二次型与二次曲面
第7章 二次型与二次曲面
2 4
1 2 A= 0
T
0 0 −3
矩阵是对角矩阵
令 X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) , 则 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = X A X
T
类似我们所考虑过的几何问题，我 们讨论在矩阵为Q的线性变换，即
定理 2.1
A 为正交矩阵的充要条件为
AT A = I. (2.4)
立则 证 ： 证 分 ， (2.4) 成 ， 明 先 充 性若
AX − AY = [ A( X −Y)]T A( X −Y) = ( X −Y)T AT A( X −Y) = ( X −Y)T ( X −Y)
2
= X −Y .
2
充分性得证。
x1 = q11y1 + q12 y2 +L+ q1n yn , x = q y + q y +L+ q y , 2 21 1 22 2 2n n
LLLL x = q y + q y +L+ q y n n1 1 n2 2 nn n
T
(1.7)
的作用下，二次型 f = X AX 会变成什么样子。
1 1 A= 0 0
2 3 0 3 0 −2 0 −2 −3
T
1
0
0
令 X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) , 则 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = X A X
T
例1.2
解
写出二次型的矩阵和矩阵表示式：
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = x + 2 x − 3x
二次型与二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例5. 用配方法化f =x123x222x1x26x2x3+2x1x3 为标准形, 并求所用的可逆线性变换. 解: f = x123x222x1x26x2x3+2x1x3 = [x12 2x1(x2 x3) + (x2 x3)2] (x2 x3)2 3x22 6x2x3 = (x1 x2 + x3)2 (2x2 + x3)2 = y12 y22
§6.1 二次型
二. 化二次型为标准形 1. 矩阵的合同 A与B相合或合同 (记为 A B): 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. ETAE = A
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
二. 化二次型为标准形 1. 矩阵的合同 A与B相合或合同 (记为 A B): 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. (3) 对称性: A B B A. PTAP = B (P 1)TBP 1 = A
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
回忆
定理5.7. AT = A Mn(R) 正交矩阵Q使得 Q1AQ = QTAQ是对角矩阵.
|EA| = 0 特征值 正交化 (EA)x = 特征向量
Q
单位化
定理6.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
最大值为4, 最小值为2.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
3. 用配方法化二次型为标准形
二次型与二次曲面
第七章 二次型与二次曲面二次型的定义定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式()ji ij n i nj j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==1121称为n 元二次型或二次形式。
当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。
例：()3221213213x x x x x ,x ,x x Q +-=例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-=()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n nnn n n n n nn n n ji ij n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 212122221112112122211222222122111211221111121令()()TijTn A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q Tn = 21，称A 为二次型的矩阵。
()x x x x x x x ,x ,x x Q T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=02302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且r (A )=n .()∑∑===n i nj j i ij n x x |A|A ,x ,,x x Q 1121矩阵的相合设n n ,β,,ββ,,α,,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即()()P ,α,,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为()()Tn Tn ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121==则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）：x P y Py x 1-==或。
第六章 二次型与二次曲面
a21 x2 x1 a x
+
2 22 2
an1 xn x1 an 2 xn x2 x1 (a11 x1 a12 x2 x2 (a21 x1 a22 x2 xn (an1 x1 an 2 x2
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 , , xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn a1n x1 a11 a12 a21 a22 a2 n x2 ( x1 , x2 , , xn ) ann xn an1 an 2 二次型的矩阵表达式：f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX 实对称矩阵A : 二次型 f 的矩阵 二次型 f : 实对称矩阵 A 的二次型
Q Y,
xn )
X
T
AX，
使得
2 n yn
X T AX Y T (QT AQ)Y 1 y12 Q 的 n个列向量是A的对应于1 ,
, n为 实对称矩阵 A的n个 特征 值； , n的n个单位正交
例 将二次型
2 2 f 17 x12 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
配方法
例 化二次型
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x 2 2 x1 x3 6 x 2 x 3
为标准形, 并求所用的变换矩阵 .
