初中将军饮马问题题型总结(全)

将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题是一个经典的逻辑问题，涉及到将军如何用有限数量的马和酒到达目的地。

本文将介绍将军饮马问题的11个模型及相应的例题。

1. 直线模型将军与目的地之间没有障碍物，可以直线前进。

此时，将军只需将马拉到目的地即可。

例题1：将军与目的地之间距离为10公里，马的速度为每小时5公里，将军能否在2小时内到达目的地？2. 单个障碍物模型在将军与目的地之间存在一个障碍物，将军可以绕过该障碍物。

例题2：将军与目的地之间距离为15公里，马的速度为每小时4公里，障碍物位于距离将军起点5公里处，将军能否在3小时内到达目的地？3. 多个障碍物模型在将军与目的地之间存在多个障碍物，将军需要逐一绕过这些障碍物。

例题3：将军与目的地之间距离为20公里，马的速度为每小时6公里，障碍物位于距离将军起点分别为5公里、10公里和15公里的位置，将军能否在4小时内到达目的地？4. 跳跃模型将军可以让马跳过障碍物，从而直接到达目的地。

例题4：将军与目的地之间距离为12公里，马的速度为每小时8公里，将军在距离起点6公里处设置一个障碍物，将军能否在2小时内到达目的地？5. 限时模型将军需要在规定的时间内到达目的地。

例题5：将军与目的地之间距离为30公里，马的速度为每小时10公里，将军需要在3小时内到达目的地，是否可能？6. 守备模型目标地点有守备军，将军需要巧妙规避守备军。

例题6：将军与目的地之间距离为25公里，马的速度为每小时7公里，目的地有一支守备军位于距离目标地点10公里处，将军能否在4小时内到达目的地？7. 短平快模型将军不借助马匹，直接徒步走到目的地。

例题7：将军与目的地之间距离为8公里，将军的步行速度为每小时2公里，将军能否在4小时内到达目的地？8. 时间窗模型将军只能在规定时间范围内到达目的地。

例题8：将军与目的地之间距离为18公里，马的速度为每小时6公里，将军需要在3小时到4小时之间到达目的地，是否可能？9. 兵变模型将军需要利用敌军马匹达到目的地。

初中数学将军饮马问题的六种常见题型汇总

初中数学将军饮马问题的六种常见模型将军饮马问题——线段和最短一．六大模型1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。

2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。

3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△P AB的周长最小4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形P AQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小第 1 页共10 页第 2 页共 10 页 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小二、常见题目【1】、三角形1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ，∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH =22BC CH -=2263-=33在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=272．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是____．解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 43．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N = MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。

(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题

理由：AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，
AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当
AQ⊥ON时，AQ最小.
2. 已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；
要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使
AP+PQ的值最小.
解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON
于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：作点B关于直Байду номын сангаасl的对称点B´，连接B´A并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂
线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需
︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.
典型例题1-1
∴PM=OE= ，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，
(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）
要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小
分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，
使P、Q“接头”，转化为基本模型
解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使
AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取
PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时
AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a
理由：易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´，
当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB
最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.

【中考数学】最全“将军饮马”类问题（类型大全+分类汇编）总复习

最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)1.1.如图，直线如图，直线如图，直线 l l 和 l 的异侧两点的异侧两点的异侧两点 A A 、B ，在直线，在直线 l l 上求作一点上求作一点上求作一点 P P ，使，使，使 PA+PB PA+PB 最小。

最小。

2.2.如图，直线如图，直线如图，直线 l l 和 l 的同侧两点的同侧两点的同侧两点 A A 、B ，在直线，在直线 l l 上求作一点上求作一点上求作一点 P P ，使，使，使 PA+PB PA+PB 最小。

最小。

3.3.如图，点如图，点如图，点 P P 是∠是∠是∠MON MON 内的一点，分别在内的一点，分别在 OM OM ，ON 上作点上作点 A A ，B 。

使△。

使△PAB PAB 的周长最小的周长最小4.4.如图，点如图，点如图，点 P P ，Q 为∠为∠MON MON 内的两点，分别在内的两点，分别在 OM OM ，ON 上作点上作点 A A ，B 。

使四边形 PAQB 的周长最小。

周长最小。

5.5.如图，点如图，点如图，点 A A 是∠是∠是∠MON MON 外的一点，在射线外的一点，在射线 OM OM 上作点上作点上作点 P P ，使，使，使 PA PA 与点与点与点 P P 到射线到射线到射线 ON ON 的距离的距离之和最小之和最小6. .如图，点如图，点如图，点 A A 是∠是∠是∠MON MON 内的一点，在射线内的一点，在射线 OM OM 上作点上作点上作点 P P ，使，使，使 PA PA 与点与点与点 P P 到射线到射线到射线 ON ON 的距的距离之和最小离之和最小EMME HM30°二、常见题型三角形问题1．如图，在等边△如图，在等边△ABC ABC ABC 中，中，中，AB = 6AB = 6AB = 6，，AD AD⊥⊥BC BC，，E E 是是 AC AC 上的一点，上的一点，上的一点，M M M 是是 AD AD 上的一点，若上的一点，若上的一点，若 AE = 2 AE = 2 AE = 2，求，求，求 EM+EC EM+EC EM+EC 的最小值的最小值 A解：∵点解：∵点 C C C 关于直线关于直线关于直线 AD AD AD 的对称点是点的对称点是点的对称点是点 B B B，，A∴连接∴连接 BE BE BE，交，交，交 AD AD AD 于点于点于点 M M M，则，则，则 ME+MD ME+MD 最小，过点过点 B B B 作作 BH BH⊥⊥AC AC 于点于点于点 H H H，，则 EH = AH EH = AH –– AE = 3 AE = 3 –– 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3在直角△在直角△BHE BHE BHE 中，中，中，BE = BE = BH2 + HE2B=(3 3)2 + 12 = 2 7DCBDC2．如图，在锐角△如图，在锐角△ABC ABC ABC 中，中，中，AB = 4 2AB = 4 2AB = 4 2，∠，∠，∠BAC BAC BAC＝45°，∠＝45°，∠＝45°，∠BAC BAC BAC 的平分线交的平分线交的平分线交 BC BC BC 于点于点于点 D D D，，M 、N N 分别是分别是分别是 AD AD AD 和和 AB AB 上的动点，上的动点，则 BM+MN BM+MN 的最小值是的最小值是．解：作点解：作点 B B B 关于关于关于 AD AD AD 的对称点的对称点 B'B'，，过点过点 B' B' B'作作 B'E B'E⊥⊥AB AB 于点于点 E ，交，交 AD AD AD 于点于点于点 F F F，，则线段则线段 B'E B'E B'E 的长就是的长就是的长就是 BM BM BM＋ＭＮ的最小值＋ＭＮ的最小值在等腰等腰 Rt Rt Rt△△AEB'AEB'中，中，根据勾股定理得到，根据勾股定理得到，B'E B'E = 4CB'M FDAN EB3．如图，△如图，△ABC ABC ABC 中，中，中，AB=2AB=2AB=2，∠BAC=30°，若在，∠BAC=30°，若在，∠BAC=30°，若在 AC AC AC、、AB AB 上各取一点上各取一点上各取一点 M M M、、N ，使，使 BM+MN BM+MN BM+MN 的值最小，则这个最小值的值最小，则这个最小值C解：作解：作 AB AB AB 关于关于关于 AC AC AC 的对称线段的对称线段 AB'AB'，，过点过点 B' B' B'作作 B'N B'N⊥⊥AB AB，垂足为，垂足为，垂足为 N N N，交，交，交 AC AC AC 于点于点 M ，则 B'N = MB'+MN = MB+MN B'N B'N 的长就是的长就是的长就是 MB+MN MB+MN MB+MN 的最小值的最小值则∠则∠B'AN = 2B'AN = 2B'AN = 2∠∠BAC= 60BAC= 60°，°，°，AB' = AB = 2AB' = AB = 2AB' = AB = 2，， ∠ANB'= 90ANB'= 90°，∠°，∠°，∠B' = 30B' = 30B' = 30°。

