高等数学微分课程课件
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高等数学(第三版)课件：微分
函数 f (x)在点 x0处可导；并且有 A f (x0 )
于是
d y xx0 f (x0)x
自变量的微分：通常把自变量的增量x 记为 d x ，称为自变量的微分.于是
d y xx0 f (x0)d x
可微函数：如果函数 f (在x) 区间 (a内,b每) 一 点都可微，则称该函数在 内(a可,b微) ，或称函 数 是在 f (x内) 的可(微a,函b)数．此时，
面积的微分为 d s sr r 2 rr.
二、微分的几何意义
过曲线 y f (x)上一 点 M (x, y) 作切线 MT，设 MT 的 倾角为 ，则 tan f (x)
当自变量 x 有增量x 时，
切线 MT 的纵坐标相应地有增 量
QP tan x f (x)x d y
因此，微分 d y f (x)x几何上表示:
例2 求函数 y x2 1当 x 1，x 0.01 时的微分
解 函数在任意点的微分d y (x2 1)x 2xx
于是
d y x1 2xx x1 0.02
x 0.01
x 0.01
例3 半径为 r 的圆的面积为s r 2当半
径增大r 时，求圆面积的增量与微分．
解 面积的增量
s (r r)2 r2 2 rr (r)2
x
d
x
1 sin2
x
d
x
d(csc x) csc x cot x d x
d(arcsin x) 1 d x d(arccos x) 1 d x
1 x2
1 x2
d(arctan
x)
1
1 x2
d
x
1 d(arccot x) 1 x2 d x
2．函数的和、差、积、商的微分运算法则
于是
d y xx0 f (x0)x
自变量的微分：通常把自变量的增量x 记为 d x ，称为自变量的微分.于是
d y xx0 f (x0)d x
可微函数：如果函数 f (在x) 区间 (a内,b每) 一 点都可微，则称该函数在 内(a可,b微) ，或称函 数 是在 f (x内) 的可(微a,函b)数．此时，
面积的微分为 d s sr r 2 rr.
二、微分的几何意义
过曲线 y f (x)上一 点 M (x, y) 作切线 MT，设 MT 的 倾角为 ，则 tan f (x)
当自变量 x 有增量x 时，
切线 MT 的纵坐标相应地有增 量
QP tan x f (x)x d y
因此，微分 d y f (x)x几何上表示:
例2 求函数 y x2 1当 x 1，x 0.01 时的微分
解 函数在任意点的微分d y (x2 1)x 2xx
于是
d y x1 2xx x1 0.02
x 0.01
x 0.01
例3 半径为 r 的圆的面积为s r 2当半
径增大r 时，求圆面积的增量与微分．
解 面积的增量
s (r r)2 r2 2 rr (r)2
x
d
x
1 sin2
x
d
x
d(csc x) csc x cot x d x
d(arcsin x) 1 d x d(arccos x) 1 d x
1 x2
1 x2
d(arctan
x)
1
1 x2
d
x
1 d(arccot x) 1 x2 d x
2．函数的和、差、积、商的微分运算法则
微分【高等数学PPT课件】
的微分, 记作
即
称为
定理1 函数
在点 可微的充要条件是 即
定理1 函数
在点 可微的充要条件是
在点 处可导, 且
即
证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
故
在点 的可导, 且
“充分性” 已知
在点 的可导, 则
即
说明:
当
时,
所以
时 与 是等价无穷小, 故当
很小时, 有近似公式
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
当 很小时,
记
自变量的微分, 记作 则有
从而
导数也叫作微商
二、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可分 则复合函数
分别可微 , 的微分为
微分形式不变
例1.