含有平方项
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 2 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x 2 x1 5 x3 6 x2 x3 2 2 2 x 2 x x 2 x x 1 1 2 1 3 x2 x3 2 x2 x3 2 2 2 2 5 x3 6 x2 x3 x2 x3 2 x2 x3 2 x2 2 x1 x 2 x 3 2 2 2 2 x2 x3 2 x2 x3 2 x2 5 x3 6 x2 x3
二次型与二次曲面的关系
二次型与二次曲面的关系1. 引言1.1 概述二次型与二次曲面是数学中重要的概念，它们在代数和几何中发挥着重要的作用。
二次型是一类与二次多项式相关的函数形式，而二次曲面则是由二次方程定义的特定类型的曲线。
本文将探讨二次型与二次曲面之间的关系，并研究它们的特征和性质。
1.2 研究背景随着代数学和几何学的发展，人们对于函数和曲线的研究越来越深入。
而对于二次型和二次曲面的分析更是成为了这个领域中不可忽视的一部分。
通过研究二次型与二次曲面之间的联系，我们可以深入理解它们各自所具有的特征，并且可以推广到更为复杂和抽象的情况。
1.3 目的与意义本文旨在介绍并探讨二次型和二次曲面之间存在的联系，以及它们各自所具有的特征和性质。
通过对这两个概念进行详细阐述和比较分析，读者将能够更加全面地理解它们在数学中的重要性和实际应用。
此外，文章还将对可能未涉及到的研究方向进行简要展望，以期激发更多的学者和研究者对该领域问题的兴趣和探索。
2. 二次型的基本概念:2.1 二次型的定义:在线性代数中，二次型是指包含平方项和交叉乘积项的多元变量的多项式。
具体而言，对于$n$个变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$，一个二次型可以表示为如下形式的多项式：$$Q(x)=a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3+\ldots+ 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$a_{ij}$是实数系数$(i,j=1, 2, ..., n)$。
二次型可以看作是一个与欧几里得空间中的点对应的实值函数。
它在数学和工程领域中具有广泛的应用，在统计学、物理学、经济学等学科中也有重要意义。
2.2 二次型矩阵表示:每个二次型都可以通过一个对称矩阵来表示。
对于给定的$n$维向量$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，可以将其与一个对称矩阵$\mathbf{A}$相乘得到相应的二次型：$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} $$其中，$\mathbf{A}$的元素$a_{ij}$表示二次型中$x_i$和$x_j$的系数。
线性代数二次型与二次曲面4
若二次曲面的方程不是标准方程，要通过 正交变换和平移变换把一般二次方程化为 标准方程，从而知道其图形。
第六章 二次型与二次曲面
一般三元二次方程的化简
§6.4 二次曲面
a1114x
244a224y
2
4
4a343
z43 422a412
z2 c2
=
1
z = 0,
x2 a2
+
y2 b2
=
1
双曲线 椭圆
b x aO y
z = h,
x2 a2
+
y2 b2 =
1+
h2 c2
第六章 二次型与二次曲面
双叶双曲面
§6.4 二次曲面
x2 a2
+
y2 b2
z2 c2
= 1 (a>0, b>0, c>0)
z
x = 0,
y2 b2
z2 c2
21 0 解: f(x, y, z)的矩阵A = 1 1 k/2 ,
0 k/2 1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
上述方程表示一个椭球面A正定,
而P1 = 2 > 0,
P2 =
2 1
1 1
=
1
>
0,
P3 = |A| = 1k2/2.
由此可得, 2 < k < 2 时, 原方程表示一
个椭球面.
二次型
x4y4
24a143
x4z
4
24a2343yz
二次型与二次曲面
.
例２ 将二次型 f x1x2 x3 x4 写成矩阵形式. 解：f 是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵
0 1 2 A 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 , 1 2 0 x1 x2 X x3 x4
的特征值全大于 ，使
是实二次型，由定理7.1知 正交变换
由定理7.3知， 正定 推论7.2 实二次型 证 维实向量 所以 是正定二次型. 已知 是正定二次型，由推论7.1知， 正交阵 ，使 正定 实可逆阵 使， 可逆， . .
