二项式定理练习题(含答案)

合集下载

《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用,并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一:二项式定理设a , b 是任意实数,n 是任意给定的正整数,则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理,其中右边的多项式叫的二项式展开式,每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意:二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项,n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ,并且第一个字母a 依次降幂排列,第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二:二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意:该项为二项展开式的第1m +项,而不是第m 项. 知识点三:二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中,与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数,那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数,那么它的展开式中间两项的二项式系数最大,并且相等,即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中,所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四:二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析:熟记二项式定理.解答:51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析:灵活运用通项公式. 解答:272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析:根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数,那么它的展开式中间两项的二项式系数最大,并且相等,即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数,再利用通项公式计算.解答:由于7为奇数,所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析:二项式()na b +的展开式中,所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。

(完整版)二项式定理测试题及答案

(完整版)二项式定理测试题及答案

二项式定理测试题及答案1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数(B ) A.0 B.1 C.2 D.3 2. ()82x -展开式中不含..4x 项的系数的和为(B )A.-1B.0C.1D.23.若S=123100123100A A A A ++++L L ,则S 的个位数字是(C )A 0B 3C 5D 8 4.已知(x -xa )8展开式中常数项为1120,其中实数a 是常数,则展开式中各项系数的和是( C ) A.28B.38C.1或38D.1或285.在3100(25)+的展开式中,有理项的个数是( D ) A.15个B.33个C.17个 D.16个6.在2431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有(C ) A .3项 B .4项C .5项D .6项7.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中,含x 3的项的系数是( C )A 、-5B 、 5C 、10D 、-10 8.35)1()1(x x +⋅-的展开式中3x 的系数为( A )A .6B .-6C .9D .-9 9.若x=21,则(3+2x)10的展开式中最大的项为(B ) A.第一项 B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3nx x-的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值为( A ) A .7B .12C .14D .511.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为(C )A .1440B .-1440C .-2880D .2880 12.在51(1)x x+-的展开式中,常数项为( B ) (A )51 (B )-51 (C )-11 (D )1113.若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N L L ,且:3:1a b =,则n 的值为( C ) A.9B.10C.11D.1214.若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ,则=9a ( )(A ) 9 (B )10 (C )9- (D )10- 解:根据左边x10的系数为1,易知110=a ,左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为0109910109=+=+a C a a ,∴109-=a故选D 。

(完整版)二项式定理(习题含答案)

(完整版)二项式定理(习题含答案)

