苏教版数学高二-选修2-3素材 2.3谈谈互斥事件与对立事件的联系与区别
互斥事件和对立事件
AB
事件A发生,事件B同时发生.
当A与B互斥时,A+B事件指“A发生B不发生”和“A不发生B 发生”；
(1)对于例3的(2)和(3)中的事件A和事件B,A+B表示什么事
件?
(2)对例3的(1),(2)和(3)中的每一对事件,通过计算完成表
3-10:
表3-10
(1)
(2)
()
P(A)
P(B)
P(A)+P(B)
2.一般地,如果随机事件A1,A2, • • • ,An中任 意两个是互斥事件,那么有
P(A1+A2+ • • • +An)=P(A1)+P(A2)+ • • • +P(An)
练习:在例1中,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,如果一
个人不能拉动超过22kg的质量,那么他将不能拉开拉力器， 则他不能拉开拉力器的概率是多少?
古典概型两个特征： 1、试验的所有结果只有有限个且每次只有一个结果，
2、每一个试验结果出现的可能性相同.
古典概型
m (事 件 A包 含 的 可 能 结 果 数 )
概率公式 P (A )n (试 验 的 所 有 可 能 结 果 数 )
概率模型 一般来说,在建立概率模型时，我们把什么看作是一
个基本事件是人为规定的,也就是说,对于同一个随机试验,
解: 总质量超过22kg,即质量为22.5kg,25kg,
30kg,40kg. 用A1表示事件“总质量为22.5kg”, 用A2表示事件“总质量为 用25Ak3g表”示, 事件“总质量为30kg”, 用A4表示事件“总质量为40kg”, 则A1+A2+A3+A4就表示事件“总质量超过 22kg”.
《互斥事件》 讲义
《互斥事件》讲义在概率统计的世界里，互斥事件是一个非常重要的概念。
理解互斥事件对于我们解决各种概率问题、预测随机现象以及做出合理的决策都具有关键意义。
接下来，就让我们一起深入探讨互斥事件的奥秘。
一、互斥事件的定义互斥事件，简单来说，就是指两个事件不能同时发生。
比如说，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上就是互斥事件，因为在一次抛硬币的过程中，不可能既正面朝上又反面朝上。
再比如，从一副扑克牌中抽一张牌，抽到红桃和抽到黑桃就是互斥事件，因为一张牌不可能既是红桃又是黑桃。
用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即A ∩ B ＝∅。
这意味着 A 和 B 没有共同的结果。
二、互斥事件与对立事件的区别在学习互斥事件的过程中，很多同学容易将其与对立事件混淆。
对立事件是一种特殊的互斥事件。
互斥事件只是说两个事件不能同时发生，但它们有可能都不发生；而对立事件不仅不能同时发生，而且必然有一个会发生。
举个例子，掷骰子，点数小于 3 和点数大于 3 是互斥事件，但不是对立事件，因为还有点数等于 3 的情况。
而点数小于 4 和点数大于等于 4 就是对立事件，因为骰子的点数要么小于 4，要么大于等于 4，没有其他可能。
三、互斥事件的概率计算既然互斥事件不能同时发生，那么在计算它们的概率时就有一些特殊的规则。
如果 A 和 B 是互斥事件，那么事件 A 或事件 B 发生的概率等于事件 A 的概率加上事件 B 的概率，即 P(A ∪ B) ＝ P(A) ＋ P(B) 。
例如，一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机摸一个球，摸到红球的概率是 5/8，摸到蓝球的概率是 3/8，因为摸到红球和摸到蓝球是互斥事件，所以摸到红球或蓝球的概率就是 5/8 ＋ 3/8 ＝ 1 。
再来看一个稍微复杂点的例子。
在一次抽奖活动中，一等奖的中奖概率是 001，二等奖的中奖概率是 005，三等奖的中奖概率是 01。
互斥事件和对立事件
数学 10
解:(1)从图可以看出,3个课外兴趣小组总人数 为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个”
则 A 就表示“选取的成员至少参加2个小组”, 于是, P (A ) 1 P (A ) 1 6 8 1 0 0 .6 .
6 0 因此,随机选取的1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.
AB
事件A发生,事件B同时发生.
当A与B互斥时,A+B事件指“A发生B不发生”和“A不发生B 发生”；
(1)对于例3的(2)和(3)中的事件A和事件B,A+B表示什么事
件?
(2)对例3的(1),(2)和(3)中的每一对事件,通过计算完成表
3-10:
表3-10
(1)
(2)
(3)
P(A)
P(B)
P(A)+P(B)
P(A+B)
根据表3-10中的结果,你发现P(A+B)与P(A)+P(B)有什么样
的大小关系?
