中科院量子力学个人笔记 01
中科院量子力学超详细笔记 第四章 中心场束缚态问题
两个粒子的坐标，体现了它们运动之间的动力学关联。和经典力学十 分相似，量子力学中的两体问题也可以通过引入它们的质心坐标和相 对坐标1，把它们（作为整个体系）的质心运动和彼此相对运动这两部 分运动分离开。也即令（“Jacobi 坐标”的特例）
v v v m1r v v v 1 + m2 r2 R= ，r = r2 − r1 m1 + m2
v v V = V (r1 − r2 )
最后，孤立体系本来并没有绝对方向（或优先方向），在没有外场破 坏空间各向同性的情况下，势再简化成为只与粒子间连线长度有关，
v v V = V (| r1 − r2 |) ≡ V ( r )
有关分析详见§6.2 节。 v v 回到两体相互作用为 V = V (r 1 − r2 ) 的一般情况。这时量子力学中的 两体问题由下面哈密顿量决定
见郭敦仁 “数学物理方法” ， 第 279、 286、 287 页， 人民教育出版社， 1979 年。 此处的
Ylm (θ , ϕ ) 还有另一定义，与此处相差一个因子 ( − )
|m|− m l 2
i
，见朗道《量子力学》，第 112 页。பைடு நூலகம்79
⎛ l = 0, 1, 2,L ⎞ ⎜ ⎜ m = −l , L,−1, 0, 1, L , l.⎟ ⎟ ⎝ ⎠
77
v 许多常见的，如库仑势和各向同性谐振子情况下， V (r ) 可以简化 成相对于坐标原点为各向同性的中心势 V (r ) 。 将方程(4.4)中描述相对运 v 动 ψ (r ) 的方程中 E − E R 改记为 E 并略去 Δ(r ) 顶标，相对运动方程成为
h2 v v Hψ (r ) = Eψ (r ), H = − Δ + V (r ) (4.5) 2μ v v 在绕原点的转动变换下， 正如 r 2 = r ⋅ r 一样， Δ = ∇ ⋅ ∇ 也表现为一个标量，
811《量子力学》 - 中国科学院
811《量子力学》中科院研究生院硕士研究生入学考试《量子力学》考试大纲本《量子力学》考试大纲适用于中国科学院研究生院物理学相关各专业（包括理论与实验类）硕士研究生的入学考试。
本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。
掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
一．考试内容：（一）波函数和薛定谔方程波粒二象性，量子现象的实验证实。
波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化，薛定谔方程的定态解，态叠加原理。
（二）一维势场中的粒子一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振，d--函数和d-势阱中的束缚态，一维简谐振子。
（三）力学量用算符表示坐标及坐标函数的平均值，动量算符及动量值的分布概率，算符的运算规则及其一般性质，厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数，不确定度关系，角动量算符。
连续本征函数的归一化，力学量的完全集。
力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。
（四）中心力场两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子及类氢离子。
（五）量子力学的矩阵表示与表象变换态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，谢振子的占有数表象。
（六）自旋电子自旋态与自旋算符，总角动量的本征态，碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应，电磁场中的薛定谔方程，自旋单态与三重态，光谱线的精细和超精细结构，自旋纠缠态。
（七）定态问题的近似方法定态非简并微扰轮，定态简并微扰轮，变分法。
（八）量子跃迁量子态随时间的演化，突发微扰与绝热微扰，周期微扰和有限时间内的常微扰，光的吸收与辐射的半经典理论。
量子力学知识点小结
量子力学知识总结认真、努力、坚持、反思、总结…量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。
2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为E h ν=和h p n κλ==3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、n mE E h ν-=频率条件假设、化条件）（索末菲等推广的量子21或量子化条件假设⎰⎰+==h n pdq nh pdq ）（4.自由粒子的波函数()ip r Et Aeψ⋅-=5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。