二项式定理一、 求展开式中特定项 1、在的展开式中,的幂指数是整数的共有( ) A .项 B .项 C .项 D .项 【答案】C 【解析】,,若要是幂指数是整数,所以0,6,12,18,24,30,所以共6项,故选C .3、若展开式中的常数项为 .(用数字作答)【答案】10【解】由题意得,令,可得展示式中各项的系数的和为32,所以,解得,所以展开式的通项为,当时,常数项为, 4、二项式的展开式中的常数项为 . 【答案】112【解析】由二项式通项可得,(r=0,1,,8),显然当时,,故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________.【答案】.【解析】因为中的展开式通项为,当第一项取时,,此时的展开式中常数为;当第一项取时,,此时的展开式中常数为;所以原式的展开式中常数项等于,故应填. 6、设,则的展开式中常数项是 .【答案】 332,30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰()622x ⎛⋅+ ⎝332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰的展开式的通项为,所以所求常数项为.二、 求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是( )A .B .C .D . 【答案】A【解析】由通式,令,则展开式中项的系数是.8、在x (1+x )6的展开式中,含x 3项的系数是 . 【答案】15【解】的通项,令可得.则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是 . 【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成,所以的项的系数为. 10、已知,那么展开式中含项的系数为 . 【答案】135【解析】根据题意,,则中,由二项式定理的通项公式,可设含项的项是,可知,所以系数为.11、已知,则等于( )A .-5B .5C .90D .180【答案】D 因为,所以等于选D.12、在二项式 的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则________;展开式中的第4项=_______.6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 336)(2x C -226)(x -x C -⋅)(3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1⎰=nx x )(3-2x 66e111ln |6e n dx x x=⎰==n x x )(3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ⨯=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=⨯=1)2nx =n【答案】,.【解析】由二项式定理展开通项公式,由题意得,当且仅当时,取最大值,∴,第4项为. 13、如果,那么的值等于( ) (A )-1 (B )-2 (C )0 (D )2 【答案】A【解析】令,代入二项式,得,令,代入二项式,得,所以,即,故选A .14、(﹣2)7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解:把x=1代入二项式,可得(﹣2)7 =﹣1, 15、(x ﹣2)(x ﹣1)5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解:在(x ﹣2)(x ﹣1)5的展开式中,令x=1,即(1﹣2)(1﹣1)5=0, 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中,所有项的系数和为,则的系数等于 .【答案】【解析】当时,,解得,那么含的项就是,所以系数是-270. 17、设,若,则.【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯0(sin cos )k x x dx π=-⎰8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a +++⋅⋅⋅+=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰,令得:,即 再令得:,即 所以18、设(5x ﹣)n 的展开式的各项系数和为M ,二项式系数和为N ,若M ﹣N=240,则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解:由于(5x ﹣)n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关,故令x=1,即可得到展开式的各项系数和M=(5﹣1)n =4n .再由二项式系数和为N=2n ,且M ﹣N=240,可得 4n ﹣2n =240,即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16,或 2n =﹣15(舍去),∴n=4. (5x ﹣)n 的展开式的通项公式为 T r+1=?(5x )4﹣r ?(﹣1)r ?=(﹣1)r ??54﹣r ?.令4﹣=1,解得 r=2,∴展开式中x 的系数为 (﹣1)r??54﹣r=1×6×25=150,19、设,则 . 【答案】【解析】, 所以令,得到, 所以 三、 求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项,则( )A .B .C .D .【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为,第四项为常数,则必有,即,所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15,则( )(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -⨯=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯K 01a =12380a a a a +++⋅⋅⋅+=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =45672533333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为,令,得,所以的系数为,解得;故选B . 22、(a +x)4的展开式中x 3的系数等于8,则实数a =________.【答案】2【解析】∵,∴当,即时,. 23、若的展开式中的系数为10,则实数( ) A1 B .或1 C .2或 D . 【答案】B.【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14,其二项展开通项公式,∴或,故选B . 24、设,当时,等于( )A .5B .6C .7D .8 【答案】C . 【解析】令,则可得,故选C . 四、 其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析:先将幂利用二项式表示,使其底数用8的倍数表示,利用二项式定理展开得到余数. 试题解析:解:∵20152015=2015=?20162015﹣?20162014+?20162013﹣?20162012+…+?2016﹣,故20152015除以8的余数为﹣=﹣1,即20152015除以8的余数为7,)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+⋅=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=⇒=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=n 1x =2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-。

2024届高考数学复习:精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习(附答案)

2024届高考数学复习:精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习(附答案)