求
解:
例2. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.例如
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
定义1 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数
在点 可微, 而
设薄片边长为x面积为a则面积的增量为关于x的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时变到边长由其的微分定义1若函数在点的增量可表示为a为不依赖于x的常数则称函数而而称为记作即即定理1函数在点可微的充要条件是是即在点可微定理1函数证证
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
高等数学 全微分PPT课件
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
由微分定义 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y x y
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
偏导数连续
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八)
2. 选择题 函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
将 x , z 看成常数: u x w , w y z .
u y
( 2 , 2 ,1)
yz yz x ln x z y z 1 ( 2, 2,1) ( x ) ( 2, 2,1) y 4 ln 2
将 x , y 看成常数:u x w , w y z .
u y
第三节
2. 可微的条件
全微分
1. 全微分的定义
3. 连续、可导与可微的关系
4. 小结、作业
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
近似计算 估计误差
机动
目录
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一、全微分的定义
由微分定义 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y x y
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
偏导数连续
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思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八)
2. 选择题 函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
将 x , z 看成常数: u x w , w y z .
u y
( 2 , 2 ,1)
yz yz x ln x z y z 1 ( 2, 2,1) ( x ) ( 2, 2,1) y 4 ln 2
将 x , y 看成常数:u x w , w y z .
u y
第三节
2. 可微的条件
全微分
1. 全微分的定义
3. 连续、可导与可微的关系
4. 小结、作业
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
近似计算 估计误差
机动
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一、全微分的定义
高等数学微分方程总结ppt课件.pptx
y py qy 0,
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
高等数学下册-全微分课件
全微分的应用实例
01
近似计算
全微分可用于近似计算函数在某 一点的增量。
导数应用
02
03
物理应用
全微分与偏导数的关系可用于解 决实际问题中的优化问题，如最 值问题、极值问题等。
全微分在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、电磁场等物理 量的计算。
05
CATALOGUE
习题与解答
习题部分
题目1
计算函数$f(x, y) = x^2 + y^2$在点$(2, -3)$的全 微分。
率。
全微分与偏导数的关系式
全微分等于所有偏导数与自变量增量乘 积的和。
全微分公式：(dz = frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy + frac{partial f}{partial z} dz)
全微分公式适用于多元函数的可微 性，是微积分中的基本概念。
02
全微分具有连续性，即当函数在某点处可微时，其全
微分在该点连续。
03
全微分具有局部性，即全微分只在函数可微的点处有
意义，且与自变量的具体取值无关。
02
CATALOGUE
全微分的计算
函数的全微分
定义
函数在某点的全微分是该函数在该点的微分的 线性主部。
计算方法
根据定义，全微分等于所有偏导数与相应变量 的乘积之和。
题目2
已知函数$f(x, y) = sin(x + y)$，求在点$(1, frac{pi}{2})$的全微分。
题目3
设函数$f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$，求在点$(1, 1)$的全微分。
高等数学微积分第一章函数及其图形(共44张PPT)
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。
解: 要使函数有意义，必须x 0，且x2-4³0。
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
1
O
x
3．对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为
y=logax(a>0，a 1)． 对数函数的定义域是区间(0，+ )．
单调性：
若a>1，则logax单调增加； 若0<a<1，则logax单调减少．
性质见书P34
y y=ax
1
O
y=logxax
a>1
4．三角函数
U(a)。 设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，
即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。
其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
左（右）邻域、M领域的概念见书中第七页。
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a， b]
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
半开区间。 [a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx
高等数学课件第八章全微分
令
则
称为函数
在点 (x, y) 的全微分, 记作
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
处全增量
则称此函数在D 内可微.
(2) 偏导数连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
由微分定义 :
思考与练习
1. P72 题 1 (总习题八)
函数
在
可微的充分条件是( )
的某邻域内存在 ;
时是无穷小量 ;
时是无穷小量 .
2. 选择题
答案:
也可写作:
当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03
在点 (0,0) 可微 .
备用题
在点 (0,0) 连续且偏导数存在,
续,
证: 1)
因
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
但偏导数在点 (0,0) 不连
证明函数
所以
同理
极限不存在 ,
在点(0,0)不连续 ;
同理 ,
在点(0,0)也不连续.
