高中数学必修知识点推理与证明
高一数学必修一每章知识点
高一数学必修一每章知识点高中数学是学生在过渡到大学数学的重要阶段，必修一是高中数学的第一门课程，对学生打下数学基础非常关键。
本文将按照必修一每章的顺序，对各章的知识点进行论述，帮助学生理解和掌握这些知识。
第一章：函数及其图象函数是高中数学的重要概念，本章首先介绍了函数的定义和表示方法。
学生需要了解函数的自变量、因变量和函数值的概念，并能通过给定函数的定义域和值域，确定函数的取值范围。
接着，本章介绍了一次函数、二次函数和反比例函数的图象特征，以及如何根据图象来确定函数的性质和特点。
第二章：函数的运算与初等函数本章主要介绍了函数的基本运算，包括函数的加减、函数的乘法、函数的除法以及函数的复合等。
学生需要了解各种运算的定义和规则，并能通过这些运算来解决实际问题。
同时，本章还介绍了一些常见的初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，学生需要理解这些函数的性质和变化规律。
第三章：三角函数及其图象三角函数是高中数学中的重要概念，本章首先介绍了正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质。
学生需要了解这些函数的周期、定义域、值域等特点，并能够根据给定的函数关系绘制函数的图象。
此外，本章还介绍了三角函数的性质和变换规律，学生需要理解这些知识并能够灵活运用到解决实际问题中。
第四章：三角函数的应用三角函数广泛应用于几何、物理等领域，本章主要介绍了三角函数在三角关系解法、航空导航、测量等方面的应用。
学生需要学会根据实际问题中的几何图形或物理知识，建立相应的三角函数关系，并能够运用所学知识解决相关问题。
第五章：平面解析几何初步平面解析几何是高中数学的重要内容，本章首先介绍了平面直角坐标系的建立和基本性质。
学生需要学会读取和表示二维平面上的点，并能够通过坐标计算两点间的距离和斜率。
接着，本章介绍了直线和圆的方程，学生需要理解这些方程的含义，并能够根据方程解决相关问题。
第六章：多项式函数多项式函数是高中数学的重要分支，本章首先介绍了多项式函数的定义和性质。
高考数学必考知识点
高考数学必考知识点1.必修课程由5个模块组成：必修1：集合，函数概念与基本初等函数(指数函数，幂函数，对数函数) 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
以上所有的知识点是所有高中生必须掌握的，而且要懂得运用。
选修课程分为4个系列：系列1：2个模块选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2: 3个模块选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数选修2-3：计数原理、随机变量及其分布列、统计案例选修4-1：几何证明选讲选修4-4：坐标系与参数方程选修4-5：不等式选讲2.高考数学必考重难点及其考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数，圆锥曲线高考相关考点：1. 集合与逻辑：集合的逻辑与运算(一般出现在高考卷的第一道选择题)、简易逻辑、充要条件2. 函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数函数、对数函数、函数的应用3. 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求通项、求和4. 三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和差倍半公式、求值、化简、证明、三角函数的图像及其性质、应用5. 平面向量:初等运算、坐标运算、数量积及其应用6. 不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式(经常出现在大题的选做题里)、不等式的应用7. 直线与圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系8. 圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用9. 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量10. 排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用11. 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布12. 导数：导数的概念、求导、导数的应用13. 复数：复数的概念与运算高中数学易错知识点整理一.集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
【精品高中数学必修第二册】2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 Word版含答案
2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理[学习目标]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 1114115 (5)…………记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切的n∈N*，a n>0，且2S n＝a n＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a(n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 要点二 类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比00过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误答案B解析根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1234567891011 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个， 即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________． 答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析 由已知四个式子可分析规律：(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 3．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n ＝( )A ．2cosθ2nB ．2cosθ2n－1C ．2cos θ2n ＋1D ．2 sin θ2n答案 B解析 法一 ∵a 1＝2cos θ， a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…， 猜想a n ＝2cosθ2n －1.法二 验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心 答案 D解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________． 答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________． 答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”． 证明 设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥P A ，PC ⊥PB 得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13⎝⎛12P A ·PB cos α＋ 12PB ·⎭⎫PC cos β＋12PC ·P A cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎫cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB h ＝1 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C 解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 9．(2020·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 答案 1 000解析 由归纳推理可知：n 2和n 前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N (n ，k )＝k －22n 2－12n (k －4)，所以N (10,24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.10．(2020·陕西)观察下列等式： 12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律， 第n 个等式可为________． 答案12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)解析 分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )．【精品新版高中数学（2019）——提分卷】第 11 页 / 共 11 页 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。
22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--4.4数学归纳法
4.4*数学归纳法课标解读课标要求素养要求1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.1.逻辑推理——能用数学归纳法证明数列命题；2.数学运算——能利用数列的公式进行计算.自主学习·必备知识教材研习教材原句一般地，证明一个与①正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n=n0(n0∈N∗)时命题成立；（2）（归纳递推）以“当n=k(k∈N∗,k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当②n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.记P(n)是一个关于正整数n的命题，我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：（1）P(n0)为真；（2）若P(k)(k∈N∗,k≥k0)为真，则P(k+1)也为真.结论：P(n)为真.自主思考1.正整数n0一定是1吗？答案：提示不一定.n0可以是1，也可以是2或3等其他正整数.名师点睛1.数学归纳法证明命题的适用范围数学归纳法是科学的证明方法,利用数学归纳法可以证明一些关于正整数n的命题.2.数学归纳法证明命题的基本思想数学归纳法是完全归纳法的一种,是一种归纳—演绎的推理方法.数学归纳法的理论依据是“自然数归纳原理”：设A(n)表示关于自然数n的一个命题,如果满足条件：(i)A(1)正确;(ii)假设A(k)成立,推断A(k+1)也成立,那么A(n)对一切自然数n都成立.其中(i)是验证,是证明的基础;(ii)是假设A(k)成立,通过演绎推理,推证出A(k+1)也正确.即先验证使结论有意义的最小的正整数n0,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k(k∈N∗,k≥n0)时,命题成立.根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,…,命题都成立.3.再强调一点：完成第一步、第二步后,必须要下结论,其格式为：根据(1)（2）可知命题对任意n∈N∗都成立.所以用数学归纳法证明概括起来就是“两个步骤,一个结论”.互动探究·关键能力探究点一数学归纳法的概念自测自评1.用数学归纳法证明凸n边形的内角和为(n−2)π,第一步应该证明( )A.当n=1时命题成立B.当n=2时命题成立C.当n=3时命题成立D.当n=4时命题成立答案：C解析：边数最少的凸n边形是三角形,所以第一步应该证明当n=3时,三角形的内角和为π.2.用数学归纳法证明1+3+5+⋯+(2n−1)=n2(n∈N∗)成立.那么,“当n=1时,命题成立”是“当n∈N∗时,命题成立”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：“当n=1时,命题成立”不一定能推出“当n∈N∗时,命题成立”,“当n∈N∗时,命题成立”可以推出“当n=1时,命题成立”,所以“当n=1时,命题成立”是“当n∈N∗时,命题成立”的必要不充分条件,故选B.3.