初中数学将军饮马问题总结

|PA-AB|=0
与 L 的交点为点 P垂直平分上的点与线段两端点等距离
作点 P 关于直线 OB 对称
PD+CD 最小值
为 PC 长度
P 到 OA 距离，垂线段
最短
点�
''
过点�'向 OA 作垂线
与 OB 交点为 D
垂足为点 C
与两直线交于 M,N
分别作点 P，Q 关于�1 ,�2
对称点�'�'
连接�'�'
与直线交点为 M,N
将 A 向右平移 a 单位长度
到�' ，
使�' 关于 L 对称点�''
连接�'' B 与 L 交点为 M,N
PQ+PM+PN=�''�'
=PQ+�' �'
两点之间，线段最短
AM+MN+NB=a+�''B
两点之间，线段最短
向左平移 a 单位到 M
直线上求一点 P,使得
|AP-BP|最大
连接 BA,并延长与 L 的
交点 P
|AP-BP|=AB
做 B 关于 L 对称点�'
作直线 A�' 与直线 L 交
点为 P
|AP-BP|=A�'
△三角形任意两边之
差小于第三边
△三角形任意两边之
差小于第三边
连 AB,作 AB 中垂线
初中数学“将军饮马模型”汇总
问题
作法
连接 AB
图形
原理
PA+PB 最小值为 AB

轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳(五大类型)(原卷版)—2024-2025学年八年级数学上册人教版

轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳（五大类型）【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】【题型02 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】【题型03 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】【题型04 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】【典例1】如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（）A．B．C．D．【变式1-1】如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（）A．B．C．D．【变式1-2】已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB 的值最小．【题型02：“2定点1动点”求周长最小值问题】【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是30，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．13B．12C．10D．61【变式2-1】如图所示，在边长4为的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是（）A．4B．5C．6D．7【变式2-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．10B．9C．8D．6【变式2-3】如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（）A．13B．14C．15D．13.5【变式2-4】如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD 的周长的最小值是（）A．6B．7C．10D．12【题型03 “2定点1动点”求线段最小值问题】【典例3】（2022春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F 是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（）A．5B．3C．D．【变式3-1】（2023春•东港市期中）如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（）A．12B．9C．6D．3【变式3-2】（2022春•埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）A．4B．4.8C．5D．6【题型04：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】【典例4】（郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（）A．B．C．2D．1【变式4-1】（2023春•惠安县期末）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【变式4-2】（2022秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．100°【典例5】（2023春•和平区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F 分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（）A．105°B．115°C．120°D．130°【变式5-1】（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（）A．2B．4C．6D．8【变式5-2】（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4B．4.8C．4D．5【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】【典例6】（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN 的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°【变式6-1】（2022秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD ＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．60°B．90°C．100°D．120°【变式6-2】（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180°C．180°﹣a D．a﹣90°。

将军饮马问题总结

最短路径——“将军饮马”问题基本类型总结【问题1】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．连AB ，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为A B ＇．【问题3】作法图形原理在直线l 1、l 2上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．在直线1l 、2l 上分别求点N ，使四边形PQMN 的周长最小．【问题5】“造桥选址”图形直线m ∥n ，在m 、上分别求点M 、N ，使m ，且AM +MN +BN 的值最小．【问题6】图形在直线l 上求两点M 、在左），使a MN ，并使MN +NB 的值最小．【问题7】图形1上求点A ，在2l ，使PA +AB 值最小．m n BA【问题8】作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短．AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【问题9】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PB PA -＝0．【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇．PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P即为所求．两点之间线段最短．PA +PB +PC 最小值＝CD ．。