2)
3)
4) 下面证明
可微 :
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
第八章
*二、全微分在数值计算中的应用
应用
第三节
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算
估计误差
本节内容:
一、全微分的定义
全微分
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
则
称为函数
在点 (x, y) 的全微分, 记作
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
处全增量
则称此函数在D 内可微.
(2) 偏导数连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
由微分定义 :
思考与练习
1. P72 题 1 (总习题八)
函数
在
可微的充分条件是( )
的某邻域内存在 ;
时是无穷小量 ;
时是无穷小量 .
2. 选择题
答案:
也可写作:
当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03
在点 (0,0) 可微 .
备用题
在点 (0,0) 连续且偏导数存在,
续,
证: 1)
因
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
但偏导数在点 (0,0) 不连
证明函数
所以
同理
极限不存在 ,
在点(0,0)不连续 ;
同理 ,
在点(0,0)也不连续.
2)
3)
4) 下面证明
可微 :
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
第八章
*二、全微分在数值计算中的应用
应用
第三节
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算
估计误差
本节内容:
一、全微分的定义
全微分
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
大学课件高等数学微分方程
rx
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.
《高数微积分》课件
了解级数的定义和基本性质，包括常数
收敛与发散的判别法
2
项级数、幂级数等，掌握级数的收敛与 发散的判别法。
学会使用比较判别法、比值判别法等方
法判定级数收敛与发散，深入理解级数
的性质。
3
微积分基本定理推广
研究级数与函数的关系，探讨级数的一 致收敛性和各种求和方法，推广微积分 基本定理。
应用
应用微分中值定理解决实际问题，例如最 值、图像的性态分析等。
第四章：不定积分
不定积分概念及基本性 质
学习不定积分的定义和基本 性质，深入理解原函数和不 定积分的关系，掌握常见的 积分公式。
常用换元法
揭开换元法的神秘面纱，学 会选择合适的换元方式，并 熟练使用换元法求定积分。
常用分块法
掌握常用的分块法，如分段 函数积分法、齐次性原则等， 解决含有可分段函数的积分 问题。
《高数微积分》PPT课件
探索高数微积分的奥秘，从函数与极限、导数与微分，到定积分、级数等多 个章节，深入浅出地解释概念与性质，并给出丰富的应用示例。
第一章：函数与极限
函数概念及性质
掌握函数的定义与特性，理解函数图像与性态间的关系，为后续章节打下坚实基础。
极限概念及性质
深入研究极限的概念，包括数列极限与函数极限，探索极限的运算法则和极限的存在性。
连续性及分类
学习连续函数的定义、判定与性质，深入探讨不连续点、间断点的分类和特性。
第二章：导数与微分
导数概念及计算方法
从定义出发，探究导数的求解方 法，如极限法、微分法、隐函数 求导法等，理解导数表示的物理 含义。
导数基本性质
研究导数的基本性质，如可导与 连续的关系、导数的四则运算、 导数与函数图像的关系等。
高等数学第七章第二节可分离变量微分方程课件.ppt
例如, 方程 (x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 2) 根据物理规律列方程 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
练习:
解 分离变量
ey ex C
即
(ex C)ey 1 0
(C<0 )
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
dM M ( 0)
解: 根据题意, 有 d t M t0 M 0 (初始条件)
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
1
y y2
dy
x 1 x2
dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
解: 分离变量得
dy y
1
Hale Waihona Puke x x2dx两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 2) 根据物理规律列方程 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
练习:
解 分离变量
ey ex C
即
(ex C)ey 1 0
(C<0 )
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
dM M ( 0)
解: 根据题意, 有 d t M t0 M 0 (初始条件)
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
1
y y2
dy
x 1 x2
dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
解: 分离变量得
dy y
1
Hale Waihona Puke x x2dx两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
高教社2024高等数学第五版教学课件-2.5 函数的微分
故 = ′ (0 ) ⋅ + ⋅ .
当 → 0时，第一项 ′ (0 ) ⋅ 是的线性函数，第二项 ⋅ 是当
→ 0时比高阶的无穷小量.所以就近似等于 ′ (0 ) ⋅ ,即
∆ ≈ ′ (0 ) ⋅ .
