材料力学梁的应力
合集下载
材料力学第10章_梁的应力(1)
M
max
2 300 kNm
max
WZ
B
Wz
M
max
cm
3
B 1875
选择确定I字钢型号:INO50a
1875 1860 1875 100 % 0 .8 %
例 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁的截面 为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力 分别为[σ ]+＝40MPa， [σ ]－＝100MPa。试校核梁的强度是否安全。
Fa
Fb
C截面：
max
MC W zC
6
Fb
d 2
32
3
62 . 5 160 32
0 . 13
3
M
46 . 4 10 Pa 46 . 4 MPa
结论:轮轴安全
例 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形截 面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩 最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
(1)
（二）物理关系：
y
......
由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。
在弹性范围内
d
E
Ｏ Ｏ１
E
Ey
...... (2)
A１
y
Ｂ１ x
E
Ey
1
为梁弯曲变形后的曲率
上式说明了横截面上正应力的分布规律，表明正应力沿截面高度
呈线性变化，距中性轴越远，应力值越大，在中性轴处正应力为零。
max
2 300 kNm
max
WZ
B
Wz
M
max
cm
3
B 1875
选择确定I字钢型号:INO50a
1875 1860 1875 100 % 0 .8 %
例 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁的截面 为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力 分别为[σ ]+＝40MPa， [σ ]－＝100MPa。试校核梁的强度是否安全。
Fa
Fb
C截面：
max
MC W zC
6
Fb
d 2
32
3
62 . 5 160 32
0 . 13
3
M
46 . 4 10 Pa 46 . 4 MPa
结论:轮轴安全
例 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形截 面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩 最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
(1)
（二）物理关系：
y
......
由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。
在弹性范围内
d
E
Ｏ Ｏ１
E
Ey
...... (2)
A１
y
Ｂ１ x
E
Ey
1
为梁弯曲变形后的曲率
上式说明了横截面上正应力的分布规律，表明正应力沿截面高度
呈线性变化，距中性轴越远，应力值越大，在中性轴处正应力为零。
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
材料力学 弯曲应力与强度条件
F
150 50
A
l 2
B
l 2
96 .4 C 50
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
max
例题
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
q 30 kN m
A
0.5m
解：1、求支反力，画梁的弯矩图，确 定危险截面 FA 46.9KN , FB 28.1KN
E
y
X
A
0:
y
A
N dA E
A
dA
E
A
ydA 0
S Z ydA yc A 0(中性轴通过截面形心）
M
A
Z
0:
M Z ydA M
A
M yE dA
y
E
y 2 dA 令： y 2 dA I Z A
C截面
c
B
B截面
∴铸铁梁工作安全。如果T截面倒
例题
A
y 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 150 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 F 50 96 .4
150 50
A
l 2
B
l 2
96 .4 C 50
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
max
例题
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
q 30 kN m
A
0.5m
解：1、求支反力，画梁的弯矩图，确 定危险截面 FA 46.9KN , FB 28.1KN
E
y
X
A
0:
y
A
N dA E
A
dA
E
A
ydA 0
