2019-2020学年山东省潍坊一中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
山东省高一上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}N 12A x x =∈-≤≤{}Z 1B x x =∈≤A B ⋃=A ． B ．C ．D ．{0,1}{1,0,1}-{1,0,1,2}-{0,1,2}【答案】C【分析】根据给定条件，利用列举法表示出集合A ，B ，再利用并集的定义求解作答. 【详解】集合，， {}N 12A x x =∈-≤≤{0,1,2}={}{}Z 11,0,1B x x =∈≤=-所以. {1,0,1,2}A B =- 故选：C2．“”是“”的 2x >1x >()A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合充分条件和必要条件的判定,即可.【详解】结合题意可知可以推出,但是并不能保证,故为充分不必要条件,故选A. 2x >1x >1x >2x >【点睛】考查了充分条件和必要条件的判定,难度较容易. 3．不等式的解集为（ ） ()()120x x -->A ．或 B ． {|1x x <}2x >{}|12x x <<C ．或 D ． {|2x x <-}1x >-{}|21x x -<<-【答案】B【分析】先将二次项系数转化为正，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】将不等式化为，解得， ()()120x x -->()()120x x --<12x <<所以解集为 {}|12x x <<故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，需注意使用“大于取两边，小于取中间”的前提是二次项系数为正，属于基础题.4．全称命题“，”的否定是（ ） x ∀∈R 21x ≥A ．， B ．，C ．，D ．，x ∀∈R 21x <x ∀∉R 21x ≥x ∃∈R 21x ≥x ∃∈R 21x <【答案】D【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”. x ∀∈R 21x ≥x ∃∈R 21x <故选：D.5．函数的定义域为 (l )n f x x =A ． B ．C ．D ．(0,)+∞(1,)+∞(0,1](0,1)(1,)⋃+∞【答案】B【分析】根据分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零列不等式，解得定义域. 【详解】由题意得：，选B. 10{10x x x ->∴>>【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力，属于基础题. 6．如果，，那么下列不等式成立的是（ ） 0<a 10b -<<A ． B ．C ．D ．2a ab ab >>2ab ab a >>2ab a ab >>2ab ab a >>【答案】D【分析】通过观察三个数的特征可知最大，再利用作差法判断即可得出结果. ab 【详解】由选项可知，仅需要比较三个数的大小， 2,,a ab ab 显然， ，所以最大， 20,0,0a ab ab <><ab 由可得，， 10b -<<201b <<所以，即 22(1)0ab a a b -=->2ab a >可得. 2ab ab a >>故选：D7．设,且,则的最小值为（ ）,x y R +∈191x y +=x y +A ．6 B ．12 C ．14 D ．16【答案】D【分析】利用基本不等式求得，并验证等号成立的条件. 16x y +≥【详解】因为， 199()(1916x yx y x y x y y x+=+⋅+=+++≥等号成立当且仅当，所以的最小值为.选D.4,12x y ==x y +16【点睛】本题考查基本不等式求最小值，求解过程中要利用到“1”的代换这一重要的思想方法，并注意验证等号成立的条件.8．函数的零点所在的区间是（ ）()32xf x x =+-A ． B ． C ． D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】A【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理可得出合适的选项.()f x 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，3x y =2y x =-R ()32xf x x =+-R 因为，，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是. ()010f =-<()120f =>()f x ()0,1故选：A.9．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的函数为（ ） A ．B ．C ．D ．12log y x =3y x =-1y x=12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数为非奇非偶函数，且在定义域上为减函数，A 不满足12log y x =()0,∞+条件；对于B 选项，函数为奇函数，且在定义域上为减函数，B 满足条件；3y x =-R 对于C 选项，函数为奇函数，且在定义域上不单调，C 不满足条件；1y x=()(),00,∞-+∞U 对于D 选项，函数为非奇非偶函数，且在定义域上为减函数，D 不满足条件.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R 故选：B.10．已知偶函数满足：对任意的，都有成立，则满足()f x [)()1212,0,x x x x ∈+∞≠()()12120f x f x x x ->-的取值范围是()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭x A ． B ．C ．D ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,23⎛⎫⎪⎝⎭12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】因为函数是偶函数，所以不等式转化为，再根据函数的单调性转化为()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭解不等式.1213x -<【详解】有题意可知，时，函数单调递增， x ∈[)0,∞+且函数是偶函数，()()11212133f x f f x f ⎛⎫⎛⎫∴-<⇔-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1213x ∴-<112133x ∴-<-<解得.1233x <<故选A.【点睛】本题考查了利用函数的性质解抽象不等式，当函数是偶函数，并且在单调递增()0,∞+时，解不等式时，根据转化为原不等式为，再根据单调()()12f x f x <()()f x f x =()()12f x f x <性表示为求解.12x x <二、多选题11．下列关系中，正确的有（ ） A ． B ．3-∈Z π∉Q C ． D ．{}a a ⊆{}210x x ∅=∈+=R 【答案】ABD【分析】根据元素与集合的关系可判断ABC 选项；根据集合与集合的关系可判断D 选项. 【详解】，，，3-∈Z π∉Q {}a a ∈方程无解，，ABD 对，C 错.210x +={}210x x ∈+==∅R 故选：ABD.12．设，，若，则实数的值可以为（ ）2{|8150}A x x x =-+={|10}B x ax =-=A B B = a A ．B ．C ．D ．150313【答案】ABD【分析】先将集合表示出来，由可得，则根据集合中的元素讨论即可求出A A B B = B A ⊆A a 的值.【详解】集合，由可得， 2{|8150}{3,5}A x x x =-+==A B B = B A ⊆则分和或或， B =∅{3}=B {5}{3,5}当时，满足即可；B =∅0a =当时，满足，解得：；{3}=B 310a -=13a =当时，满足，解得：；{5}B =510a -=15a =当时，显然不符合条件，{3,5}B =所以的值可以为，a 110,,35故选：.ABD三、填空题13．已知幂函数的图象过点，则______． ()y f x =(()9f =【答案】3【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.()y f x =()9f【详解】设，由于图象过点,()ay f x x ==(， 12,2aa ==，()12y f x x ∴==，故答案为3.()12993f ∴==【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14．设集合，，，集合M 的真子集的个数为{0,1,2}A ={4,5}B ={},,M x x a b a A b B ==+∈∈_____． 【答案】15【分析】根据给定条件，求出集合即可求解作答.M 【详解】集合，，而， {0,1,2}A ={4,5}B ={},,M x x a b a A b B ==+∈∈则，所以集合M 的真子集的个数为. {4,5,6,7}M =42115-=故答案为：1515_____（写成分数指数幂的形式）=(0)a >【答案】56a 【分析】利用根式与分数指数幂的关系以及指数幂的运算性质计算可得结果..7522661223a aa a-+===故答案为：.56a 16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________. ()f x R (,0)x ∈-∞32()2f x x x =+(2)f =【答案】12【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果. ()()22f f =--【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，()f x ()()f x f x -=-()()f x f x =--.()()()()322222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.四、解答题17．计算下列各式，写出演算过程(1)； 1222318324272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2). 5525lg 42lg 52log 10log 20log 5log 8++--⋅【答案】(1) 72(2)12-【分析】（1）利用根式、指数幂的运算性质计算可得结果； （2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得结果.【详解】（1）解：原式. 23324344722392992⎡⎤⎛⎫=-+=+-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）解：原式.()225101ln 53ln 211lg 45log 213202ln 2ln 522=⨯+--⋅=+--=-18．已知函数．21()21x x f x -=+(1)判断函数的奇偶性；()f x (2)判断并证明函数在其定义域上的单调性； ()f x 【答案】(1)奇函数(2)函数在R 上单调递增，证明见解析 ()f x【分析】(1)结合已知条件，利用奇偶性定义即可求解；(2)结合指数函数单调性，利用单调性定义即可证明.【详解】（1）∵的定义域R 关于原点对称，且， ()f x ()()2122112()()2112212x xx xxxx x f x f x -----⋅---====-+++⋅∴为奇函数．()f x （2）函数在R 上单调递增． ()f x 证明如下：设是R 上的任意两个实数，且．12,x x 12x x <，()()212121212121212(22)2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++∵函数在R 上为增函数， 2x y =∴，故，2122x x >21220x x ->∴，即. ()()210f x f x ->21()()f x f x >∴函数在R 上单调递增．()f x 19．已知幂函数为偶函数．()()2157m f x m m x -=-+(1)求的解析式；()f x (2)若，求函数在区间上的值域．()()34g x f x x =-+()g x []1,2-【答案】(1)()2f x x =(2) 7,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数为幂函数可得出实数的值，结合函数为偶函()()2157m f x m m x -=-+m ()f x 数可得出的值，由此可得出函数的解析式；m ()f x （2）利用二次函数的单调性可求得函数在上的值域.()g x []1,2-【详解】（1）解：因为函数为幂函数，则，解得或.()()2157m f x m m x -=-+2571m m -+=2m =3当时，函数为奇函数，不合乎题意；2m =()f x x =当时，函数为偶函数，合乎题意.3m =()2f x x =综上所述，.()2f x x =（2）解：由（1）可得，()234g x x x =-+所以函数在上为减函数，在上为增函数，()g x 31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦所以，，.()min 3724g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()max 18g x g =-=因此，函数在区间上的值域为.()g x []1,2-7,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．已知函数，x ∈（b ﹣3，2b ）是奇函数，()5151xx a f x ⋅=-+（1）求a ，b 的值；（2）若f （x ）是区间（b ﹣3，2b ）上的减函数且f （m ﹣1）+f （2m+1）＞0，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）；（2）2,1a b ==()1,0-【分析】（1）根据奇函数性质可得定义域关于原点对称解得b,再根据f （0）=0解得a ，（2）根据奇函数性质以及单调性化简不等式，解不等式得实数m 的取值范围．【详解】（1）∵函数f （x ）=1﹣，x ∈（b ﹣3，2b ）是奇函数，∴f （0）=1﹣=0，且b ﹣3+2b=0，即a=2，b=1． （2）∵f （m ﹣1）+f （2m+1）＞0， ∴f （m ﹣1）＞﹣f （2m+1）．∵f （x ）是奇函数，∴f （m ﹣1）＞f （﹣2m ﹣1）， ∵f （x ）是区间（﹣2，2）上的减函数，∴，即有，∴﹣1＜m ＜0，则实数m 的取值范围是（﹣1，0）．【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据(())(())f g x f h x >函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的f ()g x ()h x 定义域内.21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关x 系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工()()()()253025050251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩10x 费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利20x 润为（单位：元）. ()f x (1)求的函数关系式；()f x (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】(1) ()27530225,0275030,251x x x f x xx x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩………(2)当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元【分析】（1）利用，即可求解；()15()30f x W x x =⨯-（2）对进行化简，得到，然后，分类讨论和()f x ()2175222,02,525780301,251x x x x x ⎧⎛⎫-+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎤⎪-++<⎢⎥⎪+⎣⎦⎩………02x ……时，的取值，进而得到答案.25x <≤max ()f x 【详解】（1）根据题意，，化简得，()15()30f x W x x =⨯-()()151020f x W x x x =--=27530225,0275030,251x x x x x x x⎧-+⎪⎨-<⎪+⎩………（2）由（1）得 ()27530225,0275030,251x x x f x xx x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩………()2175222,02,525780301,251x x x x x ⎧⎛⎫-+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎤⎪-++<⎢⎥⎪+⎣⎦⎩………当时，02x ……()()max 2465f x f ==当时， 25x <≤()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦78030480-⨯=…当且仅当时，即时等号成立. 2511x x=++4x =因为，所以当时，.465480<4x =()max 480f x =故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元.。
2019-2020学年山东省潍坊市第一中学高一上学期10月阶段性质量检测数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省潍坊市第一中学高一上学期10月阶段性质量检测数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|1}M x x =<，{|2,}x N y y x R ==∈，则集合()U C M N =U （ ）A ．(,1]-∞-B ．(1,2)-C ．(,1][2,)-∞-+∞UD ．[2,)+∞【答案】A【解析】由题意可得：{}{}|11,0M x x N x x =-<<=， 则集合()U M N ⋃=ð (],1-∞-. 本题选择A 选项.2．下列四个命题中的真命题为 A ．x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．x 0∈Z,5x 0＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0 【答案】D【解析】采用逐一排查法．对于A ，若1<4x 0<3，则，故不存在x 0∈Z,使得1<4x 0<3，A 为假命题；对于B ，若5x 0＋1＝0，则，故不存在x 0∈Z,使得5x 0＋1＝0，B 为假命题；对于C ，若x 2－1＝0，则，故对∀x ∈R,x 2－1＝0 不可能成立，C 为假命题；对于D,因为，所以∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0，D 为真命题．3．下列函数中，与函数1y x =+是同一个函数的是 （ ） A ．21)y x =+ B ．331y x =C ．21x y x=+D ．21y x =【答案】B【解析】根据定义域、解析式是否与所给函数是否相同判断即可. 【详解】1y x =+的定义域为R ，()2(1)1y x x =+≥-与()210x y x x=+≠定义域不是R ，A 、C 不合题意;211y x x ==+,解析式与1y x =+不相同，D 不合题意，选项B 中函数定义域、解析式都与所给函数相同， 故选B. 【点睛】本题主要考查函数的基本定义，考查了函数的定义域，属于基础题. 4．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则c c a b> C ．若a b >，则a c b c +>+ D ．若a b >，则a c b c ->-【答案】B【解析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若2,1,1a b c ===，则c ca b<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.5．“0a b >>”是“222b a a b <+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】2202a b a b ab >>⇒+>，充分性成立，222a b ab a b +<⇒≠，a ，b R ∈，必要性不成立，故选A ．【点睛】本题主要考查了充分性和必要性的判断，属于基础题.6．如图所示的图形中，可以表示以{|01}M x x =≤≤为定义域，以{|01}N y y =≤≤为值域的函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的定义可判断． 【详解】解：A 选项，函数定义域为M ，但值域不是N ； B 选项，函数定义域不是M ，值域为N ；D 选项，集合M 中存在x 与集合N 中的两个y 对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数的概念及表示方法，是基础题. 7．