（3）500000000400030020001000 (4) dc b a 100110011001---. 4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：感谢你的观看（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）655565556 2.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n a a a a a a ---感谢你的观看（5）xaaa x a a a xΛΛΛΛΛΛΛ （6）abb a b a b a 000000000000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）3351110243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+ΛΛΛΛΛΛΛΛ212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵 习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
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例 11 设A为4 3矩阵, 且R(A)=2, 而
1 0 3 B 0 2 0,
1 0 3 解 因1 03
求R(AB).
B 0 2 0 12 0, 故B可逆.
1 0 3
于是 R(AB)=R(A)=2.
例 设
12 A
1 2
1 1
解
4 k
1 1 2 A 2 1 3
4 k 1
An 3n1 ' 3n1 2 1 2 / 3.
3 3 / 2 1
例 2 (1996年研究生入学试题) 设A=E–XX, 其中
E为n阶单位矩阵, X为n1的非零矩阵, 证明
(1) A2=AX X=1. (2) 当X X=1时, A为不可逆矩阵.
证明 (1) A2 = (E–XX )(E–XX ) = E –2XX +X(X X)X = E +(X X –2)XX
位矩阵, 则AB=_______C__.
(A) 0 (B) –E (C) E (D) E+ αα
练习 设矩阵A, B满足 AP = PB, 且
1 0 0
1 0 0
B 0 0
0 , P 2
1
0,
求An.
0 0 1
2 1 1
解 因为|B|=0, |P|= –1, 所以B不可逆, P可逆, 且
练习1 设A为n阶正交矩阵, B为n阶反对称矩阵.
化简A (A–1 –B)–1 (A–1B+E).
练习2 若A满足A2+6A+8E=0且A=A, 则A+3E 为正交矩阵. 练习3 若A, B均为n阶正交矩阵, 则分块矩阵
A 0 也是正交矩阵. 0 B
作业题 2-29；2-31；2-32
a1
A
a2
,
B b1 b2 bn
则
an
a1b1
AB
a2b1
a1b2
a2b2
a1bn
a2bn
,
anb1 anb2 anbn
BA
(b1a1
b2a2
bnan
)
n
btat
.
t 1
例 1 已知α=(1, 2, 3), β=(1, –1, 2),
A=α β, B=βα , 求A, B, A4.
当n=2k时,
1 0 0 6 1 1
B2k 0 0 0,
0 0 1
故
1 0 0
1 0 0
A2k P 0 0 0P 1 2 0 0.
0 0 1
2 1 1
关于逆矩阵的计算
例3
已知A6=E, 求A11.
其中 A
12 32
1
3 2
2.
解
A11 = A12A–1 =A6•A6 •A–1 = A–1
A B 化为上(下)三角形分块矩阵, C D
然后利用Laplace定理求对应行列式.
A–1 A B C D
E A1B
C
D
–C
E
A1B
0 D CA1B
即 E 0 A1 0 A B C E 0 E C D
E
A1B
.
0 D CA1B
两端取行列式, 由Laplace定理得
练习 设
a11 a12 a13
a21 a22 ka23 a23
A a21 a22 a23 , B a31 a32 ka33 a33 ,
a31 a32 a33
a11 a12 ka13 a13
0 1 0
1 0 0
P1 0 0 1, P2 0 1 0, 则A=__A____.
另外, 本例可用行列式来进行判断.
令
1 1 2
A 2 1 3 0 解得 k=17.
4k1
所以, k=17时, R(A)=2< 3; k 17时, R(A)=3.
对称矩阵与反对称矩阵、正交矩阵
在证明与计算化简中, 灵活运用它们的定义 及性质.
例 13 A可逆, 若A*对称, 则A, A–1对称.
A1 A B D CA1B , CD
A
B A D CA1B AD ACA1B
CD
AD CAA1B AD CB .
练习 设A, B, C, D为n阶方阵, 证明
AB AB AB.
BA
证 A B E B A
A
B
B A A B
–E
A B B .
即
0 A B
E 0 A B E 0 A B B . E E B A E E 0 A B
1 0 0
0 k 1
(A) P1–1BP2–1
(B) P2–1BP1–1
(C) P1–1P2–1B
(D) BP2–1P1–1
例 9 (1997年研究生入学试题) 设A为n阶可逆 矩阵, B为A的第i, j行互换得到的.