二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数(,)r t ψ的统计解释2(,)r t d t r ψτ表示时刻在点位置处单位体积内找2sin d r drd d τθϕθ=到粒子的几率（注：）。
B. 波函数(,,,)x y z t ψ的统计解释2(,,,),,x y z t dxdydz t x y z ψ表示时刻在点（）位置处单位体积没找到粒子的几率。
例：已知体系处于波函数(,,)x y z ψ所描写的状态，则在区间[,]x x dx +内找到粒子的概率是2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰.已知体系处于波函数(,,)r ψθϕ所描写的状态，则在球壳r r dr →+内找到粒子的概率是22200(,,)sin r d d r dr ππψθϕθϕθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，在立体角d Ω内找到粒子的概率是220(,,)r r dr d ψθϕ∞⎡⎤Ω⎢⎥⎣⎦⎰.（注：sin d d d θϕθΩ=） （二）态叠加原理：如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）也是这个体系可能的状态。
含义：当体系处于1ψ和2ψ的线性叠加态1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数） 时，体系既处于1ψ态又处于态2ψ，对应的概率为21c 和22c .（三）概率密度（分布）函数2()()x x x ψωψ=若波函数为，则其概率密度函数为（）（四）薛定谔方程：22()2i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂ 22222222222222222()21cos 1 ()sin sin x y zr r r r r θθθθθϕ∂∂∂∇=+∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∇=+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭拉普拉斯算符直角坐标球坐标问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：()**0( )2J tiJ mω∂+∇⋅=∂≡ψ∇ψ-ψ∇ψ注：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。
量子力学笔记
量子力学笔记量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支之一，它描述了微观世界的规律和现象。
本文将介绍量子力学的基本概念、原理和应用。
一、波粒二象性在量子力学中，微观粒子既表现出粒子的特点，也表现出波动的特点，这被称为波粒二象性。
根据量子力学原理，微观粒子的性质可以用波函数来描述。
波函数是描述微观粒子状态和运动规律的数学函数。
二、不确定性原理不确定性原理是量子力学的重要原理之一，由海森堡提出。
该原理指出，当我们测量微观粒子的某个性质时，例如位置和动量，我们不能同时精确地知道它们的数值。
精确地测量其中一个性质会导致对另一个性质的测量结果存在不确定性。
三、量子态和量子叠加在量子力学中，微观粒子的状态用量子态表示。
一个量子态可以是一个波函数或由多个波函数组成的线性叠加态。
量子叠加使得微观粒子可以同时处于多个状态，直到被观测或测量之前。
四、观测和测量量子力学认为，当我们观测或测量微观粒子时，它的量子态会坍缩到一个确定的态。
这个过程被称为波函数坍缩。
观测结果是由量子态坍缩到一个确定态而得到的。
五、量子纠缠和量子隐形传态量子纠缠是量子力学中一个特殊而奇妙的现象。
当两个或多个微观粒子发生相互作用后，它们的量子态相互依赖，无论它们之间的距离有多远，任一粒子的态发生变化，其他纠缠粒子的态也会相应变化。
这种相互依赖的关系被称为量子纠缠。
六、量子计算和量子通信量子力学的发展也催生了量子计算和量子通信的研究领域。
量子计算利用量子叠加和纠缠的特性，可以在某些问题上具有更高的计算效率。
量子通信利用量子纠缠实现量子隐形传态和量子加密，具有更高的安全性和可靠性。
总结：量子力学是一门复杂而精密的学科，它的发展和应用正不断推动着科学和技术的进步。
通过对量子力学的研究，我们可以更深入地理解微观世界的奥秘，并且在诸多领域取得令人瞩目的成果。
量子力学的理论框架为现代科学研究提供了重要的基础，也为人类认识世界的边界提供了新的视角。
考研《量子力学教程》周世勋版2021量子力学考研复习笔记
考研《量子力学教程》周世勋版2021量子力学考研复习笔记第1章绪论1.1 复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。
黑体辐射、光电效应和固体的比热等一系类问题是经典物理无法解释的。