第二个质量 2.5
5
10 20
总质量
第一个质量
2.5 5 10
20
5
7.5 12.5 22.5
7.5
10
15 25
12.5 15
20 30
22.5 25
30 40
P(A) P(B) P(A)+P(B) P(A+B)
解:在(1)(2)(3)中,事件A与事件B不可能同时发生,因此， 事件A与事件B是互斥事件.
对于(4)中的事件A和事件B,随机地从2个箱子中各取1 个质量盘,当总质量为20kg时,事件A与事件B同时发生,因 此,事件A与事件B不是互斥事件.
人教版高中数学-谈谈互斥事件与对立事件的联系与区别.
谈谈互斥事件与对立事件的联系与区别一. 互斥事件与对立事件的定义1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件A 、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B ，用概率的加法公式)()()(B P A P B A P +=+计算.2. 对立事件：必有一个发生的两个互斥事件A 、B 叫做互为对立事件,即-=A B 或-=B A .用概率的减法公式()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=_1A P A P 计算其概率.高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查.二.互斥事件与对立事件的联系与区别1. 对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定对立;2. 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可以对应很多事件，但最多只有一个发生，也可能都不发生;3. 从集合论(即把事件转换成集合的关系来看)的角度来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的交集都是空集且并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集;4.两个对立事件的概率之和一定是1,而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ;5. 若事件B A ,是互斥事件，则有:()()()B P A P B A P +=+ ;而对立事件A 与A 则有:()()A P A P -=1;6.一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有 ()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ;7.在教材中n A A A +++...21 指的是n A A A ,...,,21 中至少发生一个 ;8.在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来.三. 互斥事件例题解析例1.10本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,能取出数学书的概率有多大？解：基本事件的总数为：12×11÷2＝66“能取出数学书”这个事件所包含的基本事件个数分两种情况：（1）“恰好取出1本数学书”所包含的基本事件个数为：10×2＝20（2）“取出2本都是数学书”所包含的基本事件个数为：1而事件“恰好取出1本数学书” 与“取出2本都是数学书” 为互斥事件.所以“能取出数学书”这个事件的概率为:P （“能取出数学书”）＝P （“恰好取出1本数学书”）+ P （“取出2本都是数学书”）=6620661+=227. 例2.某热水瓶胆生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：（1）2件都是一级品的概率；（2）至少有一件二级品的概率．解：（1）设2件都是一级品为事件A ．从10件产品中抽取2件,共有45个基本事件,且都是等可能的，而事件A 的结果（即包含的基本事件数）有28种, 则P （A ）=2845． （2）设至少有一件二级品为事件B ，则B 是两个互斥事件：“抽取的2件产品中包含了一件一级品，一件二级品（记为B 1）”与“抽取的2件产品均为二级品（B 2）”的和.而P （B 1）=1645，P （B 2）=145. ∴P （B ）=P （B 1+B 2）= P （B 1）+ P （B 2）=16117454545+=． 说明:确定两事件是否是互斥事件时,若对事件是否互斥把握不准,可以把事件转换为相应的集合,看看集合的交集是否为空集.四. 对立事件例题解析例3.甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道, 甲、乙两人依次各抽一题．(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?解：甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是90种.即基本事件总数是90.(1)记“甲抽到选择题、乙抽到判断题”为事件A,下面求事件A 包含的基本事件数: 甲抽到选择题有6种抽法,乙抽到判断题有4种抽法,所以事件A 的基本事件数为24.所以()1549024==A P . (2)先考虑问题的对立面:“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B,“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 包含的基本事件数为12.所以由古典概型概率公式,得().1529012==B P 由对立事件的性质可得: ()()151315211=-=-=B P C P . 说明:含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较繁琐时,可考虑其反面,即对立事件,然后应用对立事件的性质()()A P A P -=1进一步求解.。
§232互斥事件与对立事件
自己所提的问题：
质疑交流——激发创新思维火花
议题1：5件产品中有2件次品，从中任取2件。
（1）判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件，如果不是对立事件，再分别说出它们的对立事件。
（a）“恰有一件是次品”与“恰有两件次品”。
（b）“至少有一件次品”与“全是次品”
（c）“至少有一件正品”与“至少有一件次品”
自我挑战一
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数为及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.30.3Fra bibliotek0.10.04
(1)至少3人排队等候的概率是多少?
(2)有人排队等候的概率是多少?
自我挑战二
某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是 和 .试求该市足球队夺得全省足球赛冠军的概率.
