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2021年成都市中考数学复习学案：几何模型讲义

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2021年成都市中考专题 4—几何模型之隐圆问题讲义

2021年成都市中考专题 4—几何模型之隐圆问题讲义

【模型讲解】2021年成都市中考专题 4——几何模型之隐圆问题常见的隐圆模型有:（1）动点到定点的距离为定长；（2）四点共圆；（3）定边对定角（专题 3）等.AD ＝AC ＝AB ∠ADB ＝∠ACB 2∠ADB ＝∠ACB ∠BAC ＋∠BDC ＝180°【例题分析】例 1.如图，已知 AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为.例1图例 2 图 例 3 图例 2.在矩形 ABCD 中，已知 AB = 2cm ， BC = 3cm ，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边 （即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积为 cm 2 ． 例 3.如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的⊙O 上滑动（点 C 、D 与点 A 、B 不重合），M 是 CD 的中 点，过点 C 作 CP ⊥AB 于点 P ，若 AB ＝8，则 PM 的最大值是 。

例 4.如图，点 A 与点 B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点 P 是该直角坐标系内的一个动点. （1） 使∠APB ＝30°的点 P 有 个；（2） 若点 P 在 y 轴上，且∠APB ＝30°，求满足条件的点 P 的坐标；（3） 当点 P 在 y 轴上移动时，∠APB 是否存在最大值？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.【巩固训练】1.如图1，矩形ABCD 中，AB = 2 ，AD = 3 ，点E 、F 分别AD 、DC 边上的点，且EF = 2 ，点G为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA +PG 的最小值为．图1 图22.如图 2，在矩形ABCD 中，AB = 4 ，AD = 6 ，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将∆EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB'F ，连接B'D ，则B'D 的最小值是．3.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3, 0) ，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC = 2 ．设tan ∠BOC =m ，则m 的取值范围是．4.如图 3，在Rt∆ABC 中，∠C = 90︒，AC = 6 ，BC = 8 ，点F 在边AC 上，并且CF = 2 ，点E 为边BC 上的动点，将∆CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是.图3 图4 图55.如图4，四边形ABCD 中，DC / / AB ，BC =1 ，AB =AC =AD = 2 ．则BD 的长为.6.如图5，在四边形ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝，∠DBC＝.7.足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB 的张角大小时，张角越大，射门越好.如图6 的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD 方向进攻，最好的射点在（）A.点CB.点D 或点EC.线段DE（异于端点）上一点D.线段CD（异于端点）上一点图6 图7 图88.如图 7，已知AB 是⊙O 的直径，PQ 是⊙O 的弦，PQ 与AB 不平行，R 是PQ 的中点，作PS⊥PQAB，QT⊥AB，垂足分别为S、T（S≠T），并且∠SRT＝60°，则的值等于.AB9.如图8，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD·DC＝.10. 在平面直角坐标系中，已知点 A （4，0）、B （－6，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，当∠BCA ＝45°时，点 C 的坐标为 . 11. 如图 9，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点 D 在 AB 边上，点 E 是 BC 边上一点（不与点 B 、C 重合），且 DA ＝DE ，则 AD 的取值范围是 .图 9 图 1012. 如图 10，在平面直角坐标系的第一象限内有一点 B ，坐标为（2，m ）.过点 B 作 AB ⊥y 轴，BC⊥x 轴，垂足分别为 A 、C ，若点 P 在线段 AB 上滑动（点 P 可以与点 A 、B 重合），发现使得∠OPC ＝45°的位置有两个，则 m 的取值范围为 .13. 在锐角△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，∠ACB ＝45°，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转得到△A ′B ′C ′。

2021年中考数学复习讲义：第四章全等三角形模型（十二）——手拉手模型

2021年中考数学复习讲义：第四章全等三角形模型（十二）——手拉手模型

第四章.全等三角形模型（十二）——手拉手模型【结论1】如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，则⑴△ABD ≌△ACE; ⑵BD和CE的夹角∠P=∠BAC=∠DAE.⑴⑵模型讲解口诀相同图形在一起要把边角边想起找全等三角形的方法：顶左左，顶右右【相同图形的左手拉左手，右手拉右手】【结论2】如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90º，则⑴△ABD ≌△ACE; ⑵BD⊥CE（1）（2）【结论3】如图所示，△ABC与△DCE是等边三角形⑴△BCD ≌△ACE; ⑵∠AOB=∠DOE=60º【结论4】如图所示，△ABC与△DCE是等边三角形，当点B、C、E共线时典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，△ACB 和△DCE均为等边三角形，点 A，D，E在同一条直线上，连接 BE，则∠AEB的度数是（）A.30°B.45°C.60ºD.75°【答案】C【解析】∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，且△ACB与△DCE共点，形成了手拉手模型.根据模型结论可知：△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC.∵∠ADC+∠CDE=180°,∠CDE=60°,∴∠ADC=120°,∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC -∠CED=120°-60°=60°.故选 C.典例2 ☆☆☆☆☆如图，△ABC和△ADE 都是等腰直角三角形，CE与 BD 相交于点 M，则 BD 与 CE 的数量关系为（）A.2BD =CEB.3BD =2CEC.BD=CED.2BD=3CE【答案】C【解析】∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，且△ABC与△ADE 共点，∴形成了手拉手模型，根据模型结论可知△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE. 故选 C.典例3 ☆☆☆☆☆如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接 BD，CE交于点F，则 BD与CE的数量关系为（ )A. 2BD=CEB.3BD=2CEC.BD=CED.2BD=3CE【答案】C【解析】∵△ABC绕点A 按逆时针方向旋转 100°得到△ADE，∴△ABC与△ADE 形成手拉手模型.根据模型结论可知，△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE. 故选 C.小试牛刀1.（★☆☆☆☆）如图，△ABC 和△CDE均为等边三角形，点A， D，E在同一条直线上，连接 BE.若∠CAE=25°，则∠EBC 的度数是（ )A.35ºB. 30°C. 25°D. 20°2.（★★☆☆☆）如图所示，B，D，E在同一条直线上，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=（）.A.60°B.55°C. 50°D. 无法计算第2题图第3题图3.（★★★☆☆）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为 BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F，连接 CF，则有下列结论∶①BF=AC;②∠FCD=45°;③若 BF=2EC，则△FDC的周长等于 AB 的长. 其中正确的有（）.A.0个B.1个C.2个D.3 个直击中考1.如图，在△AOB和△COD中，OA= OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°.连接 AC，BD交于点M，连接OM.有下列结论∶①∠AMB=36°;②AC= BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数为（ )A.4B.3C.2D.12OA<OM=ON），∠AOB=∠MON=90º3.已知△AOB 和△MON都是等腰直三角形（当2（1）如图 1，连接 AM，BN，求证∶△AOM≌△BON.（2）若将△MON 绕点 O 顺时针旋转.①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证∶ BN2＋AN2= 2ON2;②当点 A，M，N在同一条直线上时，若OB=4,ON=3,请直接写出线段BN的长.第四章.全等三角形模型（十二）——手拉手模型答案：小试牛刀1.答案 C解析：∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形，且△ABC与△CDE共点，∴形成了手拉手模型，根据模型结论可知△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CAE=∠EBC.∵∠CAE=25°,∴∠EBC=25º，故选 C.2.答案 B解析：∵AB=AC,AD=AE,等腰△ABC与等腰△DAE 共点，形成了手拉手模型，根据模型结论可知△BAD≌△CAE（SAS）.∵∠2=30°,∴∠ABD=∠2=30°，∵∠1=25°,∴∠3=∠ABD+∠1=55°.故选 B.3.答案 D解析：△ABD是等腰直角三角形，要证明△FDC是等腰直角三角形，只需要证明△BDF≌△ADC.∵△ABC中，AD，BE分别为 BC，AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD 的余角，而∠ADB= ∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，故①正确;易得FD=CD，∴∠FCD=∠CFD=45°，故②正确;根据①得 BF=AC，若 BF=2EC，则 AC= 2EC，即 E为 AC的中点，∴BE为线段 AC的垂直平分线，∴AF=CF，BA=BC，∴AB=BD+CD=AD＋CD=AF＋DF+ CD=CF＋DF＋CD，即△FDC的周长等于 AB 的长，故③正确. 故选 D.直击中考1. 答案 B解析：∵ OA=OB, OC=DO,∴△AOB与△COD为等腰三角形.由于△AOB与△COD 共点，故形成手拉手模型，根据模型结论可知△AOC≌△BOD(SAS), ∴AC=BD，故②正确.由三角形外角的性质及对顶角相等可得∠AMB+∠OBD=∠OAC＋∠AOB，又由△AOC≌△BOD，可得∠OAC=∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=36°，故①正确.作 OG⊥AM于G，OH⊥DM 于H，如图所示，则∠OGA=∠OHB=90°，∵△AOC≌△BOD, ∴OG=OH,∴MO平分∠AMD，故④正确，假设 OM平分∠AOD，则∠DOM= ∠AOM.在△AMO与△DMO中，∠AOM=∠DOM,OM=OM,∠AMO=∠DMO, ∴△AMO≌△DMO(ASA),∴AO=OD. 又OC=OD，∴OA=OC，而 OA<OC，故③错误.因此，正确结论的个数为 3.故选 B.2.解析：（1）∵∠AOB=∠MON=90°，∠MON+∠AON=∠AOB+∠AON，即∠AOM=∠BON.∵AO=BO,OM=ON, ∴△AOM≌△BON(SAS). （2）①如图，连接 AM.同（1）证明方法可证△AOM ≌△BON(SAS),∴AM=BN，∠OAM=∠B=45°，∵∠OAB=∠B=45º，∴∠MAN=∠OAM+∠OAB=90°, ∴MN²=AN²＋AM²，∵△MON是等腰直角三角形， MN²=2ON²,∴BN2＋AN²=2ON².②情况一∶如图，设OA交BN于点J，过点O作OH⊥MN于H由已知可知形成手拉手模型，根据手拉手模型可得△AOM≌△BON，∴AM=BN，∵OM=ON=3，∠MON=90°，OH⊥MN，∴MN=32,MH=HN=OH=223∴AH= 22OHOA-=22223-4⎪⎪⎭⎫⎝⎛=246∴BN=AM=MH+AH=22 346+情况二∶如图，同情况一方法可得 AM=BN=22 3-46。

2021年中考数学总复习——第48讲 空间几何体的结构,三视图和直观图

2021年中考数学总复习——第48讲 空间几何体的结构,三视图和直观图

空间几何体的结构特征 例 1 (1)给定下列四个命题： ①圆锥是由正方形绕对角线旋转所形成的曲面围 成的几何体； ②圆锥是由三角形绕其一边上的高旋转所形成曲 面围成的几何体； ③圆锥是角 AOB 绕其角平分线旋转一周所形成 曲面围成的几何体； ④底面在水平平面上的圆锥用平行于底面的平面 所截得的位于截面上方的部分是圆锥． 其中正确的命题为__________．(只填正确命题的 序号)
[解析] 由斜二测画法的规则可知①正确；②错 误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观 图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是 菱形，④也错误．
[答案] ①
(2)已知正△ABC 的边长为 a，那么它的平面直观 图△A′B′C′的面积为__________．
[解析] 如图所示是实际图形和直观图，由图可知，
5．一个三棱锥的正(主)视图和俯视图如 图所示，则该三棱锥的侧(左)视图可能为 ()
[解析] 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱 锥，其中平面 ACD⊥平面 BCD，故选 D.
[答案] D
空间几何体的直观图 例 3 (1)利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形． 以上正确结论的序号是________．
a2＋（2 2a）2＝3a cm，则原图形的周长是 2(3a＋ a)＝8a cm.
[答案] 8a
【知识要点】
1．简单几何体
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平__行__ 且相__等__
多边形
互相_平_行__
侧棱
平行且
相交于
___相_等_____

2021年中考复习讲义初中几何典型模型一：一线三垂直模型

2021年中考复习讲义初中几何典型模型一：一线三垂直模型

初中数学典型模型之一： “三垂直模型”介绍总体解题思路：只要出现此典型图形，一般都要证三角形全等或相似，再根据全等或相似性质解题.（一）基本图形： 1.“三垂”例1.如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF ⊥EC ，EF=EC ，DE=2，矩形的周长为16，则AE=__ 解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于有等边（EF=EC ）先证△AEF ≌△DCE ， ∴AE=DC ，∴AD-DC=2，∵AD+DC=8，∴AD=5，DC=3，∴AE=3例2.一块矩形木板ABCD ，长AD=3cm,宽AB=2cm,小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C 上，另一条直角边与AB 边交于点E ，三角板的直角顶点P 在AD 边上移动（不含端点A,D ），当线段BE 最短时，AP=_______解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于没有等边，先证△AEP ∽△DPC ， ∴AP CD=AE PD。

当题目出现线段最值时，初三的数学中有两种解题方法：①几何论证方法；②代数论证方法-----通过设未知数，把几何中的线段关系转化成二次函数形式，运用二次函数求最值的方法解题；（详见“动态问题下求线段长”），此题可采用代数论证方法，设BE =y,AP =x ，∴x2=2−y3−x , ∴y =x 2−3x +4=(x −32)2+74 , ∴a =1>0 , ∴x =32 时，y 最小值=742.两种变化图形（1）“交叉型”三垂直模型 （2）“L 型”三垂直模型A BC DEF 图1PA BCD E 证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，若其中有一组边相等，则证ABE ≅ECD;若没有边相等，则证ABE ~ECD;21AB CED证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，若其中有一组边相等，则证ABE ≅FCD;若没有边相等，则证ABE ~FCD;21A BF E DC(1)若有等边，则△ABE≌△BDC（AAS ）(2)若无等边，则△ABE∽△BDC（AA ）EDCBA例3.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE=BF=1，则OC= ．解析：求线段长，要么用勾股定理，要么用相似，不管走勾股定理，还是相似，都绕不过先求出∠DOC=90°，当把这个90°标在图形时，就出现“三垂直模型的变化图形—交叉型三垂直模型”，如图1，由于有等边（BC=CD ），先证△BCE ≌△CDF ，∴∠BCE =∠CDF ，∵∠BCE +∠OCD =90°，∴∠CDF +∠OCD =90°，∴∠DOC =90°；这时图形又出现了第二个典型图形：“双垂型图形”，如图2，便易得这个典型图形的一个典型的用途----两直角边的乘积会等于斜边乘以斜边上的高。