之后的旧量子论包括玻尔理论、爱因斯坦的光量子和德布罗意波粒二象性假说给物理学的发展带来了希望，它们也为量子力学的发展奠定了基础。
现代物理学中的两大支柱（量子力学、相对论）逐步验证并解释物理实验中的现象的同时，量子力学自身也在不断完善，并发展出了电磁场量子化理论、解释光子原子相互作用的量子电动力学、应用于原子中核子相互作用的量子色动力学理论，以及当下试图对引力场解释的超弦理论。
所以，不论是为了备考还是为了将来的物理学科研，学习好量子力学是十分重要的。
量子力学是现代物理学的基石，也是物理科研必备的工具。
【本章重难点】1．了解经典物理的成功和所面临的危机，以及量子力学的发展历史；2．掌握德布罗意波粒二象性关系；3．熟练运用玻尔-索末菲量子化条件。
一、波粒二象性（见表1-1-1）表1-1-1 波粒二象性相关概念图1-1-1 康普顿散射二、原子结构的玻尔理论1经典理论在解释原子结构上的困难（1）经典理论不能建立一个稳定的原子模型（运动的带电粒子发射电磁场）；（2）经典理论得出的频率是连续分布的，而实验中的原子光谱是分立的。
2玻尔假设表1-1-2 玻尔假设3索末菲量子化条件的推广式中，q 是电子的一个广义坐标；p 是对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈；n 是0和正整数，称为量子数。
该推广后的量子化条件可应用于多自由度的情况。
4玻尔理论缺陷（1）当理论应用到结构稍复杂于氢原子的其他原子比如氦原子时，结果与实验不符；（2）只能求出谱线的频率，而不能求出谱线的强度。
量子力学笔记(冷轩)
3.10 以两能级系统为例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.11 幺正算符 3.12 幺正变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
约化密度矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 刘维尔方程——密度算符的演化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 统计物理中的多粒子状态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
量子力学笔记
量子力学一、量子力学的实验基础1.卢瑟福实验：a 粒子的质量远大于电子，两者的质心几乎就在a 粒子上。
虽然二体系统有内部的相互作用，但它们的质心是自由运动的，故电子对a 粒子的作用不影响a 粒子的运动。
a 粒子散射时，原子的正电荷部分受到反冲力，导致薄片晶格的振动。
2.原子光谱是原子内部电子运动情态的反映。
光谱项T。
氢原子光谱的频谱是离散的，且不是连续谱亦非由基频和倍频构成的频谱，这个性质直接来源于原子中电子运动具有能级的特性以及光具有粒子性。
3.光电效应实验中无法用经典物理学解释的现象：（1）反向遏止电压和入射光强无关；（2）反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系；（3）电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。
4.爱因斯坦方程：φω−=ℏT ，表示金属电子吸收一份光能量而获得T 的动能逸出金属，φ为脱出功，与材料有关。
5.光子：（1）博特实验（W.Bothe experiment）表明每份光能量是集中的；（2）贾诺希实验（L.Janossy experiment）表明每份光子落在何处是偶然事件，也就是说电磁波是光子的概率幅波。
（量子力学有整体性，光子的运动受到整个环境的影响。
）6.爱因斯坦关系：ωℏℏ==E k p ,。
P 和E 描写光子，k 和ω描写单色波。
【注意：说光有波粒二象性是沿用经典物理的语言。
光有波动性，是指光的运动没有轨道；光具有粒子性，是指光与电子相互作用时像粒子那样，而不像经典的波场那般。
】7.康普顿（pton）效应应用了“静电子模型”（靶原子的外层电子）。
康普顿波长：�ℏA mc0242621.02==Λπ。
计算过程中考虑了能量守恒（相对论力学）和动量守恒（矢量力学），2sin 22θλΛ=∆。
（1）对于原子内层的“束缚电子”，由于它们与原子核束缚的紧，应作为一个整体看待，“静电子模型”不成立。
光子撞不动整个原子，只是自己改变方向。
因此实验中出现了0=∆λ的成分。
（2）对于可见光，能量和动量小，靶原子的外层电子应作束缚电子看待，“静电子模型”不成立。
量子力学(1) 总结
⎪
⎪⎩
( ) ⎧ R (δϕ ) = exp − i δϕ n • l / ℏ
⎪
( ) ⎪
⎨
R
ψ
⎪
(r ) =
⎢⎣⎡1 −
i ℏ
δ
n • l ⎥⎦⎤ψ (r )
⎪ ⎩
l
=
r×
p
=
− iℏr
×∇
( ) ⎧ R (δϕ ) = exp − i δϕ n • j / ℏ
⎪
( ) [ ] ⎪
⎨
RA
⎪
(r ) =
d dt
A
=
1 iℏ
[A,
H]
+
∂A ∂t