5.若A表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B表示废品不少于两件的事件,试问对立事件 、 各表示什么?
学习建议：（用15分钟时间独立完成，并注意规范书写）
1.一口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球,从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A,摸出1只白球和1只黑球为事件B.问事件A和B是否为互斥事件？是否为对立事件？
2.在一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球,从中任取一个球,求：
（1）求他参加不超过2个小组的概率是多少？
（2）求他至少参加2个小组的概率是多少？
话题2：某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
《互斥事件》 讲义
《互斥事件》讲义在我们的日常生活和数学世界中，经常会遇到各种各样的事件。
其中，有一种特殊的关系叫做互斥事件。
今天，就让我们一起来深入了解一下互斥事件的奥秘。
一、互斥事件的定义互斥事件，简单来说，就是指两个或多个事件不能同时发生。
比如说，掷一枚骰子，出现点数为 1 和出现点数为 2 这两个事件就是互斥的，因为骰子在一次投掷中不可能同时出现 1 点和 2 点。
再举个生活中的例子，明天是晴天和明天是雨天，这两个事件也是互斥的，因为明天不可能既是晴天又是雨天。
用数学语言来表述，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即A∩B ＝∅。
二、互斥事件的特点1、不可能同时发生这是互斥事件最核心的特点。
就像前面提到的例子，在同一条件下，两个互斥事件不会同时出现结果。
2、互斥事件的并集等于它们各自发生的概率之和假设事件 A 的概率为 P(A)，事件 B 的概率为 P(B)，因为 A 和 B 互斥，所以 A 或 B 发生的概率 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
三、互斥事件与对立事件的区别在学习互斥事件时，很多同学容易把它和对立事件混淆。
其实，对立事件是一种特殊的互斥事件。
互斥事件只是说两个事件不能同时发生，但它们有可能都不发生。
而对立事件则是“非此即彼”的关系，除了这两个事件，没有其他可能。
比如，掷骰子出现奇数点和出现偶数点就是对立事件。
四、互斥事件的实际应用1、抽奖活动在抽奖活动中，假设一等奖、二等奖、三等奖的设置是互斥的。
那么一个人不可能同时获得多个奖项。
通过计算每个奖项的概率，可以预估中奖的可能性。
2、体育比赛比如在足球比赛中，主队获胜和客队获胜是互斥事件。
通过分析两支球队的实力、状态等因素，计算出各自获胜的概率。
3、市场调查在市场调查中，消费者选择品牌 A 和选择品牌 B 可能是互斥的。
了解这些互斥事件的概率，可以帮助企业制定营销策略。
五、如何判断互斥事件1、从事件的描述入手仔细分析事件的本质，如果两个事件的结果不可能同时出现，那么它们很可能是互斥事件。
《互斥事件和独立事件》 讲义
《互斥事件和独立事件》讲义互斥事件和独立事件讲义在概率论中，互斥事件和独立事件是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题以及深入理解随机现象的本质至关重要。
接下来，让我们详细探讨一下这两个概念。
一、互斥事件互斥事件，又称为互不相容事件，指的是在一次试验中，两个事件不能同时发生。
比如说，掷一枚骰子，“出现点数为1”和“出现点数为2”就是互斥事件，因为骰子在一次投掷中不可能同时显示 1 点和 2 点。
用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即A ∩ B ＝ Ø。
互斥事件的概率计算相对简单。
如果事件A 和事件B 是互斥事件，那么事件 A 或事件 B 发生的概率等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率，即 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
例如，在一个袋子里有 3 个红球和 2 个蓝球，从中随机取出一个球，“取出红球”和“取出蓝球”就是互斥事件。
假设取出红球的概率为 3/5，取出蓝球的概率为 2/5，那么取出红球或者蓝球的概率就是 3/5 ＋ 2/5＝ 1。
二、独立事件独立事件则是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
比如，今天下雨和明天考试成绩是否优秀就是两个独立事件，今天下雨并不会影响明天考试成绩的好坏。
