建筑力学电子教案14静定结构的位移计算
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静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
《建筑力学》电子教案(1) 第十四章 静定结构的内力分析
部分，如图１４-８（ｂ）所示，梁AB、CD不依赖于其他部分的存 在，独立地与基础组成一个几何不变的部分，或者说本身就能独立地 承受荷载并维持平衡的部分。而梁BC则必须依靠基本部分才能保持 几何不变性，本身不能独立承受荷载，故称为附属部分。显然，若附 属部分被破坏或拆除，基本部分仍保持为几何不变；反之，若基本部 分被破坏或拆除，则附属部分将随之破坏。为了更清晰地表示各部分 之间的支承关系，把基本部分画在下层，而把附属部分依据支承关系 逐次画在上层，这种图形称为层次图，如图１４-８（ｃ）所示。图 １４-９中AB为基本部分，CE、EF为附属部分，其层次图如图１４９（ｃ）所示。
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第二节 静定梁
• 当控制截面间无荷载作用时，用直线连接两控制截面的弯矩值，即为 该段的弯矩图；当控制截面间有荷载作用时，先用虚线连接两控制截 面的弯矩值，然后以此虚直线为基线，再叠加把此段梁看作简支梁在 控制截面间荷载作用下的弯矩图，从而作出最后的弯矩图。
• 应用叠加法作弯矩图一定要注意这里所述弯矩图的叠加是指竖坐标的 代数相加。
• 依据多跨静定梁的受力特点，内力计算的步骤如下：
• （１）先分析确定多跨静定梁的基本部分和附属部分，画出层次图。
• （２）依据层次图，从最上一层的附属部分开始，依次计算各单跨静 定梁的约束反力。
• （３）绘制内力图，先分别绘制每段单跨梁的内力图，然后将每段单 跨梁的内力图连在一起，从而得到总的内力图。
第十四章 静定结构的内力分析
• 第一节 • 第二节 • 第三节 • 第四节 • 第五节 • 第六节
平面杆系结构 静定梁 静定平面刚架 静定平面桁架 静定组合结构的计算 静定结构的特性
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第一节 平面杆系结构
• 杆系结构是由若干杆件所组成的结构，在土木工程、机械、船舶、水 利等工程中应用很广。若组成结构的各杆的轴线和作用在结构上的荷 载都在同一平面上，则所对应的结构就是平面杆系结构。若组成结构 的各杆轴线和作用在结构上的荷载不在同一平面上，则对应的结构就 是空间杆系结构。
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第二节 静定梁
• 当控制截面间无荷载作用时，用直线连接两控制截面的弯矩值，即为 该段的弯矩图；当控制截面间有荷载作用时，先用虚线连接两控制截 面的弯矩值，然后以此虚直线为基线，再叠加把此段梁看作简支梁在 控制截面间荷载作用下的弯矩图，从而作出最后的弯矩图。
• 应用叠加法作弯矩图一定要注意这里所述弯矩图的叠加是指竖坐标的 代数相加。
• 依据多跨静定梁的受力特点，内力计算的步骤如下：
• （１）先分析确定多跨静定梁的基本部分和附属部分，画出层次图。
• （２）依据层次图，从最上一层的附属部分开始，依次计算各单跨静 定梁的约束反力。
• （３）绘制内力图，先分别绘制每段单跨梁的内力图，然后将每段单 跨梁的内力图连在一起，从而得到总的内力图。
第十四章 静定结构的内力分析
• 第一节 • 第二节 • 第三节 • 第四节 • 第五节 • 第六节
平面杆系结构 静定梁 静定平面刚架 静定平面桁架 静定组合结构的计算 静定结构的特性
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第一节 平面杆系结构
• 杆系结构是由若干杆件所组成的结构，在土木工程、机械、船舶、水 利等工程中应用很广。若组成结构的各杆的轴线和作用在结构上的荷 载都在同一平面上，则所对应的结构就是平面杆系结构。若组成结构 的各杆轴线和作用在结构上的荷载不在同一平面上，则对应的结构就 是空间杆系结构。
建筑力学静定结构位移计算
4l/5
l/5
三次抛物线ω=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
n次抛物线ω=hl/(n+1)
例：求梁B点转角位移。 例：求梁B点竖向线位移
P
ql2/2
A
EI
B
MP
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l/2
Pl/4 l/2 MP
A
l
B
P=1 m=1 l 3l/4 1/2
⑥当图乘法的适用条件不满：足时的处理
一、各类静定结构的位移计算公式 １）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响
D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ２）桁架：只考虑轴向变形的影响
D = ∑∫(N FNP/EA) ds D = ∑NFNPl/EA ３）组合结构： D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(N FNP/EA) ds (6-4-3) ４）拱 D= ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(NFNP/EA) ds (6-4-4)
建筑力学静定结构位移计算
§14-1 计算结构位移的目的
一、结构的位移概念 在外因作用下，结构会发生变形，其上各点或
截面位置发生改变，叫作结构的位移。
平面杆件结构的位移： １、线位移：水平位移 竖向位移 ２、转角位移（角位移）
广义位移概念： １、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移； ２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。 二、计算结构位移的目的 １、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范 围，满足结构的功能和使用要求。 ２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予 先采取措施。 ３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
2.计算公式
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
《建筑力学与结构(上册)》电子教案 项目四 静定结构的内力与位移计算
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任务一 静定结构的内力计算
• (４ )刚性连接.如图 ４-３ ( d )所示,刚片 Ⅰ 、 Ⅱ 在 A 处刚性连接成 一个整体,原来两个刚片在平面内具有 ６ 个自由度,现在刚性连接成整 体后减少到 ３ ３.虚铰 • 两刚片用两根不共线的链杆连接,两链杆的延长线相交于 O 点,如图 ４
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任务一 静定结构的内力计算
• 对体系进行几何组成分析的目的如下: • (１ )判别体系是否为几何不变体系,从而决定它能否作为结构. • (２ )研究几何不变体系的组成规则,以保证结构设计的合理性. • (３ )区分静定结构和超静定结构,以便在计算时采取不同的方法.