用数学归纳法证明−1+3−5+⋯+(−1)n(2n−1)=(−1)n n(n∈N∗)成立.假设当n= k时等式成立,那么证明当n=k+1时等式也成立,该等式为( )A.−1+3−5+⋯+(−1)k(2k−1)=(−1)k kB.−1+3−5+⋯+(−1)k+1(2k−1)=(−1)k+1(k+1)C.−1+3−5+⋯+(−1)k+1(2k+1)=(−1)k(k+1)D.−1+3−5+⋯+(−1)k+1(2k+1)=(−1)k+1(k+1)答案：D4.(★)用数学归纳法证明命题:“对于一切正整数n,等式12−22+32−42+⋯+(−1)n−1n2=(−1)n−1n(n+1)成立”.2第一步证明当n=1时, 成立;第二步证明从“假设n=k时等式成立”到“n= k+1时等式也成立”时,等式两边应同时加上.；; (−1)k(k+1)2答案：12=(−1)0×1×22成立”.解析：第一步证明“当n=1时,12=(−1)0×1×22第二步证明“假设n=k(k∈N∗)时等式12−22+32−42+⋯+(−1)k−1k2=(−1)k−1⋅k(k+1)成立,2则当n=k+1时,等式12−22+32+⋯+(−1)k−1⋅k2+(−1)k(k+1)2=(−1)k(k+1)(k+2)2也成立”,所以假设成立的等式两边应同时加上(−1)k(k+1)2.解题感悟理解数学归纳法证明命题的特点与方法步骤1.数学归纳法主要用于研究与证明与正整数有关的命题,但并不是所有与正整数有关的命题都能用数学归纳法证明.2.用数学归纳法证明命题时,n0是命题成立的第一个正整数，并不一定所有的第一个允许值n0都是1.3.用数学归纳法证明命题的过程可以概括为“两个步骤，一个结论”.探究点二用数学归纳法证明与正整数有关的等式精讲精练例用数学归纳法证明：2+4+6+⋯+2n=n2+n(n∈N∗).答案：证明（1）当n=1时,左边=2,右边=2,等式成立.（2）假设当n=k(k是任意正整数)时,等式成立,即2+4+6+⋯+2k=k2+k,则当n=k+1时,2+4+6+⋯+2k+2(k+1)=k2+k+2(k+1)=(k+1)2+(k+ 1),所以当n=k+1时,等式也成立.根据（1）（2）可知,等式2+4+6+⋯+2n=n2+n对任意n∈N∗都成立.变式下面关于用数学归纳法证明“2+4+6+⋯+2n=n2+n+1(n∈N∗)”的过程是否正确？说明理由.答案：证明假设n=k时等式2+4+6+⋯+2k=k2+k+1成立,那么当n=k+1时,2+4+6+⋯+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1.即当n=k+1时等式也成立.所以2+4+6+⋯+2n=n2+n+1对一切正整数n都成立.解析：不正确.用数学归纳法证明命题的两个步骤缺一不可,特别是第一步,往往看起来十分简单,但却是不可忽视的步骤.当n=1时,左边=2,右边=3,左边≠右边,事实上,等式对任何正整数n都不成立,即对一切正整数n,总有2+4+6+⋯+2n=n2+n<n2+n+1.解题感悟用数学归纳法证明等式的注意事项1.第一步是证明的基础,只有证明对第一个正整数n0等式成立,第二步证明才有意义.2.用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题的步骤中,证明的难点和重心是第二步,即“假设n =k 时命题成立,证明n =k +1 时命题也成立”.3.运用数学归纳法证明命题的注意事项：递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉. 迁移应用1.用数学归纳法证明：2+4+8+⋯+2n =2n+1−2(n ∈N ∗) . 答案：（1）当n =1 时,左边=2,右边=2,等式成立.（2）假设当n =k(k 是任意正整数)时,等式成立,即2+4+8+⋯+2k =2k+1−2 , 则当n =k +1 时,2+4+8+⋯+2k +2k+1=2k+1−2+2k+1=2⋅2k+1−2=2(k+1)+1−2 ,所以当n =k +1 时,等式也成立.根据（1）（2）可知,等式2+4+8+⋯+2n =2n+1−2 对任意n ∈N ∗ 都成立.探究点三 用数学归纳法证明与正整数有关的不等式精讲精练例已知数列{a n } 的前n 项和为S n , 若a n =√n(n +1) .利用数学归纳法证明：n(n+1)2＜S n ＜(n+1)22.答案：先证明S n ＜(n+1)22：（1）当n =1 时,S 1=a 1=√2＜(1+1)22=2, 不等式成立.（2）假设当n =k(k ∈N ∗) 时, S k ＜(k+1)22成立,则当n =k +1 时,S k+1=S k +√(k +1)(k +2)＜(k+1)22+√(k +1)(k +2)＜(k+1)22+(k+1)+(k+2)2=(k+2)22.所以当n =k +1 时,S k+1＜[(k+1)+1]22也成立.由（1）和（2）可知,原不等式对一切n ∈N ∗ 均成立. 同理,可以证明n(n+1)2＜S n ,所以n(n+1)2＜S n ＜(n+1)22.解题感悟关于证明不等式的放缩技巧1.本题在由n =k 到n =k +1 的推证过程中应用了“放缩”的技巧,使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.2.常见的不等式的放缩技巧：n<√n(n+1)<n+1；1 (n+1)2<1n(n+1)<1n2.迁移应用1.用数学归纳法证明：1n+1+1n+2+⋯.+13n＞56(n≥2,n∈N∗).答案：（1）当n=2时,左边=13+14+15+16＞56,不等式成立.（2）假设当n=k(k≥2,k∈N∗)时不等式成立,即1k+1+1k+2+⋯+13k＞56,则当n=k+1时,1 (k+1)+1+1(k+1)+2+⋯.+13k+13k+1+13k+2+13(k+1)=1k+1+1k+2+⋯+13k+(13k+1+13k+2+13k+3−1k+1)＞56+(13k+1+13k+2+13k+3−1k+1)＞56+(3×13k+3−1k+1)=56,所以当n=k+1时不等式也成立.由（1）和（2）可知,原不等式对一切n≥2,n∈N∗均成立.探究点四用数学归纳法证明整除问题精讲精练例用数学归纳法证明：11n+1+122n−1能被133整除(n∈N∗).答案：①当n=1时,11n+1+122n−1=112+12=133能被133整除,所以n=1时结论成立.②假设当n=k(k∈N∗)时,11k+1+122k−1能被133整除,那么当n=k+1时,11k+2+122k+1=11k+1×11+122k−1×122=11k+1×11+122k−1×11−122k−1×11+122k−1×122=11×(11k+1+122k−1)+133×122k−1.由归纳假设可知11×(11k+1+122k−1)+133×122k−1能被133整除,即11k+2+122k+1能被133整除,所以n=k+1时结论也成立.综上,由①②得,n∈N∗时11n+1+122n−1能被133整除.解题感悟证明整除问题的方法技巧——“凑项”证明整除问题的关键是“凑项”,即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,将n=k+1时的式子凑出n=k时的式子,从而通过归纳假设使问题获证.迁移应用1.用数学归纳法证明：42n+1+3n+2能被13整除,其中n∈N∗.答案：①当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除.②假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除,则当n=k+1时,42(k+1)+1+3k+3=42k+1⋅42+3k+2⋅3+42k+1⋅3−42k+1⋅3=42k+1⋅13+3⋅(42k+1+ 3k+2),∵42k+1⋅13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除,∴当n=k+1时结论也成立.由①②得n∈N∗时,42n+1+3n+2能被13整除.评价检测·素养提升课堂检测1.用数学归纳法证明“1−12+13−14+⋯.+12n−1−12n=1n+1+1n+2+⋯+12n”时,由n=k的假设证明n=k+1时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( )A.1k+1+⋯+12k+12k+1B.1k+1+⋯+12k+12k+1+12k+2C.1k+2+⋯+12k+12k+1D.1k+2+⋯+12k+1+12k+2答案：D解析：由所证明的等式,当n=k+1时,右边=1(k+1)+1+⋯+12(k+1)−1+12(k+1)=1k+2+⋯.+12k+1+12k+2,故选D．2.对于不等式√n2+n≤n+1(n∈N∗),某同学的证明过程如下：（1）当n=1时,√12+1≤1+1,不等式成立.（2）假设n=k(k∈N∗)时,不等式成立,即√k2+k≤k+1,则当n=k+1时,√(k+1)2+(k+1)=√k2+3k+2＜√(k2+3k+2)+(k+2)=√(k+2)2=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立.下列关于证明过程的叙述正确的是( )A.过程全都正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确答案：D解析：当n=1时,对不等式的验证正确,归纳假设也正确,但从n=k到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设,而是通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选D.3.（2021山东枣庄高二检测）用数学归纳法证明(n+1)(n+2)⋅(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×….×(2n−1)(n∈N∗)的过程中,当n从k到k+1时,等式左边应增乘的式子是( )A.2k+1B.(2k+1)(2k+2)C.(2k+1)(2k+2)k+1D.2k+2k+1答案：C4.在用数学归纳法证明等式1+2+3+⋯+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N∗)时,第一步验证n=1时,左边式子为.答案：1+2+3+4解析：当n=1时,n+3=4,故左边应为1+2+3+4.5.用数学归纳法证明：n∈N∗时,11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1.答案：①当n=1时,左边=11×3,右边=12×1+1=13,左边=右边,所以等式成立．②假设n=k(k∈N∗)时,等式成立,即有11×3+13×5+⋯+1(2k−1)(2k+1)=k2k+1,则当n=k+1时,1 1×3+13×5+⋯+1(2k−1)(2k+1)+1(2k+1)(2k+3)=k2k+1+1(2k+1)(2k+3)=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1.所以n=k+1时,等式也成立.由①②可知,对一切n∈N∗等式都成立.素养演练数学运算与逻辑推理——归纳、猜想与证明1.（2020全国课标Ⅲ,17,12分）设数列{a n}满足a1=3,a n+1=3a n−4n. （1）计算a2,a3,猜想{a n}的通项公式并加以证明;（2）求数列{2n a n}的前n项和S n .答案：（1）由a1=3,a n+1=3a n−4n得a2=3a1−4=9−4=5,a3=3a2−8=15−8= 7,由数列{a n}的前三项可猜想数列{a n}是以3为首项,2为公差的等差数列,即a n=2n+1. 证明如下：当n=1时,a1=3成立;假设n=k时,a k=2k+1成立,那么n=k+1时,a k+1=3a k−4k=3(2k+1)−4k=2k+3=2(k+1)+1,即当n= k+1时也成立.则对任意的n∈N∗,都有a n=2n+1成立.（2）由（1）可知,a n⋅2n=(2n+1)⋅2n,则S n=3×2+5×22+7×23+⋯+(2n−1)⋅2n−1+(2n+1)⋅2n,①2S n=3×22+5×23+7×24+⋯+(2n−1)⋅2n+(2n+1)⋅2n+1,②由①−②得−S n=6+2×(22+23+⋯+2n)−(2n+1)⋅2n+1=6+2×22×(1−2n−1)1−2−(2n+1)⋅2n+1=(1−2n)⋅2n+1−2,即S n=(2n−1)⋅2n+1+2.素养探究：归纳—猜想—证明的思想方法：数学归纳法作为证明与正整数有关的命题的一种重要方法,常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本推理证明的思想方法中.一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论;另一方面,要能用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性,形成“归纳—猜想—证明”的思想方法,这是发生发展新结论更重要的方法途径.