振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究
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Q = diag p s1 , ps2 , …, p s n , …, ps2 n .
2 2 2 2
( 11)
1) 编码 . 采用二进制编码形式 , 将 Q 的分量代
式 ( 11) 确保了 Q 正定 . 定义性能指标函数为
Jc =
1 2
∫ x Qx + u Ru
T T 0
t ss
d t.
( 12)
式中 : tss 是一设定的时间 , 可根据系统实际运行状 况 ( 主要考虑系统的振动衰减时间 ) 而定 ; R 取为单 位矩阵 ; 寻找一 Q , 使得性能指标函数 J c 的值为极 小 . 假设系统具有初始条件 ( 具有模态位移 , 无模态 速度 ) , 通过采用状态反馈控制 , 系统在 tss 时间段 内, x、 u 可以求解 ,因此 J c 也可以求解 ,使得 J c 值 达极小时所对应的 Q 对式 ( 4 ) 所述的二次型性能指 标最优 ,从而所获得的状态反馈控制是最优的 . 但由 于问题的特殊性 , Q 的求解并未考虑到实际振动主 动控制问题中的硬件条件限制和控制效果 , 上述策 略还需改进 . 考虑控制精度和动态性及实际硬件条 件 ,提出下述约束条件 :
在空间结构中 , 很多构件往往采用柔性杆作为 结构的支承件 ,例如太阳能帆板的支杆 、 太空天线支 架以及空间机器人的连杆等 , 因此研究这类基于杆 结构的柔性构件的扭转振动具有较强的理论价值及 实际应用价值 . 线性二次型最优控制因其具有比较 满意的增益储备 、 相角储备以及非线性容限等[ 1 ] ,而 在振动主动控制中得到了广泛应用 . 在线性二次型最优控制器的设计中 , 性能指标 函数中加权矩阵 Q 和 R 的选择对于最优控制的结 果具有很大影响 . 其选择方法多种多样 ,许多学者作
x = Ax - BR B Px , y = Cx .
T
( 9)
3 加权矩阵 Q 、 R 的选取
图1 柔性杆组成布局简图
Fig. 1 Simplified configuration of flexible bar
在二次型性能指标函数中 , 被积函数中的第一 项 x Qx 主要反映响应过程初始阶段较大偏差的性 质 ,被积函数中的第二项 uT Ru 主要反映对控制响 量的约束 ,因而二次型性能指标函数可以理解为状 态衰减速度与控制过程所消耗的能量之间的一种折 衷 . 加权矩阵 Q 和 R 分别为对状态向量和输入控制 向量的惩罚 . 它们的惩罚作用具有相对性 ,也就是说 增大矩阵 Q 中元素的值 ,就相当于减小矩阵 R 中元 素的值 ; 而减小矩阵 Q 中元素的值 , 则相当于增大 矩阵 R 中元素的值 . 所以对于控制输入 u 的加权矩 阵 R , 通常可以设定为单位矩阵 I , 而只调整对状态 变量的加权矩阵 Q. 定义一 2 n 维向量 P s 具有下述形式 :
Ps = ps1 , p s2 , …, ps2 n .
T
由假设模态法及拉格朗日方程 , 可建立系统的 动力学方程 ,即 η η = QU 1 . ( 1) M ¨+ K 式中 : M 为系统的质量矩阵 , K 为系统的刚度矩阵 , Q 为系统的广义力矩阵 , η为系统的模态坐标矩阵 , U 1 为施加在压电扭转致动器上的电压 . 考虑系统阻尼 ,则 η η+ K η = QU 1 . ( 2) M ¨+ Γ 式中 : Γ = aM + bK , a 、 b 为常值比例系数 . 将系统表示成状态方程形式 ,即
T ransmission an d Cont rol , Zhej i an g U ni versit y , H an gz hou 310027 , Chi na)
Abstract : Co nsidering t he p roperties of space flexible st ruct ures , t he tor sio nal vibratio n of a flexible bar system co nsisting of a flexible bar , a sensor and a piezoelect ric act uato r was investigated. The dynamic e2 quatio ns of t he system were established using t he Lagrange equatio n and t he assumed mode met hod. The linear quadratic optimal co nt rol was employed to co nt rol t he flexible system. The choo sing met hod of t he weighting mat rix was st udied. A met ho d based o n t he genetic algorit hm co mbined wit h co nst raint s was p ropo sed and simulatio ns were employed. The result s showed that the proposed choosing method of the weigh2 ting matrix was effective , and the torsional vibration of the system after control was attenuated dramatically. Key words : linear quadratic ; tor sio nal vibratio n ; piezoelect ric torsio nal act uato r ; weighting mat rix
