概率论与随机过程(1)
概率论复习(一)随机过程西电宋月
x ， y
( x 1 ) 2 2 1 2
所以X=x条件下Y的条件概率密度为
pY | X ( y | x )
p( x , y ) pX ( x )
2 2 (y x 2 1 ) 1 1 ] e xp[ 2 2 2 2 2 2 1 2 1
lim
0
F ( x, y ) F ( x, y )/ 2 FY ( y ) FY ( y )/ 2
F ( x , y ) y d FY ( y ) dy
亦即 FX |Y
( x | y)
x
p( u, y )du pY ( y )
随机过程 Stochastic processes
西安电子科技大学
宋月
E-mail songyue25@
引言 本课程的研究对象
概率论主要是以一个或有限个随机变量为研究 对象的. 随着科学技术的不断发展,人们发现几乎一切可 观察现象都具有随机性. 必须对一些随机现象的变化过程进行研究.即需 要研究无穷多个随机变量
对于任意的x(0<x<1),在X=x的条件下,Y的条件概率 密度 1
pY | X ( y | x ) 1 x 0 0 x y1 其它
于是得关于Y的边缘概率密度为
y 1 dx ln(1 y ) pY ( y ) f ( x, y )dx 0 1 x 0 其它
FX |Y ( x | y j ) P{ X x | Y y j }
xi x
p
p ij
j
xi x
p
概率论与随机过程考点总结
概率论与随机过程考点总结Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()(2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。
独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0(母函数：∑∞===0)()(k kk kz p z E z g !)0()(k g p k k = )1()('g X E =2''")]1([)1()1()(g g g X D -+=５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX =二项分布 kn k k nq p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N222)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX ６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N XT n a a a a ),,,(21 =，T n x x x x ),,,(21 =，n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵3.随机向量的变换 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程。
概率论与随机过程第1章45节PPT课件
上
海 大
解: 设A：第一次取到次品；
AB
学
B：第二次取到次品。
通 第一次取走一只次品后，
信 盒中还剩下9只产品，其中
A
___
AB
学 院
只有2个次品，故
PB/ A 2.
B S
9
又 BAB AB，且 (AB)(AB)故
P (B ) P (A ) B P (_ A _ B )_ 32 733 19 019 010
P B /A P (B )
上 海 大 学
❖ 从样本空间分析： 第一次抽取时的样本空间
S e 1,次 e2品 , e3,e 4,正 ... e品 10,
通
信
学 院 当A发生后，S缩减为
SA e i次 1 ,e 品 i2, ,e 4,正 ... e品 10,
信 概率是多少?
学
院
类型 W(白)
R(红) 共计
N(新)
40
30
70
O(旧)
20
共计
60
10
30
40
100
解: 按题意,即求P(W/N)=? 1) 在缩减样本空间N中考虑计算:P(W/N)=40/70=4/7。
2) 用公式求解:P(W/N)= P(WN)/ P(N)= 40/100 4 70/100 7
上
海 有关条件概率的三定理
大
学 1. 概率的乘法定理:
通 信
设A、B∈S，P（A）>0,则
学 院
P(AB)＝P(A)P(B|A)。
可推广到三个事件的情形：
A、B、C∈S，P（AB）>0，则有
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).
概率论与随机过程
Aab N
AN a1 AN2 a! b!