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6m－4－6－6－4n6由此可以判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根所在的区间是 ( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)【答案】A【解析】由表格可得二次函数f x （） 对称轴为011022x a +==，＞， 再根据310240f f f f --（）（）＜，（）（）＜ ，可得f x （）的零点所在的区间是31--（，）和24（，），即方程20ax bx c ++= 的两个根所在的区间是31--（，） 和24（，）， 故选A ．8．若函数221y x ax =-+在(,2]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞- B ．[2,)-+∞ C ．[2,)+∞ D ．(,2]-∞【答案】C【解析】直接根据二次函数单调性得到答案. 【详解】函数221y x ax =-+在(,2]-∞上是减函数，则对称轴2x a =≥. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据二次函数单调性求参数，意在考查学生对于函数单调性的应用. 9．若()y f x =的定义域为(0,2]，则函数2()1f xg x x =-的定义域是（ ）A ．2]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(0,1)2]U【答案】A【解析】根据函数的定义域得到20210x x ⎧<≤⎨->⎩，解得答案.【详解】()y f x =的定义域为(0,2]，则函数2()1f x g x x =-的定义域满足：20210x x ⎧<≤⎨->⎩，解得12x <≤故选：A . 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生对于定义域的理解.10．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 【答案】D【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内11．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m >石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m 的值分别为（ ） A ．20% 369 B ．80% 369C ．40% 360D ．60% 365【答案】A【解析】设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石,由题意列出方程组,由此能求出结果． 【详解】解：设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石,由题意得23(1)80(1)(1)16480164b a b a b a b m ⎧-=⎪-+-=⎨⎪++=⎩,解得125b =,20%a =,369m =． 故选A ． 【点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用． 12．已知具有性质：1()f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数下列函数：①1()f x x x =-； ②1()f x x x =+； ③,01()0,11,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩； ④22()1x f x x =- 其中满足“倒负”变换的函数是（ ） A ．②④ B ．①③C ．②③D ．①④【答案】B【解析】根据“倒负”变换的定义依次判断每个选型得到答案. 【详解】 ①1()f x x x=-，11()f x f x x x⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故满足； ②1()f x x x=+，11()f x f x x x⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故不满足； ③,01()0,11,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩，当10x >>时，11x >，故1()f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，满足； 当1x >时，101x <<，11()f f x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，满足；当1x =时，1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，满足。
2019-2020学年山东省潍坊一中高一（上）期中数学试卷（含答案解析）
2019-2020学年山东省潍坊一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集台 M = {xER\0<x<2], N = [xE Zl(x 一 3)(x + 1) < 0},则 M Cl N =()A. [0,2]B. {1}C. {1}D.〔0,1, 2)2. 己知集^4 = (x |x 2-4 = 0).则下列关系式表示正确的是()A. 0E AB. (-2} = AC. 2 EAD. {2,一2}呈力3. 函 V(x) =+ x/4^27的定义域为()A. (-co, 2] B. (0,2] C. (—8,1) U (1,2] D. (0,1) U (1,2]4. 函^y = a ，-2 + 2(a>0,aW 1)的图象必过定点().A. (1,2)B. (2,2)C. (2,3)5. 方程e* + x = 4的解所在的区间是()A. (-1,0)B. (0,1)C. (1.2)6. 与函数v = 是相同函数的是()A. u =B. y = -\/2x IC. y = -x\p2x 7. 己知函数f(x) = ax (a >0,且a W 1)任区间[m, 2m]±的值域为则n =()D.D.D.(32)(2,3)=x 2A. y/2B. -C.上或Ji D,[或4416 4|2x-lLx<2J 8. 己知函"(X) = |_3_ 若方程，(x) - a = o 有三个不同的实数根.则实数U 的取值范围是()A. (1,3)B. (0,3)C. (0,2) D, (0,1)9. 设函数f(x). g(x)分别为定义在R 上的奇函数和偶函数且满足f(x) + g(x) = x 3-x z + l.则 『(1) = ()A. -1B. 1C. 一2D. 210.函数= （16=- 16F ）log2|x|的大致图象为（）11.定义在R 上的偶函数FG ）满足:对任意的五，工2 € （一8,0］（工1 * X2），有*壬："V 0,且/（2） = 0.则不等式式3WE v 0解集是（）.A.(-co,-2)U(2,+oo)B. (-00,-2)U(0,2)C. (-2,0)U(2,+co)D.(-2,0)U(0,2)12.己知函数/■(*)={京若存在勺，*26肥乩以装>2，使得「侦1)=，(*2)成立，则实数“的取值范围是()A.[3,+8)B.(3,+8)C. (一8,3)D.(-8,3]二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设/'(X)是定义任/?上的偶函数，当x<0lhf./(x)=2x2-x.则f(l)=.14.函数f(x)=(I、-|log3x|的零点个数为________个.15.已知f(x)是一次函数，fi/[/(x)]=x+2,则函数解析式为16.若函数「。
2020-2021学年山东省潍坊市高一(上)期中考试数学试卷人教A版(2019)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯2020-2021学年山东省潍坊市高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 已知集合A={x|x2−3x=0}，B={1,2,3}，则A∪B=( )A.{3}B.{1,2,3}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3}2. 若a，b，c∈R，则下列不等式成立的是( )A.若a>b，则a2>b2B.若a>b，则ac>bcC.若a>b，则1b >1aD.若a>b，则a3>b33. 下列各图中，一定不是函数图像的是( )A. B.C. D.4. 铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式表示为( )A.a+b+c<130B.a+b+c>130C.a+b+c≤130D.a+b+c≥1305. 设U为全集，则"A∩B=⌀”是“A⊆∁U B‘’的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(2)<0且f(3)>0，则f(x)在(2,3)上的零点( )A.至多有一个B.有1个或2个C.有且仅有一个D.一个也没有7. 某学校高一3班为该班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是( )A.3或4B.4或5C.3或5D.4或68. 已知不等式组{x2−4x+3<0,x2−6x+8<0的解集是关于x的不等式x2−3x+a<0的解集的子集，则实数a的取值范围是( )A.a<0B.a≤0C.a≤2D.a<2二、多选题下列命题中是假命题的是( )A.∀x∈R，x3≥0B.∃x0∈R，x03=3C.∀x∈Q，x3≥1D.∃x0∈N，x03=3下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是()A.f(x)=1xB.f(x)=−2xC.f(x)={x2,x≤0,−x2,x>0D.f(x)=x+1x下列结论正确的是（ ） A.若x <0，则y =x +1x 的最大值为2 B.若a >0，b >0，则ab ≤(a+b 2)2C.若a >0，b >0，且a +4b =1，则1a+1b的最大值为9D.若x ∈[0,2]，则y =x√4−x 2的最大值为2下列关于函数f (x )=1|x|+1的叙述正确的是( )A.f (x )的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≥1}B.f (x )的图象关于y 轴对称C.当x ∈[−1,0)时，f (x )有最小值2，但没有最大值D.函数g (x )=f (x )−x 2+1有2个零点 三、填空题已知函数f (x )={x 2, x <1,x −a, x ≥1,若f (−1)+f (1)=4，则a =________.一种体育用品的售价为25元，因为原材料供应紧张，上涨20%后，经过一段时间，原材料恢复正常供应，又下降20%，则该商品的最终售价是原来的________倍．已知偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递增，且1是它的一个零点，则不等式f (x −2)<0的解集为________.依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额−基本减除费用−专项扣除−专项附加扣除−依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是________元． 四、解答题已知全集U =R ，集合A ={x|x 2+x −6≥0}，B ={x|1<x <6}，C ={x|m +1<x <2m}. (1)求(∁U A )∩B ；(2)若C ⊆B ，求实数m 的取值范围．在①∃x ∈R ，x 2+2ax +2−a =0，②存在区间A =(2,4)，B =(a,3a )，使得A ∩B =⌀，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数a .问题：求解实数a ，使得命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2−a ≥0，命题q ：________，都是真命题．（若选择两个条件都解答，只按第一个解答计分．）已知函数f (x )=x 2−(a +b )x +2a.(1)若关于x 的不等式f (x )<0的解集为{x|1<x <2}，求a ，b 的值；(2)当b =2时，解关于x 的不等式f (x )>0.某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x 年（x ∈N +）所需的各种费用总计为(2x 2+6x)万元． (1)该车营运第几年开始盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）；(2)该车若干年后有两种处理方案：①当盈利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；②当年平均盈利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出．问：哪一种方案较为合算？并说明理由．已知函数f(x)=x|x−a|，a∈R，g(x)=x2−1.(1)当a=−1时，解不等式f(x)≥g(x)；(2)当a>4时，记函数f(x)在区间[0,4]上的最大值为F(a)，求F(a)的表达式．已知函数f(x)=x2+1ax+b是定义域上的奇函数，且f(−1)=−2.(1)求函数f(x)的解析式，判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明；(2)令g(x)=f(x)−m，若函数g(x)在(0,+∞)上有两个零点，求实数m的取值范围；(3)令ℎ(x)=x2+1x2−2tf(x)(t<0)，若对∀x1，x2∈[12,2]都有|ℎ(x1)−ℎ(x2)|≤154，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年山东省潍坊市高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】首先解得集合A，利用集合的运算得解．【解答】解：由题设得A={0,3}，所以A∪B={0,1,2,3}．故选D．2.【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】根据不等式的性质判断即可【解答】解：A，若a>b，则a2>b2不一定成立，如a=2，b=−3，故该选项错误；B，若a>b，则ac>bc不一定成立，如c=0时，ac=bc，故该选项错误；C，若a>b，则1b >1a不一定成立，如a=2，b=−3，故该选项错误；D，若a>b，则a3>b3成立，故该选项正确. 故选D.3.【答案】A【考点】函数的概念【解析】根据函数的定义直接判断即可．【解答】解：由函数的定义可知，对于定义域内任一个x的值只能对应一个y的值，而选项A中一个x的值可能对应两个y的值，故不是函数图像.故选A．4.【答案】C【考点】不等式的概念与应用【解析】直接列出不等式.【解答】解：不超过即为小于等于，故由题意得：a+b+c≤130.故选C.5.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】直接讨论集合的包含关系，即可确定充要性.【解答】解：∵若A=B=⌀，此时满足A∩B=⌀，A⊆∁U B；若A=⌀，B≠⌀，此时满足A∩B=⌀，A⊆∁U B；若B=⌀，A≠⌀，此时满足A∩B=⌀，A⊆∁U B；若A≠⌀，B≠⌀，此时A∩B=⌀，则A⊆∁U B成立，且“A⊆∁U B”，则“A∩B=⌀”也成立，故“A∩B=⌀”是“A⊆∁U B”充分必要条件.故选C.6.【答案】C【考点】函数零点的判定定理 【解析】直接利用零点的存在性定理，结合函数分析得出答案. 【解答】解：由零点的存在性定理可知，f (2)<0，f (3)>0， 则f (x )在区间(2,3)上有零点.当a =0时，f (x )在区间(2,3)上有唯一零点； 当a ≠0时，f (x )为二次函数，由二次函数的图象分布可知：f (x )在区间(2,3)上有唯一零点. 综上：函数f (x )在区间(2,3)上有唯一零点. 故选C . 7.【答案】 B【考点】不等式的概念与应用 【解析】直接各种可能性，进行合理的推导判断即可. 【解答】解：设有x 间宿舍，有y 名学生， 由题意可得{y =3x +6,1≤5x −y ≤4,联立解得3.5≤x ≤5. 因为x 只能为整数，所以男生宿舍可能的房间数是4或5. 故选B ． 8.【答案】 B【考点】集合关系中的参数取值问题 函数恒成立问题【解析】首先解出不等式组的解集，再结合解集的包含关系，确定恒成立问题，求出参数范围. 【解答】解：由不等式组{x 2−4x +3<0，x 2−6x +8<0，解得2<x <3.由题意可知：不等式x 2−3x +a <0在区间(2,3)上恒成立，即a <(3x −x 2)min .∵ y =3x −x 2在(2,3)上为减函数， ∴ y =3x −x 2>3×3−32=0， ∴ a ≤0. 故选B .二、多选题 【答案】 A,C,D【考点】命题的真假判断与应用 全称量词与存在量词【解析】由存在性量词命题与全称量词命题，举反例进行判断. 【解答】解：当x <0时，x 3<0，所以∀x ∈R ，x 3≥0是假命题，故A 为假命题；∃x 0=√33∈R ，使得x 03=3，故B 为真命题；当x =12时，x 3=18<1，所以∀x ∈Q ，x 3≥1为假命题，故C 为假命题；当x 03=3时，x 0=√33∉N ，故D 为假命题. 故选ACD . 【答案】 B,C【考点】函数单调性的判断与证明 函数奇偶性的判断【解析】逐个进行判断奇偶性、单调性. 【解答】解：f (x )=1x 为奇函数，在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，不符合题意； f (x )=−2x 为奇函数，在R 上单调递减，符合题意；f (x )={x 2,x ≤0,−x 2,x >0,当x ≤0时，−x ≥0，f (−x )=−(−x )2=−x 2=−f (x )为奇函数，且单调递减，符合题意；f (x )=x +1x 为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意.故选BC . 【答案】 A,B,D【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用二次函数在闭区间上的最值【解析】由基本不等式逐个进行判断. 【解答】解：若x<0，则y=x+1x =−(−x+1−x)≤−2√−x×1−x=−2，当且仅当−x=1−x，即x=−1时等号成立，所以y=x+1x的最大值为−2，故A正确；若a>0，b>0，则ab≤(a+b2)2，故B正确；若a>0，b>0，且a+4b=1，则1a +1b=(a+4b)(1a+1b)=5+4ba +ab≥5+2√4ba+ab=9，当且仅当4ba =ab时，1a+1b的最小值为9，故C错误；若x∈[0,2]，则y=x√4−x2=√4x2−x4=√−(x2−2)2+4，当x=√2时，y的最大值为2，故D正确.故选ABD.【答案】B,C,D【考点】函数的定义域及其求法函数的值域及其求法函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断奇偶函数图象的对称性【解析】对于A：求函数f(x)的定义域、值域进行判断；对于B：判断函数的奇偶性，得对称性；对于C：求函数的单调性得最值进行判断；对于D，由函数的零点进行判断.【解答】解：对于A，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y>1}，故A错误；对于B，函数f(x)的定义域关于原点对称，f(−x)=1|−x|+1=f(x)，故函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，故B正确；对于C，当x∈[−1,0)时，f(x)为增函数，故f(x)在[−1,0)上有最小值2，无最大值，故C正确；对于D，由y=1|x|与y=x2−2的图象可知，函数g(x)=1|x|−x2+2有两个零点，故D 正确.故选BCD.三、填空题【答案】−2【考点】函数的求值【解析】代入函数解析式，求得a值.【解答】解：由题意，f(−1)+f(1)=(−1)2+1−a=4，∴a=−2.故答案为：−2.【答案】0.96【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型【解析】由题意求出该商品的最值售价，比最初售价得倍数.【解答】解：由题意得，该商品最终售价为25×(1+20%)(1−20%)=25×1.2×0.8=24（元），2425=0.96.故答案为：0.96.【答案】(1,3)【考点】函数单调性的性质函数奇偶性的性质函数的零点【解析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【解答】解：由题意可得：偶函数f(x)在[0,+∞）上为增函数，f(1)=0，∴不等式f(x−2)<0等价于f(|x−2|)<f(1)，即|x−2|<1，解得1<x<3.故答案为：(1,3).【答案】5712【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型【解析】先求出这个人有应纳税所得额，由此能求出他全年应缴纳综合所得个税．【解答】解：由题意知，李华全年应缴纳综合所得个税为：36000×3%+[249600−52800−4560−249600×(8%+2%+1%+9%)−60000−36000]×10%=5712（元）．故答案为：5712．四、解答题【答案】解：(1)A={x|x2+x−6≥0}={x|x≤−3或x≥2}，∁U A={x|−3<x<2}，所以(∁U A)∩B={x|1<x<2}．(2)①当C=⌀时，满足C⊆B，即m+1≥2m，解得m≤1；②当C≠⌀时，因为C⊆B，所以{m+1<2m, m+1≥1, 2m≤6,解得1<m≤3.综上，实数m的取值范围为(−∞,3]．【考点】交、并、补集的混合运算一元二次不等式的解法集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】解：(1)A={x|x2+x−6≥0}={x|x≤−3或x≥2}，∁U A={x|−3<x<2}，所以(∁U A)∩B={x|1<x<2}．