中学考试复习：“将军饮马”类题型大全

“将军饮马”类题型大全一．求线段和最值1（一）两定一动型例1：如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P是EF 上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m．分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．解答：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m．变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为_________．分析：考虑到BG为定值是1，则△BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度．解答：连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG周长最短为3.2（二）一定两动型例2：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E 为AC上任意一点，求PC＋PE的最小值．分析：这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△ABC 是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE时，用面积法即可．解答：作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，则AD·BC＝BE·AC，4×6＝BE·5，BE＝4.8变式：如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB＝8，△ABC的周长为20，求EF＋CF的最小值________．分析：这里的点C是定点，F，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点C的对称点C’必然在AB上，但由于BC长度未知，BC’长度也未知，则C’相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点．解答：如图，作点E关于BD的对称点E’，连接E’F，则EF＋CF＝E’F＋CF，当E’，F，C三点共线时，E’F＋CF＝E’C，此时较短．过点C作CE’’⊥AB于E’’，当点E’ 与点E’’重合时，E’’C最短，E’’C为AB边上的高，E’’C＝5.（三）两定两动型例3：如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值.分析：这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑．作点C关于OB的对称点，点D关于OA的对称点．解答：作点C关于OB的对称点C’，点D关于OA的对称点D’，连接C’D’． CF＋EF＋DE＝C’F＋ EF＋D’E，当C’，F， E，D’四点共线时，CF＋EF＋DE＝C’D’最短．易知∠D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF＋DE最小值为13．变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距CD 边1.4m，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m，若要使白球E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度．分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型．解答：作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，连接E’F’，交AD于点G，交CD于点H，则运动路线长为EG＋GH＋HF长度之和，即E’F’长，延长E’E交BC于N，交AD于M，易知E’M＝EM＝0.22m，E’N＝1.78＋0.22＝2m，NF’＝NC＋CF’＝1.4＋0.1＝1.5m，则Rt△E’NF’中，E’F’＝2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m．小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称．（二）求角度例1:P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN＝80°．（1）∠AOB＝_____°（2）求证：OP平分∠MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考∠AOB 的度数，显然作点P关于OA的对称点P’，关于OB的对称点P’’，连接P’P’’，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知∠DPC与∠AOB互补，则求出∠DPC的度数即可．解答：（1）法1：如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°．再分析：考虑到第二小问要证明OP平分∠MPN，我们就连接OP，则要证∠5＝∠6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP’，OP’’，则∠5＝∠7，∠6＝∠8，问题迎刃而解．解答：（1）法2：易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°（2）由OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP平分∠MPN．变式：如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A点关于BC、DE的对称点A′、A″，连接A′A″，与BC、DE的交点即为△AMN周长最小时M、N的位置．解答：如图，∵∠BAE＝136°，∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°由对称性知，∠MAA′＝∠MA′A，∠NAA″＝∠NA″A，∠AMN＋∠ANM＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88°思考题：1.（2017·安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______．2.（2017·安徽改编）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3．P为矩形ABCD内一点，若矩形ABCD面积为△PAB面积的4倍，则点P到A，B两点距离之和PA+PB 的最小值为________．。

中考复习：将军饮马类题型大全

“将军饮马”类题型大全一．求线段和最值1（一）两定一动型例1：如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m，P是EF上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m．分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．解答：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M ＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m．变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为_________．分析：考虑到BG为定值是1，则△BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度．解答：连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG ＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG周长最短为3.2（二）一定两动型例2：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E为AC上任意一点，求PC＋PE的最小值．分析：这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△ABC 是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短”只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE时，用面积法即可．解答：作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，则AD·BC＝BE·AC，4×6＝BE·5，BE＝4.8变式：如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB＝8，△ABC的周长为20，求EF＋CF的最小值________．分析：这里的点C是定点，F，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点C的对称点C’必然在AB上，但由于BC长度未知，BC’长度也未知，则C’相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点．解答：如图，作点E关于BD的对称点E’，连接E’F，则EF＋CF＝E’F＋CF，当E’，F，C三点共线时，E’F＋CF＝E’C，此时较短．过点C作CE’’⊥AB于E’’，当点E’与点E’’重合时，E’’C最短，E’’C为AB边上的高，E’’C＝5.（三）两定两动型例3：如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值.分析：这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑．作点C关于OB的对称点，点D关于OA 的对称点．解答：作点C关于OB的对称点C’，点D关于OA的对称点D’，连接C’D’．CF ＋EF＋DE＝C’F＋EF＋D’E，当C’，F，E，D’四点共线时，CF＋EF＋DE＝C’D’最短．易知∠D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF＋DE最小值为13．变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距CD边1.4m，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m，若要使白球E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度．分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型．解答：作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，连接E’F’，交AD于点G，交CD于点H，则运动路线长为EG＋GH＋HF长度之和，即E’F’长，延长E’E交BC于N，交AD于M，易知E’M＝EM＝0.22m，E’N＝1.78＋0.22＝2m，NF’＝NC＋CF’＝1.4＋0.1＝1.5m，则Rt△E’NF’中，E’F’＝2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m．小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称．（二）求角度例1:P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN＝80°．（1）∠AOB＝_____°（2）求证：OP平分∠MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考∠AOB的度数，显然作点P关于OA的对称点P’，关于OB的对称点P’’，连接P’P’’，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知∠DPC 与∠AOB互补，则求出∠DPC的度数即可．解答：（1）法1：如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°．再分析：考虑到第二小问要证明OP平分∠MPN，我们就连接OP，则要证∠5＝∠6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP’，OP’’，则∠5＝∠7，∠6＝∠8，问题迎刃而解．解答：（1）法2：易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°（2）由OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP平分∠MPN．变式：如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A点关于BC、DE的对称点A′、A″，连接A′A″，与BC、DE的交点即为△AMN周长最小时M、N的位置．解答：如图，∵∠BAE＝136°，∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°由对称性知，∠MAA′＝∠MA′A，∠NAA″＝∠NA″A，∠AMN＋∠ANM＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88°思考题：1.（2017·安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______．2.（2017·安徽改编）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3．P为矩形ABCD 内一点，若矩形ABCD面积为△PAB面积的4倍，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为________．。

初中数学将军饮马五大模型七类题型及答案

将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

【方法原理】1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【基本模型】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小(同侧转化为异侧)；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△P AB 的周长最小。

图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形P AQB的周长最小。

图4【模型五：一定两动(垂线段最短)型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A 与点P到射线OM的距离之和最小。

