建筑力学电子教案14静定结构的位移计算
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有以下三个方面：
1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否 超过允许的位移限制值
2、为超静定结构的计算打基础。在计算超 静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还 需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位 移。
3、在结构的制作、架设、养护过程中，有 时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定 的施工措施，因而也需要进行位移计算。
第十四章 静定结构的位移计算
14．1 概 述
一、结构位移的定义 结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由 于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横 截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。
二、位移的分类 线位移：截面形心的直线移动距离
角位移：截面的转角
位移
绝对位移
位移
相对位移
广义位移
三、刚架的位移举例
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载 求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
K=
M
d
+
F
N
du
+
F
Q
dv
— FRiCi
经进一步推导，可得
K
M M P ds EI
F N FNP ds ＋ F QF QP ds
意矩形截面的不均匀系数 =1.2 ，计算结
果为
BP
FPr
4EA
12
r h
2
1
k
E G
2
=
FPr
4EA
1200
1
3
2
BP 中弯矩、轴力、剪力、曲率对应的四 部分之比
M :N :Q :r = 1200 : 1 : 3 : 2
二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式
（1）梁和刚架
梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ， 位移计算公式中取第一项便具有足够的工 程精度
剪力的影响 轴力的影响 弯矩的影响
图a 所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与
截面高度之比r/h=10,弹性模量之比E/G=2.5，
曲杆B端形心在竖向荷载F 作用下的竖向线位移 P
由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组
成：
BP M N Q r
设虚拟状态（图b）计算虚内力，用截面法计 算实际状态的内力，代人位移公式运算，并注
X =1表示
线位移和角位移统称广义位移，用⊿表示 单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分：
正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
四、 静定桁架的位移计算 计算步骤为
（1）设虚拟状态； （2）计算 F ,FNP ; （3）用桁架的位移计算公式计算位移。 例14-1 图示桁架各杆的EA相等，求C 结点 的竖向位移 vc
A 点的线位移 A
水平线位移 AH
竖向线位移 AV
截面A 的角位移 A
C、D 两点的水平相对线位移
(C D)H = C + D
A、B两个截面的相对转角 AB= A+ B
四、引起位移的原因
一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变 （如图a）、支座移动（如图b）材料收缩、 制造误差等
五、 计算位移的目的
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意 一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所 作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的 相应变形上所作虚功的总和。
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
EA
GA
F Ri Ci
式中：
E
弹性模量； G
剪Leabharlann Baidu模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
k
截面形状系数。如：对矩形截面
k=6/5;圆形截面k=10/9。
14.3 静定结构在荷载作用下的位移计算 一、静定结构在荷载作用下的位移公式
如体果 位结 移构只Ci有＝荷0，载位作移用公，式因则支为座移动引起的刚
KP
M M P ds F N FNPl
EI
EA
（4）拱
一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽 略不计
KP
M M P ds F N FNPl
EI
EA
三、虚拟状态的选取
欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应 的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地 方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载： 1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
KP
M M P ds EI
（2）桁架
各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内 只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的 第二项并简化为实用的形式
KP
F N FNP ds EA
F N FNP ds EA
KP
F N FNPl EA
（3）组合结构
既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的 单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。 力偶臂为d ，每一力的大小为1/d
力和力偶统称为广义力，单位广义力用
其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变
梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新
的弯曲。位移 12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移 12 上作了功，为虚 功，大小为 W12=FP1 12
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力 状态。
KP
MMP ds EI
F N FNP ds EA
k FQFQP ds GA
对于曲杆（曲率半径r），荷载作用下的位移公式为
KP
MMP ds EI
F N FNP ds EA
k F QFQP ds GA
＋
F N M P ds EAr
M FNP ds EAr
曲率的影响
14.2 虚功原理和单位荷载法
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
14
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
14 由0增加至 14
力Fp1在位移
14
上作的实功
W14=
1 2
FP1
14
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功
1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否 超过允许的位移限制值
2、为超静定结构的计算打基础。在计算超 静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还 需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位 移。
3、在结构的制作、架设、养护过程中，有 时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定 的施工措施，因而也需要进行位移计算。
第十四章 静定结构的位移计算
14．1 概 述
一、结构位移的定义 结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由 于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横 截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。
二、位移的分类 线位移：截面形心的直线移动距离
角位移：截面的转角
位移
绝对位移
位移
相对位移
广义位移
三、刚架的位移举例
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载 求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
K=
M
d
+
F
N
du
+
F
Q
dv
— FRiCi
经进一步推导，可得
K
M M P ds EI
F N FNP ds ＋ F QF QP ds
意矩形截面的不均匀系数 =1.2 ，计算结
果为
BP
FPr
4EA
12
r h
2
1
k
E G
2
=
FPr
4EA
1200
1
3
2
BP 中弯矩、轴力、剪力、曲率对应的四 部分之比
M :N :Q :r = 1200 : 1 : 3 : 2
二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式
（1）梁和刚架
梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ， 位移计算公式中取第一项便具有足够的工 程精度
剪力的影响 轴力的影响 弯矩的影响
图a 所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与
截面高度之比r/h=10,弹性模量之比E/G=2.5，
曲杆B端形心在竖向荷载F 作用下的竖向线位移 P
由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组
成：
BP M N Q r
设虚拟状态（图b）计算虚内力，用截面法计 算实际状态的内力，代人位移公式运算，并注
X =1表示
线位移和角位移统称广义位移，用⊿表示 单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分：
正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
四、 静定桁架的位移计算 计算步骤为
（1）设虚拟状态； （2）计算 F ,FNP ; （3）用桁架的位移计算公式计算位移。 例14-1 图示桁架各杆的EA相等，求C 结点 的竖向位移 vc
A 点的线位移 A
水平线位移 AH
竖向线位移 AV
截面A 的角位移 A
C、D 两点的水平相对线位移
(C D)H = C + D
A、B两个截面的相对转角 AB= A+ B
四、引起位移的原因
一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变 （如图a）、支座移动（如图b）材料收缩、 制造误差等
五、 计算位移的目的
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意 一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所 作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的 相应变形上所作虚功的总和。
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
EA
GA
F Ri Ci
式中：
E
弹性模量； G
剪Leabharlann Baidu模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
k
截面形状系数。如：对矩形截面
k=6/5;圆形截面k=10/9。
14.3 静定结构在荷载作用下的位移计算 一、静定结构在荷载作用下的位移公式
如体果 位结 移构只Ci有＝荷0，载位作移用公，式因则支为座移动引起的刚
KP
M M P ds F N FNPl
EI
EA
（4）拱
一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽 略不计
KP
M M P ds F N FNPl
EI
EA
三、虚拟状态的选取
欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应 的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地 方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载： 1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
KP
M M P ds EI
（2）桁架
各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内 只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的 第二项并简化为实用的形式
KP
F N FNP ds EA
F N FNP ds EA
KP
F N FNPl EA
（3）组合结构
既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的 单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。 力偶臂为d ，每一力的大小为1/d
力和力偶统称为广义力，单位广义力用
其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变
梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新
的弯曲。位移 12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移 12 上作了功，为虚 功，大小为 W12=FP1 12
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力 状态。
KP
MMP ds EI
F N FNP ds EA
k FQFQP ds GA
对于曲杆（曲率半径r），荷载作用下的位移公式为
KP
MMP ds EI
F N FNP ds EA
k F QFQP ds GA
＋
F N M P ds EAr
M FNP ds EAr
曲率的影响
14.2 虚功原理和单位荷载法
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
14
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
14 由0增加至 14
力Fp1在位移
14
上作的实功
W14=
1 2
FP1
14
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功