数学建模—农作物施肥的优化设计

大学生数学建模
题目：施肥效果分析
学院电气工程学院
班级
组号
农作物施肥的优化设计
摘要
本文在合理的假设之下，通过对实验数据的分析，建立了能够反映施肥量与农作物产量的关系模型，据此求得在保证一定产量的同时，施用肥料最少。

首先是对实验数据进行了较为直观的分析，可知N肥、P肥、K肥施加不同量均对土豆、生菜的产量造成一定影响，且施N肥过多会烧苗，会使土豆和生菜减产。

其次，模型一，我们对实验数据运用Excel进行拟合，得到各肥料的施肥量与产量的拟合曲线，从而获得对应函数表达式。

但由于无法对模型进行误差分析，我们再次运用一元多项式回归方法建立模型进行求解，此时得到不同肥料的施肥量与产量的关系。

然后，模型二，利用Matlab软件建立模型，求出N肥、P肥、K肥的施肥量关于土豆及生菜的最优解：当氮的施肥量为290.2542时使得土豆产量达到最优解为43.34615;当磷的施肥量为303时使得土豆产量达到最优解为42.7423；当钾的施肥量为36.0742时使得土豆产量达到最优解为44.51718。

当氮的施肥量为290.2542时使得生菜产量达到最优解为43.34615；当磷的施肥量为290.2542时使得生菜产量达到最优解为43.34615；当钾的施肥量为290.2542时使得生菜产量达到最优解为43.34615。

最后我们就应用价值方面对模型做出改进。

由于实验数据中各个自变量与因变量之间并不是一一对应的关系，所以没有得出各肥料的施肥量与产量的交叉关系，仅得到单一变量的对应关系。

关键字：一元多项式回归Excel拟合Matlab
某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。

某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。

当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验时，P与K的施肥量分别取为196kg／ha与372kg／ha。

试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估计。

土豆：N P K
生菜：N P K
利用散点图对所拟合问题的曲线类型做出判断。

当需要拟合的两变量之间的函数关系式，首先要确定所求函数对应曲线的类型，然后根据曲线类型对所求函数的对应关系进行假设，并利用已知数据计算出所需参数，最终确定变量之间的函数关系。