2024届高考数学复习:精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习一. 基础小题练透篇1.已知(2x +1)n 的展开式中,第三项和第四项的二项式系数相等,则n =( ) A .7 B .6 C .5 D .42.[2023ꞏ上海市月考]在⎝⎛⎭⎫x -1x 7的二项展开式中,系数最大的是第( )项A .3B .4C .5D .63.[2023ꞏ福建省莆田第一中学高三考试]在⎝⎛⎭⎫x -2x 6的展开式中,常数项为( )A .80B .-80C .160D .-160 4.[2023ꞏ福建省福州第八中学高三训练](x +2y )(x -y )5的展开式中的x 3y 3项系数为( ) A .30 B .10 C .-30 D .-105.[2023ꞏ重庆市检测]若(x 2+1)(4x +1)8=a 0+a 1(2x +1)+a 2(2x +1)2+…+a 10(2x +1)10,则a 1+a 2+…a 10等于( )A .2B .1C .54D .-146.[2023ꞏ江西省联考]已知(x +1)4+(x -2)8=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 8(x -1)8,则a 3=( )A .64B .48C .-48D .-647.[2023ꞏ湖南省高三第一次大联考]设(1+2x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,若a 5=a 6,则n =( )A .6B .7C .8D .98.[2023ꞏ云南省昆明市高三检测]若(3x +x )n 的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中x 3项的系数是__________.二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ辽宁省凤城市月考]在(x -1)n 的二项展开式中,仅有第6项的二项式系数最大,则n =( )A .8B .9C .10D .112.[2023ꞏ江苏省常州市高三模拟 ]若(1-ax +x 2)(1-x )8的展开式中含x 2的项的系数为21,则a =( )A .-3B .-2C .-1D .13.[2023ꞏ上海市一模]二项式(x +13x)30的展开式中,其中是有理项的项数共有( )A .4项B .7项C .5项D .6项4.[2023ꞏ吉林省吉林市月考]若二项式⎝⎛⎭⎫12-x n 的展开式中所有项的系数和为164 ,则展开式中二项式系数最大的项为( )A .-52 x 3B .154 x 4 C .-20x 3 D .15x 45.[2023ꞏ浙江省高三联考](x-23x)6的展开式的中间一项的系数是__________.(用数字作答).6.[2023ꞏ浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎫3x 2+1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240,则n =__________;展开式中的系数最大的项是________.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ北京卷]在(x -2)5的展开式中,x 2的系数为( ) A .-5 B .5 C .-10 D .102.[2019ꞏ全国卷Ⅲ](1+2x 2)(1+x )4的展开式中x 3的系数为( ) A .12 B .16 C .20 D .243.[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]⎝⎛⎭⎫1-yx (x +y )8的展开式中x 2y 6的系数为________________(用数字作答).4.[2020ꞏ全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎫x 2+2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5.[2021ꞏ上海卷]已知二项式(x +a )5展开式中,x 2的系数为80,则a =________. 6.[2021ꞏ浙江卷]已知多项式(x -1)3+(x +1)4=x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4,则a 1=________,a 2+a 3+a 4=________.四. 经典大题强化篇1.已知(2x -1)5=a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5.求下列各式的值: (1)a 0+a 1+a 2+…+a 5; (2)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 5|; (3)a 1+a 3+a 5.2.[2023ꞏ江西省景德镇一中考试]已知函数f (n ,x )=⎝⎛⎭⎫2m +m x n (m >0,x >0).(1)当m =2时,求f (7,x )的展开式中二项式系数最大的项;(2)若f (10,x )=a 0+a 1x +a 2x 2 +…+a 10x 10 ,且a 2=180,参考答案一 基础小题练透篇1.答案:C答案解析:因为(2x +1)n的展开式中,第三项和第四项的二项式系数相等,所以C 2n =C 3n ,由组合数的性质可得n =2+3=5.2.答案:C答案解析:在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x 7 的展开式中,通项公式为T r +1=C r 7 ·x 7-r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x r =(-1)r C r7 x 7-2r,故第r +1项的系数为(-1)r C r7 ,当r =0,2,4,6时,系数为正,因为C 07 <C 17 =C 67 <C 27 <C 47 ,所以当r =4时,系数最大的项是第5项. 3.答案:D答案解析:由于x ,1x互为倒数,故常数项为第4项,即常数项为C 36 x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫-2x 3 =20×(-8)=-160.故选D. 4.答案:B答案解析:因为(x +2y )(x -y )5=x (x -y )5+2y (x -y )5,(x -y )5的通项为:T r +1=C r5 x 5-r (-y )r ,令r =3,则T 4=C 35 x 2(-y )3,令r =2,则T 3=C 25 x 3(-y )2,所以x 3y 3的系数为C 35 (-1)3+2C 25 (-1)2=-10+20=10. 故选B. 5.答案:D答案解析:令x =0,则a 0+a 1+a 2+…+a 10=(0+1)×(0+1)8=1,令x =-12,则a 0=⎝ ⎛⎭⎪⎫14+1 ×(-2+1)8=54 ,∴a 1+a 2+…+a 10=1-54 =-14 . 6.答案:C答案解析:由(x +1)4+(x -2)8=[(x -1)+2]4+[(x -1)-1]8=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 8(x -1)8,得a 3·(x -1)3=C 14 ·(x -1)3·2+C 58 ·(x -1)3·(-1)5,∴a 3=8-C 58 =-48.故选C. 7.答案:C答案解析:(1+2x )n 展开式第r +1项T r +1=C r n (2x )r =C r n 2r x r,∵a 5=a 6,∴C 5n 25=C 6n 26,即C 5n =2C 6n ,∵n !5!(n -5)! =2×n !6!(n -6)! , 整理得n -5=3,∴n =8. 