2019-2020学年山东省潍坊一中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年山东省潍坊一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合M={x∈R|0≤x≤2}，N={x∈Z|(x−3)(x+1)<0}，则M∩N=()
A. [0,2]
B. {1}
C. {1}
D. {0,1，2}
2.已知集合A={x|x2−4=0}，则下列关系式表示正确的是()
A. ⌀∈A
B. {−2}=A
C. 2∈A
D. {2,−2}⫋A
3.函数f(x)=1
x−1
+√4−2x的定义域为()
A. (−∞,2]
B. (0,2]
C. (−∞,1)∪(1,2]
D. (0,1)∪(1,2]
4.函数y=a x–2+2(a>0,a≠1)的图象必过定点()．
A. (1,2)
B. (2,2)
C. (2,3)
D. (3,2)
5.方程e x+x=4的解所在的区间是()
A. (−1,0)
B. (0,1)
C. (1,2)
D. (2,3)
6.与函数v=√−2x3是相同函数的是()
A. v=x√−2x
B. y=−√2x3
C. y=−x√−2x
D. y=x2√−2
x
7.已知函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)在区间[m,2m]上的值域为[m,2m]，则a=()
A. √2
B. 1
4
C. D.
8.已知函数f(x)={|2x−1|,x<2,
3
x−1
,x≥2,若方程f(x)−a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值
范围是()
A. (1,3)
B. (0,3)
C. (0,2)
D. (0,1)
9.设函数f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数且满足f(x)+g(x)=x3−x2+1，则
f(1)=()
A. −1
B. 1
C. −2
D. 2
10.函数f(x)=(16x−16−x)log2|x|的大致图象为()
A. B. C. D.
11.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(−∞,0](x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)
x2−x1
<0，且f(2)=0，
则不等式2f(x)+f(−x)
x
<0解集是()．
A. (−∞,−2)∪(2,+∞)
B. (−∞,−2)∪(0,2)
C. (−2,0)∪(2,+∞)
D. (−2,0)∪(0,2)
12. 已知函数f(x)={−x 2+ax,x ⩽13ax −7,x >1
，若存在x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )
A. [3,+∞)
B. (3,+∞)
C. (−∞,3)
D. (−∞,3]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f(x)=2x 2−x ，则f(1)=__________．
14. 函数f(x)=(13)x −|log 3x|的零点个数为________个．
15. 已知f(x)是一次函数，且f [f (x )]=x +2，则函数解析式为_________
16. 若函数f(x)={x +2,x >0x 2−1,x ≤0
，则f(f(−2))=______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知集合A ={x|x ≤a +3}，B ={x|x <−1或x >5}．
(1)若a =−2，求A ∩∁R B ；
(2)若A ∩B =A ，求a 的取值范围．
18. 计算下列各式的值：
(1)(0.064)−13+[(−2)2]−32+16−34+0.2512+(43)−1； (2)log 2
√22+2lg5+lg4+71−log 72．
19. f(x)=−12x 2+
132在区间[a,b]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a,b]．
20. 经市场调查，某商品在过去的30天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间t(单位：
天)的函数，且销售量近似地满足f(t)={10+t,1≤t ≤1540−t,16≤t ≤30
(t ∈N)，价格为g(t)=30−t(1≤t ≤30,t ∈N)．
(1)求该种商品的日销售额ℎ(t)与时间t 的函数关系；
(2)求t 为何值时，日销售额最大？并求出最大值．
21. 已知函数f(x)=px 2+2−3x ，f(2)=−53．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并加以证明．
22. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=12(|x −1|+|x −2|−3)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象；