(2)①当C=⌀时，满足C⊆B，即m+1≥2m，解得m≤1；②当C≠⌀时，因为C⊆B，所以{m+1<2m,m+1≥1,2m≤6,解得1<m≤3.综上，实数m的取值范围为(−∞,3]．【答案】解：选条件①.由命题p为真，可得不等式x2−a≥0在x∈[1,2]上恒成立．因为x∈[1,2]，∴1≤x2≤4，所以a≤1.若命题q为真，则方程x2+2ax+2−a=0有解，所以判别式Δ=4a2−4(2−a)≥0，所以a≥1或a≤−2．又因为p，q都为真命题，所以{a≤1,a≥1或a≤−2,所以a≤−2或a=1，所以实数a的取值范围是{a|a≤−2或a=1}.选条件②.由命题p为真，可得不等式x2−a≥0在x∈[1,2]上恒成立．因为x∈[1,2]，∴1≤x2≤4，所以a≤1．因为集合B=(a,3a)，必有a>0.由A∩B=⌀，得a≥4或3a≤2，即0<a≤23或a≥4.又因为p，q都为真命题，所以{a≤1,0<a≤23或a≥4,解得0<a≤23，所以实数a 的取值范围是0<a ≤23．【考点】命题的真假判断与应用 【解析】 无【解答】解：选条件①.由命题p 为真，可得不等式x 2−a ≥0在x ∈[1,2]上恒成立． 因为x ∈[1,2]，∴ 1≤x 2≤4，所以a ≤1.若命题q 为真，则方程x 2+2ax +2−a =0有解， 所以判别式Δ=4a 2−4(2−a )≥0， 所以a ≥1或a ≤−2．又因为p ，q 都为真命题，所以{a ≤1,a ≥1或a ≤−2,所以a ≤−2或a =1，所以实数a 的取值范围是{a|a ≤−2或a =1}. 选条件②.由命题p 为真，可得不等式x 2−a ≥0在x ∈[1,2]上恒成立． 因为x ∈[1,2]，∴ 1≤x 2≤4，所以a ≤1． 因为集合B =(a,3a )，必有a >0. 由A ∩B =⌀，得a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4.又因为p ，q 都为真命题，所以{a ≤1,0<a ≤23或a ≥4,解得0<a ≤23，所以实数a 的取值范围是0<a ≤23．【答案】解：(1)由条件知，关于x 的方程x 2−(a +b )x +2a =0的两个根为1和2， 所以{a +b =3,2a =2,解得{a =1,b =2.(2)当b =2时，x 2−(a +2)x +2a >0，即(x −a )(x −2)>0， 当a <2时，解得x <a 或>2； 当a =2时，解得x ≠2；当a >2时，解得x <2或x >a .综上可知，当a <2时，不等式的解集为(−∞,a )∪(2,+∞)； 当a =2时，不等式的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)； 当a >2时，不等式的解集为(−∞,2)∪(a,+∞)． 【考点】一元二次不等式的应用一元二次方程的根的分布与系数的关系 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由条件知，关于x 的方程x 2−(a +b )x +2a =0的两个根为1和2， 所以{a +b =3,2a =2,解得{a =1,b =2.(2)当b =2时，x 2−(a +2)x +2a >0，即(x −a )(x −2)>0， 当a <2时，解得x <a 或>2； 当a =2时，解得x ≠2；当a >2时，解得x <2或x >a .综上可知，当a <2时，不等式的解集为(−∞,a )∪(2,+∞)； 当a =2时，不等式的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)； 当a >2时，不等式的解集为(−∞,2)∪(a,+∞)．【答案】解：(1)因为客车每年的营运总收入为30万元，使用x 年（x ∈N +）所需的各种费用总计为(2x 2+6x)万元，若该车从第x 年开始盈利，则30x >2x 2+6x +50， 则2x 2−24x +50<0，即x 2−12x +25<0， 解得3≤x ≤9（x ∈N +）， 所以该车营运第3年开始盈利． (2)方案①：由题意知，盈利总额y 1=30x −(2x 2+6x +50) =−2x 2+24x −50=−2(x −6)2+22，∴ x =6时，盈利总额达到最大值，为22万元， 所以6年的盈利总额为32万元． 方案②：由题意知，年平均盈利总额y 2=−2x 2+24x−50x=−2x −50x+24=24−2(x +25x)≤4，当且仅当x =5时取等号．∴ x =5时，年平均盈利总额达到最大值，为4万元， 所以5年的盈利总额为32万元．两种方案的盈利总额一样，但方案②的时间短，故方案②合算． 【考点】函数模型的选择与应用 一元二次不等式的应用 函数最值的应用基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：(1)因为客车每年的营运总收入为30万元，使用x 年（x ∈N +）所需的各种费用总计为(2x 2+6x)万元，若该车从第x 年开始盈利，则30x >2x 2+6x +50， 则2x 2−24x +50<0，即x 2−12x +25<0， 解得3≤x ≤9（x ∈N +）， 所以该车营运第3年开始盈利． (2)方案①：由题意知，盈利总额y 1=30x −(2x 2+6x +50) =−2x 2+24x −50=−2(x −6)2+22，∴ x =6时，盈利总额达到最大值，为22万元， 所以6年的盈利总额为32万元． 方案②：由题意知，年平均盈利总额y 2=−2x 2+24x−50x=−2x −50x+24=24−2(x +25x)≤4，当且仅当x =5时取等号．∴ x =5时，年平均盈利总额达到最大值，为4万元， 所以5年的盈利总额为32万元．两种方案的盈利总额一样，但方案②的时间短，故方案②合算． 【答案】解：(1)当a =−1时，即解不等式x|x +1|≥x 2−1．①当x ≥−1时，不等式为x 2+x ≥x 2−1，解得x ≥−1，所以x ≥−1；②当x <−1时，不等式为−x 2−x ≥x 2−1，解得−1≤x ≤12，所以解集为空集．综上，不等式的解集为{x|≥−1}． (2)因为x ∈[0,4]，且a >4，所以f (x )=x (a −x )=−x 2+ax ， ①当4<a <8时，F (a )=f (a2)=a 24；②当a ≥8时，F (a )=f (4)=4a −16，综上F (a )={a 24,4<x <8,4a −16,a ≥8.【考点】一元二次不等式的解法二次函数在闭区间上的最值 【解析】【解答】解：(1)当a =−1时，即解不等式x|x +1|≥x 2−1．①当x ≥−1时，不等式为x 2+x ≥x 2−1，解得x ≥−1，所以x ≥−1；②当x <−1时，不等式为−x 2−x ≥x 2−1，解得−1≤x ≤12，所以解集为空集．综上，不等式的解集为{x|≥−1}． (2)因为x ∈[0,4]，且a >4，所以f (x )=x (a −x )=−x 2+ax ， ①当4<a <8时，F (a )=f (a2)=a 24；②当a ≥8时，F (a )=f (4)=4a −16，综上F (a )={a 24,4<x <8,4a −16,a ≥8.【答案】解：(1)∵ f (−1)=−2，又f(x)是奇函数，∴ f(1)=2， ∴{2−a +b =−2,2a +b =2, 解得{a =1,b =0,∴ f(x)=x +1x .函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增. 证明如下：取x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2).∵ x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，0<x 1x 2<1，即x 1x 2−1<0， ∴ f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )在(0,1)上单调递减.同理可证函数f (x )在(1,+∞)上单调递增．(2)函数g (x )在(0,+∞)上有两个零点，即x 2−mx +1=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，须满足{Δ=m 2−4>0,m >0,解得m >2．(3)由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t (x +1x ). 令z =x +1x ，y =z 2−2tz −2，由(1)可知函数z =x +1x 在[12,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增， ∴ z ∈[2,52].∵ 函数y =z 2−2tz −2的对称轴方程为z =t <0， ∴ 函数y =z 2−2tz −2在[2,52]上单调递增.当z =2时，y min =−4t +2；当z =52时，y max =−5t +174，即ℎ(x )min =−4t +2，ℎ(x )max =−5t +174.又∵ 对任意的∀x 1，x 2∈[12,2]都有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤154恒成立， ∴ ℎ(x)max −ℎ(x)min ≤154，即−5t +174−(−4t +2)≤154，解得t ≥−32.又∵ t <0，∴ t 的取值范围是−32≤t <0. 【考点】函数解析式的求解及常用方法 函数单调性的判断与证明 由函数零点求参数取值范围问题 函数恒成立问题 【解析】 暂无 暂无【解答】解：(1)∵ f (−1)=−2，又f(x)是奇函数，∴ f(1)=2，∴{2−a +b =−2,2a +b =2, 解得{a =1,b =0,∴ f(x)=x +1x .函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增. 证明如下： 取x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2).∵ x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，0<x 1x 2<1，即x 1x 2−1<0， ∴ f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )在(0,1)上单调递减.同理可证函数f (x )在(1,+∞)上单调递增．(2)函数g (x )在(0,+∞)上有两个零点，即x 2−mx +1=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，须满足{Δ=m 2−4>0,m >0,第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页解得m >2．(3)由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t (x +1x ). 令z =x +1x ，y =z 2−2tz −2，由(1)可知函数z =x +1x 在[12,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增， ∴ z ∈[2,52].∵ 函数y =z 2−2tz −2的对称轴方程为z =t <0， ∴ 函数y =z 2−2tz −2在[2,52]上单调递增.当z =2时，y min =−4t +2；当z =52时，y max =−5t +174，即ℎ(x )min =−4t +2，ℎ(x )max =−5t +174.又∵ 对任意的∀x 1，x 2∈[12,2]都有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤154恒成立，∴ ℎ(x)max −ℎ(x)min ≤154，即−5t +174−(−4t +2)≤154，解得t ≥−32.又∵ t <0，∴ t 的取值范围是−32≤t <0.。
【20套试卷合集】潍坊第一中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
ABCD2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（共10题，每题4分） 1、设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,4,6A =,{}1,2,3,5B =,则U B C A等于( )A{}1,3,5 B {}1,2,3,5 C ∅ D {}1,3,4,5,62、下列各组函数不是同一函数的是( )A ()f x()g x = B()f x x=与()g xC 0()f x x =与01()g x x =D 2()21f x x x =--与2()21g t t t =--3、方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）A{}51， B {}15， C (){}51， D (){}15，4、已知函数()12g x x =-，221[()]x f g x x -=（x ≠0）,则(0)f 等于( ) A 3- B32-C 32 D 35、函数x xx x f +=)(的图象是( )6、函数()25.045log x x y -+=的递增区间是( )A ()2,∞-B ()∞+,2C ()2,1-D ()5,27、已知2()f x x bx c =++，且(1)(3)f f -=，则( ) A (1)(1)f c f -<< B (1)(1)f c f <<- C (1)(1)f f c <-< D (1)(1)c f f <-<8、对于任意实数x ，不等式04)2(222<----x m x m ）（恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A 2<mB 2≤mC 22<<-mD 22≤<-m 9、()f x 是定义在R 上的任意一个增函数,()()()G x f x f x =--,则()G x 必定是( ) A 增函数且为奇函数 B 增函数且为偶函数 C 减函数且为奇函数 D 减函数且为偶函数 10、函数()x bf x a -=的图像如图所示，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是( )A 1,0a b ><B 1,0a b >>C 01,0a b <<>D 01,0a b <<<二、填空题（共6题，每题4分） 11、若指数函数()f x 与幂函数()g x 的图象相交于一点()2,4，则()f x =,()g x =.12、已知函数)()(01)(为无理数为有理数x x x f ⎩⎨⎧=，则))((πf f = .13、已知)(x f y =是定义在()1,1-上减函数，且)12()1(-<-a f a f ，则a 的取值范围是______________.14、若132log <a（0>a 且1≠a ）, 则实数a 的取值范围是 .15、下列判断正确的是 .①定义在R 上的函数()f x ，若(1)(1)f f -=,且(2)(2)f f -=，则()f x 是偶函数 ②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则()f x 在R 上不是减函数③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，则()f x 在R 上是减函数 ④有些函数既是奇函数又是偶函数16、已知函数2()21f x x x =++，若存在实数t ,当[1,]x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值是 . 三、解答题（56分）17、（18分）计算：(1)210232133(2)(9.6)(3)()482-----+ (2))16(log log )ln(1001lg25.6log 225.2+++e e （3）求函数()()3log 243++--=x x xx f 的定义域；18、（9分）设全集U 为R,已知A={x|1<x<7},B={x|x<3或x>5},求（1）A U B (2)A ⋂B (3)(C U A)⋃U (C U B)19．(本小题满分10分) 已知函数()xf x ax b=+（,a b 为常数，且0a ≠），满足(2)1,()f f x x ==有唯一解 (1)求函数()f x 的解析式 (2)[(3)]f f -的值20（9分）用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并求定义域。
2019-2020学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U＝{−1, 0, 1, 2}，A＝{−1, 1}，则集合∁U A＝（）A.{0, 2}B.{−1, 0}C.{0, 1}D.{1, 2}【答案】A【考点】补集及其运算【解析】直接求补集．【解答】因为全集U＝{−1, 0, 1, 2}，A＝{−1, 1}，所以：∁U A＝{0, 2}，≥3”的否定是（）2. 命题“∃x∈(0, +∞)，x+1x≤3A.∃x∈(0, +∞)，x+1x<3B.∃x∈(0, +∞)，x+1x<3C.∀x∈(0, +∞)，x+1x≤3D.∀x∈(0, +∞)，x+1x【答案】C【考点】命题的否定【解析】命题的否定是：否定限定量词和结论【解答】≥3”的否定是：否定限定量词和结论，命题“∃x∈(0, +∞)，x+1x<3，故为：∀x∈(0, +∞)，x+1x3. 设x∈R，则“|x−3|<1”是“x>2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由|x+3|<1，化为−1<x+3<1，即可解出，根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由|x−3|<1，∴−1<x−3<1，解得2<x<4．则由“2<x<4”⇒“x>2”，由“x>2”推不出“2<x<4”，则“|x−3|<1”是“x>2”的充分不必要条件；4. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0, +∞)是增函数，设a＝f(−3)，b＝f(π)，c＝f(−1)，则a，b，c的大小关系是（）A.a<c<bB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由已知可知，f(x)在(−∞, 0)上单调递减，距对称轴越远，函数值越大，然后即可比较大小．【解答】∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0, +∞)是增函数，∴f(x)在(−∞, 0)上单调递减，距对称轴越远，函数值越大，∵f(−1)<f(−3)<f(π)，则c<a<b，5. 我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度ℎ（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为ℎ(t)＝−4.9t2+14.7t+17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为（）A.26米B.28米C.30米D.32米【答案】B【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】因为烟花冲出后在爆裂的最佳时刻为高度最大时，所以最佳时刻为对称轴处，从而求出最佳时刻距地面高度．【解答】∵ℎ(t)＝−4.9t2+14.7t+17，∴烟花冲出后在爆裂的最佳时刻为t=−14.7=1.5，2×(−4.9)此时ℎ(1.5)＝−4.9×1.52+14.7×1.5+17≈28，6. 对∀x ∈R ，不等式(m 2−4)x 2+(m −2)x +1m+2>0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.[2, 6]B.[2, 6)∪{−2}C.(−∞, −2)∪[2, 6)D.[2, 6)【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】对m 进行分类讨论，利用二次函数的性质列出不等关系，求解即可得到实数m 的取值范围．【解答】∵ 对∀x ∈R ，不等式(m 2−4)x 2+(m −2)x +1m+2>0恒成立，①当m 2−4＝0且m +2≠0，即m ＝2时，14>0对x ∈R 恒成立，∴ m ＝2满足题意；②当m ≠2且m ≠−2时，则有{m 2−4>0△=(m −2)2−4(m −2)<0，解得2<m <6． 综合①②，可得2≤m <6，故实数m 的取值范围为[2, 6)，7. 读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为（ ）A.120B.130C.150D.180【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】本题的大意为：《毛诗》、《春秋》和《周易》共94本，3个人读《毛诗》一册，4个人读《春秋一册》，5个人读《周易》一册，问由多少个学生？【解答】本题的大意为：《毛诗》、《春秋》和《周易》共94本，3个人读《毛诗》一册，4个人读《春秋一册》，5个人读《周易》一册，问由多少个学生？94÷(13+14+15) =94÷4760＝120（人）8. 已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是（ ）①若1a <1b，则√a>√b；②若a+b＝1，则1a+4b的最小值是10；③(a+1a )(b+1b)≥4；④函数y=a+1a+1的最小值为1．A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】由大前提及均值不等式可分别判断所给命题的真假．【解答】已知a，b为正实数，①1a <1b⇒a>b⇒√a>√b，所以①正确；②1a +4b=(1a+4b)⋅(a+b)＝1+4+4ba+1a≥5+2√4ba⋅ab=9，所以②不正确；③∵a+1a ≥2√a⋅1a=2，同理b+1b≥2，∴(a+1a)(b+1b)≥4，所以③正确；④y＝a+1a+1=a+1+1a+1−1≥2√(a+1)⋅1a+1−1＝1，当且仅当a+1=1a+1，即a＝0时取等号，而a>0，所以y>1，不能取等号，所以④不正确．