9恒定磁场2_7561_341_20100407100507

H1n
P H1t
△ l1
H2n
H1
右=K △l1 结论：
(H1 - H2)×en=K en为：媒质1的外法向分量
△ l2
en
7
二、磁感应强度B的边界条件：
B dS 0
S
1
2
B2
证明：作一圆柱体， 设高△l0， 底面△S上B均匀
△S P
0 左 B dS S B1n S B2 n S B dS
S S c
17
§3.4.2 磁矢位的边值问题
一、
证明： 作一矩形为闭合回路，设△l20， 则通过此回路所围成面积的磁通量为： A 1n
A1 A2
1
2
A2t
P
A2
m B dS S A dS A dl 0 S l A1t l1 A2t l1 A dl
圆柱面 S
B1
右=0 结论： B2n = B1n
△l
磁感应强度的法向分量连续，与电流密度无关
8
三、折射定理：
设两种媒质1 、2均为线性、各向同性，分界面上无电流
B2n = B1n H1t = H2t
1
2
H2t H2
B1 = 1 H1
B2 = 2 H2 1 H1cos 1= 2 H2cos 2 H1sin 1= H2sin 2 结论： tg 1 /tg 2 = 1 / 2 H1n
r2 2 y 2 ( x b )2 ( ) 2 k2 , r1 y ( x b )2 k2 1 2 2bk 2 (x 2 b ) y2 ( 2 ) k 1 k 1
JdV A 4 V R KdS A 4 S R Idl A 4 l R
Ax 4 Ay 4 Az 4
R J z dV V R

J x dV V R J y dV
V
参考磁位 为无穷远处
H2n 0 x
2 H2n= 1 H1n
H2n= 1 H1n/ 2 = 6/ 3=2 H1=2ex+ 4ey
en
11
作业
P106：3-3-3
12
§3-4
磁矢位、 恒定磁场的边值问题
§3.4.1 磁矢位
一、磁矢位的引出：
恒定磁场是无源场：
B 0
由矢量运算规律: (P335)
B A
Az const
A 线,等 A 线与 B 线关系
等 A 线不是 A 线，只涉及 A 的大小，不涉及方向。因此， 可以证明：在轴对称磁场中， A const 代表 B 线。等A线仅反映B的大小分布。 即平行平面磁场中的等 A 线可以代表 B 线。
27
如前面例题，两线输电线的B线即等 A 线的方程为
当r’<<R时： R≈r er ≈ eR z
A
I
0 x
r
Idl’
r
R
P y
矢量恒等式：
l S
(en )dS dl
1/R
0 I A 4
I er 0 2 S [ez r 2 ]dS 4r

S
[e z er ]dS
每个元电流产生的磁矢位 与此元电流同向。
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五、引入A的意义 1. 简化计算： dA // dl ， dB // dl aR
在适当选取的坐标下，A可以只有一个分量，B 却不止一个分量。 A→B = A 相对简单。
2. 计算磁通：
B dS A dS A dl
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例一、求磁偶极子产生的磁场。
解： A 0 I 2 4r xe ye r x y er r r ex ey e z er 0 0 x r y r
S
z I 0 x
A

[e z er ]dS
ze z
r
2 2
0 I 2 L 当L时： A ln ez 2 Az e Az e B = ×A 0 I 2 L 0 I e e 2 2 2 L 2
P333
24
二、边值问题：
例一、长直圆柱导体半径为a，通有电流，J=Jzez，求导体内外 的磁场分布。 解：由对称性，A仅为的函数，且只有z方向的分量。用圆柱坐标系求解。 y ▽ 2A = - J
Idl’
r
R
P y
ez y x 1 ex e y r r z r
0 I 0 Iy 0 Iy y Ax dS dS S 2 S 3 S 3 4r r 4r 4r 0 I 0 Ix 0 Ix x Ay dS dS S 2 S 3 S 3 4r r 4r 4r Az 0
<a： 2A ▽ 1z
dA1 z 1 d ( ) = - Jz 微分方程 0 d d x z a dA2 z 1 d ▽ ( ) =0 >a： 2A2z d d 1 A1 z 1 A2 z P112 0 分界面条件 =a： A1z= A2z=0 1 2 0： A1z = 有限值 强加边界条件 J z 2 J z a 2 a 2 A1 z (a ) B = ×A A2 z ln 4 2
( 1
1
1 A1 A2 ) en K
2
在平行平面场中，边界条件可以简化：
A1 A2
1 A1 1 A2 K 1 n 2 n
21
§3.4.3 磁矢位的应用
一、场源问题： 例一、求磁偶极子产生的磁场。
0 Idl 0 I dl 解： A l R 4 l R 4 0 I 1 S [ez ( R )]dS 4 0 I eR S [ez R2 ]dS 4
引入物理量
基本方程
引入辅助量 计算
应用
2
§3-3 恒定磁场基本方程、 分界面上的衔接条件
§3.3.1 磁通连续性原理
§3.3.2 恒定磁场的基本方程 §3.3.3 分界面上的衔接条件
B的散度
§3.3.1 磁通连续性原理
一、磁通的定义：
n
B
m B dS (Wb)
S
二、磁通连续性原理：
实验表明：对于任意闭合面，有：
SB dS 0 B dS BdV 0
S V
磁通连续性原理 说明： 恒定磁场处处散度为0，是无源场(无磁荷)，磁感应线处处连续。
4
B 0
§3.3.2 恒定Hale Waihona Puke Baidu场的基本方程
一、基本方程：
H dl I
0 2 ( A) ( A) A J 库仑规范： A 0
在直角坐标系下： ▽ 2Ax = - Jx
▽ 2A = - J
矢量形式泊松方程
▽ 2Ay = - Jy ▽ 2Az = - Jz
15
四、磁矢位微分方程的解：
▽ 2Ax = - Jx ▽ 2Ay = - Jy ▽ 2Az = - Jz
P109 B = ×A
23
z 例二、求载流无限长直导线产生的磁场。 0 Idl I L e z dz 解： A 0 4 l R 4 L 2 z 2 dl’ z’ 0 x R