S Z ydA yc A 0(中性轴通过截面形心）
M
A
Z
0:
M Z ydA M
A
M yE dA
y
E
y 2 dA 令： y 2 dA I Z A
C截面
c
B
B截面
∴铸铁梁工作安全。如果T截面倒
例题
A
y 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 150 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 F 50 96 .4
【哈工大 材料力学 精品讲义】9.梁的弯曲应力
πd 4 d
64
max
O
k
k'
O' y
4FS 4FS
O
2d /3
3 π d 2 3A
C
4
y
§4.7 梁横截面的切应力
2、工字形薄壁梁
腹板上的切应力仍按矩 形截面的公式计算。
假设 // 腹板侧边，
并沿其厚度均匀分布 FS
(y)
FS
S
* z
I z
S
* z
——下侧部分截面
对中性轴 z 的静矩
解：1. 求支反力
FAy 90kN FBy 90kN
M C 60kN m
x
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832 105 m4
90kN 2. C 截面上K点正应力
x
K
M C yK IZ
60103 (180 30) 103 2
5.832 105
61.7 106 Pa 61.7MPa （压应力）21
3、矩形截面切应力的分布：
Fs
S
z
I zb
横向切应力
纵向 切应力
max
Fs
沿截面高度按二次抛物线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应力max在中性轴处( y=0 )； (3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。
§4.7 梁横截面的切应力
弯曲正应力与弯曲切应力比较
max
Fl bh2
( y) FS 8 I z
b(h02 h2 ) (h2 4 y2 )
max (0)
min
(
h) 2
§4.7 梁横截面的切应力
3、薄壁环形截面梁
材料力学梁的应力知识点总结
材料力学梁的应力知识点总结梁是一种常见的结构元件，在工程中广泛应用。
了解梁的应力知识点对于工程设计和分析非常重要，本文将对材料力学梁的应力知识点进行总结。
1. 弯曲应力在弯曲载荷下，梁会发生弯曲变形，产生弯曲应力。
弯曲应力分为正应力和剪应力两部分。
梁的顶端受拉产生正应力，底端受压产生正应力。
横截面上由于剪力的存在，产生剪应力。
弯曲应力与梁的几何形状、材料性质和载荷有关。
2. 矩形截面的弯曲应力分布对于矩形截面的梁，弯曲应力的分布是不均匀的。
顶部和底部的纤维受到最大应力，处于拉伸或压缩状态。
靠近中性轴的纤维受到较小的应力。
弯曲应力的分布可用弯矩与惯性矩的比值来表示。
3. 剪应力和剪力流在梁的截面上，由于剪力的存在，产生剪应力。
剪应力的分布是沿纵横两个方向呈对称分布的。
剪应力在截面上的变化呈线性分布，最大值出现在截面的边缘。
剪力流是指单位深度上的剪力大小，剪应力和剪力流之间存在直接的线性关系。
4. 应力分量的变换在梁的应力分析中，常常需要对应力分量进行变换。
常用的应力分量变换公式有平面应力变换公式和平面应变变换公式。
5. 横截面形状的影响梁的横截面形状对其应力分布和强度有显著影响。
常见的梁截面形状有矩形、圆形和I型等。
圆形截面具有均匀的应力分布特点，适用于承受压力的情况。
I型截面具有较高的抗弯强度，适用于悬挑梁和跨大距离的情况。
6. 梁的断裂当梁受力达到其强度极限时，可能会发生断裂。
断裂形式可以是横断面的剪断、疲劳断裂或脆性断裂等。
设计中需要考虑梁的强度和刚度，以避免出现断裂。
总结：材料力学梁的应力知识点对于工程领域非常重要。
弯曲应力、剪应力和剪力流是梁应力分析的关键内容；矩形截面的弯曲应力分布是不均匀的，可以用弯矩与惯性矩的比值表示；横截面形状对梁的应力分布和强度有重要影响。
通过深入理解和应用这些知识点，可以对梁的行为和性能进行合理评估和设计。
第五章梁的应力
y
ρ
σmin M
σmax
σmax
材料力学
3.静力关系 3.静力关系
M O dA y
z
第五章 梁的应力
FN = σdA = 0 ∫A M y = ∫AzσdA = 0 M z = ∫ yσdA = M A E ∫ σ dA = ∫ ydA = 0
A
z(中性轴 中性轴) 中性轴
x
[σc ] = 60MPa ,试校核梁的强度。 试校核梁的强度。
材料力学
52
第五章 梁的应力
解：（1）求截面形心 z1 z
yc =
80 × 20 × 10 + 120 × 20 × 80 = 52mm 80 × 20 + 120 × 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩 求截面对中性轴z
80 × 203 Iz = + 80 × 20 × 42 2 12 20 × 1203 + + 20 ×120 × 282 12 = 7.64 ×10 −6 m 4
A
a
C
B
l
1 2) M max = FL = 17.8kN • m 4 M max 17.8 × 103 σ max = = = 126 × 106 Pa = 126MPa < [σ ] Wz 141×10 −6
