振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究
基于线性二次型调节器的乒乓舵最优控制方法
Vol. 43 No. 1Feb.2%21第43卷第1期2021年2月探测与控制学报JournalofDetecton & Control基于线性二次型调节器的乒乓舵最优控制方法李旭，霍鹏飞，陈超，雷g 杰(西安机电信息技术研究所，陕西西安710065)扌商要：针对二维弹道修正引信乒乓舵机控制周期不稳定的问题，提出了基于线性二次型调节器(LQR)控制 算法的乒乓舵机控制方法。
首先对乒乓舵机进行数学建模,其次将乒乓舵机的数学模型写成状态空间描述的形式,再判断乒乓舵机的状态空间描述是否满足LQR 控制算法的应用条件，最后应用LQR 控制算法得到最优 控制律。
仿真结果表明，基于LQR 控制算法的乒乓舵机控制方法与传统的三环PID 控制方法相比，调节时间短，不存在超调，控制精度高，同时所需控制量少&关键词：二维弹道修正引信;乒乓舵;最优控制中图分类号:TJ43 文献标志码：A文章编号:1008-1194(2021)01-0046-05Optimal Controllor Electrical Actuator Based on Linear Quadratic RegulatorLI Xu, HUO Pengfei,CHEN Chao,LEI Longjie(Xi'an Institute of Electromechanical Information Technology,Xi'an 710065,China)Abstract : An electrical actuator control method based on linear quadratic regulat(LQR) control algorithm wasput forword for controlling an unstable motion cycle on the two-dimensinal course correction fuze. Firstly, the e- lectricalactuatormathematicalmodelwaswri t en.Then ， theelectricalactuatormathematicalmodelneededtobewri t enintheEormoEthestatespace.Inthenextplace ,themodelwasneedtodeterminewhetheritsatisiedthe requirementoE LQR control algorithem.Fina l y , optimal controllaw Eo l owed Erom LQR control algo rithm. Simulation results showed that, compared with the traditional three closed loop PID, this algorithm pos sessed short regulating time, no overshoot, high controlling accuracy and less control.Key words : two-dimensinal course correction fuze ； electrical actuator ； optimal control0引言随着科技的发展,现代战争的模式发生了巨大的变化。
基于二阶矩阵微分方程的机械振动系统线性二次型调节器设计
量 ）给 出函数 （ ， ， ） ， ， ；， ＾ 及泛 函 Ｊ ＿
Ｈ ： ＋ ＋ ｕ ＋
＾（
＋
＋
一Ｂ ） ｕ
（） ４
输入 矩 阵 Ｂ为非 方 阵或者 说 矩形 阵 的情 况 ， 系统 二 将
阶方 程通过 状 态 向量 （ ）引人 性 能指 标 泛 函 ， 运 用欧 拉 一拉格 朗 日方 程 得 到 ～ 个 矩 阵增 广 的 二 阶线 性微 分方 程 ， 由该 方 程 稳定 的特征 值 及 特征 向量 确定
Ｊ ＝ｌ （ ， ，）ｔ 】 ， ， ＾ ｄ
方 程 给 出以上 Ｌ Ｒ问题 的解 Ｑ
一
（） ５
则泛 函 Ｊ取 极值 的必 要条件 ， ＿ 即下 面欧拉 一拉格 朗 日
最优 控制 状 态反 馈 常数 矩 阵 。不 需 要 求 解 代 数 矩 阵
Ｒｃａ 方 程 。本 文 讨 论 无 艰 时 间 状 态 调 节 器 问题 ｉ ｆ ｃｉ
２ ｕ—Ｂ ： ０ Ｗ 式 （Ｏ 改 写 成 １）
（） ９ （０ １）
作 用 在 系统 上 的外 力 ， （）是 系统 响应 （ 常 为 位移 通
响应）设 ｆ ｔ 形如 ， ｔ Ｂ （ ） Ｂ∈ Ｒ 称为控 。 （） （）： ｕ ， …
制 输入 矩 阵 ， （ ｕ ）∈
日 ：ｏ
＋
嘉 ０ ：
（ ６ ）
（） ７
１ 振 动 系 统 的 线 性 二 次 型调 节 器
考 虑如 下振动 系统 的矩 阵二 阶微分方 程
＋＆ ＋ ：＿ 厂 （） １
这 里 、 、 、 峨 日 表示 标 量 函数 日对 时变 向量 ， ，
，
中各变 元 的偏 导 向量 ， 如 例
磁悬浮系统线性二次型最优控制的研究
磁悬浮系统线性二次型最优控制的研究摘要:本文是以线性系统为被控对象，以二次型泛函指标为性能指标的最优控制问题，利用线性二次型最优控制理论实现磁悬浮系统的平稳控制。
由于特殊的指标形式和系统对象的线性性质，使所讨论的带有等式约束的动态优化问题可以获得基于Riccati方程表达的线性状态反馈，并在此基础上建立了相应的数学模型，同时，利用MATLAB仿真和PID控制仿真结果进行比较，该方案可以得到更为满意的结果。
