材料力学梁的应力

第六章 弯曲应力
F a
B
F
x
x
二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式
（一）变形几何关系： 由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。
1、观察实验：
第六章 弯曲应力
2、变形规律： ⑴ 横向线：仍为直线，只
ac
是相对转动了一个角度且仍
与纵向线正交。
bd
⑵ 纵向线：由直线变为曲 M
ac
M
线，且靠近上部的纤维缩短，
4 88

Iz
46.1MPa
例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片 ，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为 多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
CL8TU14
解： C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力
如何求出弯曲应力？
第六章 弯曲应力
变形形式 拉（压）
构件
扭转
弯曲
第六章 弯曲应力
内力 应力
轴力N N
A
扭矩T T r
Ip
弯矩M 剪力Q
？
应力从内力出发，亦即 由 弯曲内力 求 弯曲应力
强度问题 弯曲问题的整个分析过程：
弯曲内力
第六章 弯曲应力
弯曲应力
弯曲变形 刚度问题
§6-1 梁的正应力 §6-2 梁的正应力强度条件及其应用 §6-3 梁的合理截面形状及变截面梁 §6-4 矩形截面梁的切应力 §6-5 工字型截面及其他形状截面梁的切应力 §6-6 梁的切应力强度条件 §6-7 考虑材料塑性时梁的强度计算
104.17 106 Pa 104.17MPa
x
M
ql2 / 8 67.5kN m
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN


M
ql2 / 8 67.5kN m
120
5. C 截面曲率半径ρ
180
B
30
xK
z
C 截面弯矩
FBY
y
MC 60kN m
( y)d d y
d

y
...... (1)
a
c
b
d
a
c
o
o1
A
Ｂ
y
b
d
dx
第六章 弯曲应力
（二）物理关系：由纵向线应变的变化 规律→正应力的分布规律。
在弹性范围内， E
E Ey ...... (2)
d
Ｏ
Ｏ１
A１
Ｂ１ x
y
第六章 弯曲应力
Pa M max CD 4
即 P (l a) P a
4
4
例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力 分别为［σt］和［σc］，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ为 截面形心）
P
y1
y2
Cz
解：
t

M max y1 Iz
[ t ]
(1)
c

M max y2 Iz
[ c ]
(2)
(1) 得： y1 [ t ]
(2)
y2 [ c ]
第六章 弯曲应力
例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］ =160MPa，校核该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
2m
4m
Fs (kN) 25 45kN
20
200
100 15kN 解：由弯矩图可见
180
3. C 截面最大正应力 12
0 K
30 z
C 截面弯矩
y
MC 60kN m
IZ 5.832105 m4
Cmax

M C ymax IZ
60 103 180 103

2 5.832 105
92.55106 Pa 92.55MPa
q=60kN/m
IZ 5.832105 m4
x
x 90kN
1M
EI
C

EIZ MC

200109 5.832105 60 103
194.4m
例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：
l 1 m, q 6kN / m,
q
解：1）画弯矩图
y1 y2
y
z b
| M |max 0.5ql2 3 kNm
应力的分布图：
E Ey
σmax M
Z
σmax y
中性轴的位置？ 中性层的曲率1 ？

1
为梁弯曲变形后的曲率
第六章 弯曲应力
M Z
y A zσ
（三）、静力方面：
由横截面上的弯矩和正应
x
力的关系→正应力的计算公式。
(1)
FN
dA
A
E yydA E
A
y2

3000 3.28 25.6 106

384
MPa
t max 178 MPa, cmax 384 MPa
第六章 弯曲应力
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
第六章 弯曲应力
一、梁的正应力强度条件
max

M max WZ
[ ]
利用上式可以进行三方面的强度计算： ①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度 ②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸 ③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出 一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵
中间层与横截面 的交线
向无长度改变的过渡层--------称为中
－－中性轴
性层 。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转
动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
4、线应变的变化规律：
A1B1 AB
AB
A1B1 OO1 OO1
第六章 弯曲应力
§6-1 梁的正应力
F
一、 纯弯曲和横力弯曲的概念
a
剪力“Fs”——切应力“τ”；
A
弯矩“M”——正应力“σ”
１.纯弯曲
Fs
F
梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲
（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。
2.横力弯曲（剪切弯曲）
梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲
M
Fa
（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。
例：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力 ，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a 为多少？
a Pa
C2 A
2D B
l
l
2
2
解： 主梁AB的最大弯矩
M max AB

P (l a) 4
副梁CD的最大弯矩
由 M maxAB M maxCD 得 a l
2
第六章 弯曲应力
3.全梁上最大正应力
FBY
y
解： 1. 求支反力
4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ
FAy 90kN FBy 90kN
MC 901 6010.5 60kN m
x
IZ

bh3 12

0.12 0.183 12
5.832105 m4
90kN 2. C 截面上K点正应力
A 1m
实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与 横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正 应力公式对于横力弯曲近似成立。
弯曲正应力公式
My
IZ
可推广应用于横力弯曲和小曲率梁
横力弯曲梁上的最大正应力
B 2m
截面关于中性轴对称 截面关于中性轴不对称
t max max
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
2.5 kN
10.5 kN
C截面： t