当A不显时间，则d dt
A
=
1 iℏ
[ A,
H]
位力定理
2T = r • ∇V
⎪⎧当保守力F = -∇V时，2T = −r • F
⎨ ⎪⎩当V
∝
r n时，2T
=
nV
波包的艾伦菲斯特关系：
m
d2 dr 2
r
=
F (r )
力学量随时间演变的三种图像
⎪⎧薛定谔图像： ⎪
[
1 2µ
⎛ ⎜⎜ ⎝
Pr2
+
l2 r2
⎞ ⎟⎟ ⎠
+
V
]ψ
(r)
=
Eψ
(r)
其中Pr2
=
−
ℏ
2
⎛ ⎜⎜ ⎝
∂2 ∂r 2
+
2 r
∂ ∂r
⎞ ⎟⎟ ⎠
=
−ℏ2
1 r
∂2 ∂r 2
r
设ψ
(r)
技能高考之中科院量子力学超详细笔记第七章电子自旋角动量
σ x ，再进一步约定位相α = 0 ，于是有
01 σ x= 1 0
接着由（7.6b）式，求得σ y 为
0 σ y = −iσ zσ x = i
−i 0
总之，在规定σ z 为对角形式并约定σ x 的位相之后，就得到下面这组 2 × 2 的自逆、反对易、零迹的厄米矩阵 ——Pauli 矩阵，用它们就可 以具体地实现自旋角动量的对易规则，
利用例3 结果，可得
（7。12）
e σ e = −i
α 2
σ
x
iα 2
σ
x
y
cos
α 2
−
iσ
x
sin
α 2
σy
cos
α 2
+
iσ
x
sin
α 2
=
σ
y
cos
2
α 2
−
i
sin
α 2
cos
α2[σ
x,σ
y]+ σ
xσ
yσ
xsin
2α 2
= σ y cosα + σ z sinα
由 x → y → z → x 的循环置换，可以得到其余四个公式。顺便指出，由
反对易关系，
[ ] 0 = [σ 0 ,σ j ]= σ i 2 ,σ j = σ i [σ i ,σ j ]+ [σ i ,σ ]σ ji = 2iε ijk (σ iσ k + σ kσ i ) = 2iε ijk {σ i ,σ }. k
对任一给定的 j ，总可以取i,k ，使i ≠ k ≠ j ，于是得到σ i之间的反对
以 137 倍的光速转动才行。显然这是一个不能接受的图象。这说明，
中科院量子力学超详细笔记_第五章_量子力学的表象与表示
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r v ϕ、)(r vψ，定义内积r d r r vv v )()(),(ψϕψϕ∗∫=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r vψ时，找到粒子处在状态()r vϕ的几率幅。
依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符$U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U(5.2) 而且有逆算符1ˆ−U存在，使得I U U U U ==−−11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式左边决定),ˆ()ˆ,(ψϕψϕ+=A A(5.3) 由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ−+=U U 。
” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ−U 存在，假定取ψψϕϕ11ˆ,ˆ−−=′=′U U ，则有 ()),ˆ)ˆ((ˆ,ˆ),()ˆ,ˆ(),(1111ψϕψϕψϕψϕψϕ−+−−−==′′=′′=U U U U U U所以I U U=−+−11ˆ)ˆ( 由于11)ˆ()ˆ(−++−=U U，上式即 I U U=+ˆˆ 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
1这里强调了$U−1既是对$U右乘的逆又是对$U 左乘的逆。
和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符$U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为$U−1。
王正行 量子力学原理笔记
⋅ϕϕ
≥
1 4
φ
ϕ
+ ϕφ
2
( ) ( ) ( ) Cauchy − Schwarz不等式 : a12 + a22 +L + an2 b12 + b22 +L + bn2 ≥ a1b1 + a2b2 +L + anbn 2
( ) f (x) = (a1x − b1)2 + (a2 x − b2 )2 +L + (an x − bn )2 = a12 + a22 + L + an2 x2
于是
( φ ϕ + ϕ φ )2 ≤ ( φ φ + ϕ ϕ )( ϕ ϕ + φ φ ) = 4 φ φ ⋅ ϕ ϕ
φ φ , ϕ ϕ , φ ϕ + ϕ φ 代入即得结果。
有时说在任一态上“同时测量” A 与 B ，这并不一定是在一次测量操作中既测量 A 也 测量 B 。当 A 与 B 相容时，测量可以在一次操作中完成，而当它们不相容时，测量只能分
