非线性格兰杰因果关系在计算神经科学的应用

ｘ＝Ｈ１１·!（１ Ｘ） ＋Ｈ１２·!（２ Ｙ） ＋Ｈ１３·!（３ Ｚ） ＋ε４
（ １０）
ｙ＝Ｈ２１·!（１ Ｘ） ＋Ｈ２２·!（２ Ｙ） ＋Ｈ２３·!（３ Ｚ） ＋#４
（ １１）
ｚ＝Ｈ３１·!（１ Ｘ） ＋Ｈ３２·!（２ Ｙ） ＋Ｈ３３·!（３ Ｚ） ＋&４
（ １２）
模型（ １０） 中误差项的方差为 ｖａ（ｒ ε４） ＝!４。模型（ ７） 表示在变量 Ｚ
２２
心， %ｘ 、%ｙ 表示数据｛ｘｔ｝， ｔ＝１， ２， … ， ｎ 和｛ｙｔ｝， ｔ＝１， ２， … ， ｎ 的 方 差 。 模 型（ １） 表 示 时 间 序 列 Ｘ 现 在 的 行 为 ｘｋ 可 以 用 Ｘ 过 去 的 行 为 Ｘｋ 的某个非线性函数来估计， 估计误差的方差为 !１。如果将数 据｛ｘｔ｝， ｔ＝１， ２， … ， ｎ 和｛ｙｔ｝， ｔ＝１， ２， … ， ｎ 结 合 起 来 考 虑 ， 有 如 下 的 非线性互回归模型：
ＦＹ→Ｘ＝０。若 Ｙ 是 Ｘ 的因， 则 !１＞!２， ＦＹ→Ｘ＞０。类似可以定义 Ｘ 对 Ｙ
因果关系的度量为：
ＦＹ→Ｘ＝ｌｎ
$１ $２
如果 ＦＹ→Ｘ＝０， 则 Ｘ 不是 Ｙ 的因， 否则认为 Ｘ 是 Ｙ 的因。
３ 多变量非线性偏相关因果关系
我们知道如果模型中有多于两个变量， 由于变量之间的相
互作用， 不能对变量两两直接使用普通格兰杰因果关系， 而要 用 偏 相 关 因 果 关 系［６］进 行 分 析 才 能 得 到 变 量 之 间 真 实 内 在 联 系 。
王一夫， 陈松乔： 非线性格兰杰因果关系在计算神经科学的应用
２００７， ４３（ ３６） ４９
ｘ＝Ｗ１·!（１ Ｘ） ＋ε１， ｖａ（ｒ ε１） ＝!１
（ １）
ｙ＝Ｗ２·!（２ Ｙ） ＋#１， ｖａ（ｒ #１） ＝$１
（ ２）
其 中 ε１ 和 #１ 表 示 估 计 的 误 差 ， Ｗ１、Ｗ２ 是 拟 合 模 型 的 参 数 ， !１、
的调整下， Ｘ 现在的行为 ｘｋ 可 以 用 Ｘ 过 去 的 行 为 Ｘｋ 的 某 个 非
线性函数来估计， 估计误差为 !３， 方 程（ １０） 表 示 在 变 量 Ｚ 的 调
整下， Ｘ 现在的行为 ｘｋ 可以 用 Ｘ 过 去 的 行 为 Ｘｋ 的 某 个 非 线 性
函数结合 Ｙ 过去的行为 Ｙｋ 的某个非线性函数来估计， 估计误
差 为 !４， 如 果 !４ 的 方 差 比 !３ 的 方 差 小 ， 则 意 味 着 在 变 量 Ｚ 的 调整下， 拟合模型（ １０） 中加 入 Ｙ 可 以 使 拟 合 精 度 提 高 ， 从 而 认
为在变量 Ｚ 的调整下， Ｙ 是 Ｘ 的因， 类似两变量下的格兰杰因
４８ ２００７， ４３（ ３６）
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ 计算机工程与应用
非线性格兰杰因果关系在计算神经科学的应用
王一夫 １， ２， 陈松乔 ２ ＷＡＮＧ Ｙｉ－ ｆｕ１， ２， ＣＨＥＮ Ｓｏｎｇ－ ｑｉａｏ２
１．湖南师范大学 数学与计算机科学学院， 长沙 ４１００８１ ２．中南大学 信息科学与工程学院， 长沙 ４１００８１ １．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ， Ｈｕｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００８１， Ｃｈｉｎａ ２．