迁移应用1.已知数列{a n}的前n项和为S n,其中a n=S nn(2n−1),且a1=13.（1）求a2,a3;（2）猜想数列{a n}的通项公式,并证明.答案：（1）由题意得a2=S22×(2×2−1)=a1+a26,又a1=13,解得a2=115,类似地求得a3=135.（2）由a1=11×3,a2=13×5,a3=15×7,…,猜想a n=1(2n−1)(2n+1).证明：①当n=1时,由(1)可知等式成立;②假设当n=k时等式成立,即a k=1(2k−1)(2k+1),那么当n=k+1时,由题设a n=S nn(2n−1),得a k=S kk(2k−1),a k+1=S k+1(k+1)(2k+1),所以S k=k(2k−1)a k=k(2k−1)(2k−1)(2k+1)=k2k+1,S k+1=(k+1)(2k+1)a k+1,a k+1=S k+1−S k=(k+1)(2k+1)a k+1−k2k+1,因此,k(2k+3)a k+1=k2k+1,所以a k+1=1(2k+1)(2k+3)=1[2(k+1)−1][2(k+1)+1],即当n=k+1时等式成立.由①②可知等式对任何n∈N∗都成立,即a n=1(2n−1)(2n+1).课时评价作业基础达标练1.用数学归纳法证明1+a+a2+⋯+a n+1=1−a n+21−a(n∈N∗,a≠1),在验证n=1时,式子左边为( )A.1B.1+a+a2C.1+aD.1+a+a2+a3答案：B2.观察等式：1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10= 72,……,则第n个式子是( )A.n+(n+1)+(n+2)+⋯+(2n−1)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+⋯+(2n−1)=(2n−1)2C.n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n−2)=(2n−1)2D.n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n−1)=(2n−1)2答案：C3.(2020浙江绍兴高二检测)利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯.+12n−1＜f(n)(n≥2,n∈N∗)的过程中,由n=k变到n=k+1时,式子左边增加了( ) A.1项B.k项C.2k−1项D.2k项答案：D4.用数学归纳法证明n2≤2n(n为自然数且n≥4)时,第一步应( )A.证明当n=0时,n2＜2nB.证明当n=5时,n2＜2nC.证明当n =4 时,n 2=2n ,当n =5时,n 2＜2nD.证明当n =5 时,n 2＜2n ,当n =6时,n 2＜2n 答案：C5.(多选)在用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n(n −3) 条时,下列说法正确的是( ) A.第一步检验第一个值n 0 等于1 B.第一步检验第一个值n 0 等于3C.第二步假设凸k 边形的对角线为12k(k −3) 条,证明凸k +1 边形的对角线为12k(k −2)(k ≥3) 条D.第二步假设凸k 边形的对角线为12k(k −3) 条,证明凸k +1 边形的对角线为12(k +1)(k −2)(k ≥3) 条 答案：B ; D6.(2020湖南长沙明德中学高二检测)已知f(n)=(2n +7)⋅3n +9 ,若存在自然数m ,使得对任意n ∈N ∗ ,都能使m 整除f(n) ,则m 的最大值为( ) A.30B.26 C.36D.6 答案：C7.用数学归纳法证明不等式∑1i 3n i=1<2n−1n(n ≥2,n ∈N) 时,第一步应验证的不等式为 . 答案：1+123＜328.(2020河南南阳高二月考)用数学归纳法证明“当n ∈N ∗ 时,1+2+22+23+⋯+25n−1 是31的倍数”时,当n =1 时,原式为 ,从n =k 到n =k +1 时需增添的项是 . 答案：1+2+22+23+24 ;; 25k +25k+1+25k+2+25k+3+25k+49.已知平面上有n(n ∈N ∗,n ≥3) 个点,其中任何三点都不共线,过这些点中任意两点作直线,设这样的直线共有f(n) 条,则f(5)= ,f(n +1)=f(n)+ . 答案：10; n解析：由题意得当n =k 时,有f(k) 条直线.当n =k +1 时,增加的第k +1 个点与原k 个点共连成k 条直线,即增加k 条直线,所以f(k +1)=f(k)+k ,即f(n +1)=f(n)+n , 又f(2)=1 ,所以f(3)=3,f(4)=6,f(5)=10 .10.如图,第n 个图形是由正n +2 边形“扩展”而来(n =1,2,3,…) ,则第n −2(n ≥3,n ∈N ∗) 个图形中共有 个顶点.答案：n(n +1)解析：当n =1 时,顶点共有3+3×3=3×4=12(个), n =2 时,顶点共有4+4×4=4×5=20(个), n =3 时,顶点共有5+5×5=5×6=30(个), n =4 时,顶点共有6+6×6=6×7=42(个),故第n 个图形共有顶点(n +2)+(n +2)(n +2)=(n +2)(n +3) 个, 所以第n −2 个图形共有顶点n(n +1) 个.素养提升练11.设f(x) 是定义在正整数集上的函数,且f(x) 满足：当f(k)≥k 2 成立时,总可推出f(k +1)≥(k +1)2 成立.那么,下列命题恒成立的是( ) A.若f(3)≥9 成立,则当k ≥1 时,均有f(k)≥k 2 成立 B.若f(5)≥25 成立,则当k ≤5 时,均有f(k)≥k 2 成立 C.若f(7)＜49 成立,则当k ≥8 时,均有f(k)＞k 2 成立 D.若f(4)=25 成立,则当k ≥4 时,均有f(k)≥k 2 成立 答案：D解析：对于选项A,若f(3)≥9 ,则当k ≥3 时,均有f(k)≥k 2 成立,故选项A 不符合题意. 对于选项B,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故选项B 不符合题意. 对于选项C,没有说明f(8)≥82 ,故选项C 不符合题意.对于选项D,f(4)=25≥42 ,由题设的递推关系,可知结论成立,故选D. 12.用数学归纳法证明2n −12n +1＞nn+1对任意的n ≥k(n,k ∈N ∗) 都成立,则k 的最小值为( ) A.1B.2C.3D.4 答案：C解析：当n =1 时,左边=2−12+1=13,右边=11+1=12,13＜12,不等式不成立;当n =2 时,左边=22−122+1=35, 右边=22+1=23,35＜23, 不等式不成立; 当n =3 时,左边=23−123+1=79, 右边=33+1=34=68,79＞68, 不等式成立. 若对任意n ≥k(n,k ∈N ∗) 都成立,则k 的最小值为3.13.(2020四川宜宾宜宾珙县中学高二月考)若数列{a n } 满足a 1=1 ,a n+1 =2a n +1 (n =1,2,3,…),则a 5= ,归纳猜想a n = . 答案：31; 2n −1解析：因为a n+1=2a n +1(n =1,2,3,…),且a 1=1 .所以a 2=2×1+1=3,a 3=2×3+1=7,a 4=2×7+1=15,a 5=2×15+1=31 . 猜想a n =2n −1 用数学归纳法证明： ①当n =1 时,显然猜想成立;②假设n =k 时,a k =2k −1, 则a k+1=2a k +1=2×(2k −1)+1=2k+1−1, 故n =k +1 时,猜想也成立.综上,对所有正整数n ,都有a n =2n −1 .14.用数学归纳法证明：n 3+(n +1)3+(n +2)3 能被9整除(n ∈N ∗) . 答案：①当n =1 时,13+23+33=36 能被9整除,所以结论成立; ②假设当n =k(k ∈N ∗) 时,结论成立, 即k 3+(k +1)3+(k +2)3 能被9整除, 则当n =k +1 时,(k +1)3+(k +2)3+(k +3)3=[k 3+(k +1)3+(k +2)3]+[(k +3)3−k 3] =[k 3+(k +1)3+(k +2)3]+9k 2+27k +27 =[k 3+(k +1)3+(k +2)3]+9(k 2+3k +3)．因为k 3+(k +1)3+(k +2)3 能被9整除,9(k 2+3k+3) 也能被9整除,所以(k +1)3+(k +2)3+(k +3)3 也能被9整除,即n =k +1 时,结论也成立． 由①②知,命题对任何n ∈N ∗ 都成立．15.是否存在常数a 、b 、c, 使得等式1×22+2×32+3×42+⋯+ n(n +1)2=n(n+1)12(an 2+bn +c) 对任何n ∈N ∗ 都成立？并证明你的结论.答案：假设存在常数a 、b 、c 使题中式子对任何n ∈N ∗ 都成立,则当n =1,2,3 时该式也成立,则{1×22=16(a +b +c),1×22+2×32=12(4a +2b +c),1×22+2×32+3×42=9a +3b +c,解方程组,得a =3,b =11,c =10 .下面用数学归纳法证明等式 1×22+2×32+3×42+⋯+n(n +1)2=n(n+1)12⋅(3n 2+11n +10) 对任何n ∈N ∗ 都成立.①当n =1 时,等式显然成立.②假设n=k时,等式成立.即1×22+2×32+3×42+⋯+k(k+1)2=k(k+1)12(3k2+11k+10),那么当n=k+1时,1×22+2×32+3×42+⋯+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2=k(k+1)12(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=k+112[k(3k2+11k+10)+12(k+2)2]=(k+1)(k+2)12(3k2+17k+24)=(k+1)[(k+1)+1]12[3(k+1)2+11(k+1)+10].即当n=k+1时,等式也成立.综上所述,存在常数a=3,b=11,c=10,使得等式1×22+2×32+3×42+⋯+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)对任何n∈N∗都成立.创新拓展练16.已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=(1+cos2nπ2)a n+sin2nπ2，n=1,2,3，….（1）求a3,a4以及数列{a n}的通项公式;（2）设b n=a2n−1a2n ,S n=b1+b2+⋯+b n.证明：当n≥6时,|S n−2|＜1n.解析：命题分析本题综合考查数列的通项公式与前n项和、三角函数、不等式以及数学归纳法等知识,考查数学运算和逻辑推理素养.答题要领（1）先求出a3,a4,再根据数列的递推公式证明数列的奇数项为等差数列,偶数项为等比数列,并求通项公式.（2）先利用错位相减法求数列的前n项和,再利用数学归纳法证明与正整数有关的不等式. 答案：（1）因为a1=1,a2=2,所以a3=(1+cos2π2)a1+sin2π2=a1+1=2,a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a2=4.一般地,当n=2k−1(k∈N∗)时,a2k+1=[1+cos2(2k−1)π2]a2k−1+sin2(2k−1)π2=a2k−1+1,即a2k+1−a2k−1=1.所以数列{a2k−1}是首项为1,公差为1的等差数列, 因此a2k−1=k.当n=2 k(k∈N∗)时,a2k+2=(1+cos22kπ2)a2k+sin22kπ2=2a2k,即a2k+2a2k=2.所以数列{a2 k}是首项为2,公比为2的等比数列, 因此a2 k=2k故数列{a n}的通项公式为（2）由（1）知,b n=a2n−1a2n =n2n,所以S n=12+222+323+⋯+n2n,①1 2S n=122+223+324+⋯+n2n+1,②①-②得,12S n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12[1−(12)n]1−12−n2n+1=1−12n−n2n+1,所以S n=2−12n−1−n2n=2−n+22n.故要证明当n≥6时,|S n−2|＜1n 成立,只需证明当n≥6时,n(n+2)2n＜1成立.下面用数学归纳法证明：(i)当n=6时,6×(6+2)26=4864=34＜1成立;(ii)假设当n=k(k≥6)时不等式成立,即k(k+2)2k＜1. 则当n=k+1时,(k+1)(k+3)2k+1=k(k+2)2k×(k+1)(k+3)2k(k+2)＜(k+1)(k+3)(k+2)⋅2k＜1.由(i)(ii)得当n≥6时,n(n+2)2n＜1.即当n≥6时,|S n−2|＜1n.方法感悟解答数列综合问题的方法技巧：1.根据条件求出数列的前几项,呈现数列的项的规律,如果数列的奇数项和偶数项分别由等差数列和等比数列构成,那么数列的通项公式要通过奇偶讨论表示为分段函数的形式.2.如果要证明的不等式与正整数有关,通常运用数学归纳法进行证明,注意数学归纳法证明命题的三个步骤.。