(aAN abb)!CN a1 CN b2
Cab N
方法二：
P(A )CN a1CN b2(ab)!CN a1CN b2
A ab N
Cab N
第十页，共36页
[放回抽样] 一个一个取，故看为可重复的排列，样本空间
的样本点数：Na+b
由乘法、加法原理，A所含样本点数为:（分析同（2））
第十三页，共36页
（三）随机取数
例：1—N个数字任取k个数字，一个一个的取，取后放回， 求： （1）A：k个数字完全不同； （2）B：不含1，2，……，N中指定的r 个数字； （3）C：某指定的数字恰好出现m（≤ k）次; （4）D：k个数字中最大数恰好为M。 解：试验为从1，2，……，N个数中有放回地依次取k个 数字，每k个数字的一个排列构成一个基本事件，因此 基本事件总数为Nk。
第三页，共36页
二、古典概型概率的定义
1．定义
若试验E具有特点 （1）试验的样本空间的元素只有有限个,比如n个，样本空 间表示为={e1,e2,…,en}； （2）试验中每个基本事件发生的可能性相同．
则称试验E为古典概型（或等可能概型）． 概率的计算：若A为试验E的一事件，试验E的样本空间为
，且A含有k个样本点．则事件A的概率就是
第十四页，共36页
（1）因k个数字完全不同，实际为不重复的排列!
P(A)
CNk k! Nk
(2) 同理
P(B) (Nr)k Nk
(3) 同理
P(C)Ckm(N1)km Nk
(4) 在这k个数字中，最大数不大于M的取法有Mk种。而最大
数不大于M-1的取法有(M-1)k种。
《概率论与随机过程》第1章习题答案
《概率论与随机过程》第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn S 100,,1,0 ，其中n 为小班人数。
（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
解：{}18,,4,3 =S 。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
解： {}10,,4,3 =S 。
（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
解： {} ,11,10=S 。
（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。
解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。
（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。
（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
随机过程 概率论
随机过程概率论
随机过程是指在一定的条件下，某一物理过程或现象可以用概率分布函数描述的数学
模型。
随机过程是概率论中的重要分支之一，应用广泛，涉及到信号处理、经济、金融、
自然科学等领域。
随机过程的基本概念包括样本函数、状态空间、状态变量、状态转移概率等。
其中，
样本函数是指随机过程在某一时间点的取值，状态空间是指所有可能的取值的集合，状态
变量是指样本函数随时间变化的值，状态转移概率是指随机过程从当前状态转移到下一状
态的概率。
随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程两类。
离散时间随机过程指
在离散的时间点上，随机变量的取值存在随机性；连续时间随机过程指在持续的时间段内，随机变量的取值存在随机性。
对于随机过程的分析和研究，人们通常使用统计和概率论的工具和方法，如概率密度
函数、条件概率、矩、协方差等。
通过这些方法，可以从数学上描述和分析随机过程的发
展趋势、周期性、稳定性等特征。
随机过程在实际应用中有着广泛的应用，例如在通信领域，随机过程可以用来描述传
输信道的噪声和干扰；在金融领域，随机过程可以用来建立期权定价模型；在自然科学领域，随机过程可以用来研究生态系统的演化、气候变化等复杂问题。
总之，随机过程作为概率论的重要分支，在各个领域都有着重要的应用，对物理学、
数学、经济学等学科的发展起到了推动作用。
使我们能够更好地理解和应对复杂的随机事
件和现象。
第1讲 概率论与随机过程1
老 大 徒 伤 悲
人生与品牌
少 壮 不 努 力
20岁——奔腾 30岁——日立 40岁——方正 50岁——微软 60岁——松下 70岁——联想
概率论与随机事件
主讲教师：李昌兴 联系电话：88166087，85383773 辅导教师： 联系电话： 工作单位：应用数理系工程数学教研室
电子信件: shuxueshiyanshi@163. com 辅导时间：待定
1. 在相同条件下 可以重复进行. 2. 试验的结果是 不明确的，也是不 唯一. 3. 每次试验只能 出现这些结果中的 一个，但试验之前 不能确定会出现那 个结果.
试验1
代表
确定性现象
每次试验之前，根据现有条 件能够判定它有一个明确结 果的现象称为确定性现象.
太阳每天早晨从东方升起 水从高处流向低处 同性电荷必然互斥
一幅图片是否漂亮？这依赖于每个人的主观意愿，不同人 的出发点不同，所看到的意境不同，就会得到不近相同的 结论. 其结论往往只可意会，不可言传. 换句话说：结论有 时说不太清楚，因为没有一个统一的标准能够度量.
