二次型与二次曲面

§6.1 二次型
f(x1, x2, …, xn) = xTAx
x = Qy (Qy)TA(Qy) = yT(QTAQ)y
1 0 … 0 y1
= (y1, y2, …, yn)
0 …
2
…
…0 ……
y2 …
0 0 … n yn
= 1y12 + 2y22 + … + nyn2
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
2. 性质 (1) Ann, Bnn正定 A + B正定矩阵.
xT(A+B)x = xTAx + xTBx
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
2. 性质 (1) Ann, Bnn正定 A + B正定矩阵.
…… ……
d1
0
(0, …, 1, …, 0)
di
§6.1 二次型
3. 判定
Ann正定, PTAP = diag{d1, …, dn}, P可逆 d1, …, dn > 0 A的正惯性指数 = n
第六章 二次型与二次曲面
3. 判定 Ann正定
A的正惯性指数 = n
QTAQ = diag{1, …, n}, Q正交 1, …, n > 0
0 0 … kn yn
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
寻求可逆的线性变换x = Py,
f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = g(y)
寻求可逆矩阵P, 使得
k1 0 … 0
PTAP =
0 k2 ……
…0 ……
0 0 … kn
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
二. 化二次型为标准形
1. 矩阵的合同
A与B相合或合同 (记为 A B):
可逆矩阵P, 使得PTAP = B.
注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. (3) 对称性: A B B A. (4) 传递性: A B, B C A C.
(5) AT = A (PTAP)T = PTATP = PTAP.
则f = 2z12 – 2z22 +6z32.
所用的变换矩阵为
1 10 101 1 1 3
C = 1 1 0 0 1 2 = 1 1 1 .
00 1 001 0 0 1
第六章 二次型与二次曲面
例5. f =2x1x2+2x1x3 –6x2x3
§6.1 二次型
分析: 若用前面正交变换的方法化f为标准形,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
2. 性质 (1) Ann, Bnn正定 A + B正定矩阵. (2) diag{d1, …, dn}正定i, di > 0. (3) A正定, P可逆 PTAP正定.
x Px (Px)TA(Px) > 0
xT(PTAP)x > 0
第六章 二次型与二次曲面
1 1 1
得 y = 0 2 1 x.
001
1 1/2 3/2
因而x = 0 1/2 1/2 y.
00 1
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例5. 用配方法化f =2x1x2+2x1x3 –6x2x3为标准形.
并求所用的变换矩阵.
1 10
解: 令x1 = y1 + y2, x2 = y1 – y2, x3 = y3.
1
i
dn 0
0
= (0, …, di , …, 0) 1 = di
0
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
2. 性质
(1) Ann, Bnn正定 A + B正定矩阵.
(2) diag{d1, …, dn}正定i, di > 0.
…
(x1, …, xn) d1
x1 dn xn
= d1x12 + …+ dnxn2
x=
1 1 0 00 1
y
则f =2y12 – 2y22 – 4y1y3+8y2y3.
配方得f = 令z1 = y1 –
2(y1 – y3)2 y3, z2 = y2
– 2(y2 – –2y3, z3
2y3)2 = y3,
+6yy3=2.
101 012 001
z
即y1 = z1 + z3, y2 = z2 +2z3, y3 = z3,
f = 0y12 + y22 +2y32 = y22 +2y32.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例2. 求二次型f = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3
在条件x12+x22+x32 = 1下的最大, 最小值.
3 12 解: f 的矩阵A = 1 3 2 ,
2 2 0
|EA| = (4)2(+2).
f
y12
y
2 p
y这2p个1 真是 y唯r2 一0的yr2!1 0 yn2
p项
q项
r项 且规范形是唯一的.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
推论2. 设n阶实对称矩阵A的秩为r, 正惯性指 数为p, 则存在可逆阵P, 使
1
p
1 1
PTAP =
rp 1
0 nr
0
Ep = Eq .
O
第六章 二次型与二次曲面
+ a22x22 +2a23x2x3+…+ 2a2nx2xn
+ a33x32 +…+ 2a3nx3xn
令 aji = aij
… + annxn2
第六章 二次型与二次曲面
A的二次型
§6.1 二次型
f 的秩: r(Af))
f(x1, x2, …, xn)
对称阵 A=
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n …………
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
3. 用配方法化二次型为标准形
例3. 用配方法化f =4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形.
解: f =4x12+3x22+2x2x3+3x32
4x12
3( x22
2 3
x2x3 )
3x32
4
x12
3[(
x22
2 3
x2
x3
1 9
x32
)
1 9
x32
]
3
x32
4
x12
3(
x22
2 3
x2
x3
1 9
x32
)
8 3
x32
4
x12
3(
x2
1 3
x3
)2
8 3
x32
令
y1 y2
x1 x2
1 3
x3
则 f =4y12+3y22+(8/3)y32.
y3 x3
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例4. 用配方法化f =x123x222x1x26x2x3+2x1x3
非常麻烦. 因为 0 11
f(x1, x2, x3)的矩阵A = 1 0 3 , 1 3 0
|E–A|
=
(–3)[+
1 2
(3+
17
)][+
1 2
(3
17 )].
但由此可见 f 可化为
f
=
3y12
1 2
(3+
17 )y22+
1 2
(
17
3)y32.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例5中,
1 0 1 解: f 的矩阵A = 0 1 0 ,
1 0 1
|E–A| = (–1)(–2).