P
A
y
0 I L L ln ez 2
25
三、磁通的计算及等A线与B线的关系： 1. 磁通量的计算：
m B dS A dS A dl
S S l
在工程数值中经常用此公式计算磁通，并由此得到其它 等效参数。
2. 在平行平面场中，等A线就是B线。
（三维场不适用）
26
证明：在平行平面磁场中， A Az e z ，等 A 线可表示磁感应强度B 线。
§3.3.3 分界面上的衔接条件
一、磁场强度H的边界条件： H dl I
l
1
2
H2t H2
证明：作一矩形为闭合回路，
0 左 H dl l H1t l1 H 2 t l1 H dl
l 2
设边△l20，边△l1上H均匀
二、磁矢位的定义：
磁矢位A：
A 0
(Wb/m)
说明：A在未确定其散度时，取值不唯一。 0 如： A’=A+ 则： ×A’= ×(A+ )= ×A+ × ()= ×A
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三、磁矢位的微分方程： H J B 0
B = ×A
B H B J
=0
l 2
A1t A1
△ l1
A2n
A1t = A2t
△ l2
18
一、
证明：
A1 A2
1
2
A2
作一圆柱体， 设高△l0， 底面△S上A均匀 0
△S P
A dS AdV
S V
A1
0 A1n S A2 n S A dS
10
例二: 1= 0， 2= 30 ， H1=6ex+ 8ey ， K = - 4ez，求H2。
解：
(H1 - H2)×en=K
1
y H2t
2
H2
(H1n+ H1t – H2n – H2t)×en=K
(H1t– H2t)×en=K (8ey– H2tey)×ex= - 4ez 8– H2t= 4 B2n = B1n H2t= 4 H1t H1 H1n P
P
2
H2n
1
H1t
H1
9
例一: 铁磁物质1=3000 0， 1=88º ，分界面上无电流。求2。 解：由折射定理：
1
0
tg 1 /tg 2 = 1 / 0
tg 2 = tg 1 0 / 1 H1n P
H2t
H2
2
H2n
2 = 33’
H1
1
H1t
结论： 磁力线近似垂直于铁磁物质表面。
基本实验定律 (安培力定律）
磁感应强度（B）（毕奥—沙伐定律）
H 的旋度
磁位( m)
基本方程
B 的散度
磁矢位（A）
分界面上衔接条件 边值问题
数值法 有限差分法 电感的计算 有限元法
解析法 分离变量法 镜像法
磁场能量及力
恒定磁场知识结构框图
磁路及其计算
1
第三章 恒 定 磁 场
§3-1 磁感应强度
§3-2 安培环路定律 §3-3 恒定磁场基本方程、 分界面上的衔接条件 §3-4 磁矢位、恒定磁场的边值问题 §3-5 磁位 §3-6 镜像法 §3-7 电感 §3-8 磁场能量与力 §3-9 磁路及其计算
在直角坐标系中，B 线方程为 B y Bx (1) dy dx A A z e x z e y Bx e x B y e y B A y x

Az Bx y
By
Az x
( 2)
Az A A A dy z dx z dy z dx dAZ 0 y x y x
圆柱面 S
△l
=0
A2n = A1n
19
1 1 二、( A1 A2 ) en K
1
2
证明：由
( H 1 H 2 ) en K
( 1
1
1 A1 A2 ) en K
2
20
三、总结磁矢位的边值问题： 微分方程： ▽ 2A = - J A1 = A2 边界条件：
l
H J
B dS 0
S
B 0
B 0 ( H M ) H
二、恒定磁场的性质： 1、恒定磁场为有旋无源场； 2、磁力线一定与电流铰链； 3、磁力线闭合。
5
一载流导线 I 位于无限大铁 板上方的磁场分布（B 线）
6
长直螺线管磁场的分布（B 线）