(3)若对任意的x ∈R ，恒有f(x)≤f(x +a)，求正实数a 的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：解：M ={x|0≤x ≤2}，N ={0,1，2}；
∴M ∩N ={0,1，2}．
故选：D ．
可解出集合N ，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．
2.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题．
根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断即可．
【解答】
解：集合A ={x|x 2−4=0}={−2,2}；
对于A ：空集是任何集合的子集，应该⌀⊆A ，∴A 不对;
对于B ：集合与集合的关系，应该{−2}⊆A ，∴B 不对;
对于C ：2是集合A 的元素，即2∈A ，∴C 对;
对于D ：集合与集合的关系，应该{2,−2}=A ．
故选C ．
3.答案：C
解析：
【分析】
本题考查求函数的定义域，属于基础题目．
【解答】
解：要使函数有意义应满足{x −1≠04−2x ≥0
， 解得x ≤2且x ≠1．
故函数的定义域为(−∞,1)∪(1,2]．
故选C．
4.答案：C
解析：解：可令x−2=0，解得x=2，
y=a0+2=1+2=3，
则函数y=a x−2+2(a>0,a≠1)的图象必过定点(2,3)．
故选：C．
由指数函数的图象恒过定点(0,1)，可令x−2=0，计算即可得到所求定点．
本题考查指数函数的图象的特点，考查运算能力，属于基础题．
5.答案：C
解析：
【分析】
本题考查函数的零点的存在性定理，属基础题．
由题意易得f(1)f(2)<0，由零点的存在性定理可得答案．
【解答】
解：设f(x)=e x+x−4，易知f(x)为增函数，
又f(1)=e+1−4<0，f(2)=e2+2−4>0，
可知f(1)f(2)<0，
由零点的存在性定理可得：
f(x)=0的解所在区间为(1,2)，
故选C．
6.答案：C
解析：
【分析】
本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数，我们根据两个函数是否为同一函数的判断方法，要先求函数y=√−2x3的定义域，然后再化简解析式，然后再去判断．
两个函数解析式表示同一个函数需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足．
【解答】
解：要使函数解析式有意义则x ≤0
即函数y =√−2x 3的定义域为：(−∞,0] 故y =√−2x 3=|x|√−2x =−x √−2x
又因为函数y =−x √−2x 的定义域也为：(−∞,0]
故函数y =√−2x 3与函数y =−x √−2x 表示同一个函数
则他们有相同的图象
故选C
7.答案：C
解析：
【分析】
本题考查指数函数的性质；根据指数函数的性质，讨论底数a 与1的关系，利用其单调性得到定义域与值域的定义关系．
【解答】
解：由题意，a >1时，a m =m ，且a 2m =2m ，所以m =2，所以a =√2;
当0<a <1时，a m =2m ，且a 2m =m ，所以m =14，所以a =1
16;
故选C ． 8.答案：D
解析：
【分析】
本题考查函数与方程的应用，难度一般.方程f (x )−a =0有三个不同的实数根，等价于y =f (x )与y =a 有三个不同交点，画出函数f (x )的图像观察图象即可得结论．
【解答】
解：由函数f(x)={|2x −1|,x <23x−1,x ⩾2,图像如下：
方程f (x )−a =0有三个不同的实数根，等价于y =f (x )与y =a 有三个不同交点，则由图可知0<a <1．
故选D．
9.答案：B
解析：
【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
根据题意，计算出f(1)+g(1)、−f(1)+g(1)的值即可．
【解答】
解：由题可知：f(1)+g(1)=1−1+1=1①，
f(−1)+g(−1)=−1−1+1=−1，
由f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，
∴−f(1)+g(1)=−1②，
由①②得f(1)=1，
故选：B．
10.答案：A
解析：
【分析】
本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性，属于基础题．
分析函数的奇偶性和当x→0时的极限值，利用排除法，可得函数f(x)的大致图象．
【解答】
解：∵函数f(x)=(16x−16−x)log2|x|，定义域为{x|x≠0}，
∴函数f(−x)=(16−x−16x)log2|−x|=−[(16x−16−x)log2|x|]，
即f(−x)=−f(x)，
故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B，C
当x→0时，f(x)→0，故排除D，
故选：A．
11.答案：B
解析：
【分析】
本题主要考查了函数的单调性以及奇偶性的综合应用，利用函数奇偶性和单调性即可求得结果．【解答】
<0，
解：∴对任意的x1,x2∈(−∞,0](x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)