人教高中数学必修一A版《充分条件与必要条件》集合与常用逻辑用语教学说课复习课件
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1．记集合 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若 p 是 q 的充分不必要条件，
则集合 A，B 的关系是什么？若 p 是 q 的必要不充分条件呢？
提示：若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A B，若 p 是 q 的必要不充分 条件，则 B A.
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2．记集合 M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若 M⊆N，则 p 是 q 的什么条 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件
(2)若 p⇒q，但 q p，则称 p 是 q 的充分不必要条件．
(3)若 q⇒p，但 p q，则称 p 是 q 的必要不充分条件．
(4)若 p q，且 q p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
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思考 2：(1)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命
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充要条件的探求与证明
【例 3】 试证：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根的
充要条件是 ac＜0.
[思路点拨] 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．
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[证明] ①必要性：因为方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根，所
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高中数学一轮复习课件：第七章 不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)7-4
2．数列 2,5,11,20，x,47，…中的 x 等于( ) A．28 B．32 C．33 D．27
[解析] 从第 2 项起每一项与前一项的差构成公差为 3 的等 差数列，所以 x＝20＋12＝32.故选 B.
[答案] B
3．(选修 1－2P30 练习 T1 改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式 是( )
[对点训练] 1．(2019·山东日照模拟)对于实数 x，[x]表示不超过 x 的最大 整数，观察下列等式： [ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3； [ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[ 7 ]＋[ 8 ]＝10； [ 9 ]＋[ 10 ]＋[ 11 ]＋[ 12 ]＋[ 13 ]＋[ 14 ]＋[ 15 ] ＝21； … 按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为________．
主干知识梳理 Z
主干梳理 精要归纳
1．合情推理
[知识梳理]
2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论， 我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到 特殊 的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知 1 个白圈分形为 2
个白圈 1 个黑圈，1 个黑圈分形为 1 个白圈 2 个黑圈，把题图(2)
中的树形图的第 1 行记为(1,0)，第 2 行记为(2,1)，第 3 行记为(5,4)，
第 4 行的白圈数为 2×5＋4＝14，黑圈数为 5＋2×4＝13，所以第
高中数学必修课教案函数的极限与连续的推理与证明
高中数学必修课教案函数的极限与连续的推理与证明高中数学必修课教案：函数的极限与连续的推理与证明导言：函数是数学中一个重要的概念，它可以描述不同变量之间的关系。
在高中数学必修课程中，学生需要学习函数的极限与连续，这是进一步理解函数性质与应用的基础。
本教案将以极限与连续为核心内容，通过推理与证明的方式展示相关知识点。
通过本教案的学习，学生将掌握函数的极限定义、极限的运算规律以及连续函数的特性和证明方法。
一、函数的极限1. 极限的引入极限是描述函数在某一点附近的取值趋势的概念。
通过接近或逼近的方式，我们可以研究函数在某一点的表现。
2. 极限的定义函数f(x)在x=a处的极限为L，表示为lim[x→a] f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在δ>0，对于所有满足0<|x-a|<δ的x值，都有|f(x)-L|<ε。
3. 极限的性质（1）极限唯一性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，则极限唯一。
（2）四则运算性质：设lim[x→a] f(x) = A，lim[x→a] g(x) = B，则(i) lim[x→a] [f(x)±g(x)] = A±B(ii) lim[x→a] [f(x)·g(x)] = A·B(iii) lim[x→a] [f(x)/g(x)] = A/B (其中B≠0)4.无穷小与无穷大（1）无穷小：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限是0，则称f(x)为x→a时的一个无穷小。
（2）无穷大：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限不存在或者无穷大，则称f(x)为x→a时的一个无穷大。
二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义函数f(x)在点x=a处连续，表示为f(a)=lim[x→a] f(x)存在且等于f(a)。
2. 连续函数的性质（1）基本初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数在其定义域内都是连续函数。
高中数学必修一知识点总结归纳
高中数学必修一知识点总结归纳引言高中数学必修一通常涵盖了代数、函数、几何等多个基础数学领域，为学生进一步学习数学打下坚实的基础。
一、代数基础1.1 集合论概念：集合的表示、子集、并集、交集、补集。
1.2 逻辑用语逻辑连接词：与、或、非、蕴含、当且仅当。
1.3 不等式解法：一元一次不等式、一元二次不等式的解法。
二、函数2.1 函数的概念定义：函数的定义、定义域、值域。
2.2 函数的性质性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。
2.3 反函数概念：反函数的定义、性质及求法。
2.4 复合函数运算：复合函数的定义、运算法则。
2.5 函数图像绘制：函数图像的绘制方法和变换规律。
三、解析几何3.1 坐标系统介绍：直角坐标系、极坐标系的基本概念。
3.2 直线的方程形式：直线的点斜式、斜截式、一般式。
3.3 圆的方程形式：圆的标准方程、一般方程。
3.4 圆锥曲线类型：椭圆、双曲线、抛物线的方程和性质。
四、算法初步4.1 算法的概念定义：算法的定义、特征。
4.2 程序框图绘制：程序框图的绘制方法，如顺序结构、条件结构、循环结构。
4.3 算法案例分析：常见算法问题的解决步骤，如排序、查找。
五、统计5.1 随机事件与概率概念：随机事件的定义、概率的计算方法。
5.2 概率的性质总结：概率的基本性质，如非负性、规范性、加法法则。
5.3 统计初步指标：均值、中位数、众数、方差、标准差的计算与意义。
5.4 统计图类型：条形图、直方图、饼图的绘制与解读。
六、数列6.1 等差数列公式：等差数列的通项公式、求和公式。
6.2 等比数列公式：等比数列的通项公式、求和公式。
6.3 数列的极限概念：数列极限的定义、无穷等比数列的极限。
6.4 数列的应用案例：数列在实际问题中的应用，如分期付款、人口增长模型。
七、推理与证明7.1 推理的概念定义：推理的定义、日常生活中的推理应用。
7.2 证明的方法步骤：直接证明、间接证明、反证法的一般步骤。
7.3 证明的策略技巧：构造法、归纳法、演绎法在证明中的应用。
高中数学必考知识点归纳整理
高中数学必考知识点归纳整理高中数学必考知识点必修一：1、集合与函数的概念 (部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解)必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。
文科：选修1—1、1—2选修1--1：重点：高考占30分1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)理科：选修2—1、2—2、2—3选修2--1：1、逻辑用语2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数选修2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律，无技巧。
初高中数学知识点
初中部分七年级上册第一章有理数1.1从自然数到有理数1.2数轴1.3绝对值1.4有理数的大小比较第二章有理数的运算2.1 有理数的加法2.2 有理数的减法2.3 有理数的乘法2.4 有理数的除法2.5 有理数的乘方2.6 有理数的混合运算2.7 近似数第三章实数3.1 平方根3.2 实数3.3 立方根3.4 实数的运算第四章代数式4.1 用字母表示数4.2 代数式4.3 代数式的值4.4 整式4.5 合并同类项4.6 整式的加减第五章一元一次方程5.1 一元一次方程5.2 等式的基本性质5.3 一元一次方程的解法5.4 一元一次方程的应用第六章图形的初步认识6.1 几何图形6.2 线段、射线和直线6.3 线段的长短比较6.4 线段的和差6.5角与角的度量6.6 角的大小比较6.7角的和差6.8 余角和补角6.9 直线的相交七年级下册第一章平行线1.1平行线1.2同位角、内错角、同旁内角1.3平行线的判定1.4平行线的性质1.5图形的平移第二章二元一次方程组2.1 二元一次方程2.2 二元一次方程组2.3 解二元一次方程组2.4 二元一次方程组的应用2.5 三元一次方程组及其解法第三章整式的乘除3.1 同底数幂的乘法3.2 单项式的乘法3.3 多项式的乘法3.4乘法公式3.5 整式的化简3.6 同底数幂的除法3.7 整式的除法第四章因式分解4.1 因式分解4.2 提取公因式4.3 用乘法公式分解因式第五章分式5.1 分式5.2 分式的基本性质5.3 分式的乘除5.4 分式的加减5.5 分式方程第六章数据与统计图表6.1 数据的收集与整理6.2 条形统计图和折线统计图6.3 扇形统计图6.4 频数与频率6.5 频数直方图八年级上册第一章三角形的初步认识1.1认识三角形1.2定义与命题1.3证明1.4全等三角形1.5三角形全等的判定1.6尺规作图第二章特殊三角形2.1 图形的轴对称2.2 等腰三角形2.3 等腰三角形的性质定理2.4 等腰三角形的判定定理2.5 逆命题和逆定理2.6 直角三角形2.7 探索勾股定理2.8 直角三角形全等的判定第三章一元一次不等式3.1 认识不等式3.2 不等式的基本性质3.3 一元一次不等式3.4 一元一次不等式组第四章图形与坐标4.1 探索确定位置的方法4.2 平面直角坐标系4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移第五章一次函数5.1 常量和变量5.2 函数5.3 一次函数5.4 一次函数的图像5.5 一次函数的简单应用八年级下册第一章二次根式1.1二次根式1.2二次根式的性质1.3二次根式的运算第二章一元二次方程2.1 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.3 一元二次方程的应用2.4 一元二次方程根与系数的关系第三章数据分析初步3.1 平均数3.2 中位数和众数3.3 方差和标准差第四章平行四边形4.1 多边形4.2 平行四边形及其性质4.3 中心对称4.4 平行四边形的判定定理4.5 三角形的中位线4.6 反证法第五章特殊平行四边形5.1 矩形5.2 菱形5.3 正方形第六章反比例函数6.1 反比例函数6.2 反比例函数的图像和性质6.3 反比例函数的应用九年级上册第一章二次函数1.1二次函数1.2二次函数的图像1.3二次函数的性质1.4二次函数的应用第二章简单事件的概率2.1事件的可能性2.2 简单事件的概率2.3 用频率估计概率2.4 概率的简单应用第三章圆的基本性质3.1 圆3.2 图形的旋转3.3 垂径定理3.4 圆心角3.5 圆周角3.6 圆内接四边形3.7 正多边形3.8 弧长及扇形的面积第四章相似三角形4.1 比例线段4.2 由平行线截得的比例线段4.3 相似三角形4.4 两个三角形相似的判定4.5 相似三角形的性质及其应用4.6 相似多边形4.7 图形的位似九年级下册第一章解直角三角形1.1锐角三角函数1.2锐角三角函数的计算1.3解直角三角形第二章直线与圆的位置关系2.1 直线与圆的位置关系2.2 切线长定理2.3 三角形的内切圆第三章投影与三视图3.1 投影3.2 简单几何体的三视图3.3 由三视图描述几何体3.4 简单几何体的表面展开图高中部分必修一第一章集合与函数概念第二章基本初等函数第三章函数的应用必修四第一章三角函数第二章平面向量第三章三角恒等变化必修五第一章解三角形第二章数列第三章不等式必修二第一章空间几何体第二章点、直线、平面的位置关系第三章直线与方程第四章圆与方程选修1-1第一章常用逻辑用语第二章圆锥曲线与方程第三章导数及其应用选修1-2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修2-1第一章常用逻辑用语第二章圆锥曲线与方程第三章空间向量与立体几何选修2-2第一章导数及其应用第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入选修2-3第一章计数原理第二章随机变量及其分布第三章统计案例。