数学上，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 和事件 B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以事件 B 发生的概率，即P(A∩B) ＝ P(A) × P(B)。
举个例子，掷两次骰子，第一次掷出 6 点和第二次掷出 6 点就是独立事件。
假设每次掷出 6 点的概率都是 1/6，那么两次都掷出 6 点的概率就是 1/6 × 1/6 ＝ 1/36。
三、互斥事件与独立事件的区别互斥事件和独立事件的区别是理解这两个概念的关键。
首先，从定义上看，互斥事件关注的是两个事件是否能同时发生，而独立事件关注的是一个事件的发生是否会影响另一个事件的发生概率。
对立事件和互斥事件公式
对立事件和互斥事件公式
对立事件和互斥事件是概率论中常用的概念，用于描述两个事件之间的关系。
在概率论中，事件是指可能发生或不发生的某种情况或结果。
下面我们将介绍对立事件和互斥事件的定义和相关公式。
对立事件是指两个事件中至少一个事件发生的情况下，另一个事件一定不会发生。
换句话说，对立事件是互相排斥的事件。
如果事件A和事件B是对立事件，那么当事件A发生时，事件B一定不会发生；反之亦然。
对立事件可以用符号表示为A和B。
对立事件的概率公式是：P(A) + P(B) = 1。
这是由于在概率论中，所有可能的事件的概率之和必须等于1。
因此，如果事件A的概率为P(A)，那么事件B的概率就是1减去事件A的概率，即P(B) = 1 - P(A)。
互斥事件是指两个事件中只能发生一个事件的情况。
换句话说，互斥事件是两个事件中任意一个事件发生了，另一个事件一定不会发生。
互斥事件可以用符号表示为A或B。
互斥事件的概率公式是：P(A或B) = P(A) + P(B)。
这是因为在互斥事件中，事件A和事件B只能发生一个，所以它们的概率之和就等于同时发生事件A和事件B的概率。
需要注意的是，对立事件和互斥事件是不同的概念。
对立事件指的是两个事件中至少一个事件发生，另一个事件不会发生；而互斥事件指的是两个事件中只能发生一个事件。
对立事件是互斥事件的一种特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件。
在实际应用中，对立事件和互斥事件的概念和公式经常被用于计算概率、推导事件的关系以及进行统计分析。
互斥与对立知识点总结
互斥与对立知识点总结I. 互斥与对立的基本概念1. 互斥的概念互斥是指两个或多个概念、事件、观点或属性不能同时存在或发生的关系。
在某种情况下，它们之间是相互排斥的，即一个存在时另一个就不存在，或者一个发生时另一个就不可能发生。
互斥关系可以在各种领域中见到，比如在数学中，两个事件A和B如果是互斥事件，那么它们不可能同时发生；在生活中，冬天和夏天是互斥的季节，它们不可能同时存在。
2. 对立的概念对立是指两个概念、事件、观点或属性在某些方面相互对立、相对矛盾或相互排斥的关系。
在对立关系中，一方的存在或发生与另一方的不存在或不发生是相对立的。
对立关系常常表现为两者在一定条件下只能选其一的关系，比如在生活中，黑白、善恶、正误等都是对立的概念。
II. 互斥与对立的特性1. 互斥的特性互斥关系表现为相互排斥、不可共存的特征。
在互斥关系中，一方的存在或发生会排斥另一方的存在或发生，二者是互不相容的。
在数学中，互斥事件的概念是指两个事件不能同时发生；在生活中，男性和女性是互斥的性别。
2. 对立的特性对立关系表现为相对矛盾、相互排斥的特征。
在对立关系中，一方的存在或发生与另一方的不存在或不发生是相对立的，它们在某些方面对立，互相排斥。
在生活中，善与恶、美与丑、真与假等都是对立的概念。
III. 互斥与对立的逻辑规律1. 互斥关系的逻辑规律在逻辑上，互斥关系表现为排中否命题，即两个命题不能同时成立的逻辑关系。
如果一个事件A发生，那么事件B就不可能发生；如果事件B发生，事件A也不可能发生。
在数学中，互斥事件的概率加在一起等于1，在概率论中有着重要的应用。
2. 对立关系的逻辑规律对立关系表现为互不可兼得的逻辑规律。
如果一个命题是真的，那么它的对立命题就是假的；如果一个命题是假的，那么它的对立命题就是真的。
在逻辑推理、论证和辩证法中，对立关系是非常重要的一种规律，它在求证和推理中起着重要的作用。
IV. 互斥与对立的实际应用1. 在科学研究中互斥与对立的思维方式在科学研究中有着广泛的应用。
§231互斥事件与对立事件
合作探究——培养创新思维品质
探究点一
话题1：根据议题1中(1),(2),(3)中每一对事件,计算P(A)，P(B),P(A)+P(B)，P(A+B)，然后根据你的结果,你能发现P(A)，P(B), P(A)+P(B)，P(A+B)之间有什么关系吗?
话题2：课本第142页例4
从一箱新产品中随机地抽取一件新产品，设A=“抽到的是一等品”B=“抽到的是二等品”，C=“抽到的是三等品”，且P(A)=0.7, P(B)=0.1,P(C)=0.05.求下列事件的概率.