{ } { } 理结果一样，但算法不同。考虑分别用完备组 ql 与 pm 做基矢的两个表象，其中 q 与
5
第二章 表象理论 δ函数 投影算符的性质 态矢量和内积、线性算符的表示 表象变换 Löwdin-Bogoliubov 变换 Schrödinger 表象 动量表象 居位数表象 一些有用的矩阵元 量子力学的路径积分形式
( ) −2 (a1b1 + a2b2 +L + anbn ) x + b12 + b22 +L + bn2
Q
f
(x)
≥
量子力学入门笔记
后来普朗克假设能量在传递过程中是一份一份的传递，也就是我们今天所看到的������ = ℎ������，才
把公式解释的通，如果时间允许，我会在最后推导黑体辐射的公式。在当时连普朗克自己都
觉得这个想法太过于荒谬，也没有在物理界引起很大的反响。到了 1905 年，爱因斯坦根据
普朗克的思想解释了光电效应，并且因此获得了诺贝尔物理学奖。当时还有一个在高中困扰
������(������) = ������0 + ������1������ + ������2������2 + ������3������3 + ⋯ 它与我们平时看到的欧几里德空间中的矢量������ = ������������ + ������������ + ������������是不是很像？还有一个熟 悉 的 例 子 是 傅 立 叶 级 数 （ Fourier Series ）， 只 不 过 我 们 选 取 的 基 底 是 {1, ������������������������, ������������������2������, ������������������3������, ������������������������, ������������������2������, ������������������3������, … }我们的矢量（函数）就可以表示成：
学发展的历史的解释到这里就告一段落了，下面我们来讲讲怎么去入门地理解量子力学。没
关系，费曼曾经说过：“I can safely said (that) no body understands quantum theory.”。
也许我们并不能完全的理解量子力学，但在学习它的过程中，我们会收获到很多有趣的、有 价值的东西。
周世勋《量子力学教程》(第2版)-绪论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
子由能量为 Em 的定态跃迁到能量为 En 的定态时所吸收或发射的辐射频率 满足：
四、微粒的波粒二象性
1．玻尔理论所遇到的困难说明探索微观粒子运动规律的迫切性
在光的波粒二象性的启示下，德布罗意提出微粒具有波粒二象性的假设。
微粒的粒子性（E,p）与波动性（ , 或，k ）的关系满足
E h
p
h
n
k
这公式称为德布罗意公式，或德布罗意关系。
戴维孙-革末的电子衍射实验 该实验充分说明电子具有波动性，验证了德布罗意波的存在。
vd
v
8hv 3 c3
1
hv
dv ，
e kT 1
以及
（1）
v c ，
（2）
v dv d ，
（3）
有
dv d
v
()
d
d
c
v () 2
c
8 hc 1
5
hc
ekT 1
这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对λ的一阶导数为零，
的，这样则有
mT
hc xk
把 x 以及三个物理常量代入到上式便知
b mT 2.9 103 m K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较
量子力学知识点小结
量子力学知识总结认真、努力、坚持、反思、总结…量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。
2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为E h ν=和h p n κλ==3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、n mE E h ν-=频率条件假设、化条件）（索末菲等推广的量子21或量子化条件假设⎰⎰+==h n pdq nh pdq ）（4.自由粒子的波函数()ip r Et Aeψ⋅-=5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。
二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数(,)r t ψ的统计解释2(,)r t d t r ψτ表示时刻在点位置处单位体积内找2sin d r drd d τθϕθ=到粒子的几率（注：）。
B. 波函数(,,,)x y z t ψ的统计解释2(,,,),,x y z t dxdydz t x y z ψ表示时刻在点（）位置处单位体积没找到粒子的几率。