图5【模型六：一定两动，找(作)对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小。

图6【题型目录】【题型1】两定一动型.......................................................3;【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型...................................6;【题型3】一定两动(垂线段最短)型.........................................9；【题型4】两定两动型.......................................................12;【题型5】一定两动(等线段)转化型.........................................14;【题型6】直通中考.........................................................18;【题型7】拓展延伸.........................................................21;第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】两定一动型；1.(23-24八年级上·河北廊坊·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，AC=16，BC=20，将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合．(1)线段CD的长是；(2)若点E是射线BM上一动点，则△CDE周长的最小值是．2.(22-23八年级上·广西南宁·期末)如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB 的长为．3.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，在△ABC中，AB=AC．在AB、AC上分别截取AP、PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点AQ，使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于12R，作射线AR，交BC于点D．已知BC=5，AD=6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为．【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型；4.(23-24七年级下·陕西西安·期末)如图，在锐角△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，△ABC的面积为5，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+ PP3的最小值为．5.(23-24八年级上·北京海淀·期中)如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．6.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【题型3】一定两动型(垂线段最短)；7.(2024八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.2.4B.3C.4D.58.(23-24七年级下·广东深圳·期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点D为垂足，E、F分别是AD、AB上的动点．若AB=6，△ABC的面积为12，则BE+EF的最小值是()A.2B.4C.6D.89.(23-24八年级·江苏·假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【题型4】两定两动型；10.(22-23八年级上·湖北武汉·期末)如图，∠AOB=20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是()A.β-α=30°B.β+α=210°C.β-2α=30°D.β+α=200°【题型5】一定两动(等线段)转化型；11.(23-24九年级下·广西南宁·开学考试)如图，△ABC是等边三角形，AB=4．过点A作AD⊥BC于点D，点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边△CPQ，连接DQ，则DQ的最小值为．12.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，BC=10，D、E分别是AB、BC上的动点，且CE=BD，连接AE、CD，则AE+CD的最小值为．13.(2024·安徽合肥·二模)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，AB=8，O是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，OE的最小值为()A.42B.433 C.32D.2第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考14.(2023·辽宁锦州·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是．15.(2020·新疆·中考真题)如图，在△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．【题型7】拓展延伸16.(2024·辽宁葫芦岛·二模)在△ABC中，∠ABC=60°，BC=4，AC=5，点D，E在AB，AC边上，且AD=CE，则CD+BE的最小值是．17.(23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是．将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳(解析版)-初中数学

轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳目录解题知识必备压轴题型讲练类型一、“2定点1动点”作图问题类型二、“2定点1动点”求周长最小值问题类型三、“2定点1动点”求线段最小值问题类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题类型五、“1定点2动点”-角度问题压轴能力测评(11题)基本图模1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使P A+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,P A+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，P A+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得P A+PB值最小(或△ABP的周长最小)解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线性质得：P A=P A´，要使P A+PB最小，则需P A´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.类型一、“2定点1动点”作图问题1.如图，在平面直角坐标系中，点A4,4．，B2,-4(1)若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C，D，请分别描出点C，D并写出点C，D的坐标；(2)在y轴上求作一点P，使P A+PB最小．(不写作法，保留作图痕迹)【答案】(1)作图过程见解析，C4,-4，D-4,4(2)作图过程见解析．【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称点的性质及轴对称-最短路径问题，根据轴对称的性质得出对称点的坐标是解题的关键．(1)利用关于对称轴对称点坐标得出C、D两点坐标即可．(2)连接BD交y轴于点P，P点即为所求．【详解】(1)如图所示，C4,-4，，D-4,4(2)如图所示，连接BD交y轴于点P，P点即为所求．2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点(不写作法，但要保留作图痕迹)．【答案】见详解【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；求两点和距离最小一般采用作出一点的轴对称图形．然后连接对称点与另一点，与所在直线的交点即为所求的点；A，B的距离之和最小，那么应作出A关于河岸的对称点A ，连接A B交河岸与一点，这点就是所求的点．根据轴对称的性质即可作出图.【详解】解：根据题意作图如下：3.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A-5,1．，B-4,4，C-1,-1(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；(2)已知点D2,2，请在x轴上找到一点P且PB+PD的值最小(作图)．【答案】(1)A15,1，画图见解析(2)P0,0，画图见解析【分析】本题考查直角坐标系中的描点，轴对称作图，最短距离问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．(1)根据对称点连线被对称轴垂直平分画图，根据图形即可得到A1的坐标；(2)找到D点关于x轴的对称点D1，连接BD1交x轴于一点即为P点，根据图形求解即可得到答案．【详解】(1)解：根据对称点连线被对称轴垂直平分分别作A、B、C三点的对称点A1、B1、C1，连接A1、B1、C1，如图所示：由图形可得：A15,1；(2)作D点关于x轴的对称点D1，连接BD1交x轴于一点即为P点，如图所示：由图可得：P0,0．4.如图，阳光明媚的周六，小明在学校(A)练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里(B)．请画出小明行走的最短路径．【答案】见详解【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据两点之间线段最短，轴对称的性质即可得到答案．【详解】解；如图所示：作点A的对称点A ，作点B的对称点B ，连接A B ，交C街和D街于点E,F，则AE+EF+BF=A E+EF+B F≥A B ，当点A ,E,F,B 共线时，小明行走的路径最短，故小明行走的最短路径是AE-EF-FB，类型二、“2定点1动点”求周长最小值问题5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A.6B.8C.10D.16【答案】C【分析】本题考查的是轴对称--最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，CD=12BC=2，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，则MA=MC，∴MC+DM=MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM周长的最小值为CM+MD+CD=AD+CD=8+2=10．故选：C．6.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，则△ABP周长的最小值是()A.12B.6C.7D.8【答案】C【分析】本题主要考查了，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的值最小，即可得到△ABP周长最小．【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴点B，C关于EF对称．∴当点P和点D重合时，AP+BP的值最小．此时AP+BP=AC，∵AB=3,AC=4，∴△ABP周长的最小值是AP+BP+AB=AB+AC=3+4=7，故选：C．7.如图，等腰△ABC的底边BC=4cm，面积为8cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为多少？()A.4B.6C.8D.10【答案】B 【分析】连接AD ，AM ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点A 关于直线EF 的对称点为点B ，MA =MB ，推出MB +MD =MA +MD ≥AD ，故AD 的长为MB +MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，MA ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC ⋅AD =12×4×AD =8，解得AD =4cm ，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点A 关于直线EF 的对称点为点B ，MA =MB ，∴MB +DM =MA +DM ≥AD ，∴AD 的长为MB +MD 的最小值，∴△BDM 的周长最短=4+12BC =4+12×4=4+2=6cm ．故选：B ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．8.如图：等腰△ABC 的底边BC 长为8，面积是24，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为．【答案】10【分析】本题考查的是最短路线问题，连接AD ，AM ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故得AD 长为CM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，AM ，如下图：∵△ABC 是等腰三角形，点D 是边BC 的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×8×AD=24，解得AD=6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=CM+MD+CD=AD+12BC=6+12×8=10．故答案为：10．类型三、“2定点1动点”求线段最小值问题9.已知，等腰△ABC中，AB=AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC=5，BD=3，AD=4，那么线段BE+EF的最小值是()A.5B.3C.D.72【答案】C【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=3，∴点F′在AC上，∵BE+EF=BE+EF′，根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．在Rt△ACD中，AC=5，∵1 2•BC•AD=12•AC•BH，∴BH=245，∴BE+EF的最小值为245，故选：C10.如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为．【答案】6【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到AD =6，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于EF对称，再说明PB+PD的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC，AD⋅BC=15，∴12∴AD=6，∵EF垂直平分AB，∴点P到A，B两点的距离相等，即P A=PB，要求PB+PD最小，即求P A+PD最小，则A、P、D三点共线，∴AD的长度即PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值为6，故答案为：6．11.如图，△ABC的面积为14，AB=AC，BC=4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为．【答案】9【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．连接AD，由于ΔABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CP +PD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，∵ΔABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S ΔABC =12BC ·AD =12×4×AD =14，解得：AD =7，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CP +PD 的最小值，∴ΔCDP 的周长最短=(CP +PD )+CD =AD +12BC =7+12×4=7+2=9．故答案为：9．12.如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =4，△ABC 的面积是14，AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CM +DM 的最小值为()A.21B.7C.4D.2【答案】B【解答】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点．∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =14，解得AD =7，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，连接AM ，则CM +DM =AM +DM ≥AD ，∴当点M 在线段AD 上时，CM +DM 的值最小，∴AD 的长为CM +MD 的最小值．故选：B ．类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题13.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，AB =14，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB ，AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是．