5-4三次函数的图象和性质

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三次函数的图象与性质教学设计与实践①.pdf

你猜测将 f (x) 因式分解的结果将会是怎样的？
设计意图引导学生明确研究对象和研究方法，学会将零点个数的研究转化为函数的极值或解析式结构形式的研究，并在尝试中猜测、归纳三次函数有不同零点个数时的图象所具有的基本特征，探究不同零点个数的函数解析式的系数应满足的关系，进一步巩固用导数研
3
究函数性质的方法．
设计意图本题研究系数 a ， b ， c ， d 对三次函数的单调性的影响．在学生确定研究
对象和研究方法，并认识到函数的单调性有多种情形下，引导学生明晰研究的思路，并正确进行分类讨论：一要关注分类的标准，二要选择分类的方法，三要注意分类的原则．
5.3 借助探究，拓展应用
问题 3 你能得出函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 只有一个零点时系数应该满足
对函数单调性的影响让我们眼花缭乱，为了简化研究，我们可以选择什么方法？
（3）用图形计算器单独验证系数 a 对三次函数 f (x) 的单调性的影响，你得到什么结
论？你想怎样继续研究函数的单调性？（4）在用图形计算器画不同单调性的图象时，你想过如何界定“不同单调性”吗？用什
么标准对“不同单调性”进行划分？你能借助导数写出不同单调性的情形下，各系数应满足的关系式吗？
设计意图迁移本课的研究思路和方法．
5．已知 n R ，函数 f (x) x2 (x 3) n ．（Ⅰ）若曲线 y f (x) 的切线中，斜率最小的切线 l 经过点 A(3,0) ，求 n 值；（Ⅱ）若经过点 A(3,0) 可作曲线 y f (x) 的三条切线，求 n 的取值范围．
2 目标和目标解析
本课是为了进一步掌握用导数研究函数性质的方法，感受导数在解决问题中的作用，体会导数的思想及其丰富内涵，同时扩展学生的数学视野，发展学生独立获取数学知识的能力，提高学生应用所学知识解决问题的能力．具体目标是：