高中数学选择性必修二 第4章 §4 4数学归纳法
证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立， 即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2
2.数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式 改写如下： 条件：(1) P(n0) 为真；(2)若 P(k) 为真，则 P(k＋1)也为真. 结论： P(n) 为真. 3. 数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当 n＝n0 时结论成立， 即命题 P(n0)为真 ；第二步是证明一种 递推 关系，实际上是要证明一 个新命题： 若P(k)为真，则P(k＋1)也为真 .只要将这两步交替使用，就 有 P(n0) 真，P(n0＋1) 真…… P(k) 真， P(k＋1) 真……，从而完成证明.
12345
3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是 A.假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确
√B.假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确
C.假设n＝k时正确，再推n＝k＋1正确 D.假设n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)
解析 因为n为正奇数，根据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n ＝2k＋1正确.
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一1、集合的基本关系ﻫ·２、集合·第一章集合(考点的难度不是很大，是高考的必考点)ﻫ·的含义与表示ﻫ·３、集合的基本运算（重点)（2课时）1、生活中的变量关系··第二章函数ﻫ·4、二次函数性质的再研究（重点)3、函数的单调性(重点)ﻫ· 2、对函数的进一步认识ﻫ··５、简单的幂函数(５课时）ﻫ·第三章指数函数和对数函数·2、指数概念的扩充·１、正整数指数函数ﻫ· 3、指数函数（重点)· 4、对数· 5、对数函数（重点)· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）（3课时）ﻫ·第四章函数应用ﻫ·１、函数与方程ﻫ·2、实际问题的函数建模（２课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步ﻫ·1、简单几何体ﻫ2、三视图(重点)·· 3、直观图(１课时)ﻫ·４、空间图形的基本关系与公理（重点）ﻫ·５、平行关系（重点)ﻫ·６、7、简单几何体的面积和体积(重点)·垂直关系(重点)ﻫ· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点)(4课时)·第二章解析几何初步·3、空间直角坐标系· 1、直线与直线的方程ﻫ·２、圆与圆的方程ﻫ（4课时）北师大版高中数学必修三1、统计活动：随机选取数字··第一章统计ﻫ· 2、从普查到抽样ﻫ·3、抽样方法6、用样本估计总体·4、统计图表ﻫ·5、数据的数字特征（重点）ﻫ·· 7、统计活动:结婚年龄的变化· 8、相关性ﻫ·９、最小二乘法（３课时)ﻫ·第二章算法初步· 1、算法的基本思想·3、排序问题（重点)· 2、算法的基本结构及设计（重点)ﻫ·4、几种基本语句(2课时）1、随机事件的概率(重点)··第三章概率ﻫ· 2、古典概型(重点)·３、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（４课时）ﻫ北师大版高中数学必修四·第一章三角函数·１、周期现象与周期函数ﻫ·2、角的概念的推广ﻫ·3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数(重点)· 6、正切函数(重点)·７、函数的图像(重点）·８、同角三角函数的基本关系(重点、难点)(５课时）1、从位移、速度、力到向量ﻫ·２、从位移的合成到向量的加法（重ﻫ·第二章平面向量ﻫ·3、从速度的倍数到数乘向量（重点)·点）ﻫ· 4、平面向量的坐标(重点)·５、从力做的功到向量的数量积（重点）ﻫ·6、平面向量数量积的坐标表示(重点)·７、向量应用举例（难点）(5课时）ﻫ·第三章三角恒等变形(重点）·2、二倍角的正弦、余弦和正切·１、两角和与差的三角函数ﻫ·3、半角的三角函数·４、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用(难点）（4课时）北师大版高中数学必修五·第一章数列ﻫ·1、数列的概念· 2、数列的函数特性4、等差数列的前n项和（重点）· 3、等差数列（重点）ﻫ·· 5、等比数列(重点)·６、等比数列的前n项和(重点）ﻫ·7、数列在日常经济生活中的应用·3、2、正弦定理ﻫ1、正弦定理与余弦定理正弦定理ﻫ（6课时)ﻫ·第二章解三角形(重点）ﻫ··4、三角形中的几何计算（难点)ﻫ·５、解三角形的实际应用举例·余弦定理ﻫ(6课时）ﻫ·第三章不等式·1、不等关系ﻫ· 1.1、不等式关系· 1.2、比较大小（重点)ﻫ2，一元二次不等式（重点)ﻫ·２．1、一元二次不等式的解法（重点）ﻫ·２.２、一元二次不等式的应用【4课时】· 3、基本不等式（重点）3.1 基本不等式· 3.2、基本不等式与最大（小）值４线性规划（重点）·４.1、二元一次不等式(组）与平面区（重点)ﻫ·４.2、简单线性规划（重点）· 4.3、简单线性规划的应用(重点、难点) 【3课时】选修1-1第一章常用逻辑用语１命题2.2必要条件2充分条件与必要条件（重点）ﻫ2.1充分条件ﻫ2.３充要条件3全称量词与存在量词ﻫ3．１全称量词与全称命题ﻫ3．2存在量词与特称命题ﻫ3．3全称命题与特称命题的否定ﻫ4逻辑联结词“且’’‘‘或…‘非(重点)４．1逻辑联结词“且ﻫ4.２逻辑联结词“或4.3逻辑联结词‘‘非【1．5课时】ﻫ第二章圆锥曲线与方程（重点）ﻫ1椭圆ﻫ1．1椭圆及其标准方程1．2椭圆的简单性质ﻫ２抛物线2．1抛物线及其标准方程2．2抛物线的简单性质3 曲线3.2双曲线的简单性质3．1双曲线及其标准方程ﻫ【８课时】第三章变化率与导数（重点)ﻫ1变化的快慢与变化率ﻫ2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念ﻫ2.2导数的几何意义３计算导数(重点）ﻫ4导数的四则运算法则(重点）ﻫ4．１导数的加法与减法法则4.2导数的4.2导数的乘法与除法法则ﻫ第四章导数应用(重点)ﻫ4．１导数的加法与减法法则ﻫ乘法与除法法则【6课时】ﻫ选修１－2第一章统计案例1 回归分析ﻫ1．1 回归分析ﻫ１.2相关系数ﻫ1.３可线性化的回归分析ﻫ2独立性检验(重点、重点）2．１条件概率与独立事件２．2独立性检验2.３独立性检验的基本思想ﻫ２.4独立性检验的应用（重点、难点）【４课时】第二章框图（重点，高考必考点)1 流程图ﻫ2结构图【1．5课时】第三章推理与证明１归纳与类比ﻫ１．１归纳推理１.2类比推理ﻫ２数学证明3综合法与分析法3.1综合法3.2分析法4反证法【２课时】1.2复1.1数的概念的扩充ﻫﻫ第四章数系的扩充与复数的引入ﻫ1数系的扩充与复数的引入ﻫ数的有关概念（重点)ﻫ2复数的四则运算(重点、高考必考点)2.1复数的加法与减法ﻫ2．2复数的乘法与除法【1．5课时】ﻫ选修2－1ﻫ第一章常用逻辑用语1命题2充分条件与必要条件ﻫ３全称量词与存在量词４逻辑联结词“且”“或”“非”&…&…（重点）【1.5课时】第二章空间向量与立体几何(重点,在解决立体几何方面有很大的帮助）1 从平面向量到空间向量2 空间向量的运算ﻫ3向量的坐标表示和空间向量基本定理４用向量讨论垂直与平行ﻫ5夹角的计算ﻫ６距离的计算【６课时】ﻫ第三章圆锥曲线与方程(重点、高考大题必考知识点）1 椭圆ﻫ１．１椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质2 抛物线2.1抛物线及其标准方程3.1双曲线及其标准方程ﻫ３．２双曲线的简单性质2.2抛物线的简单性质ﻫ３双曲线ﻫﻫ4 曲线与方程４．1 曲线与方程４.2 圆锥曲线的共同特征ﻫ4．3 直线与圆锥曲线的交点【8课时】选修2-２第一章推理与证明(重点）ﻫ1归纳与类比ﻫ2综合法与分析法ﻫ3反证法4数学归纳法【2课时】ﻫ第二章变化率与导数（重点）ﻫ1变化的快慢与变化率ﻫ２导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2．2导数的几何意义ﻫ3计算导数ﻫ4导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则ﻫ4.２导数的乘法与除法法则5简单复合函数的求导法则【２课时】第三章导数应用（重点)１函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性ﻫ１.2函数的极值（重、难点)ﻫ2导数在实际问题中的应用ﻫ2．1实际问题中导数的意义２.2最大、最小值问题（重、难点）【5课时】第四章定积分１定积分的概念1.１定积分背景-面积和路程问题（重点)ﻫ1.2定积分２微积分基本定理3定积分的简单应用(重点)３.１平面图形的面积3.２简单几何体的体积【4课时】ﻫ第五章数系的扩充与复数的引入（重点)1 数系的扩充与复数的引入1．1数的概念的扩展１.2复数的有关概念2复数的四则运算ﻫ2.１复数的加法与减法2．2复数的乘法与除法【2课时】选修２-3第一章计数原理(重点）1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理1.2分步乘法计数原理ﻫ2．排列（重点、难点)ﻫ2.1排列的原理2.２排列数公式3．组合3.1 组合及组合数公式3.2 组合数的两个性质ﻫ４.简单计数问题ﻫ5.二项式定理(重、难点）5.2二项式系数的性质5.1二项式定理ﻫ【8课时】第二章概率（重点)ﻫ1．离散型随机变量及其分布列２.超几何分布ﻫ３.条件概率与独立事件４．二项分布５.离散型随机变量均值与方差5.1 离散型随机变量均值与方差（一）5．2离散型随机变量均值与方差（二)6．正态分布6．1 连续型随机变量6.2正态分布【4课时】ﻫ第三章统计案例1.1回归分析1.回归分析ﻫ1.2 相关系数1．3 可线性化的回归分析2.1独立性检验2.独立性检验（重点）ﻫ2．2 独立性检验的基本思想2.3 独立性检验的应用【2课时】选修3－1ﻫ第一章数学发展概述第二章数与符号ﻫ第三章几何学发展史ﻫ第四章数学史上的丰碑－－-－微积分第五章无限第六章数学名题赏析ﻫ选修3-2选修3-3ﻫ第一章球面的基本性质１.直线、平面与球面的我诶制关系ﻫ2．球面直线与球面距离ﻫ第二章球面上的三角形1.球面三角形2.球面直线与球面距离ﻫ3.球面三角形的边角关系4.球面三角形的面积【2课时】ﻫ第三章欧拉公式与非欧几何1.球面上的欧拉公式2.简单多面体的欧拉公式3．欧氏几何与球面几何的比较ﻫ选修4-1第一章直线、多边形、圆(重点）1.全等与相似ﻫ2.圆与直线ﻫ３.圆与四边形【2课时】第二章圆锥曲线ﻫ1．截面欣赏ﻫ2．直线与球、平面与球的位置关系3．柱面与平面的截面ﻫ4.平面截圆锥面5．圆锥曲线的几何性质【3课时】ﻫ选修4－２ﻫ第一章平面向量与二阶方阵ﻫ1平面向量及向量的运算２向量的坐标表示及直线的向量方程ﻫ3二阶方阵与平面向量的乘法ﻫ第二章几何变换与矩阵１几种特殊的矩阵变换2 矩阵变换的性质ﻫ第三章变换的合成与矩阵乘法ﻫ1变换的合成与矩阵乘法２矩阵乘法的性质ﻫ第四章逆变换与逆矩阵1 逆变换与逆矩阵2 初等变换与逆矩阵ﻫ3二阶行列式与逆矩阵4 可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量ﻫ1矩阵变换的特征值与特征向量ﻫ2特征向量在生态模型中的简单应用ﻫ选修4－4ﻫ第一章坐标系1 平面直角坐标系2 极坐标系ﻫ３柱坐标系和球坐标系ﻫ第二章参数方程ﻫ1参数方程的概念2 直线和圆锥曲线的参数方程ﻫ３参数方程化成普通方程4平摆线和渐开线ﻫ选修4-5第一章不等关系与基本不等式（重点）l不等式的性质ﻫ2含有绝对值的不等式（难点)3平均值不等式ﻫ４不等式的证明５不等式的应用第二章几个重妻的不等式1柯西不等式ﻫ2排序不等式ﻫ３数学归纳法与贝努利不等式选修4-6第一章带余除法与书的进位制１、整除与带余除法ﻫ2、二进制ﻫ第二章可约性１、素数与合数2、最大公因数与辗转相除法ﻫ３、算术基本定理及其应用ﻫ4、不定方程第三章同余ﻫ1、同余及其应用ﻫ2、欧拉定理还在更新。