所以A的特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 代入(E–A)x = 求得对应的特征向量
1 =(1, 0, 1)T, 2 =(0, 1, 0)T, 3 =(1, 0, 1)T.
它们是两两正交的.
第六章 二次型与二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
回忆
§6.1 二次型
定理5.7. AT = A Mn(R) 正交矩阵Q使得 Q1AQ = QTAQ = .
|EA| = 0 特征值 (EA)x =
Q 单位化 正交化 特征向量
定理6.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
第六章 二次型与二次曲面
2. 二次型在正交变换下的标准形
0 1 3 2 6 令x = Qy, 得该二次型的标准形为
f = 4y12 +4y22 2y32.
x12+x22+x32 = 1 可化为y12+y22+y32 = 1, 此时 f = 4y12 +4y22 2y32
= 4(y12 +y22 +y32) 6y32 = 4 6y32 = 6(y12 +y22) 2(y12 +y22 +y32) = 6(y12 +y22) 2 最大值为4, 最小值为2.
§6.1 二次型
推论3. 两个n阶实对称矩阵A与B合同
Ep A与B具有相同的规范形 Eq
O
A与B具有相同的秩和正惯性指数.
第六章 二次型与二次曲面
四. 二次型的正定性 1. 定义: f(x) = xTAx
x f(x) > 0
x f(x) < 0
§6.1 二次型
实二次型 f(x), A正定 f(x), A负定
§6.1 二次型
所以A的特征值为1 = 0, 2 = 1, 3 = 2. 代入(E–A)x = 求得对应的特征向量
1 = (1, 0, 1)T, 2 = (0, 1, 0)T, 3 = (1, 0, 1)T.
它们是两两正交的.
把它们单位化可得正交矩阵
1 2 0 1 2 Q= 0 1 0 ,
12 0 12 令x = Qy, 得该二次型的标准形为
f
=
3y12
1 2
(3+
17
)y22+
1 2
(
17
3)y32.
用配方法得到的标准形为:
f = 2z12 2z22 + 6z32.
r = 3, p = 2, q = 1.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
回忆
例.
0 0 1 4 0 0 0 0 1 010 0 0 0 010
100 0 0 3 100
2. 二次型在正交变换下的标准形
定理6.2. f(x1, x2, …, xn) = xTAx可经正交变换
化为标准形1y12 + 2y22 + … + nyn2, 其中1, 2, …, n为A的特征值.
第六章 二次型与二次曲面
例1. 用正交变换把将二次型
§6.1 二次型
f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形.
k1y12 + k2y22 + … + knyn2, k1, …, kn中r(A)个非零 r(A)=p+q 正惯性指数 p个正的 负惯性指数 q个负的
r, p, q是确定的, 与P的选择无关.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例5中,
f = 2x1x2 + 2x1x3 6x2x3
在正交变换下的标准形为:
4EA =
1 1 2
1 1 2
2 2 4
初等 行变换
1 1 2 00 0 00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特
征向量: 1 = (1, 1, 0)T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 1 2 4E–A = 1 1 2
初等 行变换
1 1 2 00 0
2 2 4
00 0
可得A的对应于特征值 = 4的一个特征向量:
f = 2x1x2 + 2x1x3 6x2x3
在正交变换下的标准形为:
f
=
3y12
1 2
(3+
17 )y22+
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
(
17
3)y32.
用配方法得到的标准形为:
f = 2z12 2z22 + 6z32.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
三. 惯性定理与规范形
定理6.3. f(x1, x2, …, xn) = xTAx 可逆线性变换x = Py
第六章 二次型与二次曲面
第一节 二次型 第二节 空间中的曲面和曲线 第三节 二次曲面 第四节 用Matlab解题
第六章 二次型与二次曲面
一. 二次型及其矩阵表示 n元实二次型
§6.1 二次型
f(x1, x2, …, xn)
= a11x12+ 2a12x1x2+2a13x1x3 +…+ 2a1nx1xn
为标准形, 并求所用的可逆线性变换.
解: f = x123x222x1x26x2x3+2x1x3
= [x12 2x1(x2 x3) + (x2 x3)2]
(x2 x3)2 3x22 6x2x3
= (x1 x2 + x3)2 (2x2 + x3)2 = y12 y22
取 y3 = x3,
100 3 0 0 100 001 0 0 0 001 0 1 0 0 0 4 0 1 0
1/ 3 0 0 3 0 0 1/ 3 0 0 0 1/2 0 0 4 0 0 1/2 0 0 0 1000 0 0 1
100 0 1 0 000
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
推论1. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn中 的可逆线性变换将其化为规范形
an1 an2 … ann
x1
x=
x2 …
xn
f 的矩阵
xTAx
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
f(x1, x2, …, xn) = xTAx
f 的标准形
?
k1y12 + k2y22 + … +knyn2
=
k1 0 … 0 y1
(y1, y2, …, yn)
0 …
k2 …
…0 ……
y2 …
1 = (1, 1, 0) T, A的对应于特征值 = 2的一个特征向量为 3 = (1, 1, 2)T, = 4 的另外一个与 1 正交的特征向量为 2 = 13 =(1, 1, 1)T,
再作单位化, 得
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
12 13 16 由此可得正交矩阵Q = 1 2 1 3 1 6 ,