x2−x1
∴f(x)在(−∞,0]为减函数，
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)在[0,+∞)为增函数，
∴f(x)+f(−x)x <0等价于2f (x )x <0，
即xf(x)<0，
∵f(2)=0，
∴f(−2)=0，
由xf(x)<0，
得{x >0f (x )<0或{x <0f (x )>0
， 即0<x <2或x <−2．
故选B ．
12.答案：C
解析：
【分析】
本题考查函数的单调性和运用，注意二次函数的对称轴和区间的关系，考查分类讨论思想和运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
【解答】
解：函数f(x)={−x 2+ax,x ⩽13ax −7,x >1
, 存在x 1,x 2∈R 且x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，
当a 2<1，即a <2时，
由二次函数的图象和性质，可知：
存在x 1,x 2∈(−∞,1]且x 1≠x 2，
使得f(x 1)=f(x 2)成立，
当a 2≥1，即a ≥2时，
若存在x 1,x 2∈R 且x 1≠x 2，
使得f(x 1)=f(x 2)成立，
则−1+a >3a −7，解得a <3，
∴2≤a <3，
综上所述：实数a 的取值范围是(−∞,3)．
故选：C ．
13.答案：3
解析：
【分析】
本题考查偶函数的定义：对任意的x 都有f(−x)=−f(x)，是基础题．
将x ≤0的解析式中的x 用−1代替，求出f(−1)；利用偶函数的定义得到f(−1)与f(1)的关系，求出f(1)．
【解答】
解：∵f(x)是定义在R 上的偶函数，且x ≤0时，f(x)=2x 2−x ，
∴f(1)=f(−1)=2×(−1)2−(−1)=3．
故答案为3．
14.答案：2
解析：
【分析】
本题考查了函数的零点与方程根的关系及函数零点存在性定理，掌握这些知识点是解题的关键.此题难度不大，属于基础题．
【解答】
解：令f(x)=0，即
， 则(13
)x =|log 3x |， 令y =(13)x 与y =|log 3x |，在坐标系中作出的图象，如图所示：
由图象可得：y =(13
)x 与有两个交点， 即方程有两个根，
则函数
的零点个数为2个．
故答案为2． 15.答案：f(x)=x +1
解析：
【分析】
本题考查函数解析式的求解，属于基础题．
解题时设f (x )=ax +b ，根据题意得到方程组{a 2=1ab +b =2
，解方程组，可以求出结果． 【解答】
解：设f (x )=ax +b ，
f(f (x ))=a (ax +b )+b =a 2x +ab +b =x +2，
得到：{a 2=1ab +b =2
，解得：{a =1b =1 则f(x)=x +1．
故答案为f(x)=x +1．
16.答案：5
解析：
【分析】
本题考查分段函数，依题意，f (−2)=(−2)2−1=3，f(f(−2))=f (3)，代入解析式即可求得结果．
【解答】
解：因为f(x)={x +2,x >0x 2−1,x ≤0
，所以f (−2)=(−2)2−1=3，f(f(−2))=f (3)=3+2=5， 故答案为5．
17.答案：解：(1)∵集合A ={x|x ≤a +3}，
∴a =−2时，集合A ={x|x ≤1}，
又B ={x|x <−1或x >5}，
∴C R B ={x|−1≤x ≤5}，
∴A ∩C R B ={x|−1≤x ≤1}；
(2)∵集合A ={x|x ≤a +3}，B ={x|x <−1或x >5}，
且A ∩B =A ，
∴A ⊆B ，
∴a +3<−1，
解得a <−4，
即a 的取值范围是a <−4．
解析：(1)求出a =−2时集合A 以及B 的补集，计算A ∩C R B ；
(2)根据交集的定义得出A ⊆B ，利用子集的定义列出不等式求出a 的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了集合的概念与应用问题，是基础题目．
18.答案：解：(1)原式=(641000)−13+2−3+2−3+0.5+34=52+18+18+12+34=4； (2)原式=log 22−12+2(lg5+lg2)+72=−12+2+72=5．
解析：(1)进行分数指数幂的运算即可；
(2)进行对数的运算即可．
考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的运算性质．
19.答案：解：(1)因为f(x)对称轴为x =0
若0≤a <b ，则f(x)在[a,b]上单调递减，
所以f(a)=2b ，f(b)=2a ，
于是{2b =−12a 2+1322a =−12b 2+132
， 解得[a,b]=[1,3]．
(2)若a <b ≤0，则f(x)在[a,b]上单调递增，
所以f(a)=2a ，f(b)=2b ，
于是{2a =−12a 2+1322b =−12b 2+132
，方程两根异号， 故不存在满足a <b ≤0的a ，b ．
(3)若a <0<b ，则f(x)在[a,0]上单调递增，在[0,b]上单调递减，
所以2b =132⇒b =
134． 所以f(b)=−12⋅(134)2+
