任意角与弧度制教案

任意角与弧度制

【基础再现】

1、角的概念的推广

定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。

注意：

（1）“旋转”形成角，突出“旋转”

（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴

（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、 “象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角

角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

【重点、难点、考点】

ααα∠αx x

一、常用的角的集合表示方法

1、终边相同的角：

（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。

（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合

即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：

1、Z ∈k

2、α是任意角

3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

2、终边在坐标轴上的点：

终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ

终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ

终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ

3、终边共线且反向的角：

终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ

终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ

)(Z k k ∈{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ

4、终边互相对称的角：

若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360

若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180

角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk

二、弧度与弧度制

1、弧度与弧度制：

弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度

定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：∠AOB=1rad ，∠AOC=2rad ， 周角=2πrad

注意：

1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

2、角α的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）

3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

r l =

αl r o r

C 2rad 1rad r

l=2r o A

B

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算

弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度

角度与弧度的互换关系：∵ 360︒= rad 180︒= rad

∴ 1︒=

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

三、弧长公式和扇形面积公式

； 【典型例题】

例1、若是第二象限的角，试分别确定2,

的终边所在位置.

解 ∵是第二象限的角，

∴k ·360°+90°＜＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.

（1）∵2k ·360°+180°＜2＜2k ·360°+360°（k ∈Z ），

∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜ ＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时，

n ·360°+45°＜＜n ·360°+90°； rad rad 01745.0180≈π

'185730.571801

=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad r l α=22121r lR S α==

αα2ααααα2α2

α

当k =2n +1（n ∈Z ）时，

n ·360°+225°＜＜n ·360°+270°. ∴是第一或第三象限的角. 拓展：已知是第三象限角，问是哪个象限的角？

∵是第三象限角，∴180°+k ·360°＜＜270°+k ·360°（k ∈Z ），

60°+k ·120°＜＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得

60°+m ·360°＜＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得

180°+m ·360°＜＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得

300°+m ·360°＜＜330°+m ·360°（m ∈Z ）. 故的终边在第四象限. 综上可知，

是第一、第三或第四象限的角. 例2、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的位置关系是（ ）。

A.重合

B.关于原点对称

C.关于x 轴对称

D.有关于y 轴对称

2α2

αα3α

αα3α3α3α3α3α3α3α3α