• 二、 平面体系自由度和约束的概念
• 一个刚片的位置,可由其上任一点 A 的坐标 x 、 y ,和过 A 点的任一 线段 AB 的倾角 α来确定,如图 ４-２ (c )所示.所以,一个刚片在平面内 的自由度是 ３ .
• ２.约束 • 凡是能减少体系自由度的装置,都称为约束.能减少一个自由度,就相当
于一个约束. • (１ )链杆———两端以铰与别的物体相连的刚性杆.如图 ４-３ ( a )所
( a )中的铰 B 用两根链杆代替,也组成“无多不变”体系,如图 ４-７ ( b )所示.甚至将铰 B 变为虚铰,也不改变结果,如图 ４-７ (c )所示. • 因此,两刚片规则又可叙述为:两个刚片用三根不全平行也不全交于一 点的链杆相连,组成几何不变体系且无多余约束.
• (３ )复 铰———连 接 三 个 或 三 个 以 上 刚 片 的 铰.复 铰 的 作 用 可 以 通 过 单 铰 来 分 析.如图 ４-３ (c )所示的复铰连接三个刚片,它 的连接过程为:首先有刚片 Ⅰ ,然后用单铰将刚片 Ⅱ 连接于刚片 Ⅰ , 再以单铰将刚片 Ⅲ 连接于刚片 Ⅰ .这样,连接三个刚片的复铰相当于 两个单铰.同理,连接 n 个刚片的复铰相当于 n －１ 个单铰,也就相当 于 ２ (n －１ )个约束.
任务一 静定结构的内力计算
• (４ )刚性连接.如图 ４-３ ( d )所示,刚片 Ⅰ 、 Ⅱ 在 A 处刚性连接成 一个整体,原来两个刚片在平面内具有 ６ 个自由度,现在刚性连接成整 体后减少到 ３ ３.虚铰 • 两刚片用两根不共线的链杆连接,两链杆的延长线相交于 O 点,如图 ４
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任务一 静定结构的内力计算
• 对体系进行几何组成分析的目的如下: • (１ )判别体系是否为几何不变体系,从而决定它能否作为结构. • (２ )研究几何不变体系的组成规则,以保证结构设计的合理性. • (３ )区分静定结构和超静定结构,以便在计算时采取不同的方法.
• 二、 平面体系自由度和约束的概念
• 一个刚片的位置,可由其上任一点 A 的坐标 x 、 y ,和过 A 点的任一 线段 AB 的倾角 α来确定,如图 ４-２ (c )所示.所以,一个刚片在平面内 的自由度是 ３ .
• ２.约束 • 凡是能减少体系自由度的装置,都称为约束.能减少一个自由度,就相当
于一个约束. • (１ )链杆———两端以铰与别的物体相连的刚性杆.如图 ４-３ ( a )所
( a )中的铰 B 用两根链杆代替,也组成“无多不变”体系,如图 ４-７ ( b )所示.甚至将铰 B 变为虚铰,也不改变结果,如图 ４-７ (c )所示. • 因此,两刚片规则又可叙述为:两个刚片用三根不全平行也不全交于一 点的链杆相连,组成几何不变体系且无多余约束.
