同济大学微积分第三版83全微分

在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x x, y y) f ( x, y y)
f f
x x
( (
x 1x,
x, y)x
y1x1y（x)依x偏2导fyx数((x0的, y连1) 续1性1,2l）im1 0 )1 00
0,
同理 f ( x, y y) f ( x, y) f y ( x, y)y 2y,
z f x ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处可微.
习惯上，记全微分为 dz z dx z dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
z 必存在，且函数 z f ( x, y)在点( x, y) 的全微分 y
为
dz
z x
x
z y
y ．
dz
AVx
BVy
即若 z=f(x,y) 在点(x,y)可微，必有
A z , B z
x
y
若 z=f(x,y) 在点(x,y)可微，必有
A z , B z
x
y
证 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)可微分,
例 3 计算函数u x sin y e yz 的全微分. 2
解 u 1, x
u 1 cos y ze yz , y 2 2
u ye yz , z
所求全微分
du dx (1 cosΒιβλιοθήκη Baiduy ze yz )dy ye yzdz. 22
多元函数连续、可导、可微的关系
lim f ( x x, y y) lim[ f ( x, y) z]
x0
0
y0
f (x, y)
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处连续.
二、可微的条件
定理 1（必要条件） 如果函数 z f ( x, y)在点
( x, y)可微分，则该函数在点( x, y) 的偏导数z 、 x
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，
则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分, 则
函数在该点连续.
Vz f (x Vx, y Vy) f (x, y)
可微 连续
f (x Vx, y Vy) f (x, y)Vz
事实上 z Ax By o( ), lim z 0, 0
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
比
lim
x0
f (x x, y) x
f (x,
y)
f x ( x,
y)
x
高 阶
f ( x x, y) x
f (x, y)
fx(x, y)
的 无 穷
f ( x x, y) f ( x, y) fx ( x, y)x x 小
f ( x x, y) f ( x, y) f x ( x, y)x f ( x, y y) f ( x, y) f y ( x, y)y
一元函数在某点的导数存在
问：多元函数的各偏导数存在 在．
微分存在． 全微分存
答：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在
••
例如，
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点(0,0)处有 f x (0,0) f y (0,0) 0（偏导存在）
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
则称函数 z f ( x, y)在点( x, y)可微分，
Ax By 称为函数 z f ( x, y)在点( x, y)的
全微分，记为dz，即 dz= Ax By .
Vz写成 dz
全微分
若Vz AVx BVy ()
gM
z
则称z=f(x,y)在点(x,y)可
微
g
(x, y)
P( x x, y y)
x y , (x)2 (y)2
如果考虑点P(x, y)沿着直线y x 趋近于(0,0) ，
x y
则
(x)2 (y)2
x x (x)2 (x)2
1, 2
说明它不能随着 0而趋于 0（, 全微分不存在）
当 0 时，z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
二元函数
对x 和对y 的偏增量
二元函数
对x 和对y 的偏微分
全增量的概念
如果函数z f ( x, y)在点 P( x, y)的某邻域 D 内有定义，并设 P( x x, y y)为这邻域
内的任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y的全增 量，记为z， 即 z= f ( x x, y y) f ( x, y)
函数在点(0,0) 处不可微.
定理（充分条件）如果函数z f ( x, y)的偏导数 z 、z x y
在点( x, y)连续，则该函数在点( x, y)可微分．
证z f ( x x, y y) f ( x, y)
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)] [ f ( x, y y) f ( x, y)],
P( x x, y y) P 的某个邻域
z Ax By o( ) 总成立,
当y 0时，上式仍成立，此时 | x |,
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
lim f ( x x, y) f ( x, y) A z ,
x0
x
x
同理可得 B z . y
gM
z
g
(x, y)
P( x x, y y)
全微分的定
义 如果函数 z f ( x, y)在点( x, y)的全增量
z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中 A, B不依赖于
x, y而仅与 x, y有关， (x)2 (y)2 ，
du u dx u dy u dz. x y z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例 2 计算函数z e xy在点(2,1)处的全微分.
解 z ye xy , z xe xy ,
x
y
z e2 , z 2e2 ,
x (2,1)
y (2,1)
所求全微分 dz e2dx 2e2dy.