， 其中
.
令
， 则
所以 由 可逆及 可逆，知 可逆.
定理7.4 实对称阵 为正定的 于零. 即
（1）可变为 X CY . 但不惟一. （2） 当C 是可逆阵时. （1）式是可逆线性变换.
注1º 的秩 f 的标准形中系数不为0的 平方项的个数. 2º任一个实二次型都可通过可逆线性变换化为标准形. 元二次型的标准形不惟一，有三种方法化标准形. 7.2.1 用正交变换化实二次型为标准形 对于实二次型，最实用的方法是正交变换法，即所作的 可逆线性变换中可逆矩阵 不只是可逆，还是正交矩阵. 这个正交阵的存在是由实对称矩阵的性质决定的，值得注 意的是这种方法仅限于实二次型. 定理7.1 对 （不惟一） 元实二次型 ， 正交线性变换： ，使二次型 化为标准形. 是 的 个特征值.a22 A an1 an 2 a1n a 2n , aij a ji ann x1 x2 X xn
则二次型的矩阵形式为 f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX , A 为二次型 f 的矩阵, r ( A)为二次型 f 的秩． |~| 3．二次型 f A 对称阵 对应 注：讨论二次型问题，首要的问题是给定二次型能准确 地写出二次型的矩阵，反之，给定一个对称阵，会写出以 它为矩阵的二次型. 这里的关键概念是二次型的矩阵是一 个对称矩阵.
第六章 二次型与二次曲面
二、线性变换
在平面解析几何中，为了确定二次方程
ax 2bxy cy d
2 2
所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：
x x cos y sin y x sin y cos
选择适当的 ，消去交叉项,可使上面的方程化为
ax 2 by 2 d , 上述 x , y 由 x , y 的线性表达式给出，通常称为
a22 x 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
2 2
f ( x1 , x2 , , xn ) 2 a11 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
2 a21 x2 x1 a22 x2 a23 x2 x3 a2 n x2 xn
n
n
记
a11 a 21 A a n1
a12 a1n a22 a 2 n , an 2 ann
T
x1 x2 X , x n
则上述二次型可以用矩阵形式表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
2 a nn x n
2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
2014-1-23 南京邮电大学 邱中华
a
i 1 j 1
n
n
ij
xi x j ,
4
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
i 1 j 1
例1 用正交变换将二次型 2 2 2 f 17 x1 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 化为标准形，并求所作的正交变换。 二次型的矩阵
二次型与二次曲面的关系知乎
二次型与二次曲面的关系知乎二次型和二次曲面是线性代数中两个非常重要的概念，它们之间存在着紧密的联系。
本文将从二次型的定义、二次曲面的定义、二次型与二次曲面的关系等方面展开探讨，并通过具体的例子来加深理解。
首先，我们来回顾一下二次型的定义。
在线性代数中，一个二次型可以用一个对称矩阵来表示。
设有一个n元二次型，即一个n维向量x经过一个n×n的对称矩阵A的线性变换后的值，表示为Q(x)=x^T·A·x，其中x=[x1, x2, ..., xn]^T是一个n维向量，A是一个n×n的对称矩阵。
二次型的值可以理解为向量x在二次曲面上的高度或者说是该位置点的能量。
接下来，我们来回顾一下二次曲面的定义。
一个二次曲面可以用一个二次齐次方程来表示。
一个n维二次曲面可以表示为F(x)=x^T·C·x=0，其中x=[x1, x2, ..., xn]^T是一个n维向量，C是一个n×n的对称矩阵。
如果F(x)>0，那么点x在二次曲面的外部；如果F(x)<0，那么点x在二次曲面的内部；如果F(x)=0，那么点x在二次曲面上。
现在，我们来探讨二次型与二次曲面的关系。
通过观察二次型Q(x)=x^T·A·x和二次曲面F(x)=x^T·C·x=0的定义式，我们可以发现它们有很多相似之处。
首先，它们都涉及到n维向量x的平方项，因此它们都具有二次的特点。
其次，它们的系数矩阵A和C都是对称矩阵，这是因为二次型和二次曲面的定义式都要求它们的系数矩阵是对称的。
最后，它们的形式非常相似，只是等式左边是一个二次型，右边是一个常数或者是零。
