排列组合与概念(课堂PPT)
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组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
大学排列组合ppt课件
排列与组合的综合实例解析
总结词
通过综合实例，理解排列与组合在实际 问题中的应用。
VS
详细描述
通过一个复杂的问题，如安排一场活动或 者组织一次旅行，综合运用排列和组合的 知识来解决实际问题，并强调排列与组合 在解决实际问题中的重要性和关联性。
05
排列组合的解题技巧
解题思路分析
明确问题要求
01
首先需要清楚题目是关于排列还是组合的问题，排列需要考虑
04
排列组合的实例解析
排列实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解排列的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如学生选课、物品的排列等，解释排列的概念，并介绍排列的计算公式，以及如何应用 这些公式解决实际问题。
组合实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解组合的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如彩票中奖概率、选举代表等，解释组合的概念，并介绍组合的计算公式， 以及如何应用这些公式解决实际问题。
少？
答案解析
答案1
从5个人中选3个人参加会议共有 $C_{5}^{3} = 10$种不同的选法。
答案3
大于2000的三位数，首位数字可以为 2，3或4，共有$A_{3}^{1} times A_{4}^{2} = 36$种。
答案2
将4把椅子排好，共有$A_{5}^{3} = 60$种坐法。
答案4
不同的分法种数为$A_{5}^{4} = 120$种。
常见错误解析与避免方法
混淆排列与组合
遗漏情况
排列和组合是不同的概念，需要明确 题目要求，正确使用公式。
在解题过程中，需要注意不要遗漏某 些情况，例如在排列时需要考虑元素 的顺序，在组合时需要考虑元素的取 法。
排列组合ppt课件
排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。
排列与组合ppt课件
数。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
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题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。
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10$
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
排列组合ppt课件
排列组合基本公式 • 排列组合的应用 • 排列组合的扩展知识 • 练习题与答案解析
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
小学教育ppt课件教案数学排列组合概述
03
CHAPTER
常见排列组合问题类型及解法
当要求某些元素必须相邻时，可以将它们看作一个整体进行排列，然后再考虑整体内部的排列。
捆绑法原理
捆绑法应用
注意事项
解决连续元素问题，如座位安排、数字排列等。
捆绑后，整体与其他元素进行排列时，需考虑整体内部元素的顺序。
03
02
01
当要求某些元素不相邻时，可以先将其他元素进行排列，然后将这些元素插入到排列后的空位中。
多做练习题
通过大量的练习可以加深对知识点的理解和记忆，提高解题能力。建议在掌握基本概念和性质后，多做一些有难度的练习题。
题目二：在100件产品中有95件合格品和5件次品，从中任取2件进行检查，求
(1) 2件都是合格品的概率；
题目三：用0、1、2、3、4五个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？其中有多少个是偶数？
(2) 至少有1件是次品的概率。
题目一：有5本不同的书，要分给3个同学，每个同学至少分到1本，有多少种不同的分法？
THANKS
感谢您的观看。
确认问题类型
分析参与排列或组合的元素是否具有特殊性，如元素是否相同、是否有顺序要求等。
分析元素性质
根据问题的类型和元素性质，选择适当的排列组合原理进行求解，如加法原理、乘法原理等。
应用基本原理
在得出答案后，要仔细检查结果是否符合问题的要求和实际情况。
检查结果
案例一
01
从5个不同的红球和3个不同的白球中任取3个球，求取出的3个球中恰好有1个红球的概率。
密码设置
05
CHAPTER
排列组合在数学竞赛中的应用
数学竞赛中常出现选择题，考察学生对排列组合基本概念和原理的掌握情况。
高中数学课件-第2讲 排列与组合
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn 表示.
(2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有_□_3__不__同__组__合__的个数，
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cmn 表示.
6
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
3.排列数、组合数的公式及性质
要比 5 000 000 大，则百万位上选 5 或 6，故得个数为 A12A66＝1440. 答案：1440
02
突破核心命题
13
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考 点 一 排列问题
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法 总数.
(1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边； (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
7
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
常用结论
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法 (排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组 的区别，避免重复或遗漏.
8
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
夯基诊断
1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × ) (3)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立.( × ) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √ ) (5)kCkn＝nCkn－－11.( √ )
(2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有_□_3__不__同__组__合__的个数，
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cmn 表示.