高等数学、线性代数、 复变函数、大学物理等
确定性现象
气象预报 水文预报 地震预报 产品检验 数据处理 信号分析 可靠性理论 排队轮等 模糊控制 模糊逻辑 信息理论 图像融合 信号处理
一、绪论
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的 一门学科
每次试验之前，根据现有条件能够判定它有一个明确 结果的现象称为确定性现象. 在一次试验中其结果呈现出不确定性，而在大量重复 试验中其结果又具有统计规律的现象称为随机现象. 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,其结果是 不明确的，称为模糊现象.
试验1
1. 从中任取一个小球观察其颜色 以后，再放回，第二次从中在任期一 个小球，那么第一次所取小球与第二 次所取小球的条件相同. 即在相同的 条件下，试验可以重复进行. 2. 从中任取一个小球,其颜色都是 黑色，即在取出之前已经可以知道所 取小球的颜色为黑色. 换句话说：从 试验的已知条件可以推知试验的结果. 而且结果只能是一个. 也就是试验的 结果是唯一的，而且是明确的.
概率论与随机过程的起源、应用及在自动化专业上应用
概率论与随机过程的起源、应用及在自动化专业上应用1、概率论与随机过程的起源概率论产生于十七世纪，本来是又保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。
但是当其中一个人赢了 a (a<m)局，另一个人赢了 b(b<m)局的时候，赌博中止。
问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。
三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。
近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。
许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。
概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。
但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。
概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。
数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。
使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。
统计方法——是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。
概率是随机事件出现的可能性的量度，是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
概率论与数理统计经典课件随机过程
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布， 则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
16
例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立， 故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,
鲜思东重庆邮电学院400065概率论与随机过程讲义
2.
3.
随 机 试 验
1、可以在相同的条件下重复地进行；
2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事 先明确试验的所有可能结果； 3、进行一次试验之前不能确定那一个结果会现。 在概率论中，我们将具有上述三个特点的验 称为随机试验。 本书中以后提到的试验都是指随机试验。
样 本 空 间
对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预 知试验的结果，但试验的所有可能结果组成的 集合是已知的，我们将随机试验E的所有可能 结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。样 本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。
古典概型的计算公式
设试验的样本空间为
包含 k 个基本事件，即
S = {e1 , e 2 , L , e n }, 事件 A
A=
∑ A ，且有
j =1
j
k
1 ≤ i1 < i 2 < L i k ≤ n ，则有
P(A = ∑P( ej )
j= 1 k
{ }
k A包 的 本 件 含 基 事 数 )= = n S中 本 件 总 基 事 的 数
例1·2·3 设A、B、C是S中的随机事件
事件“A与B发生，C不发生”可以表示成 “A、B、C中至少有二个发生”可以表示成 A、B、C中恰好发生二个”可以表示成 “A、B、C中有不多于一个事件发生”可以表示成
事件的运算
A 1、交换律： U B = B U A, AB = BA 、交换律：
2、结合律：A( BC ) 、结合律：
A= A