通过进一步观察，我们可以发现更深层次的联系。
具体来说，二次型的矩阵A可以影响二次曲面的方程的形状和位置。
首先，矩阵A的特征值和特征向量决定了二次型Q(x)的主轴方向和主轴长度，进而影响了二次曲面的形状。
几何与代数-二次型二次曲面
交
-4 0 0 换
0
00
第 一
003 三
行
003
交 换
0
00
第 一
-4 0 0 三
列
300 000
0 0 -4
300 0 -4 0
000
300 P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3) = 0 -4 0
000
1/ 3 0 0
1/ 3 0 0
0 1/2 0 P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3) 0 1/2 0
二次型与二次曲面
第1节 二次型
第六章 二次型与二次曲面
四. 惯性定理与规范形 对于实二次型f(x) = xTAx
§6.1 二次型
主轴定理: 存在正交变换将其化为标准型
f = 1y12+ 2y22 + … + nyn2；
配方法: 存在可逆线性变换(可以非正交) 将其化为标准型
f = k1y12 + k2y22 +…+ kmym2
问：1 , 2 , … , n与 k1 , k2 , … , km有何
关系？
第六章 二次型与二次曲面
1. 惯性定理
§6.1 二次型
定理6.2. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn 中的可逆线性变换将其化为标准形
f = k1y12 + …+ knyn2 其中k1, …, kn中非零的个数r =秩(f), 且 正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)都 是在可逆线性变换下的不变量.
A与单位矩阵E合同 可逆阵P使得A = PTP A正定
§6.1 二次型
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型及其标准形 §6.2 正定二次型 §6.3 曲面及其方程 §6.4 二次曲面
1
§6.1 二次型及其标准形
1. 二次型及其矩阵 定义1.1 含有n 个变量x1 , x2 ,, xn且系数属于数域F的
二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13 x1x3 2a1n x1xn a x +2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
5
2 2 例 写出二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 3x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵。 解 a11 1，a22 2，a33 3,
1 2 0 a12 a21 2，a13 a31 0， A 2 2 -3 。 0 -3 -3 a23 a32 3 。 1 2 0 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) 2 2 3 x2 X T AX 0 3 3 x 3 2 2 例 写出二次型 g ( x1, x2 , x3 ) x12 2x2 3x3 的矩阵。 1 0 0 解 A = 0 2 0 ， 0 0 -3 1 0 0 x1
T T T 2 1 1
2 n
证 二次型f ( x1 , x2 ,, xn )的矩阵 A为实对称矩阵， 由第五章的定理3.6知，存在正交矩阵C，使 C AC C AC diag (1 , 2 ,, n )
1 T
15
其中 1 , 2 ,, n 为实对称矩阵 A 的 n 个特征 值；正交矩阵C 的 n 个列向量是 A 的对应于特 征值1 , 2 ,, n 的n 个单位正交特征向量。
二次型和二次曲面的对应关系
二次型和二次曲面的对应关系二次型和二次曲面的对应关系二次型与二次曲面的定义•二次型是一个关于n个变量x1, x2, …, xn的二次齐次多项式，可以表示为Q(x) = xTAX，其中A是一个对称矩阵，n是正整数。
•二次曲面是一个在n维空间中的曲面，可以表示为Ax^2 + By^2 + Cz^2 + …,其中A, B, C是常数，x, y, z是变量。
二次型与二次曲面的联系•二次型和二次曲面之间存在着紧密的对应关系，通过对二次型的矩阵A进行特征分解，可以获得二次曲面的标准方程。
二次型矩阵的特征分解1.计算二次型的特征值和特征向量；2.将特征值组成对角矩阵Λ，特征向量组成矩阵P；3.得到特征分解Q(x) = xTPΛPx。
二次曲面的标准方程•根据二次型矩阵的特征分解，可以得到二次曲面的标准方程。
