第一章集合与函数概念(复习课件)

∴ f ( x )在[ −3, 3]上是减函数. ∴ f ( x )max = f ( −3) = − f (3) = 3 f (1) = 6 f ( x )min = f (3) = − f (3) = −6.
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练习
5.若函数f ( x ) = − 求区间[a,b]. 1 2 13 x + 在区间[a , b]上的最小值为2a , 最大值为2b, 2 2
解 : (1)若0 ≤ a < b 则f ( x )在[a , b]上单调递减 ⇒ f (a ) = 2b, f (b ) = 2a 1 2 13 − 2 a + 2 = 2b ⇒ a = 1, b = 3 ⇒ [a , b] = [1, 3] ⇒ − 1 b 2 + 13 = 2a 2 2 (2)若a < 0 < b 则f ( x )在[a , 0]上单调递增,在[0,b]是单调递减 [0,b]是 13 39 ⇒ f max = f (0) ⇒ b = 而f ( b ) = > 0, f ( x )min = 2a < 0 4 32 13 1 2 13 ⇒ [a , b] = [−2 − 17 , ] ∴ f ( x )min = f (a ) = − a + = 2a ⇒ a = −2 − 17 4 2 2 (3)若a < b ≤ 0 则f ( x )在[a , b]上单调递增 ⇒ f (a ) = 2a , f (b ) = 2b 1 2 13 1 13 − a + = 2a Q 方 程 x 2 + 2 x − = 0的两根异号 2 2 2 2 ⇒ − 1 b 2 + 13 = 2b ∴ 满足a < b ≤ 0的区间不存在. 13 2 2 综上, 所求区间为[1, 3]或[ −2 − 17 , ]. 2011年11月11日星期五 2011年11月11日星期五 4 2011年11月11日星期五 2011年11月11日星期五
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学习目标 1. 进一步理解函数的概念及其性质 进一步理解函数的概念及其性质 函数的概念及其 2. 熟练掌握函数的表示方法及单调性、奇偶性的判断 熟练掌握函数的表示方法 单调性、奇偶性的判断 函数的表示方法及 的判断.
:(1)不 0,在 解:(1)不是函数.因为集合A中的元素0,在集合B中没有元素与之对应. ( 2)是函数.满足函数的概念. 例2 函数f(x)=-x 2 + 6 x + 9在区间[a , b](a < b < 3)有最大值9, 最小值 − 7, 求 a , b的值. b的 解:对称轴x=3 ∴ 函数f ( x )在[a , b]上是增函数 − a 2 + 6a + 9 = − 7 2 ∴ − b + 6b + 9 = 9 a < b
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知识结构
1. 如何判断两个变量之间是否具有函数关系 如何判断两个变量之间是否具有函数关系? 2. 通过实例说明 什么叫映射 通过实例说明,什么叫映射 什么叫映射? 3. 函数有几种表示方法 图象表示法的优点是什么 函数有几种表示方法?图象表示法的优点是什么 图象表示法的优点是什么? 4. 如何判断一个函数的单调性 如何判断一个函数的单调性? 5. 如何判断一个函数的奇偶性 如何判断一个函数的奇偶性? 6. 如何求函数的最值 主要的方法是什么 如何求函数的最值?主要的方法是什么 主要的方法是什么?
C . f ( x ) = x , g(ห้องสมุดไป่ตู้x ) =
3
x3
D. f ( x ) =| x 2 − 1 |, g ( x ) =| x − 1 |
2.求函数y = ax + 1在[0,2]上的最值. [0,2]上
当a > 0时, y的最大值为2a + 1, 最小值为1;当a < 0时, y的最大值为1, 最小值为2a + 1 : 当a = 0时, y = 1
1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示(1课时 集合的含义与表示 课时) 课时 1.1.2 集合间的基本关系 课时 集合间的基本关系(1课时 课时) 课时) 1.1.3 集合的基本运算 课时 集合的基本运算(1课时 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 课时 函数的概念(1课时 课时) 1.2.2 函数的表示方法 课时 函数的表示方法(2课时 课时) 1.3 函数的基本性质 1.3.1 函数的单调性与最大 小)值(2课时 函数的单调性与最大(小 值 课时 课时) 1.3.2 奇偶性 课时 奇偶性(1课时 课时) 第一章复习与测试
⇒ f ( − x ) = − f ( x ) ⇒ f ( x )是奇函数.
设 − 3 ≤ x1 < x2 ≤ 3 则x2 − x1 > 0 ⇒ f ( x2 − x1 ) < 0 Q f ( x2 − x1 ) = f ( x2 ) + f ( − x1 )
= f ( x2 ) − f ( x1 ) < 0 ⇒ f ( x2 ) < f ( x1 )
例题讲解
例4 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,并且
f (2a 2 + a + 1) < f (3a 2 − 2a + 1), 求实数a的取值范围.
f(x)在 解 : 由条件知f(x)在(0,+∞ )上是减函数
1 8 1 1 而2a 2 + a + 1 = 2(a + )2 + > 0, 3a 2 − 2a + 1 = 3(a − )2 + > 0 4 7 3 3 ∴由f (2a 2 + a + 1) < f (3a 2 − 2a + 1) ⇒ 2a 2 + a + 1 > 3a 2 − 2a + 1
3.求函数y = 3 | x − 1 | 的单调增区间.