第 43 卷第 3 期 2009 年 3 月
Jo urnal of Zhejiang U niversity ( Engineering Science)
浙 江 大 学 学 报 ( 工学版)
Vol . 43 No . 3 Mar . 2009
DO I : 10. 3785/ j. issn. 10082973X. 2009. 03. 004
y ( tss )
表的个体表示为一个{0 ,1}二进制串 . 串长取决于求 解的精度和决策变量的定义域 . 本研究中 , 将向量 Ps 的分量 p s i 作为决策变量 . 某一个参数 , 定义域为 [ ( bo und i ) min , ( bo und i ) max ] , 求解的精度为 Γ, 则字 符串的长度为 log2 { [ ( bo und i ) max 2 ( bo und i ) min ]/ Γ }. 向大的方向取整 , 设为 l i , 则该参数的定义域被离 散成 2 l i 个离散点 ,对应 00 … 0 ( 长度为 l i ) 到 11 … 1 (长度为 l i ) 之间的二进制编码 , 这样就构成了参数 优化问题的染色体编码 . 优化多个参数时 ,对每个参 数 ,根据其定义域和求解精度进行编码 ,然后将这些 编码依次连接起来 ,组成一个二进制编码串 ,其总长 为
Research on linear quadratic optimal control problem in active vibration control
W EI Yan2ding , L OU J un2qiang , L V Yo ng2gui , C H EN Zi2chen
( Zhej i an g Provi nce Key L aborat来自百度文库ry of A d vanced M anu f act u ri n g Technolog y , T he S t ate Key L aboratory of Fl ui d Pow er
第3期
魏燕定 ,等 : 振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究 B =
0
M Q
-1
421
本文对一柔性杆系统的扭转振动进行了主动控 制研究 ,采用线性二次型最优控制 ,提出了一种基于 遗传算法并带约束条件的加权矩阵 Q 的选取方法 , 进行了数值仿真研究 ,验证了所提出方法的有效性 .
; C =
振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究
魏燕定 , 娄军强 ,吕永桂 , 陈子辰
( 浙江大学 浙江省先进制造技术重点研究实验室 ,流体传动与控制国家重点实验室 ,浙江 杭州 310027)
摘 要 : 针对空间柔性构件的特点 ,研究了一类由柔性杆 、 传感器 、 压电扭转致动器组成的柔性杆系统的扭转振动 . 运 用拉格朗日方程和假设模态法建立了系统的动力学方程 ,采用线性二次型最优控制对柔性杆的扭转振动进行了主动 控制 . 对二次型指标中的加权矩阵的选择方法进行了深入探讨 ,提出一种基于遗传算法并带约束条件的加权矩阵的 选择方法 . 数值仿真结果表明 ,所提出的加权矩阵的选择策略是有效的 ,施控后系统的扭转振动能得到有效衰减 . 关键词 : 线性二次型 ; 扭转振动 ; 压电扭转致动器 ; 加权矩阵 中图分类号 : TP24 ; TB32 文献标识码 : A 文章编号 : 10082973X(2009) 0320420205
收稿日期 : 2007209212.
了大量的研究 . 传统的试算 ( t rial2and2error ) 方法费 时费力 . Harvey 等人[ 2 ] 提出的基于特征值和特征向 量配置的方法很难将特征值及特征向量配置到较高 的质量上 , 尤其对于高阶系统更显无力 . St uckman 等人 [ 3 ] 提出的全局搜索方法定义了一个可以描述受 控系统具有理想性能指标的线性或非线性函数 , 然 后采用 Bayesian 全局搜索算法来确定最优的 Q 和 [4 ] R . 吴克恭 提出的基于输出矩阵 C 的加权矩阵选 T 择方法中 ,令 Q = ρ C C , 为了获得满意的控制效果 , 需要试算大量的ρ值 ,因此仍是一种试算法 .
Cs
T
0
,
其中 Cs 为传感器输出参数阵 ; u = U 1 I .
1 柔性杆系统动力学建模
柔性杆系统由柔性杆 、 压电扭转致动器 、 电阻应 变传感器组成 ,如图 1 所示 . 考虑其边界条件为一端 固定 、 一端连接一尺寸可以忽略不计但具有转动惯 量 J end 的等效圆盘 . 在杆上黏贴一只环形压电扭转 致动器[ 5 ] ,一对与轴向成 45° 角的压电应变片传感器 ( 采用半桥 、 温度自补偿接法) . 压电扭转致动器中心 和柔性杆固定端的距离为 x 1 , 电阻应变传感器和柔 性杆固定端的距离为 x 2 . 为了便于理论建模 , 假设 致动器 、 传感器黏接完好 ,不考虑黏贴层对柔性杆系 统的影响 . 由于压电致动器的质量特性与柔性杆相 差不多 ,应考虑致动器的质量特性对系统带来的影 响 ,电阻应变传感器则可以忽略 . 因为主要研究此柔 性杆系统扭转振动的主要特性 , 所以忽略重力对系 统动力学的影响 .