1.当二次型矩阵A的特征值全为正时，二次曲面为椭圆或椭球体，标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1。
2.当二次型矩阵A的特征值全为负时，二次曲面为虚椭圆或虚椭球体，标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = -1。
3.当二次型矩阵A的特征值中有正有负时，二次曲面为双曲面，标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1。
4.当二次型矩阵A的特征值中有零时，二次曲面为抛物面，标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 2z/c。
结论•通过二次型的特征分解可以得到二次曲面的标准方程，从而对二次曲面进行研究和分析。
二次型和二次曲面之间的对应关系可以帮助我们从二次型的角度来理解和解释二次曲面的性质和特点。
二次型与二次曲面的性质对应•二次型和二次曲面之间的对应关系不仅仅是形式上的对应，它们之间还存在着一些性质上的对应关系。
###1. 矩阵的正定性与曲面的凸性•如果一个二次型矩阵A是正定的，即所有的特征值都是正的，那么对应的二次曲面就是一个凸曲面。
几何与代数-二次型
1 = [1, 1, 0]T, 为了求对应于 = 4 的另外一个与 1 正交
的特征向量, 再解方程组
1 1
1 1
2 0
x=
得2 = [1, 1, 1]T . (此处求法比较特别)
此外A的对应于特征值 = –2的一个特征
向量为3 = [1, 1, –2]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 4E–A = 1
2
1 1 2
2 2 4
初等 行变换
1 1 2 00 0 00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特
征向量: 1 = [1, 1, 0]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 1 2 初等 1 1 2
4E–A = 1 1 2 行变换 0 0 0
2 2 4
00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特征向量:
aij = aji
n
aijxixj
i, j =1
第六章 二次型与二次曲面
A的二次型
§6.1 二次型
f 的秩: r(Af))
n
f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
i, j =1
a11 a12 … a1n
A=
a21 a22 … a2n …………
an1 an2 … ann
x1
x=
x2 …
§6.1 二次型
定义: 对于方阵A, B(未必是实对称), 若存在可
逆矩阵P, 使得PTAP = B, 则称A与B合同，
记为A ~B.
易见, 矩阵间的合同关系满足
(1) 反身性: A ~A; (2) 对称性: A ~B B ~A; (3) 传递性: A ~B, B ~C A ~C. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系.
8.二次型与二次曲面
a=b ？ a=b=c ？ a=b ？
b=c ？
a=b ？
(二)、λ1 、λ2 不为零,λ3 = 0
λ1 x2+λ2 y2= c z + d y2 o x2 5 2p + 2q = z ( p、q同号) 椭圆抛物面 y2 = z ( p、q同号) o x2 双曲抛物面 6 2p - 2q 2 2 2 2 x y x y o o 8 a 2 - b 2 =1 7 a 2 + b 2 =1
x2 + y2 + z2 =1 例1:求曲线C: x2 + y2 -x =0 在xOy , zOx 坐标面上的投影.
(z≥0) ,
解:
x2 + y2 + z2 =1 在xOy面上的投影为 x2 + y2 -x =0 往zOx 面上投影: x2 + y2 + z2 =1 (消去y) x2 + y2 -x =0 z2 + x = 1 y =0 x2 + y2 -x =0 z =0
柱面特点: 含有两个变量的方程在空间表示柱面. C: f ( x,y )=0 ( z为母线) S: f (x,y)=0
z=0
柱面名称:与母线名称对应.
(1).椭圆柱面
x2 y2 2 1 2 a b
z
当 a=b 时,为圆柱面:
x2 y2 a2
o x
y
(2).双曲柱面
z
x2 z2 2 2 1 a b
2 2
√2 2 0 √2 2
0
1
0
,
f(x,y,z)=6x2-2y2+6z2+4xz+8x-4y-8z -2=0 .