关键词:线性二次型，磁悬浮，最优控制，MA TLAB1 前言近年来，磁悬浮技术得到了迅速发展，并得到越来越广泛的应用。
磁悬浮由于其无接触的特点，避免了物体之间的摩擦和磨损，能延长设备的使用寿命，改善设备的运行条件，因而在交通、冶金、机械、电器、材料等各个方面有着广阔的应用前景。
目前国外在磁悬浮方面的研究工作主要集中在磁悬浮列车方面，进展最快，己从实验研究阶段转向试验运行阶段。
以线性二次型性能指标为基础的最优控制问题是二十世纪50年代末期发展起来的一种设计控制系统的方法,它把所得到的最有反馈控制与非线性的开环最优控制结合起来，可减少开环控制的误差，达到更精确的控制目的。
本文是以固高科技磁悬浮教学实验设备为模型基础，结合线性二次型最优控制的一般理论，实现磁悬浮系统的平稳控制，并通过与经典PID控制比较，理论分析及MA TLAB仿真，得到更为满意的结果。
2 磁悬浮系统的数学模型磁悬浮球控制系统是研究磁悬浮技术很典型的平台，它是一个典型的吸浮式悬浮系统。
它的系统结构图如图1所示，主要由LED光源、电磁铁、光电位置传感器、电源、放大及补偿装置、数据采集卡和控制对象（钢球）等元件组成图1磁悬浮实验系统结构图2.1系统的工作原理电磁铁绕组中通以一定的电流会产生电磁力F，只要控制电磁铁绕组中的电流，使之产生的电磁力与钢球的重力mg相平衡,钢球就可以悬浮在空中而处于平衡状态。
为了得到一个稳定的平衡系统，必须实现闭环控制，使整个系统稳定具有一定的抗干扰能力。
压电作动器
对压电作动器用于振动噪声控制的原理和控制方法进行分析讨论，并举例说明。
原理：压电材料是种具有力一电耦合性质的智能材料，能靠材料的正、逆压电效应实现能量转换。
压电材料的正压电效应是指，当对压电材料施加力使之产生变形时，它会产生电荷；压电材料的逆压电效应是指，当给压电材料施加电场时，材料会产生应变。
压电材料的这种特性使得它能很好地同时承担起感应器和作动器的功能。
压电主动控制的基本原理是以压电材料作为受控结构的传感器和作动器，由传感器感受因振动产生的结构应变，将其转变为响应的电信号，并通过一定控制规律产生控制信号，经放大后施加于作动器，由作动器将电能转换为机械能，从而实现智能结构的振动控制。
控制方法：控制方法即设计控制律所采用的控制理论及控制器分析和综合方法, 是振动主动控制的核心环节, 其最终任务是在满足各种实际约束的条件下, 使结构目标位置的振动水平达到最小。
（1）特征结构配置法。
特征结构包括特征值和特征向量, 闭环系统的特征值决定了系统的动态特性, 特征向量则影响着扰动输入对结构的激励能力以及结构上目标点或目标区域的响应水平。
通过同时配置系统的特征值和特征向量,可以增加结构阻尼,在一定范围内改变结构频率以避开扰动的主频段, 以及改善系统性能, 并降低控制能量消耗。
该方法可采用状态反馈或直接输出反馈, 首先将控制目标直接或间接地以理想的特征结构来表征, 构造适当的优化问题来求解最优反馈矩阵,控制器设计就体现在优化目标函数的构造方法上。
（2）线性二次最优控制。
它以控制输入和性能输出的加权二次型为优化指标, 兼顾了控制能量和控制性能, 理论形式简单, 物理意义清晰, 可以比较容易地求得解析形式的控制律, 因此在振动控制中被广泛应用。
王宗利等提出了一种状态相关方法, 针对模态坐标下的方程, 在控制过程中每隔一定时间根据各模态的响应动态调整优化指标中状态加权矩阵, 并在线重新求解反馈矩阵, 以加强对主要模态的控制能力。
柔性机械臂振动的线性二次型最优控制
第３卷 第３ ７ 期
、 １７ ， ． Ｎｏ ３ ｏ３ ．
河
北
工
业
大
学
学
报
２０ ０ ８年 ６月
Ｊｎ ０ ８ ｕ ｅ２ ０
Ｊ ０ＵＲＮ ＾ ＢＥ １ ０Ｆ ＨＥ ＩＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｔｙ ０Ｆ Ｔ ＣＨＮ０Ｌ Ｉ Ｅ ０ＧＹ
究中 ［ ． ２ － ４ １ 本 文针对在水 平面 内转动的单杆柔性 机械臂 ， 先采用假设模态法和 Ｌ ｇａｇ 方程推导出柔性臂的 首 ａｒｎｅ
动力学模 型 ； 并在此基础上给 出其面 向控制器设计 的数学 模型 ； 然后设计线性二次型最优调节器 （Ｑ ） Ｌ Ｒ， 以达到抑制柔性臂末端残余 振动的 目的 ；最后对 柔性机械臂线性二次型最优控 制的效果进行 仿真验 证．
收稿 日期 ： ０ ８ １ ０ ２０— － ０２
基金项 目：天津 市高等学 校科技 发展基 金计划项 目 （ ０Ｚ ０；２０１０） ２ ６ Ｙ ９ ０４１３ ０ 作者简 介：李坤 （９３） １８．，男 （ 汉族 ） ，硕士生 ．
维普资讯 第３ 期 Fra bibliotek文章 编号 ：１０ －３ ３（０ ８ ３０ ３ ．５ ０ ８２ ７ ２ ０ ）０ ．０ ８０
柔性机械 臂振 动的线 性二次型最优控制
李 坤 ，炱今天
（ 天津工 业大学 机械 电子学 院 ，天 津 ３０６ ） ０１０
摘要 为抑 制柔性机械臂 的弹・振动 ，提 高定位精度 ，推 导 出单杆 柔性机械臂 的动 力学模型并对其进行线性化， 陛 针对 线・ 的系统模型 ， 洼化 采用线性二次型最优调 节器对柔性机械臂末端残余振动进行控 制， 仿真 结果表 明调节 器
抑振作 用明显．
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
则上式写成
A A12 x1 B1 x 11 1 u A 21 A22 x2 B2 x 2 x1 y I q 0 x1 x2
因此, 只需再估计出x2 , 则x 已知, x可得. 只需对x2构造(n q)维状态观测器 , 对x2而言, 是全维状态观测器 .