浙江大学学报 ( 工学版) 网址 : www. journals. zju. edu. cn/ eng
基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (50875235 ,50275131) . 作者简介 : 魏燕定 (1970 - ) , 男 , 浙江诸暨人 ,教授 ,博导 ,从事振动测试与控制 、 机电一体化等研究 . E2mail : weiyd @zju. edu. cn
x = Ax + Bu , y = Cx .
( 3)
式中 : x = η ; A = η
0
- M
-1
( 10)
I K - M Γ
-1
;
式中 : a < ps i < b , ps i 为一实数 , a 、 b 为正实数 . 设加权矩阵 Q 具有下述形式 :
422
浙 江 大 学 学 报 ( 工学版) 第 43 卷
2 线性二次型最优控制理论
定义关于状态向量和控制向量的二次型性能指 标为 [ 6 ]
Js =
1 2
∫ x Qx + u Ru
T T 0
∞
d t.
( 4)
式中 : Q 和 R 分别为对状态变量和输入变量的加权 矩阵 ,且 Q 为半正定矩阵 , R 为正定矩阵 . 二次型最优控制问题就是对线性时不变系统式 ( 3 ) ,确定最优控制的输入规律 ,即 3 ( 5) u = - Kx . 式中 : K 为状态反馈增益矩阵 , 使得二次型性能指 标式 ( 4) 最小 . 反馈增益矩阵可表示为
K = R B P, P 应当满足下述黎卡提 ( Riccati ) 代数方程 : - PA - A P + PB R B P - Q = 0 .
T
-1 -1
T
( 6) ( 7) ( 8)
T
由式 ( 5) ～ ( 7) 可知 ,最优控制规律为
u
3
= - Kx = - R B Px .
-1
-1
T
将式 ( 8) 代入式 ( 3) ,可得闭环系统的状态方程为
2 2 2 2
( 11)
1) 编码 . 采用二进制编码形式 , 将 Q 的分量代
式 ( 11) 确保了 Q 正定 . 定义性能指标函数为
Jc =
1 2
∫ x Qx + u Ru
T T 0
t ss
d t.
( 12)
式中 : tss 是一设定的时间 , 可根据系统实际运行状 况 ( 主要考虑系统的振动衰减时间 ) 而定 ; R 取为单 位矩阵 ; 寻找一 Q , 使得性能指标函数 J c 的值为极 小 . 假设系统具有初始条件 ( 具有模态位移 , 无模态 速度 ) , 通过采用状态反馈控制 , 系统在 tss 时间段 内, x、 u 可以求解 ,因此 J c 也可以求解 ,使得 J c 值 达极小时所对应的 Q 对式 ( 4 ) 所述的二次型性能指 标最优 ,从而所获得的状态反馈控制是最优的 . 但由 于问题的特殊性 , Q 的求解并未考虑到实际振动主 动控制问题中的硬件条件限制和控制效果 , 上述策 略还需改进 . 考虑控制精度和动态性及实际硬件条 件 ,提出下述约束条件 :
在空间结构中 , 很多构件往往采用柔性杆作为 结构的支承件 ,例如太阳能帆板的支杆 、 太空天线支 架以及空间机器人的连杆等 , 因此研究这类基于杆 结构的柔性构件的扭转振动具有较强的理论价值及 实际应用价值 . 线性二次型最优控制因其具有比较 满意的增益储备 、 相角储备以及非线性容限等[ 1 ] ,而 在振动主动控制中得到了广泛应用 . 在线性二次型最优控制器的设计中 , 性能指标 函数中加权矩阵 Q 和 R 的选择对于最优控制的结 果具有很大影响 . 其选择方法多种多样 ,许多学者作
x = Ax - BR B Px , y = Cx .