模型39 数轴上动点问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

模型39 数轴上动点问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．✮（4）数轴上两点间的距离公式：AB=X B-X A(即：右端点减左端点）✮（5）数轴上中点数公式：=+2(即：中点等于两端点相加除以2）例题精讲【例1】.如图，点A在数轴上表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点P在数轴上表示的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，则满足条件的P点表示的整数有___________.解：∵PA+PB＝5，∴点P在A，B两点之间，A，B两点之间的整数有﹣2，﹣1，0，1，变式训练【变式1-1】．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ 2.5或5.5．解：∵AB＝15，OA＝2OB，∴AO＝AB＝10，BO＝AB＝5，∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5，设经过t秒，则AP＝＝，OP＝5+4t，BP＝5+4t﹣（5+2t）＝2t，当t≤15时，3AP+2OP﹣mBP＝45﹣3t+10+8t﹣2mt＝（5﹣2m）t+55，∴当5﹣2m＝0，即m＝2.5时，3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，当t＞15时，3AP+2OP﹣mBP＝3t﹣45+10+8t﹣2mt＝（11﹣2m）t﹣35，∴当11﹣2m＝0，即m＝5.5时，上式为定值﹣35，也不随t发生改变，故m为2.5或5.5．故答案为：2.5或5.5．【变式1-2】．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P 从原点出发，速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？（3）当时间t满足t1＜t≤t2时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值．解：（1）设运动时间为t秒，由题意可得：6+8+2t+6t＝46，∴t＝4，∴运动4秒，点M与点N相距46个单位；（2）设运动时间为t秒，由题意可知：M点运动到6+2t，N点运动到﹣8+6t，P点运动到t，由t＝﹣8+6t可得t＝1.6，当t＜1.6时，点N在点P左侧，若MP＝NP，则t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝（s）；当t＞1.6时，点N在点P右侧，若MP＝NP，则﹣8+6t﹣t＝6+2t﹣t，解得t＝（s），∴运动s或s时，点P到点M，N的距离相等；（3）由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动①当t1＝4s时，P在4，M在14，N在﹣32，再往前一点，MP之间的距离即包含10个整数点，NP之间有47个整数点；②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动，若N点移动到﹣33时，此时N、M之间仍为47个整数点，若N点过了﹣33时，此时N、M之间为48个整数点故t2＝+4＝（s），∴t1，t2的值分别为4s，s．【例2】．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A 落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023的点是点D．解：由图形可知，旋转一周，点B对应的数是1，点C对应的数是0，点D对应的数是﹣1，点E对应的数是﹣2，点F对应的点为﹣3，点A对应的点为﹣4，继续旋转，点B对应的点为﹣5，点C对应的点为﹣6．∵2023÷6＝337…1，∴数轴上表示﹣2025的点与圆周上点D重合．故答案为：点D．变式训练【变式2-1】．在数轴上，点A，O，B分别表示﹣15，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点P，Q，O三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点，则运动时间为或或秒．解：由题知，P点对应的数为：﹣15+4t，Q点对应的数为：9+t，（1）当O为PQ中点时，根据题意得15﹣4t＝9+t，解得t＝，（2）当P是OQ的中点时，根据题意得2（4t﹣15）＝9+t，解得t＝，（3）当Q是OP的中点时，根据题意得2（9+t）＝4t﹣15，解得t＝，故答案为：或或．【变式2-2】．如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点示数1，C点表示数9．（1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（2）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．解：（1）AB＝9﹣（﹣3）＝12，12÷2＝6，AB的中点表示的数为：9﹣6＝3，3﹣1＝2，3+2＝5，则点B与5表示的点重合；（2）①由题意可知，t秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t，B点所在的数为：1﹣t，C点所在的数为：9﹣4t，（i）若B为AC中点，则．∴t＝1；（ii）若C为AB中点，则，∴t＝4；（iii）若A为BC中点，则，∴t＝16，∴综上，当t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点；②假设存在．∵C在B右侧，B在A右侧，∴BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t，AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝4+t，mBC﹣2AB＝m（8﹣3t）﹣2（4+t）＝8m﹣3mt﹣8﹣2t＝8m﹣8﹣（3mt+2t）＝8m﹣8﹣（3m+2）t，当3m+2＝0即m＝时，mBC﹣2AB＝8×（﹣）﹣8＝﹣为定值，∴存在常数m＝﹣，使mBC﹣2AB的值为定值．1．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是﹣3和x所表示的点，那么x等于（）A．5B．6C．7D．8解：根据数轴可知：﹣3+8＝5，故选：A．2．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2021次后，点B（）A．对应的数是2019B．对应的数是2020C．对应的数是2021D．不对应任何数解：结合数轴，根据连续翻转可得出从原点开始，向右依次是A、B、C循环排列，2021次后共得出2022个顶点，∵2022÷3＝674，∴最后一个点为C，∵最后一个点C是翻转了2021次后得到的，∴点C表示的数为2021，∴点B表示的数为2020，故选：B．3．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（）①若|x﹣2022|＝1，则x＝2021或2023；②若|x﹣1|＝|x+3|，则x＝﹣1；③若x＞y，则|x﹣2|＞|y﹣2|；④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有无数个解．A．1B．2C．3D．4解：①若|x﹣2022|＝1，可得x﹣2022＝±1，则则x＝2021或2023；所以①说法正确；②若|x﹣1|＝|x+3|，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出x＝﹣1；所以②说法正确；③当y＜x＜0时，则|x﹣2|＜|y﹣2|，所以③说法不正确；④因为|x+1|+|x﹣2|＝3的几何意义是到数轴上表示﹣1的点与表示2的点的距离和等于3的点，即﹣1≤x≤2时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确．故选：C．4．数轴上点A表示的数是﹣3，把点A向右移动5个单位，再向左移动7个单位到A′，则A′表示的数是﹣5．解：依题意得：﹣3+5﹣7＝﹣5，即则A′表示的数是﹣5．故答案为：﹣5．5．数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O 和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t＝4.4时，M、N两点相遇（结果化为小数）．解：当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上，即t≥2时，M表示的数是×（t﹣2）＝2t﹣4，N表示的数是12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t，∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴2t﹣4＝18﹣3t，解得：t＝＝4.4，故答案为：4.4．6．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0．（1）原点在第②部分（填序号）；（2）化简式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|；（3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数．解：（1）∵点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴原点在点A和点B之间，又∵从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，∴原点在第②部分；故答案为：②（2）∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，c＞0，∴c﹣a＞0，∴|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+a＝a+b﹣c；（3）∵|c﹣5|+（a+1）2＝0，又∵|c﹣5|≥0，（a+1）2≥0，∴c﹣5＝0，a+1＝0，∴c＝5，a＝﹣1，∵B对应的数是b，5＞b＞﹣1，∴BC＝5﹣b，AB＝b﹣（﹣1）＝b+1，又∵BC＝2AB，∴5﹣b＝2×（b+1），即3b＝3，解得：b＝1，∴点B表示的数为1．7．已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数．（1）填空：a＝﹣1，b＝1，c＝5；（2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；（3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A 以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．解：（1）依题意得，b＝1，c﹣5＝0，a+b＝0，解得a＝﹣1，c＝5．故答案为：﹣1，1，5；（2）点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，原式＝x+1+x﹣1+2x+10＝4x+10；当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0，原式＝x+1﹣x+1+2x+10＝2x+12．综上可知，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝4x+10或2x+12；（3）不变，理由：t秒后A点表示的数是﹣1﹣t，B点表示的数是1+2t，C的表示的数是5+5t，∵AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t）＝3t+2，BC＝5+5t﹣（1+2t）＝3t+4，∴BC﹣AB＝2，∴BC﹣AB的值不变，是2．8．数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B 的右侧，AC﹣AB＝2．（1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点．①则点D表示的数为﹣2．②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF 运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值；（2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长．解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2，∴AB＝2﹣（﹣8）＝10．∵AC﹣AB＝2，∴AC＝12，∴点C对应的数字为4，∵点D是AC的中点，∴CD＝AC＝6，设点D表示的数为x，∴4﹣x＝6，∴x＝﹣2．∴点D表示的数为﹣2．故答案为：﹣2；②设EF运动的时间为t秒，则点E对应的数字为t﹣8，点F对应的数字为t﹣8+a，∵点M是EC的中点，N是BF的中点，∴点M对应的数字为＝，点N对应的数字为＝，∵MN＝1，∴||＝1．解得：a＝0或a＝4，∵a＞0，∴a＝4；（2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，∵点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2，∴c＝n+2，AB＝n﹣m．∵点D是AC的中点，∴d＝，∴AD＝m＝，BD＝n﹣＝，∵AD+3BD＝4，∴＝4，解得：n﹣m＝3．∴AB＝3．9．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0．（1）若a＝﹣7，b＝3，求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c；（2）该数轴上有另一点D表示数d．①若d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值；②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出该值；若不能，说明理由．解：（1）∵a＝﹣7，b＝3，∴线段AB的中点C表示的数c＝3﹣×（|﹣7|+3）＝3﹣×10＝3﹣5＝﹣2；（2）①∵d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，∴AB＝b﹣a，BD＝b﹣2，∴b﹣a＝5（b﹣2），∴a+4b＝10，∴2a+8b+2023＝2（a+4b）+2023＝2×10+2023＝2043；②能求出代数式的值，∵d＝﹣2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，∴AB＝b﹣a，BD＝b+2，∴b﹣a＝5（b+2），∴a+4b＝﹣10，∴2a+8b+2023＝2（a+4b）+2023＝2×（﹣10）+2023＝﹣20+2023＝2003；10．先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为﹣4.5和 3.5，B，C两点间的距离是8；（2）若点A表示的整数为x，则当x为﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；（3）要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．解：（1）4.5的相反数是﹣4.5，即点B表示的数为﹣4.5；点C表示的数为5﹣1.5＝3.5；B，C两点间的距离是3.5﹣（﹣4.5）＝3.5+4.5＝8；故答案为：﹣4.5，3.5，8；（2）∵|x+6|与|x﹣2|的值相等，∴x+6＝x﹣2此种情况等式不成立，或x+6＝﹣（x﹣2），x＝﹣2，∴x＝﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；故答案为：﹣2；（3）∵|x+1|+|x﹣2|值最小，∴在数轴上可以看作表示x的到﹣1的距离与到2的距离和最小，∴数x只能在﹣1与2之间，包括﹣1与2两个端点，∴﹣1≤x≤2．故答案为：﹣1≤x≤2．11．如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3．（1）填空：线段AB的长度AB＝4；（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．解：（1）∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝OA+OB＝4．故答案为：4；（2）数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化．理由：A、B两点对应的数分别为﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∵点A是BC的中点，∴AC＝AB＝4．∴OC＝AC+OA＝5，∴C点对应的数为﹣5．又∵OD＝AC，点D在点A的右侧，∴D点对应的数为4．设P点对应的数为x，①P点在射线CA上时，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x，∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化；②P点在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4，∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化；③P点在射线BD上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3，∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2，∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化．综上，P点在线段AB上时，PA+PB的值没有发生变化，∴数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化；（3）在运动过程中，的值不发生变化．理由：设运动时间为t 分钟，则OP ＝t ，OE ＝5t +1，OF ＝20t +3，∴EF ＝OE +OF ＝25t +4，∵M 、N 分别是PE 、OF 的中点，∴EM ＝PM ＝PE ＝（OP +OE ）＝3t +，ON ＝OF ＝10t +，∴OM ＝OE ﹣EM ＝5t +1﹣（3t +）＝2t +，∴MN ＝OM +ON ＝12t +2，∴．∴在运动过程中，的值不发生变化．12．如图，在数轴上，点O 表示原点，点A 表示的数为﹣1，对于数轴上任意一点P （不与点A 点O 重合），线段PO 与线段PA 的长度之比记作k （p ），即，我们称k （p ）为点P 的特征值，例如：点P 表示的数为1，因为PO ＝1，PA ＝2，所以．（1）当点P 为AO 的中点时，则k （p ）＝1；（2）若k （p ）＝2，求点P 表示的数；（3）若点P 表示的数为p ，且满足p ＝2n ﹣1，（其中n 为正整数，且1≤n ≤7），求所有满足条件的k （p ）的和．解：（1）由题意可知，当点P 为AO 的中点时点P 表示的数为，，∴，故答案为：1；（2）设点P 表示的数为x ，则PO ＝|x |，PA ＝|x ﹣（﹣1）|＝|x +1|，∵k （p ）＝2，∴，即PO ＝2PA ，∴|x|＝2|x+1|，∴x＝2（x+1）或x＝﹣2（x+1），解得：x＝﹣2或；故：点P表示的数﹣2或；（3）点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），p＝2n﹣1＞0，此时：PO＝p，PA＝p﹣（﹣1）＝p+1，当p＝2n﹣1时∵1≤n≤7，且n为正整数，则所有满足条件的k的值分别为：（p），故所有满足条件的k的和为：＝（p），令，则，②﹣①得：，∴＝＝．13．把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．（1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时、它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为5cm；我们把这个模型记为“木捧摸型”；（2）在（1）的条件下，已知点C表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，求木棒的右端点与点A的距离；（3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．某一天，小字问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要41年才出生；你若是我现在这么大，我就有124岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．解：（1）由图观察可知，三根木棒长是20﹣5＝15（cm），则此木棒长为：15÷3＝5（cm）；故答案为：5cm；（2）由题可知，点A所表示的数是5+5＝10，∵木棒的左端点与点C相距3cm，点C表示的数为﹣2，当左端点在点C右侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2+3＝1，右端点表示的数为；1+5＝6，木棒的右端点与A的距离为：10﹣6＝4，当左端点在点C左侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2﹣3＝﹣5，木棒的右端点表示的数为：﹣5+5＝0，木棒的右端点与点A的距离＝10﹣0＝10，∴木棒的右端点与点A的距离为4或10；（3）由图可知，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷是小红现在年龄时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数位﹣41，因为当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为124，所以爷爷比小红大[124﹣（﹣41）]÷3＝55（岁），所以爷爷的年龄为124﹣55＝69（岁），答：爷爷现在的年龄是69岁．14．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5；（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．解：（1）∵AC1═﹣﹣（﹣1）═，BC1═2﹣（﹣）═，∴2AC1≠BC1，∴C1不是A，B的“联盟点”．∵AC2═0﹣（﹣1）═1，BC2＝2﹣0＝2，∴2AC2═BC2，∴C2是A，B的“联盟点”．∵AC3═1﹣（﹣1）＝2，BC3═2﹣1＝1，∴AC3═2BC3，∴C3是A，B的“联盟点”．∵AC4═4﹣（﹣1）＝5，BC4═4﹣2＝2，∴AC4≠BC4，∴C4不是A，B的“联盟点”．∵AC5═5﹣（﹣1）＝6，BC5═5﹣2＝3，∴AC5═2BC5，∴C5是A，B的“联盟点”．综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5．（2）解；设点P表示的数为x，①∵P在线段AB上，∴AP＝x+1，BP＝3﹣x，当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x＝，当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x＝，综上所述，点P表示的数为，．②由题意得，AB＝4，∵P在A的左侧，∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x，当点A为B，P的“联盟点”时，若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3，若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9，当点B为A，P的“联盟点”时，2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5，当点P为A，B的“联盟点”时，BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5，综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5．15．如图，点A，O，B，D在同一条直线l上，点B在点A的右侧，AB＝6，OB＝2，点C 是AB的中点，如图画数轴．（1）若点O是数轴的原点，则点B表示的数是2，点C表示的数是﹣1；（2）若点O是数轴的原点时，D点表示的数为x，且AD＝5，求x；（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，且A，B，C，O 所表示的数之和等于21，求m；（4）当O是数轴的原点，动点E，F分别从A，B出发，相向而行，点E的运动速度是每秒2个单位长度，点F的运动速度是每秒1个单位长度，当EF＝3时，求点A，B，E，F表示的数之和．解；（1）点B在点A的右侧，OB＝2，∴点B表示的数是﹣2，故答案为：2；AB＝6，点C是AB的中点，∴BC＝3，∴点C表示的数是2﹣3＝﹣1，故答案为：﹣1；（2）AB＝6，点B在点A的右侧，点A表示的数是﹣4，AD＝|﹣4﹣x|＝5，x＝1或x＝﹣9；（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，∵AB＝6，C是AB的中点，OB＝2，∴AC＝3，AO＝4，∴点O表示的数是m+4，点C表示的数是m+3，点B表示的数是m+6，m+（m+6）+（m+3）+（m+4）＝21，解得m＝2；（4）设运动时间为t，据题意得：6﹣2t﹣t＝3，解得t＝1，AE＝2，BF＝1，点E表示的数是﹣2，点F表示的数是1，点A，B，E，F表示的数之和为：﹣4+2+（﹣2）+1＝﹣3，16．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数．（1）a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2．（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数﹣1表示的点重合；（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值．解：（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数，a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2，故答案为：﹣4，﹣1，2；（2）AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AC＝2﹣（﹣4）＝6，点B为AC的中点，故将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与自身重合，故答案为：﹣1；（3）AB＝3+0.4t＝0.3t＝3+0.1t，当C运动到原点时，t＝2÷0.2＝10（秒），点B运动到点A的位置，当t≤10秒时，BC＝3+0.3t﹣0.2t＝3+0.1t，5AB﹣B＝5（3+0.1t）﹣（3+0.1t）＝15+0.5t﹣3﹣0.1t＝12+0.4t，5AB﹣BC的值随时间的变化而变化；当t＞10时，BC＝4+0.3t+0.2t＝4+0.5t，5AB﹣BC＝5（3+0.1t）﹣（4+0.5t）＝15+0.5t﹣4﹣0.5t＝11．这时5AB﹣BC的值不变．17．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．（1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：﹣2、2、7．（2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点C2．（3）若点M表示的数是﹣3，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．解：（1）2﹣1＝1，4﹣2＝2，2是A，C的一个“关联点”，设x是A，C的一个“关联点”，x﹣1＝2（x﹣4）解得x＝7，设y是A，C的一个“关联点”，2（1﹣y）＝4﹣y解得y＝﹣2，A，C的其他三个“关联点”所表示的数为：﹣2、2、7，故答案为：﹣2、2、7，（2）∵﹣2﹣（﹣8）＝6，4﹣（﹣8）＝12，∴C1是关联点，∵﹣2﹣（﹣6）＝4，4﹣（﹣6）＝10，∴C2不是关联点，∵0﹣（﹣2）＝2，4﹣0＝4，∴C3是关联点，∵2﹣（﹣2）＝4，4﹣2＝2，∴C4是关联点，∵10﹣（﹣2）＝12，10﹣4＝6，∴C5是关联点，故答案为：C2．（3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为x，当2（x+3）＝10﹣x解得，当x+3＝2（10﹣x）解得，若点P在M点左侧，设点P表示的数为x，∴2（﹣3﹣x）＝10﹣x解得x＝﹣16，综上所述：P表示的数为：；②若点P在点N右侧，设点P表示的数为x，当PN＝2MN时，则2×13＝x﹣10解得x＝36，当MN＝2PN时，则13＝2×（x﹣10）解得，当MP＝2MN时，则x+3＝2×13解得x＝23，当MP＝2PN时，则x+3＝2×（x﹣10）解得x＝23，综上所述：P表示的数为：，23.36．18．[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为．[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P 为数轴上一动点，对应的数为x．（1）a＝4，b＝2；（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为3，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数x为0；（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，则经过122秒点B追上点A；（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点A、点B、点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？解：（1）∵（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣2＝0，∴a＝4，b＝2．故答案为4、2．（2）点A，B表示的数分别为4，2，P对应数为x，若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x＝＝3，若B为线段AP的中点时，则＝2，解得x＝0．故答案为1，0；（3）解：设经过x秒点B追上点A，（3﹣1）x＝4﹣2，2x＝2，x＝1，答：经过1秒点B追上点A．（4）经过t秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点，t秒后，点A的位置为：4﹣t，点B的位置为：2﹣t，点P的位置为：﹣16+2t，当点A为PB的中点时，则有，2×（4﹣t）＝2﹣t﹣16+2t，解得：t＝，当点B为PA的中点时，则有，2×（2﹣t）＝4﹣t﹣16+2t，解得：t＝，当点P为BA的中点时，则有，2×（﹣16+2t）＝4﹣t+2﹣t，解得：t＝，答：经过秒，秒，秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点．故答案为：秒，秒，秒．19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和3的两点之间的距离是2．②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是3．③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是8．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|．（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝7．②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝﹣1．③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是3．④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是a＞5或a＜﹣3．（4）拓展：已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．解：（1）①5﹣3＝2，故答案为：2；②（﹣1）﹣（﹣4）＝3，故答案为：3；③5﹣（﹣3）＝8，故答案为：8；（2）根据数轴上两点间的距离得|a﹣b|，故答案为：|a﹣b|；（3）①∵表示数a的点位于﹣4与3之间，∴|a+4|+|a﹣3|＝a+4+3﹣a＝7，故答案为：7；②∵|a﹣1|＝|a+3|∴表示数a的点在1和﹣3之间，∴|a﹣1|＝|a+3|，1﹣a＝a+3，a＝﹣1，故答案为：﹣1；③∵|a﹣1|+|a+2|有最小值，∴表示a的点在﹣2与1之间，∴|a﹣1|+|a+2|＝1﹣a+a+2＝3，故答案为：3；④|a+3|+|a﹣5|＞8，当﹣3＜a＜5时，|a+3|+|a﹣5|＝a+3+5﹣a＝8，不合题意舍去；当a＜﹣3时，|a+3|+|a﹣5|＝﹣（a+3）+5﹣a＞8，a＜﹣3；当a＞5时，|a+3|+|a﹣5|＞8，a+3+a﹣5＞8，a＞5，故答案为：a＜﹣3或a＞5；（4）设电子蚂蚁运动x秒时，P、Q相距20个单位长度，①4x+3x+20＝20+100，x＝，点P表示的是4×﹣20＝②4x+3x﹣20＝20+100，x＝20，点P表示的是4×20﹣20＝60，20．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．（1）动点P从点A运动至点C需要19秒，动点Q从点C运动至点A需要23秒；（2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；（3）是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B 在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，∴OA＝10，BO＝10，BC＝8，∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），动点Q从点C运动至点A需要的时间是：10÷1+10÷2+8÷1＝23（s），故答案为：19，23；（2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8），∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8），解得t＝，∴M点表示的数是﹣5＝；（3）存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，理由如下：∵点A表示﹣10，点B表示10，∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20，①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t，由题意可得，28﹣3t＝20，解得t＝；②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在OC上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5＝23﹣2t，由题意可得，23﹣2t＝20，解得t＝（舍）；③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10，∴此情况不符合题意；④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5+t﹣13＝2t﹣18，由题意可得，2t﹣18＝20，解得t＝19（舍）；⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝；⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝（舍）；⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意；综上所述：t的值为或．21．在数轴上，点M，N对应的数分别是m，n（m≠n，mn≠0），P为线段MN的中点，同时给出如下定义：如果＝10，那么称M是N的“努力点”．例如：m＝1，n＝，M是N的“努力点”．（1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0则m＝10，n＝﹣90；（2）在（1）的条件下，下列说法正确的是③（填序号）；①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点”③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点”（3）若mn＜0，且P是M，N其中一点的“努力点”，求值？解：（1）∵|m﹣10|+（n+90）2＝0，∴m＝10，n＝﹣90，故答案为：10，﹣90；（2）∵m＝10，n＝﹣90，∴P点对应的数是﹣40，∵||＝，∴M不是P的“努力点”，故①不符合题意；∵m＝10，n＝﹣90，∴||＝，∴M不是N的“努力点”，故②不符合题意；∵||＝10，∴N是M的“努力点”，故③符合题意；∵||＝，∴N是P的“努力点”，故④不符合题意；故答案为：③；（3）∵P为线段MN的中点，∴P点对应的数为，当P是M点的“努力点”时，||＝10，∴＝21或＝﹣19，∵mn＜0，∴＝﹣；当P是N点的“努力点”时，||＝10，∴＝21或＝﹣19，∵mn＜0，∴＝﹣19；综上所述：的值为﹣19或﹣．22．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（a≠b，ab≠0），M为线段AB的中点．给出如下定义：若OA÷OB＝4，则称A是B的“正比点”；若OA×OB＝4，则称A是B的“反比点”．例如a＝2，时，A是B的“正比点”；a＝2，b＝﹣2时，A是B的“反比点”．（1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则M对应的数为1，下列说法正确的是③④（填序号）．。