9. 定义在R上的奇函数f(x)在[0, +∞)是减函数，且f(−2)＝1，则满足−1≤f(x−1)≤1的x的取值范围是（）A.[−2, 2]B.[−2, 1]C.[−1, 3]D.[0, 2]【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由已知可得，可得，f(x)在R上单调递减，然后结合f(−2)＝1，f(2)＝−1，从而可求．【解答】由奇函数f(x)在[0, +∞)是减函数，可知f(x)在(−∞, 0)是减函数，从而可得，f(x)在R上单调递减，由f(−2)＝1，可知f(2)＝−1，∵f(2)＝−1≤f(x−1)≤1＝f(−2)，∴−2≤x−1≤2，解可得，−1≤x≤3，即解集为[−1, 3]10. 关于x的方程5x2−(a+9)x+a2−a−2＝0的两根分别在区间(0, 1)和(1, 2)内，则实数a的取值范围是（）A.(−3, −1)B.(1−√7,−1)∪(3,1+√7)C.(−2, −1)∪(2, 3)D.(2, 6)【答案】B【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】由方程5x 2−(a +9)x +a 2−a −2＝0的两根分别在区间(0, 1)和(1, 2)内，得到函数f(x)＝5x 2−(a +9)x +a 2−a −2的两个零点分别在区间(0, 1)和(1, 2)内，根据函数f(x)的图象列出不等式组，即可解出a 的取值范围．【解答】设函数f(x)＝5x 2−(a +9)x +a 2−a −2，∵ 方程5x 2−(a +9)x +a 2−a −2＝0的两根分别在区间(0, 1)和(1, 2)内， ∴ 函数f(x)＝5x 2−(a +9)x +a 2−a −2的两个零点分别在区间(0, 1)和(1, 2)内，∴ {f(0)>0f(1)<0f(2)>0 ，即{a 2−a −2>0a 2−2a −6<0a 2−3a >0，解得：1−√7<a <−1或3<x <1+√7，11. 已知函数f(x)满足f(2−x)+f(2+x)＝6，g(x)=3x−1x−2，且f(x)与g(x)的图象交点为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x 8, y 8)，则x 1+x 2+...+x 8+y 1+y 2+...+y 8的值为（ ）A.20B.24C.36D.40【答案】D【考点】函数与方程的综合运用【解析】利用条件可知f(x)，g(x)均时关于(2, 3)中心对称，则若交点为(x 1, y 1)时，(4−x 1, 6−y 1)也为交点，进而可求和．【解答】函数f(x)满足f(2−x)+f(2+x)＝6的对称中心为(2, 3)，函数g(x)=3x−1x−2=3+5x−2也关于(2, 3)中心对称， 则若交点为(x 1, y 1)时，(4−x 1, 6−y 1)也为交点，若交点为(x 2, y 2)时，(4−x 2, 6−y 2)也为交点，…，所以x 1+x 2+...+x 8+y 1+y 2+...+y 8＝(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+...+(x 8+y 8) =12[(x 1+y 1)+(4−x 1+6−y 1)+(x 2+y 2)+(4−x 2+6−y 2)+...+(x 8+y 8)+(4−x 8+6−y 8)]＝40．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．函数f(x)=√x +2+1x−1的定义域为________．【答案】[−2, 1)∪(1, +∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据二次根式以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】由题意得：{x +2≥0x −1≠0， 解得：x ≥−2且x ≠1，故函数的定义域是[−2, 1)∪(1, +∞)，已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x(1−x)，则f(−2)＝________．【答案】2【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据奇函数得f(−2)＝−f(2)，代入已知函数解析式求值即可．【解答】因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝x −x 2，所以f(−2)＝−f(2)＝−(2−4)＝2，已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|2<x <6}，则不等式cx 2+bx +a <0的解集为________|________<16或________>12} ．【答案】{x ,x ,x【考点】一元二次不等式的应用【解析】根据不等式于对应方程的关系，利用根与系数的关系求得b 、a 、c 的关系，代入所求的不等式中，化简即可求出对应不等式的解集．【解答】不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|2<x <6}，所以方程ax 2+bx +c ＝0的解为2和6，且a <0；由根与系数的关系得，{2+6=−b a 2×6=c a a <0 ，解得b ＝−8a ，c ＝12a ，且a <0；所以不等式cx 2+bx +a <0化为12x 2−8x +1>0，解得x <16或x >12，所以所求不等式的解集为{x|x <16或x >12}．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A(a, b)，若函数y ＝f(x)满足：∀x ∈[a −1, a +1]，都有y ∈[b −1, b +1]，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点B(m, n)在函数y =−12x 2的图象上，若函数y =−12x 2是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是________．【答案】[−12,12] 【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】根据点B(m, n)在函数y =−12x 2的图象上，从而得出∴ ∀x ∈[m −1, m +1]，都有y ∈[−12m 2−1,−12m 2+1]，从而讨论m:m +1≤0时，得出函数y =−12x 2在[m −1, m +1]上的值域为[−12(m −1)2,−12(m +1)2]⊆[−12m 2−1,−12m 2+1]，从而可得出m 的范围；同理，讨论−1<m <1和m ≥1时，求出函数y =−12x 2的值域，让该值域是集合[−12m 2−1,−12m 2+1]的子集，从而可得出m 的范围．【解答】∵ B(m, n)在函数y =−12x 2的图象上，∴ n =−12m 2，∴ ∀x ∈[m −1, m +1]，都有y ∈[−12m 2−1,−12m 2+1]，①m +1≤0，即m ≤−1时，y =−12x 2在[m −1, m +1]上单调递增，∴ y ∈[−12(m −1)2,−12(m +1)2]， ∴ [−12(m −1)2,−12(m +1)2]⊆[−12m 2−1,−12m 2+1]，∴ {−12(m −1)2≥−12m 2−1−12(m +1)2≤−12m 2+1，解得m ≥−12，又m ≤−1，∴ 这种情况不合题意； ②{m +1>0m −1<0 ，即−1<m <1时，由x ∈[m −1, m +1]可得y ∈[−12(m −1)2,0]或y ∈[−12(m +1)2,0]，∴ [−12(m −1)2,0]⊆[−12m 2−1,−12m 2+1]且[−12(m +1)2,0]⊆[−12m 2−1,−12m 2+1]， ∴ { −12(m −1)2≥−12m 2−1−12(m +1)2≥−12m 2−1−12m 2+1≥0 ，解得−12≤m ≤12， ③m −1≥0，即m ≥1时，y =−12x 2在[m −1, m +1]上单调递减，∴ y ∈[−12(m +1)2,−12(m −1)2]，∴ [−12(m +1)2,−12(m −1)2]⊆[−12m 2−1,−12m 2+1]，∴ {−12(m +1)2≥−12m 2−1−12(m −1)2≤−12m 2+1 ，解得m ≤12，又m ≥1，∴ 这种情况不合题意， 综上得，m 的取值范围是[−12,12]．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知集合A ＝{x|−2≤x ≤6}，B ＝{x|−3≤x ≤5}．（1）求A ∩B ，A ∪B ；（2）若C ＝{x|m +1≤x ≤2m −1}，C ⊆(A ∩B)，求实数m 的取值范围．【答案】由已知可得A ∩B ＝{x|−2≤x ≤5}，A ∪B ＝{x|−3≤x ≤6}．①若C ＝⌀，则m +1>2m −1，∴ m <2；②若C ≠⌀，则{m +1≤2m −1m +1≥−22m −1≤5，解得2≤m ≤3，综上可得m ≤3．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】第一问直接求出交集，补集，第二问先求出交集，再通过集合包含关系讨论．【解答】由已知可得A ∩B ＝{x|−2≤x ≤5}，A ∪B ＝{x|−3≤x ≤6}．①若C ＝⌀，则m +1>2m −1，∴ m <2；②若C ≠⌀，则{m +1≤2m −1m +1≥−22m −1≤5，解得2≤m ≤3，综上可得m ≤3．已知函数f(x)=2x−a x+1(a >0)，若不等式f(x)≥−1的解集为(−∞, −1)∪[0, +∞)．（1）求实数a 的值；（2）证明函数f(x)在[0, +∞)上是增函数．【答案】由题意2x−a x+1≥−1，变形2x−a x+1+1=3x−a+1x+1≥0，这等价于(3x −a +1)(x +1)≥0且x +1≠0，解得x <−1或x ≥a−13， 所以a−13=0，解得a ＝1．由（1）得f(x)=2x−1x+1，任取x 1，x 2∈[0, +∞)，且x 1<x 2，则x 2−x 1>0，那么f(x 2)−f(x 1)=2x 2−1x 2+1−2x 1−1x 1+1=3(x 2−x 1)(x 1+1)(x 2+1)，∵ x 2−x 1>0，(x 1+1)(x 2+1)>0，∴ f(x 2)−f(x 1)>0，∴ 函数f(x)在[0, +∞)上是增函数．【考点】函数单调性的性质与判断【解析】（1）由题意2x−a x+1≥−1，然后转化为二次不等式后，结合二次不等式与二次方程的根的关系即可求解，（2）由（1）可求f(x)，然后结合函数单调性的定义即可判断，【解答】由题意2x−a x+1≥−1，变形2x−a x+1+1=3x−a+1x+1≥0，这等价于(3x −a +1)(x +1)≥0且x +1≠0，解得x <−1或x ≥a−13， 所以a−13=0，解得a ＝1．由（1）得f(x)=2x−1x+1，任取x 1，x 2∈[0, +∞)，且x 1<x 2，则x 2−x 1>0，那么f(x 2)−f(x 1)=2x 2−1x 2+1−2x 1−1x 1+1=3(x 2−x 1)(x 1+1)(x 2+1)，∵ x 2−x 1>0，(x 1+1)(x 2+1)>0，∴ f(x 2)−f(x 1)>0，∴ 函数f(x)在[0, +∞)上是增函数．已知函数f(x)={−2x +3,(0≤x <2)x 2−4x +3,(x ≥2)，F(x)＝f(|x|)．（1）判断F(x)的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数F(x)的大致图象；并写出该函数的单调区间；（2）若函数H(x)＝F(x)−t 有两个零点，求t 的取值范围．【答案】由题意知F(x)定义域为R，关于原点对称，又F(−x)＝f(|−x|)＝f(|x|)＝F(x)，∴F(x)在R上是偶函数．函数F(x)的大致图象如下图：观察图象可得：函数F(x)的单调递增区间为：(−2, 0)，(2, +∞)，单调递减区间为：(−∞, −2)，(0, 2)．当H(x)＝F(x)−t有两个零点时，即F(x)的图象与直线y＝t图象有两个交点，观察函数图象可得t>3或t＝−1．【考点】分段函数的应用【解析】（1）判断函数的奇偶性，结合已知条件画出函数的图象即可．（2）结合函数的图象，求解函数H(x)＝F(x)−t有两个零点，推出t的取值范围．【解答】由题意知F(x)定义域为R，关于原点对称，又F(−x)＝f(|−x|)＝f(|x|)＝F(x)，∴F(x)在R上是偶函数．函数F(x)的大致图象如下图：观察图象可得：函数F(x)的单调递增区间为：(−2, 0)，(2, +∞)，单调递减区间为：(−∞, −2)，(0, 2)．当H(x)＝F(x)−t有两个零点时，即F(x)的图象与直线y＝t图象有两个交点，观察函数图象可得t>3或t＝−1．已知函数f(x)＝x2+(1−a)x−a(a∈R)．（1）解关于x的不等式f(x)<0；（2）若∀a ∈[−1, 1]，f(x)≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0， 当a <−1时，不等式的解集为(a, −1)； 当a ＝−1时，不等式的解集为⌀；当a >−1时，不等式的解集为(−1, a)． x 2+(1−a)x −a ＝−a(x +1)+x 2+x ， 设g(a)＝−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1, 1]， 要使g(a)≥0在a ∈[−1, 1]上恒成立， 只需{g(−1)≥0g(1)≥0 ， 即{x 2+2x +1≥0,x 2−1≥0,解得x ≥1或x ≤−1，所以x 的取值范围为{x|x ≤−1或x ≥1}． 【考点】函数恒成立问题 【解析】（1）不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0，通过a 与−1的大小比较，求解即可．（2）x 2+(1−a)x −a ＝−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)＝−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1, 1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1, 1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0 ，求解即可．【解答】不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0， 当a <−1时，不等式的解集为(a, −1)； 当a ＝−1时，不等式的解集为⌀；当a >−1时，不等式的解集为(−1, a)． x 2+(1−a)x −a ＝−a(x +1)+x 2+x ， 设g(a)＝−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1, 1]， 要使g(a)≥0在a ∈[−1, 1]上恒成立， 只需{g(−1)≥0g(1)≥0 ， 即{x 2+2x +1≥0,x 2−1≥0,解得x ≥1或x ≤−1，所以x 的取值范围为{x|x ≤−1或x ≥1}．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金R(x)万元，且R(x)={10x 2+ax,0<x <40901x 2−9450x+10000x,x ≥40．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2020年的企业年利润W(x)（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；（2）2020年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？注：利润＝销售额-成本【答案】由题意R(10)＝10×102+10a＝4000，所以a＝300，当0<x<40时，W(x)＝900x−(10x2+300x)−260＝−10x2+600x−260；当x≥40时，W(x)=900x−901x2−9450x+10000x −260=−x2+9190x−10000x，所以W(x)={−10x2+600x−260,0<x<40−x2+9190x−10000x,x≥40．当0<x<40，W(x)＝−10(x−30)2+8740当x＝30时，W(x)max＝8740…当x≥40，W(x)=−x2+9190x−10000x =−x−10000x+9190=−(x+10000x)+9190，因为x>0，所以x+10000x≥2√10000=200，当且仅当x=10000x时，即x＝100时等号成立，此时W(x)≤−200+9190＝8990，所以W(x)max＝8990万元，因为8740<8990，所以2020年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据条件将x＝10代入可求出a，进而分段表示出W(x)即可；（2）利用二次函数最值、基本不等式求出分段函数W(x)的最值即可．【解答】由题意R(10)＝10×102+10a＝4000，所以a＝300，当0<x<40时，W(x)＝900x−(10x2+300x)−260＝−10x2+600x−260；当x≥40时，W(x)=900x−901x2−9450x+10000x −260=−x2+9190x−10000x，所以W(x)={−10x2+600x−260,0<x<40−x2+9190x−10000x,x≥40．当0<x<40，W(x)＝−10(x−30)2+8740当x＝30时，W(x)max＝8740…当x≥40，W(x)=−x2+9190x−10000x =−x−10000x+9190=−(x+10000x)+9190，因为x>0，所以x+10000x≥2√10000=200，当且仅当x=10000x时，即x＝100时等号成立，此时W(x)≤−200+9190＝8990，所以W(x)max ＝8990万元， 因为8740<8990，所以2020年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元．已知二次函数y ＝f(x)满足：①∀x ∈R ，有f(−1−x)＝f(−1+x)；②f(0)＝−3；③y ＝f(x)的图象与x 轴两交点间距离为4． （1）求y ＝f(x)的解析式；（2）记g(x)＝f(x)+kx +5，x ∈[−1, 2]． (Ⅰ)若g(x)为单调函数，求k 的取值范围；(Ⅱ)记g(x)的最小值为ℎ(k)，讨论ℎ(t 2−4)＝λ的零点个数． 【答案】设f(x)＝ax 2+bx +c(a ≠0)，由题意知对称轴x =−1=−b2a ①；f(0)＝c ＝−3②； 设f(x)＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=−ba ，x 1x 2=ca ，|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√b 2−4ac |a|=4；③由①②③解得a ＝1，b ＝2，c ＝−3， ∴ f(x)＝x 2+2x −3．(I)g(x)＝x 2+(k +2)x +2，其对称轴x =−k+22．由题意知：−k+22≤−1或−k+22≥2，∴ k ≥0或k ≤−6．(II)①当k ≥0时，对称轴x =−k+22≤−1，g(x)在[−1, 2]上单调递增，ℎ(k)＝g(−1)＝−k +1，②当−6<k <0时，对称轴x =−k+22∈(−1,2)，ℎ(k)=g(−k+22)=−k 2−4k+44，③当k ≤−6时，对称轴x =−k+22≥2，g(x)在[−1, 2]单调递减，ℎ(k)＝g(2)＝2k +10，∴ ℎ(k)={−k +1,k ≥0,−k 2−4k+44,−6<k <02k +10,k ≤−6.，令m ＝t 2−4≥−4，即ℎ(m)＝λ(m ≥−4)，画出ℎ(m)简图，i)当λ＝1时，ℎ(m)＝1，m ＝−4或0，∴ t 2−4＝−4时，解得t ＝0，t 2−4＝0时，解得t ＝±2，有3个零点．ii)当λ<1时，ℎ(m)＝λ有唯一解m 1>0，t 2−4＝m 1>0，t =±√m 1+4有2个零点． iii)当1<λ<2时，ℎ(m)＝λ有两个不同的零点m 2，m 3， 且m 2，m 3∈(−4, −2)∪(−2, 0)，m 2+4>0，m 3+4>0，∴ t 2−4＝m 2时，解得t =±√m 2+4，t 2−4＝m 3时，解得t =±√m 3+4，有4个不同的零点．iv)当λ＝2时，ℎ(m)＝2，m ＝−2＝t 2−4， ∴ t =±√2有2个零点．v)当λ>2时，ℎ(m)＝λ无解．综上所得：λ>2时无零点；1<λ<2时，有4个零点；λ＝1时，有3个零点；λ＝2或λ<1时，有2个零点． 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）直接由题意得出f(x)的解析式；（2）写出g(x)的解析式，(Ⅰ)讨论x ∈[−1, 2]单调性在对称轴的左右得出k 的取值范围；(Ⅱ)画函数图象，由数形结合讨论λ的取值得零点个数． 【解答】设f(x)＝ax 2+bx +c(a ≠0)，由题意知对称轴x =−1=−b2a ①；f(0)＝c ＝−3②； 设f(x)＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=−ba ，x 1x 2=ca ，|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√b 2−4ac |a|=4；③由①②③解得a ＝1，b ＝2，c ＝−3， ∴ f(x)＝x 2+2x −3．(I)g(x)＝x 2+(k +2)x +2，其对称轴x =−k+22．由题意知：−k+22≤−1或−k+22≥2，∴ k ≥0或k ≤−6．(II)①当k ≥0时，对称轴x =−k+22≤−1，g(x)在[−1, 2]上单调递增，ℎ(k)＝g(−1)＝−k +1，②当−6<k <0时，对称轴x =−k+22∈(−1,2)，ℎ(k)=g(−k+22)=−k 2−4k+44，③当k ≤−6时，对称轴x =−k+22≥2，g(x)在[−1, 2]单调递减，ℎ(k)＝g(2)＝2k +10，∴ ℎ(k)={−k +1,k ≥0,−k 2−4k+44,−6<k <02k +10,k ≤−6.，令m ＝t 2−4≥−4，即ℎ(m)＝λ(m ≥−4)，画出ℎ(m)简图，i)当λ＝1时，ℎ(m)＝1，m＝−4或0，∴t2−4＝−4时，解得t＝0，t2−4＝0时，解得t＝±2，有3个零点．ii)当λ<1时，ℎ(m)＝λ有唯一解m1>0，t2−4＝m1>0，t=±√m1+4有2个零点．iii)当1<λ<2时，ℎ(m)＝λ有两个不同的零点m2，m3，且m2，m3∈(−4, −2)∪(−2, 0)，m2+4>0，m3+4>0，∴t2−4＝m2时，解得t=±√m2+4，t2−4＝m3时，解得t=±√m3+4，有4个不同的零点．iv)当λ＝2时，ℎ(m)＝2，m＝−2＝t2−4，∴t=±√2有2个零点．v)当λ>2时，ℎ(m)＝λ无解．综上所得：λ>2时无零点；1<λ<2时，有4个零点；λ＝1时，有3个零点；λ＝2或λ<1时，有2个零点．。