【答案】7【分析】作点P 关于直线AD 的对称点P ，连接PP 、QP ，根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得PQ =P Q ，则欲求PQ +BQ 的最小值即为P Q +BQ 的最小值，即BP 的最小值，则当BP ⊥AC 时，BP 即P Q +BQ 的值最小，最小值为BC 的长．【详解】解：如图，作点P 关于直线AD 的对称点P ，连接PP 、QP ，∵AD是P、P 的对称轴，即AD是线段PP 的垂直平分线，∴PQ=P Q，∴PQ+BQ的最小值即为P Q+BQ的最小值，即BP 的最小值，∴当BP ⊥AC时，BP 即P Q+BQ的值最小，此时Q与D重合，P 与C重合，最小值为BC的长，∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，∴BC=1AB=7，2∴PQ+BQ的最小值是7．故答案为：7．【点睛】本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含30°角的直角三角形的性质，解题关键是找出点P、Q的位置．14.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为．【答案】7【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线CD的对称点E ，过E 作E F⊥AB于F，交射线CD 于P，连接PE，此时EP+FP的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠E =90°-∠B =30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得BE =2BF=10，进而求得CE=3即可求解．【详解】解：作点E关于射线CD的对称点E ，过E 作E F⊥AB于F，交射线CD于P，连接PE，如图，则E P=EP，∴EP +FP =E P +FP =E F ，此时EP +FP 的值最小，则BF =5，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =60°，AB =BC ，在Rt △BFE 中，∠E =90°-∠B =30°，∴BE =2BF =10，∵BE =4，CE =CE ，∴2CE +4=10，∴CE =3，∴AB =BC =3+4=7，故答案为：7．15.如图，在等腰△ABC 中，在AB 、AC 上分别截取AP 、AQ ，使AP =AQ ．再分别以点P ，Q 为圆心，以大于PQ 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D ．已知AB =AC =10，AD =8，BC =12．若点M 、N 分别是线段AD 和线段AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为()A.10B.12.8C.12D.9.6【答案】D 【分析】过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M ，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC ，然后根据S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BH ，可得BH =485．作点H 关于AD 的对称点交AB 于点N ，连接M N ，可得M H =M N ，根据垂线段最短，当点M 、M 分别在M 、N 位置时，BM +MN 最小，进而可以解决问题．【详解】解：如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M '，由作图可知，AD 平分∠BAC ，∵AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴BD =CD =12BC =12×12=6，∵AD =8，AC =10，BC =12，S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BH ，∴BH =BC ⋅AD AC=485，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，作点H 关于AD 的对称点交AB 于点N ，连接M N ，∴M H =M N ，∴BH =BM +M H =BM +M N ，当点M 、M 分别在M 、N 位置时，BM +MN 最小，则BM +MN 的最小值为BH 的长485=9.6．故选：D ．【点睛】本题考查尺规作-作角平分线，利用轴对称求最短距离问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，AD ⊥BC 于点D ，AD =4，BD =3，点P 为AD 边上的动点，点E 为AB 边上的动点，则PE +PB 的最小值是．【答案】245【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，连接CP ，过点C 作CM ⊥AB ，可得PE +PB =PE +PC ，根据垂线段最短可知当E 、P 、C 三点共线且CE ⊥AB 时，PE +PB 的最小值为CM ，结合面积法求解即可．【详解】解：连接CP ，过点C 作CM ⊥AB ，∵AB =AC =5，AD ⊥BC ，AD =4，BD =3，∴BC =2BD =6，PB =PC ，∴PE +PB =PE +PC ，当E 、P 、C 三点共线且CE ⊥AB 时，PE +PB 的最小值为CM ，∵12BC ⋅AD =12AB ⋅CM ，∴CM =BC ⋅AD AB =6×45=245，即PE +PB 的最小值为245，故答案为：245．类型五、“1定点2动点”-角度问题17.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE =142°，∠B =∠E =90°，AB =BC ，AE =DE ．在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN +∠ANM 的度数为()A.76°B.84°C.96°D.109°【答案】A【分析】本题考查了最短路线问题．延长AB至A'，使A B=AB，延长AE至A″，使A″E=AE，则BC垂直平分AA ，DE垂直平分AA″，所以AM=A M，A″N=AN，△ABC的周长为AM+MN+AN，要使其周长最小，即使A M+MN+A″N最小，设∠MAA =x，则∠AMN=2x，设∠NAA″=y，则∠ANM=2y，在△AA A″中，利用三角形内角和定理，可以求出x+y=38°，进一步可以求出∠AMN+∠ANM的值．【详解】解：如图，延长AB至A ，使A B=AB，延长AE至A″，使A″E=AE，则BC垂直平分AA ，DE垂直平分AA″，∴AM=A M，AN=A″N，根据两点之间，线段最短，当A ，M，N，A″四点在一条直线时，A M+MN+NA″最小，则AM+MN+AN的值最小，即△AMN的周长最小，∵AM=A M，AN=A″N，∴可设∠MAA =∠MA A=x，∠NAA″=∠NA″A=y，在△AA A″中，x+y=180°-∠BAE=180°-142°=38°，∵∠AMN=∠MAA +∠MA A=2x，∠ANM=2y，∴∠AMN+∠ANM=2x+2y=76°，故选：A．18.如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=BC，AE=DE，∠BCD+∠CDE=230°，点P，Q分别在边BC，DE上，连接AP，AQ，PQ，当△APQ的周长最小时，∠P AQ的度数为()A.50°B.80°C.100°D.130°【答案】B【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长AB到点G使得BG=AB，延长AE到点F使得EF=AE，连接GF交BC、DE于点P1、Q1，则这时△APQ的周长最小，根据无变形的内角和求出∠BAE的度数，根据轴对称的性质得到∠P1AG=∠G，∠Q1AF=∠F，然后计算解题即可．【详解】解：延长AB到点G使得BG=AB，延长AE到点F使得EF=AE，∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴BC、DE垂直平分AG、AF，连接GF交BC、DE于点P1、Q1，则P1G=P1A，Q1F=Q1A，∴FG=P1G+P1Q1+Q1F=P1A+P1Q1+Q1A，这时△APQ的周长最小，∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠ABC=∠AED=90°，又∵∠BCD+∠CDE=230°，∴∠BAE=540°-∠ABC-∠AED-(∠BCD+∠CDE)=540°-90°-90°-230°=130°，∴∠G+∠F=180°-∠BAE=180°-130°=50°，又∵P1G=P1A，Q1F=Q1A，∴∠P1AG=∠G，∠Q1AF=∠F，∴∠P1AQ1=∠BAE-∠P1AG-∠Q1AF=∠BAE-∠G-∠F=130°-50°=80°，故选：B．19.如图，四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，M，N分别是AB，AD上的点，当△CMN的周长最小时，则∠MCN的度数为()A.40°B.80°C.90°D.100°【答案】D【分析】作点C关于AB的对称点E，关于AD的对称点F，则CM=EM，CN=FN，可得CM+MN+CN= EM+MN+FN，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长，根据四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°得∠BCD=140°，根据三角形内角和定理得∠E+∠F=40°，根据等边对等角得∠CMN=2∠E，∠CNM=2∠F，即可得∠CMN+∠CNM=80°，根据三角形内角和定理即可得．【详解】解：如图所示，作点C关于AB的对称点E，关于AD的对称点F，则CM=EM，CN=FN，∴CM+MN+CN=EM+MN+FN，∴当E、M、N、F在同一条直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长，∵四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，∴∠BCD=360°-∠A-∠B-∠D=360°-40°-90°-90°=140°，∴∠E+∠F=180°-∠BCD=180°-140°=40°，∵CM=EM，∴∠E=∠MCB，∴∠CMN=∠E+∠MCB=2∠E，∵CN=FN，∴∠F=∠NCD，∴∠CNM=∠F+∠NCD=2∠F，∴∠CMN+∠CNM=2(∠E+∠F)=2×40°=80°，∴∠MCN=180°-(∠CMN+∠CNM)=180°-80°=100°，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径．20.如图，四边形ABCD中，∠C=62°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为．【答案】56°【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A ，A″，即可得出∠AA E+∠A″=∠HAA =62°，进而得出∠AEF+∠AFE=2∠AA E+∠A″，即可得出答案．【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A ，A″，连接A A″，交BC于E，交CD于F，则A A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=62°，∴∠DAB=118°，∴∠HAA =62°，∴∠AA E+∠A″=∠HAA =62°，∵∠EA A=∠EAA ，∠FAD=∠A″，∴∠EAA +∠A″AF=62°，∴∠EAF=118°-62°=56°，故答案为：56°．21.如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+ EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=5可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=5，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长为：PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5，∴OC=OD=CD=5，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．