5-4三次函数的图象和性质

293-b ±b2- 3ac专题4 三次函数的图像和性质第一讲三次函数的基本性质设三次函数为f (x)=ax3 +bx2 +cx +d （a 、b 、c 、d ∈R 且a ≠ 0 ），其基本性质有：性质一：定义域为R．性质二：值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．性质三：单调性和图象．a > 0 a < 0图像∆>0 ∆≤ 0 ∆> 0 ∆≤ 0当 a > 0 时，先看二次函数 f '(x) = 3ax+ 2bx +c ， ∆= 4b- 12ac = 4(b- 3ac)①当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) > 0 ，即b2 - 3ac > 0 时，f '(x) 与x 轴有两个交点x ，x ，f (x) 形成三个单1 2点区间和两个极值点x1，x2，图像如图1，2．②当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) = 0 ，即b2 - 3ac = 0 时，f '(x) 与x 轴有两个等根x ，x ，f (x) 没有极值点1 2图像如图3，4．③当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) < 0 ，即b2 - 3ac < 0 时，f '(x) 与x 轴没有交点，f (x) 没有极值点，图像如图5，6．图1 图2 图3 图4 图5 图6当 a < 0 时，同理先看二次函数 f '(x) = 3ax2 + 2bx +c ，. ∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac)①当∆= 4b2-12ac = 4(b2- 3ac) > 0 ，即b2- 3ac > 0 时，f '(x) 与x 轴有两个交点x ，x ，f (x) 形成三个单1 2点区间和两个极值点x1，x2.②当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) = 0 ，即b2 - 3ac = 0 时，f '(x) 与x 轴有两个等根x ，x ，f (x) 没有极值点.1 2③当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) < 0 ，即b2 - 3ac < 0 时，f '(x) 与x 轴没有交点，f (x) 没有极值点.性质四：三次方程 f (x )= 0 的实根个数对于三次函数 f (x )=ax3 +bx2 +cx +d （a 、b 、c 、d ∈R 且a ≠ 0 ），其导数为 f '(x) = 3ax2+ 2bx +c当b2-3ac > 0 ，其导数f '(x) = 0有两个解x1 ，x2 ，原方程有两个极值x1、x2 =3a.294x 1x 2x 1 x 2x①当 f (x 1 ) ⋅ f (x 2 ) > 0 ，原方程有且只有一个实根，图像如图 13，14. ②当 f (x 1 ) ⋅ f (x 2 ) = 0 ，则方程有 2 个实根，图像如图 15，16. ③当 f (x 1 ) ⋅ f (x 2 ) < 0 ，则方程有三个实根，图像如图 17.图 13 图 15 图 16 图 17性质五：奇偶性对于三次函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d （ a 、b 、 c 、 d ∈ R 且 a ≠ 0 ）. ① f (x ) 不可能为偶函数；②当且仅当b = d = 0 时是奇函数．性质六：对称性（1）结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(- b , f (- b)) ；3a 3a（2）结论二：其导函数为 f '(x ) = 3ax 2+ 2bx + c = 0 对称轴为 x = - b 3a，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见， y = f (x ) 图象的对称中心在导函数 y = f '(x )的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；（3）结论三： y = f (x ) 是可导函数，若 y = f (x ) 的图象关于点(m , n ) 对称，则 y = f '(x ) 图象关于直线 x = m对称.（4）结论四：若 y = f (x ) 图象关于直线 x = m 对称，则 y = f '(x ) 图象关于点(m , 0) 对称.（5）结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.（6）结论六：已知三次函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的对称中心横坐标为 x 0 ，若 f (x )存在两个极值点 x 1，x ，则有 f (x 1 ) - f (x 2 ) = - a (x - x )2 = 2f '(x ).2 x - x 2 1 23 0 1 2性质七：切割线性质（1）设 P 是 f (x )上任意一点(非对称中心)，过点 P 作函数 f (x )图象的一条割线 AB 与一条切线 PT ( P 点不为切点), A , B , T 均在 f (x )的图象上，则T 点的横坐标平分 A 、B 点的横坐标，如图 18．图 18图 19 图20295推论 1：设 P 是 f (x )上任意一点（非对称中心)，过点 P 作函数 f (x )图象的两条切线 PM 、PN 切点分别为 M 、P ，则 M 点的横坐标平分 P 、N 的横坐标，如图 19．推论 2 ：设 f (x ) 的极大值为 M ，当成 f (x ) = M 的两根为 x 1 ， x 2 (x 1 < x 2 ) ，则区间 [x 1 , x 2 ] 被中心(- b , f (- b)) 和极小值点三等分，类似的，对极小值点 N 也有此结论，如图 20． 3a 3a第二讲三次函数切线问题一般地，如图，过三次函数 f (x )图象的对称中心作切线 L,则坐标平面被切线 L 和函数 f (x )的图象分割为四个区域，有以下结论：（1）过区域Ⅰ、IV 内的点作 f ( x )的切线，有且仅有 3 条；（2）过区域 II 、Ⅲ内的点以及对称中心作 f (x )的切线，有且仅有 1 条；（3）过切线 L 或函数 f (x )图象（除去对称中心）上的点作 f (x )的切线，有且仅有 2 条．【例 1】过点(1，-1)与曲线 f (x ) = x 3 - 2x 相切的直线方程是．【例 2】若2 f (x ) + f (-x ) = x 3 + x + 3对 x ∈ R 恒成立，则曲线 y = f (x )在点(2, f (2))处的切线方程为．【例 3】过点 A (2 ，1)作曲线 f (x ) = x 3 - 3x 的切线最多有（）A ． 3条B ． 2 条C ．1条D ． 0 条秒杀秘籍：第三讲四段论法则─“房间里装大象”f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a > 0)且导函数∆ > 0 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a < 0)且导函数∆ > 0极大值极大值极小值等值点中心极小值极小值中心极小值等值点1．对称中心： ⎛ - b ，f ⎛ - b ⎫⎫ ；3a 3a ⎪⎪⎝⎝ ⎭⎭2．极大值到对称中心距离为∆x ，极小值到对称中心距离为∆x ，极小值等值点到极大值距离为 ∆x ，极大值等值点到极小值距离为 ∆x ；3．对称中心为极值与极值等值点的三等分点（三次函数性质七）.2960 0 【例 4】函数 f (x ) = x 3 - 3x + 1在闭区间[-3 , 0]上的最大值、最小值分别是（）A ．1， -1B ． 3， -17C ．1， -17D ． 9 ， -19【例 5】已知函数 f (x ) = x 3 + ax + b 的定义域为[-1 , 2] ，记 f (x ) 的最大值为 M ，则 M 的最小值为（）A ． 4B ． 3C ． 2D ．【例 6】已知 f (x ) = x 3 - 3x + m ，在区间[0 , 2] 上任取三个数 a ， b ， c ，均存在以 f (a )， f (b )， f (c )为边长的三角形，则 m 的取值范围是（）A ． m > 2B ． m > 4C ． m > 6D ． m > 8【例 7】已知 f (x ) = ax 3 - 2ax 2 + b 在区间[-2 , 1] 上的最大值是5 ，最小值为-11，求 f (x ) 解析式．图 1 (a > 0) 图 2 (a < 0)【例 8】若函数 f (x ) = 1 x 3 + x 2 - 2 在区间(a , a + 5) 内存在最小值，则实数 a 的取值范围是（）3 3 A ． [-5 , 0)B ． (-5 , 0)C ． [-3 , 0)D ． (-3 , 0)【例 9】若函数 ax 3 - x 2 + 4x + 3 ≥ 0 对任意的 x ∈[-2 , 1]恒成立，求 a 的取值范围（）A ． [-2 , 2]B ． [-2 , 4]C ． [-2 , 6]D ． [-2 , 8]【例 10】设函数 f (x ) = x 3 + ax + bx + c ， a ，b ，c ∈ R ，总存在 x ∈[0 ，4]，使得不 f (x ) ≥ m 等式成立，则实数 m 的取值范围是.达标训练一．选择题1．函数 f (x ) = 3x 3 - 9x 2 + 5 在区间[-2 , 2] 上的最大值是（）A ． 5B ． 2C ． -7D ．142．已知 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + a （ a 是常数）在[-2 ，2] 上有最大值3，那么在[-2 ，2] 上的最小值是（）A ． -5B ． -11C ． -29D ． -373．函数 f (x ) = 3x - 4x 3 (x ∈[0 ，1]) 的最大值是（）A ．1B ． 12C ． 0D ． -13297, ] 0 0 4．若函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 + a 在[-1 , 1]上有最大值3，则该函数在[-1 , 1]上的最小值是（）2A ． - 1 2B ． 0C ． 1 2D ．15．若函数 f (x ) = 3x - x 3 在区间(a 2 - 12 , a )上有最小值，则实数 a 的取值范围是（）A ． (-1 , 11)B ． (-1 , 4)C ． (-1 , 2]D ． (-1 , 2) 6．若函数 f (x ) = x 3 - 3x 在(a , 8 - a 2 ) 上有最小值，则实数 a 的取值范围是（） A ． (- , 1)B ． [- 7 , 1)C ． [-2 , 1)D ． (-2 , 1)7．函数 f (x ) = x 3 - 3ax - a 在(0 , 1) 内有最小值，则 a 的取值范围是（）A ． 0 ≤ a < 1B ． 0 < a < 1C ． -1 < a < 1D ． 0 < a < 12 8．当 x ∈[-2 , 1] 时，不等式 mx3 ≥ x 2 - 4x - 3 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A ． ⎡-6 , ⎣ - 8 ⎤9 ⎦ B ． [-6 , - 2]C ． [-5 , - 3]D ． [-4 , - 3]9．若关于 x 的不等式 x 3 - 3x 2 - 9x + 2 ≥ m 对任意 x ∈[-2 , 2]恒成立，则 m 的取值范围是（）A ． (-∞ , 7]B ． (-∞ , - 20]C ． (-∞ , 0]D ． [-12 , 7]10．函数 f (x ) = 1x 3 - x 2 + a ，函数 g (x ) = x 2 - 3x ，它们的定义域均为[1 , + ∞)，并且函数 f (x )的图象始3终在函数 g (x )的上方，那么 a 的取值范围是（） A ． (0 , + ∞)B ． (-∞ , 0)C ． (- 4, + ∞)3D ． (-∞ 4311．设函数 f (x ) = x 3 - 1x 2 - 2x + 5 ，若对于任意 x ∈[1 , 2]，f (x ) < m 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）2A ． (7 , + ∞)B ． (8 , + ∞)C ． [7 , + ∞)D ． [8 , + ∞) 12．已知函数 f (x ) = ax 3 - 3x 2 + 1 ，若 f (x )存在唯一的零点 x ，且 x > 0 ，则 a 的取值范围是（）A ． (2 , + ∞)B ． (-∞ , - 2)C ． (1 , + ∞)D ． (-∞ , - 1)13．已知 a ≥ - 3，b ≥ 0 ，函数 f (x ) = x 3 + ax + b (-1≤ x ≤ 1)，设 4有 M ≥ k ，则实数 k 的最大值为（）f (x ) 的最大值为 M ，对任意的 a 、b ∈ R 恒A ． 4B ． 2C ． 1D ． 12 4 14．曲线 y = x3 - x 的所有切线中，经过点(1 , 0) 的切线的条数是（）A ． 0B ．1C ． 2D ． 3 15．已知函数 f (x ) = 1x 3 - x 2 + ax + 3(a ∈ R ) 有两个极值点 x ， x (x < x ) ，则（）31 2 1 2A ． f (x ) 3 ， f (x ) < 10B ． f (x ) 3 ， f (x ) > 101 2 3 1 23 C ． f (x ) 3 ， f (x ) < 10 D ． f (x ) 3 ， f (x ) > 101 2 3 1 2316．已知函数 f (x ) = -x 3 + 6x 2 - 9x + 8 ，则过点(0 , 0) 可以作几条直线与曲线 y = f (x ) 相切（）7298, ] x A ． 3条 B ．1条 C ． 0 条 D ． 2 条17．已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ， x ∈[-3 ，3] 的图象过原点，且在点(1 ， f （1）) 和点(-1 ， f (-1)) 处的切线斜率为 -2 ，则 f (x ) = （） A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数18．已知函数 f (x ) = x 3 - ax 2- bx + c 有两个极值点 x ，x ，若 x < x = f (x ) ，则 f (x ) = x 的解的个数为（）121221A ． 0B ．1C ． 2D ． 319．已知函数 f (x ) = x 3 - mx 2 + 2nx + 1， f '(x ) 是函数 f (x ) 的导数，且 f '(2 + x ) = f '(- 2- x ) ，若在[1，π] 上3f (x ) 1 恒成立，则实数 n 的取值范围为（）A ． (-∞ 1 2B ． (-∞ , - 1 ] 2C ． [ 1 , + ∞) 2D ． [π, + ∞)20．（2019•汕头月考）函数 f (x ) = 1x 3 - x 2 + ax 在[-1， 2] 上单调递增，则 a 的取值范围是（）3A ． a > 0B ． a 0C ． a 1D ． a > 121．（2019•浙江期中）已知函数 f (x ) = 1x 3 + ax 2 - 2x 在区间(1, +∞) 上有极小值无极大值，则实数 a 的取值3 范围（）A ． a < 12B ． a > 12C ． a 12D ． a 1222．（2019•长沙期中）已知函数 f (x ) = 4x 2 - 3x + 1，g (x ) = 3x 3 - x -1，则 f (x ) 与 g (x ) 的大小关系是（）A ． f (x ) = g (x )B ． f (x ) > g (x )C ． f (x ) < g (x )D ．随 x 的变化而变化23．（2019•临川月考）正项等差数列{a }中的 a ， a 是函数 f (x ) = 1x 3 - 4x 2 + 4x - 3 的极值点，则log 2 a 2019 = （）n 114027 3 A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5324．若函数 f (x ) = - a x 2 + x + 1 在区间(1 , 2) 上单调递减，则实数 a 的取值范围为（）5 [2 , ] 23 2 B ． [ 5 , + ∞) 2 C ． ( 5 2 , + ∞)D ． (2 , + ∞) 25．（2019•醴陵期中）函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 - 9x + 4 ，若函数 g (x ) = f (x ) - m 在 x ∈[-2 ， 5] 上有 3 个零点，则 m 的取值范围为（）A ． (-23 , 9)B ． (-23 , 2]C ． [2 , 9]D ． [2 , 9)26．（2019•湛江一模）已知函数 f (x ) = x 3 - x 2+ ax - a 存在极值点 x ，且 f (x ) = f (x ) ，其中 x ≠ x ，x + 2x =1（）11A ． 3B ． 2C ．1D ． 027．（2019•邯郸一模）过点 M (-1, 0) 引曲线C : y = 2x 3 + ax + a 的两条切线，这两条切线与 y 轴分别交于 A ，B 两点，若| MA |=| MB | ，则 a = （）A ． - 25 4B ． - 274C ． - 2512D ． - 491228．（2019•黔东南州一模）已知函数 f (x ) = 2x 3 - (6a + 3)x 2 + 12ax + 16a 2 (a < 0) 只有一个零点 x 0 ，且 x 0 < 0 ，A ．2990 0 6 则 a 的取值范围为（）A ． (-∞, - 1)2B ． (- 1 , 0) 2C ． (-∞, - 3)2 D ． (-3 , 0) 229．（2019•莆田一模）若函数 f (x ) = ax 3 - x 2 + 2x 没有极小值点，则 a 的取值范围是（）31 [0 , ]2 B ． [ 1 , +∞)2 C ．{0} ⋃ [ 1 , 2 +∞) D ． {0} ⋃ ( 1 , 2+ ∞) 30．（2018 秋•晋中期末）已知 f (x ) = 1 x 3 - 5 ax 2 + 6ax + b 的两个极值点分别为 x ，x (x ≠ x ) ，且 x = 3x ，3 2 则函数 f (x 1 ) - f (x 2 ) = （）1 2 1 2 22 1 A ． -1B ． 16C ．1D ．与b 有关31．（2019•陕西一模）已知函数 f (x ) = x 3 + 3x ，则不等式 8 (1 + x )3 +1 + x > x 3+ 3x 的解集为（）A ． (-∞ , - 2) ⋃ (-1 , 1) C ． (-∞ , - 2] ⋃ (1 ,+∞)B ． [-2 , - 1) ⋃ [1 , + ∞) D ． (-2 , 1)32．（2018•宜春期末）等比数列{a }的各项均为正数， a ， a 是函数 f (x ) = 1x 3 - 3x 2 + 8x + 1的极值点，n 5 63 则log 2 a 1 + log 2 a 2 + ⋯ + log 2 a 10 = ( （）A ． 3 + log 2 5B ． 8C ．10D ．1533．（2018•湖北期末）已知函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx -17(a ， b ， c ∈ R ) 的导函数为 f '(x ) ， f '(x ) 0的解集为{x | -2 x 3} ，若 f (x ) 的极小值等于 -98 ，则 a 的值是（）A ． - 8122 B ． 1 3C ． 2D ． 534．（2019•朝阳二模）已知 f (x ) = - 1x 3 + x 在区间(a ,10 - a 2 ) 上有最大值，则实数 a 的取值范围是（）3A ． a < -1B ． -2 a < 3C ． -2 a < 1D ． -3 < a < 1 35．（2018•海淀期末）函数 f (x ) = x 3 + kx 2 - 7x 在区间[-1 , 1]上单调递减，则实数 k 的取值范围是（）A ． (-∞ , - 2]B ． [-2 , 2]C ． [-2 , + ∞)D ． [2 , + ∞)36．（2019•汉阳模拟）函数 f (x ) = ax 3 + 3x 2 -1存在唯一的零点 x ，且 x < 0 ，则实数 a 的范围为（）A ． (-∞, -2)B ． (-∞, 2)C ． (2, +∞)D ． (-2, +∞)37．（2019•瀍河月考）设函数 f (x ) = ax 3 - bx + 2 的极大值和极小值分别为 M ， m ，则 M + m = ( （）A ． 0B ．1C ． 2D ． 438．（2018•南阳期末）函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 - 9x + 2 在[0 , 4]上的最大值和最小值分别是（）A ． 2 ， -18B ． -18 ， -25C ． 2 ， -25D ． 2 ， -2039．（2018•合肥期末）已知函数 f (x ) = -x 5 - 3x 3 - 5x + 3，若 f （a ） + f (a - 2) > 6 ，则实数 a 的取值范围是（）A ． (-∞, 3) 二填空题B ． (3, +∞)C ． (1, +∞)D ． (-∞,1)1．（2019•东城一模）已知函数 f (x ) = 4x - x 3 ，若∀x ，x ∈[a ，b ] ，x ≠ x 都有 2 f (x + x ) > f (2x ) + f (2x )12121212A ．3000 0 成立，则满足条件的一个区间是．2．（2019•陕西二模）设函数 f (x ) = 2x 3 + ax 2 + bx + 1的导函数为 f '(x ) ，若函数 y = f '(x ) 的图象的顶点横坐标为 - 1 ，且 f '（1） = 0 ．则 a + b 的值为．23．（2019•新疆二模）已知函数 f (x ) = x 3 - ax 2 在(-1 , 1) 上没有最小值，则 a 的取值范围是．4．（2019•十堰模拟）对于三次函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ，b ，c ，d ∈ R ，a ≠ 0) ，有如下定义：设 f '(x )是函数 f (x ) 的导函数， f '(x ) 是函数 f '(x ) 的导函数，若方程 f '(x ) = 0 有实数解 m ，则称点(m ， f (m )) 为函数 y = f (x ) 的“拐点”．若点(1, -3) 是函数 g (x ) = x 3 - ax 2 + bx - 5，(a , b ∈ R ) 的“拐点”也是函数 g (x ) 图象上的点，则当 x = 4 时，函数 h (x ) = log 4 (ax + b ) 的函数值为．5．（2018•揭阳期末）已知函数 f (x ) = x 3 + 2x ，若 f (a -1) + f (2a 2 ) 0 ，则实数 a 的取值范围是．6．（2018•长治期末）已知函数 f (x ) = 2x 3 - 3x ，若过点 P (1,t ) 存在 3 条直线与曲线 y = f (x ) 相切，则t 的取值范围是．7．（2019•自贡模拟）已知 f (x ) = ax 3 + 3x 2 -1存在唯一的零点 x ，且x < 0 ，则实数 a 的取值范围是．8．（2019•天山月考）设 f (x ) = x 3 - 1x 2 - 2x + 5 ，当 x ∈[-1， 2]时， f (x ) < m 恒成立，则实数 m 的取值范2 围为． 9．已知函数 f (x ) = 1 x 3 - x 2 - 3x + 4，直线l ： 9x + 2 y + c = 0 ．若当 x ∈[-2 , 2]时，函数 y = f (x )的图象恒3 3 在直线l 的下方，则c 的取值范围是．三解答题1．已知函数 f (x ) = 1ax 3 + 2x 2 ，其中 a > 0 ．若 f (x ) 在区间[-1，1] 上的最小值为 -2 ，求 a 的值．32．知函数 f (x ) = ax 3 - 6ax 2 + b (x ∈[-1 ，2]) 的最大值为3，最小值为-29 ，求 a 、b 的值．3．已知函数 f (x ) = x 3 - 1x 2 + bx + c ；2（1）若 f (x ) 在(-∞ , + ∞) 上是增函数，求 b 的取值范围；301( , 0)（2）若 f (x ) 在 x = 1时取得极值，且 x ∈[-1 , 2] 时， f (x ) < c 2恒成立，求c 的取值范围.4．（2019•海淀期中）已知函数 f (x ) = ax 3+ bx 2+ x + c ，其导函数 y = f '(x ) 的图象过点 1 3和(1, 0) ．（1）函数 f (x ) 的单调递减区间为，极大值点为；（2）求实数 a ， b 的值；（3）若 f (x ) 恰有两个零点，请直接写出c 的值．5．（2019•莱西月考）设函数 g (x ) = x 3 - 3x 2 + 2 ．（1）若函数 g (x ) 在区间(0, m ) 上递减，求 m 的取值范围；（2）若函数 g (x ) 在区间(-∞ ， n ]上的最大值为 2，求 n 的取值范围．6．（2019•海淀一模）已知函数 f (x ) = 1 x 3 - 5x 2 + a | x | -1．3 2 （1）当 a = 6 时，求函数 f (x ) 在(0, +∞) 上的单调区间；（2）求证：当 a < 0 时，函数 f (x ) 既有极大值又有极小值．7．（2019•怀柔一模）已知函数 f (x ) = 2x 3 + 3ax 2 + 1(a ∈ R ) ．（1）当 a = 0 时，求 f (x ) 在点(1 ， f （1） ) 处的切线方程；302P (1, ) （2）求 f (x ) 的单调区间；（3）求 f (x ) 在区间[0 ， 2] 上的最小值8．（2019•天津一模）已知函数 f (x ) = 2x 3 - ax 2 + 1(a ∈ R ) ．（1） a = 6 时，直线 y = -6x + m 与 f (x ) 相切，求 m 的值；（2）若函数 f (x ) 在(0, +∞) 内有且只有一个零点，求此时函数(x ) 的单调区间；（3）当 a > 0 时，若函数 f (x ) 在[-1 , 1]上的最大值和最小值的和为 1，求实数 a 的值．9．（2018•镇海期末）已知函数 f (x ) = 1 x 3 + 1．3 2（1）求曲线 y = f (x ) 在点 5 6处的切线与 x 轴和 y 轴围成的三角形面积；（2）若过点(2, a ) 可作三条不同直线与曲线 y = f (x ) 相切，求实数 a 的取值范围．10．（2018•太原期末）若 x = 2 是函数 f (x ) = ax 3 - 3x 2 的极值点．（1）求 a 的值；（2）若 x ∈[n ，m ] 时， -4 f (x ) 0 成立，求 m - n 的最大值．11．（2018•佛山期末）已知函数f (x) =x3 + 3ax2 + 3(a2 -l)x ．（1）若 f (x) 在x = 1处取得极小值，求 a 的值；（2）设x ，x 是g(x) =f (x) - 6ax2 - 3a2 x + 5a(a > 0) 的两个极值点，若g(x ) +g(x ) 0 ，求a 的最小值．1 2 1 2303。