A U A = S, AA = Φ A ⊂ B ⇔ A − B = AB
8、子集的等价表示 A U B = B ⇔ AB = A 、 9、反演律（德·摩根律） 、反演律（ 摩根律 摩根律）
概率论与随机过程第1章7-10节
的定义： （一）分布函数 F(x，y)的定义： 的定义
x
上 海 大 学 通 信 学 院
2° 0≤F(x，y) ≤1，且 °
（1）给定 y，F( -∞，y)=0 ） ， （2）给定 x，F(x, -∞)=0 ） （3）F(-∞, -∞)=0 ） （4）F(+∞,+ ∞)=1 ） 3° F(x，y)=F( x+0，y)， ° F(x，y)=F( x，y+0)。 关于x 均为右连续。 即F(x，y) 关于 或 y 均为右连续。
−∞ −∞
f(x, y)dxdy = F( + ∞ , + ∞ ) = 1 ;
3. 若 f(x,y) 在点（x, y）处连续，则有 在点（ ）处连续，
∂ 2 F(x,y) = f(x,y) ; ∂x∂y
4. 点(X, Y)落x0y平面上某一区域 内的概率为 平面上某一区域G内的概率为 落 平面上某一区域 P{( x , y ) ∈ G } = ∫∫ f(x, y)dxdy 。
j =1
∞
ij
]
离散型
F 同理， (+∞, y) = Fy ( y) = ∫ 同理， =
y
−∞
[ ∫ f (u, v )du ] dv 连续型
−∞ ∞ i =1 ij
+∞
yi ≤ y
∑ [∑ p
]
离散型
上 海 大 学 通 信 学 院 由 F ( x) =
∫
x
−∞
f ( u )du =
边缘概率密度函数和边缘概率质量函数（分布律）： 的边缘概率密度函数和边缘概率质量函数（分布律）：
∂ 2 F(x,y) f(x,y) = , − ∞ < x < +∞ , − ∞ < y < +∞ ∂ x∂ y 离散型的概率密度函数： 离散型的概率密度函数：
《概率论与随机过程》概率论部分习题答案
《概率论与随机过程》概率论部分习题解答参考一、ABC BC A C B A C AB C B A C B A .3;.2;.1C B A C B A C B A C B A .4 二、填空1．（1）0.2, (2)52; 2．1 0.4 3．P （A ）+P （B ）－P （AB ） ， 1－P （A ）；4．3213211,)1)(1)(1(1p p p p p p ----- ；5．)002.0028.0()3.0()7.0()3.0(,)135.0()7.0()3.0(55514452335++或或C C C ； 6．3125864)6.0()4.0(,6,,2,1,0,)6.0()4.0(333666或C k C k k k =- ； 7．1 ， 4，+∞<<∞---∞-⎰x dt et x,2218)1(2π ；8．0.7612 ; 9．1 ； 10．3 ； 11．3ln 21； 12．1 ；13．σπ2； 14．91,92 ； 15． 2， 0。
三、单项选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 四、计算题1. 解：设A 1、A 2表示第一、二次取出的为合格品{}{}{}{}{}72960495119532321)()(1)(1132121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⨯-=-=-=-==三批全拒收收三批中至少有一批被接接收接收拒收P P A P A P A A P P P P2. 解：（1）22535523,51288883=⨯⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛===⨯⨯=ΩA N N44.0512225)(===ΩN N A P A（2）1802334523,336678131538=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⨯⨯=ΩA A N A N A 54.05630381325)(54.0336180)(==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====ΩA P N N A P A 或3. 解：令{}个盒子各有一球恰有n A =,!!()nA nnN N N N N N N n n N n n P A N Ω⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=因此4. 解：令{}{}有效系统有效系统b B a A ==829.093.01862.092.0)(1)()()(1)()()()()2(988.0862.093.092.0)(862.085.0)92.01(93.0)()()()()()()()()()()()1(85.0)(93.0)(92.0)(=--=--=--===-+==--=-=-=-=-+====B P AB P A P B P AB A P B P B A P B A P B A P A B P A P B P A B P B P A B B P AB P AB P B P A P B A P A B P B P A P 所以其中5. 