高中数学新教材必修第一册知识点总结
高中数学新教材必修第一册知识点总结第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.2.集合的三个特性：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.3.集合中元素的三个特性：（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的. （3）无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.4.集合的符号表示通常用大写的字母A，B，C，…表示集合，用小写的字母a，b，c表示集合中的元素.5.集合的相等当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合A与集合B相等记作A B=.6.元素与集合之间的关系（1）属于：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a A∈，读作a属于A.（2）不属于:如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A∉，读作a不属于A.7.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程21x=的实数根组成的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式10x->的解组成的集合.8.常用数集及其记法数学数学数学 2（1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作*N或N.+（2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作N.（3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z.（4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q.（5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作R.9.集合表示的方法（1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.（2）列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程(1)(2)0-+=的所有实数根”组成的集合表示为x x-.{1,2}（3）描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为{()}x p x，其数学数学数学 3中x是集合中的元素代表，()p x则表示集合中的元素所具有的共同特征.例如，不等式73x-<的解集可以表示为∈-<=∈<.x R x x R x{73}{10}1.2集合间的基本关系1. 子集一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记为A B或（B A）读作集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）.集合A是集合B的子集可用Venn图表示如下：数学数学数学 4数学 数学 数学 5或关于子集有下面的两个性质： （1）反身性：A A ⊆；（2）传递性：如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆. 2.真子集如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A是集合B 的真子集，记为A B ⊂≠（或B A ⊃≠）， 读作集合A 真包含于集合B （或集合B 真包含集合A ）. 集合A 是集合B 的真子集可用Venn 图表示如右.数学 数学 数学 63.集合的相等如果集合A B ⊆，且B A ⊆，此时集合A 与集合B 的元素是一样的，我们就称集合A 与集合B 相等，记为 A B =.集合A 与集合B 相等可用Venn 图表示如右. 4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即 （1）A ∅⊆（A 是任意一个集合）； （2）A ⊂∅≠（A ≠∅）. 1.3集合的运算 1.并集自然语言：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集，记作数学 数学 数学 7A B ⋃（读作“A 并B ”）. 符号语言： {,}A B x x A x B ⋃=∈∈或. 图形语言：理解：x A ∈或x B ∈包括三种情况：x A ∈且x B ∉；x B ∈且x A ∉；x A ∈且x B ∈. 并集的性质： （1）A B B A ⋃=⋃；(5) A =BA (4)B B（3）A (2)A 与B 没有有公共元素(1)A 与B 有公共元素，相互不包含（2）A A A⋃=；（3）A A⋃∅=；（4）()()⋃⋃=⋃⋃；A B C A B C（5）A A B⊆⋃；⊆⋃，B A B（6）A B B A B⋃=⇔⊆.2.交集自然语言：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B⋂（读作“A交B”）.符号语言：{,}⋂=∈∈A B x x A x B且.图形语言：数学数学数学8数学 数学 数学 9理解：当A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，只能说A 与B 的交集是∅. 交集的性质： （1）A B B A ⋂=⋂； （2）A A A ⋂=；BA(5)A=B,A B=A=B(4)B A,A B=B(3)A B,A B=AA B（2）A 与B 没有公共元素,A B=（1）A 与B 有公共元素，且互不包含数学 数学10（3）A ⋂∅=∅；（4）()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂； （5）A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆； （6）A B A A B ⋂=⇔⊆. 3.补集（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U . （2）补集的概念自然语言：对于一个集合A ，由属于全集U 且不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记为UA .符号语言： {,}UA x x U x A =∈∉且图形语言：数学 数学 数学 11补集的性质 （1）()U A A ⋂=∅； （2）()U A A U ⋃=； （3）()()()U U UA B A B ⋃=⋂； （4）()()()U U UA B A B ⋂=⋃.1.4充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q⇒，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.在生活中，q是p成立的必要条件也可以说成是: q⌝⇒p⌝（q⌝表示q不成立），其实，这与p q⇒是等价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法.如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作/p q⇒.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.2.充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q则p”均是真命题，即既有p q⇒，又有q p⇒就记作⇔.p q此时，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p 的充要条件.概括地说，如果p q⇔，那么p与q互为充要条件.“p是q的充要条件”,也说成“p等价于q”或“q当且仅当p”等.1.5全称量词与存在量词数学数学数学121.全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x，有()p x成立”可用符号简记为p x，x M，()读作“对任意x属于M，有()p x成立”.（2）存在量词短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，使()p x成立”可用符号简记为p x，∃∈，()x M数学数学数学13数学 数学 数学 14读作“存在M 中的元素x ，使()p x 成立”. 2.全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 全称量词命题：x M ，()p x ，它的否定：x M ∃∈，()p x ⌝.全称量词命题的否定是存在量词命题. （2）存在量词命题的否定 存在量词命题：x M ∃∈，()p x ，它的否定：x M ，()p x ⌝.存在量词命题的否定是全称量词命题.第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质1.比较原理>⇔->；a b a b=⇔-=；a b a ba b a b<⇔-<.2.等式的基本性质性质1 如果a b=，那么b a=；性质2 如果a b=，b c=，那么a c=；性质3 如果a b=，那么a c b c±=±；性质4如果a b=，那么ac bc=；性质5 如果a b=，0=.c≠，那么a bc c数学数学数学15数学 数学 数学 163.不等式的基本性质性质1 如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >.即a b b a >⇔<性质2 如果a b >，b c >，那么a c >.即a b >，b c >a c ⇒>.性质3 如果a b >，那么a c b c +=+. 由性质3可得，()()a b c a b b c b a c b +>⇒++->+-⇒>-.这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质4 如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0c <，那么ac bc <. 性质5 如果a b >，c d >，那么a c b d +>+. 性质6 如果0a b >>，0c d >>，那么ac bd >. 性质7 如果0a b >>，那么n n a b >（n N ∈，2n ≥）.数学 数学 数学 172.2 基本不等式 1.重要不等式,a b R ∀∈，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立. 2.基本不等式 如果0a >，0b >，则2a b+≤， 当且仅当a b =时，等号成立.2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.与基本不等式相关的不等式 （1）当,a b R ∈时，有数学 数学 数学 1822a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立. （2）当0a >，0b >时，有211a b≤+当且仅当a b =时，等号成立. （3）当,a b R ∈时，有22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立. 4.利用基本不等式求最值 已知0x >，0y >，那么（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值；数学 数学 数学 19（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S .2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1.