高三数学一轮定积分与微积分基本定理课时检测理(含解析)北师大版
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3.4 定积分与微积分基本定理
一、选择题 1．与定积分∫3π
1－cos x d x 相等的是( )．
A.2∫3π
0sin x
2
d x
B.2∫3π
0⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
sin x 2
d x
C.⎪
⎪⎪⎪⎪⎪2∫3π
0sin x
2d x
D ．以上结论都不对
解析 ∵1－cos x ＝2sin 2
x
2，∴∫3π
1－cos x d x ＝
∫3π
2|sin x
2|d x ＝2∫3π
0|sin x
2
|d x .
答案 B
2. 已知f (x )为偶函数，且⎠⎛0
6f(x)d x ＝8，则⎠
⎛6－6f(x)d x ＝( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16
解析 ⎠
⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎛0
6f(x)d x ＝2×8＝16.
答案 D
3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2
，则此物体达到最高时的高度为( )． A.160
3 m B.80
3 m C.40
3
m D.
203
m 解析 v ＝40－10t 2
＝0，t ＝2，⎠⎛0
2(40－10t 2
)d t ＝
⎪⎪⎪⎝
⎛⎭⎪⎫40t －103t 320
＝40×2－103×8＝1603(m)． 答案 A
4．一物体以v ＝9.8t ＋6.5(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个4 s 内经过的路
程是( )
A ．260 m
B ．258 m
C ． 259 m
D ．261.2 m
解析 ⎠⎛4
8
(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2
＋6.5t)⎪⎪ 8
4
＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝
313.6＋52－78.4－26＝261.2. 答案 D
5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为
( )．
A.103 B ．4 C.163
D ．6
解析 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为⎠
⎛0
4(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x | 40＝163. 答案 C
6．已知a ＝∑i ＝1
n 1n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫i n 2，n ∈N *，b ＝⎠⎛0
1x 2
d x ，则a ，b 的大小关系是( )．
A ．a >b
B ．a ＝b
C ．a D ．不确定 答案 A 7．下列积分中 ①⎠⎛1e 1 x d x ；②⎠ ⎛2－2x d x ；③⎠⎛ 2 4－x 2 π d x ； ④∫ π 20cos 2x 2 cos x －sin x d x ，积分值等于1的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析 ① ⎪ ⎪⎪ ⎠⎛1 e 1 x d x ＝ln x e 1＝1， ② ⎪ ⎪⎪⎠⎛2 －2x d x ＝12x 22 －2＝0， ③⎠⎛ 2 4－x 2 πd x ＝1π(14 π22 )＝1， ④∫ π 20 cos 2x 2 cos x －sin x d x ＝12∫π 2 0(cos x ＋sin x )d x ＝12(sin x －cos)|π 20＝1. 答案 C 二、填空题 8．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为______． 解析 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，W ＝∫0.06 0100x d x ＝0.18(J )． 答案 0.18 J 9．曲线y ＝1 x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________． 答案 3 2 －ln 2 10．若⎠⎛0 k (2x －3x 2 )d x ＝0，则k 等于_________． 解析 ⎠⎛0 k (2x －3x 2)d x ＝⎠⎛0 k 2x d x －⎠ ⎛0 k 3x 2d x ＝x 2 ⎪⎪⎪⎪k 0－x 3k ＝k 2－k 3 ＝0， ∴k＝0或k ＝1. 答案 0或1 11． ⎠⎛1 2|3－2x |d x ＝________. 解析 ∵|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3，x ≤3 2 ，2x －3，x ＞3 2 ， ∴⎠ ⎛1 2|3－2x |d x ＝∫321(3－2x )d x ＋⎠⎛23 2(2x －3)d x ＝ | 3x －x 2 321＋(x 2 －3x )|232＝12 . 答案 1 2 12．抛物线y ＝－x 2 ＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________． 解析 如图所示，因为y ′＝－2x ＋4，y ′|x ＝1＝2，y ′|x ＝3＝－2，两切线方程为y ＝2(x －1)和y ＝－2(x －3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －1， y ＝－2x －3 得x ＝2. 所以S ＝⎠⎛12[2(x －1)－(－x 2 ＋4x －3)]d x ＋⎠⎛2 3[－2(x －3)－(－x 2 ＋4x －3)]d x ＝⎠⎛12(x 2－2x ＋1)d x ＋⎠⎛2 3(x 2 －6x ＋9)d x ＝ ⎪ ⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋x 21＋ ⎪ ⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x 32＝23.