弹性力学试卷

一、列出下图所示问题的全部边界条件(，单位厚度)。在其中的小边界上，采用圣维南原理改用积分的应力边界条件来代替。

二、（a）、平面问题中的应力分量应满足哪些条件？

（b）、检查下面的应力在体力为零时是否是可能的解答.

бx = 4x2,бy = 4y2, τxy=- 8xy

（c）、在平面应变状态下，已知一组应变分量为

为非零的微小常数，试问由此求得的位移分量是否存在？

三、平面问题,直角坐标，研究一点的变形，考虑通过P点的二个正向微段PA∥x, ,PB∥y，PA=dx, PB=dy, P 点位移为u,v, (1) 正应变、剪应变的定义和正负号规定？(2) PA是x正向微段，PB是y正向微段，为何要正向微段? (3)写出A点和B点位移，推导出几何方程

四、(1)平面应力问题z面上任一点的应力( s z t zx t zy) 是近似为0还是精确为0？为什么？(2)平面应变问题的z面上任一点的应力( t zx t zy) 是近似为0还是精确为0？为什么？

五、空间问题的物理方程为：

e x=[s x- ms y- ms z]/E r xy=t xy/G

e y=[s y- ms x- ms z]/E r xz=t xz/G

e z=[s z- ms x- ms y]/E r zy=t zy/G

由上式推导出平面应力问题和平面应变问题的物理方程。

六、已知平面应力问题矩形梁，梁长L,梁高h, 已知E=200000, μ= 0.2.

位移分量为：u(x,y)=6(x-0.5 L)y/E v(x,y)=3(L-x)x/E-3μy2/E

求以下物理量在点P(x=L/2,y=h/2)的值：

(1) 应变分量

(2) 应力分量，

(3) 梁左端（x=0）的面力及面力的合力和合力矩。

七、回答以下问题：

1）单元结点力是什么？正负号规定？

2）单元结点荷载是什么？正负号规定？

3）单元劲度矩阵的某一个元素的物理意义？

4）整体劲度矩阵的某一个元素的物理意义？

5）有限单元法结点的平衡方程是什么力和什么力的平衡？

6）有限单元法中一个离散的结构只有有限个自由度，为什么？

八、设平面问题中r=50mm的圆周上的点在外力作用下都移动至r=51mm的圆周上，求r=50mm的圆周上

的点的环向正应变

九、设有矩形截面竖柱，密度为ρ ，在一边侧面上受均布剪力q，试求应力分量.

假设：σx= 0 = ¶2υ/ ¶y2

注意：本题只要列出求解待定常数的公式而不必解出，

一、

1、, （2分）

2、, （2分）

3、,（3分）

4、, (也可用三个积分的应力边界条件代替) （1分）

二、

(a)平衡微分方程、相容方程、应力边界条件、多连体中的位移单值条件（4分）

(b)代入相容方程，不满足相容方程，不是可能的解答（3分）

(c)代入相容方程，不满足相容方程，由此求得的位移分量不存在（3分）

三、

（1）无穷小的线段的单位伸缩或相对伸缩，称为正应变。（2分）正应变伸长为正，缩短为负。（1分）与坐标正向一致的两个无穷小的线段之间的直角的改变量，称为剪应变。（2分）剪应变以直角变小为正，

变大为负。（1分）

（2）弹性体中两个正交的直线之间所夹的直角有四个，变形后，其中两个直角变大，两个直角变小，剪应变以直角变小为正，变大时为负，因此必须明确规定剪应变是与坐标正向一致的两个无穷小的线段之间的直角的改变量。（1分）

（3）A点位移：（）（1分）；

B点位移：（）（1分）；

（2分）；

（2分）；

（2分）四、

(1)平面应力问题面上任一点的应力（）是近似为0（1分）。由上（）为0和方向应力梯度很小推出任一点的应力（）为0是近似的。（2分）

(2)平面应变问题Z面上任一点的应力（）是精确为0（1分）。任意面均为对称面，其上的反对称应力为0，将某个面切开，切开的左右面上的应力既要指向相同（对称条件），又要指向相反（内力须满足牛顿第三定律），故只能为0，同理为0。（1分）

五、

平面应力问题由可导得其物理方程为：（5分）

平面应变问题由可导得其物理方程为：（5分）

或对平面应力问题物理方程进行转换得平面应变问题物理方程

六、1、

将，代入，得P点的应变分量

（1分）（1分）（1分）

2、由平面应力问题的物理方程可得

代入P点的应变分量，得其应力分量为

（3分）

3、处的应力分量为：

处面力

处面力的合力和合力矩为：

（6分）

七、

1）单元结点力是指单元和结点之间的相互作用力（2分）结点力作用在单元上时与坐标正向一致为正（1分）

2）单元结点荷载是指单元上的外力（体力和面力）按静力等效的原则移置到结点上的等效荷载（2分）与坐标正向一致为正（1分）

3）例：表示结点方向发生单位位移在结点方向的结点力或单元某一个自由度方向发生单位位移在另一个自由度方向引起的结点力（4分）

4）例：表示整个弹性体的2结点方向发生单位位移引起1结点方向的结点力或整个弹性体某一个自由度方向发生单位位移在另一个自由度方向引起的结点力（4分）

5）结点力和等效结点荷载的平衡（4分）

6）设定位移模式使单元中任一点的位移可由结点位移求得而不独立，只有有限个可动结点位移作为基

本未知量或自由度。故有限单元法中一个离散的结构只有有限个自由度（4分）

八、（4分）

九、

1、假设，由此推测的形式为（1分）

2、代入，得

（1分）

要使上式在任意的都成立，必须

，得（1分）

，得（1分）

代入，即得应力函数的解答（略去了、的一次项和常数项）（1分）

3、由求应力分量，

（1分）

（1分）

（1分）

4、校核边界条件

主要边界

（已满足）（1分）

（1分）

（1）（1分）

次要边界