2021届中考数学重难点--几何全套第2讲共顶点模型--有详细解答

2021届中考数学重难点--几何全套第2讲共顶点模型--有详细解答

第二讲 共顶点模型共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

寻找共顶点旋转模型的步骤如下：（1）寻找公共的顶点 （2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形*常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论：（1）BCD ACE ≅△△（2）AE BD =（3）AFB DFE ∠=∠（4）FC BFE ∠平分 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ADE ，其中∠BAC =∠DAE =90°，如图1所示放置，使 得一直角边重合，连接BD 、CE ．（1）试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由；（2）延长BD 交CE 于点F 试求∠BFC 的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．变式练习>>>1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．（1）求证：BD=AE．（2）若∠ABD=∠DAE，AB=8，AD=6，求四边形ABED的面积．例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB内，求证：CD与EF互相平分.变式练习>>>2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F，连接CF.(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.例题4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD 和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系；（不必证明）【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；（不必证明）线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．例题5. 如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连接GH. 求证：GH∥BE.2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.3.如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：AB2+DE2=AD2+BE2.4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那BD与CE的数量关系是．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC=60°，BC=15，AB=8，AD=CD，求BD的最大值．6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF=CE﹣CF；（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若BD=2BF，EF=6，则CF=．答案例题1. 以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；（2）延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；（3）成立，∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．变式练习>>>1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求证：BD＝AE．（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积．【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）由（1）得：△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD，∴∠EAC+∠APD＝90°，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABD＝90°，∵∠DAE＝∠ABD，∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝AE＝10，∴S四边形ABED＝10×10÷2＝50．例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB内，求证：CD与EF互相平分.变式练习>>>2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD＝AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．【解答】解：连接BP，∵△ABC和△PCD都为等边三角形，∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，又∠RAB+∠BAC+∠QAE＝180°，∴R，A，Q三点共线，又∠CBP＝∠CAD＝60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP＝180°，∴R，B，P三点共线，又AQ＝AE＝AD＝BP，∴RQ＝RA+AQ＝RB+BP＝RP，又∠R＝60°，∴△PQR是等边三角形，则P、Q、R是等边三角形的三个顶点．例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F,连接CF.(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.例题4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD 和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系CD＝BE；（不必证明）【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝CE+CD；（不必证明）线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．【解答】解：（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，在△DAC和△BAE中，∵，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，故答案为：CD＝BE．（2）∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，又∵BC＝BD+CD，∠ACE＝45°，∴BC＝CE+CD，∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝DE2，∵BD＝CE，DE＝AD，∴CD2+BD2＝2AD2．故答案为：BC＝CE+CD．例题5. 如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α．（1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）AD+DE＝4，理由是：如图1，∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE，∴AD+DE＝BC＝4；（2）①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB＝∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD．∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE＝∠DHC，∴∠EGH＝∠EDC＝90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF＝CB＝4，EF∥CB，∴AE＝EF，∵CB∥EF，∴∠AEF＝∠EGH＝90°，∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AFE＝45°，∴AF＝＝4；达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连接GH. 求证：GH∥BE.2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN 和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.3.如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：AB2+DE2=AD2+BE2.4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【解答】【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE；【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF＝CE﹣CF；（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则CF＝2或6．【解答】（1）证明：如图①中，设AD交EF于O．∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，∴∠AEO＝∠FDO，∵∠AOE＝∠FOD，∴∠OFD＝∠OAE＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠CBF＝30°，∵∠OFD＝∠CBF+∠BCF，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴CF＝BF，∴DF＝CE﹣CF（2）如图图②中，结论：DF＝CF﹣CE．图③中，结论：DF＝CE+CF；如图②中，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，∵∠ADB+∠ADF＝180°，∴∠AEF+∠ADF＝180°，∴∠DAE+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝120°，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴FB＝FC，∴DF＝BF﹣BD＝CF﹣CE．（3）①如图1中，∵BD＝2DF，设BF＝DF＝CF＝x，∵EF＝6，BD＝EC，∴3x＝6，∴x＝2∴CF＝2．②如图③中，设BF＝CF＝x，则BD＝2x，∵BD＝EC，EF＝6，∴6+x＝2x，∴x＝6，∴CF＝6，综上所述，CF＝2或6．故答案为2或6．。

2023年中考数学一轮复习讲义：几何初步与尺规作图

2023年中考数学一轮复习讲义：几何初步与尺规作图

2023年中考复习讲义几何初步与尺规作图第一部分：知识点精准记忆一、直线、射线、线段1．直线的性质：1）两条直线相交，只有一个交点；2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角：有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、相交线1．三线八角1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：2．垂直1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．4．邻补角1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．5．对顶角1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．四、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2．平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行． 3．平行线的性质1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补． 4．平行线间的距离1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．五、五种基本作图：1.作一条线段等于已知线段。

2021届中考数学重难点--几何全套第9讲隐圆模型--有详细解答

2021届中考数学重难点--几何全套第9讲隐圆模型--有详细解答

第九讲隐圆模型名师点睛拨开云雾开门见山【点睛1】触发隐圆模型的类型（1）动点定长模型若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型固定线段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可（4）四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180°原理：圆内接四边形对角互补则A、B、C、D四点共圆备注：点A与点C在线段AB异侧（5）四点共圆模型②固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则A、B、C、P四点共圆备注：点P与点C需在线段AB同侧【点睛2】圆中旋转最值问题条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点（1）求CM最小值与最大值（2）求线段AB扫过的面积（3）求ABC S △最大值与最小值作法：如图建立三个同心圆，作OM ⊥AB ，B 、A 、M 运动路径分别为大圆、中圆、小圆结论：①CM 1最小，CM 3最大②线段AB 扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积③ABC S △最小值以AB 为底，CM 1为高；最大值以AB 为底，CM 2为高 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A `MN ，连接A `C ，则A `C 长度的最小值是__________．A'N MAB CD变式练习>>>1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．ABC EFP例题2. 如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________． l变式练习>>>2．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．QA BC DEF P例题3. 如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________． H G ABC DE F变式练习>>> 3．如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =8，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．APB C例题4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．B变式练习>>>4．如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD 向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG 长的最小值为 ．G FED C BA例题5. 如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．E FC BAP变式练习>>>5．在△ABC 中，AB =4，∠C =60°，∠A >∠B ，则BC 的长的取值范围是________．例题6. 如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝，则正方形的面积为（）A．5 B．4 C．3 D．2变式练习>>>6．如图，BE，CF为△ABC的高，且交于点H，连接AH并延长交于BC于点D，求证：AD⊥BC.HEFB C例题7. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED的长为．变式练习>>>7．（1）如图1，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.（2）如图2，正方形ABCD，∠EAF＝45°，当点E，F分别在对角线BD、边CD上，若FC＝6，则BE的长为．图1 图2例题8. 在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．变式练习>>>8．如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B ’．当PB =6时，在直线l 变化过程中，求△ACB ’面积的最大值．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB =10，AC =8．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．B2. 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，∠AEB ＝90°，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3，5，求三角形OBE 的面积．3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．ABCDE FP4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．F EDCBA5. 如图，△ABC 为等边三角形，AB =3，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．ABCP6. 如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB ＝5cm ，AC ＝4cm ．D 是弧BC 上的一个动点（含端点B ，不含端点C ），连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ，在点D 移动的过程中，BE 的取值范围是_________．7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为_________．8. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为_________．9. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是_________．10. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为．答案例题1. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A `MN ，连接A `C ，则A `C 长度的最小值是__________．A'N MA BCD【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M 7-1．A'N MA BCDDC BA MN A'H A'N MA BCD变式练习>>>1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．ABCEFP【分析】考虑到将△FCE 沿EF 翻折得到△FPE ，可得P 点轨迹是以F 点为圆心，FC 为半径的圆弧．过F 点作FH ⊥AB ，与圆的交点即为所求P 点，此时点P 到AB 的距离最小．由相似先求FH ，再减去FP ，即可得到PH ．答案为1.2.ABCEFPB例题2. 如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．l【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可．连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．答案为4.ll变式练习>>>2．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．Q ABC DEFP答案为8.【分析】F 点轨迹是以E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点D 关于BC 对称点D ’，连接PD ’，PF +PD 化为PF +PD ’．连接ED ’，与圆的交点为所求F 点，与BC 交点为所求P 点，勾股定理先求ED ‘,再减去EF 即可．D'PFE D CBAQ例题3. 如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．HGAB CDEF【分析】根据条件可知：∠DAG =∠DCG =∠ABE ，易证AG ⊥BE ，即∠AHB =90°，所以H 点轨迹是以AB 为直径的圆弧当D 、H 、O 共线时，DH 1αααHGABCDE F变式练习>>>3．如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =8，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．PABC答案为4【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠P AB，∴∠P AB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．例题4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．B【分析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB 对直角∠CEB．取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，22AE AM EM=-==．BB变式练习>>>4．如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．GF EDCB A【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE =CF ，BG ⊥EF ，但∠BGE 所对的BE 边是不确定的． 重点放在AE =CF ，可得EF 必过正方形中心O 点，连接BD ，与EF 交点即为O 点．∠BGO 为直角且BO 边为定直线，故G 点轨迹是以BO 为直径的圆．记BO 中点为M 点，当A 、G 、M 共线时，AG 取到最小值，利用Rt △AOM 勾股定理先求AM ，再减去GMABCDEF G例题5. 如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．EFCBAP答案为3【分析】由BE =CF 可推得△ABE ≌△BCF ，所以∠APF =60°，但∠APF 所对的边AF 是变化的．所以考虑∠APB =120°，其对边AB 是定值．所以如图所示，P 点轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（构造OA =OB 且∠AOB =120°） 当O 、P 、C 共线时，可得CP 的最小值，利用Rt △OBC 勾股定理求得OC ，再减去OP 即可．60°EF CBAP 120°EF CBAP 120°MO P ABCF E120°CB APO 120°变式练习>>>5．在△ABC 中，AB =4，∠C =60°，∠A >∠B ，则BC 的长的取值范围是________． 【分析】先作图，如下4ABC 60°答案为：834BC ＜≤条件不多，但已经很明显，AB 是定值，∠C =60°，即定边对定角．故点C 的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO =BO 且∠AOB =120°）题意要求∠A >∠B ，即BC >AC ，故点C 的轨迹如下图．当BC 为直径时，BC 取到最大值为833，考虑∠A 为△ABC 中最大角，故BC 为最长边，BC >AB =4．无最小值． O 120°60°C BAABC 60°120°O O 120°CBAO 120°CBA例题6. 如图，ABCD 为正方形，O 为AC 、BD 的交点，△DCE 为Rt △，∠CED ＝90°，∠DCE ＝30°，若OE ＝，则正方形的面积为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，∵∠CED＝90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON＝90°，∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，∴∠COM＝∠DON，∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OD，在△COM和△DON中，∴△COM≌△DON（AAS），∴OM＝ON，∴四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，∵∠DCE＝30°，∠CED＝90°∴DE＝a，CE＝a，亦可按隐圆模型解答设DN＝x，x+DE＝CE﹣x，解得：x＝，∴NE＝x+a＝，∵OE＝NE，∴＝•，∴a＝1，∴S正方形ABCD＝4故选：B．变式练习>>>6．如图，BE，CF为△ABC的高，且交于点H，连接AH并延长交于BC于点D，求证：AD⊥BC.DHEFABC例题7. 如图，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AC 为对角线，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为E ，交CB 延长线于点F ，若AC ＝CF ，∠CAD ＝∠CFD ，DF ﹣AD ＝2，AB ＝6，则ED 的长为．【解答】解：∵∠CAD ＝∠CFD ，∴点A ，F ，C ，D 四点共圆， ∴∠F AD +∠DCF ＝180°，∠F AC ＝∠FDC ， ∵∠DCF ＝90°，∴∠F AD ＝90°， ∵AC ＝FC ，∴∠F AC ＝∠AFC ，∵DF ⊥AB ，∴∠ABF +∠BFE ＝∠CDF +∠BFE ＝90°， ∴∠ABF ＝∠CDF ，∴∠AFB ＝∠ABF ，∴AF ＝AB ＝6， ∵DF ﹣AD ＝2，∴DF ＝AD +2，∵DF 2＝AF 2+AD 2，∴（2+AD ）2＝62+AD 2，解得：AD ＝8，∴DF ＝10， ∵∠F AD ＝90°，AE ⊥DF ，∴△ADE ∽△DAF ， ∴＝，∴DE ＝＝＝，故答案为：．变式练习>>>7．（1）如图1，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.（2）如图2，正方形ABCD，∠EAF＝45°，当点E，F分别在对角线BD、边CD上，若FC＝6，则BE的长为3．图1 图2证明：（1）如图，连接DB、DF.∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线，∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，∴∠DBF=90°．又∵∠DEF=90°，∴D、E、B、F四点共圆．∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）．∴△DEF是等腰直角三角形．∴FE=DE．（2）解：作△ADF的外接圆⊙O，连接EF、EC，过点E分别作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如图）∵∠ADF＝90°，∴AF为⊙O直径，∵BD为正方形ABCD对角线，∴∠EDF＝∠EAF＝45°，∴点E在⊙O上，∴∠AEF＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AE＝EF，在△ABE与△CBE中，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∴CE＝EF，∵EM⊥CF，CF＝6，∴CM＝CF＝3，∵EN⊥BC，∠NCM＝90°，∴四边形CMEN是矩形，∴EN＝CM＝3，∵∠EBN＝45°，∴BE＝EN＝3，故答案为：3．例题8. 在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．[解析]如图，过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，因为△ABC 为锐角三角形，所以点D 在线段AC 上， 在Rt △BCD 中，BD ＝BC ×sin45°＝；①当P 在AC 上运动与AB 垂直的时候，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，最小值为：EP 1＝BP 1﹣BE ＝BD ﹣BE ＝﹣2；②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，最大值为：EP 1＝BC +BE ＝2+5＝7．变式练习>>>8．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B ’．当PB =6时，在直线l 变化过程中，求△ACB ’面积的最大值．CB APC B APHB'PA BC【分析】考虑l 是经过点P 的直线，且△ABC 沿直线l 折叠，所以B ’轨迹是以点P 为圆心，PB 为半径的圆弧．考虑△ACB ’面积最大，因为AC 是定值，只需B ’到AC 距离最大即可．过P 作作PH ⊥AC 交AC 于H 点，与圆的交点即为所求B ’点，先求HB ’，再求面积．答案为4324 .达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB =10，AC =8．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．B答案为：4【分析】E 是动点，E 点由点C 向AD 作垂线得来，∠AEC =90°，且AC 是一条定线段，所以E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．当B 、E 、M 共线时，BE 取到最小值．连接BC ，勾股定理求BM ，再减去EM 即可．B2. 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，∠AEB ＝90°，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3，5，求三角形OBE 的面积．3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．ABCDE FP 答案为：132【分析】∠AFB =90°且AB 是定线段，故F 点轨迹是以AB 中点O 为圆心、AB 为直径的圆．考虑PC +PF 是折线段，作点C 关于AD 的对称点C ’，化PC +PF 为PC ’+PF ，当C ’、P 、F 、O 共线时，取到最小值．O ADE4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．F EDCBA【分析】∠AEC =90°且AC 为定值，故E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．考虑EF ⊥AB ，且E 点在圆上，故当EF 与圆相切的时候，CF 取到最大值．连接OF ，易证△OCF ≌△OEF ，∠COF =30°，故CF 可求．答案为3BBB5. 如图，△ABC 为等边三角形，AB =3，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．ABCP6. 如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB ＝5cm ，AC ＝4cm ．D 是弧BC 上的一个动点（含端点B ，不含端点C ），连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ，在点D 移动的过程中，BE 的取值范围是﹣2≤BE＜3．【解答】解：如图，由题意知，∠AEC＝90°，∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），∵AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，CM＝2，则BM＝＝＝，∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，BE最长时，即E与C重合，∵BC＝3，且点E与点C不重合，∴BE＜3，综上，﹣2≤BE＜3，故答案为：﹣2≤BE＜3．7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为8．【解答】解：解：如图，连接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的⊙Q上，∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，当点Q、E、B共线时BE最小，∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，∴BE的最小值为8，故答案为8．8. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为2﹣2．【解答】解：连结AE，如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∴AB＝AC＝4，∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．9. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是2﹣2．【解答】解：如图，连接EO、PO、OC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠OAP＝90°，在Rt△OBC中，BC＝8，OB＝2，∴OC＝＝2，在Rt△AOP中，OA＝2，P A＝4，∴OP＝＝2，∵OE＝OC＝2，PE≥OE﹣OP，∴PE的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．10. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝，∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四边形AGCD最小＝h+6＝+6＝．故答案为：．。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题 教学课件