T
( 9)
3 加权矩阵 Q 、 R 的选取
图1 柔性杆组成布局简图
Fig. 1 Simplified configuration of flexible bar
在二次型性能指标函数中 , 被积函数中的第一 项 x Qx 主要反映响应过程初始阶段较大偏差的性 质 ,被积函数中的第二项 uT Ru 主要反映对控制响 量的约束 ,因而二次型性能指标函数可以理解为状 态衰减速度与控制过程所消耗的能量之间的一种折 衷 . 加权矩阵 Q 和 R 分别为对状态向量和输入控制 向量的惩罚 . 它们的惩罚作用具有相对性 ,也就是说 增大矩阵 Q 中元素的值 ,就相当于减小矩阵 R 中元 素的值 ; 而减小矩阵 Q 中元素的值 , 则相当于增大 矩阵 R 中元素的值 . 所以对于控制输入 u 的加权矩 阵 R , 通常可以设定为单位矩阵 I , 而只调整对状态 变量的加权矩阵 Q. 定义一 2 n 维向量 P s 具有下述形式 :
Ps = ps1 , p s2 , …, ps2 n .
T
由假设模态法及拉格朗日方程 , 可建立系统的 动力学方程 ,即 η η = QU 1 . ( 1) M ¨+ K 式中 : M 为系统的质量矩阵 , K 为系统的刚度矩阵 , Q 为系统的广义力矩阵 , η为系统的模态坐标矩阵 , U 1 为施加在压电扭转致动器上的电压 . 考虑系统阻尼 ,则 η η+ K η = QU 1 . ( 2) M ¨+ Γ 式中 : Γ = aM + bK , a 、 b 为常值比例系数 . 将系统表示成状态方程形式 ,即
T ransmission an d Cont rol , Zhej i an g U ni versit y , H an gz hou 310027 , Chi na)
Abstract : Co nsidering t he p roperties of space flexible st ruct ures , t he tor sio nal vibratio n of a flexible bar system co nsisting of a flexible bar , a sensor and a piezoelect ric act uato r was investigated. The dynamic e2 quatio ns of t he system were established using t he Lagrange equatio n and t he assumed mode met hod. The linear quadratic optimal co nt rol was employed to co nt rol t he flexible system. The choo sing met hod of t he weighting mat rix was st udied. A met ho d based o n t he genetic algorit hm co mbined wit h co nst raint s was p ropo sed and simulatio ns were employed. The result s showed that the proposed choosing method of the weigh2 ting matrix was effective , and the torsional vibration of the system after control was attenuated dramatically. Key words : linear quadratic ; tor sio nal vibratio n ; piezoelect ric torsio nal act uato r ; weighting mat rix
第 43 卷第 3 期 2009 年 3 月
Jo urnal of Zhejiang U niversity ( Engineering Science)
浙 江 大 学 学 报 ( 工学版)
Vol . 43 No . 3 Mar . 2009
DO I : 10. 3785/ j. issn. 10082973X. 2009. 03. 004
y ( tss )
表的个体表示为一个{0 ,1}二进制串 . 串长取决于求 解的精度和决策变量的定义域 . 本研究中 , 将向量 Ps 的分量 p s i 作为决策变量 . 某一个参数 , 定义域为 [ ( bo und i ) min , ( bo und i ) max ] , 求解的精度为 Γ, 则字 符串的长度为 log2 { [ ( bo und i ) max 2 ( bo und i ) min ]/ Γ }. 向大的方向取整 , 设为 l i , 则该参数的定义域被离 散成 2 l i 个离散点 ,对应 00 … 0 ( 长度为 l i ) 到 11 … 1 (长度为 l i ) 之间的二进制编码 , 这样就构成了参数 优化问题的染色体编码 . 优化多个参数时 ,对每个参 数 ,根据其定义域和求解精度进行编码 ,然后将这些 编码依次连接起来 ,组成一个二进制编码串 ,其总长 为
Research on linear quadratic optimal control problem in active vibration control
W EI Yan2ding , L OU J un2qiang , L V Yo ng2gui , C H EN Zi2chen
( Zhej i an g Provi nce Key L aborat来自百度文库ry of A d vanced M anu f act u ri n g Technolog y , T he S t ate Key L aboratory of Fl ui d Pow er
第3期
魏燕定 ,等 : 振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究 B =
0
M Q
-1
421
本文对一柔性杆系统的扭转振动进行了主动控 制研究 ,采用线性二次型最优控制 ,提出了一种基于 遗传算法并带约束条件的加权矩阵 Q 的选取方法 , 进行了数值仿真研究 ,验证了所提出方法的有效性 .