例5 当一块正方形金属薄片受到温度变化的影响时，其边长会发生
例1 已知函数 = 2 ，求当 = 1， = −0.01时的微分与增量.
解
= ′ |=1 ⋅ = 2|=1 ⋅ = 2 × 1 × (−0.01) = −0.02.
= (1 − 0.01)2 − 12 = −0.0199.
可见 ≈ .
2．微分的几何意义
利用公式∆ ≈ ′ (0 ) ⋅ ，得到金属薄片面积的改变量
∆ ≈ ′ 0 ⋅ = 20 × 0.1 = 2cm2 .
2
近似计算( + )
由 = (0 + ) − (0 )可得
0 + ∆ − (0 ) ≈ ′ (0 ) ⋅ ，
第二章 导数与微分
第五节 函数的微分
在实际问题中，我们经常要计算当自变量有一微小增
量 时，相应的函数的增量 的大小. 如果函数比较复
杂，那么计算函数的增量 = (0 + ) − (0 )也会很
复杂.能否找到一个既简单，又有较高精确度的计算近
似值的方法，就是我们即将要讨论的微分.
(13) ( ) =
( )′
=
1
1
1
1−
1
1+ 2
1
( ) =
1 + 2
′
2
− 2
(15) ( ) =
(12) ( ) = −
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
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• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
《高等数学微积分》课件
实际应用
极值问题在经济学、物理学等领域有广泛应 用，如成本最小化、利润最大化等。
曲线的长度
曲线长度公式
利用微积分计算曲线的长度。
参数方程
通过参数方程将曲线表示为参数的函数，便于计算长度。
实际应用
在工程、地理等领域，需要计算各种曲线的长度，如河流长度、 道路长度等。
面积和体积
面积和体积公式
利用微积分计算平面图形的面积和空间图形的体积。
结合律
微积分运算还具有结合律，即函数的微积分运算顺序不影响结果。
交换律
此外，微积分运算还满足交换律，即函数的微积分运算满足交换律 。
微积分运算的法则
分部积分法
分部积分法是微积分运算中的一 种重要方法，它将两个函数的乘 积的导数转化为两个函数的导数 的乘积，从而简化了计算过程。
换元法
换元法是微积分运算中的另一种 重要方法，它通过引入新的变量 来简化计算过程。
如何提高微积分的计算能力？
总结词：掌握计算方法 总结词：细心谨慎 总结词：多做练习题
详细描述：提高微积分的计算能力需要熟练掌握各种计 算方法，如极限的计算、导数的计算和积分的计算等。 掌握这些方法可以更快更准确地完成计算。
详细描述：在微积分的计算过程中，需要细心谨慎，避 免因粗心大意而导致的错误。仔细检查每一步的计算过 程，确保准确性。
微分
微分的定义与性质
微分是函数在某一点附近的小变化量，它描述了函数在该点附近的变化趋势。微分具有一些重要的性质，如线性性、 可加性和可乘性。
微分的计算方法
包括微分的四则运算法则、复合函数的微分法则、隐函数的微分法则等。这些方法可以帮助我们快速准确地计算函数 的微分。
微分的应用
微分在许多领域都有广泛的应用，如近似计算、误差估计、优化问题等。例如，在近似计算中，微分可 以用来估计函数在某一点的近似值；在优化问题中，微分可以用来寻找函数的极值点。
《高数课件9微分》课件
常数性质
对于常数c，(dc = 0)
幂函数的微分法则
对于幂函数(f(x) = x^n)，其微分为(df(x) = n cdot x^{n-1} cdot dx)
02
微分法则
链式法则
总结词
描述函数复合的微分法则
详细描述
如果函数u=f(x)在点x处可导，而 函数y=g(u)在点u处可导，则复 合函数y=g(f(x))在点x处可导，且 其导数为 (dy/dx=(dy/du)*(du/dx))。
03
微分是函数值的增量与自变量增量的比的极限，即 增量比的极限。
微分的性质
线性性质
(d(k cdot f(x)) = k cdot f'(x) cdot dx, d(f(x) + g(x)) = f'(x) cdot dx + g'(x) cdot dx)
链式法则
(d(f(g(x))) = f'(g(x)) cdot dg'(x))
导数描述了函数在某一点处的局部性 质，即函数在该点的切线斜率。