• (３ )复 铰———连 接 三 个 或 三 个 以 上 刚 片 的 铰.复 铰 的 作 用 可 以 通 过 单 铰 来 分 析.如图 ４-３ (c )所示的复铰连接三个刚片,它 的连接过程为:首先有刚片 Ⅰ ,然后用单铰将刚片 Ⅱ 连接于刚片 Ⅰ , 再以单铰将刚片 Ⅲ 连接于刚片 Ⅰ .这样,连接三个刚片的复铰相当于 两个单铰.同理,连接 n 个刚片的复铰相当于 n －１ 个单铰,也就相当 于 ２ (n －１ )个约束.
静定结构在荷载作用下的位移计算
【例13.1】 试求图a所示简支梁的中点C的竖向位移ΔCV。已知梁 的弯曲刚度EI为常数。
【解】 为求点C的竖向位移ΔCV ，可在点C沿竖向虚加单位 力 1，得到如图b所示的虚拟力状态。设取点A为坐标原点，当0≤x≤l
时，有
内力方程
M 1 x ， M q（lx x2 )
2
2
利用对称性，由位移计算公式得
0
dx q 2
3a
2 a 3ax x2
a
dx
3a
q EI
ax3
x4 4
a 0
3a 2 x 2 2
ax3 3
2 a
1 1q a2 6EI
计算结果为负，表示C、D两点是分开的。
目录
建筑力学
【例13.3】 试求图a所示桁架中杆BC的角位移jBC。各杆的截面
面积如图所示，材料的弹性模量均为E。
【解】 虚拟力状态如 图b所示。为清楚起见，将 两种状态中各杆的内力列 于表中。
杆件 AC BC AD BD CD
杆长l(mm) 2828 2828 2000 2000 2000
截面积 A(mm2)
目录
静定结构的位移\静定结构在荷载作用下的位移计算
1.2 几种典型结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 2. 桁架 3. 组合结构
K
l
MM EI
ds
K
FN FNl EA
4. 拱
K
MM ds FNFNl
l EI
EA
K
MM ds l EI
FNFN ds l EA
目录
静定结构的位移\静定结构在荷载作用下的位移计算
建筑力学
静定结构的位移\静定结构在荷载作用下的位移计算
静定结构的位移计算—静定结构在支座移动时的位移计算(建筑力学)
F RBx
2h
1
1
A F R c 0.06 0.04 rad 0.0075 rad
2h
l
()
静定结构的位移计算
例16-11 图示桁架各杆EA相同，支座B发生竖向位移
c=0.5cm，求c点的水平位移△CH。
解：建立虚拟状态，并计算由于水平单位力作用.5cm 0.5cm
由于实际状态中取出的微段ds的变形du=0、d=0、
dv=0 ，于是上式可简化为：
K F R c
式中F R — —虚拟状态的支座反力；
c ——实际状态的支座位移。
静定结构的位移计算
K F R c
注意：当虚设状态的反力和支座位移c方向一致时，其
乘积取正，相反时为负。另外，上式右边前面还有一负号
静定结构的位移计算
第六节 静定结构在支座移动时的位移计算
对于静定结构，支座移动并不产生内力和变形，结构的
位移纯属刚体位移
对于简单的结构，这种位移可由几何关系直接求得，但
一般的结构仍用虚功原理来计算这种位移。
静定结构的位移计算
由虚功原理推导出的位移计算的一般公式为
K F Ndu M d F Qdv F R c
，系原来移项时所得，不可漏掉。
静定结构的位移计算
例16-10 三铰刚架的跨度 l=12m，高h=8m。已知右支座B
的竖向位移为1 =0.06m（向下），水平位移为2 =0.04m（向
右），如图示，试求由此引起的A端转角 。
解 由∑MA=0得
F RBy
1
l
再考虑右半刚
架的平衡
1
由∑Mc=0得
建筑力学教案静定结构的位移计算
9
MP图
c
ya yb
b
d
M图
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。 叠加后的抛物线 图形（）与原抛物 线图形（）的面积 大小和形心位置以及 形心处的竖标仍然是 相同的。
QA
MA
MB
QB
MB
qL2 8
10
MA
截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。
M图
解：1. 作实际状态的M图。
2. 设置虚拟状态并作
。
3. 代入公式计算得 2 2 yC 1 2 qL qhL ∆CD=∑ = ( 3 8 L) h = （→←） EI EI 12EI
13
【例4】求图示刚架A点的竖向位移△Ay 。
C B EI
EI
PL 2
PL 2
L
P
PL 4
PL 2
A
P 1
D
L
顶点
3L/8
5L/8
1
3L/4 L
2
L/4
8
3 .图乘的技巧 当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
例如：
a
L
则
b
MP图
c a
ya
yb
d
M图
ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d 此时 ya=2/3×c－1/3×d yb=2/3×d－1/3×c
△ K=
yC EI
6
1. 图乘法的注意事项
（1）必须符合上述图乘的三个条件； （2）纵距yC只能取自直线图形； （3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。
MP图
c
ya yb
b
d
M图
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。 叠加后的抛物线 图形（）与原抛物 线图形（）的面积 大小和形心位置以及 形心处的竖标仍然是 相同的。
QA
MA
MB
QB
MB
qL2 8
10
MA
截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。
M图
解：1. 作实际状态的M图。
2. 设置虚拟状态并作
。
3. 代入公式计算得 2 2 yC 1 2 qL qhL ∆CD=∑ = ( 3 8 L) h = （→←） EI EI 12EI
13
【例4】求图示刚架A点的竖向位移△Ay 。
C B EI
EI
PL 2
PL 2
L
P
PL 4
PL 2
A
P 1
D
L
顶点
3L/8
5L/8
1
3L/4 L
2
L/4
8
3 .图乘的技巧 当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
例如：
a
L
则
b
MP图
c a
ya
yb
d
M图
ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d 此时 ya=2/3×c－1/3×d yb=2/3×d－1/3×c
△ K=
yC EI
6
1. 图乘法的注意事项
（1）必须符合上述图乘的三个条件； （2）纵距yC只能取自直线图形； （3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。
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KP
M M P ds F N FNPl
EI
EA
（4）拱
一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽 略不计
KP
M M P ds F N FNPl
EI
EA
三、虚拟状态的选取
欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应 的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地 方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载： 1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变
梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新
的弯曲。位移 12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移 12 上作了功，为虚 功，大小为 W12=FP1 12
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力 状态。
EA
GA
F Ri Ci
式中：
E
弹性模量； G
剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
k
截面形状系数。如：对矩形截面
k=6/5;圆形截面k=10/9。
14.3 静定结构在荷载作用下的位移计算 一、静定结构在荷载作用下的位移公式
如体果 位结 移构只Ci有＝荷0，载位作移用公，式因则支为座移动引起的刚
剪力的影响 轴力的影响 弯矩的影响
图a 所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与
截面高度之比r/h=10,弹性模量之比E/G=2.5，
曲杆B端形心在竖向荷载F 作用下的竖向线位移 P
由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组
成：
BP M N Q r
设虚拟状态（图b）计算虚内力，用截面法计 算实际状态的内力，代人位移公式运算，并注
KP
M M P ds EI
（2）桁架
各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内 只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的 第二项并简化为实用的形式
KP
F N FNP ds EA
F N FNP ds EA
KP
F N FNPl EA
（3）组合结构
既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载 求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
K=
M
d
+
F
N
du
+
F
Q
dv
— FRiCi
经I
F N FNP ds ＋ F QF QP ds
X =1表示
线位移和角位移统称广义位移，用⊿表示 单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分：
正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
四、 静定桁架的位移计算 计算步骤为
（1）设虚拟状态； （2）计算 F ,FNP ; （3）用桁架的位移计算公式计算位移。 例14-1 图示桁架各杆的EA相等，求C 结点 的竖向位移 vc
A 点的线位移 A
水平线位移 AH
竖向线位移 AV
截面A 的角位移 A
C、D 两点的水平相对线位移
(C D)H = C + D
A、B两个截面的相对转角 AB= A+ B
四、引起位移的原因
一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变 （如图a）、支座移动（如图b）材料收缩、 制造误差等
五、 计算位移的目的
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的 单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。 力偶臂为d ，每一力的大小为1/d
力和力偶统称为广义力，单位广义力用
14.2 虚功原理和单位荷载法
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
14
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
14 由0增加至 14
力Fp1在位移
14
上作的实功
W14=
1 2
FP1
14
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功
KP
MMP ds EI
F N FNP ds EA
k FQFQP ds GA
对于曲杆（曲率半径r），荷载作用下的位移公式为
KP
MMP ds EI
F N FNP ds EA
k F QFQP ds GA
＋
F N M P ds EAr
M FNP ds EAr
曲率的影响
有以下三个方面：
1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否 超过允许的位移限制值
2、为超静定结构的计算打基础。在计算超 静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还 需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位 移。
3、在结构的制作、架设、养护过程中，有 时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定 的施工措施，因而也需要进行位移计算。
第十四章 静定结构的位移计算
14．1 概 述
一、结构位移的定义 结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由 于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横 截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。
二、位移的分类 线位移：截面形心的直线移动距离
角位移：截面的转角
位移
绝对位移
位移
相对位移
广义位移
三、刚架的位移举例
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意 一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所 作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的 相应变形上所作虚功的总和。
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
意矩形截面的不均匀系数 =1.2 ，计算结
果为
BP
FPr
4EA
12
r h
2
1
k
E G
2
=
FPr
4EA
1200
1
3
2
BP 中弯矩、轴力、剪力、曲率对应的四 部分之比
M :N :Q :r = 1200 : 1 : 3 : 2
二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式
（1）梁和刚架
梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ， 位移计算公式中取第一项便具有足够的工 程精度