闭环系统为
x [ A BR1BT P]x
仍保持为定常系统。
对P的要求：最优系统必须是稳定的，即 [ A BR1BT P] 的所有特征值均具负实部。 可以证明：以上方法构成的最优闭环系统必是大范围渐 近稳定的。
证明： 选取Lyapunov函数
V ( x) xT Px x ( A BR1 B T P ) x V ( x) x Px x P x
1 T x0 P (0) x0 , x0 0 2
证明：该定理给出的是充分条件，实际上也是必要条件。
1 T 1 T x (t f ) P(t f ) x(t f ) x (0) P(0) x(0) 2 2 1 tf d T [ x P(t ) x]dt 0 2 dt 1 tf T T T [ x P(t ) x x P(t ) x x P(t ) x]dt 2 0 1 tf T T {x [ A P(t ) P(t ) P(t ) A]x u T B T P(t ) x xT P(t )Bu}dt 2 0 1 tf { xT Qx xT P(t ) BR1 B T P(t ) x u T B T P(t ) x xT P(t )Bu}dt 2 0 1 tf { xT Qx u T Ru [u R 1 B T P(t ) x]T R[u R 1 B T P(t ) x]}dt 2 0
最 优 控 制 教 案第四章 线性二次型性能指标的最优控制问题
许多控制问题可以转化为线性二次型问题；其最优解可以写成统一的解析表达式，理论比较成熟第四章 线性二次型性能指标的最优控制问题4.1概述如果所研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统的最优控制问题，称为线性二次型问题。
设线性时变系统的状态方程为()()()()(),()()()xt A t x t B t u t y t c t x t =+=在工程实际中，希望：系统输出y(t)尽量接近某一理想输出y r (t) 定义误差：e(t)= y r (t)- y(t)求最优控制u *(t)，使下列性能指标极小：11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J e t Fe t e t Q t e t u t R t u t dt =++∫F 为对称非负定常阵，Q(t)为对称非负定时变矩阵，R(t)为对称正定时变矩阵，t 0,t f 固定。
上式中系数21是为了简化计算。
指标的物理意义：使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统稳态误差综合最优。
(1) 状态调节器问题若c(t) = I, y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)= - x(t)11()()[()()()()()()]22f t T TT f f t J x t Fx t x t Q t x t u t R t u t dt =++∫此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统状态x(t)保持在零状态附近。
(2) 输出调节器若 y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J y t Fy t y t Q t y t u t R t u t dt =++∫ 此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统输出y(t)保持在零状态附近。
线性二次型最优控制问题
2023/12/21
9
对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明
（1） 在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制 作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对 U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值 比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之 内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实 现对U(t)的限制。
2023/12/21
1
线性二次型最优控制问题是指线性系统具有二次型 性能指标的最优控制问题，它呈现如下重要特性：
性能指标具有鲜明的物理意义。最优解可以写成统一的解 析表达式。所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式， 便于计算和工程实现。
可以兼顾系统性能指标的多方面因素。例如快速性、能量 消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。
dt
这时问题转化为：用不大的控制量，使系统输出Y(t)紧
紧跟随Yr(t)的变化，故称为跟踪问题。
2023/12/21
13
6.2 有限时间的状态调节器问题
问题6.2.1 给定线性定常系统的状态方程和初始条件
X (t) AX (t) BU (t)
X
(t0 )
X0
（6.2.1）
其 中 X(t) 是 n 维 状 态 变 量 ， U(t) 是 m 维 控 制 变 量 ， A 是 nn常数矩阵，B是nm常数矩阵。性能指标是
在理论上，线性二次型最优控制问题是其它许多控制问题 的基础，有许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问 题来处理。
线性二次型最优控制问题，在实践上得到了广泛而 成功的应用。可以说，线性二次型最优控制问题是 现代控制理论及其应用领域中最富有成果的一部分。
2023/12/21