2023-2024学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{﹣1，1，2}，B ＝{x |x 2＝x }，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{1}C ．{﹣1，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．命题“∃x ∈Z ，x ∈N ”的否定为（ ） A ．∃x ∈Z ，x ∉NB ．∃x ∉Z ，x ∈NC ．∀x ∈Z ，x ∉ND ．∀x ∈Z ，x ∈N3．与函数y =√x 3为同一函数的是（ ） A ．y =x √xB ．y =−x √xC ．y =x √−xD ．y ＝|x |4．函数f （x ）=√−x 2+2x +3的单调递减区间是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．[1，3]C ．（﹣1，3）D ．[1，+∞）5．已知a ＞b ＞0，下列不等式中正确的是（ ） A ．a ﹣1＜b ﹣1B ．ab ＜b 2C ．1a+1＜1b+1D ．c a＞cb6．已知函数f(x)={x +a ，x ＞0，|x|+1，x ＜0，且f （f （﹣1））＝4，则a ＝（ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣17．已知函数f （x ）为奇函数，且对任意的x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则关于x 的不等式f （x 2﹣x ）＜0的解集为（ ） A ．（0，1） B ．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）8．某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为a 1，a 2且a 1≠a 2．若他每次购买数量一定，其平均价格为b 1；若他每次购买的费用一定，其平均价格为b 2，则（ ） A ．b 1＜b 2 B ．b 1＞b 2C ．b 1＝b 2D ．b 1，b 2不能比较大小二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列函数值域为[1，+∞）的是（ ） A ．y ＝x +1 B ．y ＝x 2+2x +2 C ．y =1−x1+xD ．y =x −1x +1(x ≥1)10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x ＜﹣4或x ＞3}，则（ ） A ．a ＞0B ．12a +c ＝0C ．a +b +c ＞0D ．不等式ax−b ax−c≤0的解集为{x |﹣12＜x ≤1}11．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则（ ） A ．ab ≤14B ．1a+1b≥4C ．|a −12|+|b −14|≤14D ．a 2+b ≥3412．对于任意实数x ，函数f （x ）满足：当n −12＜x ≤n +12(n ∈Z)时，f （x ）＝x ﹣n ，则（ ） A ．f （2023）＝0B ．f （x ）的值域为(−12，12]C ．f （x ）在区间(−12，52]上单调递增D ．f （x ）的图象关于点（k ，0）（k ∈Z ）对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知集合M ＝{x ，x +2，2}，若0∈M ，则x ＝ ． 14．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2，5]，则函数y =f(2x−1)x−1的定义域为 ． 15．已知f （x ），g （x ）是分别定义在R 上的奇函数和偶函数，且f （x ）﹣g （x ）＝x 3+x 2+1，则f （1）+g （2）＝ ．16．已知函数f(x)={|x −1|，0≤x ＜2，2(x −3)2−1，x ≥2，则函数y =f(f(x))−12的零点个数为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤m +1}． （1）当m ＝4时，求A ∪B ，A ∩（∁U B ）；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x 2+2x ． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）在给出的坐标系中画出f （x ）的图象，并写出f （x ）的单调增区间．19．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x +14(a ∈R)．（1）若关于x 的不等式f （x ）≥0的解集是实数集R ，求a 的取值范围； （2）当a ＜0时，解关于x 的不等式f （x ）−94≤0．20．（12分）为改善生态环境，某企业对生产过程中产生的污水进行处理．已知该企业污水日处理量为x 百吨（70≤x ≤120），日处理污水的总成本y 元与x 百吨之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +5000．（1）该企业日污水处理量为多少百吨时，平均成本最低？（平均成本=y x）（2）若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该企业污水处理进行财政补贴，补贴方式有两种方案：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为4200元；方案二：根据日处理量进行财政补贴，处理x 百吨获得金额为40x +1700元．如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？并说明原因． 21．（12分）已知函数f （x ）对于任意实数x ，y ∈R ，都有f （x +y ）+2＝f （x ）+f （y ），且f （2）＝4． （1）求f （1）的值；（2）令g （x ）＝f （x ）﹣2，求证：函数g （x ）为奇函数；（3）求f （﹣2023）+f （﹣2022）+…+f （﹣1）+f （0）+f （1）+…+f （2022）+f （2023）的值． 22．（12分）已知函数f （x ），g （x ）满足g （x ）＝f （x ）+a 2f(x)(a ＞0)． （1）设f （x ）＝x ，求证：函数g （x ）在区间（0，a ）上为减函数，在区间（a ，+∞）上为增函数； （2）设f （x ）=√1−x1+x． ①当a ＝1时，求g （x ）的最小值；②若对任意实数r ，s ，t ∈[−35，35]，|g （r ）﹣g （s ）|＜g （t ）恒成立，求实数a 的取值范围．2023-2024学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x2＝x}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1，2}解：集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x2＝x}＝{0，1}，则A∩B＝{1}．故选：B．2．命题“∃x∈Z，x∈N”的否定为（）A．∃x∈Z，x∉N B．∃x∉Z，x∈N C．∀x∈Z，x∉N D．∀x∈Z，x∈N解：因为特称命题的否定是全称命题，所以“∃x∈Z，x∈N”的否定是：“∀x∈Z，x∉Z”．故选：C．3．与函数y=√x3为同一函数的是（）A．y=x√x B．y=−x√x C．y=x√−x D．y＝|x|解：∵函数y=√x3中x3≥0可得x≥0，故函数y=√x3的定义域为[0，+∞），排除CD，又y=√x3=x√x，排除B．故选：A．4．函数f（x）=√−x2+2x+3的单调递减区间是（）A．（﹣∞，1]B．[1，3]C．（﹣1，3）D．[1，+∞）解：由﹣x2+2x+3≥0，解得﹣1≤x≤3，设t＝﹣x2+2x+3，由二次函数的性质可知：t在x∈[﹣1，1]上单调递增，在x∈[1，3]上单调递减，又因为y=√t在定义上为增函数，由复合函数的性质可得：函数f（x）=√−x2+2x+3的单调递减区间是[1，3]．故选：B．5．已知a＞b＞0，下列不等式中正确的是（）A．a﹣1＜b﹣1B．ab＜b2C．1a+1＜1b+1D．ca＞cb解：因为a＞b＞0，所以a﹣1＞b﹣1，A错误；因为a＞b＞0，所以ab＞b2，B错误；因为a+1＞b+1＞0，所以0＜1a+1＜1b+1，C正确；因为1a＜1b，所以c a＜cb，D 错误．故选：C ．6．已知函数f(x)={x +a ，x ＞0，|x|+1，x ＜0，且f （f （﹣1））＝4，则a ＝（ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣1解：∵函数f(x)={x +a ，x ＞0，|x|+1，x ＜0，∴f （﹣1）＝|﹣1|+1＝2， f （f （﹣1））＝2+a ＝4， ∴a ＝2． 故选：A ．7．已知函数f （x ）为奇函数，且对任意的x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则关于x 的不等式f （x 2﹣x ）＜0的解集为（ ） A ．（0，1） B ．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）解：因为对任意的x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，所以f （x ）在R 上单调递减， 因为f （x ）为奇函数，即f （0）＝0， 因为f （x 2﹣x ）＜0＝f （0）， 所以x 2﹣x ＞0， 解得x ＞1或x ＜0． 故选：B ．8．某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为a 1，a 2且a 1≠a 2．若他每次购买数量一定，其平均价格为b 1；若他每次购买的费用一定，其平均价格为b 2，则（ ） A ．b 1＜b 2 B ．b 1＞b 2C ．b 1＝b 2D ．b 1，b 2不能比较大小解：设每次购买数量为x ，平均价格为b 1=a 1x+a 2x 2x=a 1+a 22， 设每次购买的费用为y ，平均价格为b 2=2y y a 1+ya 2=2a 1a2a 1+a 2，∵a 1≠a 2，∴(a 1+a 2)2＞4a 1a 2⇒a 1+a 22＞2a 1a 2a 1+a 2⇒b 1＞b 2．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列函数值域为[1，+∞）的是（ ） A ．y ＝x +1 B ．y ＝x 2+2x +2 C ．y =1−x1+xD ．y =x −1x +1(x ≥1)解：y ＝x +1的值域为R ，A 错误；y ＝x 2+2x +2＝（x +1）2+1≥1，B 符合题意； y =1−x1+x =−x−1x+1=−1+2x+1≠−1，C 不符合题意； 当x ≥1时，y ＝x −1x +1单调递增，故y ≥1，D 符合题意． 故选：BD ．10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x ＜﹣4或x ＞3}，则（ ） A ．a ＞0B ．12a +c ＝0C ．a +b +c ＞0D ．不等式ax−b ax−c≤0的解集为{x |﹣12＜x ≤1}解：已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x ＜﹣4或x ＞3}， 可得﹣4，3是方程ax 2+bx +c ＝0的两个根，且a ＜0，则{−ba =−4+3c a =−4×3，即b ＝a ，c ＝﹣12a ，所以c +12a ＝0，故A 错误，B 正确；因为1∉{x |x ＜﹣4或x ＞3}，所以a ×12+b ×1+c ＞0，即a +b +c ＞0，故C 正确； 又不等式ax−b ax−c≤0等价于{(ax −b)(ax −c)≤0ax −c ≠0，即{(ax −a)(ax +12a)≤0ax +12a ≠0，即{(x −1)(x +12)≤0x ≠−12，解得﹣12＜x ≤1，故D 正确． 故选：BCD ．11．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则（ ）A ．ab ≤14B ．1a+1b≥4C ．|a −12|+|b −14|≤14D ．a 2+b ≥34解：因为a +b ＝1≥2√ab ，解得ab ≤14，当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；由1a+1b=(a +b)(1a+1b)=2+b a+a b≥2+2√b a ⋅ab=4，当且仅当a =b =12时，等号成立，可得B 正确；当a =15，b =45时，|a −12|+|b −14|=1720＞14，故|a −12|+|b −14|≤14不成立，故C 错误；根据题意，可得a 2+b =a 2−a +1=(a −12)2+34≥34，当且仅当a =b =12时，a 2+b 的最小值为34，故D 正确． 故选：ABD ．12．对于任意实数x ，函数f （x ）满足：当n −12＜x ≤n +12(n ∈Z)时，f （x ）＝x ﹣n ，则（ ） A ．f （2023）＝0B ．f （x ）的值域为(−12，12]C ．f （x ）在区间(−12，52]上单调递增D ．f （x ）的图象关于点（k ，0）（k ∈Z ）对称解：由题意得f （x ）={⋯x +1，−32＜x ≤−12x ，−12＜x ≤12x −1，12＜x ≤32，x −2，32＜x ≤52⋯，其大致图象如图所示，故f （2023）＝f （2022）＝f （2021）＝…＝f （0）＝0，A 正确； 由函数的图象可知，函数的值域为（−−12，12]，B 正确； 根据函数图象可知，f （x ）在区间(−12，52]上不单调，C 错误； 根据函数的图象可知，f （x ）的图象关于（k 2，0）对称，D 错误．故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知集合M ＝{x ，x +2，2}，若0∈M ，则x ＝ ﹣2 ． 解：集合M ＝{x ，x +2，2}，若0∈M ，则x ＝0或x +2＝0， 所以x ＝0或x ＝﹣2，当x ＝0时，x +2＝2，不满足元素的互异性，舍去， 当x ＝﹣2时，集合M ＝{﹣2，0，2}，符合题意， 综上所述，x ＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2，5]，则函数y =f(2x−1)x−1的定义域为 {x |−12≤x ≤3且x ≠1} ． 解：数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2，5]，则{−2≤2x −1≤5x −1≠0，解得−12≤x ≤3且x ≠1，故函数y 的定义域为{x |−12≤x ≤3且x ≠1}． 故答案为：{x |−12≤x ≤3且x ≠1}．15．已知f （x ），g （x ）是分别定义在R 上的奇函数和偶函数，且f （x ）﹣g （x ）＝x 3+x 2+1，则f （1）+g （2）＝ ﹣4 ．解：因为f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 且f （x ）﹣g （x ）＝x 3+x 2+1，①所以f （﹣x ）﹣g （﹣x ）＝（﹣x ）3+（﹣x ）2+1＝﹣x 3+x 2+1，即﹣f （x ）﹣g （x ）＝﹣x 3+x 2+1，变形可得：f （x ）+g （x ）＝x 3﹣x 2﹣1，② 由①②解得：f （x ）＝x 3，g （x ）＝﹣x 2﹣1， 则f （1）＝1，g （2）＝﹣5， 故f （1）+g （2）＝﹣4． 故答案为：﹣4．16．已知函数f(x)={|x −1|，0≤x ＜2，2(x −3)2−1，x ≥2，则函数y =f(f(x))−12的零点个数为 7 ．解：令f （x ）＝t ，则有y =f(f(x))−12=f （t ）−12， 令f （t ）−12=0，得f （t ）=12，当0≤t ＜2时，由|t ﹣1|=12，解得t 1=12或t 2=32；当t ≥2时，由2（t ﹣3）2﹣1=12，解得t 3＝3−√32，t 4＝3+√32， 作出y ＝f （x ）的图象，如图所示：由此可得当f （x ）=12时，有4个根（y ＝f （x ）的图象与y =12的图象有4个交点）； 当f （x ）=32时，有1根（y ＝f （x ）的图象与y =32的图象有1交点）； 当f （x ）＝3−√32时，有1根（y ＝f （x ）的图象与y ＝3−√32的图象有1交点）； 当f （x ）＝3+√32时，有1根（y ＝f （x ）的图象与y ＝3+√32的图象有1交点）；所以一共有4+1+1+1＝7个零点． 故答案为：7．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤m +1}． （1）当m ＝4时，求A ∪B ，A ∩（∁U B ）；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）m ＝4时，A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤m +1}＝{x |3≤x ≤5}， 则∁U B ＝{x |x ＞5或x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ≤5}，A ∩（∁U B ）＝{x |1＜x ＜3}； （2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件， 则B ⊆A ，则{m −1＞1m +1＜4，解得：2＜m ＜3，即实数a 的取值范围是（2，3）．18．（12分）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x 2+2x ． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）在给出的坐标系中画出f （x ）的图象，并写出f （x ）的单调增区间．解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，所以f（﹣x）＝x2﹣2x，因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），所以当x＞0 时，f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣2x，综合可得：f（x）={x2+2x，x≤0 x2−2x，x＞0；（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）={x2+2x，x≤0 x2−2x，x＞0，其图象为：该函数的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x+14(a∈R)．（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集是实数集R，求a的取值范围；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）−94≤0．解：（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集是实数集R，即ax2+(a−2)x+14≥0在实数集R上恒成立，当a ＝0时，x ≤18，不符合题意；当a ≠0时，要使关于x 的不等式f （x ）≥0的解集是实数集R ， 则要满足{a ＞0(a −2)2−4a ×14≤0，解得1≤a ≤4， 综上可得，实数l 的取值范围是{a |1≤a ≤4}．（2）由题意f(x)−94≤0 可变为ax 2+（a ﹣2）x ﹣2≤0， 可得ax 2+（a ﹣2）x ﹣2＝（ax ﹣2）（x +1），当a ＜0时，方程（ax ﹣2）（x +1）＝0的两根为−1，2a， ①当a ＜﹣2时，因为−1＜2a ，解不等式得x ≤﹣1或x ≥2a ； ②当a ＝﹣2时，因为−1=2a ，此时不等式的解集为R ； ③当﹣2＜a ＜0时，因为−1＞2a，解不等式得x ≤2a或x ≥﹣1； 综上所述，不等式的解集为：当﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x|x ≤2a 或≥−1}； 当a ＝﹣2时，不等式的解集为R ；当a ＜﹣2时，不等式的解集为{x|x ≤−1或x ≥2a}．20．（12分）为改善生态环境，某企业对生产过程中产生的污水进行处理．已知该企业污水日处理量为x 百吨（70≤x ≤120），日处理污水的总成本y 元与x 百吨之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +5000．（1）该企业日污水处理量为多少百吨时，平均成本最低？