学年高中数学第一章解三角形章末复习课新人教A版必修5

第一章 章末复习课

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[警示·易错提醒]

1．三角形解的个数的确定(易错点)

已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．

(1)利用正弦定理讨论：若已知a 、b 、A ，由正弦定理a sin A ＝b

sin B ，得sin B ＝

b sin A

a

.若sin B ＞1，无解；若sin B ＝1，一解；若sin B ＜1，两解．

(2)利用余弦定理讨论： 已知a 、b 、A .由余弦定理a 2

＝c 2

＋b 2

－2cb cos A ，即c 2

－(2b cos

A )c ＋b 2－a 2＝0，这是关于c 的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若

方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．

2．三角形形状的判定方法

判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a ＝2R sin A ，a 2

＋b 2

－c 2

＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系

进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：

sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin (A －B )＝0⇔A ＝B ；sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π

2等；

二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sin A ＝a

2R

(R 为△ABC 外接圆半径)，cos A ＝

b 2＋

c 2－a 2

2bc

等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断． 3.解三角形应用题的基本思路

解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．

(对应学生用书P22)

专题一 利用正、余弦定理解三角形(自主研析)

[例1] △ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝π

3.

(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．

[自主解答] (1)由余弦定理得a 2

＋b 2

－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以

12

ab sin C ＝3，得ab ＝4.

联立方程组⎩

⎪⎨⎪⎧a 2

＋b 2

－ab ＝4，

b ＝2a ，

解得a ＝2，b ＝2.

(2)由正弦定理已知条件可化为b ＝2a ，

联立方程组⎩

⎪⎨⎪

⎧a 2

＋b 2

－ab ＝4，b ＝2a ，

解得a ＝233，b ＝43

3

，

所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝23

3.

归纳升华

正、余弦定理应用需注意的三个方面

(1)正弦定理和余弦定理提示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一．

(2)统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形．

(3)求值时注意方程思想的运用．

[变式训练] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin

C ＝b sin B .

(1)求角B 的大小；

(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得a 2

＋c 2

－2ac ＝b 2

. 由余弦定理得b 2

＝a 2

＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝

2

2

，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin 45°＝ 2＋6

4

. 故a ＝b ×sin A

sin B

＝1＋ 3.

由已知得，C ＝180°－45°－75°＝60°，

c ＝b ×

sin C sin B ＝2×sin 60°

sin 45°

＝ 6. 专题二 判断三角形的形状问题

[例2] 在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．

解：因为lg sin B ＝－lg 2，所以sin B ＝22

， 又因为0°＜B ＜90°，所以B ＝45°. 由lg a －lg c ＝－lg 2，得a c ＝22

. 由正弦定理得sin A sin C ＝22

即2sin (135°－C )＝2sin C ，

即2(sin 135°cos C －cos 135°sin C )＝2sin C ．所以cos C ＝0，得C ＝90°， 又因为A ＝45°，所以B ＝45°，从而△ABC 是等腰直角三角形． 归纳升华

利用正、余弦定理判断三角形形状的方法

主要有两种方法：方法一，通过边之间的关系判断形状；方法二，通过角之间的关系判断形状．

利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件转化为边的关系或转化为角的关系．