建筑结构振动控制技术考核试卷
10.以下哪些是隔震技术的主要目标？（）
A.减少地震作用下的结构响应
B.防止结构产生共振
C.提高结构的自振频率
D.降低结构的阻尼比
11.建筑结构振动控制中的混合控制策略可能包括以下哪些组合？（）
A.主动控制与被动控制
B.隔震与减震
C.结构控制与非结构控制
D.预防性控制与修复性控制
A.传感器技术
B.无人机监测
C.结构健康监测系统
D.人工巡检
15.建筑结构振动控制中的模态分析主要包括以下哪些内容？（）
A.振型分析
B.阻尼分析
C.动力特性分析
D.地震响应分析
16.以下哪些因素会影响建筑结构振动控制系统的设计？（）
A.建筑物用途
B.建筑物地理位置
C.建筑物结构类型
D.建筑物成本预算
15.以下哪种材料常用于建筑结构振动控制的摩擦阻尼器？（）
A.钢材
B.橡胶
C.铅
D.水泥
16.在调谐质量阻尼器（TMD）的设计中，质量比通常定义为多少？（）
A.质量与结构总质量的比值
B.质量与结构基础质量的比值
C.质量与结构顶部质量的比值
D.质量与结构底部质量的比值
17.以下哪种现象可能导致建筑结构振动控制系统的失效？（）
17.建筑结构振动控制技术中，被动控制系统的优点包括哪些？（）
A.不需要外部能源
B.成本较低
C.维护简单
D.控制效果稳定
18.以下哪些控制算法可以用于建筑结构振动控制？（）
A.线性二次型最优控制算法
B.模糊控制算法
C.遗传算法
D. PID控制算法
19.建筑结构振动控制中，隔震技术主要包括以下哪些类型？（）
线性二次型最优控制问题
线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题如果所研究系统为线性，所取性能指标为状态变量与控制变 量的二次型函数，称这种动态系统最优化问题为线性二次型最概念优控制问题.问题的提法 设线性时变系统的状态方程为：x ( t ) = A( t ) x ( t ) + B( t )u( t ) y( t ) = C ( t ) x ( t )假设控制向量u(t)不受约束 ，用yr(t)表示期望输出，则误差向量为e( t ) = yr ( t ) − y( t )求最优控制u*(t) ，使下列二次型性能指标极小。
1 T 1 tf e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e T ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0 F —半正定 q × q常数矩阵 , Q ( t ) —半正定 q × q时变矩阵 J ( u) =R ( t ) —正定 p × p时变矩阵 t 0 及 t f 固定NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITYNWPU线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题各项指标物理意义1 T 1 tf T J ( u) = e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0(1) 第一积分过程项 0.5∫ttf0[e T ( t )Q ( t )e( t )]dt 是对动态跟踪误差加权平方和的积分要求，是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量. t (2) 第二积分过程项 0.5∫t [u( t )T R( t )u( t )]dt 表示系统在控制过程中对系统加权f 0后的控制能量消耗的总度量. (3) 末值项 0.5eT (t f )Fe( t f ) 表示末态跟踪误差向量与希望的零向量之间的距 离加权平方和. 整个性能指标物理意义： 使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统 终端跟踪误差综合最优。
基于强化学习的大跨度桥梁风致振动主动控制研究
总第３２１期交 通 科 技ＳｅｒｉａｌＮｏ．３２１ ２０２３第６期ＴｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ＆ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＮｏ．６Ｄｅｃ．２０２３ＤＯＩ１０．３９６３／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１ ７５７０．２０２３．０６．００４收稿日期：２０２３ ０７ １３第一作者：何佳琛（１９９８－），男，硕士，助理工程师。
基于强化学习的大跨度桥梁风致振动主动控制研究何佳琛（中铁第四勘察设计院集团有限公司 武汉 ４３００６３）摘 要 主动控制措施依靠外部能源供给，可有效抑制大跨度桥梁的风致振动。
为探究基于强化学习的大跨度桥梁风致振动主动控制，以苏通长江大桥为工程背景，建立风 桥 主动质量阻尼器的时域控制方程，利用深度确定性策略梯度强化学习算法（ＤＤＰＧ）为主动质量阻尼器设计控制律，并与利用ＬＱＲ算法所设计出的主动控制系统在抑振效果层面进行对比，检验利用强化学习算法所设计的控制系统在面对随机风环境及结构参数不确定时的鲁棒性能，并以一个单自由度非线性涡振主动控制的工况说明了强化学习对非线性系统的适用性。
结果表明，利用ＤＤＰＧ算法设计出的主动控制律在实施时仅需要测量桥梁跨中节点的位移响应和加速度响应就能够达到与ＬＱＲ算法相当的控制效果；当系统产生外部扰动或桥梁结构本身的刚度矩阵发生改变时，利用强化学习设计的ＡＴＭＤ仍具备令人满意的控制性能；强化学习是一个适用范围广泛的通用性框架，可用于线性或非线性系统，由于其本身的理念，其所设计出的主动控制系统，在均方值控制效果方面优于相应的峰值控制效果。
关键词 主动控制措施 强化学习 深度确定性策略梯度算法 鲁棒性 非线性系统中图分类号 Ｕ４４１＋．３ 主动控制措施依靠外部能源供给，可有效抑制大跨度桥梁的风致振动。