材料力学
第五章 梁的应力
例5-3-4：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图,[σt ] = 30MPa 型截面铸铁梁，截面尺寸如图,
材料力学
第五章 梁的应力
所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁 例5-3-5：图a所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁，该 ： 所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁， 截面对于中性轴z 的惯性矩I 已知图a中 截面对于中性轴 的惯性矩 z=5493×104 mm4。已知图 中， × b=2 m。铸铁的许用拉应力 σt]=30 MPa，许用压应力 σ c]=90 。铸铁的许用拉应力[σ ，许用压应力[ MPa 。试求梁的许可荷载 。 试求梁的许可荷载[F]。
材料力学梁的应力解读
材料力学梁的应力解读
梁是结构分析中最基本的问题之一，也是材料力学中一个重要的概念。
梁的应力解读，就是对梁结构中的应力的分析。
一般来说，在材料力学中，梁的应力解读可以从下面几个方面来进行：
（1）弯曲应力：弯曲应力是指当梁在受到外力的作用下发生偏移或
沿着其中一轴线变形时，梁中钢材筋的纵向应力称为弯曲应力。
根据梁的
预定约束方式，可以分为受自重弯曲的应力和受外力弯曲的应力。
受自重
弯曲的应力大小由梁的自重和梁的几何形态所决定，一般情况下，斜梁的
自重弯曲应力会比悬臂梁的自重弯曲应力大。
受外力弯曲的应力大小取决
于受力梁的拉张性和刚度，以及施加外力的位置，大小和作用方向等因素，其中最重要的是材料的弹性模量。
（2）剪切应力：梁结构的剪切应力，是指梁受到外力作用时，对面
两侧的钢材筋之间的剪切应力。
由于受力面两端受非对称分布的外力作用，使得受力面的梁结构受到剪切应力的作用，一般情况下，受力面梁结构分
布的剪切应力会在受力面的两端有最大值，随着回头距离变小而逐渐减小。
（3）压应力：梁受外力所产生的压应力，是指受力面角支撑点处承
受拉力的钢材筋之间的应力，称为压应力。
梁的弯曲(应力、变形)
和梁的跨度、截面尺寸等因素。
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
材料力学-第6章梁的应力分析与强度计算 (B)
dx＝－yd
式中的负号表示 y 坐标为正的线段产生 压缩变形； y 坐标为负的线段产生伸长 变形。
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力
应用平面假定确定应变分布
dx＝－yd
将线段的长度改变量除以原长dx，即 为线段的正应变，于是得到
dx d y ＝ ＝－y ＝－ dx dx
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力
对称面—— 梁的横截面具有对称轴，所有相同的对 称轴组成的平面，称为梁的对称面(symmetric plane)。
梁的对称面
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力
主轴平面 —— 梁的横截面没有对称轴，但是
加载平面与主轴平面一致
q
FP1
M
FP2
平面弯曲 —— 所有外力（包括力偶）都作用于梁的同一主
轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线位 于外力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力
M l
FP M
怎样确定横截面上的内力分布规律呢？
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
应力是不可见的，但变形却是可见的，而且二 者之间通过材料的物性关系相联系。因此，为了确 定内力的分布规律，必须分析和研究杆件的变形， 必须研究材料受力与变形之间的关系，即必须涉及 变形协调与物性关系两个重要方面。二者与平衡原 理一起组成分析弹性体内力分布规律的基本方法。
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力 斜弯曲的应力计算 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力 弯曲强度计算 结论与讨论
材料力学梁的弯曲应力
52 y
解：（1）求截面形心
z1
8 0 2 0 1 0 12 20 0 80
z
yc
5m 2 m 8 0 2 0 12 200
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
80 20 3 12
80 20 42 2
20 120 3 20 120 28 2 12
7.64 10 6 m4
28
2.5kN.m 4kN.m
与实验结果相符。
9
（2）应力分布规律
在线弹性范围内，应用胡克定律
sE E y
(b)
对一定材料， E=C； 对一定截面，
1
C.