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题 教学课件

∴∠BCE＝∠CAD. ∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC.
第1题图
在△BCE和△CAD中，
微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题
BEC CDA, BCE CAD, BC CA,
∴△BCE≌△CAD(AAS)， ∴CD＝BE， ∵DE＝2BE， ∴CE＝3BE，
∴BC＝ CE 2 BE 2 3BE 2 BE 2 10BE ，
微专题
一线三等角模型解 决全等、相似问题
微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题
一阶 认识模型
模型分析 1. 模型特点： ∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上，且∠1＝∠2＝∠3. 基本图形：
一线三等角
一线三垂直
微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题 2. 一线三等角模型的结论： (1)△APC和△BDP的关系是_△__A__P_C_∽__△__B__D_P__； (2)若在(1)中的条件下，增加条件_P_C__＝__P_D_(_或__A_P_＝__B__D_或__A__C_＝__B_P_)_，可以 得到△APC≌△BDP.
D G, DAE GEF , AE EF ,
∴△ADE≌△EGF(AAS)，
∴AD＝EG＝4.
∵E为CD的中点，
∴DE＝CE＝GF＝
1 2
CD＝2，
∴CG＝EG－EC＝2，
∴在Rt△CGF中，
CF＝ CG2 FG2 2 2 .
G
例3题图
微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题
例4 如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，E是AD上一点，连
例2题图
微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题 引入模型
2022成都26题图
微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题