二次型和二次曲面
二次型和二次曲面
二次型是一种数学函数，它具有特定的格式，称为二次函数。
二次函数是指一个函数，它的输入变量为一个二次多项式，以及它的输出。
它可以用一个椭圆或抛物线的形式来表示。
二次函数也可以用来描述一个曲面，称为二次曲面。
二次曲面是指一个曲面，它的定义是由一个二次多项式（或者椭圆）来表达的。
它可以用来表示一个球面、圆柱面、椭圆面等。
此外，二次型和二次曲面也可以用来解决一些数学问题，比如统计学中的回归分析、最佳拟合、最小二乘法等。
它们还可以用来计算复杂的函数，比如三角函数、指数函数、对数函数等。
最后，二次型和二次曲面也可以用来描述一种物理现象，比如重力、热力学、光学等。
他们也可以用来解释一些现象，比如地球运动，太阳系中行星运动，气候变化等。
总之，二次型和二次曲面在数学和物理学中有着广泛的应用，是许多数学问题和物理现象的重要工具。
二次型与二次曲面
第七章 二次型与二次曲面二次型的定义定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式jiij n i nj j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q 1121称为n 元二次型或二次形式。
当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。
例： 3221213213x x x x x ,x ,x x Q例： 233221213212x x x x x x x ,x ,x x Qn nn n n n n n nnn n n n n n n nn ji ij ni n j j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q212122221112112122211222222122111211221111121令 TijTn A A a ,A ,x ,,x x x 则,21 ，且二次型可表示为 Ax x ,x ,,x x Q T n 21，称A 为二次型的矩阵。
x x x x x x x ,x ,x x Q T02302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且r (A )=n .n i nj j i ij n x x |A|A ,x ,,x x Q 1121矩阵的相合设n n ,β,,ββ,,α,,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即P ,α,,αα,β,,ββn n 2121 设向量V 在两组基下的坐标分别为Tn Tn ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）：x P y Py x 1或。
则y AP P y APy Py Ax x αQ TT TT称同一个二次函数 αQ 在不同基下所对应的两个二次型Ax x T 和 By y y AP P y T T T 是等价的。
线性代数与解析几何——二次型与二次曲面
x2
c21 y1
c22
y2
xn cn1 y1 cm2 y2
简记为 x = C y ，
c1n yn , c2n yn ,
于是
f = xTAx = (C y)T A (C y)
cnn yn .
= yT (CTAC) y
使二次型只含平方项，即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
即
f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2
则上式称为二次型的规范形．
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ，
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
n
aij xi x j i, j1
ann xn2
f ( x1, x2 ,
, xn ) ax111(xa1211x1a12 ax12xx22 aa1n1nxx1nx)n ax221(xa22x1 x1 1aa222x2 x22 2 aa2n2xn x2 xn )n
2(z1 z3 )2 2(z2 2z3 )2 6z32 ,
将线性变换 代入上式得到
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
f ( x1, x2 , x3 ) 2 y12 2 y22 6 y32 .