sy
——横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。
当 y0时,s0；
应力为零的点的连线。
s s yyma 时 x, ma.x
M
与实验结果相符。
10
（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式
Iz
即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。 y
c
y2
z
y1
压边
39
（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低
M
值。
max
1、载荷尽量靠近支座：
F
F
A
A
B
B
0.8L
0.5L
L
L
0.25FL (+)
M 图
0.16FL (+)
M 图
40
F
F
A
BA
B
0.9L
L
L
0.09FL
(+)
M 图
M 图
41
2、将集中力分解为分力或均布力。
材料力学(土木类)第四章 弯曲应力(4)
dM * Sz −F = Iz
* N1
′ d FS = F
* FS S z τ 1′ = I zδ
FS h δ FS τ 1 = τ 1′ = × δη − = × η (h − δ ) I z δ 2 2 2 I z
δ
τ1max τmax O
τmax
FS τ1 = × η (h − δ ) 2I z
* FS S z FS τ= = I zb 2I z
h2 2 −y 4
τmax
O
(1) τ沿截面高度按二次抛物 线规律变化； 线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应 在中性轴处( 力τmax在中性轴处 y=0 )； ； (3)上下边缘处（y=±h/2)， 上下边缘处（ ± 上下边缘处 ， 切应力为零。 切应力为零。
σ max ≤ [σ ]
G
τ τ
σ σ
H
梁上任意点G 平面应力状态， 梁上任意点 和H →平面应力状态， 平面应力状态 若这种应力状态的点需校核强度时不 能分别按正应力和切应力进行， 能分别按正应力和切应力进行，而必 须考虑两者的共同作用（强度理论）。 须考虑两者的共同作用（强度理论）。
ql2/8
横力弯曲梁的强度条件： 横力弯曲梁的强度条件：
Ⅱ、梁的切应力强度条件 发生在F 所在截面的中性轴处， 一般τmax发生在 S ,max所在截面的中性轴处，该位置 σ=0。不计挤压，则τmax所在点处于纯剪切应力状态。 所在点处于纯剪切应力 纯剪切应力状态 。不计挤压，
q E m G mH l/2 C D l F E
τmax
F
τmax
梁的切应力强度条件为
τ
y b
FS1 = ∫ τ d A ≥ 0.9 FS
* N1
′ d FS = F
* FS S z τ 1′ = I zδ
FS h δ FS τ 1 = τ 1′ = × δη − = × η (h − δ ) I z δ 2 2 2 I z
δ
τ1max τmax O
τmax
FS τ1 = × η (h − δ ) 2I z
* FS S z FS τ= = I zb 2I z
h2 2 −y 4
τmax
O
(1) τ沿截面高度按二次抛物 线规律变化； 线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应 在中性轴处( 力τmax在中性轴处 y=0 )； ； (3)上下边缘处（y=±h/2)， 上下边缘处（ ± 上下边缘处 ， 切应力为零。 切应力为零。
σ max ≤ [σ ]
G
τ τ
σ σ
H
梁上任意点G 平面应力状态， 梁上任意点 和H →平面应力状态， 平面应力状态 若这种应力状态的点需校核强度时不 能分别按正应力和切应力进行， 能分别按正应力和切应力进行，而必 须考虑两者的共同作用（强度理论）。 须考虑两者的共同作用（强度理论）。
ql2/8
横力弯曲梁的强度条件： 横力弯曲梁的强度条件：
Ⅱ、梁的切应力强度条件 发生在F 所在截面的中性轴处， 一般τmax发生在 S ,max所在截面的中性轴处，该位置 σ=0。不计挤压，则τmax所在点处于纯剪切应力状态。 所在点处于纯剪切应力 纯剪切应力状态 。不计挤压，
q E m G mH l/2 C D l F E
τmax
F
τmax
梁的切应力强度条件为
τ
y b
FS1 = ∫ τ d A ≥ 0.9 FS
《材料力学》讲义4-4梁横截面上正应力梁正应力条件
q 3.5 2 7kN / m
4m
L 1
F 7 6 3 31.5kN
L2
4
2m
25 10m
31.5 31.5 31.5 31.5
WZ
M max
189103 215
879cm3
查表:
189kNm
I 36a
例题 4.31
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a） 的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图 （c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正 应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系 有四种答案，试判断哪一种是正确的。
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍
为平面。
中性层
中性轴：
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
mn
o1
o2
m
n
中性轴
F
mn
mn
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
mn
dx
z
y
d
dx
y
F
yd d y
d
E y E
FN
dA
A
E
ydA
许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车 1.确定F加在辅助梁的位置
A FA
C 辅助梁
x F
4m
L 1
F 7 6 3 31.5kN
L2
4
2m
