①当0)3(412422>-=-=∆ac b ac b ，即032>-ac b 时，)(x f '与x 轴有两个交点1x ，2x ，)(x f 形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x .
②当224124(3)0b ac b ac ∆=-=-=，即230b ac -=时，)(x f '与x 轴有两个等根1x ，2x ，)(x f 没有极值点. ③当224124(3)0b ac b ac ∆=-=-<，即230b ac -<时，)(x f '与x 轴没有交点，)(x f 没有极值点.
性质四：三次方程()0f x =的实根个数
对于三次函数()32
f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其导数为c bx ax x f ++='23)(2
当032
>-ac b ，其导数0)(='x f 有两个解1x ，2x ，原方程有两个极值2123b b ac x x -±-、
①当0)()(21>⋅x f x f ，原方程有且只有一个实根，图像如图13，14. ②当12()()0f x f x ⋅=，则方程有2个实根，图像如图15，16. ③当12()()0f x f x ⋅<，则方程有三个实根，图像如图17.
图14 图15 图16 图17 性质五：奇偶性
对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠）. ①)(x f 不可能为偶函数；②当且仅当0b d ==时是奇函数． 性质六：对称性
（1）结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(,())33b b
f a a
-
-； （2）结论二：其导函数为2()320f x ax bx c '=++= 对称轴为3b
x a
=-
，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，)(x f y =图象的对称中心在导函数()y f x '=的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
（3）结论三：()y f x =是可导函数，若()y f x =的图象关于点(,)m n 对称，则'()y f x =图象关于直线m x =
对称.
（4）结论四：若()y f x =图象关于直线x m =对称，则'()y f x =图象关于点(,0)m 对称. （5）结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
（6）结论六：已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++的对称中心横坐标为0x ，若()f x 存在两个极值点1x ，
2x ，则有
()()()()21212012
2
23
f x f x a x x f x x x -'=-
-=-. 性质七：切割线性质
（1）设P 是()f x 上任意一点(非对称中心)，过点P 作函数()f x 图象的一条割线AB 与一条切线PT (P 点不为切点),,,A B T 均在()f x 的图象上，则T 点的横坐标平分A B 、点的横坐标，如图18．
图18 图19 图20
x 1 x 2
x x 1 x 2
推论1：设P 是()f x 上任意一点（非对称中心)，过点P 作函数()f x 图象的两条切线PM PN 、切点分别为M P 、，则M 点的横坐标平分P N 、的横坐标，如图19．
推论2：设)(x f 的极大值为M ，当成M x f =)(的两根为1x ，2x 12()x x <，则区间[]12,x x 被中心
(,())33b b
f a a
-
-和极小值点三等分，类似的，对极小值点N 也有此结论，如图20．
第二讲 三次函数切线问题
一般地，如图，过三次函数()f x 图象的对称中心作切线L,则坐标平面被切线L 和函数()f x 的图象分割为四个区域，有以下结论：
（1）过区域Ⅰ、IV 内的点作()f x 的切线，有且仅有3条；
（2）过区域II 、Ⅲ内的点以及对称中心作()f x 的切线，有且仅有1条； （3）过切线L 或函数()f x 图象（除去对称中心）上的点作()f x 的切线，有且仅有2条． 【例1】过点()11-，
与曲线()32f x x x =-相切的直线方程是______ ． 【解析】由题意可得： ()2'32f x x =-，设曲线上点的坐标为()
3
000,2x x x -，切线的斜率为20
32k x =-， 切线方程为： ()()()320000232y x x x x x --=--，由于切线过点()1,1-，则： ()()
()32
000012321x x x x ---=--，
解得：01x =或01
2x =-将其代入切线方程式整理可得，切线方程为：20x y --=或5410x y +-=.
【例2】若2f x f x +-= 3x x ++对R x ∈恒成立，则曲线y f x =在点()2,2f 处的切线方程为____． 【解析】()()()()()()3
323,23f x f x x x f x f x x x +-=++∴-+=-+-+
()()
()()3
33233f x x x x x ⎡⎤∴=++--+-+⎣⎦
()()()321,31,213f x x x f x x f ''∴=++=+=
又 ()211f =，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()11132y x -=- ，即1315y x =-. 【例3】过点()21A ，
作曲线()33f x x x =-的切线最多有（ ） A ．3条 B ．2条 C ．1条 D ．0条
【解析】法一：设切点为()
300,3x x x -，则切线方程为()()
()32
0000333y x x x x x --=--，因为过()21A ，
，所以()()()323
20
0133322670x x x x x
x --=--∴-+=令()32267
g x x x =-+
，
()26120
g x x x =-='
0,2x x ∴==，而()()070,210g g =>=-<，所以()0g x =有三个零点，即切线
最多有3条，选A .
法二：根据题意，()33f x x x =-关于点()0,0中心对称，()()23303f x x f ''=-⇒=-，在原点的切线方程为3y x =-，()221f =>故点()2,1A 位于区域Ⅰ，有三条切线（如图），选A .