故选C.8.答案:15答案解析:令x =1,得所有项的系数和为4n ,二项式系数和为2n ,所以4n 2n =2n=32,即n =5,(3x +x )5的第r +1项为C r5 ·(3x )5-r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 r=C r 5 ·35-r ·x 5-r2 .令5-r2=3,得r =4,所以x 3项的系数是C 45 ×3=15.二 能力小题提升篇1.答案:C答案解析:因为在(x -1)n的二项展开式中,仅有第6项的二项式系数最大,即C 5n 最大,所以n =10.2.答案:C答案解析:(1-x )8展开式第r +1项T r +1=C r 8 18-r (-x )r =(-1)r C r 8 x r,(1-ax +x 2)(1-x )8的展开式中含x 2的项的系数为1·(-1)2C 28 -a ·(-1)C 18 +1·(-1)0C 08 ,所以1·(-1)2C 28 -a ·(-1)C 18 +1·(-1)0C 08 =21,解方程可得a =-1,故选C.3.答案:D答案解析:二项式(x +13x )30的展开式中,通项公式为C r 30 ·(x )30-r·(13x)r=C r30 ·x15-56r,0≤r ≤30,∴r =0,6,12,18,24,30时满足题意,共6项. 4.答案:A答案解析:令x =1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1 n=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12 n =164 =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12 6 ,所以n =6,展开式有7项,所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x 6 展开式中二项式系数最大的为第4项T 4=(-1)3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6-3x 3=-52x 3. 5.答案:-16027答案解析:由二项式展开式可知,⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3-23x 6的展开式的中间一项的系数为C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3·(-2)3=-16027. 6.答案:4 108x 5答案解析:⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2+1x n 展开式中,各二项式系数的和比各项系数的和小240,即2n -(3+1)n =-240,化简得22n -2n -240=0,解得2n =16或2n=-15(不合题意,舍去),所以n =4.所以⎝ ⎛⎭3x 2+1x 4=81x 8+4×27x 5+6×9x 2+4×3x +1x4 ,展开式中的系数最大的项是108x 5.三 高考小题重现篇1.答案:C答案解析:由二项式定理得(x -2)5的展开式的通项T r +1=C r 5 (x )5-r (-2)r=C r 5 (-2)rx 5-r2 ,令5-r 2=2,得r =1,所以T 2=C 15 (-2)x 2=-10x 2,所以x 2的系数为-10.2.答案:A答案解析:展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成,则x 3的系数为C 34 +2C 14 =4+8=12.3.答案:-28答案解析:因为⎝⎛⎭⎪⎫1-y x()x +y 8=()x +y 8-y x()x +y 8,所以⎝⎛⎭⎪⎫1-y x()x +y 8的展开式中含x 2y 6的项为C 68 x 2y 6-y xC 58 x 3y 5=-28x 2y 6,⎝ ⎛⎭⎪⎫1-y x ()x +y 8的展开式中x 2y 6的系数为-28. 4.答案:240答案解析:展开式的通项为T r +1=C r6 (x 2)6-r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r=2r C r 6 x12-3r ,令12-3r =0,解得r =4,故常数项为24C 46 =240.5.答案:2答案解析:(x +a )5的展开式的通项为T r +1=C r 5 x 5-r a r ,令5-r =2,得r =3,则C 35 a 3=80,解得a =2.6.答案:5 10答案解析:(x -1)3展开式的通项T r +1=C r 3 x 3-r ·(-1)r ,(x +1)4展开式的通项T k +1=C k 4 x 4-k ,则a 1=C 03 +C 14 =1+4=5;a 2=C 13 (-1)1+C 24 =3;a 3=C 23 (-1)2+C 34 =7;a 4=C 33 (-1)3+C 44 =0.所以a 2+a 3+a 4=3+7+0=10.四 经典大题强化篇1.答案解析:(1)令x =1,得a 0+a 1+a 2+…+a 5=1.(2)令x =-1,得-35=-a 0+a 1-a 2+a 3-a 4+a 5.由(2x -1)5的通项T r +1=C r 5 (-1)r ·25-r ·x 5-r, 知a 1,a 3,a 5为负值,所以|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 5|=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5=35=243. (3)由a 0+a 1+a 2+…+a 5=1,-a 0+a 1-a 2+…+a 5=-35,得2(a 1+a 3+a 5)=1-35,所以a 1+a 3+a 5=1-352=-121.2.答案解析:(1)当m =2时,f (7,x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+2x 7 的展开式共有8项,二项式系数最大的项为第四项或第五项,所以T 4=C 37 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3 =280x3 或T 5=C 47 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4=560x4 .(2)①f (10,x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫2m +m x 10 的通项公式为T r +1=C r 10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m10-r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x r=210-r ·m 2r -10·C r 10 x -r ,且f (10,x )=a 0+a 1x+a 2x2 +…+a n xn ,所以1x2 的系数为a 2=28C 210 m -6=180,解得m=2,所以f (10,x )的通项公式为T r +1=C r10 ⎝ ⎛⎭2x r=2r C r 10 x -r ,所以a r =2r C r10 ,当r =0时,a 0=1,令x =1,∑10i =1a i =310-1=59 048, ②设a r =2r C r10 为a i (0≤i ≤10)中的最大值,则⎩⎨⎧2r C r 10 ≥2r -1C r -110 2r C r 10 ≥2r +1C r +110, 解得⎩⎪⎨⎪⎧2(11-r )≥r r +1≥2(10-r ) ,即193 ≤r ≤223 ,r ∈N ,所以r =7,所以(a i )max =a 7=27C 710 =15 360.。