(1) 证明B可逆. (2) 求AB–1.
证 |B|= –|A|0.
B=P(i, j)A AB–1=[P(i, j)]–1 AB–1=P(i, j).
证 ( A1 ) ( 1 A*) 1 ( A*) 1 A* A1.
A
A
A
A (( A1 )1 ) (( A1 ))1 ( A1 )1 A.
例 14 若A为正交矩阵, 则A*也是正交矩阵.
证 A*(A*) =|A|A–1(|A|A–1) =|A|2A–1(A–1)
= A–1(A–1) =AA=E.
5. 若A为正交矩阵, 则A–1 = AT
6. 初等矩阵的逆：P(i, j )–1 = P(i, j ); P(i(k))–1 = P(i(1/k)); P(i (k), j )–1 = P(i (–k), j )
7. 准对角形矩阵的逆
A11A11 NhomakorabeaA2
As
A1 1
A2
As
2 3, 1
当k取何值时, 当k取何值时,
R(A)=3; R(A)<3.
1 1 2 0 3 1 0 k 4 7
1 1
2
0
0
3 0
7
1 k
4
3
所以, 当 7 k 4 0, 即k=17时, R(A)=2<3. 3
当 7 k 4 0, 即k = 17时, R(A)=3. 3
1 0 0
P 1 2 1 0.
4 1 1
1 0 0
等式两边右乘P–1 得
A
=
PBP–1
2 6
0 1
0 . 1
而 An = (PBP–1)(PBP–1)…(PBP–1)= PBnP–1.
当n=2k+1时, B2k+1=B,
1 0 0
故
A2k1 PBP 1 A 2 0 0
1 2
3 2.
3 2 1 2
例 4 (1996年研究生入学试题) 设四阶矩阵
1 1 0 0
2 1 3 4
B
0 0
1 0
1 1
01,
C
0 0
2 0
1 2
13 ,
0 0 0 1 0 0 0 2
且矩阵A满足关系式A(E–C–1B)C =E, 化简此
式并求A.
解 A(E–C–1B) C = A[C(E–C–1B)]
A1 1
A 1 2
A1
2
As1
A1 s
.
与伴随矩阵相关的公式 1. AA*=A*A=|A|E 2. (A*)T= (A T)*, (kA)* = kn –1A*
设A可逆,
3. A*=|A| A–1, 4. (A*)–1 = (A–1)* = |A|–1A 5. (AB)* = B*A* 6. (A*)* =|A|n–2A
方阵的行列式
1. |AB| = |A| |B| 2. |A1A2…An| = |A1| |A2 | … |An| 3. |AT | = |A|, |A–1 | = |A|–1 4. |kA|n= k n |A| 5. |A* |n = |A|n–1
三 典型例题
一行一列矩阵在矩阵乘法中的应用
若
aaa1
因此 a 1 且a1时, R(A)=4. 3
a 1或a 1时, A 0. 3
当a=1时, 显然R(A)=1;
当 a 1 R(A)=3. (初等变换)
3
练习
若矩阵
1 1
1
a 1 0
1 a 1
2 2 2
的秩为2, 则
a =__B____.
(A) 0 (B) 0或 –1 (C) –1 (D) –1或1
两边取行列式, 利用Laplace定理即可.
初等矩阵与初等变换
注意初等变换与初等矩阵的对应关系:
对矩阵进行初等行(列)变换相当于在矩阵的 左(右)边乘以对应的初等矩阵.
例 8 (1995年研究生入学试题) 设
a11 a12 a13
a21
a22
a23
A a21 a22 a23 , B a11
a12
a13 ,
a31 a32 a33
a31 a11 a32 a12 a33 a13
0 1 0
1 0 0
P1 1 0 0, P2 0 1 0, 则必有__C____.
0 0 1
1 0 1
(A) AP1P2=B (C) P1P2A=B
(B) AP2P1=B (D) P2P1A=B
与矩阵的秩相关的问题
1. 求秩的方法: 定义与初等变换.
2. 相关公式：
(1) R(A)=R(AT).
n, R( A) n
(2) 对n阶方阵A, R( A*) 1, R( A) n 1.