高中数学常用结论集锦

1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.2U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=3. 若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有(2n －1)个,非空真子集有(2n －2)个4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 三次函数的解析式的三种形式①一般式32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ ②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=②函数()y f x =的图象关于直2a bx +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =⇔=>≠>.log log log a a a M N MN +=(0.1,0,0)a a M N >≠>>log log log a a aMM N N-=(0.1,0,0)a a M N >≠>> 10.对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m n a a nb b m =.对数恒等式log aNa N =（0,1a a >≠）11.11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).12.等差数列{}n a 的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；13.等差数列{}n a 的变通项公式d m n a a m n )(-+=对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，(m,n,p,q 为正整数)则q p m n a a a a +=+。

14.若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。

如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 15.数列{}n a 是等差数列⇔n a kn b =+,数列{}n a 是等差数列⇔n S =2An Bn +16．设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：○1前n 项的和偶奇S S S n += ○2当n 为偶数时，d 2nS =-奇偶S ，其中d 为公差；○3当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=，11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n （其中中a 是等差数列的中间一项）。

17．若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ， 则'1212--=n n n n S S b a 。

18.等比数列{}n a 的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 等比数列{}n a 的变通项公式m n m n q a a -=其前n 项的和公式11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩. 19. 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+(n,m,u,v 为正整数)，则v u m n a a a a ⋅=⋅ 也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n na a a a a a 。

如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,1232120. 数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k kS S -2，kk S S 23-成等比数列。

如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 21. 同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅= . 2211tan cos αα+=22. 正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数即:奇变偶不变,符号看象限,如cos()cos ,sin()sin 22sin()sin ,cos()cos ππααααπααπαα+=-+=-=-=-23. 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 24. 二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.（升幂公式）221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==（降幂公式）22tan tan 21tan ααα=-. 25.万能公式:22tan sin 21tan ααα=+, 221tan cos 21tan ααα-=+ 26.半角公式:sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+ 27. 三函数的周期公式函数sin()y A x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y A x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；若ω未说明大于0,则2||T πω=函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.28. sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈ 29. cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈单调递减区间为[]2,2k k k Z πππ+∈， 对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈ 30. tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对称中心为(,0)()2k k Z π∈31. 正弦定理?2sin sin sin a b cR A B C=== 32. 余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.33.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OABS ∆=1tan 2OA OB θ(θ为,OA OB 的夹角)34.三角形内角和定理 在△ABC 中，有()222C A BA B C C A B πππ+++=⇔=-+⇔=-222()C A B π⇔=-+.35.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).36.向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 a ∥b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.37.线段的定比分公式 ?设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 38.若OA xOB yOB =+则A,B,C 共线的充要条件是x+y=139. 三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.40.点的平移公式 ''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ (图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k ). 41.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）b a b a b a +≤+≤-注意等号成立的条件(5)10,0)112a b a b a b+≤≤≤>>+ 42.极值定理 已知y x ,都是正数，则有（1）如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值241s .43.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.44.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.45.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩（22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 46.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩47.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）直线的方向向量v=(a,b),则直线的斜率为k =(0)b a a≠ 48.直线方程的五种形式:（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).（4）截距式1(,x ya b x y ab+=≠≠分别为轴轴上的截距,且a 0,b 0) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).49.两条直线的平行和垂直 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,①121221122100l l A B A B AC A C ⇔-=-≠且；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 50.夹角公式 2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)12211212tan A B A B A A B B α-=+(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 直线l 1到l 2的角是2121tan 1k k k k α-=+(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)51.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).52．两条平行线的间距离d =直线l 1：122120,0,)Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠).53. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 54.圆中有关重要结论:(1)若P(0x ,0y )是圆222x y r +=上的点,则过点P(0x ,0y )的切线方程为200xx yy r +=(2)若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=上的点,则过点P(0x ,0y )的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=(3) 若P(0x ,0y )是圆222x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200xx yy r +=(4) 若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=55.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.56.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.56.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的准线方程为2a x c =±,椭圆22221(0)x y a b b a +=>>的准线方程为2a y c=±57.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为22b a是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ则△P F 1 F 2的面积=2tan2b θ59.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的准线方程为2a x c =±双曲线22221(0,0)x y a b b a -=>>的准线方程为2a y c=±60. 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±双曲线22221(0,0)x y a b b a -=>>的的渐近线方程为ay x b =±是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ则△P F 1 F 2的面积=2cot 2b θ62.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.63. P(0x ,0y )是抛物线px y 22=上的一点,F 是它的焦点,则|PF|=0x +2p64. 抛物线px y 22=的焦点弦长22sin pl θ=,其中θ是焦点弦与x 轴的夹角65.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =212||1AB x x k a=-=+（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,k 为直线的斜率）.若（弦端点A ),(),,(2211y x B y x 由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去x 得到20ay by c ++=，0∆>,k 为直线的斜率）.则1221||1AB y y ak=-=+66.圆锥曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.67.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ． 68.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++， 则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=． 69. 空间两个向量的夹角公式 cos 〈a ，b 〉=（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ）.70.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).71.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.72.设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.73.若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).74.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 ,A B d =||AB AB AB =⋅= 75.点Q 到直线l距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).76.异面直线间的距离 ||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 77.点B 到平面α的距离 ||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 78. 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=（长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.79. 面积射影定理 'cos S S θ=(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 80.球的半径是R ，则其体积是343V R π=,其表面积是24S R π=． 81.1,,3V Sh V Sh ==锥柱82.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.83.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.84.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．85.排列恒等式 （1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m mn n n A A n m-=-;（3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n n A A mA -+=+. 86.组合数公式 mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ，m ∈N *，且m n ≤).87.组合数的两个性质(1) m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+ 88.组合恒等式（1）11m m n n n m C C m --+=;（2）1m mn n n C C n m-=-; （3）11m m n n n C C m--=; （4） 11k k n n kC nC --= （5）∑=nr r n C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .89.排列数与组合数的关系是：m mn n A m C =⋅！ .90.二项式定理 n n n r r n r n n n n n n nn b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 91.等可能性事件的概率()mP A n=. 92.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． 93.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．94.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k n n P k C P P -=-97.函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 98.导数与函数的单调性的关系 ㈠0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。