人教版数学八年级下册第18章《矩形和菱形》复习讲义

矩形和菱形

知识导图

基础知识点

矩形的性质： 矩形是特殊的 四边形，

它的特殊性有： （1）矩形的四个角都是 ° （2）矩形的对角线 ．

1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是 （ ）

A ．对角线互相平分 C ．对角线相等

B ．邻角互补 D ．对角相等

矩形的判定： （1）

矩

形 2．□ABCD 中，AC ，BD 是两条对角线，如

果添加一个条件，即可推出□ABCD 是矩 的四边形是矩形； 形，那么这个条件是（ A ．AB ＝BC C ．AC ⊥BD

）

B ．A

C ＝BD

D ．AB ⊥BD （2） 的平行四边形是矩形； （3）

的平行四边形是矩形．

C

D

O

A

菱形的性质： 菱形是特殊的

四边形，它的特殊性有： （1）菱形的四条边都 ． （2）菱形的对角线

，

B

3.如 图 ，在 菱 形 ABCD 中 ，已 知 ∠ A=60°，

AB=5，则

△ABD 的 周 长 是 ． D

C

A

O 且每一条对角线平分 ．

菱形的判定： （1） 的四边形是菱形；

（2） 的平行四边形是菱形； 菱

形

B

4.如上图，要使□ABCD 成为菱形，下列添加 条件正确的是（ A ．AB ⊥BC C ．AC=BD ）

B ．A

C ⊥B

D D ．∠ABC=∠CDA

（3）

的平行四边形是菱形．

重点题型1

【矩形的性质和判定】

例题1：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，求矩形的对角线的长．

A D

O

B C

变式练习1-1：如图，BD，BE 分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABP 的平分线．AE⊥BE，

AD⊥BD，E、D 为垂足，求证：四边形AEBD 是矩形．

A

E D

B

变式练习1-2：如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN∥BC，MN 交∠BCA 的平分线CE 于点E，交∠BCA 的外角平分线CF 于点F．

（1）求证：OE＝OF．

A

M E O F N

B

（2）当O 点运动到何处时，四边形AECF 为矩形？并证明你的结论．

重点题型2

【菱形的性质和判定】

例题2：如图，在菱形ABCD 中，点E，F 分别在CD，BC 上，且CE＝CF，求证：AE＝AF．

D

E

A C

F

B

变式练习2-1：如图，在菱形ABCD 中，AB＝4，E 为BC 中点，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，CG ∥AE，CG 交AF 于点H，交AD 于G 点．

（1）求菱形ABCD 的面积；

A

G

B H D

E F

C

（2）求∠CHA 的度数．

变式练习2-2：如图10，矩形ABCD 对角线相交于O，DE//AC，

CE//BD．求证：四边形OCED 是菱形．

变式练2-3：如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E、F 分别在AD 及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．

（1）求证：△BDF≌△CDE；

（2）若AB=AC，求证：四边形BFCE 是菱形．

两步一回头

1．菱形的两条对角线长分别为6 cm、8 cm，则它的面积为（）．

A．6 cm2 B．12 cm2 C．24 cm2 D．48 cm2

2．如图，矩形纸片ABCD ，AD = 6cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C的对应点为点F，若BE = 2cm ，则DE =（）．

A．2 2cm

B．4cm

C．4 2cm

D．

3．菱形具有而矩形不一定具有的特征是（）．A F D

B E C

A．对角相等且互补B．对角线互相平分

C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线互相垂直

4．下列说法中：

（1）四个角都相等的四边形是矩形．

（2）两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．

（3）对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．

（4）一组对边平行，另一组对边相等并且有一个角为直角的四边形是矩形．正

确的个数是（）．

A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个

5．如图6，菱形A BCD 中，∠B= 60︒ ，A B = 2，E、F 分别是B C、CD 的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF

的周长为（）．A

A．2 3

B D

B．3 3

C．4 3 E F

C

D．3

问题探究

例题 3：请阅读下列材料：

问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A ，B ，E 在同一条直线上， P 是线段 DF 的中点， 连结 PG ，PC ．若 ∠ABC = ∠BEF = 60 ，探究 PG 与 PC 的位置关系及

PG

的值．

PC

小聪同学的思路是：延长 GP 交 DC 于点 H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

D

C D

C

P

F

P

G

G A

B F A

B E

图 1 图 2

E

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及

PG

的值；

PC

（2）将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在

同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？ 写出你的猜想并加以证明．

拓展延伸

1．把一张矩形纸片（矩形 ABCD ）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕 EF ．若 AB=3cm ，

BC=5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．

第 1 题 第 2 题

2．在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是 AD 上的一点，PE ⊥AC 于点 E ，PF ⊥BD 于点 F.试求 PE+PF 的值 是 ．