; C =
振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究
魏燕定 , 娄军强 ,吕永桂 , 陈子辰
( 浙江大学 浙江省先进制造技术重点研究实验室 ,流体传动与控制国家重点实验室 ,浙江 杭州 310027)
摘 要 : 针对空间柔性构件的特点 ,研究了一类由柔性杆 、 传感器 、 压电扭转致动器组成的柔性杆系统的扭转振动 . 运 用拉格朗日方程和假设模态法建立了系统的动力学方程 ,采用线性二次型最优控制对柔性杆的扭转振动进行了主动 控制 . 对二次型指标中的加权矩阵的选择方法进行了深入探讨 ,提出一种基于遗传算法并带约束条件的加权矩阵的 选择方法 . 数值仿真结果表明 ,所提出的加权矩阵的选择策略是有效的 ,施控后系统的扭转振动能得到有效衰减 . 关键词 : 线性二次型 ; 扭转振动 ; 压电扭转致动器 ; 加权矩阵 中图分类号 : TP24 ; TB32 文献标识码 : A 文章编号 : 10082973X(2009) 0320420205
收稿日期 : 2007209212.
了大量的研究 . 传统的试算 ( t rial2and2error ) 方法费 时费力 . Harvey 等人[ 2 ] 提出的基于特征值和特征向 量配置的方法很难将特征值及特征向量配置到较高 的质量上 , 尤其对于高阶系统更显无力 . St uckman 等人 [ 3 ] 提出的全局搜索方法定义了一个可以描述受 控系统具有理想性能指标的线性或非线性函数 , 然 后采用 Bayesian 全局搜索算法来确定最优的 Q 和 [4 ] R . 吴克恭 提出的基于输出矩阵 C 的加权矩阵选 T 择方法中 ,令 Q = ρ C C , 为了获得满意的控制效果 , 需要试算大量的ρ值 ,因此仍是一种试算法 .
Cs
T
0
,
其中 Cs 为传感器输出参数阵 ; u = U 1 I .
1 柔性杆系统动力学建模
柔性杆系统由柔性杆 、 压电扭转致动器 、 电阻应 变传感器组成 ,如图 1 所示 . 考虑其边界条件为一端 固定 、 一端连接一尺寸可以忽略不计但具有转动惯 量 J end 的等效圆盘 . 在杆上黏贴一只环形压电扭转 致动器[ 5 ] ,一对与轴向成 45° 角的压电应变片传感器 ( 采用半桥 、 温度自补偿接法) . 压电扭转致动器中心 和柔性杆固定端的距离为 x 1 , 电阻应变传感器和柔 性杆固定端的距离为 x 2 . 为了便于理论建模 , 假设 致动器 、 传感器黏接完好 ,不考虑黏贴层对柔性杆系 统的影响 . 由于压电致动器的质量特性与柔性杆相 差不多 ,应考虑致动器的质量特性对系统带来的影 响 ,电阻应变传感器则可以忽略 . 因为主要研究此柔 性杆系统扭转振动的主要特性 , 所以忽略重力对系 统动力学的影响 .
浙江大学学报 ( 工学版) 网址 : www. journals. zju. edu. cn/ eng
基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (50875235 ,50275131) . 作者简介 : 魏燕定 (1970 - ) , 男 , 浙江诸暨人 ,教授 ,博导 ,从事振动测试与控制 、 机电一体化等研究 . E2mail : weiyd @zju. edu. cn
x = Ax + Bu , y = Cx .
( 3)
式中 : x = η ; A = η
0
- M
-1
( 10)
I K - M Γ
-1
;
式中 : a < ps i < b , ps i 为一实数 , a 、 b 为正实数 . 设加权矩阵 Q 具有下述形式 :
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浙 江 大 学 学 报 ( 工学版) 第 43 卷
2 线性二次型最优控制理论
定义关于状态向量和控制向量的二次型性能指 标为 [ 6 ]
Js =
1 2
∫ x Qx + u Ru
T T 0
∞
d t.
( 4)
式中 : Q 和 R 分别为对状态变量和输入变量的加权 矩阵 ,且 Q 为半正定矩阵 , R 为正定矩阵 . 二次型最优控制问题就是对线性时不变系统式 ( 3 ) ,确定最优控制的输入规律 ,即 3 ( 5) u = - Kx . 式中 : K 为状态反馈增益矩阵 , 使得二次型性能指 标式 ( 4) 最小 . 反馈增益矩阵可表示为
K = R B P, P 应当满足下述黎卡提 ( Riccati ) 代数方程 : - PA - A P + PB R B P - Q = 0 .
T
-1 -1
T
( 6) ( 7) ( 8)
T
由式 ( 5) ～ ( 7) 可知 ,最优控制规律为
u
3
= - Kx = - R B Px .
-1
-1
T
将式 ( 8) 代入式 ( 3) ,可得闭环系统的状态方程为