22.如图，直线l是一条河，A、B是两个新农村定居点，欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是()A. B.C. D.【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【详解】解：作A 关于l 的对称点A ，连接A B 交直线l 于点M ，如图所示，则AM +BM =A M +BM ≥A M根据两点之间，线段最短，可知选项D 铺设的管道，则所需管道最短．故选：D ．23.如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，点M ，N 分别是线段BD 、BC 上一动点，AB >BD 且S △ABC =10，AB =5，则CM +MN 的最小值为．【答案】4【分析】本题考查轴对称-最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，作点N 关于BD 的对称点N ，连接MN ，过点C 作CH ⊥ABy 于点H ．证明MN =MN ，再根据MN +MC =MN +MC ≥CH ，求出CH ，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题．【详解】解：作点N 关于BD 的对称点N ，连接MN ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ．∵BD 平分∠ABC ，∴点N 关于BD 的对称点在BA 上，∴MN =MN ，∵MN +MC =MN +MC ≥CH ，∵S △ABC =10，AB =5，∴12×5×CH =10，∴CH =4，∴MN +MC ≥4，∴MN +MC 的最小值为4．故答案为：4．24.如图，AD是等边△ABC的中线，点E，F分别是AD,AC上的动点，当EC+EF最小时∠ACE的度数为．【答案】30°【分析】根据对称性和等边三角形的性质，过点B作BF⊥AC于点F，交AD于点E，此时BE=CE，EC+ EF最小，进而求解．【详解】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴BE=CE，∴CE+EF=BE+EF，∴当B、F、E位于同一直线，且BF⊥AC时，EC+EF最小．过点B作BF⊥AC于点F，交AD于点E，∵△ABC是等边三角形，∴∠CBF=∠ABF=30°，∵BE=CE，∴∠CBF=∠ECB=30°，∴∠ACE=30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查了最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点E和F的位置．25.如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．【答案】120a【分析】分别作出点P关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点；连接OP，OP ，OP″，由轴对称的性质得：OP=OP =OP″=a，∠P OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，证得△P OP″是等边三角形，即可得到结论．【详解】解：①分别作点P关于OM，ON的对称点P ，P″；连接P ，P″，分别交OM，ON于点A、点B，则此时△P AB的周长最小．连接OP，OP ，OP″，由轴对称的性质得：OP=OP =OP″=a，∠P OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，∵∠MON=30°，∴∠P OP″=2∠MON=60°，∴△P OP″是等边三角形，∴P P″=OP=a，∠AP O=∠APO，∠BP″O=∠BPO，∴∠APB=∠AP O+∠BP″O=120°，∴△P AB的周长=P P″=a，故答案为：120，a．【点睛】此题主要考查了轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．26.如图，钝角三角形ABC的面积为12，最长边AB=6，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为【答案】4【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB，MN⊥BC，∴MN=ME，∴当C、M、E三点共线时，CM+MN有最小值，∴CE=CM+ME=CM+MN，∵三角形ABC的面积为12，AB=6，×6⋅CE=12，∴12∴CE=4．即CM+MN的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CM+MN的最小值为转化为CE，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．27.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM=°【答案】150【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A ，A″，即可得出∠A +∠A″=75°，进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA M+∠A″)，即可得出答案．【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A ，A″，连接A A″，交BC于M，交CD于N，则A A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB=105°，∴∠A'+∠A''=180°-∠BAD=180°-105°=75°，∵∠A =∠MAA ，∠NAD=∠A″，且∠A +∠MAA =∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠A +∠MAA +∠NAD+∠A″=2(∠A +∠A″)=2×75°=150°故答案为：150．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．28.如图，∠AOB=30°，M，N分别为射线OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，连接PM，PN，MN．若OP=5，则△PMN周长的最小值为．【答案】5【分析】首先分别作点P关于OA，OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA，OB于点M、N，连接OC、OD、PM，PN，易得△OCD是等边三角形，且此时CD的长即为△PMN周长的最小值，继而求得答案．【详解】解：如图所示：分别作点P关于OA，OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA，OB于点M、N，连接OC、OD、PM，PN，∵点P关于OA的对称点为点C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为点D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=5，∠COD=2∠AOB=2×30°=60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=5，∴△PMN 的周长为：PN +PM +MN =DN +CM +MN =CD =5，∴△PMN 周长的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题以及等边三角形的判定与性质，注意准确确定点M ，N 的位置是关键．29.如图，等边△ABC 和等边△A B C 的边长都是4，点B ，C ，B 在同一条直线上，点P 在线段A C 上，则AP +BP 的最小值为．【答案】8【分析】连接PE ，根据△ABC 和△A B C 都是边长为4的等边三角形，证明△ACP ≌△B CP ，可得AP =B P ，所以AP +BP =BP +B P ，进而可得当点P 与点C 重合时，AP +BP 的值最小，正好等于BB 的长，即可求解．【详解】解：如图，连接PB ，∵△ABC 和△A B C 都是边长为4的等边三角形，∴AC =B C ，∠ACB =∠A CB =60°，∴∠ACA =60°，∴∠ACA =∠A CB ，在△ACP 和△B CP 中，AC =B C∠ACA =∠A CB CP =CP，∴△ACP ≌△B CP SAS ，∴AP =B P ，∴AP +BP =BP +B P ，∴当点P 与点C 重合时，点A 与点B 关于A C 对称，AP +BP 的值最小，正好等于BB 的长，∴AP +BP 的最小值为4+4=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．30.如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，直线EF 是线段AB 的垂直平分线，点D 是线段BC 的中点，点P 是直线EF 上一个动点．若△ABC 的面积为48，BC =12，则△PBD 周长的最小值是．【答案】14【分析】连接AD、AP；由EF是线段AB的垂直平分线，得到AP=BP，故BP+DP=AP+DP；当A、P、D 三点共线时，AP+DP最小，即为AD，此时△PBD的周长最小，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可；【详解】解：如图，连接AD、AP；∵EF是线段AB的垂直平分线∴AP=BP∴C△PBD=BD+BP+DP=BD+AP+DP∴当A、P、D三点共线，即AP+DP=AD时，△PBD的周长最小；∵AB=AC，点D是线段BC的中点；∴AD⊥BC，BD=12BC=6；∴S△ABC=12BC·AD=12×12×AD=48即：6AD=48解得：AD=8∴△PBD的周长最小值为：AD+BD=8+6=14故答案为：14【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一的性质、线段的最小值等知识点；熟练运用上述基础知识转化线段是解题的关键．31.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1,1,B4,2,C3,4．(1)若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请在网格中画出△A1B1C1(2)写出△A1B1C1三顶点坐标：A1，B1，C1；(3)若点P为x轴上一点，使P A+PB最小(保留作图痕迹)．【答案】(1)见解析(2)-1,1,-4,2,-3,4(3)见解析【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．(1)利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)由(1)即可求解；(3)作A点关于x轴的对称点A ，连接BA 交y轴于P点．【详解】(1)解：∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，A1,1B4,2，,C3,4∴A1-1,1，,B1-4,2,C1-3,4如图，△A1B1C1为所作；(2)解：由(1)知A1-1,1，,B1-4,2,C1-3,4故答案为：-1,1,-3,4；,-4,2(3)解：如图，点P为所作．32.如图所示，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．【答案】见解析【分析】本题考查了轴对称的性质以及线段最短，要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段上，为此作点P关于直线a的对称点P1，作点P关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于点A，B，连接P A，PB，即得放牧所走的最短路线．【详解】解：如图所示，作点P关于直线a的对称点P1，作点P关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于点A，B，连接P A，PB，由轴对称的性质知，P A=P1A，PB=P2B，∴先沿路线P A到点A处吃草，再沿路线AB到点B处饮水，最后沿路线BP回到营地，即P1，A，B，P2四点共线时，按这样的路线放牧所走的总路程最短．。