3．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）= ，P（B）= ，求出现奇数点或2点的概率之和。
4．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是 ，从中取出2粒都是白子的概率是 ，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
通过不同形式的自主学习和探究活动体验数学发现和创造的历程提高学生的合作能力和创造的历程提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力
课题
§2.3.１互斥事件与对立事件
第1课时
第8周
学习目标
1.理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用范围和具体运算法则解决简单的概率问题。
2.通过引导学生判断互斥事件和对立事件概念的的对比学习，提高学生的类比、归纳、探寻事物的能力。通过课堂上学生独立思考、合作讨论，有意识、有目的的培养学生自主学习的学习习惯与协作共进的团队精神；培养学生的辩证唯物主义观点。通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和创造的历程，提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力。
辨析互斥事件与对立事件
辨析互斥事件与对立事件作者：万青来源：《高中生学习·高二版》2015年第11期日常生活中，经常会遇到一些无法事先预测结果的随机事件，事件与事件的关系是研究概率的基础，而互斥事件与对立事件是事件的关系中两个易混淆的概念，同学们在学习过程中一定要正确理解. 这样才能夯实基础，有条理地思考，从而准确地分析问题，解决问题.互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件则必有一个发生，但不可能同时发生. 从集合的角度看：几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此交集是空集，而事件A的对应事件[A]包含的结果组成的集合，是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集. 下面通过实例对这两个概念进行辨析：例1 ;在掷一枚骰子的试验中，可以定义许多事件：C1={出现1点};C2={出现2点};C3={出现3点};C4={出现4点};C5={出现5点};C6={出现6点};D1={出现的点数不大于1};D2={出现的点数大于6};D3={出现的点数小于5};E={出现的点数小于7};F={出现的点数大于6};G={出现的点数为偶数};H={出现点数为奇数}…（1）判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由.①事件C1与事件C2②事件C1与事件D3③事件E与事件F分析 ;判断两个事件是否为互斥事件就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生则是互斥事件，反之就不是互斥事件.解 ;①是互斥事件. 因为掷一枚骰子每次只能出现一个数，出现1点就不可能同时出现2点，所以是一对互斥事件.②不可能是互斥事件. 因为“出现的点数小于5”包含“出现1点”，所以事件C1与事件D3可同时发生.③是互斥事件. 因为事件E为必然事件，它一定会发生的，而事件F为不可能事件，它一定不会发生的，即二者不可能同时发生，用集合的观点分析：事件E为全集，事件F为空集，二者的交集是空集，即不可能同时发生.点拨 ;互斥事件是概率知识中的重要概念，可以从两个方面来说明：用定义看是否同时发生;类比集合的运算，看交集是否为空集，若为空集，则两事件是互斥的.如果事件A1，A2…An中的任何两个都是互斥事件，则称事件A1，A2…An彼此互斥，如题目中的C1，C2…C6是彼此互斥的，反映在集合上，表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此交集为空集.（2）判断下列各对事件是否构成对立事件？①事件G与事件H ②事件E与事件F分析 ;判断两事件是否构成对立事件，关键看两事件所含结果组成的集合是否互为补集，若是互为补集则两事件是对立事件.解 ;①因为骰子的出现的点数不是奇数就是偶数，“出现的点数为偶数”所组成的集合的补集就是“出现的点数为奇数”所组成的集合.所以事件G与事件H构成对立事件.②因为在集合中，全集的补集为空集.事件E所含结果构成的集合是全集，而事件F所含结果构成的集合是空集，所以二者也是对立事件.点拨 ;对立事件是概率中又一个重要概念，要正确理解，就要清楚对立事件是对两个事件而言的，这两个事件中必须有一个发生而另一个不发生. 从集合角度看，由事件A所含结果组成的集合，是全集中事件A所含结果组成的集合的补集.（3）判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.①事件F与事件G ②事件G与事件H解 ;①是互斥事件，不是对立事件.因为事件F是不可能事件，它与事件G不可能同时发生，所以二者是互斥事件，同时不能保证其中必有一个发生这是由于骰子还可能出现的点数为奇数，因此，二者不是对立事件.②既是互斥事件，又是对立事件. 因为骰子出现的点数不是奇数就是偶数，只能出现一个数，所以这两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生.点拨 ;互斥事件和对立事件都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是在互斥事件基础上，其中必有一个发生的互斥事件，即对立事件是特殊的互斥事件. 因此对立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说互斥事件是对立事件的必要但不充分条件.例2 ;某射手射击一次，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.12，0.32，0.27，0.11. 