三次函数性质探述

三、三次函数的极值
三次函数的极值情况如何呢？由推论３及函数ｆ ′（ｘ）
的符号不难得到：
定理４当ｂ２－３ａｃ＜０时，ｆ（ｘ）无极值；当ｂ２－３ａｃ＞０
时，（ｆｘ）在ｘ＝ｘ１和ｘ＝ｘ２处有两个极值．推论４（１）当ａ＞０且ｂ２－３ａｃ＞０时，（ｆｘ）在ｘ＝ｘ１处有
至此可知，当ｂ２－３ａｃ＞０时，三次函数（ｆｘ）图象上有两
个极值点Ｐ（１ｘ１，（ｆｘ１））、Ｐ（２ｘ２，（ｆｘ２）），那么，这两个点Ｐ１，Ｐ２与函数图像对称中心点有何关系呢？我们可以发现：
定理５当ｂ２－３ａｃ＞０时，三次函数图象上的两个极
备课参考
三次函数性质探述
□ 管宏斌
（通州高级中学，江苏通州２２６３００）
中学数学已对二次函数性质作出了系统、严格而“近乎完美”的研究，但是关于三次函数性质的讨论则几乎没有涉及．三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体．通过它可以考察学生的探究能力和创新能力．但是，对于它的图像性质，比如它是否具有对称性等，广大师生往往不甚了解．翻阅各种资料、杂志，我们发现不少的研究者仅从怎样求导、求极值、求单调区间等角度进行一些浅表的
６
１５
求的分配方法种数共有Ａ６－Ａ２Ａ５＝（６－２） ×５！＝４８０；
解法４：运用位置排除法．先不考虑限制条件，每人分
６
担一种工作，共有Ａ６种方法，而从除甲外的５人中每次任

三次函数性质解析版

三次函数的图像及性质形如的函数叫做三次函数，其中是自变量，是常数。

它具有以下性质：1、图像、单调区间与极值三次函数求导以后是二次函数，，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：2、零点个数△=，若方程的判别式，则在R 上是单调函数，无极值，值域为，故有唯一的零点。

若方程的判别式，方程有两个不等的实根、，它们是函数的极值点，则：（i ）当时，有一个零点；（ii ）当时，有两个零点；32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠x ,,,a b c d2()32f x ax bx c '=++xx 0a >0a <)3(412422ac b ac b -=-()0f x '=0∆≤()f x (,)-∞+∞()0f x '=0∆>1x 2x ()f x 12()()0f x f x ⋅>()fx xxxx12()()0f x f x ⋅=()f x（iii ）当时，有三个零点。

3、对称中心三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称. 证1 易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称. 4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数（1） (2012·大纲全国高考)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1答案：A（2）函数f(x)=x 3-3x 2+x -1的图象关于（）对称A 、直线x=1B 、直线y=xC 、点(1,-2)D 、原点(3)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＝( )A ．－8 066B ．－4 033C ．8 066D ．4 033xxxx12()()0f x f x ⋅<()fx xx)0()(23>+++=a d cx bx ax x f ))3(,3(abf a b --)('x f a b x 3-=abx 3-=)3()3)(3()3()(2323abf a b x a b c a b x a d cx bx ax x f -++-++=+++=x ab c ax x g )3()(23-+=)(x f ))3(,3(a b f a b --2条1条【解析】由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017，则S ＝f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017，所以2S ＝4 033×(－4)＝－16 132，S ＝－8 066.解析由f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象关于成中心对称知选C（4）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（）A 、b ∈(-∞,0)B 、b ∈(0,1)C 、b ∈(1,2)D 、b ∈(2,+ ∞解析显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x -1)(x -2)知a>0，又 f(x)= ax 3-3ax 2+2ax 比较系数可知b=-3a<0，故选A(5) 试确定的a,b,c,d 符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0）（6）（2013课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ）（A ）x α∈R,f(x α)=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则解析：由三次函数值域为R 知f(x)=0有解，A 正确；由性质可知B 正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则由两个不相等的实数根,,则f(x)在（-∞,x 1)上为增函数，在上为减函数，在（x 2，,)上为增函数，故C 错。

三次函数图像与性质(解析版)

专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。

以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。

∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。

专题17 三次函数的图像与性质(解析版)