解：设A 1、A 2、A 3分别为甲、乙、丙的产品，B 表示产品是次品，显然12312311(),()()24()()2%()4%P A P A P A P B A P B A P B A ====== 1111(1)()()()2%1%2P A B P B A P A ==⨯=由乘法公式 025.041%441%221%2)()()()2(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A P A B P B P 由全概率公式（3）由Bayes 公式 4.0025.021%2)()()()()(31111=⨯==∑=i ii A P A B P A P A B P B A P 6. 解：设A 表示原为正品 )(A P =96% )(A P =4% 设B 表示简易验收法认为是正品 )(A B P =98% )(A B P =5% 所求概率为998.004.005.096.098.098.096.0)()()()()()()()()(≈⨯+⨯⨯=+==A P AB P A P A B P A B P A P B P AB P B A P7. 解：设A =｛机器调整良好｝ B =｛合格品｝)(A P =75% )(A P =25% )(A B P =90% )(A B P =30% 因此 )(B A P =)()()()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P +=%90%30%25%90%75%90%75=⨯+⨯⨯=8. 解：设A 1、A 2分别表示第一次取到有次品产品的事件和无次品产品的事件，B 为第一次取出的合格品，显然有1)(,43)(,21)()(2121====A B P A B P A P A P由Bayes 公式111112213()()324()131()()()()71242P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+⨯+⨯ 设C 表示第二次取出次品的事件2834173)(=⨯=C P9. 解：设A =｛甲出现雨天｝，B =｛乙出现雨天｝由题意可知 )(A P =0.2, )(B P =0.18, )(A B P =0.6所求概率为P (A ∪B )=P (A )+P (B )－P (AB )=P (A )+(B )－P (A )P (B ︱A ) =0.2+0.18－0.2×0.6=0.26 10. 解：令{},3,2,1==i i A i 次取出为正品第所求概率为0084.0989099910010)()()()()()(21312121321321=⨯⨯===A A A P A A P A P A A A P A A P A A A P11. 解：设{}3,2,1==i i A i 人能译出第 A =｛密码被译出｝,则123A A A A =123123()()1()P A P A A A P A A A ==- 1234231()()()10.6534P A P A P A =-=-⨯⨯= 12. 解：设X 表示卖出的一包产品中的次品数（1）X ～B （10，0.01）于是 P ｛卖出的一包被退回｝ =P {X ＞1｝=1－P ｛X ≤1｝=1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝=004.0)99.0()01.0(99.0()01.0(191110100010≈--C C ）（2）X ～B （20，0.01）P ｛卖出的一包被退回｝ =P ｛X ＞2｝=1－P ｛X ≤2｝ =1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝－P ｛X =2｝=001.0)99.0()01.0()99.0()01.0(99.0()01.0(1182220191120200020≈---C C C ）13. 解：先研究一人负责维修20台设备的情况。
概率论与随机过程：1-2,3 事件的概率 概率空间
（1）因k个数字完全不同，实际为不可重复的排列，基本事件个数为：
C
k n
k!
P( A)
C
k n
k!
Nk
(2) 同理
P(B) (N r)k Nk
(3) 同理
P(C )
C
m k
(N
1) k m
Nk
(4) 在这k个数字中，最大数不大于M的取法有Mk种。而最
大数不大于M-1的取法有(M-1)k种。
P(D) M k (M 1)k Nk
例：取球，袋中a个白，b个红球，一一取出，不放回，
求事件Ak={第k次取出白球}的概率。 解：试验为将a+b个球编号一一不放回取出，全部取出
解：令B={恰有k件次品}
P(B)=？
P(B)
M k
N n
M k
N n
M件 次品
这是一种无放回抽样.
次品 正品
N-M件 正品
……
例3 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆， 每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的 概率是多少？
解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只
的分法总数为 (2n)!
a 1
N
b 2
所以，所求概率为：
P( A)
Ca ab
N
a 1
N
b 2
N ab
(二) 放球问题
n个球，随机的放入N个盒（n≤ N），每盒容量不限， 观察放法：
(1)某指定的n个盒中各有一个球A1,求P(A1)； (2)恰有n个盒中各有一球Ａ2,求P(A2); (3)某指定的盒子中恰有k个球A3,求P(A3).