微分描述了函数在某一点处的变化量 ，可以用来估计函数值的小幅度变化 。
导数与微分的应用
导数在经济学中用于研究边际成本和边际收益等概念。
微分在近似计算中用于求函数的近似值，如泰勒级数展开。
导数与微分的联系
导数是微分的一种特殊情况，即当微 分值为0时，导数即为常数。
详细描述
通过微分近似计算，可以求出函数的切线斜率、极值，以及求解方程的近似解等。这些应用在实际问 题中具有广泛的应用价值。
04
导数与微分的关系导数与微分的定义要点一 Nhomakorabea导数
函数在某一点的变化率，即函数图像在该点的切线斜率。
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上式中的第一部分2x x 是 x 线性函数， 第二部分 (x)2 当 x 0 时 , 是比 x
高阶的无穷小量 , 于是 当 x 很小时 ,
可用第一部分近似代替S .
定义3.1（微分） 设有函数f : N ( x0 ) R.若存在一个关于x
的线性函数L(x) Ax( A R与x无关），使
f ( x0 x) f ( x0 ) Ax o(x), 则 称f在x0处可可微微，称Ax为f在x0处的微微分分 ， 记 作 df ( x0 ) Ax.
二阶与二阶以上的微分统称为高阶微分 n 阶可导与n阶可微等价。
高阶微分没有微分形式不变性，例如： 设有 函数y f (u)与u g( x)复合 的函数 f ( g( x)),则du g( x)dx
d 2 y d( f (u)du) [d( f (u)]du f (u)d(du) f (u)du2 f (u)d 2u.
cos 2x e13xd(1 3x) e13x ( sin2xd 2x)
e13x (3 cos 2 x 2 sin2 x)dx
1
(2) dy d tan x 3 ln(1 e x )
1
tan x 3d ln(1 e x )
1
3x 2 sec2 x 3 ln(1 e x )dx
可以推出一些常用的近似公式
sin x x, tan x x, ln(1 x) x,
e x 1 x,(1 x) 1 x.
例3 计算 1.05 的近似值.
解
1.05 1 0.05,
根据近似公式 n 1 x 1 1 x, n
取 x 0.05, n 2,
1.05 1 1 (0.05) 1.025 .
一 般d 2u 0， 故d 2 y f (u)du2 所 以u看成 自变量与 看成中 间变量 ，微分 是不 同的。所以 只有一阶微 分形式不 变性。
四 . 应用举例
当x 0时，y dy为x的高阶无穷小
所以y f (x0 x) f (x0 ) dy f (x0 )x
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x 在上公式 中取 x0 0 ,
d 2 f d 2 y f ( x)dx 2 此 时 称f在I上 二 阶 可 微 。
类似可定义三阶，四阶微分。
一 般 地 ， 设 函 数f：I R n阶 可 导 ， 则 定 义f 在I上 的n阶 微 分 为
d n f d (d n1 f ) f (n) ( x)dx n , 或 d n y d (d n1 y) f (n) ( x)dx n 此 时 称f在I上n阶 可 微 。
2
例 4 . 已知 ln 2，求ln (2.001).
解：
ln( x0
x) ln( x0 )
1 x0
x
x0 2, x 0.001
ln ( 2.001 ) ln 2 1 0.001 ln 2 0.0005 2
例 5. 在半径为1 cm的球的表面镀一层厚度 为0.01cm 的 铜 ， 估 计 要 用 多 少 克的 铜 （铜的密度为8.9g / cm3 )？( x0 )x QP
y f (x)
表示当曲线y f ( x)点 y
M(x0 , y0 ) 处的横坐标
T
P y dy
x有改变量x时, M点处 M dy
Q
切线纵坐标的改变量为dy 。
o x0 x0 x
x
二 . 微分法
1 .基本公式
dc 0
d x x 1dx
y的线性主部（当 x0 时）。
f 可微的条件是什么，A等于多少？
可微与可导的关系
定理3.1
函数 f 在 x0 处可微 f 在 x0 处可导 . 且df ( x0 ) f ( x0 )x
注 1. 定理表明可微与可导是两 个等价的概念 ，
且 dy f ( x)x.