132=1932>0， 又a <0，所以2a ≠1932，
故f(x)在x =a 处取得最小值2a ，即2a =−12a 2+
132，得a =−2−√17，
所以[a,b]=[−2−√17,134]．
综上所述，[a,b]=[1,3]或[−2−√17,13
4
]．
解析：求出二次函数的对称轴，通过对区间与对称轴x=0的位置关系分三类，求出二次函数f(x)的最值，列出方程组，求出a，b的值．
解决二次函数在区间上的单调性、最值问题，应该先求出二次函数的对称轴，根据对称轴与区间的关系来解决．
20.答案：解：(1)当1≤t≤15时，ℎ(t)=f(t)g(t)=(10+t)(30−t)=−t2+20t+300，
当16≤t≤30时，ℎ(t)=f(t)g(t)=(40−t)(30−t)=t2−70t+1200，
∴该种商品的日销售额ℎ(t)与时间t的函数关系为
ℎ(t)={−t 2+20t+300,1≤t≤15
t2−70t+1200,16≤t≤30
(t∈N)；
(2)当1≤t≤15时，ℎ(t)=−t2+20t+300=−(t−10)2+400，
当t=10时，此时最大，最大值为400元，
当16≤t≤30时，ℎ(t)=t2−70t+1200=(t−35)2+25，其对称轴为t=35，故函数ℎ(t)在[16,30]单调递减，故当t=16时，最大，最大值为386，
综上所述，当t=10时，日销售额最大，最大值为400元．
解析：(1)利用ℎ(t)=f(t)⋅g(t)，通过t的范围求出函数的解析式．
(2)利用分段函数结合二次函数的性质求解函数的最值即可．
本题考查分段函数的应用，实际问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．
21.答案：解：(1)由题意知f(2)=−5
3，f(x)=px2+2
−3x
，
即f(2)=4p+2
−6=−5
3
，解得p=2
则所求解析式为f(x)=2x2+2
−3x
．
(2)由(1)可得f(x)=−2
3(x+1
x
)，则函数f(x)在区间(0,1)上是增函数，
证明如下：设0<x1<x2<1，
∴f(x1)−f(x2)=2
3
[(x2+
1
x2
)−(x1+
1
x1
)]=
2
3
[(x2−x1)+(
1
x2
−
1
x1
)]
=2
3
[(x2−x1)+
x1−x2
x1x2
=
2
3
(x2−x1)(1−
1
x1x2
)=
2
3
(x2−x1)(
x1x2−1
x1x2
)
∵0<x1<x2<1，0<x1x2<1，1−x1x2>0，x1−x2<0,，∴f(x1)−f(x2)<0，即∴f(x1)<f(x2)，
∴函数f(x)在区间(0,1)上是增函数．
解析：本题考查了有关函数的性质综合题，用待定系数法求解析式，用定义法证明函数的奇偶性和单调性，必须遵循证明的步骤，考查了分析问题和解决问题能力．
(1)把x =2代入函数的解析式，列出关于p 的方程，求解即可;
(2)先把解析式化简后判断出单调性，再利用定义法证明：在区间上取值−作差−变形−判断符号−下结论，因解析式由分式，故变形时必须用通分．
22.答案：解：(1)∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，
当x >0时，f(x)=12
(|x −1|+|x −2|−3)．
∴当x <0时，−x >0，f(−x)=12(|−x −1|+|−x −2|−3)=−f(x)，
∴f(x)=−12(|x +1|+|x +2|−3)， ∴f(x)=12(|x −1|+|x −2|−3)={ x +3,x <−21,−2≤x ≤−1−x,−1<x <1−1,1≤x ≤2x −3,x >2
； (2)画出f(x)的图象如下：
(3)∵a >0，
∴函数y =f(x +a)的图象是函数y =f(x)的图象向左平移a 个单位得到的，
又对任意的x ∈R ，恒有f(x)≤f(x +a)，
∴只需f(x +a)的图象恒在f(x)的图象上方或部分重合，
所以只需函数y =f(x +a)的图象与x 轴最右边的交点P(−a +3,0)在函数y =f(x)的图象与x 轴最左边的交点(−3,0)的左侧或与点(−3,0)重合，
∴−a +3≤−3，
∴a ≥6．
解析：(1)利用函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f(x)=1
2(|x −1|+|x −2|−3)，可求得当x <0时f(x)=−12(|x +1|+|x +2|−3)，从而可得f(x)的解析式；
(2)由f(x)=12(|x −1|+|x −2|−3)={ x +3,x <−21,−2≤x ≤−1−x,−1<x <1−1,1≤x ≤2x −3,x >2
即可画出f(x)的图象； (3)依题意，可得f(x +a)的图象恒在f(x)的图象上方或部分重合，所以只需函数y =f(x +a)的图象与x 轴最右边的交点P(−a +3,0)在函数y =f(x)的图象与x 轴最左边的交点(−3,0)的左侧或与点(−3,0)重合即可求得正实数a 的取值范围．
本题考查抽象函数及其应用，考查利用函数的奇偶性确定函数解析式及作图能力，对于(3)分析出y =f(x +a)与x 轴最右边的交点在y =f(x)与x 轴最左边交点的左边或重合是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．。