6
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
3.排列数、组合数的公式及性质
要比 5 000 000 大，则百万位上选 5 或 6，故得个数为 A12A66＝1440. 答案：1440
02
突破核心命题
13
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考 点 一 排列问题
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法 总数.
(1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边； (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
7
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常用结论
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法 (排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组 的区别，避免重复或遗漏.
8
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
夯基诊断
1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × ) (3)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立.( × ) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √ ) (5)kCkn＝nCkn－－11.( √ )
第二节排列组合-PPT课件
1 4 2 3 3 2 4 1 ( 种 ) ……………… C C C C C C C C 2 6 4 ..6′ 4 6 46 4 6 46
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
《排列与组合自》课件
组合可以看作排列的一个特例
当一个组合中的元素都是相邻的时候，这个组合可以看作是 一个排列。
05
排列与组合的扩展知识
排列与组合的数学原理
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺 序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
03
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
组合公式的推导
通过数学归纳法证明组合公式。
组合公式的应用
利用组合公式计算从n个不同元素中取出k个元素 的组合数。
组合的实例
01
02
03
组合实例1
从5个不同的人中选出3个 人组成一个小组，有多少 种不同的选法？
用P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元 素的排列数。
排列的计算公式
P(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)
排列的特性
与元素的顺序有关，与元素的取出方式有 关。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） ，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取
出m个元素的组合。
组合的计算公式
《排列与组合》PPT课件
目录
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的区别与联系 • 排列与组合的扩展知识
01
排列与组合的定义
排列的定义
排列的定义
排列的表示
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）， 按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。
当一个组合中的元素都是相邻的时候，这个组合可以看作是 一个排列。
05
排列与组合的扩展知识
排列与组合的数学原理
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺 序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
03
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
组合公式的推导
通过数学归纳法证明组合公式。
组合公式的应用
利用组合公式计算从n个不同元素中取出k个元素 的组合数。
组合的实例
01
02
03
组合实例1
从5个不同的人中选出3个 人组成一个小组，有多少 种不同的选法？
用P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元 素的排列数。
排列的计算公式
P(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)
排列的特性
与元素的顺序有关，与元素的取出方式有 关。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） ，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取
出m个元素的组合。
组合的计算公式
《排列与组合》PPT课件
目录
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的区别与联系 • 排列与组合的扩展知识
01
排列与组合的定义
排列的定义
排列的定义
排列的表示
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）， 按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。
排列组合基本原理.课件
排列和组合之间可以 通过组合数公式进行 转换。
排列和组合都是从n 个不同元素中取出m 个元素进行操作，计 算公式不同。
02
排列组合基本原理
伯努利原理
01
02
03
伯努利原理的内容
在n个独立事件中，每个 事件发生的概率为p，则 至少有一个事件发生的概 率为1-（1-p）^n。
应用
在保险业中，伯努利原理 常被用于计算保险概率， 例如汽车保险、健康保险 等。
03
排列的应用
排列的常见应用场景
01
彩票中奖概率计算
02
03
04
计算机科学中的排列算法
统计学中的样本排列
金融领域中的投资组合优化
排列在组合物件中的运用
密码学中的排列组合 计算机程序中的随机数生成
组合物件中的排列问题，如拼图、魔方等
排列在解决其他问题中的运用
数学竞赛中的排列题目 密码破译中的排列分析
计算机程序中的算法优化问题
04
组合的应用
组合的常见应用场景
彩票中奖概率计算
在计算彩票中奖概率时，通常需要考虑从数百万个彩票号 码中选取特定组合的情况，这时就需要使用组合的原理来 计算。
投资组合风险与收益评估
在投资领域，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性 构建投资组合，以实现风险分散和资产保值增值，这里的 投资组合构建就需要用到组合的原理。
注意事项
伯努利原理在独立事件的 情况下适用，如果事件之 间存在依赖关系，则该原 理可能不成立。
容斥原理
Hale Waihona Puke 01容斥原理的内容
在计算多个集合的并集时，需要考虑重复计算的问题。通过将各个集合
单独求和，再减去重复计算的集合，即可得到正确的并集结果。
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复的数字的四位数共有3 ＝18(个)，故有重复数字的四位数共有192－18{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构
成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
A．33
B．34
C．35
D．36
解析：
答案：A
3．上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有的不同上法的总数为
解答：(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据 分步计数原理共可组成43＝64个3位数． (2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步计数 原理共可排成没有重复数字的3位数4×3×2＝24(个)． (3)排出的三位数分别是432、431、421、321共4个.