概率论与随机过程
概率论与随机过程（工程硕士生60学时）教材及主要参考书：1．《随机过程》刘次华著，华中理工大学出版社出版。
2．《概率论与数理统计》浙江大学编，高等教育出版社出版。
3．《概率论与数理统计》同济大学编，高等教育出版社出版。
第一章 概率论第一节 预备知识一、排列与组合问题（一） 排列问题的提法：从n 个不同元素n a a a ...,21中任取r 个)(n r ≤，按先后顺序把它们排列，共有多少种不同的排列？分析：第一个位置有n 种取法，第二个位置有1-n 种取法，…第r 个位置有1+-r n 种取法，则共有：rn A r n n r n n n =-=+--)!(!)1()1(（二） 组合问题的提法：从n 个不同元素n a a a ...,21中任取r 个（n r ≤），不按先后顺序得到一种组合，共有多少中不同的组合？分析：由于不按先后顺序，因此r r a a a a 121- 与121a a a a r r -是同一组合，因此一种组合对应!r 种排列，共有：!)1()1(r r n n n +-- =)!(!!r n r n -=rn C 二、集合论（不妨假设所有集合全为Ω的子集）（一）A B ⊂，A 是B 的子集，即集合A 的元素全部属于集合B 。
例：{}全体实数=R {}全体自然数=N 则：R N ⊂（二）B A =B A ⊂⇔且A B ⊂分析：定义蕴涵了证明两个集合相等的方法。
（三）B A C =或B A C +=，即集合C 包含集合A 和集合B 的全部元素，但不包含其它元素。
例：{}全体有理数=A {}全体无理数=B 则：{}R B A C ==+=全体实数 1．运算规律（1）交换律 A B B A =（2）结合律 )()(C B A C B A =特别地：若B A ⊂，则：B B A =A A =Φ Ω=Ω A A A A =2．推广情形集合的并运算可以推广到有限个、可数多个甚至到不可数情形，为了阐述清楚，下面补充可数集合的定义。
第一讲概率论与随机过程概率论与随机过程精品课件完美版
知识到哪里去?
如何运用概率论与随机过程的理论知识解决通信 中的实际问题？
举例说明
..\2005\应用举例.ppt
2017/11/2 北京邮电大学电子工程学院 3
第一章 概率空间
首先，回顾初等概率论的一些基本概念：
随机试验 E ，满足如下条件： 在相同条件下可重复进行； 一次试验结果的随机性——不可预知性； 全体可能结果的可知性。 样本空间Ω——随机试验所有可能的结果组成的集合。 样本点 ——Ω中的元素。 随机事件——样本空间Ω的子集合，称为事件。 基本事件——Ω中每个样本点所构成的单点集。 必然事件——Ω本身。 不可能事件——不包含任何元素的空集合Φ。
2017/11/2 北京邮电大学电子工程学院 10
第一节 集合代数和σ -代数
二、包含某一集合类的最小σ -代数
C是由Ω的一些子集组成的非空集合类，那么至 少存在一个σ -代数包含C。为什么？
。 由于 F 是一个σ -代数，且C F
是否存在最小的σ -代数？若存在，是否唯一？
2017/11/2
F的结构？在F上的概率如何构造？这是本章将要讨论的主 要问题，为此我们必须引入测度论的概念。
2017/11/2 6
北京邮电大学电子工程学院
第一节 集合代数和σ -代数
一、集合代数和σ -代数
定义1.1.1 设Ω是任一非空集合， A是由Ω的一些子集组成 的非空集合类，若A满足：
1. Ω A ；
2. 若AA ，有 A A （余运算封闭）； 3. 若 A, B ∈ A ，有 A B A （有限并运算封闭）； 则称A是Ω上的一个集合代数，简称集代数。 容易证明集代数对有限交运算也封闭，即：
概率论与随机过程(1)
即
1
F
(
x)
4 3
4
1
x 1 1 x 2
2 x3 x3
F（x）的图形如下图所示，它是一条阶梯形的曲线，
在x＝－1，2，3处有跳跃点，跳跃值分别为1/4，1/2，
1/4。
P
1
-1 0 1 2 3 x
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11
P2 X 3 PX 2 PX 3 1 1 3
24 4
P
3 2
（4）二项分布的分布律为：
P
特点： 对于固定n及p，当k增加时 ,概 率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值,
随后单调减少.
