一元二次方程(全章)学习资料

21．1 一元二次方程（1）

基础知识梳理

1.只含有 ___个未知数,并且未知数的最高次数是___ 的整式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是___________ ,其中ax 2是____________，_____是二次项系数；bx 是__________, _____是一次项系数；_____是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉。）

3.使方程左右两边_____的未知数的值是一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_______,

知识点1 一元二次方程的定义

【例1】判断下列方程是否为一元二次方程：

2222

2(1)10(3)23x 10x x

(5)(3)(3)x x -==+=-22

　ｘ (2)2(x -1)=3y

12

　ｘ－－ (4)

－=0 (6)9x =5－4x

知识点2 一元二次方程的一般形式

【例2】将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

练习1.：将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项：

① 52x -1=4x ② 42x =81 ③－2x 2+1=6x

④ 4x(x+2)=25

⑤(3x-2)(x+1)=8x-3

知识点3 一元二次方程的解

【例3】已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( ) A.1 B.－1 C.0 D.无法确定 练习：2.下面哪些数是方程x 2

+x-12=0的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。

3.你能想出下列方程的根吗？

(1) x 2

-36 = 0 (2) 4x 2

-9 = 0

知识点4 列一元二次方程

4.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

1)若两相邻偶数的积为528,设较小的一个偶数为x,则可以列方程____________．

2）如图,在宽为20 m,长30 m 的矩形场地上,修筑同样宽的两条道路,余下的部分作为耕地,要使耕地的面积为500 m 2,若设路宽为x m,则可得关于x 的一元二次方程的一般形式为____________．

3）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;

4）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；

【巩固练习】

5.在下列方程中，一元二次方程有_____________． ①2370x += ②20ax bx c ++= ③（x-2）（x+5）=2x -1 ④25

30x x

-

= 6．

2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程，则（ ）．

A ．p=1

B ．p>0

C ．p ≠0

D ．p 为任意实数 7.方程22x =3（x-6）化为一般式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别是（ ）． A ．2，3，-6 B ．2，-3，18 C ．2，-3，6 D ．2，3，6

8．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______，常数项为_________． 9.已知方程2

390x

x m -+=的一个根是1，则m

的值是

______.

10.若a是方程2x2－x－3＝0的一个解，则6a2－3a的值为( )

A.3

B.－3

C.9

D.－9

11.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,求a的值.

12．若关于x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．

13.小明在写作业时，一不小心把方程3x2－■x－5＝0的x前的数用墨水盖住了，但通过答案知道该方程的一个根是x＝5，请你帮助小明求出被墨水覆盖的数.

14.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.

(1)m为何值时,此方程是一元一次方程?

(2)m为何值时,此方程是一元二次方程?并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.

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15.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )

A.x2＋1

x2

＝0 B.ax2＋bx＋c＝0

C.(x－1)(x＋2)＝1

D.3x2－2xy－5y2＝0

16.方程2x2－6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )

A.6，2，9

B.2，－6，9

C.2，－6，－9

D.2，6，9

17.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900 m2的矩形绿地，长比宽多10 m，设绿地的宽为x m，根据题意可列方程为( ) A.x(x－10)＝900 B.x(x＋10)＝900

C.10(x＋10)＝900

D.2[x＋(x＋10)]＝900

18.若一元二次方程ax2－bx－2 015＝0有一根为x ＝－1，则a＋b＝________.

19.若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值.

21.2.1 直接开平方法解一元二次方程

你会解一元二次方程吗？比如：方程x2=25，你能

求出这个方程的解吗？

我们把这种求一元二次方程的解的方法叫做

_____________．

解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程

“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这

种思想称为“降次转化思想”．

【例1】计算：用直接开平方法解下列方程：

①x2=8 ② (2x-1)2=5 ③ 4m2-9=0 ④ x2+4x+4=1 ⑤ 3(x-1)2-9=108

练习：1.用直接开平方法解下列方程：

① x2-81=0 ② x2+6x+9=0

③（2-x）2＝4 ④16(x－2)2－25=0

用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤

(1)看：看是否符合x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的形

式；

(2)化：对于不符合x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)形式

的方程先化为符合的形式；

(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为

两个一元一次方程求解.

【巩固练习】

1．方程3x2+9=0的根为（）．

A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根

2．若8x2-16=0，则x的值是_________．

3．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次

方程的两根是________．

4．如果a、b

2-12b+36=0，

那么ab的值是_______．

5．用直接开平方法解下列方程：

①（2-x）2-81＝0 ② 2（1-x）2-18＝0

27 m

x-