函数的概念设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的的数y和它对应，那么就称:f A B→为从集合A到集合B的一个函数，记作数学数学数学20数学 数学 数学 21()y f x =,x A ∈.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{|(})f x x A ∈叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集. 2.区间：设a ,b 是两个实数，而且a b <，我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：[,)a b , (,]a b . 这里的实数a ，b 都叫做相应区间的端点.数学 数学 数学 22（4）实数集R 可以表示为(,)-∞+∞,“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞” 读作“正无穷大”.满足x a ≥，x a >，x b ≤，x b <的实数x 的集合，用区间分别表示为[,)a +∞ ，(,)a +∞ (,]b -∞，(,)b -∞.这些区间的几何表示如下表所示.注意：（1）“∞”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数.（2）以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.3.函数的三要素（1）定义域；（2）对应关系；（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.4.函数的相等如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.5.函数的表示方法（1）解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.数学数学数学23数学 数学 数学 24解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系. （2）图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系. 说明：将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值0()f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x .当自变量取遍函数的定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象.函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在y 轴上的射影构成的集合就是函数的值域.函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等. （3）列表法通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的.数学 数学 数学 256.分段函数（1）分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如 （1）,0,(),0x x f x x x x -<⎧==⎨≥⎩ ， （2）22,0,(),0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩. 说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.数学26（2）分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分 段函数的图象. 3.2 函数的基本性质函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性. 1.单调性与最大（小）值 （1）增函数设函数()f x 的定义域为I ,区间D ⊆I .如果∀1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.数学 数学 数学 27（2）减函数设函数()f x 的定义域为I ，区间D ⊆I.如果∀1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x >,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. （3）单调性、单调区间、单调函数数学 数学 数学 28如果函数()y f x =在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数()y f x =在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数. （4）证明函数()f x 在区间D 上单调递增或单调递减，基本步骤如下： ①设值：设12,x x D ∈，且 12x x <； ②作差：12()()f x f x - ；③变形：对12()()f x f x -变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底； ④判断符号，得出函数的单调性. （5）函数的最大值与最小值 ①最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足:（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =. 那么我们称M 是函数()y f x =的最大值.数学 数学 数学 29②最小值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足:（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥； （2）存在0x I ∈，使得0()f x m =. 那么我们称m 是函数()y f x =的最小值.2.奇偶性 （1）偶函数设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数.关于偶函数有下面的结论：①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件； ②偶函数的图象关于y 轴对称.反之也成立；③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反. （2）奇函数设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数.数学30关于奇函数有下面的结论：①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件； ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；③如果奇函数当0x =时有意义，那么(0)0f =.即当0x =有意义时，奇函数的图象过坐标原点； ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同. 3.3幂函数 1.幂函数的概念一般地，形如y x α=（R α∈，α为常数）的函数称为幂函数.对于幂函数，我们只研究1α=，2，3，12，1-时的图象与性质.2.五个幂函数的图象和性质x 12xx -1数学数学数学31数学 数学 数学 323.4函数的应用（一） 略.第四章 指数函数与对数函数4.1 指数1.n 次方根与分数指数幂 （1）方根如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n N ∈.①当n 是奇数时，正数的n 次方根是正数，负数的n 方根是负数.这时，a 的n表示. ②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n表示，负的n次方根用符号. 正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成0a >）. 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是00=.根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 关于根式有下面两个等式：n a =；数学 数学 数学33,,a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数..2.分数指数幂（1）正分数指数幂m na =0a >，m ，*n N ∈，1n >）.0的正分数指数幂等于0. （2）负分数指数幂1=m nmnaa-=0a >，m ，*n N ∈，1n >）.0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质①r s r s a a a +=（0a >，r ，s Q ∈）； ②()r s rs a a =（0a >，r ，s Q ∈）；③()r r r ab a b =（0a >，0b >，r Q ∈）.3. 无理数指数幂及其运算性质 （1）无理数指数幂的概念当x 是无理数时，x a 是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当x 的不足近似值m 和过剩近似值n 逐渐逼近x 时，m a 和n a 都趋向于同一个数，这个数就是x a .所以无理数指数幂x a （0a >，x 是无理数）是一个确定的数.（2）实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质.①r s r s=（0a a a+∈）；a>，r，s R②()r s rs=（0a a∈）；a>，r，s R③()r r r=（0ab a b∈）.a>，0b>，r R4.2 指数函数1.指数函数的概念函数x=（0y aa≠）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.a>，且12.指数函数的图象和性质一般地，指数函数x=（0y aa>，且1a≠）的图象和性质如下表所示：数学数学数学344.3 对数1.对数的概念数学数学数学35数学 数学 数学 36一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 当0a >，且1a ≠时，log N x a a N x =⇔=. 2. 两个重要的对数（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N .（2）自然对数：以e （e 是无理数， 2.71828e =…）为底的对数叫做自然对数，并把log e N 记作ln N . 3. 关于对数的几个结论 （1）负数和0没有对数； （2）log 10a =； （3）log 1a a =. 4. 对数的运算如果0a >，且1a ≠，0M >，0N >，那么数学 数学 数学 37（1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log log a a a MM N N=-；（3）log log n a a M n M =（n R ∈）.5. 换底公式log log log c a cbb a=（0a >，且1a ≠，0b >，0c >，1c ≠）.4.4 对数函数 1. 对数函数的概念一般地，函数log a y x =（0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0,)+∞. 2.对数函数的图象和性质数学数学数学38数学 数学 数学 393. 反函数指数函数x y a =（0a >，且1a ≠）与对数函数log a y x =（0a >，且1a ≠）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称. 4. 不同函数增长的差异对于对数函数log a y x =（1a >）、一次函数y kx =（0k >）、指数函数x y b =（1b >）来说，尽管它们在(0,)+∞上都是增函数，但是随着x 的增大，它们增长的速度是不相同的.其中对数函数log a y x =（1a >）的增长数学 数学 数学 40速度越来越慢；一次函数y kx =（0k >）增长的速度始终不变；指数函数x y b =（1b >）增长的速度越来越快.总之来说，不管a （1a >），k （0k >），b （1b >）的大小关系如何，x y b =（1b >）的增长速度最终都会大大超过y kx =（0k >）的增长速度；y kx =（0k >）的增长速度最终都会大大超过log a y x =（1a >）的增长速度.