（平均成本=yx ）（2）若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该企业污水处理进行财政补贴，补贴方式有两种方案：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为4200元；方案二：根据日处理量进行财政补贴，处理x 百吨获得金额为40x +1700元．如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？并说明原因． 解：（1）∵y =12x 2+40x +5000， ∴yx =x 2+5000x+40，又x ∈[70，120]，则y x=x 2+5000x+40≥2√x 2⋅5000x +40＝140，当且仅当x 2=5000x，即x ＝100百吨时，平均成本最低；（2）选择方案一：设每日获利为y 1，∴y 1＝100x ﹣（12x 2+40x +5000）+4200=−12x 2+60x ﹣800=−12（x ﹣60）2+1000，∵x ∈[70，120]，∴当x ＝70百吨时，获得最大利润为950元； 选择方案二：设每日获利为y 2，则y 2＝100x +40x +1700﹣（12x 2+40x +5000）=−12x 2+100x ﹣3300=−12（x ﹣100）2+1700，∵x ∈[70，120]，∴当x ＝100百吨时，获得最大利润为1700元， 又1700＞950，故选择方案二进行补贴．21．（12分）已知函数f （x ）对于任意实数x ，y ∈R ，都有f （x +y ）+2＝f （x ）+f （y ），且f （2）＝4． （1）求f （1）的值；（2）令g （x ）＝f （x ）﹣2，求证：函数g （x ）为奇函数；（3）求f （﹣2023）+f （﹣2022）+…+f （﹣1）+f （0）+f （1）+…+f （2022）+f （2023）的值． 解：（1）∵对于任意实数x ，y ∈R ，都有f （x +y ）+2＝f （x ）+f （y ），且f （2）＝4． ∴f （1+1）+2＝f （1）+f （1），∴4+2＝2f （1），∴f （1）＝3； （2）证明：∵f （0+0）+2＝f （0）+f （0），∴f （0）＝2，又x ∈R ，∴g （﹣x ）+g （x ）＝f （﹣x ）﹣2+f （x ）﹣2＝f （﹣x ）+f （x ）﹣4＝f （﹣x +x ）+2﹣4＝f （0）﹣2＝0， ∴g （x ）为奇函数；（3）由（2）知g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （x ）＝g （x ）+2， ∴f （﹣x ）+f （x ）＝4，又f （0）＝2，∴f （﹣2023）+f （﹣2022）+…+f （﹣1）+f （0）+f （1）+…+f （2022）+f （2023） ＝2023×4+2＝8094．22．（12分）已知函数f （x ），g （x ）满足g （x ）＝f （x ）+a 2f(x)(a ＞0)．（1）设f （x ）＝x ，求证：函数g （x ）在区间（0，a ）上为减函数，在区间（a ，+∞）上为增函数； （2）设f （x ）=√1−x1+x ．①当a ＝1时，求g （x ）的最小值；②若对任意实数r ，s ，t ∈[−35，35]，|g （r ）﹣g （s ）|＜g （t ）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）证明：由题意，可得g(x)=x +a 2x ，令0＜x 1＜x 2，则g(x 2)−g(x 1)=x 2+a 2x 2−(x 1+a 2x 1)=(x 2−x 1)+a 2⋅x 1−x 2x 1x 2=(x 2−x 1)(1−a 2x 1x 2)=(x 2−x 1)x 1x 2−a 2x 1x 2，当0＜x 1＜x 2＜a 时，x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0且x 1x 2−a 2＜0， 故g （x 2）﹣g （x 1）＜0，故g （x ）在区间（0，a ）上为减函数； 当x 2＞x 1＞a 时，x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0且x 1x 2−a 2＞0，所以g （x 2）﹣g （x 1）＞0，所以g （x ）在区间（a ，+∞）上为增函数． （2）①令1−x 1+x＞0⇔(1+x)(1−x)＞0，解得﹣1＜x ＜1，由g(x)=f(x)+a 2f(x)中f （x ）可知， f(x)=√1−x 1+x 的定义域为（﹣1，1），且f(x)=√21+x−1， 因为x ∈（﹣1，1]，所以x +1∈（0，2]，所以2x+1−1∈(0，+∞)，所以f （x ）∈（0，+∞），令t ＝f （x ），则p(t)=t +1t， 所以p(t)=t +1t≥2，当且仅当t ＝1时取等号， 所以g （x ）min ＝g （0）＝2，②因为|g （r ）﹣g （s ）|＜g （t ）恒成立，所以g （x ）max ﹣g （x ）min ＜g （x ）min ，所以g （x ）max ＜2g （x ）min ， 由①可知，x ∈[−35，35]时，f(x)∈[12，2]， 令t =f(x)∈[12，2]，令ℎ(t)=t +a 2t， 由（1）知，h （t ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数， 所以当a ≥2时，h （t ）在[12，2]上为减函数， 所以g(x)max =ℎ(t)max =ℎ(12)=12+2a 2，g(x)min =ℎ(t)min =ℎ(2)=2+a 22， 所以12+2a 2＜2(2+a 22)，所以−√142＜a ＜√142，与a ≥2矛盾，当12＜a ＜2时，h （t ）在[12，a]上为减函数，h （t ）在[a ，2]上为增函数，所以{ℎ(12)＜2ℎ(a)ℎ(2)＜2ℎ(a)，所以{12+2a 2＜4a 2+a 22＜4a，解得4−2√3＜a ＜2+√32，当a≤12时，h（t）在[12，2]上为增函数，所以2+a22＜2(12+2a2)，所以a2＞27，所以a＞√147或a＜−√147，由a≤12，得a＜−√147，又a＞0，所以a∈∅，综上，a的取值范围为{a|4−2√3＜a＜2+√32}．。
2019-2020学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}，则集合(U A =ð ) A ．{0，2}B ．{1-，0}C ．{0，1}D ．{1，2}2．命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x +…”的否定是( )A ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+…B ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+<C ．(0,)x ∀∈+∞，13x x +< D ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+…3．设x R ∈，则“|3|1x -<”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<5．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：)m 与时间t （单位：)s 之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米6．对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[2，6){2}-C ．(,2)[2-∞-，6)D ．[2，6)7．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( )A ．120B ．130C ．150D ．1808．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是( )①若11a b <>；②若1a b +=，则14a b+的最小值是10； ③11()()4a b a b ++…；④函数11y a a =++的最小值为1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．定义在R 上的奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x --剟的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2]B ．[2-，1]C ．[1-，3]D ．[0，2]10．关于x 的方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,1)--B ．(11)(3,17)-+C ．(2-，1)(2-⋃，3)D ．(2,6)11．已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图象交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，8(x ，8)y ，则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为( )A ．20B ．24C ．36D ．40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12．函数1()1f x x =+-的定义域为 ． 13．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x …时，()(1)f x x x =-，则(2)f -= ． 14．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．15．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1x a ∀∈-，1]a +，都有[1y b ∈-，1]b +，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，若函数212y x =-是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是 ．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知集合{|26}A x x =-剟，{|35}B x x =-剟． （1）求AB ，AB ；（2）若{|121}C x m x m =+-剟，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围．17．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x -…的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．18．已知函数223,(02)()43,(2)x x f x x x x -+<⎧=⎨-+⎩……，()(||)F x f x =．（1）判断()F x 的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()F x 的大致图象；并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()H x F x t =-有两个零点，求t 的取值范围．19．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1a ∀∈-，1]，()0f x …恒成立，求实数x 的取值范围．20．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业)精（品)尖（端)特（色)产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金()R x 万元，且2210,040()901945010000,40x ax x R x x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+⎪⎩…．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2020年的企业年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2020年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？ 注：利润=销售额-成本21．已知二次函数()y f x =满足：①x R ∀∈，有(1)(1)f x f x --=-+；②(0)3f =-；③()y f x =的图象与x 轴两交点间距离为4．（1）求()y f x =的解析式；（2）记()()5g x f x kx =++，[1x ∈-，2]． （Ⅰ）若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；（Ⅱ）记()g x 的最小值为()h k ，讨论2(4)h t λ-=的零点个数．2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}，则集合(U A =ð ) A ．{0，2}B ．{1-，0}C ．{0，1}D ．{1，2}【解答】解：因为全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}， 所以：{0U A =ð，2}， 故选：A ．2．命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x +…”的否定是( )A ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+…B ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+<C ．(0,)x ∀∈+∞，13x x +< D ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+…【解答】解：命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x+…”的否定是：否定限定量词和结论，故为：(0,)x ∀∈+∞，13x x+<， 故选：C ．3．设x R ∈，则“|3|1x -<”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由|3|1x -<，131x ∴-<-<，解得24x <<． 则由“24x <<” ⇒ “2x >”， 由“2x >”推不出“24x <<”，则“|3|1x -<”是“2x >”的充分不必要条件； 故选：A ．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【解答】解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，()f x ∴在(,0)-∞上单调递减，距对称轴越远，函数值越大， (1)(3)()f f f π-<-<，则c a b <<， 故选：D ．5．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：)m 与时间t （单位：)s 之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米【解答】解：2() 4.914.717h t t t =-++， ∴烟花冲出后在爆裂的最佳时刻为14.71.52( 4.9)t =-=⨯-，此时2(1.5) 4.9 1.514.7 1.51728h =-⨯+⨯+≈， 故选：B ．6．对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[2，6){2}-C ．(,2)[2-∞-，6)D ．[2，6)【解答】解：对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立， ①当240m -=且20m +≠，即2m =时，104>对x R ∈恒成立， 2m ∴=满足题意；②当2m ≠且2m ≠-时，则有2240(2)4(2)0m m m ⎧->⎨=---<⎩，解得26m <<． 综合①②，可得26m <…，故实数m 的取值范围为[2，6)， 故选：D ．7．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( )A ．120B ．130C ．150D ．180【解答】解：本题的大意为：《毛诗》、《春秋》和《周易》共94本，3个人读《毛诗》一册，4个人读《春秋一册》，5个人读《周易》一册，问由多少个学生？ 11194()345÷++479460=÷120=（人)故选：A ．8．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是( )①若11a b <>；②若1a b +=，则14a b+的最小值是10； ③11()()4a b a b ++…；④函数11y a a =++的最小值为1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解答】解：已知a ，b 为正实数，①11a b a b<⇒>⇒>①正确； ②1414414()()14529b b a a b a b a b a a a b+=++=++++=…，所以②不正确； ③1122a a a a +=…，同理12b b +…，11()()4a b a b∴++…，所以③正确；④11111)11111y a a a a a =+=++--=+++…，当且仅当111a a +=+，即0a =时取等号，而0a >，所以1y >，不能取等号，所以 ④不正确． 故选：B ．9．定义在R 上的奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x --剟的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2]B ．[2-，1]C ．[1-，3]D ．[0，2]【解答】解：由奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，可知()f x 在(,0)-∞是减函数，从而可得，()f x 在R 上单调递减， 由(2)1f -=，可知f （2）1=-， f （2）1(1)1(2)f x f =--=-剟，212x ∴--剟，解可得，13x -剟，即解集为[1-，3] 故选：C ．10．关于x 的方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3,1)--B．(11)(3,17)-+C ．(2-，1)(2-⋃，3)D ．(2,6)【解答】解：设函数22()5(9)2f x x a x a a =-++--，方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内， ∴函数22()5(9)2f x x a x a a =-++--的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，∴(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即2222026030a a a a a a ⎧-->⎪--<⎨⎪->⎩，解得：11a -<<-或31x <<+， 故选：B ．11．已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图象交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，8(x ，8)y ，则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为( )A ．20B ．24C ．36D ．40【解答】解：函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=的对称中心为(2,3)， 函数315()322x g x x x -==+--也关于(2,3)中心对称， 则若交点为1(x ，1)y 时，1(4x -，16)y -也为交点，若交点为2(x ，2)y 时，2(4x -，26)y -也为交点，⋯，所以128128112288()()()x x x y y y x y x y x y ++⋯++++⋯+=++++⋯++1111222288881[()(46)()(46)()(46)]402x y x y x y x y x y x y =++-+-+++-+-+⋯+++-+-=．故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12．函数1()1f x x =+-的定义域为 [2-，1)(1⋃，)+∞ ． 【解答】解：由题意得： 2010x x +⎧⎨-≠⎩…， 解得：2x -…且1x ≠，故函数的定义域是[2-，1)(1⋃，)+∞， 故答案为：[2-，1)(1⋃，)+∞．13．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x …时，()(1)f x x x =-，则(2)f -= 2 ． 【解答】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，2()f x x x =-， 所以(2)f f -=-（2）(24)2=--=， 故答案为：2．14．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 {|6x x <或1}2x > ． 【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<， 所以方程20ax bx c ++=的解为2和6，且0a <； 由根与系数的关系得， 26260b a c a a ⎧+=-⎪⎪⎪⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩， 解得8b a =-，12c a =，且0a <；所以不等式20cx bx a ++<化为212810x x -+>， 解得16x <或12x >，所以所求不等式的解集为1{|6x x <或1}2x >． 