专题17 三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,则实数a 的取值X 围是．【答案】3(2)2-，【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方程(Ⅰ)20x ax ax ≥⎧⎨-=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论(1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即30260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一根,首先60a +>,其次解得的负根需满足0a <≤,从而解得302a -<≤,(2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即30260a x ax x ax ⎧>⎪<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>,a≥,从而解得02a <≤,但前面已经指出2a ≠,故02a <<,综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3(,2)2-.例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x3，x ≤0，－2x ，x ＞0.)当x ∈(－∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),则实数m 的取值X 围是________．【答案】 [－2,8]【解析】思路分析由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质,然后根据f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),求出它的值等于－16时的x 的值,借助于函数f (x )的图像来对m 的取值X 围进行确定．当x ≤0时,f (x )＝12x －x 3,所以f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0,则x ＝－2(正值舍去),所以当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )＜0,此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时,f ′(x )＞0,此时f (x )单调递增,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时,f (x )＝－2x 单调递减,f (0)＝0,f (8)＝－16,因此,根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]．解后反思根据函数的解析式来得到函数的相关性质,然后由此画出函数的图像,借助于函数的图像可以有效地进行解题,这就是数形结合的魅力．题型二三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究.要特别注意含参的讨论.例3,已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =．(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点；(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式；(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间．解析 (1)2()36f x x x a '=-+,(2)f a '=,过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-,即4y ax =-,它恒过点(0,- 4)；(2)()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤．当0x =时,上式恒成立；当(0,2]x ∈时,即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立,设2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+, ①当94a ≥时,2max |3|x x a -+在0x =时取得,∴()h a a =；②当94a <时,2max 99(),984|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤；由①②,得9(),8()99()48a a g a a a ⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤； (3)32()3f x x x ax =-+,22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-,令()0f x =,得0x =或230x x a -+=,当94a <时,由230x x a -+=,解得132x =232x =令()0f x '=,得23(1)30x a -+-=,当3a <时,由23(1)30x a -+-=,解得31x =41x =+1)当3a ≥时,()y g x =的单调增区间为(0,)+∞；2)当934a <≤时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞；3)当904a <<时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞．例4,(2018某某期末) 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1,2]上单调递增,则实数a 的取值X 围是________．【答案】 (－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞思路分析由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|.令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a,则g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)．令g ′(x)＝0得x 1＝－1,x 2＝2a －13.①当2a －13<－1,即a<－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<2a －13或x>－1；令g ′(x)<0,解得2a －13<x<－1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,a),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1,满足条件,故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1)②当2a －13＝－1,即a ＝－1时,f(x)＝|(x ＋1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),满足条件,故a ＝－1.,图2)③当2a －13>－1,即a>－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<－1或x>2a －13；令g ′(x)<0,解得－1<x<2a －13.所以g(x)的单调增区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，＋∞,单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13,(a,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，a ,要使f(x)在[－1,2]上单调递增,必须满足2≤2a －13,即a ≥72,又因为a>－1,故a ≥72(此种情况函数f(x)图像如图3)．综上,实数a 的取值X 围是(－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.,图3)例5,(2018某某期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －ax ，x ≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时,求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0,＋∞)上有实数解,某某数a 的取值X 围；规X 解答 (1) 当a ＝2时,f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －2x ，x ≥0.①当x<0时,f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立,所以f(x)在(－∞,0)上递减；(2分)②当x ≥0时,f ′(x)＝e x －2,可得f(x)在[0,ln 2]上递减,在[ln 2,＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0,所以f(x)的单调递减区间是(－∞,0)和[0,ln 2],单调递增区间是[ln 2,＋∞)．(5分)(2) 当x>0时,f(x)＝e x －ax,此时－x<0,f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2.所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x在区间(0,＋∞)上有实数解．(6分) 记g(x)＝x 2＋x ＋3x ,x ∈(0,＋∞),则g ′(x)＝2x ＋1－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2.(7分) 可得g(x)在(0,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,且g(1)＝5,当x →＋∞时,g(x)→＋∞.(9分)所以g(x)的值域是[5,＋∞),即实数a 的取值X 围是[5,＋∞)．(10分)题型三三次函数的极值与最值问题①利用导数刻画函数的单调性,确定函数的极值；② 通过分类讨论,结合图象,实现函数的极值与零点问题的转化.函数,方程和不等式的综合题,常以研究函数的零点,方程的根,不等式的解集的形式出现,大多数情况下会用到等价转化,数形结合的数学思想解决问题,而这里的解法是通过严谨的等价转化,运用纯代数的手段来解决问题的,对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高,此题也可通过数形结合的思想来解决问题,可以一试.例6,(2018苏锡常镇调研)已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． (1)若20a b +=,① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示)；② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在,试求出a 的值；若不存在,请说明理由；规X 解答 (1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,得22()32f x x ax a '=+-,令()0f x '=,解得3ax =或a x -=.由0>a 知,(,)()0x a f x '∈-∞->，,)(x f 单调递增,(,)()03a x a f x '∈-<，,)(x f 单调递减,(,)()03ax f x '∈+∞>，,)(x f 单调递增,因此,)(x f 的极大值为3()1f a a -=+,)(x f 的极小值为35()1327a a f =-. ② 当0a =时,0b =,此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+,)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有335(1)(1)027a a +-<,即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<,则123()()()0f x f x f x ===,3221111()10f x x ax a x =+-+=, ①3222222()10f x x ax a x =+-+=, ②3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,因为310x x ->,所以2310x x x a +++=,又1322x x x +=,所以23ax =-.所以()03af -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,因此,存在这样实数a =满足条件.例7,(2017⋅某某)已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域；(2)证明：33b a >；(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值X 围．解析(1)2'()32f x x ax b =++有零点,24120a b ∆=->,即23a b >,又''()620f x x a =+=,解得3a x =-,根据题意,()03a f -=,即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得2239b a a =+,又203a a b >⎧⎨>⎩,所以3a >,即223(3)9b a a a =+>；(2)设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-=-+=--,而3a >,故()0g a >,即23b a >；(3)设12,x x 为()f x 的两个极值点,令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-, 法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a =-+=-++=．记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ,12()()0f x f x +=,2'()33a a f b -=-, 则221237()()()'()3392a a a S a f x f x f b a =++-=-=--≥, 而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-,故36a <≤．法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称,233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a ax b x f =++-++-,所以()()2()0333a a a f x f x f --+-+=-=,所以12()()0f x f x +=,下同法一．例8,(2018某某学情调研)已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3,求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0,＋∞),f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值X 围；(3) 若a ＞1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值,最小值分别为M (a ),m (a ),记h (a )＝M (a )－m (a ),求h (a )的最小值．思路分析第(3)问,欲求函数f(x)在区间[1,2]上的最值M(a),m(a),可从函数f(x)在区间[1,2]上的单调性入手,由于f ′(x)＝6(x －1)(x －a),且a ＞1,故只需分为两大类：a ≥2,1＜a ＜2.当1＜a ＜2时,函数f(x)在区间[1,2]上先减后增,进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值,由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.规X 解答 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a,所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝6a,所以6a ＝3,所以a ＝12.(2分)(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x对任意x ∈(0,＋∞)恒成立,所以－(a ＋1)≥2lnxx2.(4分)令g(x)＝2lnx x2,x ＞0,则g ′(x)＝2（1－2lnx ）x3.令g ′(x)＝0,解得x ＝ e.当x ∈(0,e)时,g ′(x)＞0,所以g(x)在(0,e)上单调递增；当x ∈(e,＋∞)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(e,＋∞)上单调递减．所以g(x)max ＝g(e)＝1e,(6分)所以－(a ＋1)≥1e ,即a ≤－1－1e,所以a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1－1e .(8分)(3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a),令f ′(x)＝0,则x ＝1或x ＝a.(10分)f(1)＝3a －1,f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.①当1＜a ≤53时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2),所以M(a)＝f(2)＝4,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0,所以h(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53上单调递减,所以当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53时,h(a)的最小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(12分)②当53＜a ＜2时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2),所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2上单调递增,所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2时,h(a)＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(14分)③当a ≥2时,当x ∈(1,2)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(2)＝4,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5,所以h(a)在[2,＋∞)上的最小值为h(2)＝1.综上,h(a)的最小值为827.(16分)二、达标训练1,(2017某某暑假测试) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，x3，－1≤x ≤1，)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则实数k 的取值X 围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12【解析】思路分析方程f (x )＝k (x ＋1)的实数根的个数可以理解为函数y ＝f (x )与函数y ＝k (x ＋1)交点的个数,因此,在同一个坐标系中作出它们的图像,由图像来观察它们的交点的个数．在同一个直角坐标系中,分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图像,则函数f (x )max ＝f (1)＝1,设A (1,1),B (－1,0),函数y ＝k (x ＋1)过点B ,则由图可知要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则0＜k ＜k AB ＝12.2,(2017苏北四市期末) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，x ＜1，x3－9x2＋25x ＋a ，x ≥1，)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同的公共点,则实数a 的取值集合为________．【答案】 {－20,－16}【解析】当x ＜1时,f(x)＝sin x,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sinx ，y ＝x ，得x －sin x ＝0,令u(x)＝x －sin x(x ＜1),则u ′(x)＝1－cos x ≥0,所以函数u(x)＝x －sin x(x ＜1)为单调增函数,且u(0)＝0,所以u(x)＝x －sin x(x ＜1)只有唯一的解x＝0,这表明当x ＜1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y ＝x 有3个不同的公共点,从而当x ≥1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有2个公共点．当x ≥1时,f(x)＝x 3－9x 2＋25x ＋a,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x3－9x2＋25x ＋a ，y ＝x ，得a ＝－x 3＋9x 2－24x,令h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1),则h ′(x)＝－3x 2＋18x －24＝－3(x －2)(x －4)．令h ′(x)＝0得x ＝2或x ＝4,列表如下：32数a ＝－20或a ＝－16.综上所述,实数a 的取值集合为{－20,－16}．3,(2019某某,某某二模)已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0,3120,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1,且函数y ＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限,则实数k 的取值X 围为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－9，13【解析】解法1 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|－（kx ＋1），x ≤0，x 3－（k ＋12）x ＋2，x>0，若其图像经过四个象限．①当x>0时,y ＝x 3－(k ＋12)x ＋2,当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第一象限和第四象限,则存在x>0,使y＝x 3－(k ＋12)x ＋2<0,则k ＋12>x 2＋2x ,即k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋2x min .令h(x)＝x 2＋2x (x>0),h ′(x)＝2x －2x2＝2（x3－1）x2,当x>1时,h ′(x)>0,h(x)在(1,＋∞)上递增；当0<x<1时,h ′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,当x ＝1时取得极小值,也是最小值,h(x)min ＝h(1)＝3,所以k ＋12>3,即k>－9.②当x ≤0时,y ＝|x ＋3|－(kx ＋1),当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x<0,使y ＝|x ＋3|－(kx ＋1)<0,则k<|x ＋3|－1x,即k<⎝⎛⎭⎪⎫|x ＋3|－1x max .令φ(x)＝|x ＋3|－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－4x ，x ≤－3，1＋2x ，－3<x<0，易知φ(x)在(－∞,－3]上单调递增,在(－3,0)上单调递减,当x ＝－3时取得极大值,也是最大值,φ(x)max ＝φ(－3)＝13,故k<13.综上,由①②得实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.解法2 可根据函数解析式画出函数图像,当x>0时,f(x)＝x 3－12x ＋3,f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2),可知f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,＋∞)上单调递增,且 f(2)＝－13<0,当x ≤0时,f(x)＝|x ＋3|.g(x)＝kx ＋1恒过(0,1),若要使y ＝f(x)－g(x)经过四个象限,由图可知只需f(x)与g(x)在(－∞,0)和(0,＋∞)上分别有交点即可(交点不可为(－3,0)和切点)．①当k>0时,在(0,＋∞)必有交点,在(－∞,0)区间内,需满足0<k<13.②当k<0时,在(－∞,0)必有交点,在(0,＋∞)内,只需求过定点(0,1)与函数f(x)＝x 3－12x ＋3(x>0)图像的切线即可,设切点为(x 0,x30－12x 0＋3),由k ＝3x20－12＝x30－12x 0＋3－1x 0,解得x 0＝1,切线斜率k ＝－9,所以k∈(－9,0)．③当k ＝0也符合题意．综上可知实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.4,(2018苏中三市,苏北四市三调)已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩，，，的图象恰好经过三个象限,则实数a 的取值X 围是 ▲ ．【答案】a ＜0或a ＞2【解析】当a ＜0时,10y ax x =-，≤的图象经过两个象限,3|2|0y x ax x =-+->在 (0,+∞)恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a ＜0时显然满足题意；当a ≥0时,10y ax x =-，≤的图象仅经过第三象限,由题意 3|2|0y x ax x x =-+->，的图象需经过第一,二象限．【解法1】(图像法)3|2|y x x =+-与y ax =在y 轴右侧的图象有公共点(且不相切)．如图,3|2|y x x =+-=332,022,2x xx x xx,设切点坐标为3000(,2)x x x ,231yx,则有32000231x x x x ,解得01x ,所以临界直线l 的斜率为2,所以a ＞2时,符合．综上,a ＜0或a ＞2．【解法2】(函数最值法)由三次函数的性质知,函数图象过第一象限,则存()g x 在0x,使得3|2|0,yxax x即2|2|x a xx 设函数22221,02|2|()21,2x x x x g x x xx x x,当02x,322222()2x g x xx x()g x 在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增,又2x时,函数为增函数,所以函数的最小值为2,所以a ＞2,则实数a 的取值X 围为a ＜0或a ＞2．5,(2019某某期末)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a,b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时,求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时,若函数f (x )恰有两个不同的零点,求b a的值；(3) 当a ＝0时,若f (x )<ln x 的解集为(m ,n ),且(m ,n )中有且仅有一个整数,某某数b 的取值X 围．解后反思在第(2)题中,也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外,由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点,可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开,得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4,所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t2＝0，－st2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时,f(x)＝x 3＋x 2－4,f ′(x)＝3x 2＋2x.(2分)令f ′(x)>0,解得x>0或x<－23,所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(0,＋∞)．(4分)(2)法一：f ′(x)＝3ax 2＋2bx,令f ′(x)＝0,得x ＝0或x ＝－2b3a,(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点,所以f(0)＝0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0.当f(0)＝0时,得a ＝0,不合题意,舍去；(8分)当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0时,代入得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a 2－4a ＝0,即－827⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3＋49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3－4＝0,所以ba ＝3.(10分)法二：由于a ≠0,所以f(0)≠0,由f(x)＝0得,b a ＝4－x3x2＝4x2－x(x ≠0)．(6分)设h(x)＝4x2－x,h ′(x)＝－8x3－1,令h ′(x)＝0,得x ＝－2, 当x ∈(－∞,－2)时,h ′(x)<0,h(x)递减；当x ∈(－2,0)时,h ′(x)>0,h(x)递增,当x ∈(0,＋∞)时,h ′(x)>0,h(x)单调递增,当x>0时,h(x)的值域为R ,故不论b a取何值,方程b a＝4－x3x2＝4x2－x 恰有一个根－2,此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分)(3)当a ＝0时,因为f (x )<ln x ,所以bx 2<ln x ,设g (x )＝ln x －bx 2,则g ′(x )＝1x－2bx ＝1－2bx2x(x >0),当b ≤0时,因为g ′(x )>0,所以g (x )在(0,＋∞)上递增,且g (1)＝－b ≥0,所以在(1,＋∞)上,g (x )＝ln x －bx 2≥0,不合题意；(11分)当b >0时,令g ′(x )＝1－2bx2x＝0,得x ＝12b,所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12b 递增,在⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ，＋∞递减, 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ＝ln12b －12,要使g (x )>0有解,首先要满足ln12b －12>0,解得b <12e. ①(13分)又因为g (1)＝－b <0,g (e 12)＝12－b e>0,要使f (x )<ln x 的解集(m ,n )中只有一个整数,则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4b>0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b <ln24. ②(15分)设h (x )＝lnx x,则h ′(x )＝1－lnx x2,当x ∈(0,e)时,h ′(x )>0,h (x )递增；当x ∈(e,＋∞)时,h ′(x )<0,h (x )递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e>h (2)＝ln22,所以12e >ln24,所以由①和②得,ln39≤b ＜ln24.(16分)(注：用数形结合方法做只给2分)6,(2019某某,某某一模)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0,1)上无极值点,求t 的取值X 围；(2) 求证：对任意实数t ,函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时,函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4,求满足此条件的平行线共有几组．规X 解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1,得f ′(x)＝3x 2－2tx.由f ′(x)＝0,得x ＝0,或x ＝23t.因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以23t ≤0或23t ≥1,解得t ≤0或t ≥32.(4分)(2)令f ′(x)＝3x 2－2tx ＝p,即3x 2－2tx －p ＝0,Δ＝4t 2＋12p.当p ＞－t23时,Δ＞0,此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1,x 2.(8分)设这两条切线方程为分别为y ＝(3x21－2tx 1)x －2x31＋tx21＋1和y ＝(3x22－2tx 2)x －2x32＋tx22＋1.若两切线重合,则－2x31＋tx21＋1＝－2x32＋tx22＋1,即2(x21＋x 1x 2＋x22)＝t(x 1＋x 2),即2＝t(x 1＋x 2)．而x 1＋x 2＝2t 3,化简得x 1·x 2＝t29,此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t29－4t29＝0,与x 1≠x 2矛盾,所以,这两条切线不重合．综上,对任意实数t,函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行．(10分)(3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1,f ′(x)＝3x 2－6x.由(2)知x 1＋x 2＝2时,两切线平行．设A(x 1,x31－3x21＋1),B(x 2,x32－3x22＋1),不妨设x 1＞x 2,则x 1＞1.过点A 的切线方程为y ＝(3x21－6x 1)x －2x31＋3x21＋1.(11分)所以,两条平行线间的距离 d ＝|2x32－2x31－3（x22－x21）|1＋9（x21－2x 1）2＝|（x2－x1）|1＋9（x21－2x 1）2＝4,化简得(x 1－1)6＝1＋92,(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ＞0),则λ3－1＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0.显然λ＝1为一解,λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根,所以这样的λ有3解．因为x 1－1＞0,所以x 1有3解,所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)7,(2018某某,某某一调)已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a,b ∈R )有极值,且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点,其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时,若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a ),证明：M (a )<－73.思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为－a －1,则g ′(－a －1)＝0且g ′(x)＝0有两个不等的实数解,解之得b 与a 的关系．(2) 求导得F ′(x)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3),解方程F ′(x)＝0时,无法解方程e x －3x ＋a ＋3＝0,构造函数h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,证得h(x)>0,所以－a －1为极小值点,而且得出M(a),利用导数法证明即可．规X 解答 (1) 因为f ′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ,令f ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,f(x)取得极小值．(2分)因为g ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b,由题意可知g ′(－a －1)＝0,且Δ＝4a 2－12b>0,所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0,化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0,得a ≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx),所以F ′(x)＝f ′(x)－g ′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,则h ′(x)＝e x －3,令h ′(x)＝0,解得x ＝ln 3.列表如下：所以x ＝ln 3时,h(x)取得极小值,也是最小值,此时,h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a＝3ln e23＋a>a>0.(10分)所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0,令F ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,F(x)取得极小值,也是最小值．所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1,则t<－1,记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2,t<－1,则m ′(t)＝－e t ＋3t 2－2t,t<－1.因为－e －1<－e t <0,3t 2－2t>5,所以m ′(t)>0,所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73,即M(a)<－73.(16分)。