25 10m
31.5 31.5 31.5 31.5
WZ
M max
189103 215
879cm3
查表:
189kNm
I 36a
例题 4.31
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a） 的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图 （c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正 应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系 有四种答案，试判断哪一种是正确的。
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍
为平面。
中性层
中性轴：
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
mn
o1
o2
m
n
中性轴
F
mn
mn
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
mn
dx
z
y
d
dx
y
F
yd d y
d
E y E
FN
dA
A
E
ydA
许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车 1.确定F加在辅助梁的位置
A FA
C 辅助梁
x F
纯弯曲梁的正应力实验报告
姓名：班级：学号：实验报告纯弯曲梁的正应力实验一、实验目的：1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律2.验证纯弯曲梁的正应力公式二、实验设备及工具：1.材料力学多功能试验台中的纯弯曲梁实验装置2.数字测力仪、电阻应变仪三、实验原理及方法：在纯弯曲条件下，根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到梁横截面上任意一点的正应力，计算公式：σ=My/I z为测量梁横截面上的正应力分布规律，在梁的弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。
贴法：中性层一片，中性层上下1/4梁高处各一片，梁上下两侧各一片，共计五片。
采用增量法加载，每增加等量荷载△P（500N）测出各点的应变增量△ε，求的各点应变增量的平均值△ε实i，从而求出应力增量：σ实i=E△ε实i将实验应力值与理论应力值进行比较，已验证弯曲正应力公式。
四、原始数据：五、实验步骤：1.打开应变仪、测力仪电源开关2.连接应变仪上电桥的连线，确定第一测点到第五测点在电桥通道上的序号。
3. 检查测力仪，选择力值加载单位N或kg，按动按键直至显示N上的红灯亮起。
按清零键，使测力计显示零。
4.应变仪调零。
按下“自动平衡”键，使应变仪显示为零。
5.转动手轮，按铭牌指示加载，加力的学生要缓慢匀速加载，到测力计上显示500N，读数的学生读下5个测点的应变值，（注意记录下正、负号）。
用应变仪右下角的通道切换键来显示第5测点的读数。
以后，加力每次500N，到3000N 为止。
6.读完3000N应变读数后，卸下载荷，关闭电源。
六、实验结果及处理：1.各点实验应力值计算根据上表数据求得应变增量平均值△εPi，带入胡克定律计算各点实验值：σ实i=E△εPi×10-62.各点理论应力值计算载荷增量△P=500N弯矩增量△M=△P/2×a应力理论值计算σ理i=∆M∙YiI z（验证的就是它）3.绘出实验应力值和理论应力值的分布图以横坐标表示各测点的应力σ实和σ理，以纵坐标表示各测点距梁中性层的位置。
材料力学——07 梁的弯曲应力与强度计算
（1）矩形截面中性轴附近的材
料未充分利用，工字形截
z
面更合理。
（2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。
2、根据截面模量选择：
为了比较各种截面的合理性，以 来W衡z 量。
截面越合理。
A
越W大z， A
截面形状 矩形
Wz
A
0.167h
圆形 槽钢
工字钢
0.125d (0.27~0.31)h (0.27~0.31)h (d=h)
在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的 切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物性 关系”。
（一）矩形截面
F mn
A m dx n L
分析方法（截面法）：ຫໍສະໝຸດ 1、沿 mm,nn 截面截开，
取微段dx。
B
h
m
n
b
FQ
M
M+dM
FQ
(+)
m
n
(-)
FQ 图
(+)
M 图
1 m
n 2
kl
m
n
弯曲应力/弯曲时的剪应力
纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长 度，这一纵向纤维层称为中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴 中性轴
中性层
（一）变形几何关系：
建立坐标系
m a b n dx
m
a by n
变形前：l bb dx d
变形后：l1 bb
( y)d
伸长量：ll1l (y)d dx
线应变： l ( y)d dx
第七章 梁的弯曲应力与强度计算
7．1梁横截面上的正应力
aP
Pa
A
B
FS
材料力学 正应力及其强度条件
中性层
中性轴
对 称 z o 轴 中 性 y 轴
中性层
F
F
m
n
2．纯弯曲正应力公式的推导 （一）几何关系： o
中性层
d q
m
n
中性轴
m
n o
z m o 1
m
n
z
r
o
o 2
n
中性轴
y
dx
n m dx
y
变形前:
y
l = dx = r × dq
变形后:
100
例题 4.22 &
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
F
150 50
A l 2 l 2
B
96 . 4 C 50
F
实验现象：
F
ü1、变形前互相平行的纵向直