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｃｅｎｔｒａｌ Ｓｏｕｔｈ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００８１， Ｃｈｉｎａ Ｅ－ ｍａｉｌ： ｗｙｆ＠ｈｕｎｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｓｉｎｃｅ Ｇｒａｎｇｅｒ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｕｓａｌｉｔｙ ｉｎ １９６９， ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｇｒａｎｇｅｒ ｃａｕｓａｌｉｔｙ ｈａｓ ｂｅｃｏｍｅ ｍｏｒｅ ａｎｄ ｍｏｒｅ ｅｘｔｅｎｓｉｖｅ， ｂｕｔ ｉｔ ｉｓ ｏｎｌｙ ｕｓｅｄ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｉｎｎｅｒ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ｄａｔａ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ， ｗｅ ｅｘｔｅｎｄ ｌｉｎｅａｒ Ｇｒａｎｇｅｒ ｃａｕｓａｌｉｔｙ ｔｏ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ．Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ｍｏｄｅｌ ｂｙ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｋｅｒｎｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｇｒａｎｇｅｒ ｃａｕｓａｌｉｔｙ ａｓ ｔｈｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ Ｇｒａｎｇｅｒ ｃａｕｓａｌｉｔｙ．Ａｔ ｌａｓｔ， ｗｅ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｔｏ ｔｅｓｔ ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｇｒａｎｇｅｒ ｃａｕｓａｌｉｔｙ．Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｔｈａｔ ｏｕｒ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｉｎｎｅｒ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： Ｇｒａｎｇｅｒ ｃａｕｓａｌｉｔｙ； ｎｏｎｌｉｎｅａｒ； ｋｅｒｎｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ； ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ
１ 引言
自从 １９６９ 年格兰杰将因果关系的概念公式化， 并应用于 线性时间序列模型以来， 格兰杰因果关系广泛应用于经济、生 理 、计 算 神 经 科 学 等 许 多 领 域 ， 用 来 研 究 各 类 变 量 之 间 的 内 在 的联系。格兰杰因果关系的基本思想是： 如果第一个时间序列 当期的值由第一个时间序列过去的值和第二个时间序列过去 的值来估计比仅由第一个时间序列过去的值来估计能使预测 误差方差减小， 则第二个时间序列是第一个时间序列的因， 否 则不是。格兰杰因果关系中时间是一个很重要的要素， 发生在 前面的是因， 发生在后面的是果［１， ２］。对于二维的时间序列数据， 可 以 直 接 用 格 兰 杰 因 果 关 系 分 析 数 据 之 间 的 内 在 联 系 。对 于 多 维的时间序列数据， 由于变量之间的相互作用， 不能直接用格 兰杰因果关系来分析变量之间直接的相互作用， 可以利用以前 介 绍 的 偏 相 关 因 果 关 系［３］来 研 究 这 些 变 量 之 间 内 在 的 直 接 联 系 。
可以类似定义非线性情形下三个变量之间的偏相关因果关系。
