苏教版数学高二-选修2-3素材 2.3谈谈互斥事件与对立事件的联系与区别

2.3 谈谈互斥事件与对立事件的联系与区别

一. 互斥事件与对立事件的定义

1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件A 、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B ，用概率的加法公式)()()(B P A P B A P +=+计算.

2. 对立事件：必有一个发生的两个互斥事件A 、B 叫做互为对立事件,即-=A B 或-

=B A .用概率的减法公式()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=_1A P A P 计算其概率.高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查.

二.互斥事件与对立事件的联系与区别

1. 对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定对立;

2. 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可以对应很多事件，但最多只有一个发生，也可能都不发生;

3. 从集合论(即把事件转换成集合的关系来看)的角度来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的交集都是空集且并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集;

4.两个对立事件的概率之和一定是1,而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ;

5. 若事件B A ,是互斥事件，则有:

()()()B P A P B A P +=+ ;

而对立事件A 与A 则有:()()

A P A P -=1;

6.一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有 ()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ;

7.在教材中n A A A +++...21 指的是n A A A ,...,,21 中至少发生一个 ;

8.在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来.

三. 互斥事件例题解析

例1.10本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,能取出数学书的概率有多大？

解：基本事件的总数为：12×11÷2＝66

“能取出数学书”这个事件所包含的基本事件个数分两种情况：

（1）“恰好取出1本数学书”所包含的基本事件个数为：10×2＝20

（2）“取出2本都是数学书”所包含的基本事件个数为：1

而事件“恰好取出1本数学书” 与“取出2本都是数学书” 为互斥事件.

所以“能取出数学书”这个事件的概率为:

P （“能取出数学书”）＝P （“恰好取出1本数学书”）+ P （“取出2本都是数学书”） =6620661+=22

7. 例2.某热水瓶胆生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：

（1）2件都是一级品的概率；（2）至少有一件二级品的概率．

解：（1）设2件都是一级品为事件A ．

从10件产品中抽取2件,共有45个基本事件,且都是等可能的，而事件A 的结果（即包含的基本事件数）有28种, 则P （A ）=2845

． （2）设至少有一件二级品为事件B ，则B 是两个互斥事件：“抽取的2件产品中包含了一件一级品，一件二级品（记为B 1）”与“抽取的2件产品均为二级品（B 2）”的和.

而P （B 1）=1645，P （B 2）=145

. ∴P （B ）=P （B 1+B 2）= P （B 1）+ P （B 2）=

16117454545+=． 说明:确定两事件是否是互斥事件时,若对事件是否互斥把握不准,可以把事件转换为相应的集合,看看集合的交集是否为空集.

四. 对立事件例题解析

例3.甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道, 甲、乙两人依次各抽一题．

(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?

(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

解：甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是90种.即基本事件总数是90.

(1)记“甲抽到选择题、乙抽到判断题”为事件A,下面求事件A 包含的基本事件数: 甲抽到选择题有6种抽法,乙抽到判断题有4种抽法,所以事件A 的基本事件数为24.所以()15

49024==A P . (2)先考虑问题的对立面:“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B,“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 包含的基本事件数为12.所以由古典概型概率公式,得().15

29012==B P 由对立事件的性质可得: ()()15

1315211=-=-=B P C P . 说明:含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较繁琐时,可考虑其反面,即对立事件,然后应用对立事件的性质()()

A P A P -=1进一步求解.