第三章一阶谓词逻辑

在谓词公式中，变元的名字是无关紧要的，可以把一个变元
的名字换成另一个变元的名字。但是，必须注意，当对量
词辖域内的约束变元更名时，必须把同名的约束变元都统
一改成相同的名字，且不能与辖域内的自由变元同名。同 样，对辖域内的自由变元改名时，也不能改成与约束变元 相同的名字。例如，对于公式（x）R(x,y)，可以改名为 （t）R(t,u),这里将约束变元x改成了t,把自由变元y改成 了 u。
函数符号：是从若干个研究对象到某个研究对象的映射的
符号。
• n元函数 f(x1,x2,…,xn) 规定为一个映射： f: Dn →D 谓词与函数的区别：
1.谓词的真值是真和假，而函数无真值可言，其值是个体域中的 某个个体。 2.谓词描述的是个体域中的个体之间的关系或性质。而函数实现的 是一个个体的出现依赖于个体中中的其他个体，他是一个个体 在个体域中的映射。 3.在谓词逻辑中，函数本身不能单独使用，它必须嵌入到谓词中。
5、谓词公式的解释
在谓词逻辑中，对谓词公式中各个个体变元的一次真值
指派称为谓词公式的一个解释。也即蜕化成命题逻辑，
一旦解释确定，根据各联接词的定义就可求出谓词公 式中真值（T或F）。 定义：谓词公式G的论域为D，根据D和G中的常量符号， 函数符号和谓词符号按下列规则作的一组指派成为 G的 一个解释I（或赋值） 解释I：三个赋值规定： （1）对公式G，为每个常量指派D中的一个元素；
命题逻辑的局限性：
例如：命题:焦作是一个漂亮的城市
郑州是一个漂亮的城市 晋城是一个漂亮的城市 新乡是一个漂亮的城市 安阳是一个漂亮的城市
P
Q R S T
要表达这样一个类别的知识时，命题逻辑表达起来，不方便。 用谓词结构的形式最方便
定义谓词：Beautiful City (x)
; x是一个漂亮的城市
谓词的一般形式是:
P(x1, x2, … xn)
其中P是谓词，通常首字母用大写字母表示。 x1, x2, x3……… 是个体,通常用小写字母来表示。 在谓词逻辑中，命题被细分为谓词和个体两个部分。 n元谓词： 含有n个个体符号的谓词P(x1,x2, …xn)，表示一个映射： P：Dn →{T，F} 或是 (D1×D2×D3…Dn) →{T，F}
3、量词辖域与约束变元
在一个谓词公式中，如果有量词出现，位于量词后面的单个
谓词或者用括弧扩起来的合式公式称为量词的辖域。在辖
域内与量词同名的变元称谓约束变元，不受约束的变元称 谓自由变元，例如 （x）(P（x）→( y)R(x,y)) 其中（x）的辖域是(P（x）→( y)R(x,y))，辖域内的x是 受（x）的约束的变元；而( y)的辖域是R(x,y)，R(x,y) 的y是受( y)约束的变元。在这个公式中没有自由变元。
例 3.2.1：设谓词公式A=y（P（y ）∧Q(y,a)）,B=x(P(f(x))
∧Q(x, f(a))(它们不含自由变元),解释给定为: D={2, a=2，f函数和谓词P、Q的解释如下表所示。 3}
f(2) 3
f(3) 2
P(2) P(3) 0 1
Q(2,2) 1
Q(2,3) 1
Q(3,2) 1
4、谓词公式： 按下述规则得到谓词演算的合式公式： (1) 单个谓词和单个谓词的否定，称为原子谓词公式，原 子谓词公式是合式公式； (2) 若A是合式公式，则
¬ A也是合式公式；
B
(3) 若A，B都是合式公式，则A∨B，A∧B，A→B，A 也都是合式公式； (4) 若A是合式公式，x是任一个体变元，则 (x)A， (x)A也都是合式公式。
例：设谓词P(x)表示x是正数，F(x,y)表示x与y是好朋友，则：
( x) P(x)：表示个体域中所有个体x都是正数。
( x) ( y)F(x , y)：表示在个体域中对任何个体x,都存在
个体y，x与y是好朋友。
( x) ( y)F(x , y)：表示在个体域中存在个体x，它与个体域 中的任何个体y都是朋友。 ( y) ( x)F(x , y)：表示在个体域中存在个体x与个体y，x与 y是朋友。 ( x) ( y) F(x , y)：表示对于个体域中的任何两个个体x和 y， x与y都是朋友。
Q(3,3) 1
求A、B的值。
则 A=(P(2)∧Q(2,2))∧(P(3)∧Q(3,2))
=(0∧1) ∧(1∧1)
=0
B=(P(f(2))∧Q(2,f(2)))∨(P(f(3))∧Q(3, f(2)))
=(P(3)∧Q(2,3))∨(P(2)∧Q(3,3)) =(1∧1) ∨ (0∧1) =1
，∧，∨，→，
2、量词：用于刻划谓词与个体之间关系的词，在谓词逻 辑中引入了两个量词，全称量词符号（ x）及存在量 词符号（ x）。
全称量词符号 + 变元 = 全称量词，如（ x）；
存在量词符号 + 变元 = 存在量词，如（ x）；
( x)：它表示对个体域中所有个体x
( x)： 表示在个体域中存在某个个体x
例：设个体域 D={1，2} ，谓词公式