三次函数性质的研究及应用举例

，
（一∞ ，）和（：＋∞）。，上（）＜０ｙ＝（是减，厂）函数；Ｘ，），）＞０Ｙ＝在（．上＿（厂，）是增函数；三次函数）＝，）的图象如图６所示：
Ｊｌ
）和（＋ｏ）Ｘ，。上（）＞０ｙ＝．）增函，厂是（
个极值点；
增函数；当Ｅ（。），Ｘ，时Ｙ＝－）厂是减函数．且，（而
当＝时。
个极值点；
）有极大值。；）当＝时
）有
② 当ｂ一３ｃ＝０时，ａ该方程有两个等根：。＝
：Ｘ）＝３ｘ＋ｂｃｆ（ａ２ｘ＋的图象如下图７所示：在
三次函数性质的研究及应用举例
河北省吴桥县吴桥中学近几年，高考和一些重大考试中频繁出现与三在
次函数有关的题目，在很多省市的高考试卷中都出现了这个函数的单独命题，甚至以压轴题的形式出现，这足以说明，三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，本文试图用初等数学方法较全面地探讨一下它的图象、性质及简单应用．
数；，：上，在（）厂（）＜０Ｙ＝，函数Ｙ＝，）的图象如图２所示：（
）是减函数；三次
ｌ
ｆ、＼厂＼
＼／
。
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２
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、
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ＩＬ／～
图５
图６
＼ｊ／／
图１图２
不难得到：６若一３ｃ＞０当 ∈ （，ｉ时，ａ，一ｘ）Ｙ＝）减函数；是当（：＋），＝，时Ｙ）是

三次函数性质总结.

三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．其中运用的较多的一次函数不等式性质是：()0>f在[m，n]上恒成立的充要条件x()0>fm()0>fn接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：图1 图2利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。

定义2、三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠，把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。

特别是文科。

系列探究1：从最简单的三次函数3x y =开始反思1：三次函数31y x =+的相关性质呢？反思2：三次函数31y x =-+的相关性质呢？反思3：三次函数()311y x =-+的相关性质呢？（2012天津理）（4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 B （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3系列探究2：探究一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质：先求导2()32(0)f x ax bx c a '=++>1．单调性：（1）若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在R 上是增函数；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则()f x 在12(,),()x x -∞+∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减。

三次函数的图象和性质

三次函数的图象和性质
熊启龙
【期刊名称】《东西南北》
【年(卷),期】2018(000)017
【摘要】三次函数的有关内容已成为高考、竞赛及其它各类考试命题的热点，是学习导数的一个很好的载体，同时它又与三次方程、三次不等式有着密不可分的联系，因此研究、总结、归纳三次函数的图象、性质及应用就显得很有必要。

本文就这方面的有关问题进行分析探索，以期能对大家的学习有所帮助。

【总页数】1页(P461-461)
【作者】熊启龙
【作者单位】湖北省仙桃市第八中学
【正文语种】中文
【中图分类】H319
【相关文献】
1.立足生本课堂培养数学素养r——"三次函数的图象和性质"教学设计 [J], 张亮;田泽华
2.过程生动思维真实体悟真切r——兼评张亮执教的"三次函数的图象和性质"一课[J], 严必友
3.构建探究途径深化数学思维——以“三次函数的图象和性质”教学为例 [J], 张亮
4.谈初中经验上的高中数学教学设计——以"探究三次函数的图象与性质"为例 [J],
刘炜
5.“一元三次函数的图象和性质”教学纪实与反思 [J], 李爽
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三次函数的图象和性质