主动控制律是主动控制设施的设计核心，其在很大程度上决定了主动控制设施的性能及鲁棒性。
在结构振动控制领域中较常使用的主动控制律设计方法主要可分为传统控制算法和智能控制算法［１］。
线性二次型最优控制
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2Biblioteka xＴ(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
维时变系统矩阵、增益矩阵和输出矩阵。 假定 0≤l≤m≤n，且控制变量 u(t)不受限制。用 yr(t)表示期望输出向量，
yr (t) ∈ Rl ，有误差向量
e(t) = yr (t) − y(t)
(4-1-3）
二次型最优控制要解决的问题是，选择最优控制 u*(t)，使二次型性能指标
J
(u)
=
1 2
四．线性二次型最优控制
线性二次型最优控制问题，一般也称做 LQ 或 LQR（Linear Quadratic Regulator）问题，在最优控制理论与方法体系中具有非常重要的地位。线性二 次型最优控制问题的重要性在于其具有如下特点： （1） 对于用线性微分方程或线性差分方程描述的动态系统，最优控制指标具
+
u
Ｔ
(t)R(t)u(t)]
+ [u(t) + R Ｔ (t)B Ｔ (t)P(t)x(t)]Ｔ P(t)[u(t) + R Ｔ (t)B Ｔ (t)P(t)x(t)]
(4-2-27）
对上式两边由 t0 到 tf 积分，经整理得
基于线性二次型最优控制在结构振动控制中的研究
卢 辉 王海青
Ｌｕ Ｈｕ Ｗ ａ ｇＨａｑｉ ｉ ｎ ｉ ｎｇ
（． １ 上海交通大学环境科学与工程学院， 上海 ２０ ４ ； ０２ ０ ２ 海军驻昆明地 区军事代表办事处，
云南 昆明 ６ ０ ０ ） ５ ０ ０
（．ｃｏｌ ｆ ｎｉ ｎ ｎａＳｉ ｃ ｄ ｎ ｉｅｒ ｇ ＳａｇａＪａ ｏ ｇＵ ｉｅｓｙＳ ａｇａ２ ０４ ； １ ｈｏ Ｅ ｖｒ ｍｅｔｌ ｃｅ ｅ ｎ ｇｎｅｉ ， ｈｎ ｈｉｉｏＴ ｎ ｎｖｒｉ， ｈｎ ｉ ０２０ Ｓ ｏ ｏ ｎ ａ Ｅ ｎ ｔ ｈ
ｂ ｄ ｓ ｈ ｅｅ ｒｈｏ ｊｃ，ｈ ｕ ｒ ａ ｃｌｕａ ｏ ｎ ｉ ｌｔ ｎｃ ｍｂｎ ｔ ｎｍｅｈ ｄ ａａｙｉ ｏ ｅｌ ｅｒ ｏ ｙａ ｅ ｓａｃ ｂｅｔｔｅｎ ｍｅｉ ｌ ａ ｌｔ ｎａ ｄｓ ａｉ ｏ ｉａ ｏ ｔｏ ， ｎ ｌｓ ｆｈ ｎ ａ ｔ ｒ ｃ ｃ ｉ ｍｕ ｏ ｉ ｓ ｔ ｉ
如各类 振动 机器 ； 一 内容是振 动 的抑制 ， 另 尽量 减小
有害的振动 ， 因为振动加速机械设备的磨损 ， 缩短产 品与结构的寿命 ， 使人易于疲劳， 使仪器易于失灵与 损坏。 此处所讨论的振动控制只是振动的抑制。 振动 控制的任务就是通过一定的手段使受控对象的振动 水平满足人们的预定要求 。振动主动控制是主动控 制技术在振动领域中的一项重要应用 ，是 当前振动 工程领域内的高技术 ， 是动力学 、 动控制、 自 计算机 、
目 。囚此线性 二次 型最优 控制属 于 主动控 制 中
‘ Ｍ）＇ Ｃ （ 》）Ｄ １ （ ） Ｘ’ （＝ ｙ（ ｔ＋ ０ ｏ ） ＋ ）
ｐ ．
，
（） ２ 基 于 —作动 曙 口
— Ｉ ｌ Ｏ Ｔ
：
：
二次型最优控制问题
二次型最优控制问题标题：二次型最优控制问题在控制理论中，二次型最优控制问题是一个经典的研究领域。
它涉及到在最小化特定成本函数的同时，通过合适的控制策略来实现系统的最优性能。
本文将介绍二次型最优控制问题的基本概念、数学模型和解决方法。
首先，二次型最优控制问题的核心在于寻找一个最优的控制策略，使得系统的性能指标达到最小化。
这个性能指标通常由一个二次型成本函数来表示，其中包含了系统状态和控制输入之间的关系。
通过对该成本函数进行最小化，可以获得最优的控制策略。
其次，针对不同的系统，可以建立相应的数学模型来描述二次型最优控制问题。
这些模型通常采用微分方程或差分方程的形式，用于描述系统状态的动态演化规律。
在建立模型的过程中，需要考虑系统的物理特性以及所需达到的控制目标。
解决二次型最优控制问题的方法有多种，其中最常用的是最优控制理论中的动态规划方法。
动态规划方法基于贝尔曼方程，通过将问题分解为一系列子问题来求解最优控制策略。
此外，还有其他方法如最优化理论、线性二次调节器和广义预测控制等可以用于处理二次型最优控制问题。
需要注意的是，在实际应用中，二次型最优控制问题可能面临一些挑战和限制。
例如，系统模型可能存在不确定性，或者控制器的设计需要考虑到实时性和鲁棒性等因素。
因此，在解决问题时需要综合考虑这些因素，并根据具体情况选择合适的方法。
总结起来，二次型最优控制问题是一个重要的研究领域，它涉及到在最小化成本函数的同时实现系统最优性能的控制策略。
在解决该问题时，需要清晰的思路，流畅的表达，并避免包含任何会对阅读体验产生负面影响的元素。
文章的标题要与正文内容相符，不能包含广告信息或侵权争议。
文章正文要避免敏感词或其他不良信息，并确保语句完整，段落连贯。
线性二次型最优控制
✓ R(t)为r×r维时变旳分段连续旳正定矩阵,且其逆矩 阵存在并有界;
✓ 末态时刻tf是固定旳。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致旳讨论: 1) 性能指标泛函J[u(·)]中旳第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对 末端目旳旳控制误差旳要求和限制而引进旳,称为末端 代价函数。 ✓ 非负定旳常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素旳 值旳不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 旳要求不同、主要性不同。 ✓ 若矩阵F旳第i行第i列元素值较大,代表二次项旳主 要性较大,对其精度要求较高。