x
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22
例 某人射击，每次命中率为0.02，求在独立进行400次 射击中，至少击中2次的概率？
解：设X表示射击400次击中的次数，由题意
X~b(400，0.02)。
解：设每次试验事件 A 出现的概率为 p,若当第 k 次
试验时，事件A出现r次，则前k -1次试验事件A恰出现
r -1次，于是
P{ X
k
}
C r1 k 1
p r 1q
kr
p
C r1 k 1
pr
q
kr
k= r, r+1,…
称 X 服从Pascal分布。当r=1时， P{ X k} pqk1 k 1,2, 称X服从几何分布。
分。
pk
k 1
P(X
k 1
xk ) P k1
X xk
1
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7
分布律与分布函数的关系
（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：
①设一离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk (k=1，2，…)
随机过程 概率论
随机过程概率论
随机过程是一个具有随机性质的数学模型，它描述了一个随机变量在时间上的演化规律。
从概率论的角度来看，随机过程可以看作是一组随机变量的集合，这些随机变量描述了某个系统状态在不同时间的状态值。
随机过程的研究对象通常是时间序列，包括离散时间序列和连续时间序列。
在概率论中，随机过程有两种表示方法，一种是时域表示，另一种是频域表示。
时域表示法是指将时间作为自变量，将系统状态的取值作为因变量，来描述随机过程的性质。
常用的时域表示方法有马尔可夫过程、布朗运动等。
频域表示法是指将频率作为自变量，将系统状态的取值作为幅度来描述随机过程的性质。
在频域表示中，随机过程可分析为其频谱组成，即将其分解为各种不同频率的正弦波和余弦波的组合。
在频域分析中，傅里叶变换是一种被广泛使用的数学工具。
随机过程的应用十分广泛，包括通信领域中的编解码、信道建模等，以及金融、天气预报、物理、化学、生物等领域中的数据分析和建模。
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定义 设X为离散型随机变量，X的所有可能取的值为 xk (k=1, 2…)，记 X 取 xk 的概率为 P{X=xk}=pk (k=1, 2, …)， 则称下面一组等式 P{X=xk}=pk (k=1，2，…)为X的分布律,简写为d.l.。
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4
分布律的表示方法：
Pn (k ) Cnk pk qnk
k 0,1,, n, q 1 p.
注:由于 Cnk pk qnk 恰好是展开式(p+q)n中的第k项，
所以常称
Pn (k )
C
k n
pkqnk 为二项概率公式。
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16
例1: 对某种药物的疗效进行研究，假定这药对某种疾
病的治愈率0.8，现有10个人患此病的病人同时服用 此药，求其中至少有6个病人治愈的概率。
P{ X∈B}，即 PX B pk xk B
因此，离散型随机变量的分布律完整地描述它的概 率分布情况。
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9
（2）已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律：
设一离散型随机变量X的分布函数为F(x)，并设 F(x)的所有间断为x1,x2,…，那么，X的分布律为
P{ X xk } F ( xk ) F ( xk 0) k 1, 2, 3,
即
1
F
(
x)
4 3
4
1
x 1 1 x 2
2 x3 x3
F（x）的图形如下图所示，它是一条阶梯形的曲线，
在x＝－1，2，3处有跳跃点，跳跃值分别为1/4，1/2，
1/4。
P
1
-1 0 1 2 3 x
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11
P2 X 3 PX 2 PX 3 1 1 3
24 4
P
3 2
2.2 离散型随机变量及其分布律
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1
随 离散型随机变量 机 变 量 连续型随机变量
这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很 多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的 特点.