2021年于新华中考数学16讲第5讲 基本几何模型

2021年于新华中考数学16讲第5讲 基本几何模型

第5讲 基本几何模型一、对角互补模型（构造全等） 1．双90°型（1）条件①∠AOB =∠DCE =90°；②OC 平分∠AOB ．结论：① ；② ；③ ．DBCO E【答案】①CD =CE ；②OD +OE；③S 四边形DOEC =S △ODC +S △OEC =12OC 2． （2）当∠DCE 的一边与AO 的延长线相交时， 条件：①∠AOB =∠DCE =90°；②OC 平分∠AOB ．结论：① ；② ；③ ．O EDBC【答案】①CD =CE ；②OE －OD；③S △OEC －S △ODC =12OC 2． 【注意】（1）条件①②和结论中的①，任意替换其一都成为一个新的真命题； （2）既可以过点C 作“双垂”，即CM ⊥OA 于点M ， CN ⊥OE 于点N （利用角平分线构造双垂筝型），又可过点C 作CG ⊥OC 交OE 的延长线于点G （围绕点C 构造旋转全等形）． 例题讲解 如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕点O 旋转．证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值． O P MN B CDA【答案】连接OB ，OC ，可构造两个三角形全等，进一步得到S 重合=14S 正方形ABCD =25．2．60°，120°型（1）条件：①∠AOB ＝2∠DCE ＝120°；②OC 平分∠AOB ．结论：① ；② ；③ ．OE DCBA答案：①CD ＝C E ；②OD ＋OE ＝OC ；③ S 四边形DOEC ＝S △ODC ＋ S △OEC ＝2 （2）当∠DCE 的一边与AO 的延长线相交时． 条件：①∠AOB ＝2∠DCE ＝120°；②OC 平分∠AOB ． 结论：① ；② ；③ ．OE DCBA答案：①CD ＝C E ；②OE － OD ＋＝OC ；③ S 四边形DOEC ＝ S △OEC －S △ODC ＋＝2． 【注意】（1）条件①②和结论中的①，任意替换其一都能成为一个新命题；（2）既可以过点C 作“双垂”，即CM ⊥OA 于点M ，CN ⊥OE 于点N (利用角平分线构造双垂筝型)，又可以OC 为边，构造等边△OCG ，或将线段CO 绕点C 逆时针旋转60°（围绕点C 构造旋转全等形）． 例题讲解把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD （如下图）．有一个含60°角的三角尺，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合．（1）将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时（如图1），通过观察或测量AE ，AF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）在旋转过程中四边形AECF 的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值；（3）若将（1）中三角尺的60°角的顶点P 在AC 上移动且与点A 、C 都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时（如图2），那么PE 、PF 之间又有什么数量关系？并证明你的结论．答案：（1）AE ＝AF ，可证△ABE ≌△ACF （ASA ）（2）四边形AECF 的周长＝2AE ＋CE ＋CF ＝2AE ＋BC ＝2AE ＋4．当AE ⊥BC 时，AE 有最小值，故四边形AECF 的周长的最小值为4；（在旋转过程中四边形AECF 的面积不发生变化） （3）PE ＝PF （过点P 利用角平分线构造双垂筝型全等）．二、角含半角模型（必旋转）1、条件：①正方形ABCD ；②∠EAF ＝45°．结论：① ；② ．图①E D CF答案：结论：DF ＋BE ＝EF 或DF －DE ＝EF ． 如题图①，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°到△ABG 的位置，此时C ，B ，G 共线； 如题图②，将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°到△ADG 的位置，此时D ，G ，C 共线； 【注意】（1）但凡旋转，必然有边对应相等，只需用圆规将共旋转点、边旋转过去即可: (2) 旋转后．往往涉及三点共线问题(须简单证明之)；(3) 旋转后，一般需要再证一对共旋转点的三角形全 等 (SAS )．例题讲解如图，在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，O 为坐标原点．现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y ＝x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y ＝x 于点M ，BC 边交x 轴于点N ． （1）当A 点第一次落在直线y ＝x 上时，求点A ，B 两点坐标（直接写出结果）；（2）设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论．答案：（1）（2）p值不会发生变化，将△OAM绕点O顺时针旋转90°到△OCG的位置，此时B，C，G三点共线，得MN＝＝BM＋CN，∴△MBN的周长p＝MN＋BM＋BN＝AM＋CN＋BM＋NB＝2AB＝4．变式1：如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长C答案：将△BDM绕点D顺时针旋转120°到△CDE的位置，此时A，C，E三点共线，得MN＝BM＋CN，∴△AMN 的周长为：AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋CN＋AN＝2AB＝6．变式2ACF答案：EF＝DE＋BF．将△ADE绕点A旋转到△CDE的位置，此时C，B，G共线(或延长CB至点G，使BG＝DE)，再证△AFG≌△AFE （SAS），可得EF＝FG＝BG＋BF＝DE＋BF．2．条件：①等腰Rt△ABC中；②∠DAE＝45°．结论：．图①BC图②答案：222BD CE DF +=．图①FBC图②如图①②，将△ACE 绕点A 按顺时针旋转90°到△AB F 的位置，此时FB ⊥BC ，连接DF ，可证△ADF ≌△ADE （SAS ），于是DF ＝DE ．在Rt △FBD 中，由勾股定理可知222FB BD DF +=，进一步得到222BD CE DF +=变式1：已知在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ＝6，CD ＝4，求△ABC 的面积．DC答案：法1：过点B 作BF ⊥AC 于点F ，如图①所示，∴△AFE ≌△BFC （ASA ），∴AE ＝BC ＝10． 又由△BDE ∽△BFC (ASA)，∴BD AD DE CD =，∴6104DEDE +=，∴DE ＝2，则AD ＝12，∴S △ABC ＝60． 变式1图①C变式1图②ED CB法2：以D 为圆心，DA 长为半径画弧，交直线BC 于E ，F 两点（以AD 为高，构造等腰△AEF ），如图②所示，利用“角含半角模型”知道222BE CF BC +=，有222(BE 2)10BE ++=，∴BE ＝6，AD ＝DE ＝12，∴S △ABC ＝60．变式2：如图，等边△ABC 中，点P ，Q 在BC 边上，且∠P AQ ＝30°．若BP ＝2，QC ＝3，求AB 的长．答案：将△ABP 绕点A 按顺时针旋转60°至△ACD 的位置，过点D 作DE ⊥BC 于点E ．在Rt △DEC 中，DC在Rt △又可证△AQP ≌△AQD （SAS ）， 得PQ＝DQ ∴BC ＝AB ＝5三、一线三等角模型如图①，∠ABC ＝∠ACE ＝∠CDE ＝90°； 如图②，∠ABC ＝∠ACE ＝∠CDE ＝60°； 如图③，∠ABC ＝∠ACE ＝∠CDE ＝45°．图①C E图②BEC图③ABDC例题讲解1.△ABC 和△DEF 均为正三角形，E 是BC 边的中点．（1）如图①，DE 交AB 于点M ，EF 交AC 于点N ，求证：△BEM ∽△CNE ；（2）如图②，将△DEF 绕点E 旋转，使得DE 交BA 的延长线于点M ，EF 交AC 于点N ，则第（1）题的结论是否依旧成立？图1E BF图2E FB【答案】答案略（可再追问证明△CEN ∽△EMN ）．2.如图，将等边△ABC 折叠，使得点C 落在AB 边上的点D 处，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 边上．若AC =8，AD =2，则CF ：CE 的值为________．第2题图C A BD【答案】7：5简答：由翻折知CE DECF DF=，再由“一线三等角模型”可知△ADE ∽△BFD ，根据“相似三角形的周长之比等于相似比”得ADE DEBFD DF=△△，而△ADE 的周长=AC ＋AD =10，△BFD 的周长=BC ＋BD =14，∴57CE DE CF DF ==.变式1：如图，在等边△ABC 中，D 是BC 边上一点，且BD ：DC =1：3，把△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，那么AM ：AN 的值为________．变式1图A CB D【答案】5：7变式2：如图，在平面直角坐标系中，O （0，0），A （6，，B （12，0）．将△OAB 沿直线CD 折叠，使点A 恰好落在线段OB 上的点E 处．若OE =245，则CE ：DE 的值是________．变式2图【答案】提示：先证△OAB 为等边三角形，后面方法同例2. 四、K 字模型探究在学习几何知识时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K 字型是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：图1A DCB（1）已知∠A =∠D =∠BCE =90°，则△ABC ∽△DCE ；请就图①证明上述“模块”的合理性； 【答案】略（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题： （i ）如图②，已知点A （－2，1），点B 在直线y =－2x ＋3上运动，若∠AOB =90°，求此时点B 的坐标；图2A【答案】（i ）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，可证△ODA ∽△BEO ， ∴AD OEOD BE=． 点B 在直线y =－2x ＋3上，可设B （m ，－2m ＋3）， ∴1=223m m -+，∴34m =．故3342B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（ii ）如图③，过点A （－2，1）分别作与x 轴，y 轴平行的线，交直线y =－2x ＋3于点C ，D ，求点A 关于直线CD 的对称点E 的坐标.图3【答案】（ii ）过点E 作EG ∥y 轴，过点D 作DF ⊥FG 于点F ，延长AC 交FE 于点G （构造“K 字模型”），有△EGC ∽△DFE ，易得D （－2，7），C （1，1）．又由对称可知DE =DA =6，EC =CA =3，△EGC 与△DFE 的相似比为1∶2，设CG =x ，则EF =2x ，EG =6－2x ，∴DF =12－4x ，故12－4x =3＋x ，有x =95.故E （145，175）.归纳若知道直角三角形的两直角边的长度（比值），可通过两个锐角顶点作过直角顶点直线的垂线段构造K 字型全等或相似． 结论应用1.如图，在Rt △AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB =90°，OA ：OB =1：2，如果点A 在反比例函数()10y x x=>的图象上运动，那么点B 在函数________（填函数解析式）的图象上运动．【答案】4y x=-提示：分别过点A ，B 作y 轴的垂线于点C ，D ，由“K 字模型”知△OCA ∽△BDO ，且知相似比为1：2.设A （m ，1m ），AC =m ，OC =1m ，则OD =2m ，BD =2m ，∴B （2m，－2m ），故点B 在4y x =-上．B变式1：如图，在Rt △AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB =90°，∠B =30°，如果点A 在反比例函数()10y x x=>的图象上运动，那么点B 在函数________（填函数解析式）的图象上运动．变式1图【答案】3y x =-提示：构造“K 字型”，其中OA OB =.变式2：已知A 是反比例函数3y x=的图象在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．已知点C 的位置始终在一函数图象上运动，则这个函数解析式为________．变式2图【答案】9y x=-提示：由反比例函数图象的中心对称性可知，OA =OB ，故连接OC ，后续步骤同变式1. 变式3：已知△ABC 为等边三角形，点A 与点D 的坐标分别是A （4，0），D （10，0）． （1）如图①，当点C 与点O 重合时，求直线BD 的解析式；图①【答案】（1）42y x =-（2）如图②，点C 从点O 沿y 轴向下移动，当以点B 为圆心，AB 为半径的⊙B 与y 轴相切（切点为C ）时，求点B 的坐标；图②【答案】B （8，-）（3）如图③，点C 从点O 沿y 轴向下移动，当点C 的坐标为C （0，-）时，求∠ODB 的正切值．图③【答案】法1：在x 轴上找点E ，F 使∠OEC =∠AFB=60°（构造“一线三等角），如图①所示，显然有△AEC ≌△BF A （AAS ）．在Rt △OEC 中，OC =OEC =60°，则OE =2，∴AE =6.于是由全等得BF =AE =6.过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，在Rt △FGB 中，∠GFB =60°，BF =6，∴FG =3，BG=DG =5，故tan ∠ODB图③【答案】法2：过点B 作BE ⊥AC 于点E ，过点E作直线FG ⊥x 轴于点F ，过点B 作BG ⊥FG 于点G ，如图②所示（构造“K 字模型”），有△AFE ∽△EGB，且AE BE =．由“三线合一”知E 为AC 的中点，则EF 为△AOC 的中位线，∴AF =2，EF EG=BG =3，则B （5，-，易求tan ∠ODB图③归纳只要知道等边三角形两个点的坐标，经过定边的中点构造．“K 字型”．变式4：如图，在等腰Rt △OAB 中，∠OAB =90°，顶点O 为坐标原点，顶点A ，B 在某反比例函数的图象上，点A 的横坐标为2，则OAB S =△________．变式4图【答案】5A 作MN ∥y 轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥MN 于点M （构造“K 字模型”），有△BMA ≌△ANO （AAS ）．设A （2，m ）（m >0），则可得B （2－m ，2＋m ）.根据“双曲线上的点横、纵坐标的积相等”，得（2－m ）（2＋m ）=2m ，解得m 1，∴()22114522ABC S OA m ==+=-△变式4图2.如图，直线123l l l ∥∥，且1l 与2l 的距离为1，2l 与3l 的距离为3．把一块含有45°的直角三角板按图所示放置，顶点A ，B，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线2l 交于点D ，则线段BD =________．【答案】2543．如图，点P 是正方形ABCD 的BC 边上的动点，以AP 为斜边在正方形内部作一等腰 Rt △APQ ，∠AQP=90°；AQ=PQ. （1）求∠ADQ 的度数；（2）若正方形边长为4，BP=1，求DQ 的长．P答案：法1：（1）过点Q 作EF//AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ，如图所示（构造“K 字模型”），显然△AEQ ≌△QFP （AAS ），∴AE=QF.又AD=EF ，则AD-AE=EF-QF ，即ED=EQ ，∴∠ADQ=45°. （2）设DE=EQ=FP=m,又BP=1， 则CF=3-m=DE=m ，∴32m =，则2. 法2：（1）连接AC ，如图②所示，AQ AD AP AC ==， 则△AQD△APC ，∠ADQ=∠ACB=45°.（2）由△AQD△APC 可得DQ PC =PC=3，则DQ=2. 图①FEBP 图②AP变式：如图，以ABCD 的CD 边为斜边向内作等腰Rt △CDE ，使AD=DE=CE ，∠DEC=90°，且点E 在平行四边形内部．连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数是____________．B答案：135°提示：过点E作FG⊥AD交AD，BC于点G，F，利用“等腰三角形腰上的高与底的夹角等于顶角的一半”，得∠1=12∠3，∠2=12∠4.而∠3+∠4=180°-2×45°=90°，∴∠1+∠2=45°，故∠AEB=135°.4.如图，在平面直角坐标系中，直线34y x b=-+分别与x轴，y轴交于点A，B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形．备用图（1）填空：b=_________；（2）求点D的坐标；（3）M是线段AB上的一个动点（点A，B除外），试探索在x轴上方是否存在另一个点N，使得以0，B，M，N 为顶点的四边形是菱形．若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．答案：（1）6. （2）D（14，8）. （3）存在，点N的坐标为144192(,)2525或（-4，3）.变式：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B在双曲线kyx=（x>0）上，BC与x转交于点D.若点A的坐标为(2，4)，求点D的坐标．答案：过点A作EF//x轴交y轴于点E，过点B作BF//y轴交EF于点F（构造“K字模型”），显然有△AEO △BFA ，设B （m ，8m ），则AF=m-2，BF=4-8m， ∴AE BF OE AF =，即m-2=8-16m， ∴m=8，则点B （8，1）， 又BC//OA ，则BC OA k k ==2， ∴BC l ：y=2x-15，与x 轴的交点D （152，0）. 五、双子型 1．全等双子型（1）如图，△ABC 和△CED 均为等边三角形，C 为公共点，那么，在下图中，我们能得到哪些结论呢？BB常见结论：三角形全等：___________；线段相等：______________；角的结论：__________________. （2）稍微变一下形，如下图，△ABC 和△CED 均为等腰直角三角形，C 为公共点.B B常见结论：三角形全等：___________；线段相等：______________；角的结论：__________________. （3）再稍微变一下形，我们把两个等腰直角三角形换成两个正方形，你还能找出结论吗？EFEF常见结论：三角形全等：___________；线段相等：______________；角的结论：__________________.（4）我们拓展到一般情况，如下图，△ABC 和△ADE 均为等腰三角形，C 为公共点，且满足∠BAC=∠DAE.BD常见结论：三角形全等：___________；线段相等：______________；角的结论：__________________. 答案：（1）结论：△BCE ≌△ACD （SAS ）；BE=AD ；∠AFB=60°（可补充FC 平分∠BFD ）； （2）结论：△BCE ≌△ACD （SAS ）；BE=AD ；∠AFB=90°（可补充FC 平分∠BFD ）； （3）结论：△BCG ≌△DCE （SAS ）；BE=DG ；∠BHE=90°（可补充HC 平分∠BHE ）； （4）结论：△BAD ≌△CAE （SAS ）；BD=CE ；∠BFC=∠BAC （可补充FA 平分∠BFE ）. 2．相似双子型上面的结论都是全等，既然全等是特殊的相似，那相似肯定也是有的！如图，△ABC 和△CED 均为直角三角形，C 为公共点，且满足∠BAC=∠CDE.BB仿照上面的结论，有：三角形相似：______；相似比为_______；线段关系：_______；角的结论：____________. （若命题人将上面的图形补成矩形，可要慧眼识珠哦！） 答案：结论：△BCE△ACD ；BC AC （或tanA ）；BE BCAD AC；∠AFB=90°归纳 在双子型的公共点除必存在旋转类的全等或相似外，同时极易出现“八字形”.练一练1．已知：如图①，在△AOB 和△COD 中，OA = OB ，OC =OD ，∠AOB=∠COD = 50°． （1）求证：①AC = BD ；②∠APB=50°；（2）如图②，在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=a ，则AC 与BD 间的数量关系为_________，∠APB 的大小为___________．图①DAQ图②AB答案：（1）略. （2）AC=BD ，∠APB=a.2.(1)只需证△BAM ≌△CAN .(2)仍然成立(还可发现∠MAC =∠CNM ) 【构造双子型】1.6提示:以C 为顶点,CD 为边向右下方作等边△CDE ﹙构造“双子型”﹚,连接AE,有△BCD ≌△ACE﹙SAS ﹚,AE =BD=7.5,在Rt △ADE 中,AD =4.5,AE =7.5,由勾股定理得DE =6,即CD =6.2.13提示:以A 为顶点,AB 为腰向左上方作等腰Rt △ABE ﹙构造“双子型”﹚,连接CE ,有△ABD ≌△AEC ﹙SAS ﹚在Rt △EBC 中,EB =5,BC =12, 由勾股定理得CE =13,即BD =CE =13.变式1:10提示:以A 为顶点,AB 为腰作等腰△AEB ,且使∠EAB =120°﹙构造“双子型”﹚,连接CE,有△BAD ≌△EAC﹙SAS ﹚,在Rt △EBC 中,EB =6,BC =8,由勾股定理得CE =10,即BD =10.ED C B AE D AB CEDBCA变式2:2提示:以P 为顶点,PB 为边长向右下方作等边△PBE ,连接CE ,有△BP A ≌△BEC ﹙SAS ﹚,∠BEC =∠A PB=150°,又∠BEP =∠BPE =60°,在Rt △PEC 中,PE =1,∠EPC=60°,得CP =2.提示:以A 为顶点,AD 为腰作等腰Rt △ADE ﹙构造“双子型”﹚,连接CE,有△BAD ≌△CAE ﹙SAS ﹚在Rt △EDC 中,EDCD =2,由勾股定理得CE故BD4.4≤AC ≤6 提示:以B 为顶点,OB 为边向上方作等腰Rt △OBP ﹙构造“双子型”﹚,连接CP ,OM,有△BOM ≌△BPC ﹙SAS ﹚,PC =OM =1,则点C 在以P 为圆心,1为半径的圆上,这样就转1C ,2C 两化为“圆外一点到圆上的最值问题”,作射线AP ,交⊙P 于点,A 1C =4,A 2C =6.故4≤AC ≤6.﹙本题亦可以理解为“捆绑旋转”﹚变式1OD ≤3:以O 为顶点,OC 为边向上方作等腰Rt △OEC ︰,则﹙构造“双子型”﹚,连接DE ,OP ,有△OPC ∽△EDC ,且相似比为1DE =则点D 在以E 为圆心,作射线⊙E 于点1D ,2D ,O 1DO 2D=3故OD ≤3﹢变式2:2≤OD ≤4 提示:以OC 为边向上方作等边△OCE ,连接DE,OP.EBAD25.3 提示以O 为顶点,OC 为边向下方作等边△OCE ﹙构造“双子型”﹚,连接EP ,显然有△PCE ≌△DCO ﹙SAS ﹚,故OD =EP ,这样OD 的最值转化到EP 的最值,E 为定点,点P 在⊙O 上,根据“圆内一点到圆上各点最值问题”可以得解,作直线OE 交⊙O 于1P ,2P 两点,则E 1P 为最大值,E 1P =3,E 2P 为最小值, E 2P =1,故OD 的最大值为3,﹙本题还可以问最小值,甚至问OD 的取值范围﹚6.2 提示:以OA 为边向上方等边△OAD ﹙构造“双子型”﹚,连接BD,显然有△ADB ≌△AOC ﹙SAS ﹚,则OC =BD ,D 为定点,动点B 在y 轴上,根据“点到直线的距离,垂线段最短”,可知当DE ⊥y 轴时﹙即E,B 重合时﹚,DB 最短,此时DB =2,故OC 的最小值为2.7.提示:以OA 为腰向上作等腰Rt △AOD ﹙构造“双子型”﹚,连接BD ,显然有△AOC ∽△ADB ,∴OC BD =OA AD,则OCD 为定点,动点B 在直线y =2上运动,根据“点到直线的距离,垂线段最短”,可知当DB ⊥直线y =2时,DB 有最小值2.故OC 的最小值为8.﹙2-以AB 为腰向上作等腰Rt △DAB ,如图①所示﹙构造“双子型”﹚,连接DM ,有△MDB ∽△P AB ,∴2DM DB APAB,则DM则M 在以D为圆心, ,∴maxAM =3minAM 但求点P 的坐标,会比较烦琐,我们看下面的处理方法.以AB 为底向下作等腰Rt △ABN ,连接NP ,如图②所示,有△MAB ∽△PNB ,∴AM .N 为定点,P 在以A 为圆心,2为半径的圆上,当N,A,P 三点共线时,NP 最大,在Rt △ADP 中,AP =2,∠P AD =45°,∴AD=DP 故点P 坐标为﹙2-DM'O AMPB DNBPMAO六、十字架型【正方形内十字架型】1.△BAF≌△ADE﹙SAS﹚;AE=BF2.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、AD、BC边上的点. 若EF⊥GH，上述结论是否仍然成立？解：仍然成立提示：过点G作GN⊥BC于点N，过点F作FM⊥AB于点M，再证△GNH≌△FME即可.思路正方形中“十字架的顶点分别在四条边上”→“垂直”可以利用全等推导出十字架“相等”.3.如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边上，求折痕FG的长.解：连结AE. FG为折痕，AE为对称点的连线，则AE⊥FG. 又四边形ABCD为正方形，根据“正方形内十字架型”可得FG=AE=52.【矩形内十字架型】1.如图，在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，在AD边上有一点E. 若CE⊥BD，则CE和BD之间有什么数量关系？解：可证△CDE ∽△BCD ，∴nmBC CD BD CE ==，即CE ，BD 之比等于矩形邻边之比.2. 如图所示为一般情况，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AD ，BC ，AB ，CD 边上的点，当EF ⊥GH ，上诉结论是否仍然成立？解：仍然成立，BCCDGH EF =.思路 矩形中“十字架的顶点分别在四条边上”→“垂直”可以利用相似推导出十字架之比和邻边“成比例”. 3. （秒算）如图，把边长为AB=6，BC=8的矩形ABCD 对折，使点A 和点C 重合，求折痕EF 的长.解：连结AC ，BC CD AC EF =，∴8610=EF ，故EF=215.探究证明某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两相邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.如图，在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别角AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H. 求证：ABADGH EF =.结论应用如图，在满足上题的条件下，又AM ⊥BN ，点M 、N 分别在BC ，CD 边上，若1511=GH EF ，则=AMBN.答案：1511联系拓展如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在BC ，AB 边上，求AMDN 的值.解：可证△ADC≌△ABC ，∴∠ADC=∠ABC=90°. 过点D 作EF ∥AB ，过点A 作AF ⊥EF 于点F ，延长BC 交EF 于点E ，如图（构造“K 字模型”），又有△DEC ∽△AFD ，且相似比为1：2.设CE=x ，则DF=x 2，∴DE=x 210-，∴AF=x 420-=BE=x +5，∴3=x ，则BE=8. 根据“矩形内十字架型”可得54==AB BE AM DN .【直角三角形内十字架型】直角三角形可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，所以矩形内的结论可沿用至直角三角形内. 1.如图，在Rt 三角形ABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ，D 是BC 边上的中点。

