运用排列组合求概率解答题
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排列组合求概率解答题
1
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零
件不是一等品的概率为
4
1,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、
丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为9
2
.
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.（04湖南19）
解：（Ⅰ）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.
由题设条件有⎪⎪
⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
=⋅=-⋅=-⋅⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅.92)()(,121))(1()(,41))(1()(.92)(,121)(,41)(C P A P C P B P B P A P C A P C B P B A P 即由①、③得)(8
9
1)(C P B P -=代入②得27[P(C)]2－51P(C)+22=0.
解得9
11
32)(或=C P （舍去）.将
3
2)(=
C P 分别代入③、②
可得
.
4
1
)(,31)(==B P A P 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是.
3
2
,41,31（Ⅱ）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，
则
.6
53143321))(1))((1))((1(1)(1)(=⋅⋅-
=----=-=C P B P A P D P D P 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.
6
5
2．（本小题满分12分）
为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P ）和所需费用如下表：
预防措施甲乙丙丁P 0.90.80.70.6
费用（万元）90
603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.（04湖北21）
解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.
方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97.
方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为
1—（1—0.8）(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976.综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.3．（本小题满分12分）
①②③
甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.（04福建18）解：（Ⅰ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则
P(A)=3
10
3
61426C C C C +=1202060+=32，P(B)=3
10
381
228C C C C +=1205656+=1514.答：甲、乙两人考试合格的概率分别为.
15
14
32和（Ⅱ）解法一、因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P(B A ⋅)=P(A )P(B )=（1－
32)(1－1514)=45
1.∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P=1－P(B A ⋅)=1－
451=45
44.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
45
44.解法二：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=P(A ·B )+P(A ·B)+P(A ·B)=P(A)P(B )+P(A )P(B)+P(A)P(B)=
32×151+31×1514+32×1514=45
44.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
45
44.4．（本小题满分12分）
设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。
（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.（04重庆18）
解：（I ）设A K 表示“第k 人命中目标”，k=1，2，3.
这里，A 1，A 2，A 3独立，且P （A 1）=0.7，P （A 2）=0.6，P （A 3）=0.5.
从而，至少有一人命中目标的概率为
94
.05.04.03.01)()()(1)(1322321=⨯⨯-=-=⋅⋅-A P A P A P A A A P 恰有两人命中目标的概率为
44
.05.06.03.05.04.07.05.06.07.0)()()()()()()()()()
()()()(321321321321321321321321321=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅A P A P A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A A P A A A P A A A A A A A A A P 答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44