m
n
线、变形后变成弧线，且凹边纤 维缩短、凸边纤维伸长。
ü2、变形前垂直于纵向线的横向
m
n
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
§由现象1
j靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的 一侧，纤维伸长； k由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出 一侧的缩短或伸长是连续变化，故中间一定 有一层，其纤维长度不变，这层纤维称为中 性层。中性层与横截面的交线称为中性轴； l弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
28 . 1
kNm
13. 16
材料力学04梁截面正应力
E E
y
M
这表明，直梁的横截面上的 正应力沿垂直于中性轴的方向按 直线规律变化(如图)。 11
三、静力学方面
横截面上的应力合成内力，则
FN d A
A
(d)
M y z d A
A
M z y d A
A
12
EI yz E M y z d A yz d A 0 A A
所以梁的强度由最大拉应力控制:
33
C截面：
F 3 2 m 13410 m M C 134103 m 4 t,max 30106 Pa Iz Iz
F 24.6kN
B截面：
F 3 2 m 8610 m M B 86103 m 2 t,max 30106 Pa Iz Iz
F 19.2kN
所以，该梁的许可荷载为[F]=19.2 kN。
34
§4-5 梁横截面上的切应力· 梁的切 应力强度条件
Ⅰ. 梁横截面上的切应力
• • • • 矩形截面梁 工字形截面梁 薄壁圆环形截面梁 圆截面梁
研究表明：截面上各点的切应力不相等
求解的理论根据：切应力互等定理
35
一、矩形截面梁
29
根据强度条件要求：
Wz M max
375 kN m 2460106 m3 152106 Pa
由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为
Wz 2447cm3 2447106 m3
此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故 可以选用56b工字钢。
工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力 不到5%，则通常还是允许的。
y
M
这表明，直梁的横截面上的 正应力沿垂直于中性轴的方向按 直线规律变化(如图)。 11
三、静力学方面
横截面上的应力合成内力，则
FN d A
A
(d)
M y z d A
A
M z y d A
A
12
EI yz E M y z d A yz d A 0 A A
所以梁的强度由最大拉应力控制:
33
C截面：
F 3 2 m 13410 m M C 134103 m 4 t,max 30106 Pa Iz Iz
F 24.6kN
B截面：
F 3 2 m 8610 m M B 86103 m 2 t,max 30106 Pa Iz Iz
F 19.2kN
所以，该梁的许可荷载为[F]=19.2 kN。
34
§4-5 梁横截面上的切应力· 梁的切 应力强度条件
Ⅰ. 梁横截面上的切应力
• • • • 矩形截面梁 工字形截面梁 薄壁圆环形截面梁 圆截面梁
研究表明：截面上各点的切应力不相等
求解的理论根据：切应力互等定理
35
一、矩形截面梁
29
根据强度条件要求：
Wz M max
375 kN m 2460106 m3 152106 Pa
由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为
Wz 2447cm3 2447106 m3
此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故 可以选用56b工字钢。
工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力 不到5%，则通常还是允许的。
材料力学——梁的弯曲应力PPT课件
M x 90KN
M C 90 1 60 1 0.5 60kNm
12
可得挠曲线的曲率方程：
M EI z
1
为常数，挠曲线 是一条圆弧线
EIz ——抗弯刚度。
正应力的计算公式为 横截面上最大正应力为
My s Iz
s max
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。 13
平放：
1 1 2 3 hb , Wz hb Iz 12 6
若h>b, 则
Wz Wz 。
15
d z
Iz
64
d 4,
Wz
32
d 3,
D
d z
Iz
64
(D d )
4 4
64
D4 (1 4 )
Wz
32
d ( ) D
D3 (1 4 )
﹡简单截面的惯性矩
矩形截面
y I z y dA h y bdy b 2 3 A
2 h 2 2
h 3 2 h 2
bh 12
3
园形截面
14
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放：
z h
b
b h z´
1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6
19
385 106 Pa 385MPa
例 题
y q=60KN/m
120
求: 1.C 截面上K点正应力
180
梁平面弯曲时横截面上的正应力,材料力学
Iz M
1 / 为梁轴线变形后的曲率 EI越大 1 / 越小 EI 梁的抗弯刚度
3、纯弯曲时正应力公式的推导
( y) E
y
M 该点的弯矩 Iz 截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩
4、纯弯曲时正应力分布关系 对某一截面而言，M和Iz 若都是确定的，当 横截面的弯矩为正时，则 ( y )沿截面高度 的分布规律:
实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截 面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公 式对于横力弯曲近似成立。
弯曲正应力公式
可推广应用于横力弯曲和小曲率梁但公式中的M应为所研 究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。
1、梁横力弯曲时横截面上的正应力 对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大 的横截面上，其大小应为:
2.9 107 mm 4
y2 200 53.2 146.8 mm
4、应力计算 考察C截面，弯矩为正
C截面下边受拉上边受压
M C y1 12 106 53.2 22MPa 7 Iz 2.9 10
C
M C y2 12 106 146.8 60.74MPa 7 Iz 2.9 10
⑴
截面关于中性轴对称
z
t max
c max
M Wz
t
Wz ——截面的抗弯截面系数
⑵ 截面关于中性轴不对称
max
z
t
My max Iz
max
c
My max Iz
c
几种常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
建筑力学 材料力学 梁的应力
M y1 y2
2.5kNm A1
A3
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
M C 2.5kNm(下拉、上压 )
M B 4kNm（上拉、下压）
G
A2
A4
画危面应力分布图，找危险点
-4kNm ○ ⊕ M 2.5kNm A1 A3 x
sA L
2
M C y2 2.5 88 28.2MPa 8 Iz 76310
[例4] 工字钢简支梁受力 如图a)所示，已知l＝6 mm， FPl＝12 kN，FP2＝21 kN， 试选择工字钢的型号。 解 (1) 作弯矩图 作出的弯矩图 如图b)所示。由图中可知Mmax＝36kN· m。 (2) 选择截面
Wz ≥
M max
钢的许用应力 s ＝160 MPa。
s
q=60kN/m B 2m 180 30 1 2 z 120 y + qL2 8 Mmax x
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
求应力
bh3 1201803 Iz 1012 5.832105 m 4 12 12
h Wz I z / 6.48 10 4 m 3 2
120 x
求曲率半径
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
M M1
+ qL2 8 Mmax
§6－2 梁的正应力强度及其应用
一、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的 上下边缘上。
s
M
s
s
二、正应力和剪应力强度条件：
M max s max s Wz
由此可见，全梁的最大拉应力为 s t max 39.3MPa ≤ s t ，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
靠近下部的纤维伸长。
3、假设：
b
d
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平
面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转
动了一个角度。
第六章 弯曲应力
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知，梁弯曲时
第六章 弯曲应力
§6-1 梁的正应力
F
一、 纯弯曲和横力弯曲的概念
a
剪力“Fs”——切应力“τ”；
A
弯矩“M”——正应力“σ”
１.纯弯曲
Fs
F
梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲
（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。
2.横力弯曲（剪切弯曲）
梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲
M
Fa
（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。
例：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力 ，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a 为多少？
a Pa
C2 A
2D B
l
l
2
2
解： 主梁AB的最大弯矩
M max AB
P (l a) 4
副梁CD的最大弯矩
由 M maxAB M maxCD 得 a l
2
第六章 弯曲应力
Mmax 20 kN m
15
t
M max Wz
20 103 0.1 0.22
6
30MPa < [ ]
第六章 弯曲应力
该梁满足强度条件，安全
例：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax全相同，求 三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。
2b A1 b
a A2
a
A3 d
解：由题意可知 Wz1 Wz2 Wz3
3.全梁上最大正应力
FBY
y
解： 1. 求支反力
4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ
FAy 90kN FBy 90kN
MC 901 6010.5 60kN m
x
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832105 m4
90kN 2. C 截面上K点正应力
2）查型钢表：
№10槽钢 b 4.8cm, Iz 25.6cm4, y1 1.52cm
y2 4.8 1.52 3.28cm
3）求应力：
y1 y2
y
z
σtmax
tmax