二项式定理习题(带答案)

二项式定理习题(带答案)

(A)-540
(B)-162
(C)162
(D)540
33、A 解析:令 x=1,得 2n=64,得 n=6.设常数项为 Tr+1= Cr6(3 )6-r·(- )r
=Cr636-r·(-1)r·x3-r 令 3-r=0 得 r=3.∴常数项 T4=-540.
36、在
的二项展开式中,若只有 的系数最大,则
6、C7、C8、A9、A
16、3.若
的展开式中 的系数是(
A.14 )A
B.-14
B
C
C.42 D
D.-42
17、在
的展开式中 的系数是 ( )A.-14 B.14 C.-28 D.28
16、B 解析:(x-1)(x+1)8=(x-1)(1+x)8,∴含 x5 的项为 x·C x4+(-1)C x5=14x5,∴x5 的系数是 14,故选 B. 17、B 解析:(x-1)(x+1)8=(x-1)(1+x)8,∴含 x5 的项为 x·C x4+(-1)C x5=14x5,∴x5 的系数是 14,故选 B.
(3)二项式系数的和:
C
0 n
C1 nCຫໍສະໝຸດ 2 nCk n
C
n n
2n
奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即
C0n +C2n +
=C1n +C3n +
=2n-1
对称性 (2)二项式系数的三个性质 增减性和最值
二项式系数和
基本题型
(一)通项公式的应用
1、 (2x 1 )6 的展开式中第三项的二项式系数为________;第三项的系数为_______; x