例：已知体系处于波函数(,,)x y z ψ所描写的状态，则在区间[,]x x dx +内找到粒子的概率是2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰.已知体系处于波函数(,,)r ψθϕ所描写的状态，则在球壳r r dr →+内找到粒子的概率是22200(,,)sin r d d r dr ππψθϕθϕθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，在立体角d Ω内找到粒子的概率是220(,,)r r dr d ψθϕ∞⎡⎤Ω⎢⎥⎣⎦⎰.（注：sin d d d θϕθΩ=） （二）态叠加原理：如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）也是这个体系可能的状态。
含义：当体系处于1ψ和2ψ的线性叠加态1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数） 时，体系既处于1ψ态又处于态2ψ，对应的概率为21c 和22c .（三）概率密度（分布）函数2()()x x x ψωψ=若波函数为，则其概率密度函数为（）（四）薛定谔方程：22()2i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂ 22222222222222222()21cos 1 ()sin sin x y zr r r r r θθθθθϕ∂∂∂∇=+∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∇=+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭拉普拉斯算符直角坐标球坐标问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：()**0( )2J tiJ mω∂+∇⋅=∂≡ψ∇ψ-ψ∇ψ注：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。
中国科学技术大学量子力学公开课学习笔记
中国科学技术大学量子力学公开课学习笔记量子力学是现代物理学中一门重要的学科，研究微观粒子的行为和性质。
本文将记录我在中国科学技术大学的量子力学公开课学习中的一些心得和笔记。
第一章：简介量子力学是20世纪初建立的一门物理学理论，它描述了微观世界的粒子在特定条件下的运动和相互作用规律。
量子力学理论的提出颠覆了经典物理学的传统观念，引发了物理学的革命性变革。
第二章：量子力学基本原理量子力学的基本原理包括态函数、波函数、不确定性原理等。
态函数描述了一个物理系统的状态，而波函数则描述了它的运动规律。
不确定性原理则揭示了粒子的位置和动量无法同时被精确测量的事实。
第三章：量子力学的数学工具量子力学使用一套独特的数学工具来描述和计算微观粒子的性质。
其中，薛定谔方程是量子力学的核心方程，它可以描述物理系统的时间演化情况。
同时，量子力学还利用了矩阵和算符等工具来描述粒子的运动和性质。
第四章：量子力学的测量量子力学中的测量过程有着独特的规律和特点。
测量结果是随机的，且测量改变了系统的状态。
测量的过程也揭示了观察者与被观测系统之间的相互关系。
第五章：量子力学的应用量子力学不仅仅是一门理论学科，还具有广泛的应用领域。
量子力学在材料科学、精密测量等领域都有重要的应用。
同时，量子计算和量子通信等新兴技术也是基于量子力学原理的。
第六章：量子力学的发展和前景随着科学技术的不断进步，量子力学理论也在不断发展和演化。
量子力学的研究将继续推动科学的边界，并为未来的技术发展提供新的突破点。
结语通过参加中国科学技术大学的量子力学公开课，我对量子力学有了更深入的了解。
量子力学作为一门前沿的学科，探索了微观世界的奥秘，为我们认识和改造世界提供了新的思路和方法。
我对于量子力学的学习充满了兴趣，并期待着在将来能进一步深入研究和应用这门学科。
总结：通过学习中国科学技术大学的量子力学公开课，我对于量子力学的基本原理、数学工具、测量方法和应用领域有了全面的认识。
物理学量子力学知识点梳理
物理学量子力学知识点梳理量子力学是现代物理学的重要分支之一，它彻底改变了我们对微观世界的理解。
在这篇文章中，我们将对量子力学的一些关键知识点进行梳理。
首先，我们来谈谈量子的概念。
量子并不是某种具体的粒子，而是指能量、物理量等存在的最小、不可分割的基本单位。
例如，光的能量就是以光子这种量子的形式存在和传递的。
波粒二象性是量子力学中的一个核心概念。
它指出微观粒子，如电子、光子等，既具有粒子的特性，比如有确定的位置和动量；又具有波动的特性，比如会产生干涉和衍射现象。
这意味着我们不能单纯地用经典的粒子或波动的观点来描述微观粒子的行为。
接下来是不确定性原理，也被称为海森堡不确定性原理。
它表明，对于一个微观粒子，我们不能同时精确地确定其位置和动量。
如果我们对位置的测量越精确，那么对动量的测量就越不精确，反之亦然。
然后是量子态的概念。
在量子力学中，微观粒子的状态不能用传统的确定的位置和动量来描述，而是用一种叫做量子态的方式。