若这名射手射击一次，求：（1）射中9环或8环的概率;（2）至少射中7环的概率.解设射手射击一次射中10环，9环，8环，7环分别记为事件A，B，C，D.它们是彼此互斥的，其概率分别为P（A）=0.12，P（B）=0.32，P（C）=0.27，P（D）=0.11.（1）射中9环或8环为事件B∪C，则P（B∪C）=P（B）+P（C）=0.32+0.27=0.59.故射中9环或8环的概率为0.59.（2）至少射中7环为事件A∪B∪C∪D，则P（A∪B∪C∪D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=0.82.故至少射中7环的概率为0.82.点拨 ;本题是概率计算题中的典型题型，需要辨清事件之间的关系，从而选择正确的概率计算公式.例3 ;甲、乙两人下棋，乙不输的概率是0.7，下成和棋的概率为0.5，分别求出甲、乙获胜的概率.分析 ;记甲胜为事件A，乙胜为事件B，和棋为事件C，故事件A，B，C彼此互斥，乙不输为事件B∪C.解法一 ;甲、乙两人下棋，结果只有三种：甲胜、和棋、乙胜，彼此都是互斥的. 其中乙不输为互斥事件“乙胜”与“和棋”的并集，从而可以求出乙胜的概率，并可以求出甲胜的概率.P（B）=P（B∪C）-P（C），又根据题意有P（B∪C）=0.7，P（C）=0.5，故P（B）=0.7-0.5=0.2，P（A）=1-P（B∪C）=1-0.7=0.3.所以甲、乙获胜的概率分别为0.3，0.2.解法二 ;乙不输与甲获胜为对立事件，故可直接求出甲获胜的概率，从而求出乙获胜的概率.乙不输与甲获胜是对立事件，故P（A）=1-0.7=0.3，又结果只有三种：甲胜、和棋、乙胜，且彼此互斥. 故P（B）=1-P（A）-P（C）=1-0.3-0.5=0.2，所以甲、乙获胜的概率分别为0.3，0.2.总结 ;解答此类问题的关键，在于判断两事件是互斥事件还是对立事件，也就是牢记“在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件则必有一个发生，但不可能同时发生”. 只要我们正确理解了二者的概念，抓住了本质，再根据已经判断出的情况，开展后续计算求解，那么这类问题也就迎刃而解了.[练习]1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ; ）A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶2.若P（AUB）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（ ; ）A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上答案都不对3.从扑克牌40张（红、黑、方、梅点数从1到10各10张）中，任取一张.判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”;（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;（3）“抽出的牌点数为5的位数”与“抽的牌点数大于9”.[参考答案]1.D ;2.D3.（1）是互斥事件，不是对立事件;（2）既是互斥事件，又是对立事件;（3）不是互斥事件，更不可能是对立事件.。
《互斥事件》 讲义
《互斥事件》讲义在概率论和统计学中，“互斥事件”是一个非常重要的概念。
理解互斥事件对于我们解决各种概率问题、分析随机现象具有关键意义。
接下来，让我们一起深入探讨互斥事件。
一、互斥事件的定义互斥事件，指的是两个事件不能同时发生。
换句话说，如果事件 A 发生，那么事件 B 就一定不会发生；反之，如果事件 B 发生，事件 A 就一定不会发生。
例如，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上就是互斥事件。
因为在一次抛硬币的过程中，硬币不可能同时既正面朝上又反面朝上。
再比如，从一个装有红球和蓝球的盒子中随机摸出一个球，摸到红球和摸到蓝球就是互斥事件。
二、互斥事件与对立事件的区别在学习互斥事件时，容易与之混淆的概念是对立事件。
对立事件是一种特殊的互斥事件。
互斥事件只是说两个事件不能同时发生，但它们有可能都不发生。
而对立事件不仅不能同时发生，而且必然有一个发生。
例如，掷骰子，出现点数为 1 和出现点数为 2 是互斥事件，但不是对立事件，因为还可能出现 3、4、5、6 等点数。
而出现奇数点和出现偶数点就是对立事件，因为骰子的点数要么是奇数，要么是偶数，二者必有其一。
三、互斥事件的概率计算对于互斥事件 A 和 B，它们的概率满足以下公式：P(A 或 B) ＝ P(A) ＋ P(B)这意味着，如果我们要计算至少发生事件 A 或事件 B 其中之一的概率，只需要将事件 A 的概率和事件 B 的概率相加即可。
例如，一个袋子里有 3 个红球，2 个白球，从中随机取出一个球，取出红球的概率是 3/5，取出白球的概率是 2/5。
那么取出红球或白球的概率就是 3/5 ＋ 2/5 ＝ 1。
需要注意的是，这个公式只适用于互斥事件。
如果两个事件不是互斥的，就不能直接使用这个公式。
四、互斥事件的应用互斥事件在日常生活和各种领域中都有广泛的应用。
在体育比赛中，比如足球比赛，一支球队获胜和打平就是互斥事件。
我们可以通过计算这两个事件的概率来预测比赛的结果。
《互斥事件》文字素材1(苏教版必修3)
互斥事件与对立事件辨析一．互斥事件与对立事件的概念与计算公式1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件（即事件A发生，事件B不发生，事件B 发生，事件A不发生）叫做互斥事件；从集合角度看，记事件A为集合A，事件B为集合B，则事件A与事件B是互斥事件，则集合A与集合B的交集为.互斥事件的概率公式为P(A ∪B)=P(A)+P(B).2．对立事件：如果事件A与事件B不能同时发生，且事件A与B必有一个发生。
则称事件A与事件B为对立事件，事件A的对立事件一般都记作。