B=( x)P(f(x),a)，已知a=1。
若指派 f(1)=1，f(2)=2
指派 P(1,1)=T，P(2,1)=T
则上述各个指派就确定了谓词公式B的一个解释
即对 x 在 D 上的任意取值，都使B 为T
3.2.2.谓词公式的永真性、可满足性和永假性 • 永真性
像这样表达知识的形式就是谓词表达知识的形式
2、一阶谓词逻辑
谓词的一般形式是:
P(x1, x2, … xn)
其中P是谓词，通常才用首字母大写开头的字母字符串 表示。 x1, x2, x3……… 是个体,通常用小写字母来表示。 在谓词逻辑中，命题被细分为谓词和个体两个部分。 n元谓词： 含有n个个体符号的谓词P(x1,x2, …xn)，表示一个映射： P：Dn →{T，F} 或是 (D1×D2×D3…Dn) →{T，F}
–若谓词公式P对非空个体域D上的任一解释都有真值 T，则称P在D上是永真的 即：若P在任何非空个体域上均永真，则称P永真
• 可满足性 当个体域个数少，每个域自身又小时，易于判断
或者不能确保在有限的时间内判定 • 永假性（不可满足性、不相容性）
–对谓词公式 P，若至少存在 D 上的一个解释，使 P在 或当解释 的个数有限，也 总 是可判定的 此解释下真值为 T，则称 P在D上是可满足的 但若解 释的个数无限 时，就不能确保可以判定 –若谓词公式P对非空个体域D上的任一解释都有真值 F，则称P在D上是永假的 即：P在任何非空个体域上均永假，则称P永假
–(6)吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P –(7)补余律 P∨﹁PT P∧﹁PF –(8)联词化归律 P →Q ¬P∨Q 蕴涵式转化 – P Q (P→Q)∧(P→Q) – P Q (P∧Q)∨(¬P∧¬Q) –(9)量词否定 ¬(x)P(x)(x)(¬P(x)) ¬(x)P(x)(x)(¬P(x)) –(10)量词分配 (x)[P(x)∧Q(x)](x)P(x)∧(x)Q(x) (x)[P(x)∨Q(x)](x)P(x)∨(x)Q(x
谓词：用于刻画个体的性质、状态或个体之间的关系，称
为谓词。谓词一般也用P,Q,R等大写字母表示。 例1：x是一个美丽的城市 可以写成：
Beautiful City (x)
其中：Beautiful City 是谓词；x是个体 例2： x>y 可定义成：
Greater (x, y) 这里：x、y是个体，Greater是谓词

例：设变元x和y的个体域是D={1，2}，谓词P（x，y） 表示x大于等于y，给出公式A=( x )(y)P(x,y)在D上的 解释，并指出在每一种解释下公式A的真值。
解： 由于在公式A中没有包括个体常量和函数，所以可由谓 词P（x, y）的定义得出谓词的真值指派。设对谓词P（x,y）
在个体域D上的真值指派为：
整个公式在给定域上的解释数目将达到该公式所包含的
所有函数和谓词指派数目的连乘积。
；由于存在多种组合情况，所以一个谓词公式的解释可能有很多
个。对于每个解释，谓词公式都可求出一个真值（T或F）。 (需要注意：（ x） P（x）的真值为1当且仅当对论域D的每一个 元素x，P（x）都取值为1，（x） P（x）的真值为0当且仅当 对D的每个元素x，P（x）都取值为0)
；解释I称为公式G在论域D上的一个解释。
；对应每个解释，公式G都有一个真值{T，F}。
；一阶谓词的公式解释数目：
一阶谓词的公式解释数通常是相当可观的，是一种排列
组合。
设个体域有m个元素，则：
每个常量有m个取值，n个常量有 mn 种取值的可能性，
一个n元函数一般有 mmn 种指派，
一个n元谓词有 2 m n 种指派。
P(1,1)=T，P(1,2)=F，P(2,1)=T，P(2,2)=T
这就是公式A在D上的一个解释。在此解释下，因为x=1时
有y=1使P(x,y)的真值为T，x=2时也有y=1使P(x,y)的真值为T， 即x对于D中的所有取值，都存在y=1，使P(x,y)的真值为T，
所以在此解释下公式A的真值为T。
3.3谓词公式的等价性与永真蕴含
3.3.1等价性含义 定义：设Ｐ与Ｑ是两个谓词公式，Ｄ是它们共同的个 体域，若对于Ｄ上的任何解释，Ｐ和Ｑ都有相同的真值， 则称Ｐ与Ｑ在个体域D上是等价的，如果D是任意个体域， 则称P和Q是等价的，记作：P Q 以下公式是等价式，推理时常用到： –(1)双重否定 ¬(¬P)P –(2)交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P –(3)结合律 (P∧Q)∧RP∧(Q∧R) (P∨Q)∨RP∨(Q∨R) –(4)分配律 P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) –(5)狄· 摩根定律 ¬(P∨Q)¬P∧¬Q ¬(P∧Q)¬P∨¬