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3
2.2.1 离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量
定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值是有 限个或可列无限多个，则称随机变量X为离散型随机 变量。
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14
设E为伯努利试验，将E独立地重复进行n次，（这里 的“重复”是指试验E在相同条件下进行）而且每次试 验中结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重 复贝努利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n重 伯努利试验。总之，n重伯努利试验有下面四个约定：
（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一, （2）A在每次试验中出现的概率p保持不变, （3）各次试验相互独立, （4）共进行了n次.
解: 假定“病人服用此药后治愈”为事件A，按题意 P(A)=0.8， P( A) 0.2 10人同时服用此药可视为10重伯努利试验，因
分。
pk
k 1
P(X
k 1
xk ) P k1
X xk
1
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7
分布律与分布函数的关系
（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：
①设一离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk (k=1，2，…)
由概率的可列可加性可得X的分布函数为
F ( x) P{X x} P{X xk } xk x
X
5
2
PX
2
1 2
P
Байду номын сангаас
X
1
2
PX
1
1 4
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12
例3 已知随机变量X的分布律为
X －2 0 3 5
P 1/4 a 1/2 1/12 试求（1）待定系数a，（2）概率P{X >－1/2}。
解: （1）由分布律的性质可知
1a1 1 1 4 2 12
即可求得a=1/6。
(2)
P
X
1
2
PX
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15
定理1.4.3 对于n重伯努利试验，事件A在n次试验中
出现k次的概率为
Pn
(k
)
C
k n
pk q nk
k 0,1,, n, q 1 p
证明：由n重伯努利试验，事件A在某指定的k次试
验中出现，而在其余n-k次试中不出现的概率为
pk(1-p)n-k = pkqn-k
而在n次试验中事件A发生k次共有Cnk种不同情况，对 应的事件为互不相容的，由概率的可加性
例1: 设随机变量X的分布律为
X -1 2
3
P 1/4 1/2 1/4
求X的分布函数，并求
P2
X
3,
P
3 2
X
5 2
,
P
X
1
2
解: 由概率的有限可加性，得所求分布函数为
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10
0 x 1
0
F
(
x)
1
4 1
1
4 1
2 1
1
2 1
x x x
2 3 3
4 2 4
P{X=4}= C23 /C35=3/10,
P{X=5}= C24 /C35=6/10 X的分布律为
X3
4
5
P 1/10 3/10 6/10
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6
分布律的性质：
由概率的性质可知分布律具有下述性质
（1）非负性： pk≥0; k=1，2， …
（2）规范性：
pi 1
i 1
证明:设离散型 r. v. X的取值为 x1,…, xn,… 则事件组{X=x1}，…，{X=xn}，…构成了的一个划
即F ( x) pk xk x
这里的和式是所有满足xk≤x的k的求和。分布函数 F(x)在x=xk(k=1,2,…)处有跳跃，其跃跳值为 pk=P{X=xk}。
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8
②已知随机变量X的分布律, 亦可求任意随机事件的 概率。
例如，求事件｛X∈B｝（B为实轴上的一个区间） 的概率P{ X∈B}时，只需将属于B的X的可能取值找 出来，把X取这些值的概率相加，即可得概率
0
PX
3
PX
5
11 1 3 6 2 12 4
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13
伯努利 (Bernoulli) 概型
考虑一个简单的试验，它只出现（或只考虑） 两种结果，如某产品抽样检查得合格或不合格，射 击命中或不命中，试验成功或失败，发报机发出信 号0或1。掷一次骰子点数“6”是否出现。
一般地，试验E只有两种结果A和A, 而P(A)=p （0<p<1）,则称E为伯努利试验或伯努利概型。
（1）分布律可以用表格的形式表示：xn一般从小到大排 列。
X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn …
（2）分布律可以用图形表示
P
x1 x2 … xn
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X 5
例．袋中5个球编号1－5，从中同时取出3个，以X表示取 出球的最大编号，求X的分布律． 解： P{X=3}=1/C35=1/10,