2.5 88 Iz
28.8 MPa
c

2.5 52 Iz
17.0 MPa
B截面： t
4 52 Iz
27.3MPa
c

WZ

IZ y max
圆截面
IZ

d 4
64
d 3
WZ 32
空心圆截面
IZ

D4
64
(1
4)
WZ

D3
32
(1
4)
矩形截面
IZ

bh3 12
WZ

bh2 6
空心矩形截面
IZ

b0h03 12

bh3 12
WZ

( b0 h03 12

bh3 12
)
/(h0
/
2)
三、正应力公式的推广 工程中常见的平面弯曲是横力弯曲
靠近下部的纤维伸长。
3、假设：
b
d
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平
面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转
动了一个角度。
第六章 弯曲应力
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知，梁弯曲时

MmmaaxxcymaxMWmzax
IZ
(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)
6-2
例
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN


M
ql2 / 8 67.5kN m
120
1.C 截面上K点正应力
B
x
180
K
30 2.C 截面上最大正应力
z
A
1m FAY
C l = 3m
4. 全梁最大正应力
120
180
B x
K
最大弯矩 30
z M max 67.5kN m
FBY
y
Iz 5.832105 m4
FS 90kN


x
90kN
max

M max ymax IZ
67.5103 180 103

2 5.832 105
2）查型钢表：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
№10槽钢 b 4.8cm, Iz 25.6cm4, y1 1.52cm
y2 4.8 1.52 3.28cm
3）求应力：
y1 y2
y
z
σtmax
tmax
M Iz
y1
30001.52 25.6106
178 MPa
b
σcmax
cmax
M Iz
K

MC yK IZ

60103 (180 30) 103 2
5.832 105
x
61.7 106 Pa 61.7MPa（压应力）
q=60kN/
A
m
B
C
x
1m FAY
l= 3m
FBY
FS 90k
N
x
90k N

x
M ql2 / 8 67.5kN m
A
B
Mmax = FL / 8
P/L
第六章 弯曲应力
0.2L Mmax =FL / 40
0.2L
合理安排梁的受力，减小弯矩。
F
A L/2
L/2 B
F
Mmax=PL / 4 F/2 F/2
L/4 Mmax = FL / 8 L/4
第六章 弯曲应力
最大正应力的确定 My
IZ
⑴
截面关于中性轴对称
max

Mymax IZ
z
t max


m
c ax

M Wz
WZ

IZ ymax
Wz ——截面的抗弯截面系数
⑵ 截面关于中性轴不对称
z
t max

Mym
t ax
Iz
c max

Mym
c ax
Iz
几种常见截面的 IZ 和 WZ
C

MC Wz
15MPa
应变值
C
E
15 106
200 109 q 40 kN / m
7.5 105
A C
B 300 200
1.5 m
1.5 m
§6-3 梁的合理截面形状及变截面梁
max

M max Wz


一、合理安排梁的受力，减小弯矩。 F/L

A
ydA

E

Sz 0 Sz 0
（中性轴Z轴为形心轴）
(2)
My
dAz
A

y
E
E zdA
A

E
A yzdA I yz 0 I yz 0
（y轴为对称轴，自然满足）
(3)
Mz
ydA
A

E y ydA E
A

A
y 2 dA

E

Iz

M
1M

EIZ
——弯曲变形计算的基本公式
第六章 弯曲应力
1 M
——弯曲变形计算的基本公式
将上式代入式
(
EIZ E

Ey

EI z ) 得：
梁的抗弯刚度。
My
Iz
弯曲正应力计算公式。
M Z
y zAσ x
y 弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。
当M > 0时，下拉上压； 当M < 0时，上拉下压。
即
b(2b) 2 6
a3 d3
6 32

b

0.6300a
d 1.193a
A1:A2:A3
2b2:a 2: d 2
4
0.794:1:1.12
2b A1 b
a A2
a
A3 d
例：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。
材料力学
第6章 弯曲内力
第六章 弯曲应力
上一章学习了弯曲内力 —— 弯矩、剪力 （计算内力、画内力图）
目的：为解决弯曲强度“铺路” 地球上的人造结构，弯曲现象最常见， 太重要了！
如何解决弯曲强度问题？
第六章 弯曲应力
为此，请回顾一下以往的强度问题
拉压、扭转 —— 由应力算强度（已清楚）
弯曲
—— 应力（不了解）
Mmax 20 kN m
15
t

M max Wz

20 103 0.1 0.22
6
30MPa < [ ]
第六章 弯曲应力
该梁满足强度条件，安全
例：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax全相同，求 三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。
2b A1 b
a A2
a
A3 d
解：由题意可知 Wz1 Wz2 Wz3