[1, +∞ )
4.若奇函数f ( x )是定义在[−1,1]上的减函数, 且f (1 − a ) + f (1 − a 2 ) < 0, 求a的取值范围.
1< a ≤ 2
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练习
7.(1)设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},B={2,3,4}, U={0,1,2,3,4},集 A={0,1,2,3},B={2,3,4}, 则(C U A) ∪ (C U B ) = ____ {0,1, 4}
(2)设集合M = { x | 0 ≤ x < 2}, E = { x | x 2 − 2 x − 3 < 0}, 则M ∩ E = [0, 2) ___ . 8.已知f ( x + 1)是偶函数, 且x ≤ 1时, f ( x ) = x 2 + x , 求x > 1时, f ( x )的解析式. f ( x) = x2 − 5 x + 6 x 9.已知f ( x )是定义在(0, +∞ )上的增函数, 且f ( ) = f ( x ) − f ( y ), f (2) = 1 y 1 ) ≤ 2. (3, 4] 解 不等式f ( x ) − f ( x−3 7 x2 + 2x + a 1 10.已知函数f ( x ) = , x ∈ [1, +∞ ), 求a = 时, 函数f ( x )的最小值. 2 x 2 11.已知集合A = { x | x 2 − 3 x − 10 ≤ 0}, B = { x | m + 1 ≤ x ≤ 2m − 1}, 若A ∪ B = A,
⇒ a = −2, b = 0
注 意 : 开口方 向,对称轴 的位置
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例题讲解
px 2 + 2 5 例3 已 知 函 数 f ( x ) = 是奇函数, 且f (2) = 3x + q 3 (1)求实数p, q的值. ( 2)判断函数f ( x )在( − ∞ , −1)上的单调性, 并加以证明.
⇒ a 2 − 3a < 0 ⇒ 0 < a < 3
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练习
1.下面四组中的函数f ( x )与g ( x ), 表示同一个函数的是(C ) B . f ( x ) = x , g( x ) = x 2 A. f ( x ) = x , g ( x ) = ( x )2
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本章内容简介
(1)课本从大家熟悉的集合出发， 课本从大家熟悉的集合出发， 课本从大家熟悉的集合出发 给出元素 集合的含义及表示方法； 元素、 给出 元素 、 集合的含义及表示方法 ； 通过类比实数间的大小关系、 通过类比实数间的大小关系 、 运算 集合间的关系、 引入集合间的关系 运算， 引入 集合间的关系 、 运算 ， 同时介 子集和全集等概念 等概念. 绍子集和全集等概念 (2)函数是中学数学最重要的基 函数是中学数学最重要的基 本概念之一.函数分上阶段学习 本概念之一 函数分上阶段学习 ： (初中 函数概念、正(反)比例函数、 初中)函数概念 比例函数、 初中 函数概念、 反 比例函数 一次函数、 一次函数 、 二次函数及其图像和性 高一必修)函数概念 质 .(高一必修 函数概念 、 基本性质 、 高一必修 函数概念、基本性质、 高二选修)导数 基本初等函数(I、 高二选修 基本初等函数 、II).(高二选修 导数 及其应用. 及其应用 (3) 实习作业 ： 收集 世纪前 收集17世纪前 后对数学发展起重大作用的历史事 件和人物(开普勒 伽利略、笛卡尔、 开普勒、 件和人物 开普勒、伽利略、笛卡尔、 牛顿、莱布尼兹、欧拉等)的有关资 牛顿、莱布尼兹、欧拉等 的有关资 料.
f(x)为 解:(1)Q函数f(x)为奇函数 ∴ f ( − x ) = f ( x ) px 2 + 2 px 2 + 2 4p+ 2 5 ∴ = ⇒q=0 Q f (2) = = ⇒ p=2 −3 x + q − 3 x − q 6 3 2 2x + 2 (2) f ( x ) = 3x 设x1 < x2 ≤ −1 则x1 − x2 < 0, x1 x2 > 1
练习
6.已知f ( x )的定义域为R, 对任意x . y ∈ R, 都有f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), 且x > 0时, f ( x ) < 0, f (1) = −2, 求f ( x )在[−3, 3]上的最值.
解 : 设x = y = 0, 则f(0)=0
再设y = − x得f (0) = f ( x ) + f ( − x )
x1 x2 − 1 2 2 x 1 2 + 1 x2 2 + 1 <0 ) = ( x1 − x2 ) ⋅ ∴ f ( x1 ) − f ( x2 ) = ( − 3 x1 x2 3 x1 x2
∴ f ( x1 ) < f ( x2 )
即函数f ( x )在( − ∞ , −1)上是增函数.
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例题讲解
例1 判断 下列对应 是否为从 集合A到集合 B的函数 A,对 (1) A=R,B=(0,+∞),x ∈ A,对应法则f:x → |x| (2) A = R, B = { y | y ∈ R且y ≥ 1}, x ∈ A, 对应法则f:x → y=x 2 − 2 x + 2