最新光滑曲线弧长公式

在 [ t i 1 , t i ] 上 由 微 分 中 值 定 理 ,
x i x ( t i ) x ( t i 1 ) x ( i ) t i , i [ x i 1 , x i ] , y i y ( t i ) y ( t i 1 ) y ( i ) t i , i [ x i 1 , x i ] .
由于
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x () r () c o s r () s i n ,
y () r () si r n () co , s
x 2 () y 2 () r 2 () r 2 (),
若 r ( ) 在 [ , ] 上 连 续 , 且 r ( ) 与 r ( ) 不 同 时 为 零 ,
A P 0 ,P 1 , ,P n B .
n
若 T lim 0 i 1P i 1 P i s 存 在 ,则 称 曲 线 C 是 可 求 长 的 ,
并 定 义 该 极 限 值 s 为 曲 线 C 的 弧 长 .
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n
注 可 以 证 明 ,极 限 l T im 0 i 1P i 1 P i与 参 数 方 程 的 表
0
02
2
例3 求 阿 基 米 德 螺 线 r a , [ 0 , 2 ] ( a 0 ) 的 一
段弧长.
解 s 2 r 2 () r 2 ()d a 2 1 2 d
0
0
a 21 42 ln (21 42 ).
2
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*二、平面曲线的曲率
曲率是刻划曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示, 在光滑曲线 C 上, 弧段 P Q 与 Q R 的长度相差不 多而弯曲程度却很不一样. y
示方式无关.
定理10.1 (光滑曲线弧长公式) 设曲线 C 由参数方
程 x x ( t ) , y y ( t ) , t [ ,] 表 示 . 若 C 为一光滑
曲线, 则 C 是可求长的, 且弧长为
s
x2(t)y2(t)dt.
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证 设 [ , ] 的 任 一 分 割
T : t 0 t 1 t n 1 t n .
光滑曲线弧长公式
定义2 设平面曲线 C 由参数方程
x x ( t ) ,y y ( t ) ,t [,]
表 示 . 对 [,] 的 一 个 分 割
T : t 0 t 1 t n ,T m a i x ( t i ) ，
相 应 地 对 C 有 一 个 分 割 , 即 C 上 有 分 点
于是
n
n
PiPi1 xi2yi2
i1
i1
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n
x2(i)y2(i)ti
i1
n
x2(i)y2(i)ti
i1
n
n
x2(i)y2(i)ti
x2(i)y2(i)ti
.
i1
i1
由 于 x 2 ( t ) y 2 ( t ) 在 [,] 上 连 续 , 从 而 可 积 ，
则
s
r2()r2()d.
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例1 求 星 形 线 x a c o s 3 t , y a s i n 3 t , t [ 0 , 2 ] 的
周长.
y
解 x(t) 3acos2tsint,
y(t)3asin2tcost.
O
ax
因 此 s42 x2(t)y2(t)dt 0
42 3 a c2 o tst s i2 n 3 a s2 itc n to 2 d ts 0
这反映动点沿曲线从P 移
到Q 时, 切线转过的角度
比动点从Q 移到 R 时切线. 转过的角度 要大得多 O
C
R
P
Q
(t)
x
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设 ( t ) 表示曲线在点 P(x(t),y(t))处切线的倾角,
( tt)( t)表示动点由 P 沿曲线移至 Q ( x ( tt) ,y ( tt) )时切线倾角的增量.若 P Q
12a 2sin tcotdst
1
2
a
sin
2
t
2
6a.
0
20
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例 2 求 悬 链 线 y e x e x在 [ 0 ,a ]上 的 一 段 弧 长 .
2
解
y ex ex ,
1y2
(ex
ex)2 .
2
4
因 此 s a1 y 2 d x a e x e x d x e a e a .
因此
l T im 0 i n 1x 2 (i) y 2 (i)ti x 2 ( t) y 2 ( t)d t.
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由第一章§1习题6可知
x 2 ( i ) y 2 ( i ) x 2 ( i ) y 2 ( i ) y ( i ) y ( i ) .
表示,则 C 亦可看作 x x ,y f ( x ) ,x [ a ,b ] .
因此当 f 在 [a, b] 上连续可微时,
b
s
1f2(x)dx.
a
注2 若曲线 C 由极坐标方程 r r (), [ ,]表
示,则 C 又可看作 x r ( ) c o s , y r ( ) s i n , [ ,] .
i 1
n
y(i)y(i)ti ,
i1
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即
n
lT im 0 i1
xi2(i)yi2(i)xi2(i)yi2(i)
ti
0,
从而
n
Hale Waihona Puke Baidu
sT lim 0i 1P iP i 1
x 2 (t)y2 (t)d t.
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注1 若曲线 C 由直角坐标方程 yf(x ),x [a ,b ]
之长为 s ,则称 K s
为弧段 P Q 的平均曲率.如果存在有限极限
K litm 0 s lism 0 s d d s,
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则称此极限 K 为曲线 C 在 P 处的曲率. 由于曲线光滑,故总有
(t) a r c ta n y (t)或 (t) a r c c o tx (t).
又 y ( t ) 在 [ , ] 上 连 续 , 从 而 在 [ , ] 上 一 致 连 续 ,
因 此 对 任 意 0 , 存 在 0 , 当 T 时 ,
y(i)y(i) , i 1 ,2 , ,n .
n
于是,
x 2 (i) y 2 (i)x 2 (i) y 2 (i) ti