2021中考数学必会8大几何模型与实例巩固

2021中考数学必会8大几何模型与实例巩固

中考必会八大几何模型归纳模型一 中点四大模型模型1：倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形②图①图构造全等倍长类中线倍长中线DCBAF F ACABCDCA模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ） 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移模型实例例题1 如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．FEA巩固提升1．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．BA【解析】延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连接BE ， ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD ，在△ADC 与△EDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE AD BDE ADC CD BD ，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴EB ＝AC ＝20，根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE ＜20＋12， ∴4＜AD ＜16，故AD 的取值范围为4＜AD ＜16．2．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2，求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2)． NMA【证明】如图，过点B 作AC 的平行线交ND 的延长线于E ，连ME ．∵BD ＝DC ，∴ED ＝DN ．在△BED 与△CND 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ，∴△BED ≌△CND （SAS ）．∴BE ＝NC ．∵∠MDN ＝90°，∴MD 为EN 的中垂线．∴EM ＝MN ．∴BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2，∴△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°． ∴∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°．∴∠BAC ＝90°． ∴AD 2＝(21BC )2＝41（AB 2＋AC 2）．模型2：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”．模型实例例题2 如图，在△AB C 中，AB ＝A C ＝5，B C ＝6，M 为B C 的中点，MN ⊥A C 于点N ，求MN 长度．NMC BA【解析】连接AM∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点，∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝21BC ＝3 ∵AB ＝5，∴AM ＝4352222=-=-BM AB∵MN ⊥AC ，∴S △ANC ＝21MC ·AM ＝21AC ·MN 即21×3×4＝21×5×MN ，∴MN ＝512巩固提升1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．FECB A【证明】连结AD ，∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，⎩⎨⎧==ADAD AFAB ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ），∴∠ADE ＝∠ADF ，∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°，∴∠EDB ＝∠FDC2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图ABCDEFACDDCA【解析】（1）连接CD ；如图2所示： ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点∴∠B ＝45°，∠DCE ＝21∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝21AB ＝BD ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠1＝∠2在△CDE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21，∴△CDE ≌△BDF （ASA ）∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝21S △ABC ； （2）不成立；S △DEF −S △C EF ＝21S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135°∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ＝S △CFE ＋S △DBC ＝S △CFE ＋21S △ABC ，∴S △DEF －S △CFE ＝21S △ABC ∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF －S △CEF ＝21S △ABC21ABCDE模型3：已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理构造中位线取另一边中点EDD模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理： DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模型实例例题3 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDBA【解析】如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ． ∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点，∴FH ＝21AB ，FH ∥AB ，HE ＝21DC ，HE ∥NC ． 又∵AB ＝CD ，∴HE ＝HF ，∴∠HFE ＝∠HEF ．∵FH ∥MB ，HE ∥NC ， ∴∠BME ＝∠HFE ，∠CNE ＝∠FEH ，∴∠BME ＝∠CNE ．模型4：已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线构造直角三角形斜边上的中线DCBADB A模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例例题4 如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .M FEDCBA【证明】连接DE ，DF .∵BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，∴DF =12BC ，DE =12BC∴DF =DE ，即△DEF 是等腰三角形，DM ⊥EF ，∴点M 是EF 的中点，即FM =EM .ABCEFM巩固提升1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.N D CBA【解析】取AB 中点N ，连接DN ，MN .在Rt △ADB 中，N 是斜边AB 上的中点， ∴DN =12AB =BN =5.∴∠NDB =∠B .在△ABC 中，M ，N 分别是BC ，AB 的中点， ∴MN ∥AC ∴∠NMB =∠C ，又∵∠NDB 是△NDM 的外角，∴∠NDB =∠NMD +∠DNM . 即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM .又∵∠B =2∠C ，∴∠DNM =∠C =∠NMD . ∴DM =DN .∴DM =5.2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MDCBA【证明】延长BM 交CE 于G ，∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形，∴CE ∥BD ，∴∠BDM =∠GEM .又∵M 是DE 中点，即DM =EM ，且∠BMD =∠GME ，∴△BMD ≌△GME ∴BM =MG ，∴M 是BG 的中点，∴在Rt △CBG 中，BM =CM .3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 . 问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他 条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MF E DCBA图2ABCDFM 图3ABCDF M【解析】∵（1）AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形， ∵D 是AB 的中点，∴DE =12AB ，DF =12AB .∴DE =DF .∵DE =KDF ，∴k =1. （2）∵CB =CA ，∴∠CBA =∠CAB .∵∠MAC =∠MBC ，∴∠CBA -∠MBC =∠CAB -∠MAC ，即∠ABM =∠BAM .∴AM =BM . ∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，∴∠MEB =∠MF A =90°.又∵∠MBE =∠MAF ，∴△MEB ≌△MF A （AAS ），∴BE =AF .∵D 是AB 的中点，即BD =AD ，又∵∠DBE =∠DAF ，∴△DBE ≌△DAF （SAS ），∴DE =DF . （3）DE =DF .如图，作AM 的中点G ，BM 的中点H ，连DG ，FG ，DH ，EH . ∵点D 是边AB 的中点，∴DG ∥BM ，DG =12BM .同理可得：DH ∥AM ，DH =12AM . ∵ME ⊥BC 于E ，H 是BM 的中点.∴在Rt △BEM 中，HE =12BM =BH .∴∠HBE =∠HEB ，∴∠MHE =2∠HBE .又∵DG =12BM ，HE =12BM ，∴DG =HE .同理可得：DH =FG . ∠MGF =2∠MAC .∵DG ∥BM ，DH ∥GM ，∴四边形DHMG 是平行四边形.∴∠DGM =∠DHM . ∵∠MGF =2∠MAC ， ∠MHE =2∠MBC ， ∠MBC =∠MAC ， ∴∠MGF =∠MHE . ∴∠DGM +∠MGF =∠DHM +∠MHE .∴∠DGF =∠DHE .在△DHE与△FGD中，DG HEDGF DHEDH FG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DHE≌△FGD（SAS），∴DE=DF.模型二截长补短辅助线模型模型：截长补短如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.模型实例例题1 如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 .求证：AB＝AC＋CD.证法一，截长法：如图①，在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接DE .∵AE ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ACD ≌△AED ，∴CD ＝DE ，∠C ＝∠3 . ∵∠C ＝2∠B ，∴∠3＝2∠B ＝∠4＋∠B ，∴∠4＝∠B ，∴DE ＝BE ，∴CD ＝BE . ∵AB ＝AE ＋BE ，∴AB ＝AC ＋CD .证法二，补短法：如图②，延长AC 到点E ，使CE ＝CD ，连接DE .∵CE ＝CD ，∴∠4＝∠E .∵∠3＝∠4＋∠E ，∴∠3＝2∠E .∵∠3＝2∠B ，∴∠E ＝∠B . ∵∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△EAD ≌△BAD ，∴AE ＝AB . 又∵AE ＝AC ＋CE ，∴∴AB ＝AC ＋CD . 巩固提升1. 在△ABC 中，∠ABC ＝600，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB . 求证：AC ＝AE ＋CD .【解析】如图，在AC 边上取点F ，使AE ＝AF ，连接O F . ∵∠ABC ＝600，∴∠BAC ＋∠ACB ＝1800－∠ABC ＝1200 . ∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， ∴∠O AC ＝∠O AB ＝2BAC ，∠O CA ＝∠O CB ＝2ACB， ∴∠A O E ＝∠C O D ＝∠O AC ＋∠O CA ＝2BACACB＝600，∴∠A O C ＝1800－∠A O E ＝1200 .∵AE＝AF，∠EA O＝∠F A O，A O＝A O，∴△A O E≌△A O F（S A S），∴∠A O F＝∠A O E＝600，∴∠C O F＝∠A O C－∠A O F＝600，∴∠C O F＝∠C O D.∵C O＝C O，CE平分∠ACB，∴△C O D≌△C O F（A S A），∴CD＝CF.∵AC＝AF＋CF，∴AC＝AE＋CD，2. 如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB .求证：AB＋CD＝BC .【解析】证法一：截长如图①，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF.∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4 .∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900 .∵∠3＝∠4 ，∴∠5＝∠6 .∵CE＝CE，∠2＝∠DCE，∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD .∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC证法二：补短如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF .∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠BEF＝∠BEC＝900，∴∠BEF＋∠BEC＝1800，∴C、E、F三点共线 .∵AB∥CD，∴∠F＝∠FCD.∵EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC，∴AF＝CD .∵BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD .4.如图，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE⊥AD于点E.求证：AC－AB＝2BE .【解析】延长BE交AC于点M.∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM＝900.∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM.∵BE⊥AE，∴BM＝2BE.∵∠ABC＝900，∠C＝300，∴∠BAC＝600.∵AB＝AM，∴∠3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM，∴AC－AB＝CM＝BM＝2BE .模型三角平分线四大模型模型1：角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠M O N的平分线上一点，过点P作P A⊥O M于点A，PB⊥O N于点B，则PB＝P A模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例例题1 （1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6，BD＝4，那么点D到直线AB的距离是【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∵CB＝6，BD＝4，∴DE＝CD＝2即点D到直线AB的距离是2（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC【证明】如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，∵∠1＝∠2，∴PD＝PE，∵∠3＝∠4，∴PE＝PF，∴PD＝PF又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）巩固提升1.如下图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°【证明】作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC，∴∠FAD＝∠C∵∠F AD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2. 如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.【解析】如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP，∠DCP＝∠ACP，PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM∴AP是∠F AC的角平分线，∴∠CAP＝∠P AF＝50°模型2：截取构造对称全等如图，P是∠M O N的平分线上的一点，点A是射线O M上任意一点，在O N上截取O B＝O A，连接PB，则△O PB≌△O P A模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称 性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例例题2 如图①所示，在△ABC 中，AD 是△BAC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB ＋PC 与AB ＋AC 的大小，并说明理由解题：PB +PC ＞AB +AC【证明】在BA 的延长线上取点E ， 使AE ＝AB ，连接PE，∵AD 平分∠CAE∴∠CAD ＝∠EAD ，在△AEP 与△ACP 中，∵AE ＝AB ，∠CAD ＝∠EAD ，AP ＝AP ，∴△AEP ≌△ACP （S A S ），∴PE ＝PC∵在△PBE 中：PB +PE ＞BE ，BE ＝AB +AE ＝AB +AC ，∴PB +PC ＞AB +AC巩固提升1. 已知，在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC ＝16，AD ＝8， 求线段BC 的长【解析】如图在BC 边上截取CE ＝AC ，连结DE ，在△ACD 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CD ECD ACD EC AC ，∴△ACD ≌△ECD (S A S)∴AD ＝DE ， ∠A ＝∠1 ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠1＝2∠B ，∵∠1＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB∴EBB＝ED，∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝242.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB＋CD【证明】在BC上截取BE＝BA，连结DE，∵BD平分∠ABC，BE＝AB，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(S A S)，∴∠DEB＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－108°＝72°∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝12(180°－108°)＝36°，∴∠EDC＝72°∴∠DEC＝∠EDC，∴CE＝CD，∴BE＋CE＝AB＋CD，∴BC＝AB＋CD3.如图所示，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：BC＝AB＋CE【证明】在CB上取点F，使得BF＝AB，连结DF，∵BD平分∠ABC，BD＝BD∴△ABD≌△FBD，∴DF＝AD＝DE，∠ADB＝∠FDB，∴BD平分∠ABC∴∠ABD＝20°，则∠ADB＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE∠CDF＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°，∴∠CDF＝∠CDE，在△CDE和△CDF中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CDCDCDECDFDFDE，∴△CDE≌CDF，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CE模型3：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠M O N的平分线上一点，AP丄O P于P点，延长AP交O N于点.B，则△A O B 是等腰三角形.模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例例题3 如图，己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，C£丄BD.垂足为E.求证：BD=2C£.【解析】如图，延长CE、BA交于点F，∵CE丄BD于E，∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED ∴∠ABD=∠ACF。

2021届中考数学重难点--几何全套第3讲对角互补模型--有详细解答

2021届中考数学重难点--几何全套第3讲对角互补模型--有详细解答

第三讲对角互补模型共顶点模型•即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。

主要：含90°的对角互补，含120。

的 对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别“解决此类题型常用到的辅助线画法主要有 两种：旋转法和过顶点作两垂线. 类型一：含90°的对角互补模型(1) 如图，ZAOB=ZDCE=90° , OC 平分ZAOB,① CD = C② OD 七OE=近OC ； ③ Sys+S 如詁处(2) 如图，ZAOB=ZDCE=90o , OC 平分ZAOB, 当ZDCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则有以下结论：① CD = CE ；② OE-OD=忑OC:类型二：含120°的对角互补模型(1)如图，ZAOB=2ZDCE=120o,OC 平分ZAOB,则有以下结论:(2)如图，ZAOB=ZDCE=90o , OC 平分ZAoB, 当ZDCE 的一边与Ao 的延长线交于点D 时，则有以① C D = C ② O D+ OE=OC; ③ Sea) +s λOCE =-^-Oc ^下结论： ① C D = CE ； ② O E-OD=迈OC: .oCD = ^OC 2则有以下结论:® S ^CE-S δOCD=^OC2作法2典题探究-------------------------------- --------------- 启迪思堆探究重点例题1.如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP 绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个立值，变式练习>>>1.角线交于点O，点£ F分别在AB、BC上(AE<BE),且ZEoF=90° , OE. D4的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证：OM=ON.例题2.四边形ABeD被对角线BD分为等腰直角AABD和直角ACBD,其中乙4和ZC都是直角，另一条对角线AC的长度为2,求四边形ABCD的而积・作法1变式练习>>>2・如图，在四边形ABCD中，ZA=ZC=90° , AB=AD,若这个四边形的面积为22,则BC+CD= B C例题 3.如图，在Rt2MfiC 中，ZABC=90o , AB=3, BC=4, RtAMPN, ZMPN=90°,点P 在AC 上, PM交AB于点E, PN交BC于点、F,当PE=2PF时，AP=例题4∙用两个全等且边长为4的等边三角形ZMBC 和AACD 拼成菱形ABeD 把一个60°角的三角尺与 这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB, AC 重合，将三角尺绕点A按逆时变式练习》＞3.如图，在矩形ABCD 中，AB=3, BC=5, 点E 在对角线AC 上，连接BE,作EF 丄BE,垂足为E,直线3 34EP 交线段DC 于点F,则器=（）5针方向旋转.（1） 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC, CD 相交于点E, F 时，（如图1）,通过观察或测⅛BE, CF 的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）：（2） 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC, CD 的延长线相交于点E, F 时（如图2）,你在（1）中得到 的结论还成立吗？说明理由；（3） 在上述情况中，AAEC 的而积是否会等于2価？如果能，求BE 的长；如果不能，请说明理由.变式练习>>>4. 我们规左：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”.（1 >若点A （x, y ）是“完美点”，且满足x+y=4,求点A 的坐标：（2）如图1,在平而直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A 坐标为（0, 4）,连接OB, E 点从O 向 B 运动，速度为2个单位/秒，到B 点时运动停止，设运动时间为/.① 不管/为何值，E 点总是"完美点”；② 如图2,连接AE,过E 点作PQ 丄X 轴分别交AB 、OC 于P 、Q 两点，过点E 作EF 丄AE 交X 轴于点F, 问：当E 点运动时，四边形AFQP 的而积是否发生变化？若不改变，求岀而枳的值；若改变，请说明理由.例题5.已知，点P 是ZMON 的平分线上的一动点，射线刊交射线OM 于点儿 将射线用绕点P 逆时针 旋转交射线ON 于点且使ZAPB+ZMON= 180°・图1 图2(1) 利用图1，求证：PA=PB,(2) 如图2,若点C 是AB 与OP 的交点，当SLPOB=3S=PCB 时，求PB 与PC 的比值;达标检测:L 如图，在等腰Rt∆ABC 中，ZC=90c ∙ AC=8, F 是AB 边上的中点，点D. E 分别在AC. BC 边上运动,领悟提升强化落实(3)若ZMoN=60。

2021年中考数学复习讲义：第五章 轴对称 模型(二十)——婆罗摩笈多模型

2021年中考数学复习讲义：第五章 轴对称 模型(二十)——婆罗摩笈多模型

第五章.轴对称模型（二十）——婆罗摩笈多模型一、垂直中点【结论1】如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，MN经过点B，若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②SCBE∆＝SABD∆，③CE＝2BN. 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直）②如图，由①知，SCBM∆＝SBAP∆，SEBM∆＝SBDQ∆，SAPN∆＝SDQN∆∴SABD∆＝SABN∆＋SDBN∆＝SBAP∆＋SAPN∆＋SBDQ∆－SDQN∆模型讲解＝SBAP∆＋SBDQ∆＝SCBM∆＋SEBM∆＝SCBE∆,即SCBE∆＝SABD∆，得证.③如图，由①得，PN＝QN，∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证.二、中点垂直【结论2】如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，点P是CE的中点，PB的延长线交AD于点Q，则①PQ⊥AD，②SCBE∆＝SABD∆,③AD=2BP【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）②如图，由①知SCBE∆＝SCBP∆＋SEBP∆＝SEMP∆＋SEBP∆＝SMEB∆＝SABD∆,得证.③如图，由①知AD＝MB＝2BP，得证。

婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。

这个定理有另一个名称，叫做“布拉美古塔定理”（又译《卜拉美古塔定理”）。

如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，MN过点O，⑴若MN⊥AD，则点M是BC的中点，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中点，则①MN⊥AD，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.如图，△AOB和△COD是等腰三角形，∠AOB＋∠COD=180º，MN过点O.N在AD延长线上.拓展拓展⑴若∠ANM＝∠AOB，则M是BC的中点，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中点，则②∠ANM＝∠AOB，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.如图，△AOB≌△COD且∠AOB＝∠COD=180º，MN过点O.⑴若M是BC的中点，则①AD＝2OM，②SAOD∆＝SBOC∆.⑵若N是AD的中点，则①BC＝2ON，②SAOD∆＝SBOC∆.如图，在△AOB、△COD中，DOCOBOAO=，且∠AOB＋∠COD=180º，则SAOD∆＝SBOC∆.拓展拓展典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证∶DE=2AM.BN.【解析】如图，延长 AM至点N，使 MN=AM，连接Array∵点 M为 BC 的中点，∴CM=BM.在△AMC和△NMB中，AM=MN, ∠AMC=∠NMB, CM= BM,∴△NMB≌△AMC（SAS），∴AC=BN,∠C=∠NBM.∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB=∠DAC=90°, ∴∠EAD+∠BAC=180°,∴∠ABN=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.在△EAD和△ABN中， AE=AB, ∠EAD=∠ABN, AD= BN,∴△EAD≌△ABN（SAS），∴DE=AN=2AM.典例2 ☆☆☆☆☆定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC＋∠DAE＝180º时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的中线AM叫做△ADE的“顶心距”.特例感知∶⑴在图2、图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM， AN 分别是“顶心距”.①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE 之间的数量关系为AM=_____DE;②如图3，当∠BAC=120°，BC=6时，AN的长为__________.猜想论证∶⑵在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE 之间的数量关系，并给予证明。

中考数学几何模型复习 专题 手拉手模型(学生版+解析版)

中考数学几何模型复习 专题 手拉手模型(学生版+解析版)

中考数学几何模型复习手拉手模型一、方法突破问题一：构成手拉手的必要条件．当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）结论：△OAC≌△OBD（SAS）证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．1．等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：结论一：△ACD≌△BCE证明：AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △ACD≌△BCE（SAS）ABCDOD（2）记AC 、BE 交点为M ，AD 、CE 交点为N ：结论二：△ACN ≌△BCM ；△MCE ≌△NCD证明：MBC NAC BC AC BCM ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △ACN ≌△BCM （SAS ）；MCE NCD CE CDCEM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △MCE ≌△NCD （ASA ） （3）连接MN ：结论三：△MNC 是等边三角形．证明：60CM CNMCN =⎧⎨∠=︒⎩→△MCN 是等边三角形．（4）记AD 、BE 交点为P ，连接PC ：结论四：PC 平分∠BPD证明：△BCE ≌△ACD → CG =CH → PC 平分∠BPD ．DDHG ααEDCBAP（5）结论五：∠APB =∠BPC =∠CPD =∠DPE =60°．（6）连接AE ：结论六：P 点是△ACE 的费马点（P A +PC +PE 值最小）2．正方形手拉手如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，连接BE 、DG ：结论一：△BCE ≌△DCG证明：CB CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △BCE ≌△DCG （SAS ）结论二：BE =DG ，BE ⊥DG证明：△BCE ≌△DCG → BE =DG ；∠CBE ＝∠CDG → ∠DHB =∠BCD =90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．60°60°60°60°PABCDEEDCBAPF问题二：条件与结论如何设计？设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样； 设计二：如果题目已知△ABC ≌△ADE 外，则还可得△ABD 和△ACE 均为等腰三角形，且有△ABD ∽△ACE ，AB AD BDAC AE CE==．问题三：如何构造手拉手？如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．二、典例精析例一：如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBEBDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4例二：如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6PC =，8PA =，10PB =，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60︒得到P C '，连接AP '，则sin PAP '∠的值为 ．EDCBAC例三：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AQ ，连接BQ ．若6PA =，8PB =，10PC =，则四边形APBQ 的面积为 ．例四：如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若6AP =，8BP =，10CP =．则ABP BPC S S ∆∆+= ．例五：如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则ABC∆的面积为( )A．9 B．9 C．18+D．18 例六：在Rt △ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形内一点且∠APB =135°，PC =AC 的最大值为_________．QPABCPABCPABCABCP三、中考真题演练1．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=30ABD∠=︒，点E是边AB的中点，过点E作EF AB⊥交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF∆绕点B按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF=；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将BEF∆绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF∆旋转至D、E、F三点共线时，则ADE∆的面积为．2．（2021•贵港）已知在ABC∆中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC∆绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF∆，连接AE，CF．（1）如图1，当90=；=时，则AE与CF满足的数量关系是AE CF∠=︒且AB ACBAC（2）如图2，当90≠时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若∠=︒且AB ACBAC不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO到点D，使OD OABC=时，求DE的长．=，连接DE，当5==，6AO CF3．（2021•黑龙江）在等腰ADE ∆中，AE DE =，ABC ∆是直角三角形，90CAB ∠=︒，12ABC AED ∠=∠，连接CD 、BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ．（1）当45EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图①所示，求证：12EF CD =；（2）当45EAD ∠=︒，把ABC ∆绕点A 逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当60EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF 和CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．4．（2021•通辽）已知AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形)OM OA <<，90AOB MON ∠=∠=︒．（1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =； （2）将MON ∆绕点O 顺时针旋转．①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．5．（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60︒得到CQ，连QB．（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP AC=时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；∆，（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且APQ求线段AP的长度．6．（2020•沈阳）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ． （1）如图1，当60α=︒时， ①求证：PA DC =； ②求DCP ∠的度数；（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．（3）当120α=︒时，若6AB =，BP D 到CP 的距离为 ．中考数学几何模型复习手拉手模型一、方法突破问题一：构成手拉手的必要条件．当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）结论：△OAC≌△OBD（SAS）证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．3．等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：结论一：△ACD≌△BCE证明：AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △ACD≌△BCE（SAS）ABCDOD（2）记AC 、BE 交点为M ，AD 、CE 交点为N ：结论二：△ACN ≌△BCM ；△MCE ≌△NCD证明：MBC NAC BC AC BCM ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △ACN ≌△BCM （SAS ）；MCE NCD CE CDCEM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △MCE ≌△NCD （ASA ） （3）连接MN ：结论三：△MNC 是等边三角形．证明：60CM CNMCN =⎧⎨∠=︒⎩→△MCN 是等边三角形．（4）记AD 、BE 交点为P ，连接PC ：结论四：PC 平分∠BPD证明：△BCE ≌△ACD → CG =CH → PC 平分∠BPD ．DDDHG ααEDCBAP（5）结论五：∠APB =∠BPC =∠CPD =∠DPE =60°．（6）连接AE ：结论六：P 点是△ACE 的费马点（P A +PC +PE 值最小）4．正方形手拉手如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，连接BE 、DG ：结论一：△BCE ≌△DCG证明：CB CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △BCE ≌△DCG （SAS ）结论二：BE =DG ，BE ⊥DG证明：△BCE ≌△DCG → BE =DG ；∠CBE ＝∠CDG → ∠DHB =∠BCD =90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．60°60°60°60°PAB CDEEDCBAPF问题二：条件与结论如何设计？设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样； 设计二：如果题目已知△ABC ≌△ADE 外，则还可得△ABD 和△ACE 均为等腰三角形，且有△ABD ∽△ACE ，AB AD BDAC AE CE==．问题三：如何构造手拉手？如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．二、典例精析例一：如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBEBDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】等边三角形中的旋转型全等连接OB 、OC ，易证△OBD ≌△OCE ，∴OD =OE ，结论①正确；考虑∠FOG 是可以旋转的，△ODE 面积和△BDE 面积并非始终相等，故结论②错误；ECBACC∵△OBD ≌△OCE ，∴四边形ODBE 的面积等于△OBC的面积，142OBCS=⨯=，故结论③正确；考虑BD =CE ，∴BD +BE =CE +BE =4，只要DE 最小，△BDE 周长就最小，△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，故OD 最小，DE 便最小， 当OD ⊥AB 时，OD此时2DE ==，∴周长最小值为6，故结论④正确． 综上，选C ，正确的有①③④．【小结】所谓全等，实际就是将△ODB 绕点O 旋转到△OEC 的位置．等等，好像和某个图有点神似，如下：当然这个图形还可以简化一下，毕竟和D 点及F 点并没有什么关系．结论与证明不多赘述，题型可以换，但旋转是一样的旋转．例二：如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6PC =，8PA =，10PB =，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60︒得到P C '，连接AP '，则sin PAP '∠的值为 ．【分析】连接PP '，则CPP '△是等边三角形，故6PP PC '==，易证△CPB ≌CP A '△，∴10AP BP '==， 又AP =8，∴APP '△是直角三角形，∴3sin 5PAP '∠=．D例三：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AQ ，连接BQ ．若6PA =，8PB =，10PC =，则四边形APBQ 的面积为 ．【分析】分四边形为三角形．连接PQ ，易证△APQ 是等边三角形，△BPQ 是直角三角形，26APQS=168242BPQS =⨯⨯=， ∴四边形APBQ的面积为(．例四：如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若6AP =，8BP =，10CP =．则ABP BPC S S ∆∆+= ．【分析】构造旋转．如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连接EP ， 可得△AEP 是直角三角形，△BEP 是等边三角形，21688242APBBPCAEPBEPSSSS+=+=⨯⨯+=+ 所以本题答案为24+QPABCQPABCPABCC搭配一：若222PA PB PC+=，则可任意旋转，得等边+直角．且两条较短边夹角（∠APB）为150°．搭配二：若∠APB=150°，则有222PA PB PC+=．例五：如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则ABC∆的面积为()A．9B．9C．18+D．18【分析】（3，4，5）是一组勾股数，通过旋转构造直角三角形．法一：如图，将三个小三角形面积分别123S S S、、考虑到△ABC是等边三角形，可将△APB 旋转到△ADC位置，可得：21331334642ADP PCDS S S S+=+=+⨯⨯=，同理可得：212143462S S++⨯⨯=，223153462S S+=+⨯⨯=，∴()123218S S S++，∴1239S S S++，故选A．CC CPABCS3S2S1PAB CC法二：如图，易证∠APB =150°，过点A 作BP 的垂线交BP 延长线于点H ，则1322AH AP ==，PH，4BH =)2229271625944S AH BH ==+=+++=+=⎝． 【思考】如果放在正方形里，条件与结论又该如何搭配？作旋转之后，可得△AEP 是等腰直角三角形，若使△PEB 也为直角三角形， 则原∠APD =135°，而线段PA 、PB 、PD 之间的关系为：2222PA PD PB +=．搭配一：若∠APD =135°，则2222PA PD PB +=；搭配二：若2222PA PD PB +=，则∠APD =135°．另外，其实这个图和点C 并没有什么关系，所以也可以将正方形换成等腰直角三角形． 大概如下图：抓主要条件，舍弃无用条件，也是理解几何图形的一种方式．例六：在Rt △ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形内一点且∠APB =135°，PC =AC 的最大值为_________．【分析】显然根据∠APB =135，构造旋转．可得：△APQ 是等腰直角三角形，△PQC 是直角三角形，且∠PQC =90°，另外还有条件PC =HPABC EAB CDEPABCPC重新梳理下条件，（1）有一条线段PC =（2）∠PQC =90°，则Q 点轨迹是个圆弧，（3）以PQ 为斜边在PC 异侧作等腰直角三角形，点A 是直角顶点．∴A 点轨迹是什么？瓜豆原理啦，也是个圆弧：∴AC22=．三、中考真题演练1．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ． 实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF= ；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为 ． （2）小王同学继续将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 拓展延伸：在以上探究中，当BEF ∆旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE ∆的面积为 ．CPP PCCC【解答】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，cos BE AB ABD BF DB ∴∠==， 如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOB AOF ∠=∠，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒，，30︒；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又BE AB BF DB ==， ABE DBF ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOH AOB ∠=∠，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，2AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DAB ∠=︒，BE ∴2AD =，4DB =，30EBF ∠=︒，EF BE ⊥，1EF ∴=，D 、E 、F 三点共线，90DEB BEF ∴∠=∠=︒，DE ∴30DEA ∠=︒，12DG DE ∴==由（2）可得：AE BE DF BF ==，∴=AE ∴，ADE ∴∆的面积1122AE DG =⨯⨯==； 如图5，当点E 在AB 的下方时，过点D 作DG AE ⊥，交EA 的延长线于G ，同理可求：ADE ∆的面积1122AE DG =⨯⨯==2．（2021•贵港）已知在ABC ∆中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将AOC ∆绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF ∆，连接AE ，CF ．（1）如图1，当90BAC ∠=︒且AB AC =时，则AE 与CF 满足的数量关系是 ；（2）如图2，当90BAC ∠=︒且AB AC ≠时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD OA =，连接DE ，当5AO CF ==，6BC =时，求DE 的长．【解答】解：（1）结论：AE CF=．理由：如图1中，=，∠=︒，OC OB AB ACBAC=，90⊥，∴==，AO BCOA OC OB∠=∠=︒，AOC EOF90∴∠=∠，AOE COF=，=，OE OFOA OCAOE COF SAS∴∆≅∆，()∴=．AE CF（2）结论成立．理由：如图2中，=，∠=︒，OC OBBAC90∴==，OA OC OB∠=∠，AOC EOF∴∠=∠，AOE COF=，=，OE OFOA OC∴∆≅∆，AOE COF SAS()∴=．AE CF（3）如图3中，由旋转的性质可知OE OA=，OA OD=，5OE OA OD∴===，90AED∴∠=︒，OA OE=，OC OF=，AOE COF∠=∠，∴OA OEOC OF=，AOE COF∴∆∆∽，∴AE OACF OC=，5 CF OA==，∴5 53 AE=，253 AE∴=，DE∴=．3．（2021•黑龙江）在等腰ADE ∆中，AE DE =，ABC ∆是直角三角形，90CAB ∠=︒，12ABC AED ∠=∠，连接CD 、BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ．（1）当45EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图①所示，求证：12EF CD =； （2）当45EAD ∠=︒，把ABC ∆绕点A 逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当60EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF 和CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：如图①中，EA ED =，45EAD ∠=︒，45EAD EDA ∴∠=∠=︒，90AED ∴∠=︒，BF FD =，12EF DB ∴=， 90CAB ∠=︒，45CAD BAD ∴∠=∠=︒，1452ABC AED ∠=∠=︒， 45ACB ABC ∴∠=∠=︒，AC AB ∴=，AD ∴垂直平分线段BC ，DC DB ∴=，12EF CD ∴=． （2）解：如图②中，结论：12EF CD =．理由：取CD 的中点T ，连接AT ，TF ，ET ，TE 交AD 于点O ． 90CAD ∠=︒，CT DT =，AT CT DT ∴==，EA ED =，ET ∴垂直平分线段AD ，AO OD ∴=，90AED ∠=︒，OE OA OD ∴==，CT TD =，BF DF =，//BC FT ∴，45ABC OFT ∴∠=∠=︒，90TOF ∠=︒，45OTF OFT ∴∠=∠=︒，OT OF ∴=，AF ET ∴=，FT TF =，AFT ETF ∠=∠，FA TE =，()AFT ETF SAS ∴∆≅∆，EF AT ∴=，12EF CD ∴=．如图③中，结论：EF =．理由：取AD 的中点O ，连接OF ，OE ．EA ED =，60AED ∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形，AO OD =，OE AD ∴⊥，30AEO OED ∠=∠=︒，tan AO AEO OE ∴∠==∴OEAD =1302ABC AED ∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，AB ∴，AO OD =，BF FD =，12OF AB ∴=，∴OF AC =， ∴OE OFAD AC =，//OF AB ，DOF DAB ∴∠=∠，90DOF EOF ∠+∠=︒，90DAB DAC ∠+∠=︒，EOF DAC ∴∠=∠，EOF DAC ∴∆∆∽，∴EFOECD AD =，EF ∴．4．（2021•通辽）已知AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形)OM OA <<，90AOB MON ∠=∠=︒． （1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =；（2）将MON ∆绕点O 顺时针旋转． ①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=； ②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．【解答】（1）证明：90AOB MON ∠=∠=︒， AOB AON MON AON ∴∠+∠=∠+∠，即AOM BON ∠=∠，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，OA OB ∴=，OM ON =，()AOM BON SAS ∴∆≅∆，AM BN ∴=；（2）①证明：连接BN ，90AOB MON ∠=∠=︒，AOB BOM MON BOM ∴∠-∠=∠-∠，即AOM BON ∠=∠，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，OA OB ∴=，OM ON =，()AOM BON SAS ∴∆≅∆，45MAO NBO ∴∠=∠=︒，AM BN =，90MBN ∴∠=︒，222MB BN MN ∴+=，MON ∆都是等腰直角三角形，222MN ON ∴=，2222AM BM OM ∴+=；②解：如图3，当点N 在线段AM 上时，连接BN ，设BN x =， 由（1）可知AOM BON ∆≅∆，可得AM BN =且AM BN ⊥， 在Rt ABN ∆中，222AN BN AB +=，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，4OA =，3OM =，MN ∴=，AB =222(x x ∴-+=，解得：x =，AM BN ∴= 如图4，当点M 在线段AN 上时，连接BN ，设BN x =， 由（1）可知AOM BON ∆≅∆，可得AM BN =且AM BN ⊥， 在Rt ABN ∆中，222AN BN AB +=，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，4OA =，3OM =，MN ∴=，AB =222(x x ∴++=，解得：x =，AM BN ∴=，综上所述，线段AM ． 5．（2021•十堰）已知等边三角形ABC ，过A 点作AC 的垂线l ，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连接CP ，把线段CP 绕点C 逆时针方向旋转60︒得到CQ ，连QB ．（1）如图1，直接写出线段AP 与BQ 的数量关系；（2）如图2，当点P 、B 在AC 同侧且AP AC =时，求证：直线PB 垂直平分线段CQ ；（3）如图3，若等边三角形ABC 的边长为4，点P 、B 分别位于直线AC 异侧，且APQ ∆，求线段AP 的长度．【解答】解：（1）在等边ABC ∆中，AC BC =，60ACB ∠=︒， 由旋转可得，CP CQ =，60PCQ ∠=︒， ACB PCQ ∴∠=∠，ACB PCB PCQ PCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACP BCQ ∠=∠， ()ACP BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=．（2）在等边ABC ∆中，AC BC =，60ACB ∠=︒， 由旋转可得，CP CQ =，60PCQ ∠=︒，ACB PCQ ∴∠=∠，ACB PCB PCQ PCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACP BCQ ∠=∠， ()ACP BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒；BQ AP AC BC ∴===，AP AC =，90CAP ∠=︒，30BAP ∴∠=︒，75ABP APB ∠=∠=︒，135CBP ABC ABP ∴∠=∠+∠=︒，45CBD ∴∠=︒，45QBD ∴∠=︒，CBD QBD ∴∠=∠，即BD 平分CBQ ∠，BD CQ ∴⊥且点D 是CQ 的中点，即直线PB 垂直平分线段CQ ．（3）①当点Q 在直线l 上方时，如图所示，延长BQ 交l 于点E ，过点Q 作QF l ⊥于点F ，由题意可得AC BC =，PC CQ =，60PCQ ACB ∠=∠=︒， ACP BCQ ∴∠=∠，()APC BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒，60CAB ABC ∠=∠=︒，30BAE ABE ∴∠=∠=︒，4AB AC ==，AE BE ∴=， 60BEF ∴∠=︒，设AP t =，则BQ t =，EQ t ∴=-，在Rt EFQ ∆中，)QF t =-，12APQ S AP QF ∆∴=⋅=，即1)2t ⋅-=，解得t =t ．即AP ． ②当点Q 在直线l 下方时，如图所示，设BQ 交l 于点E ，过点Q 作QF l ⊥于点F ，由题意可得AC BC =，PC CQ =，60PCQ ACB ∠=∠=︒，ACP BCQ ∴∠=∠，()APC BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒，60CAB ABC ∠=∠=︒，30BAE ABE ∴∠=∠=︒，120BEF ∴∠=︒，60QEF ∠=︒，4AB AC ==，AE BE ∴=， 设AP m =，则BQ m =，EQ m ∴=-，在Rt EFQ ∆中，QF m =，12APQ S AP QF ∆∴=⋅=，即12m m ⋅-解得m m ==．综上可得，AP 6．（2020•沈阳）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．（1）如图1，当60α=︒时，①求证：PA DC =；②求DCP ∠的度数；（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．（3）当120α=︒时，若6AB =，BP D 到CP 的距离为 ．【解答】（1）①证明：如图1中，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ， PB PD ∴=，AB AC =，PB PD =，60BAC BPD ∠=∠=︒， ABC ∴∆，PBD ∆是等边三角形，60ABC PBD ∴∠=∠=︒，PBA DBC ∴∠=∠，BP BD =，BA BC =，()PBA DBC SAS ∴∆≅∆，PA DC ∴=．②解：如图1中，设BD 交PC 于点O ．PBA DBC ∆≅∆，BPA BDC ∴∠=∠，BOP COD ∠=∠，60OBP OCD ∴∠=∠=︒，即60DCP ∠=︒．（2）解：结论：CD =．理由：如图2中，AB AC =，PB PD =，120BAC BPD ∠=∠=︒，2cos30BC AB ∴=⋅⋅︒，2cos30BD BP =⋅︒=，∴BC BD BA BP= 30ABC PBD ∠=∠=︒，ABP CBD ∴∠=∠，CBD ABP ∴∆∆∽，∴CD BC PA AB=CD ∴=．（3）过点D 作DM PC ⊥于M ，过点B 作BN CP ⊥交CP 的延长线于N ． 如图31-中，当PBA ∆是钝角三角形时，在Rt ABN ∆中，90N ∠=︒，6AB =，60BAN ∠=︒，cos603AN AB ∴=⋅︒=，sin 60BN AB =⋅︒=2PN PB ==， 321PA ∴=-=，由（2）可知，CD = BPA BDC ∠=∠，30DCA PBD ∴∠=∠=︒， DM PC ⊥，12DM CD ∴=如图32-中，当ABP ∆是锐角三角形时，同法可得235PA =+=，CD =12DM CD ==综上所述，满足条件的DM ．．。