三次函数的图象和性质曹一洪【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2016(000)007【总页数】3页(P57-59)【作者】曹一洪【作者单位】广东省中山市中山纪念中学 528454【正文语种】中文二次函数由顶点坐标、对称轴、开口方向(即凸凹)可以比较准确地作出它的图象.对于三次函数，它的导函数是二次函数，利用其导函数性质可以比较准确地作出三次函数的图象.下面着重研究当a>0时，函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象和性质，对于a<0的图象和性质可以由函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称而得到.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的导函数是二次函数，导函数f′(x)的对称轴，导数的几何意义是切线斜率，所以函数y=f(x)图象上的切线斜率的最小值是).因为3a>0，二次函数f′(x)在区间上是减函数，所以函数f(x)的图象在区间上是凸的；导函数f′(x)在区间上是增函数，所以函数f(x)图象在区间上是凹的;在处导数取最小值的点是函数f(x)图象的拐点(如图1).三次函数的图象是关于这个拐点成中心对称图形的.证明如下：设点P(x0,y0)是f(x)图象上任意一点，所以，设点P关于点M的对称点为P1(x1,y1)，由中点坐标公式有⟹又,所以).下面我们证明点P1(x1,y1)在函数f(x)的图象上.因为,所以).将(1)式代入得,由(2)式得f(x1)=y1，所以点P1(x1,y1)在函数f(x)的图象上.因此,f(x)图象上任意一点P(x0,y0)关于点的对称点P1(x1,y1)也在f(x)的图象上，所以函数f(x)的图象关于它的拐点是成中心对称图形的，图象在其对称中心两侧,一侧是凸，另一侧是凹.设函数f(x)在处的切线为l，由(*)式可知直线l过点，斜率为，直线l的方程设为y=k0x+n0.设g(x)=f(x)-k0x-n0.由于g′(x)=f′(x)-k0≥0,所以g(x)在(-∞,+∞)上是增函数，又点是直线l和f(x)公共点，，所以当时，g(x)在上是增函数，故.所以f(x)-(k0x+n0)<0,即f(x)<k0x+n0.所以在区间上，直线l在函数f(x)图象的上方.当时，g(x)在上是增函数，所以.故f(x)-(k0x+n0)>0,即f(x)>k0x+n0,所以在区间上,直线l在函数f(x)图象的下方.当时，也是导函数二次式f′(x)=3ax2+2bx+c的判别式Δ=4b2-12ac≤0时，f′(x)≥0，函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，没有极值点.当Δ>0时，f′(x)=0有两根x1,x2(x1<x2)，则f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)，又3a>0，当x<x1或x>x2时，f′(x)>0，函数f(x)在(-∞,x1)∪(x2,+∞)上都是增函数；当x1<x<x2时，f′(x)<0，函数f(x)在(x1,x2)上是减函数，f(x1)是f(x)的极大值，f(x2)是f(x)的极小值，两极值点的中点，也就是拐点的横坐标.综合以上对三次函数图象性质的研究，我们可以像作二次函数图象一样，利用函数图象特征量，比较准确地作出三次函数的图象.例1 作出函数的图象.解因为f′(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0，所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.当x=1时，切线斜率的最小值是k0=f′(1)=1，此处切线的倾斜角取最小值，过点作出斜率为k0=1的直线l.当x<1时，函数f(x)的图象在直线l的下方，且上凸；当x>1时，函数f(x)的图象在直线l的上方，且下凹.参考f(0)=1和点(0,1)关于拐点的对称点，可以作出f(x)的图象(图2).例2 作出函数的图象.解因为f′(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，当x=1时，f′(x)的最小值为0，此处切线倾斜角取最小值为0°，又，过点作斜率为0的直线l.当x<1时，图象在直线l下方，且上凸；当x>1时，图象在直线l上方，下凹，参考f(0)=2和点(0,2)关于拐点的对称点，可以作出函数f(x)的图象(图3).例3 作出函数的图象.解因为f′(x)=x2-2x=x(x-2)=(x-1)2-1，所以当x=1时，f′(x)的最小值为-1，即f(x)在x=1处的切线l斜率的最小值为-1.当x<0或x>2时，f′(x)>0，f(x)的增区间是(-∞,0)∪(2,+∞)；当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)的减区间是(0,2).所以当x=0时，f(x)有极大值f(0)=1；当x=2时,f(x)有极小值,又，从而可以作出f(x)的图象(图4). 所以作三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象时，先求出f′(x)，它是二次函数，求出它的最小值点，得到拐点的横坐标和拐点处的切线斜率，从而作出这条切线l，当判别式Δ≤0时，函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，在切线的左、右两侧图象分别上凸下凹作出图象，适当取两个关于拐点的对称点，作图可以更准确.当导函数f′(x)的判别式Δ>0时，方程f′(x)=0的两根x1,x2(x1<x2)分别是f(x)的极大值点和极小值点，利用f(x)在(-∞,x1)∪(x2,+∞)上是增函数，在(x1,x2)上是减函数作出图象，描出两个极值点和注意拐点处切线两侧图象分别上凸下凹，作图可以更准确.以上三个例子分别代表了三次函数图象的三种情况，即其导函数的二次式的判别式小于零、等于零、大于零.当a>0,x→+∞时，f(x)的值与ax3同号，值都趋向于正无穷大；当a>0,x→-∞时，f(x)的值与ax3同号，值都趋向于负无穷大.设E(m,n)是平面内任一点，过点E的直线与f(x)的图象相切于点H(x0,f(x0))，所以切线方程为，点E(m,n)在切线上，点E(m,n)的坐标代入上式,得，整理得,所以过点E有几条切线等价于这个方程有几个根，也等价于函数g(x)=2ax3+(b-3am)x2-2bmx+n-d-cm有几个零点，由前面三次函数的图象和性质可知，g(x)至少有一个零点，最多有三个.例4 设函数f(x)=x3-x，过点(1,b)有三条直线与曲线y=f(x)相切，求b的取值范围. 解因为f′(x)=3x2-1，设切点为(x0,f(x0))，所以切线方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).即).点(1,b)代入上式,得.设g(x)=2x3-3x2+1+b. 因为过点(1,b)与曲线y=f(x)相切的直线有三条⟹方程g(x)=0有三个实根⟹函数g(x)有三个零点.g′(x)=6x2-6x=6x(x-1).令g′(x)=0得x=0或x=1.当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时，g′(x)>0，所以g(x)是增函数；当x∈(0,1)时，g′(x)<0，所以g(x)是减函数.g(0)和g(1)分别是g(x)的极大值和极小值，g(x)的大致图象如图5所示，常数b决定了g(x)图象的上下平移量.当g(0)=1+b>0且g(1)=b<0时，即当-1<b<0时，此时有g(-1)=-4+b<0,g(2)=5+b>0，从而g(x)有三个零点.因此,当-1<b<0时，过点(1,b)有三条直线与曲线y=f(x)相切.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象有对称中心，它的导函数f′(x)=3ax2+2bx+c是有对称轴的二次函数.这个二次函数的导函数f″(x)=6ax+2b的图象有对称中心.而这个一次函数的导函数f‴(x)=6a是有对称轴的常函数.。

导数之三次函数图像与性质ppt

5 5 ，极小值-1，当 a 或 a 1 时 27 27
函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 只有一个交点，所以当 a ( ，
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
本课小结
3
几何画板
f ( x) ax bx cx d (a 0)
3 2
2 f ( x) 3ax 2bx c
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
a 0, 0
y y
x1 O
x2
x2 x x1
f ( x) ax bx cx d (a 0)
1 )上 3
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
方法二：将 f ( x ) 与 x 轴交点问题转化为函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 的交点个数问题
y=-a
y
5 27
x
-1
易求函数 g ( x ) x 3 x 2 x 的极大值
方法一: 转化为a>0利用图像方法二: 利用图象
例 3 设 a 为实数，函数 f ( x ) x 3 x 2 x a 。（Ⅰ）求 f ( x ) 的极值；（Ⅱ）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x )与x 轴仅有一个交点。
解法分析：
1 5 对于问题（Ⅰ）易得 f(x)的极大值是 f ( ) a ，极小值是 f (1) a 1 3 27
三次函数图像与性质
复习:二次函数的图象与性质
函数二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0） a>0