中学数学 “将军饮马”类问题 (含答案)

最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。

2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。

3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。

使△PAB 的周长最小4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。

使四边形 PAQB 的周长最小。

5.如图，点 A 是∠MON 外的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小6. .如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小E MMEHM30°二、常见题型三角形问题1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD⊥BC，E 是 AC 上的一点，M 是 AD 上的一点，若 AE = 2，求 EM+EC 的最小值A解：∵点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，A∴连接 BE，交 AD 于点 M，则 ME+MD 最小，过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3在直角△BHE 中，BE = BH2 + HE2 B= (3 3)2 + 12 = 2 7D C B D C2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 4 2，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是．解：作点 B 关于 AD 的对称点B'，过点 B'作 B'E⊥AB 于点E，交 AD 于点 F，则线段 B'E 的长就是 BM＋ＭＮ的最小值在等腰 Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4CB'M F D A N E B3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值C 解：作 AB 关于 AC 的对称线段AB'，过点 B'作 B'N⊥AB，垂足为 N，交 AC 于点M，则 B'N = MB'+MN = MB+MNB'N 的长就是 MB+MN 的最小值则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。

(完整word版)中考复习：“将军饮马”类题型大全

“将军饮马”类题型大全一．求线段和最值1（一）两定一动型例1：如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P是EF 上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m．分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．解答：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m．变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为_________．分析：考虑到BG为定值是1，则△BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度．解答：连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG周长最短为3.2（二）一定两动型例2：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E 为AC上任意一点，求PC＋PE的最小值．分析：这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△ABC 是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE时，用面积法即可．解答：作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，则AD·BC＝BE·AC，4×6＝BE·5，BE＝4.8变式：如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB＝8，△ABC的周长为20，求EF＋CF的最小值________．分析：这里的点C是定点，F，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点C的对称点C’必然在AB上，但由于BC长度未知，BC’长度也未知，则C’相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点．解答：如图，作点E关于BD的对称点E’，连接E’F，则EF＋CF＝E’F＋CF，当E’，F，C三点共线时，E’F＋CF＝E’C，此时较短．过点C作CE’’⊥AB于E’’，当点E’ 与点E’’重合时，E’’C最短，E’’C为AB边上的高，E’’C＝5.（三）两定两动型例3：如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值.分析：这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑．作点C关于OB的对称点，点D关于OA的对称点．解答：作点C关于OB的对称点C’，点D关于OA的对称点D’，连接C’D’． CF＋EF＋DE＝C’F＋ EF＋D’E，当C’，F， E，D’四点共线时，CF＋EF＋DE＝C’D’最短．易知∠D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF＋DE最小值为13．变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距CD 边1.4m，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m，若要使白球E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度．分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型．解答：作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，连接E’F’，交AD于点G，交CD于点H，则运动路线长为EG＋GH＋HF长度之和，即E’F’长，延长E’E交BC于N，交AD于M，易知E’M＝EM＝0.22m，E’N＝1.78＋0.22＝2m，NF’＝NC＋CF’＝1.4＋0.1＝1.5m，则Rt△E’NF’中，E’F’＝2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m．小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称．（二）求角度例1:P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN＝80°．（1）∠AOB＝_____°（2）求证：OP平分∠MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考∠AOB 的度数，显然作点P关于OA的对称点P’，关于OB的对称点P’’，连接P’P’’，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知∠DPC与∠AOB互补，则求出∠DPC的度数即可．解答：（1）法1：如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°．再分析：考虑到第二小问要证明OP平分∠MPN，我们就连接OP，则要证∠5＝∠6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP’，OP’’，则∠5＝∠7，∠6＝∠8，问题迎刃而解．解答：（1）法2：易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°（2）由OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP平分∠MPN．变式：如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A点关于BC、DE的对称点A′、A″，连接A′A″，与BC、DE的交点即为△AMN周长最小时M、N的位置．解答：如图，∵∠BAE＝136°，∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°由对称性知，∠MAA′＝∠MA′A，∠NAA″＝∠NA″A，∠AMN＋∠ANM＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88°思考题：1.（2017·安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______．2.（2017·安徽改编）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3．P为矩形ABCD内一点，若矩形ABCD面积为△PAB面积的4倍，则点P到A，B两点距离之和PA+PB 的最小值为________．。

(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题

变式训练1-2
如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2，
BD=2 ,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的
最小值为__________.
变式训练1-3
如图，已知直线y= x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y= x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂
线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需
︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.
典型例题1-1
【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC= ，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，
如图，直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.
【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为 △CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.

初中将军饮马问题题型总结(全)

初中将军饮马问题题型总结(全)题型一：将军饮马之单动点1.三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD、CE是三角形ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()解析：连接PC，由于AB=AC，BD=CD，AD垂直于BC，所以PB=PC。

因此，PB+PE=PC+PE，PE+PC>CE，当P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．2.等边三角形中的将军饮马题目描述：在等边三角形ABC中，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为()解析：连接BE交AD于点P'，AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，P'B=P'C，P'E+P'C=P'E+P'B=BE。

根据两点之间线段最短，点P在点P'时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长。

因此，BE=BC/2-CE/2=3，所以P'E+P'C的最小值为3，故选C．3.等腰三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()解析：连接AD、AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，AD垂直于BC，所以S△ABC=1/2×4×AD=16，解得AD=8.EF是线段AC的垂直平分线，所以点C关于直线EF的对称点为点A，MA=MC，AD=AM+MD，因此AD的长为CM+MD的最小值。

且AC6，BM3，因为BM AD，故BM AC，所以BM是AC的中线，故CM3。

又因为AC是菱形的对角线，所以AC平分DAB，即DAM30。

又因为AM MD，所以ADM75。