考虑三个平稳时间序列｛ｘｔ｝、｛ｙｔ｝和｛ｚｔ｝， ｔ＝１， ２， …， ｎ。采用与上一 节 相 同 的 记 号 ， 时 间 序 列｛ｘｔ｝和｛ｚｔ｝可 用 如 下 的 非 线 性 回 归 模 型 表示：
ｘ＝Ｗ１１·!（１ Ｘ） ＋Ｗ１３·!（３ ） ＋ε３
ｘ＝Ｗ１１·!（１ Ｘ） ＋Ｗ１２·!（２ Ｙ） ＋ε２
（ ５）
ｙ＝Ｗ２１·!（１ Ｘ） ＋Ｗ２２·!（２ Ｙ） ＋#２
（ ６）
其中 ε２、#２ 表示预测误差， 模型（ ５） 、（ ６） 中的误差项的协方差矩
阵为
$ % #＝ !２ Ｙ２ Ｙ２ $２ 其中 !２＝ｖａ（ｒ ε２） ， $２＝ｖａ（ｒ #２） ， Ｙ２＝ｃｏｖ（ ε２， #２） 。模型（ ５） 表示时间 序 列 Ｘ 现 在 的 行 为 ｘｋ 可 以 用 Ｘ 过 去 的 行 为 Ｘｋ 的 某 个 非 线 性 函数以及 Ｙ 过 去 的 行 为 Ｙｋ 的 某 个 非 线 性 函 数 之 和 来 估 计 ， 估
摘 要： 自从格兰杰 １９６９ 年提出因果关系的概念之后， 格兰杰因果关系的应用越来越广泛， 但都是用来分析线性时间序列数据之 间的内在联系。将线性格兰杰因果关系推广到非线性的情形， 首先利用核函数的方法建立非线性时间序列模型， 再按照线性格兰 杰因果关系的基本思想定义非线性格兰杰因果关系， 最后通过一个模拟的例子验证该方法的有效性。模拟数据的结果表明， 该方 法能有效地分析非线性数据之间的内在联系。 关键词： 格兰杰因果关系； 非线性； 核函数； 时间序列 文章编号： １００２－ ８３３１（ ２００７） ３６－ ００４８－ ０３ 文献标识码： Ａ 中图分类号： ＴＰ１８３
２ 两变量非线性因果关系
考虑两个具有 ｎ 个时间点的平稳时间序列｛ｘｔ｝， ｔ＝１， ２， …， ｎ 和｛ｙｔ｝， ｔ＝１， ２， …， ｎ。记 Ｘｋ＝（ ｘｋ－１， ｘｋ－２， …， ｘｋ－ｍ） ， Ｙｋ＝（ ｙｋ－１， ｙｋ－２， …， ｙｋ－ｍ） ， ｋ＝ｍ＋１， ｍ＋２， …， ｎ。其中 ｍ 表示模型的阶。这里称（ ｘｋ， ｙｋ， Ｘｋ， Ｙｋ） ， ｋ＝ｍ＋１， ｍ＋２， …， ｎ 为 一 组 实 现 ， 为 了 表 示 方 便 ， 用 记 号（ ｘ， ｙ， Ｘ， Ｙ） 表示一组实现。时间序列｛ｘｔ｝和｛ｙｔ｝可用如下的非线性自 回归模型表示：
在计算神经科学中， 通过多电极实验测量多个神经元之间 的行为， 进而研究神经元之间的相互作用。格兰杰因果关系是 一种最常用的分析方法， 但是以往考虑的都是线性时间序列模
型。近年来， 由于实验方法的不断改进， 所以可以得到更多也更 精确的实验数据。在许多的实验数据中， 实际的模型并不一定 是线性模型， 这时如果直接用线性格兰杰因果关系来分析数据 之间的内在联系， 就会得到错误的结论。如何将线性格兰杰因 果 关 系 推 广 到 非 线 性 的 情 形 具 有 非 常 重 要 的 实 际 意 义 。在 本 文 中 ， 采 用 经 典 的 核 函 数［４， ５］的 方 法 拟 合 非 线 性 模 型 ， 然 后 利 用 格 兰杰因果关系的基本思想将格兰杰因果关系推广到非线性的 情形。从模拟数据的结果， 可以看出该方法能有效地处理非线 性情形下时间序列之间的内在联系。
ＷＡＮＧ Ｙｉ－ ｆｕ， ＣＨＥＮ Ｓｏｎｇ－ ｑｉａｏ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｇｒ ａｎｇｅｒ ｃａｕｓａｌｉｔｙ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｎｅｕｒ ｏｓｃｉｅｎｃｅ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒ ｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２００７， ４３（ ３６） ： ４８－ ５０．