高考数学专题复习：三次函数图像与性质及其应用

三次函数的图像与性质及应用一. 基本命题原理对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下： 1.根的个数（0>a ）.对于三次函数，其导函数为二次函数:，二次函数的判别式化简为：△=，（1）若，则恰有一个实根；（2）若,且，则0)(=x f 恰有一个实根；（3）若,且，则0)(=x f 有两个不相等的实根；（4）若,且，则0)(=x f 有三个不相等的实根.注：由图像可知：①0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴只相交一次，即)(x f 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以032≤−ac b （或032>−ac b ，且0)()(21>⋅x f x f ）.②0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以032>−ac b ，且0)()(21=⋅x f x f .③0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故032>−ac b 且0)()(21<⋅x f x f .)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f )0(23)(2'≠++=a c bx ax x f ()0f x =d cx bx ax x f +++=23)()0(23)('2≠++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 0)(=x f 032>−ac b 0)()(21>⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21=⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21<⋅x f xf2.极值情况：三次函数（0>a ）,导函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：△=，（1）若，则)(x f 在),(+∞−∞上为增函数；（2）若，则)(x f 在和上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中. 证明：c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(412422ac b ac b −=−，（1）当0≤∆ 即032≤−ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立，即)(x f 在),(+∞−∞为增函数.（2）当0>∆ 即032>−ac b 时，解方程0)('=x f ，得由0)('>x f 得1x x <或2x x >，)(x f 在),(1x −∞和),(2+∞x 上为增函数.由0)('<x f 得21x x x <<，)(x f 在),(21x x 上为减函数.总结以上得到结论:三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（0>a ）（1）若032≤−ac b ，则)(x f 在R 上无极值；（2）若032>−ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.d cx bx ax x f +++=23)()0(23)(2'>++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 032>−ac b ),(1x −∞),(2+∞x aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=3.对称中心三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为点))3(,3(abf a b f −−，该点是三次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点.4.三次方程根与系数得关系（1）已知实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++有三个根,设为123,,.x x x123122331123,,.b c dx x x x x x x x x x x x a a a++=−++==−（2）由三次方程根与系数的关系：32()()()()().x a x b x c x a b c x ab bc ca x abc +++=+++++++5.对称中心处的切线拐点是函数凸凹性发生转换的点，即由凸转凹，或者由凹转凸，即0)(0''=x f ，当0x x <时，0)(''<x f 或0)(''>x f ，当0x x >时，0)(''>x f 或0)(''<x f .如图，点A 为函数)(x f 的拐点，做点A 处的切线，可以看到，具有单个拐点的函数)(x f y =可以看作是1个凸函数和1个凹函数通过拐点进行缝合，它们在缝合点处具有相同的切线l ，这条切线l 将平面分别两个半平面，一半包含一个凸函数，另一半包含一个凹函数二．典例应用★应用1.函数的性质考察.例 2.已知曲线3()3f x x x λ=−+在点(,())A m f m 处的切线与曲线的另外一个交点为,B P 为线段AB 的中点,O 为坐标原点.（1）求()f x 的极小值并讨论()f x 的奇偶性.（2）当函数()f x 为奇函数时,直线OP 的斜率记为k ,若34k −,求实数m 的取值范围. 解析：（1）2()333(1)(1)f x x x x '=−=+−，当11x −<<时,()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.当0λ=时3()3f x x x =−,显然3()3()f x x x f x −=−+=−，所以()f x 为奇函数.当0λ≠时(1)2,(1)2f f λλ−=+=−+，显然(1)(1)f f −≠. 且(1)(1)20f f λ−+=≠，所以()f x 为非奇非偶函数.（2）2()33f x x '=−,所以曲线在点(,())A m f m 处的切线方程为()()32333()y m m m x m λ−−+=−−，其与原曲线方程33y x x λ=−+，联立化简得:2()(2)0x m x m −+=.从而()32,86(0)B m m m m λ−−++≠.所以3732,22m m m P λ⎛⎫−++− ⎪⎝⎭,3732m m k m λ−−=.由于(0,2),18m k ∀∈；即当(0,2)m ∈时，都有32721m m λ−.令3()721h m m m =−,则2()212121(1)(1)h m m m m '=−=+−，易知当01m <<时,()0h m '<；当12m <<时,()0h m '>.即()h m 在(0,1)上递减，在(1,2)上递增，所以当(0,2)m ∈时,min ()(1)14h m h ==−，所以2147λλ−⇔−，从而实数λ的取值范国为(,7]−∞−. 注：可以看到，切点的横坐标恰好便是方程①的二重根.例3.（切割线定理）如果我们将上述的内容再结合三次函数韦达定理，就可以得到更多有趣的结论.如图，过切点A ))(,(A A x f x 的切线与三次函数)(x f y =的图象交于B 点，同时，过))(,(00x f x 的割线AD 与三次函数)(x f y =的图象交于C A D ,,三点. 我们有以下结论：三次函数切割线定理. （1）abx x B A −=+2；（2）D C B A x x x x +=+；（3）A F E x x x 2=+.证明：显然，方程①整理可得：0)())((000'23=+−−+++x f x x x f d cx bx ax .结合上述重根个数定理以及韦达定理可得：abx x B A −=+2，结论（1）证毕. （2）设直线AD 的方程为m kx y +=，代入)(x f y =的表达式结合韦达定理可得：abx x x D C A −=++,再联立a b x x B A −=+2，可证得：D C B A x x x x +=+.（3）同理，如图a bx x x E E B −=++，再联立a b x x B A −=+2，可得：A F E x x x 2=+.练习1.（2016年天津卷）设函数R b a b ax x x f ∈−−−=,,)1()(3. （1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 存在极值点0x x =，且)()(10x f x f =，其中10x x ≠，求证：3201=+x x . 解析：（2）过极值点0x x =做函数)(x f 图象的切线)(0x f y =，其与)(x f y =交点横坐标为1x x =. 将函数b ax x x f −−−=3)1()(展开可得：)1()3(3)(23+−−+−=b x a x x x f 由上述切割线定理可知：3201=+x x ，证毕.练习2. 下列关于三次函数32()(0)()f x ax bx cx d a x R =+++≠∈叙述正确的是（） ①函数()f x 的图象一定是中心对称图形； ②函数()f x 可能只有一个极值点； ③当03bx a≠−时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点； ④当03bx a≠−时，则过点()()00,x f x 的切线可能有一条或者三条． A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④由上述结论易得：A.★应用2.三次函数的切线个数例4．已知函数()33f x x x =−．（1）求()f x 在区间[]()0,0m m >上的最大值和最小值；（2）在曲线2yx 上是否存在点P ，使得过点P 可作三条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：（2）假设存在符合条件的点()2,P a a，切点设为()300,3x xx −.所以，根据导数几何意义可得：()2300200333a x x x a x −−=−−即322002330x ax a a −++=①故问题转化为关于0x 的方程①存在三个不同实根．令()322233g x x ax a a =−++，则()()2666g x x ax x x a '=−=−；当0a =时，()260g x x ='≥，()g x 单调递增，不合题意；当0a >时，易知()g x 在(),0−∞单调递增，在()0,a 单调递减，在(),a +∞单调递增，从而()()000g g a ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即2323030a a a a a ⎧+>⎨−++<⎩解得：a >0a <时，易知()g x 在(),a −∞单调递增，在(),0a 单调递减，在()0,+∞单调递增从而()()000g a g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即3223030a a a a a ⎧−++>⎨+<⎩解得：3a −<<，综上，存在符合条件的点()2,P a a，其横坐标的取值范围为⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．注.三次函数的切线条数是三次函数中典型应用之一，其实质就是在讨论三次方程根的个数，是一类非常典型的函数与方程综合问题，颇受命题人青睐.★应用3.三次方程的根与韦达定理同样是2020年全国三卷23题，不等式选做题，依然以三次方程根与系数的关系命制而成，下面予以分析，希望各位读者在高三备考时重视对三次方程根与系数关系的认识程度，有备无患！例5．设直线y t =与曲线()23C y x x =−：的三个交点分别为()()()A a t B b t C c t ，，，，，，且a b c <<．现给出如下结论：①abc 的取值范围是()04，；②222a b c ++为定值；③6a b c ++=. 其中正确结论的为解析：设()()232369y f x x x x x x ==−=−+，则()23129f x x x '=+-，令()0f x '=，解得：1x =或3x =；当1x <或3x >时，0fx，当13x <<时，()0f x '<；∴()f x 在)1,(−∞上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；当1x =时，()f x 取得极大值()14f =，当3x =时，()f x 取得极小值()30f =；作出函数()f x 的图象如图所示：∵直线y t =与曲线()23C y x x =−：有三个交点，由图象知04t ＜＜. 令()()232369g x x x t x x x t =−=+---，则a b c ，，是()0g x =的三个实根．∴()()()3269x x x t x a x b x c +=-----，即()()323269x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，∴6a b c ++=，9ab bc ac ++=，abc t =，①③正确；∴()()2222218a b c a b c ab bc ac ++=++++=-，∴②正确；综上，正确的命题序号是①②③．故答案为：①②③．★应用4.三次方程根的分布下面这道题目是2020年三卷的导数压轴题，其实质考察了三次函数的零点分布.但其却具有非常丰厚的数学背景，即三次方程根的三角形式，也是此题的命题原理.为此，此题先用函数思想求解，再给出其命题背景.例6.（2020全国3卷）设函数c bx x x f ++=3)(，曲线)(x f y =在点))21(,21(f 处的切线与y 轴垂直. （1）求b ；（2）若)(x f 有一个绝对值不大于1的零点，证明:)(x f 所有的零点的绝对值都不大于1.解析：（1）因为'2()3f x x b =+，由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,则34b =−.（2）由（1）可得33()4f x x x c =−+，故'2311()33()()422f x x x x =−=+−，令'()0f x >，得12x >或12x <−；令'()0f x <，得1122x −<<，所以()f x 在11(,)22−上单调递减，在1(,)2−∞−，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c −=−−=+=−=+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f −>或(1)0f <，即14c >或14c <−.当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−>−=+>=−>=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=−++=−<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c −−上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)−∞−上存在唯一一个零点，在(1,)−+∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c <−时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−<−=+<=−<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=++=−>，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c −上存在唯一一个零点0'x ，即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)−∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.应用5.三次函数的拐点切线例7.已知函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内各有一个极值点. （1）求24a b −的最大值；（2）当248a b −=时，设函数()y f x =在点()()1,1A f 处的切线为l ，若在点A 处穿过()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式. 解析：（1）因为函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个极值点，所以b ax x x f ++='2)(在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个实根，设两实根为1x ，2x （1x <2x ），则b a x x 4212−=−，且4012≤−<x x ，于是4402≤−<b a ，16402≤−<b a ，且当11−=x ，32=x ，即2−=a ，3−=b 时等号成立，故24a b −的最大值是16（2）由b a f ++='1)1(知)(x f 在点()()1,1A f 处的切线l 的方程是)1)(1()1(−'=−x f f y ，即a x b a y 2132)1(−−++=，因为切线l 在点A 处穿过()y f x =的图象所以]2132)1[()()(a x b a x f x g −−++−=在1=x 两边附近的函数值异号，则1=x 不是)(x g 的极值点，而a x b a bx ax x x g 2132)1(2131)(23++++−++=，且)1)(1(1)1()(22a x x a ax xb a b ax x x g ++−=−−+=++−++='，若a −−≠11，则1=x 和a x −−=1都是)(x g 的极值点，所以a −−=11，即2−=a ，又由248a b −=得1−=b ，故x x x x f −−=2331)(.五．习题演练习题1．已知函数()()23f x x x =−，若()()()f a f b f c ==，其中a b c <<，则（）A ．12a <<B ．6a b c ++=C ．2a b +>D ．abc 的取值范围是()0,4 解析：因为()()23f x x x =−，所以()231293(3)(1)f x x x x x =−=−−'+，令()0f x '=，解得：1x =或3x =，当0f x 时，3x >或1x <，所以()f x 单调递增区间为(),1−∞和()3,+∞；当()0f x '<时，13x <<，所以()f x 单调递减区间为()1,3；且(3)0f =，(1)(4)4f f ==，如图：设()()()f a f b f c t ===，则04t <<，0134a b c <<<<<<，故选项A 错误；又()()()()f x t x a x b x b −=−−−，所以()23()()()x x t x a x b x c −−=−−−，即323269()()x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，对照系数得6a b c ++=，故选项B 正确；(0,4)abc t =∈，故选项D 正确；因为34c <<，所以36()4a b <−+<，解得23a b <+<，故选项C 正确，综上，正确的选项为BCD.故选：BCD习题2.已知函数()313f x x tx t =++．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有三个不同的零点1x 、2x 、3x ,求t 的取值范围,并证明：123x x x ++<解析：（1）2()f x x t =+'①当0t 时,()0f x ',则()f x 在R 上单调递增,无递减区间；②当0t <时, ()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增（2）由（1）知函数f (x )有三个零点,则0t <∵()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增∴()f x 的极大值为2(3f t =−且极大值大于0,极小值为23f t =+∵()f x 有三个不同的零点123,,x x x ,∴203f t =+< 解得94t <−,故t 的取值范围为9,4⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭．又∵(0)0f t =<,当x →+∞时,有()f x →+∞,当x →−∞时,有()f x →−∞．∴设123x x x <<,由零点存在性定理知1230x x x <<<． ∴12x x +<又∵31233f t t t =++=−(0f => 3x <<因此123x x x ++习题3已知函数()3134f x x ax =−+,()lng x x =−．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）用{}min ,m n 表示,m n 中较小者,记函数()()(){}min ,h x f x g x =,（0x >）．若函数()h x 在0,上恰有3个零点,求实数a 的取值范围．解析：（1）()3134f x x ax =−+,x ∈R ,()233f x x a '=−当0a ≤时,0f x ,()f x 在R 上为单调递增，当0a >时,()(3f x x x '=,令0f x ,得x <x ()f x 单调递增令0f x ,得x <()f x 单调递减，综上：当0a ≤时,()f x 在(),−∞+∞为增函数当0a >时,()f x 在(,−∞和)+∞为增函数,在(为减函数（2）当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =−<,从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<,∴()h x 在（1,+∞）无零点.当x =1时,若512a ≤,则5(1)304f a =−≥,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故x =1是()h x 的零点；若512a >,则5(1)304f a =−<,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =−>,所以只需考虑()f x 在)1,0(的零点个数.（ⅰ）若0a ≤或1a ≥,则()2()3f x x a '=−在)1,0(无零点,故()f x 在)1,0(单调,而1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当1a ≥时,()f x 在)1,0(有一个零点；当0a ≤时,()f x 在)1,0(无零点.（ⅱ）若01a <<,则()f x 在）单调递减,在单调递增,故当x ,()f x 取的最小值,最小值为124f =−.①若f ＞0,即0＜a ＜14,()f x 在)1,0(无零点.②若f =0,即14a =,则()f x 在)1,0(有唯一零点；③若f ＜0,即114a <<,由于1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当15412a <<时,()f x 在)1,0(有两个零点；当5112a <<时,()f x 在)1,0(有一个零点. 综上,当14a <或512a >时,()h x 由一个零点；当14a =或512a =时,()h x 有两个零点；当15412a <<时,()h x 有三个零点. 所以a 的取值范围是15,412⎛⎫ ⎪⎝⎭习题4．已知函数()()()32111032f x x a x ax a =+−−>．（1）求函数f （x ）的极值；（2）当a ＞1时，记f （x ）在区间[－1,2]的最大值为M ，最小值为m ．已知12,33M m ⎛⎫ ⎪⎝+⎭∈．设f （x ）的三个零点为x 1，x 2，x 3，求()122331f x x x x x x ++的取值范围．解析：（1）()()()()211f x x a x a x x a '=+−−=−+，令0f x ，解得x a <−或1x >，令()0f x '<，解得1a x −<<，所以()f x 在(),a −∞−，()1,+∞上单调递增，在(),1a −上单调递减，当x a =−时取得极大值，()3322321111132262f f a a a a a a a =−=−+−+=+极大值，当1x =时取得极小值，()11111132262f f a a a ==+−−=−−极小值，所以()f x 的极大值为321162a a +，极小值为1162a −−. （2）因为1a >，所以()f x 在()1,1−上单调递减，()1,2上单调递增，()11162m f a ==−−，因为()3521263f a −=−>，()222233f a =−<，所以()35126M f a =−=−， 111352362263a a <−−+−<，解得4533a <<，设123x x x <<，令()()2111032f x x x a x a ⎡⎤=+−−=⎢⎥⎣⎦，所以20x =，313x x a =−，()()3212233193322f x x x x x x f a a a ++=−=−−， 329322y a a =−−在45,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当32934025,223a a ⎛⎫−−∈−− ⎪⎝⎭，所以()122331f x x x x x x ++的取值范围为4025,3⎛⎫−− ⎪⎝⎭.。