将上面的两个线性变换复合起来:
x1 x2
z1 z1
z2 z2
,
二次型与二次曲面的关系知乎
二次型与二次曲面的关系知乎二次型与二次曲面是线性代数和几何学中重要的概念，它们之间有着密切的关系。
在本文中，我们将讨论二次型和二次曲面的定义、基本性质以及它们之间的关系。
我们将从二次型和二次曲面的定义开始，然后讨论它们之间的关系，最后总结全文的内容。
**一、二次型的定义和基本性质**在线性代数中，二次型是一个定义在n维向量空间V上的二次齐次函数，通常记作Q(x)，其中x是V中的一个向量。
二次型通常表示为Q(x)=x^TAX，其中A是一个对称矩阵。
二次型的基本性质包括对称性、正定性和二次型矩阵的特征值。
1.对称性：由于A是对称矩阵，所以二次型Q(x)具有对称性，即Q(x)=Q(x^T)。
2.正定性：如果二次型Q(x)对于V中的任意非零向量x都有Q(x)>0，则称其为正定的二次型。
同样地，如果Q(x)对于任意非零向量x都有Q(x)<0，则称其为负定的二次型。
3.二次型矩阵的特征值：二次型的矩阵A的特征值提供了有关二次型行为的重要信息。
特征值为正的情况对应正定二次型，特征值为负的情况对应负定二次型，特征值为零的情况对应半正定或半负定的情况。
**二、二次曲面的定义和基本性质**在几何学中，二次曲面是一个定义在三维空间中的曲面，通常表示为F(x,y,z)=0。
二次曲面的基本性质包括轴、实轴、非退化性和标准化等。
1.轴：二次曲面的轴是通过曲面的中心且与曲面的任意切线垂直的直线。
轴可以是实轴或虚轴。
2.实轴和虚轴：如果二次曲面的轴是实轴，那么它是一个实二次曲面；如果二次曲面的轴是虚轴，那么它是一个虚二次曲面。
3.非退化性：二次曲面是非退化的，如果对于曲面上的每一点，存在一个领域使得在这个领域内，曲面能通过一个关于x、y和z的方程F(x,y,z)=0唯一确定。
4.标准化：二次曲面可以通过线性变换变换为标准形式，使得它的方程变得简单。
常见的标准形式包括椭球面、双曲面和抛物面等。
**三、二次型与二次曲面的关系**二次型和二次曲面之间的关系体现在它们的数学性质和几何性质上。
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f = 4y12 +4y22 2y32.
x12+x22+x32 = 1 可化为y12+y22+y32 = 1, 此时 f = 4y12 +4y22 2y32
= 4(y12 +y22 +y32) 6y32 = 4 6y32 = 6(y12 +y22) 2(y12 +y22 +y32) = 6(y12 +y22) 2 最大值为4, 最小值为2.
§6.1 二次型
f(x1, x2, …, xn) = xTAx
x = Qy (Qy)TA(Qy) = yT(QTAQ)y
1 0 … 0 y1
= (y1, y2, …, yn)
0 …
2
…
…0 ……
y2 …
0 0 … n yn
= 1y12 + 2y22 + … + nyn2
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
]
3
x32
4
x12
3(
x22
2 3
x2
x3
1 9
x32
)
8 3
x32
4
x12
3(
x2
1 3
x3
)2
8 3
x32
令
y1 y2
x1 x2
1 3
x3
则 f =4y12+3y22+(8/3)y32.
y3 x3
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例4. 用配方法化f =x123x222x1x26x2x3+2x1x3
二. 化二次型为标准形
1. 矩阵的合同
A与B相合或合同 (记为 A B):
可逆矩阵P, 使得PTAP = B.
注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. (3) 对称性: A B B A. (4) 传递性: A B, B C A C.
(5) AT = A (PTAP)T = PTATP = PTAP.
为标准形, 并求所用的可逆线性变换.
解: f = x123x222x1x26x2x3+2x1x3
= [x12 2x1(x2 x3) + (x2 x3)2]
(x2 x3)2 3x22 6x2x3
= (x1 x2 + x3)2 (2x2 + x3)2 = y12 y22
取 y3 = x3,
§6.1 二次型
3. 判定
Ann正定, PTAP = diag{d1, …, dn}, P可逆 d1, …, dn > 0 A的正惯性指数 = n
第六章 二次型与二次曲面
3. 判定 Ann正定
A的正惯性指数 = n
QTAQ = diag{1, …, n}, Q正交 1, …, n > 0
f
=
3y12
1 2
(3+
17
)y22+
1 2
(
17
3)y32.
用配方法得到的标准形为:
f = 2z12 2z22 + 6z32.
r = 3, p = 2, q = 1.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
回忆
例.
0 0 1 4 0 0 0 0 1 010 0 0 0 010
100 0 0 3 100
4EA =
1 1 2
1 1 2
2 2 4
初等 行变换
1 1 2 00 0 00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特
征向量: 1 = (1, 1, 0)T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 1 2 4E–A = 1 1 2
初等 行变换
1 1 2 00 0
2 2 4
00 0
可得A的对应于特征值 = 4的一个特征向量:
则f = 2z12 – 2z22 +6z32.