2.自变量 x 的微分 dx x
3 . 复合函数的微分法则
设 y f (u) , u g(x) 都可导 ,则 复合函数
y f (g(x)) 的微分为
dy { f (g( x))}dx f (u)g( x)dx
因为 g( x)dx du , 所以 dy f (u)du 上式表明 ，无论 u 是自变量还是另一个变量
可 的微函数 ,微分形式 dy f (u)du 保持不变 。
第二节 微分
一 . 微分的概念
例1 一边长为 x 的正方形金属片受热均匀 膨胀 , 问此薄膜片的面积增加了多少 ?
设面积为
x
S S(x) , 则 S x2
(x)2
当自变量 x 有增量 x 时 , 面积 S 有增量
S S(x x) S(x)
x
x
( x x)2 x 2x x (x)2
1
tan x 3 e x dx 1 (1 e x )x 2
三 . 高阶微分
设 函 数y f ( x)在 区 间I上 一 阶 可 导 ， 则 它 的 微 分dy f ( x)dx在 区 间I上 是x的 函 数 。 因 此 ， 该 函 数 在I上 二 阶 可 导 ， 则 还 可继续求微分，得
d(dy) d( f ( x)dx) f ( x)(dx)2 称 为f在I上 的 二 阶 微 分 ， 记 作d 2 f或d 2 y 若 记(dx)2 为dx 2 ,则 有
darccos x 1 dx
1 x2
2. 四则运算法则 由函数微分的表达式 dy f ( x)dx 及导数的
四则运算法则可得到微分的四则运算法则：
d( f g) df dg d( f g) f dg g df
d(
f g
)
gdf
g2
fdg
( g 0 ) d(c f ) c(d f )
这一性质称为一阶微分的形式不变性。
例 2 . 求下列函数的微分 : (1) y e13 x cos 2 x
1
(2) y tan x 3 ln(1 e x )
解 ：（1）利用 复合函数的微分法则，得
dy d(e13x cos 2x) cos 2xd(e13x ) e13xd cos 2x
于是函数 f 的微分又记作 dy f ( x )dx
从而有
dy f ( x) dx
这就是说 ，函数的导数等于函数的微分
与自变量的微分之商 ;因此 ，导数也叫
做 “微商 ”。
3. f ( x) 在 x处可微 , 则 y dy o(x) f ( x)x o(x)
当x 很小时，y dy f ( x)x
解 : 球 体 体 积V 4 R3 , 镀 层 体 积 为
3 V V(R0 R) V(R0 ) dV V (R0 ) R
4 R02 R 4 3.14 12 0.01 0.13(cm3 )
所以需铜 m 0.13 8.9 1.157(g)
习题2.2 P.96-97 1.(1) 3.(2)(4). 4.(2)(3)(5)(8)(9). 5.(3) 9. 10. 11.
若 函 数 用y f ( x)表 示 ， 则 可 记 作
dy |x x0 Ax.
若f在 区 间I的
每 一 点 可 微 ， 则 称f在 区 间I上可微可 微 。
由 当定 A义0可时知且， x函趋数于y0=时f(x与)在xy0是处等的价微无分穷dy小=A，x 而 y-dy是比 x高阶的无穷小，此时称dy是
d a x a x ln adx, d e x e xdx
d
d
log a
x
1 x ln a
dx,d ln
sin x cos xdx, dcos
x
x
1 dx x
sin xdx
dtan x sec2 xdx,dcot x csc2 xdx,
darcsin x 1 dx,
1 x2