专题4.5 一线三直角模型-2021年中考数学第二轮总复习课件(全国通用)

专题4.5 一线三直角模型-2021年中考数学第二轮总复习课件(全国通用)

【例1】如图四边形ABCD、EFGH是正方形,NHMC是矩形,A,B,N,E,F
五点在同一直线上,若正方形ABCD,EFGH的边长分别为3,4,BN=2,
则NH为_2__1_3_.
M
D
C
H
G
A
BN
C
F
直接应用一线三直角模型
2.如图,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且点E,A,B 三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是__8__.
【例2】在△ABC中,∠ABC=90º,tan∠BAC= 1 .
2
(1)如图①,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别
为点M、N.若点B恰好是线段MN的中点,求tan∠BAM的值；
(2)如图②,P是边BC的延长线上一点,∠APB=∠BAC,求tan∠PAC
的值. A
A
C
D
M
BN 图①
B
C 图② E
A(12,0),点B(0,6),点P、Q分别为BC、AC边上的动点(P不与B、C
重合),沿OP折叠该纸片,得点B´.沿PQ再次折叠纸片,使点C落在直
线PB´上,得点C´.设BP=t,AQ=m. (1)试用含有t的式子表示m；
m
=
1 6
t
2
-
2t
+
6(0
<
t
<12)
(2)当点C´恰好落在边OA上时,求点P的坐标。P1(2,6)或P2(6,6)
做题过程中,若出现一直角的顶点在一条直线上的形式,就可以构造 两侧的直角三角形,利用全等三角形或相似三角形解决相关问题.综合性 题目往往就会把全等和相似的转化作为出题的一种形式.本质就是找角、 定线、构相似.

2021年中考数学总复习第四章 三角形 微专题 八大常考全等模型

2021年中考数学总复习第四章 三角形 微专题 八大常考全等模型

微专题 八大常考全等模型
模型应用
2. 如图，△CDF和△ABD均是等腰直角三角形，且F在AD边上，若BF是∠ABD的平
分线，则 CD 的值为( BD
C
)
A. 1
2
B. 2
2
C. 2 －1
D. 2 ＋1
第2题图
微专题 八大常考全等模型
3. 如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点 E处，AE交CD于点F，连接DE.若矩形ABCD的周长为18，则△EFC的周长为 ____9____．
例2 证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE， ∠BAC ∠DAE 在△ABC和△ADE中， AC AE,
∠C ∠E
∴△ABC≌△ADE(ASA)．
例2题图
微专题 八大常考全等模型
模型分析
有公共边 模型 展示
有公共顶点
模型 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完 特点 全重合 解题 证明三角形全等的关键：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相 思路 等；(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等
△ABC中，AB＝AC，△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD、 模型
CE.正方形ABFC中，AB＝AC，正方形ADGE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE 特点 ＝90°，连接BD、CE.
微专题 八大常考全等模型
解题 思路
结论
证明三角形全等的关键：(1)共顶点：加(减)共顶点的公共角∠BAE得一组 对应角相等；(2)利用已知两组边相等或者等腰、等边、正方形、菱形等得 到两组对应边相等 △CAE≌△BAD(SAS)，BD＝CE，∠BPC＝∠BAC＝α(“8字型”证角相等)
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2021年成都市中考数学几何模型讲义中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交ABCD E ABC DEFEDCBA【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连GABCDEFABCD E【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC ＝60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB ＝10，BF ＝4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE 、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．图3图2图1ACDEFGDEFGCDEGABBFCBA【解答】（1）延长EG 交CD 于点H 易证明△CHG ≌△CEG ，则GE ＝HEGCFAD（2）延长CG 交AB 于点I ，易证明△BCE ≌△FIE ，则△CEI 是等边三角形，GE ＝3GC ，且GE ⊥GCA BFEG（3）BAG EJ【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF .（1）求证：CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG 、EG ，求证：DG ⊥EG .GFE DCB A注意G 的两端点D 、E 所在的直线DC ∥FE为什么是证明△BCE ≌△FIE 你理解吗？你能写出解题思路和过程吗？类似的为什么要延长CG 呢，可以延长EG吗？（1）证明△ABE ≌△ADF 即可；（2）延长DG 与AB 相交于点H ，连接HE ，证明△HBE ≌△EFD 即可E【例3】如图，在凹四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，BA 交EF 延长线于G 点，CD 交EF 于H 点，求证：∠BGE ＝∠CHE .H GF EDCBA【解答】取BD 中点可证，如图所示：JA BCDE F GH为什么为什么为什么？可以取AC 中点吗？角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交边CD 于F 点，交AD 边于H ，延长BA 到G 点，使AG ＝CF ，连接GF .若BC ＝7，DF ＝3，EH ＝3AE ，则GF 的长为_______.HGFEDCBA【解答】延长FE 、AB 交于点I ，易得CE ＝CF ，BA ＝BE ，设CE ＝x ，则BA ＝CD ＝3＋x ，BE ＝7－x ， 3＋x ＝7－x ，x ＝2，AB ＝BE ＝5，AE ＝，作AJ ⊥BC ，连接AC ，求得GF ＝AC ＝3JIAB CDEFGH手拉手模型【条件】OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD【结论】△OAC ≌△OBD ，∠AEB ＝∠AOB ＝∠COD （即都是旋转角）；OE 平分∠AEDDC EBAOOABEC D 导角核心图形：八字形CAO【例5】（2014重庆市A 卷）如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且2DE CE ，连接BE ．过点C 作CF ⊥BE ，垂足是F ，连接OF ，则OF 的长为________．FABCOE DDE CBA【例6】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连接BE ，AG ⊥BE于F ，交BC 于点G ，求∠DFG ．GFE DCBA【答案】45°ABC【例7】（2014重庆B 卷）如图，在边长为ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 交EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH ．若BH ＝8，则FG＝_____________．HGDE CBAF【答案】ABE G邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180° 【结论】AC 平分∠BCDEBA【模型2】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90° 【结论】① ∠ACB ＝∠ACD ＝45°； ② BC ＋CDABCECB______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【例8】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝5，G 为CD 中点，DE ＝DG ，FG ⊥BE 于F ，则DF 为_____.F ABCEDGG DE【例9】如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M ，使BM ＝1，连接AM ，过点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，O 是对角线AC 、BD 的交点，连结ON ，则ON 的长为__________.OMN DCBA【例10】如图，正方形ABCD 的面积为64，△BCE 是等边三角形，F 是CE 的中点，AE 、BF 交于点G ，则DG 的长为___________.GFEABCD【答案】4EC半角模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠EAF ＝12∠BAD ， 点E 在直线BC 上，点F 在直线CD 上 【结论】BE 、DF 、EF 满足截长补短关系FEDCBA【模型2】【条件】如图，在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N ．【结论】①BE ＋DF ＝EF ； ② ABE ADF AEF S S S ∆∆∆+=；③AH ＝AB ；④2ECF C AB ∆=；⑤BM 2＋DN 2＝MN 2；⑥△ANM ∽△DNF ∽△BEM ∽△AEF ∽△BNA ∽△DAM （由AO ：AH ＝AO ：AB ＝1可得到△ANM 和△AEF 相似比为1⑦AMN MNFE S S ∆=四边形；⑧△AOM ∽△ADF ；△AON ∽△ABE ；⑨△AEN 为等腰直角三角形，∠AEN ＝45°，△AFM 为等腰直角三角形，∠AFM ＝45°；⑩A 、M 、F 、D 四点共圆，A 、B 、E 、N 四点共圆，M 、N 、F 、C 、E 五点共圆．H NM FEDCBA【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】BE ＋EF ＝DFFEDCB A【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】DF ＋EF ＝BEAB C DEF【例11】如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，射线EF 与线段AB 相交于点G ，与射线CA 相交于点Q .若AQ ＝12，BP ＝3，则PG ＝__________.Q PGD FECBA【解答】连接AE ，题目中有一线三等角模型和半角模型 设AC ＝x ，由△BPC ∽△CEQ 得BP CE ＝BE CQ ， 3/（22x ）＝22x /（x ＋12），解得x ＝12 设PG ＝y ，由AG 2＋BP 2＝PG 2得32＋(12－3－x )2＝x 2，解得x ＝5【例12】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 在AB 、AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 交于点G ，连接CG 与BD 交于点H ，若CG ＝1，则S 四边形BCDQ ＝__________．HGFED CB A【解答】34一线三等角模型【条件】∠EDF ＝∠B ＝∠C ，且DE ＝DF 【结论】△BDE ≌△CFDFEDCBA【例13】如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 边上的点，EB ＝3，GC ＝4，连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为__________.GA B CDEF【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH ≌△FGI 则BC ＝BF ＋CF ＝HF －BH ＋FI －CI ＝GI －BH ＋HE －CI ＝733IH F ED C B A G弦图模型【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段 【结论】新构成了同心的正方形LK JIHGFECDB AHG FEDCBA【例14】如图，点E 为正方形ABCD 边AB 上一点，点F 在DE 的延长线上，AF ＝AB ，AC 与FD 交于点G ，∠F AB 的平分线交FG 于点H ，过点D 作HA 的垂线交HA 的延长线于点I .若AH ＝3AI ，FH ＝22，则DG ＝__________．I H AGFEDCB【解答】1742BCI【例15】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AC 中点，连接BE ，作AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ．FE CGDBA【解答】过点C 作CH ⊥AC 交AG 的延长线于点H ，易证BC最短路径模型【两点之间线段最短】 1、将军饮马2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】【例16】如图，矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入口，现拟在货场内建一个收费站P ，在铁路线BC 段上建一个发货站台H ，设铺设公路AP 、DP 以及PH 之长度和为l ，求l 的最小值．QbA P【解答】3500600+，点线为最短．【例17】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值为______________________．D【解答】如图，取AB 中点P ，连接PH 、PD ，易证PH ≥PD -PH 即DH ≥15-．【例18】如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝24，E 是线段AB 的中点，F 是线段BC 上的动点，△BEF 沿直线EF 翻折到△EF B '，连接B D '，B D '最短为________________．E【解答】4【例19】如图1，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝AD ，EG ⊥AB 于G ，延长GE 、DC 交于点F ，连接AF ． （1）若BE ＝2EC ，AB ＝13，求AD 的长； （2）求证：EG ＝BG ＋FC ；（3）如图2，若AF ＝25，EF ＝2，点M 是线段AG 上一动点，连接ME ，将△GME 沿ME 翻折到△ME G '，连接G D '，试求当G D '取得最小值时GM 的长．图1 图2 备用图【解答】 （1）3（2）如图所示（3）当DG ′最小时D 、E 、G '三点共线H解得43173-=+'=MN N G GM 课后练习题【练习1】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，∠AEB ＝90°，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3、5，求三角形OBE 的面积．【解答】25【练习2】问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，∠MBN21∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，点M ，N 分别在DA ，CD 延长线，若∠MBN ＝12∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎么样的关量关系？写出你的猜想， 并给予证明。

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