故选：1{|6x x <或1}2x >． 15．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1x a ∀∈-，1]a +，都有[1y b ∈-，1]b +，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，若函数212y x =-是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是 11[,]22- ．【解答】解：(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，∴212n m =-，[1x m ∴∀∈-，1]m +，都有2211[1,1]22y m m ∈---+，①10m +…，即1m -…时，212y x =-在[1m -，1]m +上单调递增，∴2211[(1),(1)]22y m m ∈---+，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m ---+⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧----⎪⎪⎨⎪-+-+⎪⎩……，解得12m -…，又1m -…，∴这种情况不合题意； ②1010m m +>⎧⎨-<⎩，即11m -<<时，由[1x m ∈-，1]m +可得21[(1),0]2y m ∈--或21[(1),0]2y m ∈-+，∴222111[(1),0][1,1]222m m m --⊆---+且222111[(1),0][1,1]222m m m -+⊆---+，∴2222211(1)12211(1)1221102m m m m m ⎧----⎪⎪⎪-+--⎨⎪⎪-+⎪⎩………，解得1122m-剟， ③10m -…，即1m …时，212y x =-在[1m -，1]m +上单调递减，∴2211[(1),(1)]22y m m ∈-+--，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m -+--⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧-+--⎪⎪⎨⎪---+⎪⎩……，解得12m …，又1m …，∴这种情况不合题意，综上得，m 的取值范围是11[,]22-．故答案为：11[,]22-．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知集合{|26}A x x =-剟，{|35}B x x =-剟． （1）求AB ，AB ；（2）若{|121}C x m x m =+-剟，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得{|25}AB x x =-剟，{|36}AB x x =-剟．（2）①若C =∅，则121m m +>-，2m ∴<； ②若C ≠∅，则12112215m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，解得23m 剟， 综上可得3m …． 17．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x -…的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数． 【解答】解：（1）由题意211x ax --+…， 变形2311011x a x a x x --++=++…， 这等价于(31)(1)0x a x -++…且10x +≠， 解得1x <-或13a x -…，所以103a -=，解得1a =． （2）由（1）得21()1x f x x -=+， 任取1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x <，则210x x ->， 那么212121*********()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， 210x x ->，12(1)(1)0x x ++>， 21()()0f x f x ∴->，∴函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．18．已知函数223,(02)()43,(2)x x f x x x x -+<⎧=⎨-+⎩……，()(||)F x f x =．（1）判断()F x 的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()F x 的大致图象；并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()H x F x t =-有两个零点，求t 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知()F x 定义域为R ，关于原点对称， 又()(||)(||)()F x f x f x F x -=-==， ()F x ∴在R 上是偶函数．函数()F x 的大致图象如下图：观察图象可得：函数()F x 的单调递增区间为：(2,0)-，(2,)+∞，单调递减区间为：(,2)-∞-，(0,2)．（2）当()()H x F x t =-有两个零点时， 即()F x 的图象与直线y t =图象有两个交点， 观察函数图象可得3t >或1t =-．19．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1a ∀∈-，1]，()0f x …恒成立，求实数x 的取值范围． 【解答】解：（1）不等式2(1)0x a x a +--<等价于()(1)0x a x -+<，当1a <-时，不等式的解集为(,1)a -； 当1a =-时，不等式的解集为∅； 当1a >-时，不等式的解集为(1,)a -． （2）22(1)(1)x a x a a x x x +--=-+++， 设g （a ）2(1)a x x x =-+++，[1a ∈-，1]，要使g （a ）0…在[1a ∈-，1]上恒成立， 只需(1)0(1)0g g -⎧⎨⎩……，即22210,10,x x x ⎧++⎨-⎩……解得1x …或1x -…， 所以x 的取值范围为{|1x x -…或1}x …．20．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业)精（品)尖（端)特（色)产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金()R x 万元，且2210,040()901945010000,40x ax x R x x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+⎪⎩…．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2020年的企业年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2020年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？ 注：利润=销售额-成本【解答】解：（1）由题意2(10)1010104000R a =⨯+=，所以300a =， 当040x <<时，22()900(10300)26010600260W x x x x x x =-+-=-+-；当40x …时，22901945010000919010000()900260x x x x W x x x x-+-+-=--=，所以2210600260,040()919010000,40x x x W x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+-⎪⎩…．（2）当040x <<，2()10(30)8740W x x =--+ 当30x =时，()8740max W x =⋯当40x …，29190100001000010000()9190()9190x x W x x x x x x -+-==--+=-++， 因为0x >，所以10000200x x +=…，当且仅当10000x x=时，即100x =时等号成立， 此时()20091908990W x -+=…， 所以()8990max W x =万元， 因为87408990<，所以2020年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元． 21．已知二次函数()y f x =满足：①x R ∀∈，有(1)(1)f x f x --=-+；②(0)3f =-；③()y f x =的图象与x 轴两交点间距离为4．（1）求()y f x =的解析式；（2）记()()5g x f x kx =++，[1x ∈-，2]． （Ⅰ）若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；（Ⅱ）记()g x 的最小值为()h k ，讨论2(4)h t λ-=的零点个数． 【解答】解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由题意知对称轴12bx a=-=-①；(0)3f c ==-②； 设()0f x =的两个根为1x ，2x ，则12b x x a+=-，12c x x a=，12||4x x -===；③由①②③解得1a =，2b =，3c =-，2()23f x x x ∴=+-．（2）2()()(2)2I g x x k x =+++，其对称轴22k x +=-．由题意知：212k +--…或222k +-…， 0k ∴…或6k -…．()II ①当0k …时，对称轴212k x +=--…，()g x 在[1-，2]上单调递增，()(1)1h k g k =-=-+， ②当60k -<<时，对称轴2(1,2)2k x +=-∈-，2244()()24k k k h k g +--+=-=， ③当6k -…时，对称轴222k x +=-…，()g x 在[1-，2]单调递减，()h k g =（2）210k =+，∴21,0,44(),604210,6k k k k h k k k k -+⎧⎪--+⎪=-<<⎨⎪+-⎪⎩……， 令244m t =--…，即()(4)h m m λ=-…，画出()h m 简图，)i 当1λ=时，()1h m =，4m =-或0，244t ∴-=-时，解得0t =，240t -=时，解得2t =±，有3个零点．)ii 当1λ<时，()h m λ=有唯一解10m >，2140t m -=>，t =有2个零点． )iii 当12λ<<时，()h m λ=有两个不同的零点2m ，3m ，且2m ，3(4m ∈-，2)(2--⋃，0)，240m +>，340m +>，224t m ∴-=时，解得t =，234t m -=时，解得t =有4个不同的零点．)iv 当2λ=时，()2h m =，224m t =-=-，∴t =2个零点．)v 当2λ>时，()h m λ=无解．综上所得：2λ>时无零点；12λ<<时，有4个零点；1λ=时，有3个零点；2λ=或1λ<时，有2个零点．。
2019-2020学年山东省潍坊市高密市高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省潍坊市高密市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3U =，{}0,2U C A =，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】A【解析】先计算集合A ，再计算集合A 的真子集个数. 【详解】全集{}0,1,2,3U =，{}0,2U C A =则{}1,3A = 故集合A 的真子集共有2213-=个 故选：A 【点睛】本题考查了补集，真子集的个数问题，混淆子集和真子集是容易发生的错误. 2．命题“1,2x x x e ∃>+≥ ”的否定形式是（ ） A ．1,2x x x e ∀≤+< B ．1,2x x x e ∀>+< C ．1,2x x x e ∃>+< D ．1,2x x x e ∃≤+<【答案】B【解析】直接利用命题的否定的定义得到答案. 【详解】命题“1,2x x x e ∃>+≥ ”的否定形式是：1,2xx x e ∀>+<故选：B 【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生的推断能力.3．计算31log 238()327---的值为（ ）A ．43-B ．12-C ．2D ．1【答案】D【解析】利用指数对数运算法则直接计算得到答案.【详解】33113l 1log 2o 23g 27313188()32722--⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭-故选：D 【点睛】本题考查了指数，对数的计算，意在考查学生的计算能力.4．0.70.60.7log 6,6,0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别比较三个数与0或1的大小，进而可得结果. 【详解】由对数函数与指数函数的单调性可得，0.700.70.7log 6log 10,661,0a b ====<0.60.7c =00.71<=，b c a ∴>>，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5．函数212log (6)y x x =-++的单调递增区间为（ ） A ．(2,3)- B ．1(2,)2-C ．1(,3)2D ．1(,)2+∞【答案】C【解析】先计算定义域为(2,3)-，再设26t x x =-++，分别计算单调性再根据复合函数的单调性得到答案. 【详解】212log (6)y x x =-++的定义域满足26023x x x -++>∴-<<设26t x x =-++，易知：12log y t =单调递减，26t x x =-++在12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.根据复合函数的单调性得到：212log (6)y x x =-++在1(,3)2上单调递增 故选：C 【点睛】本题考查了复合函数的单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误.6．已知函数)26g x =+，则()g x 的最小值是（ ）A ．6-B ．8-C ．9-D ．10-【答案】A【解析】设()22t t =≥，换元得到()()2102g t t t =-≥，计算最小值得到答案.【详解】)26gx =+，设()()2222t t x t ≥∴=-()()()222486102g t t t t t =-+--=-≥故 ()()min 26g t g ==-，即当0x =时，有最小值6- 故选：A 【点睛】本题考查了换元法求解析式，函数的最小值，换元法忽略定义域是容易发生的错误.7．已知幂函数()af x x =的图象经过函数()212x g x a -=-（0a >且1a ≠）的图象所过的定点，则幂函数()f x 不具有的特性是（ ） A ．在定义域内有单调递减区间 B ．图象过定点()1,1 C ．是奇函数 D ．其定义域是R【答案】D【解析】函数()212x g x a-=-过定点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，故()12212a f a ==⇒=-．故()1f x x=. 故函数是()(),0,0,-∞+∞上的减函数， A 正确．B 过点()1,1，正确．是奇函数，故C 是正确的．D 定义域中无x=0这个值，故定义域不是R ．函数不符合这一特点．故答案为D ．8．一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y 与时间x （年）的函数图象（如图），以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少；③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产．其中正确判断的序号是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③【答案】B【解析】观察图像得到前三年总量增加减少，后两年总量没有变化，判断得到答案. 【详解】 根据图像观察知：前三年总量增加减少，故前三年的年产量逐步减少，①错误②正确； 后两年总量没有变化，即后两年均没有生产，③错误④正确； 故选：B 【点睛】本题考查了函数图像的应用，意在考查学生的应用能力. 9．若,x y 是正数，且911x y+=，则xy 有（ ） A ．最大值36 B ．最小值136C ．最小值36D ．最大值136【答案】C【解析】直接利用均值不等式得到91912x y xy+=≥. 【详解】9191236xy x y xy+=≥≥，当91x y =即18,2x y ==时等号成立.故选：C 【点睛】本题考查了均值不等式的应用，属于常考题型.10．已知函数()f x 是定义在[)(]4,00,4-⋃上的奇函数，当(]0,4x ∈时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式()31xf x ≥-的x 的取值范围是( )A ．[)(]1,00,1-UB ．[](]4,20,1--UC ．[][]4,22,4--UD ．[)[]1,02,4-U【答案】B【解析】根据题意作出()f x 与()g x 的图像,可知其交于两点8(1,2),(2,)9A B --,因此,根据图像即可得出结论. 【详解】设()31xg x =-,如下图所示,画出函数()f x 在[)(]4,00,4-⋃上的图像,可知()f x 与()g x 图像交于两点8(1,2),(2,)9A B --,()31x f x ≥-,即()f x 的图像要在()g x 上方,所以满足条件的x 的取值范围为:[](]4,20,1x ∈--U , 故选:B. 【点睛】本题考查函数图像解不等式问题,涉及了函数奇偶性等知识,需要学生熟悉并掌握基本初等函数的各项性质,利用数形结合法解题. 11．已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，L ，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=L L ( ) A ．0 B ．6C ．12D ．18【答案】D 【解析】()211211x g x x x -==+--，由此()g x 的图像关于点()1,2中心对称，()f x 关于点()1,2中心对称，故交点的横纵坐标之和为定值。
山东省潍坊市2019-2020年度高一上学期数学期中考试试卷B卷