变式3.将3种作物种植在如下图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试 验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______种．(以数字作答)
解析：3×2×2×2×2－ ×2＝42. 答案：42
【方法规律】
1. 弄清是分步还是分类问题关键在于看是一步完成，还是多步完成．利用分步 计数原理要注意各步方法之间相互依存、互不影响；而使用分类计数原理主 要是遵循“不重、不漏”的原则．
2．分步乘法计数原理 做一件事情，完成它需要两个步骤，做第一步有种m不同的方法，做第二步有 n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m×n 种不同的方法．
1．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有( )
A．238个
B.232个 C．174个 D．168个
解析：可用排除法由0,1,2,3可组成的四位数共有3·43＝192(个)，其中无重
第十单元 排列 组合与概念
10.1 基本计数原理
(理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理/会用两个原理分析和 解决一些简单的计数应用问题)
1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有两类不同方案，在第一方案中 有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法．
2．分步计数原理从某种程度上简化了分类计数原理的运算过程，如例2也可利 用分类计数原理．
解法二：可分类计算 第一类：“四对一”的情况共3种； 第二类：“三对一，一对一”的情况共 ＝24(种)； 第三类：“二对一、二对一”的情况共 ＝18(种)； 第四类：“二对一，一对一，一对一”的情况共 ＝36(种)． 由分类计数原理从A到B的映射共有81个．
变式2.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多 少？五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少种？ 解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)． 获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种).
【例3】如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域 只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？ 解答：解法一：如题图分四个步骤来完成涂色这件事： 涂A有5种涂法； 涂B有4种方法； 涂C有3种方法； 涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)． 根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180种涂色方法．
f(n)，则下列猜想中正确的是( )
A．f(n)＝n
B．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)
C．f(n)＝f(n－1)·(n－2)
D．f(n)＝
解析：n＝1,2时，显然f(n)＝n，n≥3时，f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)．
答案：D
4．如下图，一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要求相邻区域不得使 用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________ 种．(以数字作答) 答案：72
分步计数原理与分类计数原理的根本区别在于“多步”完成，还是“一步”完成， 分步计数原理要求步与步之间的方法相互独立，每一步各取一种方法即可完成一 件事；而分类计数原理要求每一类中的每一种方法都可完成这件事，其要求是不 重不漏，从某种程度可以说分步计数原理可以简化分类计数原理的过程．
【例2】若A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{b1，b2，b3}．试问从A到B可建立多少种 不同的映射？ 解答：解法一：可分步计算 第一步：a1与B中唯一的元素对应有3种方法； 第二步：a2与B中唯一的元素对应有3种方法； 第三步：a3与B中唯一的元素对应有3种方法； 第四步：a4与B中唯一的元素对应有3种方法． 由分步计数原理，可建立从A到B的映射共有34＝81(个)．
解法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有 ＝ 60 种 涂 法 ； 又 D 与 B 、 C 相 邻 、 因 此 D 有 3 种 涂 法 ； 由 分 步 计 数 原 理 知 共 有 60×3＝180种涂法． 解法三：也可利用分类计数原理计算： 第一类：四个区域涂四种不同的颜色共有 ＝120种涂法； 第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不相邻只能是A、D两区域 颜色一样共 ·1＝60种涂法． 由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)．
此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少 种，求其积．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．
【例1】由数字1,2,3,4 (1)可组成多少个3位数； (2)可组成多少个没有重复数字的3位数； (3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数 字大于个位数字．
对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理，又要用分步计数原理，重视 两个原理的灵活运用，并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的“事情”是什 么，完成这件事情的含义和标准是什么． (2)明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”，还是既要“分类”又要“分 步”，并搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么． (3)用两个计数原理解决的主要问题包括：①排数；②计算有限集合A到B的映射 的个数；③涂色问题等．