三次函数性质总结

三次函数性质总结三次函数是指函数的最高次项是3次的函数，一般的三次函数的函数表达式可以写成y=ax^3+bx^2+cx+d。

以下是关于三次函数的性质的总结：1.对称性：三次函数一般具有对称性，即关于y轴对称。

这是因为三次函数中只有偶次次项，所以具有对称性。

这可以通过函数图像来观察，如果一条曲线对称于y轴，则表示这个函数是一个三次函数。

2.零点：三次函数可能有一个或多个零点。

如果函数的零点为x=a，那么乘以(x-a)后，函数会变为二次函数，这是因为函数中的三次项会被消去，变成了二次项。

因此，三次函数的零点可以用来快速确定函数的根的个数。

3.单调性：三次函数的单调性与系数a有关。

当a>0时，三次函数是上凹的，即函数的曲线开口向上，为增函数；当a<0时，三次函数是下凹的，即函数的曲线开口向下，为减函数。

4.驻点：三次函数的导数是二次函数，因此导数为零的点称为驻点。

三次函数的驻点有最大值或最小值，可以通过求导数来求得驻点的位置。

5. 渐近线：三次函数可能有水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线。

水平渐近线是指当x趋于正无穷或负无穷时，函数值趋于一些常数；垂直渐近线是指当x等于一些常数时，函数值趋于正无穷或负无穷；斜渐近线是指当x趋于正无穷或负无穷时，函数值趋于ax^2+bx+c。

6.奇偶性：三次函数的奇偶性与系数b有关。

当b为奇数时，三次函数是奇函数，对称于原点，函数图像关于原点对称；当b为偶数时，三次函数是偶函数，对称于y轴，函数图像关于y轴对称。

7.映射性：三次函数的图像可以映射到整个坐标平面上，因为三次函数没有任何限制，所以可以取得任意的y值。

8.随着函数系数的变化，函数图象会发生相应的形变。

例如，当a的绝对值变大时，函数的曲线会变得更陡峭；当b的绝对值变大时，函数的曲线会向原点靠拢；当c的绝对值变大时，函数的曲线会上下平移；当d 的绝对值变大时，函数的曲线会上下平移。

总之，三次函数具有丰富的性质和特点，可以通过系数的变化来改变函数的图像和性质。

高中数学新湘教版精品学案《三次函数的性质：单调区间和极值》

三次函数的性质：单调区间和极值
【学习目标】
1．了解三次函数的图象和简单性质，三次函数与二次函数的联系。

2．会用导数研究三次函数的单调性，并且求解出三次函数的单调区间，认识它们之间的内在联系，进一步培养运算能力。

3．会用导数研究三次函数的极值，并且学会求解，认识事物之间的相互联系，培养辨证思维能力
【学习重难点】
重点：理解并掌握三次函数的单调区间和极值。

难点：理解并掌握求解三次函数的单调区间和极值的步骤，会运用到解决实际问题当中。

【学习过程】
一、新课学习。

知识点一：三次函数的单调区间和极值。

三次函数的导数是二次函数，二次函数的零点是容易求出的。

所以，用导数方法可以彻底了解三次函数的增减变化和极大极小，这个增减区间，就是三次函数的单调区间，列出表格，对函数的极大极小值点就可以一目了然。

根据前面的知识做一做：
练习：
1．指出函数3234y x x =+-的单调递增区间。

2．指出函数32454y x x x =+-的单调递减区间。

3．若函数()323321y x ax a x =++++有极大值和极小值，求a 的取值范围。

4．函数326y x x a =-+的极值是什么？
二、课程总结。

1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．它们在解题中具体怎么应用？
三、习题检测。

1．求下列函数在指定闭区间上的最大值和最小值。

（1）()[]32241,2,1f x x x x =+-+-；（2）()()[]2e 43,3,2x f x x x =-+-。

2．求解函数322611y x x =-+的单调减区间及极值。

三次函数的图像和性质以及在高考中的应用

三次函数的性质以及在高考中的应用三次函数厂用+bF 七 +&（占0）已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。

2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。

单调性和对称性最能反映这个函数的特性。

下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。

函数厂卅4贰址沙验知）的导函数为八“+2卄。

我们不妨把方程2 I曲+称为原函数的导方程，其判别式色=4@一纸）。

若A >0，设其两根，则可得到以下性质:性质1：函数厂宀贰七+班尹）,若>0|,当A兰0时，y = f（x）是增函数；当|A >0|时，其单调递增区间是（-©无山［比+®）,单调递增区间是【冋，帀】；若口uD，当A < 0时，戸=/0）是减函数；当A >0时，其单调递减区间是（-□也］,［心！+侗），单调递增区间是［乃*心］。

（证明略）推论：函数厂用+用 F+辿#®,当怙£0|时，不存在极大值和极小值；当心时，有极大值41）、极小值•‘「。

根据a和「的不同情况，其图象特征分别为：图1性质2 :函数了何"F +M +滋+乳口尹5 ［耕*用］,若观E ［糾总］,且''■ ' 1 '，则：/何闷=msLX（f（m^ /（0）, /何）.（证明略）性质3 :函数’I .「一I是中心对称图形，其对称中心是证明：设函数7（工）=/亠曲4^+平知）的对称中心为（m, n）o—按向量住7-用、-冊将函数的图象平移，则所得函数》=/（兀+啊）一丹是奇函数，所以j（才+ wi） + 丁（一工+ - 2w = 0（纸诅+3）常-+a^ +助即+卍耕4£ 一理=0 上式对・L「恒成立，故化简得:3rna +占=0 ,得n - am1十占烧° +即耗+ d = /（------------ ）3aO__________________________ . 丄■ f （丄）所以，函数P =赤4” 5 T占°）的对称中心是（x 3a）o可见，y = f（x）图象的对称中心在导函数y ：I的对称轴上，且又是两个极值点的中点。

三次函数的性质;单调区间和极值资料

8
变式训练:
1.讨论函数f(x)=x3 +ax+5的增减性。
2.已知f(x)=x3 +ax2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，
则a的取值范围为（Ｄ）
A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-1或a>2 D.a<-3或a>6
3.已知函数f (x) x3 ax在R上递增，则a的取值范围是 _______ .
9
三次函数图象与x轴交点问题
三次函数f(x)=ax3 +bx2 +cx+d(a 0)图象的性质揭示了一元三次方程ax3 +bx2 +cx+d=0(a 0)根的实质. 由f(x)的图象的性质不难看出: 方程实数根的个数即f(x)图象与轴的交点个数.
三次函数f(x)的导数F '(x) 3ax2 2bx c(a 0)
1.若=4b2 -12ac 0即b2 3ac,则三次函数f(x)无极值, 图象在R上为单调函数,其图象与x轴有且有一个交点. 即方程ax3 +bx2 +cx+d=0(a 0)有且有一个实数根.
a>0
a<0
10
2.若=4b2 -12ac>0即b2>3ac,则三次函数f(x)有2个极值点x1x2 , 不妨设极大值为f(x1),极小值f(x2 ),其图象与x轴交点情况取决于2个极值点与x轴的关系:
14
变式训练
1.方程x3-6x2+9x-4=0的实数根个数是（ B ） A.3 B.2 C.1 D.0
2.设a为实数，函数f (x) x3 x2 x a. (1)求f (x)的极值；

人教版高考总复习一轮数学精品课件第四章一元函数的导数及其应用-第四节三次函数的图象与性质

[, ]上恒成立，可得 ≤ + ， + ≥ ⋅ = ，当且仅当 = 时取等号，可
得 ≤ .故选D.
2
3
（2）已知函数 = 3 + 2 + + 在 = − 与 = 1处都取得极值.
①求,的值与函数的单调区间；
解 = 3 + 2 + + ，′ = 3 2 + 2 + ，由
−
−
> ,

−

< ,

即

−

−

−
−

+ > ,
解得 < −.故选B.
−
−
+
+ < ,

（2）(2023扬州校考)设为实数，函数 = − 3 + 3 + .
①求的极值.
解 ′ = −3 2 + 3，令′ = 0，得 = −1或 = 1.当 ∈ −∞, −1 时，′ < 0；

− ,
3

−
3
和极小值点三等分，类似地，对极小值也有类似结论.
自测诊断
1.已知三次函数 =
1 3

3
− 4 − 1 2 + 152 − 2 − 7 + 2在上是增函数，
则实数的取值范围是() D
A. < 2或 > 4B.−4 < < −2C.2 < < 4D.2 ≤ ≤ 4
为
1 ，2
1 ，2

5-4三次函数的图象和性质

三次函数的图象与性质教学设计与实践①.pdf

5-4三次函数的图象和性质

三次函数性质探述

三次函数性质解析版

三次函数图像与性质(解析版)

专题17 三次函数的图像与性质(解析版)

三次函数性质的研究及应用举例

三次函数性质总结.

三次函数的图象和性质

三次函数的图象和性质

导数之三次函数图像与性质ppt

高考数学专题复习：三次函数图像与性质及其应用

三次函数性质总结

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三次函数的图像和性质以及在高考中的应用

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人教版高考总复习一轮数学精品课件 第四章 一元函数的导数及其应用-第四节 三次函数的图象与性质

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