线性二次型最优控制(9/12)
3) 性能指标泛函J[u(·)]中旳被积函数旳第2项u(t)R(t)u(t),表 达在系统工作过程中对控制向量u(t)旳大小旳要求和限 制。
✓ 因为时变旳加权矩阵R(t)为正定旳,故该项函数值在 u(t)为非零向量时总是为正旳。 ❖ 而且u(t)越大,该项函数值越大,其在整个性能指 标泛函所占旳分量就越大。
时变状态调整器(3/3)
因为所讨论旳系统为线性系统,给定旳性能指标泛函对状态 变量x(t)和控制量u(t)均连续可微,所以,状态调整器问题可用 变分法、极大值原理和动态规划措施中旳任一种求解。
➢ 本节采用变分法给出最优控制解存在旳充分必要条件及 最优控制问题解旳体现式,讨论最优控制解旳存在性、 唯一性等性质及解旳计算措施。
➢ 最优轨线为下述状态方程
x *(t) A(t) x*(t) B(t)u*(t), x*(t0 ) x0, t [t0, t f ]
旳解,而最优性能值为
J*
J[u* (t)]
1 2
x0 P(0) x0 , x0
0
式中,P(t)为下述矩阵黎卡提微分方程旳正定或半正定解。
线性二次型最优控制
线性二次型最优控制
本文旨在探讨线性二次型最优控制的理论及其实际应用。
线性二次型控制是一种广泛使用的有效控制策略，用于解决复杂的系统问题。
本文以线性二次型的哲学和理论基础为主线，全面总结了线性二次型最优控制的哲学和原理，研究了它的实际应用，并介绍了理论与实践的关系。
首先，本文介绍了线性二次型最优控制的哲学和理论基础。
实践证明，线性二次型控制技术在它所面对的问题中具有优势。
线性二次型最优控制是一种基于目标的最优化控制技术，以有效地通过控制技术来实现有效的控制者。
其次，本文研究了线性二次型最优控制的实际应用。
实际应用中，线性二次型最优控制的最大特点在于它的非线性输入和输出行为。
基于该技术，可以构建一类实用性强的系统，以有效地满足实际应用中的复杂性及非线性性需求。
此外，线性二次型最优控制也可用于节能、飞行控制，机器人控制、智能汽车控制等领域的实际应用。
最后，本文介绍了线性二次型最优控制的理论与实践的关系。
在实践中，要求在有效消耗低的基础上实现有效控制，这要求模型与实践相结合。
只有通过深入理解和求解这种关系，才能有效地利用这种理论在实践中得到最优的控制效果。
总之，线性二次型最优控制作为一种有效的最优化控制策略，极大地促进了复杂系统的发展和应用，同时为更加高效和可靠的实践应用提供了有效的方案。
本文为线性二次型最优控制的哲学和理论研究
以及实际应用提供了一个全面的研究和探讨，以帮助更好地理解和应用这种控制策略。
线性二次型最优控制
Chapter7 线性二次型最优控制稳定性是控制系统的一个重要指标，还要考虑诸如调节时间、超调、振荡等动态特性以及控制器所消耗的能量等因素。
通过极点配置可使系统具有期望的稳定性和动态性能，然而并没有考虑控制的能量代价。
用Lyapunov 稳定性理论解决“参数优化问题”，通过选取一个适当的参数，可以在保证系统稳定的前提下，使二次型性能指标最小化，从而使系统的过渡过程具有较好的性能，有必要将这种方法推广到控制器设计。
7.1 二次型最优控制在控制系统中，为了达到同一个控制目的，可以有多种方案（如多输入系统的极点配置状态反馈控制器是不唯一的），具有最小能量的控制方式更具实际意义。
对于Bu Ax x+= Cx y = （7-1） 系统性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指标来描述： ⎰∞+=0d ][t Ru u Qx x J T T （7-2）Q 是对称正定（半正定）加权矩阵，R 是对称正定加权矩阵，他们反映了设计者对状态x 和控制u 中各分量重要性的关注程度。
第一项反映控制性能，这一项越小，状态衰减到0的速度越快，振荡越小，控制性能越好；第二项反映对控制能量的限制。
通常状态x 衰减速度越快，控制能量越大，这是一个矛盾，最优控制的目的就是寻找Q 、R ，调和上述矛盾，问题归结为，对给定系统（7-1）和保证一定性能指标（7-2）的前提下，,设计一个控制器u ，使J 最小。
若系统的状态是可以直接测量的，且考虑的控制器是状态反馈控制器，则可以证明，使性能指标（7-2）最小化的最优控制器具有以下线性状态反馈形式：Kx u -= （7-3） 将控制器（7-3）代入系统方程（7-1）可得x BK A x)(-= （7-4） 若系统是渐近稳定的，矩阵BK A -所有特征值均具有负实部，根据线性时不变系统的Lyapunov 稳定性定理，（7-4）一定存在一个正定对称矩阵P 的二次型Lyapunov 函数Px x x T =)V (，利用系统的稳定性可得⎰⎰∞∞⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=00d )(V d d d )(V d d t x t t x t Ru u Qx x J TT []{}∞==∞--+-++=⎰t t T T T T t x t x P BK A BK A P x Ru u Qx x 00)]([V d )()([]000d Px x t x P B K PBK P A PA RK K Q x TT T T T T +--+++=⎰∞对上式“下划线”部分“+”“-”P B PBR T 1-进行配平方得到P B PBR P B PBR P B K PBK RK K T T T T T 11---+-- P B PBR P B R K R P B R K T T T T 111)()(------=可得[]0001d Px x t x P B PBR P A PA Q x J TT T T +-++=⎰∞- ⎰∞----+011d )()(t x P B R K R P B R K x T T T T （7-5）求解最优控制问题，就是选取一个适当的增益矩阵K ，是性能指标J 最小化。
线性二次型最优控制..