所用的变换矩阵为
1 10 101 1 1 3
C = 1 1 0 0 1 2 = 1 1 1 .
00 1 001 0 0 1
第六章 二次型与二次曲面
例5. f =2x1x2+2x1x3 –6x2x3
§6.1 二次型
分析: 若用前面正交变换的方法化f为标准形,
100 3 0 0 100 001 0 0 0 001 0 1 0 0 0 4 0 1 0
1/ 3 0 0 3 0 0 1/ 3 0 0 0 1/2 0 0 4 0 0 1/2 0 0 0 1000 0 0 1
100 0 1 0 000
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
推论1. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn中 的可逆线性变换将其化为规范形
§6.1 二次型
所以A的特征值为1 = 0, 2 = 1, 3 = 2. 代入(E–A)x = 求得对应的特征向量
1 = (1, 0, 1)T, 2 = (0, 1, 0)T, 3 = (1, 0, 1)T.
它们是两两正交的.
把它们单位化可得正交矩阵
1 2 0 1 2 Q= 0 1 0 ,
12 0 12 令x = Qy, 得该二次型的标准形为
f = 0y12 + y22 +2y32 = y22 +2y32.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例2. 求二次型f = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3
在条件x12+x22+x32 = 1下的最大, 最小值.
3 12 解: f 的矩阵A = 1 3 2 ,
2 2 0
|EA| = (4)2(+2).
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
3. 用配方法化二次型为标准形
例3. 用配方法化f =4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形.
解: f =4x12+3x22+2x2x3+3x32
4x12
3( x22
2 3
x2x3 )
3x32
4
x12
3[(
x22
2 3
x2
x3
1 9
x32
)
1 9
x32
+ a22x22 +2a23x2x3+…+ 2a2nx2xn
+ a33x32 +…+ 2a3nx3xn
令 aji = aij
… + annxn2
第六章 二次型与二次曲面
A的二次型
§6.1 二次型
f 的秩: r(Af))
f(x1, x2, …, xn)
对称阵 A=
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n …………
1 1 1
得 y = 0 2 1 x.
001
1 1/2 3/2
因而x = 0 1/2 1/2 y.
00 1
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例5. 用配方法化f =2x1x2+2x1x3 –6x2x3为标准形.
并求所用的变换矩阵.
1 10
解: 令x1 = y1 + y2, x2 = y1 – y2, x3 = y3.
1
i
dn 0
0
= (0, …, di , …, 0) 1 = di
0
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
2. 性质
(1) Ann, Bnn正定 A + B正定矩阵.
(2) diag{d1, …, dn}正定i, di > 0.
…
(x1, …, xn) d1
x1 dn xn
= d1x12 + …+ dnxn2
x=
1 1 0 00 1
y
则f =2y12 – 2y22 – 4y1y3+8y2y3.
配方得f = 令z1 = y1 –
2(y1 – y3)2 y3, z2 = y2
– 2(y2 – –2y3, z3
2y3)2 = y3,
+6yy3=2.
101 012 001
z
即y1 = z1 + z3, y2 = z2 +2z3, y3 = z3,
1 = (1, 1, 0) T, A的对应于特征值 = 2的一个特征向量为 3 = (1, 1, 2)T, = 4 的另外一个与 1 正交的特征向量为 2 = 13 =(1, 1, 1)T,
再作单位化, 得
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
12 13 16 由此可得正交矩阵Q = 1 2 1 3 1 6 ,
2. 二次型在正交变换下的标准形
定理6.2. f(x1, x2, …, xn) = xTAx可经正交变换
化为标准形1y12 + 2y22 + … + nyn2, 其中1, 2, …, n为A的特征值.
第六章 二次型与二次曲面
例1. 用正交变换把将二次型
§6.1 二次型
f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形.
非常麻烦. 因为 0 11
f(x1, x2, x3)的矩阵A = 1 0 3 , 1 3 0
|E–A|
=
(–3)[+
1 2
(3+
17
)][+
1 2
(3
17 )].
但由此可见 f 可化为