我们可以分别绘制出土豆和生菜的产量与施肥量的散点图，从图像的角度判断函数关系，再根据题目所给数据确定最终的函数。

三、问题的假设与符号说明
2.1 模型的合理假设
（1）土壤本身已含有一定数量的氮、磷、钾肥，即具有一定的天然肥力。

（2）每次实验是独立进行的，互不影响。

（3）研究所的实验是在相同的实验条件(实验结果不受温度，水，光照等因素影响)下进行的，产量的变化是由施肥量的变化引起的。

（4）当一个营养素的施肥量变化时，另两个营养素的施肥量总保持在第七水平上不变。

（5）所给数据中无较大偏差点，无需剔除。

2.2模型的符号说明
y：土豆产量
n：对于土豆氮的施肥量
1
p：对于土豆磷的施肥量
1
k：对于土豆钾的施肥量
1
x：生菜产量
n：对于生菜氮的施肥量
2
p：对于生菜磷的施肥量
2
k：对于生菜钾的施肥量
2
四、模型的建立与求解土豆的产量与施肥量的散点图如下：
土豆产量－氮施肥量散点图
土豆产量－磷施肥量散点图
土豆产量－钾施肥量散点图生菜的产量与施肥量的散点图如下：
生菜产量－氮施肥量散点图
生菜产量－磷施肥量散点图
生菜产量－钾施肥量散点图所用matlab程序为：
k1=xlsread('E:\《数学建模课程设计》实验报告
\shuju','sheet1','$L$3:$L$12');
y31=xlsread(' E:\《数学建模课程设计》实验报告\shuju','sheet1','$M$3:$M$12'); plot(k1,y31,'+')
由散点图猜测土豆产量y 与氮施肥量1n 的关系式为：
111211c n b n a y ++=；y 与磷施肥量1p 的关系式为：212212c p b p a y ++=；y 与钾施肥量1k 的关系式为：
()
13331k a e e b a y ⨯-=- 由matlab 解出：
a1=-0.0003 b1=0.1971 c1=14.7416 a2=-0.0001 b2=0.0719 c2=32.9161 a3=42.7 b3=0.56 c3=0.01 土豆产量与施肥量的关系图：
最佳施肥方案为第一个方案（328.44,245,465）所用程序为：
clear
clc
a1=-0.0003; b1=0.1971; c1=14.742; a2=-0.0001; b2=0.0719; c2=32.916; a3=42.7; b3=0.56; c3=0.01; n=0:0.01:393;
p=0:0.01:686;
k=0:0.01:652;
y1=(a1*n.*n+b1*n+c1)*800;
y11=max(y1)
for i=1:length(n)
if abs(y1(i)-y11)<=0.001
q1=n(i)
break
end
end
y2=(a2*n.*n+b2*n+c2)*800;
y22=max(y2)
for i=1:length(p)
if abs(y2(i)-y22)<=0.001
q2=p(i)
break
end
end
y3=a3*(1-b3*exp(-c3*k));
y33=max(y3)
for i=1:length(k)
if abs(y3(i)-y33)<=0.001
q3=k(i)
break
end
end
运算后的结果如下：
生菜产量与施肥量关系：
由散点图猜测生菜产量x 与施肥量2n 的关系式为：
121221c n b n a x ++=
x 与磷肥的量2p 的函数为：2222
22c p b p a x ++=
x 与钾肥的量2k 的函数为：()23331k
c e b a x --=
由matlab 解出：
a1=-0.0002 b1=0.1013 c1=10.2294
a2=-0.0001 b2=0.0606 c2=6.8757
a3=15.8878 b3-0.0440 c3=0.0026
关系图为：
最佳施肥方案为第一个方案（253.18,245,465）所用程序为：
clear
clc
a1=-0.0002; b1=0.1013; c1=10.2294; a2=-0.0001; b2=0.0606; c2=6.8757; a3=15.8878; b3=-0.0440; c3=0.0026; n=0:0.01:393;
p=0:0.01:686;
k=0:0.01:652;
y1=(a1*n.*n+b1*n+c1)*800;
y11=max(y1)
for i=1:length(n)
if abs(y1(i)-y11)<=0.001
q1=n(i)
break
end
end
y2=(a2*n.*n+b2*n+c2)*800;
y22=max(y2)
for i=1:length(p)
if abs(y2(i)-y22)<=0.001
q2=p(i)
break
end
end
y3=a3*(1-b3*exp(c3*k));
y33=max(y3)
for i=1:length(k)
if abs(y3(i)-y33)<=0.001
q3=k(i)
break
end
end
运行结果如图：
五、模型的优缺点与改进方向
5.1模型的优点
（1）本模型运用回归分析的方法求解，理论可得最优解。

（2）模型是独立的模型进行逐步回归。

（3）利用Matlab编程,曲线估计较成功地解决了施肥最佳方案问题,方
法简练,道理清晰,结果可信。

曲线估计得到较合适的曲线，最终得到拟合曲线函数表达式。

5.2模型的缺点
在实际工作中,三种肥料之间除了与产量有直接的数量关系外,还有彼此之间的交互作用。

因此,本模型只是一个初步的探讨,要得到三种营养素与产量之间的准确关系,应该在实验之初就采取正交实验或均匀设计的方法,得到更有价值的实验数据,从而更好的把握变量间的数量关系,以达到直到农业生产实践的目的。

5.3 模型的改进
该模型只对N、P、K 的施肥量和产量进行了分析，还应考虑N、P、K 的肥料售价和土豆、生菜每吨的售价，从而获得更高的收益。

根据实际情况，当施肥料带来的收入比用于购买肥料的费用多时，应该多施肥，否则少施肥。

参考文献
[1] 熊卫国.数学实验教程[M].:中山大学出版社.2006
[2] 李玉莉.MATLAB函数速查手册[M].:化学工业出版社.2010
[3] 姜启源谢金星.数学模型[M]..高等教育出版社.2010
[4] 马莉.Matlab数学建模与实验.清华出版社
[5] 冯杰.数学建模原理与案例.科学出版
[6] 董臻圃.数学建模方法与实践.国防工业出版社。