因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，恒有log x a b kx x >>.4.5 函数的应用（二） 1. 函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数解，也是函数()y f x =的图象与x 轴的公共点的横坐标.所以方程()0f x =有实数解⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有公共点.数学 数学 数学 41（2）函数零点存在定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的解. 2. 用二分法求方程的近似解对于在区间[,]a b 上图象连续不断且()()0f a f b <的函数()y f x =，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精确度ε，用二分法求函数()y f x =零点0x 的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点0x 的初始区间[,]a b ，验证()()0f a f b <. （2）求区间(,)a b 的中点c .（3）计算()f c ，并进一步确定零点所在的区间： ①若()0f c =（此时0x c =），则c 就是函数的零点； ②若()()0f a f c <（此时0(,)x a c ∈），则令b c =； ③若()()0f c f b <（此时0(,)x c b ∈），则令a c =.（4）判断是否达到精确度ε：若a bε-<，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）. 由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.3. 函数模型的应用用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：Array这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.数学数学数学42第五章三角函数5.1 任意角和弧度制1.任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射线的端点叫做角的顶点，射线在起始位置和终止位置分别叫做角的始边和终边. （2）正角、负角、零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角. ABO数学数学数学43数学 数学 数学 44（3）象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限. （4）终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅︒∈即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； 终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍； 象限角的表示： 第一象限角的集合{}|36090360,k k k Z αα⋅︒<<︒+⋅︒∈第二象限角的集合数学 数学 数学 45{}|90360180360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第三象限角的集合{}|180360270360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第四象限角的集合{}|270360360360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要，它们的表示如下表.2. 弧度制（1）弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么lα=.r正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.（2）弧度与角度的换算数学数学数学46数学 数学 数学47（3）关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为α（rad ），半径为R ，弧长为l ，则有①l R α=； ②212S R α=； ③12S lR =.5.2 三角函数的概念 1. 三角函数的概念 （1）三角函数的定义一般地，任意给定一个角R α∈，它的终边OP数学 数学 数学48与单位圆相交于点(,)P x y .把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin y α=；把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos x α=；把点P 的纵坐标与横坐标的比值yx 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan yxα=（0x ≠）. 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 sin y α=，x R ∈； 余弦函数 cos y α=，x R ∈；正切函数 tan y α=，2x k ππ≠+（k Z ∈）.数学 数学 数学 49设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点 重合）的坐标为(,)x y ，点P与原点的距离为r =可以证明：sin yr α=； cos xr α=； tan y xα=. （2）几个特殊角的三角函数值0，2π，π，32π的三角函数值如下表所示：数学 数学 数学 50（3）三角函数值的符号（4）诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数值相等.sin(2)sin k απα+⋅=， cos(2)cos k απα+⋅=， tan(2)tan k απα+⋅=，其中k Z ∈.2. 同角三角函数间的基本关系tan αcos αsin α。
高中数学一轮复习课件：第七章 不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)7-1
①当 a>0 时，－a4<a3，不等式的解集为 x|x<－a4，或x>a3； ②当 a＝0 时，－a4＝a3＝0，不等式的解集为{x|x∈R，且 x≠0}； ③当 a<0 时，－a4>a3，不等式的解集为 x|x<a3，或x>－a4. 综上所述：当 a>0 时，不等式的解集为 x|x<－a4，或x>a3；
5.简单分式不等式的解法
x－a x－b>0
等价于(x－a)(x－b)>0；
x－a x－b<0
等价于(x－a)(x－b)<0；
xx－－ab≥0 等价于xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0 等价于xx－－ba≠0x－. b≤0，
[辨识巧记] 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒1a<1b. (2)a<0<b⇒1a<1b. (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
[知识梳理]
1．两个实数比较大小的方法
a－b>0⇔a>b， (1)作差法a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，
a－b<0⇔a<b.
ab>1⇔a>ba∈R，b>0， (2)作商法ab＝1⇔a＝ba∈R，b>0，
ab<1⇔a<ba∈R，b>0.
2．不等式的基本性质
m＋n＝3， n－m＝－1，
解得mn＝＝12.，
因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，
高中数学选择性必修二 第4章数列章末复习与总结高二数学(
[例 7] (1)已知数列an，a1＝2，an＝1＋ana－n1－1(n≥2)，求 an； (2)已知数列an满足 an＋1＝3an＋2(n∈N *)，a1＝1，求通项公 式 an. [解] (1)由 an＝1＋ana－n1－1两边取倒数得a1n－an1－1＝1， ∵数列a1n是首项为a11＝12，公差为 1 的等差数列． ∴a1n＝12＋(n－1)＝n－12＝2n2－1.∴an＝2n2－1.
bn－1
＝an1－1(n≥2，
n∈N
*)，
Tn＝b1＋b2·3＋b3·32＋…＋bn·3n－1，证明：数列4Tn－3n·bn为 等差数列．
[解] (1)因为 an＋1＝3an， an＋1
所以 an ＝3，又 a1＝3，因此an是首项为 3，公比为 3 的等比数列，
所以 an＝3n，a4＝34＝81. Sn＝311－－33n＝32(3n－1)， S5＝32×(35－1)＝363.
an
可用公式
an＝SS1n－n＝Sn1－1，n≥2
求解．
3．由递推公式求数列通项：对于递推公式确定的数列的求
解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数
列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．
4．待定系数法(构造法)：求数列通项公式的方法灵活多 样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、 推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列 (等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已 知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就 是一种重要的转化方法．
1，n为奇数，
②取 a＝2，q＝1 时，an＝
bn＝2(n∈N*)．
2，n为偶数.
此时bn是等比数列，而an不是等比数列．
北师大版高中数学选择性必修第一册 第五章 4.1 二项式定理的推导
3.nk an-kbk 是展开式的第 k+1 项,该项的二项式系数是nk ,而不是nk+1 .
4.二项展开式的通项公式中b的指数和组合数的上标相同,a与b的指数之和
为n.
5.二项展开式的通项公式体现了二项展开式的项数、系数、a与b的指数
的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定
2 5-3
2 (k=0,1,2,…,10).
3
3
(1)二项展开式的第 4 项的二项式系数为C10
=120.
3
2
3 7
(2)二项展开式的第 4 项的系数为C10
3 =-77 760.
3
(3)二项展开式的第 4 项为 T4=T3+1=-77 760√.
反思感悟 1.二项式系数都是组合数 C (k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式
√
√
√
3
4
1
1
12
1
3
4
2
C4 (3√) + C4 =81x +108x+54+ + 2 .
√
√
(方法二)
1
= 2 [C40
1 4
3 √ +
√
=
3+1 4
√
=
1
4
(1+3x)
2
+ C41 ·3x+C42 (3x)2+C43 (3x)3+C44 (3x)4]
1
1
12
=2 (1+12x+54x2+108x3+81x4)=2 + +54+108x+81x2.
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高中数学必修知识点推理与证明
考点一合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类事物的相似性或一致性;
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的
命题(猜想);
(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约
的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写
性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质
之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.
考点二演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.
考点三数学归纳法
1.它是一个递推的数学论证方法.
2.步骤:A.命题在n=1（或
n）时成立，这是递推的基础；B.假设在
n=k时命题成立；C.证明n=k+1时命题也成立,
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N )结论都成立。
考点三 证明
1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:。