变化的电磁场.

习题16

16-1．如图所示，金属圆环半径为R，位于磁感应强度为B的均匀磁场

中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v在环所在平面内

运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端

a、b间的电势差。

解：（1）由法拉第电磁感应定律

i

d

dt

ε

Φ

=-

，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中的感应电动势

i

ε=；

（2）利用：

()

a

ab b

v B dl

ε=⨯⋅

⎰

，有：

22

ab

Bv R Bv R

ε=⋅=

。

【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】

16-2．如图所示，长直导线中通有电流A

I0.5

=，在与其相距cm

5.0

=

d

处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长cm

0.4

=

l，宽cm

0.2

=

a。

不计线圈自感，若线圈以速度cm/s

0.3

=

v沿垂直于长导线的方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？

解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。

首先用0

l

B dl I

μ

⋅=∑

⎰求出电场分布，易得：02

I

B

r

μ

π

=

，

则矩形线圈内的磁通量为：

00ln

22

x a

x

I I l x a

l dr

r x

μμ

ππ

++

Φ=⋅=

⎰

，

由

i

d

N

d t

ε

Φ

=-

，有：

11

()

2

i

N I l d x

x a x dt

μ

ε

π

=--⋅

+

∴当x d

=时，有：

04

1.9210

2()

i

N I l a v

V

d a

μ

ε

π

-

==⨯

+。

解法二：利用动生电动势公式解决。

由0

l

B dl I

μ

⋅=∑

⎰求出电场分布，易得：02

I

B

r

μ

π

=

，

考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势，

近端部分：11

NB l v

ε=

，

远端部分：22

NB lv

ε=

，

则：12

εεε

=-=

004

11

() 1.9210

22()

N I N I a l v

l v V

d d a d d a

μμ

ππ-

-==⨯

++。

16-3．如图所示，长直导线中通有电流强度为I的电流，长为l的金属棒ab与长直导线共面且垂直于导线放置，其a端离导线为d，并以速度v平行于长直导线作匀速运动，求金属棒中的感应电动势ε并比较U a、U b的电势大小。

解法一：利用动生电动势公式解决：

()

d v B dl

ε=⨯⋅

2

I

v dr

r

μ

π

=⋅

，

∴

02d l

d

v I dr r μεπ

+=-

⎰

0ln 2v I d l d μπ+=-，

由右手定则判定：U a >U b 。

解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。

作辅助线，形成闭合回路''abb a ，如图，

S

B d S Φ=⋅⎰02d l

d

I y dr r μπ+=⎰0ln 2I y d l

d μπ+=， ∴

d dt εΦ

=-00ln ln

22I Iv d l d y d l d dt d μμππ++=-⋅=-。 由右手定则判定：U a >U b 。

16-4．电流为I 的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为

120， 几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v 平行于长直 导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。

解法一：（用等效法）连接AO 、OB ，圆弧形导线与AO 、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与

AOB 直导线的电动势相等。

200()ln 2

22R AO R Iv

I v v B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰，

500225

()ln 224R OB R

Iv Iv v B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰，

∴

05

ln

22AB AO OB

Iv μεεεπ=+=-。

解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为θ，那

么，

00022(2cos )2(2cos )I I I

B x R R R μμμππθπθ===

--，再由()v B dl ε=⨯⋅⎰有： sin d B Rd v εθθ=⋅⋅，∴

2030sin 2(2cos )I Rv d R π

μεθθπθ=-⋅-⎰05

ln

22Iv μπ=-。 16-5．电阻为R 的闭合线圈折成半径分别为a 和a 2的两个圆，如图所

示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按

0sin B B t ω=的规律变化。已知cm 10=a ，T 10220-⨯=B ，rad/s 50=ω，Ω=10R ，求线圈中感应电流的最大值。

解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。

2220(4)3cos i d d B

a a a B t dt dt επππωωΦ=-

=--⋅+=，

∴203cos i

a B t I R R επωω==

A

πR

ωB a πI 32202max 1042.9105010

21.035--⨯=⨯⨯⨯⨯==。

A

O

B

A

O

B

θ