古代数学趣题

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中国古代数学

1. 及时梨果

元代数学家朱世杰于1303年编着的《四元玉鉴》中有这样一道题目：

九百九十九文钱，及时梨果买一千，

一十一文梨九个，七枚果子四文钱。

问：梨果多少价几何

此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个。问买梨、果各几个，各付多少钱 解：梨每个价：11÷9＝9

11（文） 果每个价：4÷7＝7

4（文） 果的个数：（911×1000－999）÷（911－7

4）＝343（个） 梨的个数：1000－343＝657（个）

梨的总价：9

11×657＝803（文） 果的总价：

74×343＝196（文） 2．两鼠穿墙

我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问何日相逢，各穿几何

今意是:有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙。大老鼠第一天进一

尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问几天后两鼠相遇，各穿几尺

解：第一天，1+1=2尺 还有3尺

第二天，2+=尺 还有尺

第三天，解：设还需X 天。

(4+X= X=

172 17

2天=2小时49分 在第三日凌晨2时49分相逢，相逢时大老鼠穿 尺，小老鼠穿 尺。

3．隔壁分银

只闻隔壁客分银，不知人数不知银，四两一份多四两，半斤一份少半斤。试问各位能算者，多少客人多少银（注：旧制1斤＝16两，半斤＝8两）

此题是民间算题，用方程解比较方便。

解：设客人为x 人。

4x＋4＝8x－8

x＝3

4×3＋4＝16（两）

答：客人3人，银16两。

4．李白打酒

李白街上走，提壶去打酒；

遇店加一倍，见花喝一斗；

三遇店和花，喝光壶中酒。

试问酒壶中，原有多少酒

这是一道民间算题。题意是：李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到酒店将壶中酒加一倍，每次遇到花就喝去一斗（斗是古代容量单位，1斗＝10升），这样遇店见花各3次，把酒喝完。问壶中原来有酒多少

解：设壶中原来有酒x斗。

［（2x－1）×2－1］×2－1＝0

7

x＝

8

5．今有物不知其数

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何”

题目的意思就是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个。这些物品的数量至少是多少个

（注：诗题及题目原文都无“至少”二字，但“孙子问题”都是些求“最少”或者求“至少”的问题，否则就会有无数多个答案。所以，解释题目意思时，在语句中加上了“至少”二字。）

《孙子算经》解这道题目的“术文”和答案是：“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。”“答曰：二十三。”

这段话的意思是：

先求被3除余2，并能同时被5、7整除的数，这样的数是140；

再求被5除余3，并能同时被3、7整除的数，这样的数是63；

然后求被7除余2，并能同时被3、5整除的数，这样的数是30。

于是，由140＋63＋30=233，得到的233就是一个所要求得的数。但这个数并不是最小的。

再用求得的“233”减去或者加上3、5、7的最小公倍数“105”的倍数，就得到许许多多这样的数：

｛23，128，233，338，443，…｝

从而可知，23、128、233、338、443、…都是这一道题目的解，而其中最小的解是23。

其实由于三个三个地数和七个七个地数都是剩2个，由此可求出3、7的最小公倍数再加2，也就是23个。23也正好是五个五个地数多3个，所以这些物品的数目至少是23个。