从集合角度看，事件所含的结果组成的集合是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即：若事件A与B是对立事件，则A∩B=且A∪B=I，有P(A+B)=P(I)=1,从而对立事件A与的概率之和等于1，即P(A)=1-P().二．互斤事件、对立事件的区别和联系互斥事件和对立事件都是对两个事件来说的．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件。
一般地，两个事件对立则这两个事件一定互斥，但两个事件互斥，这两个事件不一定对立，两个事件对立是两个事件互斥的充分而不必要条件，对立事件是互斥事件的特殊情况。
三．例题选讲例1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．，(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．分析：判别两个事件是否互斤，就要考察它们是否不能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．解：（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件，（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件。
（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立．（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．例2．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率，求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率．分析：甲、乙两人下棋，其结果有“甲胜”、“和棋”、“乙胜”三种，它们是互斥事件，“甲获胜”看做是“和棋或乙胜”的对立事件．“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，亦可看做“乙胜”的对立事件．解：（1）“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为P=1--= ∴甲获胜的概率是(2)解法1：设事件A为“甲不输”，看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件．所以P(A)= +=.解法2：设事件A“甲不输”看做是“乙胜”的对立事件，所以P(A)=1-=∴甲不输的概率是.互斥事件概率问题的求解要点一、错解分析1．搞清楚“互斥事件”与“等可能事件”的差异。
高中数学选修2-3 2.2.2 事件的相互独立性优秀课件
练2、判断以下各对事件的关系
〔1〕运发动甲射击一次，射中9环与射中8环；
互斥 〔2〕甲乙两运发动各射击一次，甲射中9环与乙 射中8环；
相互独立
(3 )已 知 P ( A ) 0 .6 , P ( B ) 0 .6 , P ( A B ) 0 .2 4
相互独立
例题热身:A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示以下关系
P(AB) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)
P(A)1 P(B) P(A)P(B)
相互独立
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生的概 率为：
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
事件的相互独立性
复习回忆
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是
什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去
抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中奖〞。
B 表 示 事 件“ 最 后 一 名 同 学 中 奖 ” .
事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
P(B|A)=P(B)
又 ∵ P(AB)=P(A)P(B|A)
∴ P(AB)=P(A)P(B)
相互独立事件及其同时发生的概率
1、事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),那么称 事件A与事件B相互独立。
互斥事件和对立事件的区别？有什么例子？
互斥事件和对⽴事件的区别？有什么例⼦？（1）两事件对⽴,必定互斥,但互斥未必对⽴；（2）互斥的概念适⽤于多个事件,但对⽴概念只适⽤于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发⽣,即⾄多只能发⽣其中⼀个,但可以都不发⽣,⽽两个事件对⽴则表⽰它们有且仅有⼀个发⽣。
互斥事件必为互不相容事件：也就是说这两件事根本就不可能同时发⽣，⽐如你做⼀件事情，就不能在另⼀个地⽅做另外⼀件事情。
互不相容事件不⼀定是互斥事件：也就是说这两事情可以互斥，但是不⼀定是在同⼀个区间。
如果事件总体集合为（A,B,C）那么A与B为互不相容事件，⽽不是互斥事件；如果事件总体集合为（A,B）那么A与B既为互不相容事件，⼜是互斥事件；对⽴事件是A+B=1。
A发⽣B就⼀定不发⽣，反之亦然。
互斥事件与对⽴事件的不同点⼤致有如下三点：1、针对的⾓度不同．前者是针对能不能同时发⽣，即两个互斥事件是指两者不可能同时发⽣；后者是针对有没有影响，即两个相互独⽴事件是指⼀个事件发⽣对另⼀个事件发⽣的概率没有影响(注意：不是⼀个事件发⽣对另⼀个事件发⽣没有影响 )。
2、试验的次数不同。
前者是⼀次试验下出现的不同事件，后者是两次或多次不同试验下出现的不同事件。
互斥事件和对⽴事件的例⼦例⼦如下：对⽴必然互斥，互斥不⼀定会对⽴。
互斥事件：⽐如有红、黄、蓝三个球，⼀个⼈去选，只能选⼀个的话，选红和选黄和选蓝三个事件互斥，不会同时发⽣，但不是对⽴的。
因为不是选红的话还可以选蓝或选黄。
对⽴事件：⽽当只有红、黄两个球时，⼀个⼈去选，只能选⼀个的话，选红和选蓝两个事件对⽴。