量子态是由一组量子数来确定的，这些量子数描述了粒子的各种可能的性质和状态。
在量子力学中，薛定谔方程是一个非常重要的方程。
它类似于经典力学中的牛顿运动方程，用于描述量子态随时间的演化。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时刻的量子态。
再来说说量子隧穿现象。
在经典力学中，如果一个粒子的能量低于某个势垒的高度，那么它就无法越过这个势垒。
但在量子力学中，粒子有一定的概率能够穿过这个势垒，这就是量子隧穿。
还有量子纠缠，这是一种非常奇特的现象。
当两个或多个粒子发生相互作用后，它们的量子态会纠缠在一起，即使它们相隔很远，对其中一个粒子的测量也会瞬间影响到其他粒子的状态。
在量子力学的应用方面，半导体技术就是一个很好的例子。
半导体中的电子行为遵循量子力学规律，这使得我们能够制造出晶体管、集成电路等电子器件，从而推动了现代信息技术的发展。
另外，激光的原理也基于量子力学。
通过激发原子或分子在特定的量子态之间跃迁，产生相干的光辐射，从而实现激光的输出。
量子力学考试知识点
《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。
第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领会：定态、定态性质2.简明应用：定态薛定谔方程3.fdfgfdgdfg第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。
量子力学笔记
量子力学笔记
以下是关于量子力学的一些基本笔记：
1. 波粒二象性：量子力学中，粒子既可以表现为粒子，也可以表现为波动，具有波粒二象性。
这就意味着在一些实验中，粒子表现出波动性质，例如干涉和衍射现象。
2. 狄拉克方程：狄拉克方程是描述自旋½粒子的基本方程，它结合了爱因斯坦的相对论和量子力学的理论，为量子场论奠定了基础。
3. 不确定性原理：不确定性原理是由海森堡提出的，指出了我们无法同时准确测量粒子的位置和动量，或者能量和时间。
这意味着存在一个不确定度限制，我们不能完全精确地知道粒子的运动状态。
4. 波函数：波函数是描述量子体系的数学函数，包含了所有可能的信息。
它是一个复数函数，描述了粒子在空间中的概率分布和量子态信息。
5. 纠缠：量子力学中的纠缠现象指的是两个或多个粒子之间存在一种特殊的量子相互关联。
这种关联会导致量子纠缠态，其中一个粒子的测量结果会立即影响到其他纠缠粒子的状态。
6. 叠加态和测量：量子力学中的叠加态是指粒子处于多个可能状态的线性组合，直到进行测量时，才会塌缩到其中一个确定的状态。
这些只是量子力学的基本概念和原理的简要介绍，其中还有更深入和复杂的理论和实验结果。
中科院量子力学超详细笔记_第一章_量子
第一章 量子力学的物理基础§1.1 ，实验基础1, 第一组实验 —— 光的粒子性实验：黑体辐射、光电效应、Compton 散射能量分立、辐射场量子化的概念，实验揭示了光的粒子性质。
《黑体辐射谱问题》黑体辐射谱的Wien 经验公式（1894年）：考虑黑体空腔中单位体积的辐射场，令其中频率在ννν→+d 间的能量密度为dE d νεν=((1.1)这里c 1、c 2β=1/kT 间内与实验符合，但在中、低频区，特别是低频区与实验差别很大。
Rayleigh-Jeans 公式（1900，Rayleigh ；1905，Jeans ）：将腔中黑体辐射场看成大量电磁波驻波振子集合，利用能量连续分布的经典观念和Maxwell - Boltzmann 分布律，导出黑体辐射谱的另一个表达式——。
若记ενενν()=N ，这里N ν是腔中辐射场单位体积内频率ν附近单位频率间隔内电磁驻波振子数目（自由度数目），它为823πνc。
下面来简单推算出它： 00:222ikx ikxx x LL e e n kL n k k L L πππ==→==→=→Δ= 于是，在单位体积辐射场中，波数在3k k d k →+v v 内的自由度数目（22k c c ππνωλ===v ）为 22332233232312428882L k d k k d k d kd d c cL ππννπννππππ=⋅====⎛⎞⎜⎟⎝⎠v v v v 而εν是频率为ν的驻波振子的平均能量， 由M -B 分布律得kT d e d e ==∫∫∞−∞−00εεεεεβεβν于是得到 (1.2)这个与Wien但在高频波段不但不符合，出现黑体辐射能量密度随频率增大趋于无穷大的荒谬结果。
这就是著名的所谓“紫外灾难”，是经典物理学最早显露的困难之一。
1900年Planck 用一种崭新的观念来计算平均能量εν。
他引入了“能量子”的概念，即，假设黑体辐射空腔中振子的振动能量并不象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而是和振子的频率ν成正比并且只能取分立值， ......,3,2,,0νννh h h这里的正比系数h 就是后来所称的Planck 常数。