M Iz
y1
30001.52 25.6106
178 MPa
b
σcmax
cmax
M Iz
MmmaaxxcymaxMWmzax
IZ
(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)
6-2
例
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M
ql2 / 8 67.5kN m
120
1.C 截面上K点正应力
B
x
180
K
30 2.C 截面上最大正应力
z
应力的分布图：
E Ey
σmax M
Z
σmax y
中性轴的位置？ 中性层的曲率1 ？
1
为梁弯曲变形后的曲率
第六章 弯曲应力
M Z
y A zσ
（三）、静力方面：
由横截面上的弯矩和正应
x
力的关系→正应力的计算公式。
(1)
FN
dA
A
E yydA E
A
A 1m
实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与 横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正 应力公式对于横力弯曲近似成立。
弯曲正应力公式
My
IZ
可推广应用于横力弯曲和小曲率梁
横力弯曲梁上的最大正应力
B 2m
截面关于中性轴对称 截面关于中性轴不对称
t max max
K
MC yK IZ
60103 (180 30) 103 2
5.832 105
x
Байду номын сангаас
61.7 106 Pa 61.7MPa（压应力）
q=60kN/
A
m
B
C
x
1m FAY
l= 3m
FBY
FS 90k
N
x
90k N
x
M ql2 / 8 67.5kN m
A
B
Mmax = FL / 8
P/L
第六章 弯曲应力
0.2L Mmax =FL / 40
0.2L
合理安排梁的受力，减小弯矩。
F
A L/2
L/2 B
F
Mmax=PL / 4 F/2 F/2
L/4 Mmax = FL / 8 L/4
第六章 弯曲应力
F a
B
F
x
x
二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式
（一）变形几何关系： 由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。
1、观察实验：
第六章 弯曲应力
2、变形规律： ⑴ 横向线：仍为直线，只
ac
是相对转动了一个角度且仍
与纵向线正交。
bd
⑵ 纵向线：由直线变为曲 M
ac
M
线，且靠近上部的纤维缩短，
如何求出弯曲应力？
第六章 弯曲应力
变形形式 拉（压）
构件
扭转
弯曲
第六章 弯曲应力
内力 应力
轴力N N
A
扭矩T T r
Ip
弯矩M 剪力Q
？
应力从内力出发，亦即 由 弯曲内力 求 弯曲应力
强度问题 弯曲问题的整个分析过程：
弯曲内力
第六章 弯曲应力
弯曲应力
弯曲变形 刚度问题
§6-1 梁的正应力 §6-2 梁的正应力强度条件及其应用 §6-3 梁的合理截面形状及变截面梁 §6-4 矩形截面梁的切应力 §6-5 工字型截面及其他形状截面梁的切应力 §6-6 梁的切应力强度条件 §6-7 考虑材料塑性时梁的强度计算
材料力学
第6章 弯曲内力
第六章 弯曲应力
上一章学习了弯曲内力 —— 弯矩、剪力 （计算内力、画内力图）
目的：为解决弯曲强度“铺路” 地球上的人造结构，弯曲现象最常见， 太重要了！
如何解决弯曲强度问题？
第六章 弯曲应力
为此，请回顾一下以往的强度问题
拉压、扭转 —— 由应力算强度（已清楚）
弯曲
—— 应力（不了解）
WZ
IZ y max
圆截面
IZ
d 4
64
d 3
WZ 32
空心圆截面
IZ
D4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
矩形截面
IZ
bh3 12
WZ
bh2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ
( b0 h03 12
bh3 12
)
/(h0
/
2)
三、正应力公式的推广 工程中常见的平面弯曲是横力弯曲
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
2.5 kN
10.5 kN
C截面： t
2.5 88 Iz
28.8 MPa
c
2.5 52 Iz
17.0 MPa
B截面： t
4 52 Iz
27.3MPa
c
4 88
Iz
46.1MPa
例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片 ，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为 多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
CL8TU14
解： C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力
Pa M max CD 4
即 P (l a) P a
4
4
例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力 分别为［σt］和［σc］，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ为 截面形心）
P
y1
y2
Cz
解：
t
M max y1 Iz
[ t ]
(1)
c
M max y2 Iz
180
3. C 截面最大正应力 12
0 K
30 z
C 截面弯矩
y
MC 60kN m
IZ 5.832105 m4
Cmax
M C ymax IZ
60 103 180 103
2 5.832 105
92.55106 Pa 92.55MPa
q=60kN/m
从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出 一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