山东省潍坊市2019-2020年度高一上学期数学期中考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共10题；共11分)1. （1分）(2017·扬州模拟) 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A∩B）=________．2. （1分） (2016高二上·友谊开学考) 若集合A={（x，y）|y=1+ }，B={（x，y）|y=k（x﹣2）+4}，当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________．3. （1分） (2016高三上·新疆期中) “直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y+1=0平行”的充要条件是“a=________”．4. （1分） (2016高二下·民勤期中) 已知x∈{2，3，7}，y∈{﹣31，﹣24，4}，则xy可表示不同的值的个数是________．5. （1分） (2016高二上·海州期中) 已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列关系式中一定成立的是________．①ab＞ac②c（b﹣a）＜0③cb2＜ab2④ac（a﹣c）＞0．6. （1分） (2017高一上·邢台期末) 已知函数f（x）=﹣x3（x＞0），若f（m）﹣m2≤f（1﹣m）﹣（1﹣m）2 ，则m的取值范围为________．7. （1分）(2019·金山模拟) 函数的定义域是________8. （1分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=﹣f（x+2），且当x∈（2，3）时，f（x）=3﹣x，则f（7.5）=________9. （2分）(2018高三上·丰台期末) 设函数的周期是3，当时，① ________；②若有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是________．10. （1分） (2019高二下·鹤岗月考) 关于函数的性质描述，正确的是________.① 的定义域为；② 的值域为；③ 的图象关于原点对称；④ 在定义域上是增函数.二、二.选择题 (共4题；共8分)11. （2分）已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合C={z|z=x﹣y，x∈A，y∈B}中所有元素之和为（）A . ﹣9B . ﹣8C . ﹣7D . ﹣612. （2分）(2014·四川理) 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A . ＞B . ＜C . ＞D . ＜13. （2分）下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A . y=2x+2﹣xB . y=lgC . y=2|x|D . y=lg（x+ ）14. （2分）函数与在区间上都是减函数，则的取值范围是（）A .B .C .D .三、三.解答题 (共4题；共40分)15. （10分） (2019高二上·兰州期中) 已知不等式（1）若，求上述不等式的解集；（2）不等式的解集为或，求的值．16. （10分） (2016高一上·南充期中) 目前，成都市B档出租车的计价标准是：路程2km以内（含2km）按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费（即单价为1.9×（1+50%）=2.85元/km）．（现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑）（1）将乘客搭乘一次B档出租车的费用f（x）（元）表示为行程x（0＜x≤60，单位：km）的分段函数；（2）某乘客行程为16km，他准备先乘一辆B档出租车行驶8km，然后再换乘另一辆B档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆B档出租车完成全部行程更省钱？17. （10分）(2016·上海模拟) 已知函数f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）（1）若f（x）在区间[2，3]上的最大值为4、最小值为1，求a，b的值；（2）若a=1，b=1，关于x的方程f（|2x﹣1|）+k（4﹣3|2x﹣1|）=0，有3个不同的实数解，求实数k的值．18. （10分） (2019高一上·普宁期中) 对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意的．均有，则称与在上是接近的，否则称与在上是非接近的．现有两个函数与且，给定区间，（1）若与在区间上都有意义，求的取值范围：（2）在的条件下，讨论与在区间上是否是接近的参考答案一、填空题 (共10题；共11分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、二.选择题 (共4题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、三.解答题 (共4题；共40分) 15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020学年山东省潍坊一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x∈R|0≤x≤2}，N={x∈Z|(x−3)(x+1)<0}，则M∩N=()A. [0,2]B. {1}C. {1}D. {0,1，2}2.已知集合A={x|x2−4=0}，则下列关系式表示正确的是()A. ⌀∈AB. {−2}=AC. 2∈AD. {2,−2}⫋A3.函数f(x)=1x−1+√4−2x的定义域为()A. (−∞,2]B. (0,2]C. (−∞,1)∪(1,2]D. (0,1)∪(1,2]4.函数y=a x–2+2(a>0,a≠1)的图象必过定点()．A. (1,2)B. (2,2)C. (2,3)D. (3,2)5.方程e x+x=4的解所在的区间是()A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)6.与函数v=√−2x3是相同函数的是()A. v=x√−2xB. y=−√2x3C. y=−x√−2xD. y=x2√−2x7.已知函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)在区间[m,2m]上的值域为[m,2m]，则a=()A. √2B. 14C. D.8.已知函数f(x)={|2x−1|,x<2,3x−1,x≥2,若方程f(x)−a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A. (1,3)B. (0,3)C. (0,2)D. (0,1)9.设函数f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数且满足f(x)+g(x)=x3−x2+1，则f(1)=()A. −1B. 1C. −2D. 210.函数f(x)=(16x−16−x)log2|x|的大致图象为()A. B. C. D.11.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(−∞,0](x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，且f(2)=0，则不等式2f(x)+f(−x)x<0解集是()．A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−2,0)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2)12. 已知函数f(x)={−x 2+ax,x ⩽13ax −7,x >1，若存在x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. (−∞,3)D. (−∞,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f(x)=2x 2−x ，则f(1)=__________．14. 函数f(x)=(13)x −|log 3x|的零点个数为________个．15. 已知f(x)是一次函数，且f [f (x )]=x +2，则函数解析式为_________16. 若函数f(x)={x +2,x >0x 2−1,x ≤0，则f(f(−2))=______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|x ≤a +3}，B ={x|x <−1或x >5}．(1)若a =−2，求A ∩∁R B ；(2)若A ∩B =A ，求a 的取值范围．18. 计算下列各式的值：(1)(0.064)−13+[(−2)2]−32+16−34+0.2512+(43)−1； (2)log 2√22+2lg5+lg4+71−log 72．19. f(x)=−12x 2+132在区间[a,b]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a,b]．20. 经市场调查，某商品在过去的30天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间t(单位：天)的函数，且销售量近似地满足f(t)={10+t,1≤t ≤1540−t,16≤t ≤30(t ∈N)，价格为g(t)=30−t(1≤t ≤30,t ∈N)．(1)求该种商品的日销售额ℎ(t)与时间t 的函数关系；(2)求t 为何值时，日销售额最大？并求出最大值．21. 已知函数f(x)=px 2+2−3x ，f(2)=−53．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并加以证明．22. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=12(|x −1|+|x −2|−3)．(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象；(3)若对任意的x ∈R ，恒有f(x)≤f(x +a)，求正实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：M ={x|0≤x ≤2}，N ={0,1，2}；∴M ∩N ={0,1，2}．故选：D ．可解出集合N ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题．根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断即可．【解答】解：集合A ={x|x 2−4=0}={−2,2}；对于A ：空集是任何集合的子集，应该⌀⊆A ，∴A 不对;对于B ：集合与集合的关系，应该{−2}⊆A ，∴B 不对;对于C ：2是集合A 的元素，即2∈A ，∴C 对;对于D ：集合与集合的关系，应该{2,−2}=A ．故选C ．3.答案：C解析：【分析】本题考查求函数的定义域，属于基础题目．【解答】解：要使函数有意义应满足{x −1≠04−2x ≥0， 解得x ≤2且x ≠1．故函数的定义域为(−∞,1)∪(1,2]．故选C．4.答案：C解析：解：可令x−2=0，解得x=2，y=a0+2=1+2=3，则函数y=a x−2+2(a>0,a≠1)的图象必过定点(2,3)．故选：C．由指数函数的图象恒过定点(0,1)，可令x−2=0，计算即可得到所求定点．本题考查指数函数的图象的特点，考查运算能力，属于基础题．5.答案：C解析：【分析】本题考查函数的零点的存在性定理，属基础题．由题意易得f(1)f(2)<0，由零点的存在性定理可得答案．【解答】解：设f(x)=e x+x−4，易知f(x)为增函数，又f(1)=e+1−4<0，f(2)=e2+2−4>0，可知f(1)f(2)<0，由零点的存在性定理可得：f(x)=0的解所在区间为(1,2)，故选C．6.答案：C解析：【分析】本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数，我们根据两个函数是否为同一函数的判断方法，要先求函数y=√−2x3的定义域，然后再化简解析式，然后再去判断．两个函数解析式表示同一个函数需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足．【解答】解：要使函数解析式有意义则x ≤0即函数y =√−2x 3的定义域为：(−∞,0] 故y =√−2x 3=|x|√−2x =−x √−2x又因为函数y =−x √−2x 的定义域也为：(−∞,0]故函数y =√−2x 3与函数y =−x √−2x 表示同一个函数则他们有相同的图象故选C7.答案：C解析：【分析】本题考查指数函数的性质；根据指数函数的性质，讨论底数a 与1的关系，利用其单调性得到定义域与值域的定义关系．【解答】解：由题意，a >1时，a m =m ，且a 2m =2m ，所以m =2，所以a =√2;当0<a <1时，a m =2m ，且a 2m =m ，所以m =14，所以a =116;故选C ． 8.答案：D解析：【分析】本题考查函数与方程的应用，难度一般.方程f (x )−a =0有三个不同的实数根，等价于y =f (x )与y =a 有三个不同交点，画出函数f (x )的图像观察图象即可得结论．【解答】解：由函数f(x)={|2x −1|,x <23x−1,x ⩾2,图像如下：方程f (x )−a =0有三个不同的实数根，等价于y =f (x )与y =a 有三个不同交点，则由图可知0<a <1．故选D．9.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．根据题意，计算出f(1)+g(1)、−f(1)+g(1)的值即可．【解答】解：由题可知：f(1)+g(1)=1−1+1=1①，f(−1)+g(−1)=−1−1+1=−1，由f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴−f(1)+g(1)=−1②，由①②得f(1)=1，故选：B．10.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性，属于基础题．分析函数的奇偶性和当x→0时的极限值，利用排除法，可得函数f(x)的大致图象．【解答】解：∵函数f(x)=(16x−16−x)log2|x|，定义域为{x|x≠0}，∴函数f(−x)=(16−x−16x)log2|−x|=−[(16x−16−x)log2|x|]，即f(−x)=−f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B，C当x→0时，f(x)→0，故排除D，故选：A．11.答案：B解析：【分析】本题主要考查了函数的单调性以及奇偶性的综合应用，利用函数奇偶性和单调性即可求得结果．【解答】<0，解：∴对任意的x1,x2∈(−∞,0](x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1∴f(x)在(−∞,0]为减函数，∵f(x)是偶函数，∴f(x)在[0,+∞)为增函数，∴f(x)+f(−x)x <0等价于2f (x )x <0，即xf(x)<0，∵f(2)=0，∴f(−2)=0，由xf(x)<0，得{x >0f (x )<0或{x <0f (x )>0， 即0<x <2或x <−2．故选B ．12.答案：C解析：【分析】本题考查函数的单调性和运用，注意二次函数的对称轴和区间的关系，考查分类讨论思想和运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．【解答】解：函数f(x)={−x 2+ax,x ⩽13ax −7,x >1, 存在x 1,x 2∈R 且x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，当a 2<1，即a <2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x 1,x 2∈(−∞,1]且x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，当a 2≥1，即a ≥2时，若存在x 1,x 2∈R 且x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则−1+a >3a −7，解得a <3，∴2≤a <3，综上所述：实数a 的取值范围是(−∞,3)．故选：C ．13.答案：3解析：【分析】本题考查偶函数的定义：对任意的x 都有f(−x)=−f(x)，是基础题．将x ≤0的解析式中的x 用−1代替，求出f(−1)；利用偶函数的定义得到f(−1)与f(1)的关系，求出f(1)．【解答】解：∵f(x)是定义在R 上的偶函数，且x ≤0时，f(x)=2x 2−x ，∴f(1)=f(−1)=2×(−1)2−(−1)=3．故答案为3．14.答案：2解析：【分析】本题考查了函数的零点与方程根的关系及函数零点存在性定理，掌握这些知识点是解题的关键.此题难度不大，属于基础题．【解答】解：令f(x)=0，即， 则(13)x =|log 3x |， 令y =(13)x 与y =|log 3x |，在坐标系中作出的图象，如图所示：由图象可得：y =(13)x 与有两个交点， 即方程有两个根，则函数的零点个数为2个．故答案为2． 15.答案：f(x)=x +1解析：【分析】本题考查函数解析式的求解，属于基础题．解题时设f (x )=ax +b ，根据题意得到方程组{a 2=1ab +b =2，解方程组，可以求出结果． 【解答】解：设f (x )=ax +b ，f(f (x ))=a (ax +b )+b =a 2x +ab +b =x +2，得到：{a 2=1ab +b =2，解得：{a =1b =1 则f(x)=x +1．故答案为f(x)=x +1．16.答案：5解析：【分析】本题考查分段函数，依题意，f (−2)=(−2)2−1=3，f(f(−2))=f (3)，代入解析式即可求得结果．【解答】解：因为f(x)={x +2,x >0x 2−1,x ≤0，所以f (−2)=(−2)2−1=3，f(f(−2))=f (3)=3+2=5， 故答案为5．17.答案：解：(1)∵集合A ={x|x ≤a +3}，∴a =−2时，集合A ={x|x ≤1}，又B ={x|x <−1或x >5}，∴C R B ={x|−1≤x ≤5}，∴A ∩C R B ={x|−1≤x ≤1}；(2)∵集合A ={x|x ≤a +3}，B ={x|x <−1或x >5}，且A ∩B =A ，∴A ⊆B ，∴a +3<−1，解得a <−4，即a 的取值范围是a <−4．解析：(1)求出a =−2时集合A 以及B 的补集，计算A ∩C R B ；(2)根据交集的定义得出A ⊆B ，利用子集的定义列出不等式求出a 的取值范围．本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了集合的概念与应用问题，是基础题目．18.答案：解：(1)原式=(641000)−13+2−3+2−3+0.5+34=52+18+18+12+34=4； (2)原式=log 22−12+2(lg5+lg2)+72=−12+2+72=5．解析：(1)进行分数指数幂的运算即可；(2)进行对数的运算即可．考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的运算性质．19.答案：解：(1)因为f(x)对称轴为x =0若0≤a <b ，则f(x)在[a,b]上单调递减，所以f(a)=2b ，f(b)=2a ，于是{2b =−12a 2+1322a =−12b 2+132， 解得[a,b]=[1,3]．(2)若a <b ≤0，则f(x)在[a,b]上单调递增，所以f(a)=2a ，f(b)=2b ，于是{2a =−12a 2+1322b =−12b 2+132，方程两根异号， 故不存在满足a <b ≤0的a ，b ．(3)若a <0<b ，则f(x)在[a,0]上单调递增，在[0,b]上单调递减，所以2b =132⇒b =134． 所以f(b)=−12⋅(134)2+132=1932>0， 又a <0，所以2a ≠1932，故f(x)在x =a 处取得最小值2a ，即2a =−12a 2+132，得a =−2−√17，所以[a,b]=[−2−√17,134]．综上所述，[a,b]=[1,3]或[−2−√17,134]．解析：求出二次函数的对称轴，通过对区间与对称轴x=0的位置关系分三类，求出二次函数f(x)的最值，列出方程组，求出a，b的值．解决二次函数在区间上的单调性、最值问题，应该先求出二次函数的对称轴，根据对称轴与区间的关系来解决．20.答案：解：(1)当1≤t≤15时，ℎ(t)=f(t)g(t)=(10+t)(30−t)=−t2+20t+300，当16≤t≤30时，ℎ(t)=f(t)g(t)=(40−t)(30−t)=t2−70t+1200，∴该种商品的日销售额ℎ(t)与时间t的函数关系为ℎ(t)={−t 2+20t+300,1≤t≤15t2−70t+1200,16≤t≤30(t∈N)；(2)当1≤t≤15时，ℎ(t)=−t2+20t+300=−(t−10)2+400，当t=10时，此时最大，最大值为400元，当16≤t≤30时，ℎ(t)=t2−70t+1200=(t−35)2+25，其对称轴为t=35，故函数ℎ(t)在[16,30]单调递减，故当t=16时，最大，最大值为386，综上所述，当t=10时，日销售额最大，最大值为400元．解析：(1)利用ℎ(t)=f(t)⋅g(t)，通过t的范围求出函数的解析式．(2)利用分段函数结合二次函数的性质求解函数的最值即可．本题考查分段函数的应用，实际问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：(1)由题意知f(2)=−53，f(x)=px2+2−3x，即f(2)=4p+2−6=−53，解得p=2则所求解析式为f(x)=2x2+2−3x．(2)由(1)可得f(x)=−23(x+1x)，则函数f(x)在区间(0,1)上是增函数，证明如下：设0<x1<x2<1，∴f(x1)−f(x2)=23[(x2+1x2)−(x1+1x1)]=23[(x2−x1)+(1x2−1x1)]=23[(x2−x1)+x1−x2x1x2=23(x2−x1)(1−1x1x2)=23(x2−x1)(x1x2−1x1x2)∵0<x1<x2<1，0<x1x2<1，1−x1x2>0，x1−x2<0,，∴f(x1)−f(x2)<0，即∴f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在区间(0,1)上是增函数．解析：本题考查了有关函数的性质综合题，用待定系数法求解析式，用定义法证明函数的奇偶性和单调性，必须遵循证明的步骤，考查了分析问题和解决问题能力．(1)把x =2代入函数的解析式，列出关于p 的方程，求解即可;(2)先把解析式化简后判断出单调性，再利用定义法证明：在区间上取值−作差−变形−判断符号−下结论，因解析式由分式，故变形时必须用通分．22.答案：解：(1)∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=12(|x −1|+|x −2|−3)．∴当x <0时，−x >0，f(−x)=12(|−x −1|+|−x −2|−3)=−f(x)，∴f(x)=−12(|x +1|+|x +2|−3)， ∴f(x)=12(|x −1|+|x −2|−3)={ x +3,x <−21,−2≤x ≤−1−x,−1<x <1−1,1≤x ≤2x −3,x >2； (2)画出f(x)的图象如下：(3)∵a >0，∴函数y =f(x +a)的图象是函数y =f(x)的图象向左平移a 个单位得到的，又对任意的x ∈R ，恒有f(x)≤f(x +a)，∴只需f(x +a)的图象恒在f(x)的图象上方或部分重合，所以只需函数y =f(x +a)的图象与x 轴最右边的交点P(−a +3,0)在函数y =f(x)的图象与x 轴最左边的交点(−3,0)的左侧或与点(−3,0)重合，∴−a +3≤−3，∴a ≥6．解析：(1)利用函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f(x)=12(|x −1|+|x −2|−3)，可求得当x <0时f(x)=−12(|x +1|+|x +2|−3)，从而可得f(x)的解析式；(2)由f(x)=12(|x −1|+|x −2|−3)={ x +3,x <−21,−2≤x ≤−1−x,−1<x <1−1,1≤x ≤2x −3,x >2即可画出f(x)的图象； (3)依题意，可得f(x +a)的图象恒在f(x)的图象上方或部分重合，所以只需函数y =f(x +a)的图象与x 轴最右边的交点P(−a +3,0)在函数y =f(x)的图象与x 轴最左边的交点(−3,0)的左侧或与点(−3,0)重合即可求得正实数a 的取值范围．本题考查抽象函数及其应用，考查利用函数的奇偶性确定函数解析式及作图能力，对于(3)分析出y =f(x +a)与x 轴最右边的交点在y =f(x)与x 轴最左边交点的左边或重合是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．。