一、主动控制简介概念：结构主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，采用现代控制理论的主动控制算法在精确的结构模型基础上运算和决策最优控制力，最后作动器在很大的外部能量输入下实现最优控制力。
特点：主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，是一种需要额外能量的控制技术，它与被动控制的根本区别是有无额外能量的消耗。
优缺点：主动控制具有提高建筑物的抵抗不确定性地面运动，减少输入的干扰力，以及在地震时候自动地调整结构动力特征等能力，特别是在处理结构的风振反应具有良好的控制效果，与被动控制相比，主动控制具有更好的控制效果。
但是，主动控制实际应用价格昂贵，在实际应用过程中也会存与其它控制理论相同的问题，控制技术复杂、造价昂贵、维护要求高。
组成：传感器、控制器、作动器工作方式：开环、闭环、开闭环。
二、简单回顾主动控制的应用与MATLAB应用1.主动变刚度A VS控制装置工作原理：首先将结构的反应反馈至控制器，控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构的响应，判断装置的刚度状态，然后将控制信号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态，实现不同的变刚度状态。
锁定状态（ON）：电液伺服阀阀门关闭，双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移，斜撑的相对变形与结构层变形相同，此时结构附加一个刚度；打开状态（OFF）：电液伺服阀阀门打开，双出杆活塞与液压缸之间有相对位移，液压缸的压力差使得液体发生流动，此过程中产生粘滞阻尼，此时结构附加一个阻尼。
示意图如下：2. 主动变阻尼A VD控制装置工作原理：变孔径阻尼器以传统的液压流体阻尼器为基础，利用控制阀的开孔率调整粘性油对活塞的运动阻力，并将这种阻力通过活塞传递给结构，从而实现为结构提供阻尼的目的。
关闭状态（ON）：开孔率一定，液体的流动速度受限，流动速度越小，产生的粘滞阻尼力越大，开孔率最小时，提供最大阻尼力，此时成为ON状态；打开状态（OFF）：控制阀完全打开，由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
了大量的研究 . 传统的试算 ( t rial2and2error ) 方法费 时费力 . Harvey 等人[ 2 ] 提出的基于特征值和特征向 量配置的方法很难将特征值及特征向量配置到较高 的质量上 , 尤其对于高阶系统更显无力 . St uckman 等人 [ 3 ] 提出的全局搜索方法定义了一个可以描述受 控系统具有理想性能指标的线性或非线性函数 , 然 后采用 Bayesian 全局搜索算法来确定最优的 Q 和 [4 ] R . 吴克恭 提出的基于输出矩阵 C 的加权矩阵选 T 择方法中 ,令 Q = ρ C C , 为了获得满意的控制效果 , 需要试算大量的ρ值 ,因此仍是一种试算法 .
在空间结构中 , 很多构件往往采用柔性杆作为 结构的支承件 ,例如太阳能帆板的支杆 、 太空天线支 架以及空间机器人的连杆等 , 因此研究这类基于杆 结构的柔性构件的扭转振动具有较强的理论价值及 实际应用价值 . 线性二次型最优控制因其具有比较 满意的增益储备 、 相角储备以及非线性容限等[ 1 ] ,而 在振动主动控制中得到了广泛应用 . 在线性二次型最优控制器的设计中 , 性能指标 函数中加权矩阵 Q 和 R 的选择对于最优控制的结 果具有很大影响 . 其选择方法多种多样 ,许多学者作
T ransmission an d Cont rol , Zhej i an g U ni versit y , H an gz hou 310027 , Chi na)
Abstract : Co nsidering t he p roperties of space flexible st ruct ures , t he tor sio nal vibratio n of a flexible bar system co nsisting of a flexible bar , a sensor and a piezoelect ric act uato r was investigated. The dynamic e2 quatio ns of t he system were established using t he Lagrange equatio n and t he assumed mode met hod. The linear quadratic optimal co nt rol was employed to co nt rol t he flexible system. The choo sing met hod of t he weighting mat rix was st udied. A met ho d based o n t he genetic algorit hm co mbined wit h co nst raint s was p ropo sed and simulatio ns were employed. The result s showed that the proposed choosing method of the weigh2 ting matrix was effective , and the torsional vibration of the system after control was attenuated dramatically. Key words : linear quadratic ; tor sio nal vibratio n ; piezoelect ric torsio nal act uato r ; weighting mat rix
K = R B P, P 应当满足下述黎卡提 ( Riccati ) 代数方程 : - PA - A P + PB R B P - Q = 0 .
T
-1 -1
T
( 6) ( 7) ( 8)
T
由式 ( 5) ～ ( 7) 可知 ,最优控制规律为
u
3
= - Kx = - R B Px .
-1
-1
T
将式 ( 8) 代入式 ( 3) ,可得闭环系统的状态方程为
Research on linear quadratic optimal control problem in active vibration control
W EI Yan2ding , L OU J un2qiang , L V Yo ng2gui , C H EN Zi2chen
( Zhej i an g Provi nce Key L aboratory of A d vanced M anu f act u ri n g Technolog y , T he S t ate Key L aboratory of Fl ui d Pow er
Ps = ps1 , p s2 , …, ps2 n .