因为不是选红就是选蓝。
假设有事件发⽣的概率分别为A、B，那么，对⽴事件即A+B=1。
也就是说事件要么是A，要么是B，但A和B不可能同时发⽣⽽互斥事件，A+B不⼀定等于1。
也就是说A与B不可能同时发⽣，但事件还可能有C、D……等情况。
所以，对⽴事件⼀定是互斥的，但互斥事件不⼀定对⽴互斥且对⽴就是对⽴事件互斥不对⽴是互斥事件，但A+B不等于1事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。
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2.3 谈谈互斥事件与对立事件的联系与区别
一. 互斥事件与对立事件的定义
1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件A 、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B ，用概率的加法公式)()()(B P A P B A P +=+计算.
2. 对立事件：必有一个发生的两个互斥事件A 、B 叫做互为对立事件,即-=A B 或-
=B A .用概率的减法公式()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=_1A P A P 计算其概率.高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查.
二.互斥事件与对立事件的联系与区别
1. 对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定对立;
2. 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可以对应很多事件，但最多只有一个发生，也可能都不发生;
3. 从集合论(即把事件转换成集合的关系来看)的角度来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的交集都是空集且并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集;
4.两个对立事件的概率之和一定是1,而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ;
5. 若事件B A ,是互斥事件，则有:
()()()B P A P B A P +=+ ;
而对立事件A 与A 则有:()()
A P A P -=1;
6.一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有 ()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ;
7.在教材中n A A A +++...21 指的是n A A A ,...,,21 中至少发生一个 ;
8.在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来.
三. 互斥事件例题解析
例1.10本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,能取出数学书的概率有多大？
解：基本事件的总数为：12×11÷2＝66
“能取出数学书”这个事件所包含的基本事件个数分两种情况：
（1）“恰好取出1本数学书”所包含的基本事件个数为：10×2＝20
（2）“取出2本都是数学书”所包含的基本事件个数为：1
而事件“恰好取出1本数学书” 与“取出2本都是数学书” 为互斥事件.
所以“能取出数学书”这个事件的概率为:
P （“能取出数学书”）＝P （“恰好取出1本数学书”）+ P （“取出2本都是数学书”） =6620661+=22
7. 例2.某热水瓶胆生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：
（1）2件都是一级品的概率；（2）至少有一件二级品的概率．
解：（1）设2件都是一级品为事件A ．
从10件产品中抽取2件,共有45个基本事件,且都是等可能的，而事件A 的结果（即包含的基本事件数）有28种, 则P （A ）=2845
． （2）设至少有一件二级品为事件B ，则B 是两个互斥事件：“抽取的2件产品中包含了一件一级品，一件二级品（记为B 1）”与“抽取的2件产品均为二级品（B 2）”的和.
而P （B 1）=1645，P （B 2）=145
. ∴P （B ）=P （B 1+B 2）= P （B 1）+ P （B 2）=
16117454545+=． 说明:确定两事件是否是互斥事件时,若对事件是否互斥把握不准,可以把事件转换为相应的集合,看看集合的交集是否为空集.
四. 对立事件例题解析
例3.甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道, 甲、乙两人依次各抽一题．
(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
解：甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是90种.即基本事件总数是90.
(1)记“甲抽到选择题、乙抽到判断题”为事件A,下面求事件A 包含的基本事件数: 甲抽到选择题有6种抽法,乙抽到判断题有4种抽法,所以事件A 的基本事件数为24.所以()15
49024==A P . (2)先考虑问题的对立面:“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B,“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 包含的基本事件数为12.所以由古典概型概率公式,得().15
29012==B P 由对立事件的性质可得: ()()15
1315211=-=-=B P C P . 说明:含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较繁琐时,可考虑其反面,即对立事件,然后应用对立事件的性质()()
A P A P -=1进一步求解.。