T
由假设模态法及拉格朗日方程 , 可建立系统的 动力学方程 ,即 η η = QU 1 . ( 1) M ¨+ K 式中 : M 为系统的质量矩阵 , K 为系统的刚度矩阵 , Q 为系统的广义力矩阵 , η为系统的模态坐标矩阵 , U 1 为施加在压电扭转致动器上的电压 . 考虑系统阻尼 ,则 η η+ K η = QU 1 . ( 2) M ¨+ Γ 式中 : Γ = aM + bK , a 、 b 为常值比例系数 . 将系统表示成状态方程形式 ,即
第3期
魏燕定 ,等 : 振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究 B =
0
M Q
-1
421
本文对一柔性杆系统的扭转振动进行了主动控 制研究 ,采用线性二次型最优控制 ,提出了一种基于 遗传算法并带约束条件的加权矩阵 Q 的选取方法 , 进行了数值仿真研究 ,验证了所提出方法的有效性 .
; C =
振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究
魏燕定 , 娄军强 ,吕永桂 , 陈子辰
( 浙江大学 浙江省先进制造技术重点研究实验室 ,流体传动与控制国家重点实验室 ,浙江 杭州 310027)
摘 要 : 针对空间柔性构件的特点 ,研究了一类由柔性杆 、 传感器 、 压电扭转致动器组成的柔性杆系统的扭转振动 . 运 用拉格朗日方程和假设模态法建立了系统的动力学方程 ,采用线性二次型最优控制对柔性杆的扭转振动进行了主动 控制 . 对二次型指标中的加权矩阵的选择方法进行了深入探讨 ,提出一种基于遗传算法并带约束条件的加权矩阵的 选择方法 . 数值仿真结果表明 ,所提出的加权矩阵的选择策略是有效的 ,施控后系统的扭转振动能得到有效衰减 . 关键词 : 线性二次型 ; 扭转振动 ; 压电扭转致动器 ; 加权矩阵 中图分类号 : TP24 ; TB32 文献标识码 : A 文章编号 : 10082973X(2009) 0320420205
Cs
T
0
,
其中 Cs 为传感器输出参数阵 ; u = U 1 I .
1 柔性杆系统动力学建模
柔性杆系统由柔性杆 、 压电扭转致动器 、 电阻应 变传感器组成 ,如图 1 所示 . 考虑其边界条件为一端 固定 、 一端连接一尺寸可以忽略不计但具有转动惯 量 J end 的等效圆盘 . 在杆上黏贴一只环形压电扭转 致动器[ 5 ] ,一对与轴向成 45° 角的压电应变片传感器 ( 采用半桥 、 温度自补偿接法) . 压电扭转致动器中心 和柔性杆固定端的距离为 x 1 , 电阻应变传感器和柔 性杆固定端的距离为 x 2 . 为了便于理论建模 , 假设 致动器 、 传感器黏接完好 ,不考虑黏贴层对柔性杆系 统的影响 . 由于压电致动器的质量特性与柔性杆相 差不多 ,应考虑致动器的质量特性对系统带来的影 响 ,电阻应变传感器则可以忽略 . 因为主要研究此柔 性杆系统扭转振动的主要特性 , 所以忽略重力对系 统动力学的影响 .
y ( tss )
表的个体表示为一个{0 ,1}二进制串 . 串长取决于求 解的精度和决策变量的定义域 . 本研究中 , 将向量 Ps 的分量 p s i 作为决策变量 . 某一个参数 , 定义域为 [ ( bo und i ) min , ( bo und i ) max ] , 求解的精度为 Γ, 则字 符串的长度为 log2 { [ ( bo und i ) max 2 ( bo und i ) min ]/ Γ }. 向大的方向取整 , 设为 l i , 则该参数的定义域被离 散成 2 l i 个离散点 ,对应 00 … 0 ( 长度为 l i ) 到 11 … 1 (长度为 l i ) 之间的二进制编码 , 这样就构成了参数 优化问题的染色体编码 . 优化多个参数时 ,对每个参 数 ,根据其定义域和求解精度进行编码 ,然后将这些 编码依次连接起来 ,组成一个二进制编码串 ,其总长 为
x = Ax - BR B Px , y = Cx .TFra bibliotek( 9)
3 加权矩阵 Q 、 R 的选取
图1 柔性杆组成布局简图
Fig. 1 Simplified configuration of flexible bar
在二次型性能指标函数中 , 被积函数中的第一 项 x Qx 主要反映响应过程初始阶段较大偏差的性 质 ,被积函数中的第二项 uT Ru 主要反映对控制响 量的约束 ,因而二次型性能指标函数可以理解为状 态衰减速度与控制过程所消耗的能量之间的一种折 衷 . 加权矩阵 Q 和 R 分别为对状态向量和输入控制 向量的惩罚 . 它们的惩罚作用具有相对性 ,也就是说 增大矩阵 Q 中元素的值 ,就相当于减小矩阵 R 中元 素的值 ; 而减小矩阵 Q 中元素的值 , 则相当于增大 矩阵 R 中元素的值 . 所以对于控制输入 u 的加权矩 阵 R , 通常可以设定为单位矩阵 I , 而只调整对状态 变量的加权矩阵 Q. 定义一 2 n 维向量 P s 具有下述形式 :
浙江大学学报 ( 工学版) 网址 : www. journals. zju. edu. cn/ eng