2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册5.4.1二项式定理的推导(带答案)

2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册5.4.1二项式定理的推导(带答案)

§4二项式定理4.1 二项式定理的推导必备知识基础练知识点一二项式定理的正用、逆用1.若(2x-3x )n+3(n∈N*)的展开式中共有15项,则n的值为( ) A.11 B.12 C.13 D.142.1-3C110+9C210-27C310+…-39C910+310=______.3.求证:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.知识点二二项展开式的通项与系数4.(x-2 y)10的展开式中x6y4的系数是( )A.-840 B.840 C.210 D.-2105.(2x-1x)6的二项展开式中的常数项为________.6.在(x +124x)n的展开式中,前三项的系数按原顺序成等差数列.(1)求展开式中含x项的系数;(2)求展开式中的有理项.知识点三二项展开式中各项系数的和7.在(2x+x2)10的展开式中,各项的系数之和为( )A.1 B.310-1C.310 D.2108.将(1-2x)(1-x)8的展开式写成按升幂排列的和的形式,那么所有奇数项的系数和为________,所有奇次项的系数和为________.9.设(1-2x)2 020=a0+a1x+a2x2+…+a2 020x2 020(x∈R).(1)求a0+a1+a2+…+a2 020的值;(2)求a1+a3+a5+…+a2 019的值;(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 020|的值.关键能力综合练一、选择题1.若(1+2 )5=a +b 2 (a ,b 为有理数),则a +b =( ) A .45 B .55 C .70 D .802.在(x +2x)n的展开式中,若常数项为60,则n =( )A .3B .6C .9D .123.已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a =( ) A .-1 B .-2 C .-3 D .-44.二项式(x -a x)8的展开式中x 2的系数是-7,则其中正确的是( ) A .a =12B .展开式中含x 6项的系数是-4C .展开式中含x -1项 D .展开式中常数项为405.[探究题](x +1x2 -1)6展开式中x 2的系数为( )A .-45B .-15C .15D .45 二、填空题6.设a ∈Z ,且0≤a <13,若512 017+a 能被13整除,则a =________.7.若(x +2)n (n ∈N *)的展开式的第4项是52,第3项的二项式系数是15,则x 的值为________.8.[易错题]若(1+2x 2)(1+1x )n 的展开式中所有项的系数和为96,则展开式中含1x2 项的系数是________.三、解答题9.已知(x -23x)n (n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比为30∶1.(1)求展开式中的所有有理项;(2)求n +6C 2n +36C 3n +…+6n -1C nn 的值;(3)求系数的绝对值最大的项.(注:结果可以有组合数、幂)学科素养升级练1.[多选题]若(x +a x )(2x -1x)5的展开式中各项系数之和为2,则下列结论正确的是( )A .a =1B .展开式中x 6的系数是-32C .展开式中含x -1项D .展开式中的常数项为402.[学科素养——数学运算]设f (x )=(1+x )m +(1+x )n的展开式中含x 项的系数是19(m ,n ∈N *).(1)求f (x )的展开式中含x 2项的系数的最小值;(2)当f (x )的展开式中含x 2项的系数取最小值时,求f (x )的展开式中含x 7项的系数.4.1 二项式定理的推导必备知识基础练1.解析:因为(2x -3x )n +3的展开式中共有n +4项,所以n +4=15,即n =11.故选A.答案:A2.解析:1-3C 110 +9C 210 -27C 310 +…-39C 910 +310=C 010 (-1)10×30+C 110 (-1)9×31+C 210 (-1)8×32+…+C 1010 (-1)0×310=(-1+3)10=210=1 024.答案:1 024(或210)3.证明:32n +2-8n -9 =9n +1-8n -9=(8+1)n +1-8n -9 =8n +1+C 1n +1 8n +C 2n +1 8n -1+…+C n -1n +1 82+C nn +1 8+1-8n -9 =82(8n -1+C 1n +1 8n -2+C 2n +1 8n -3+…+C n -1n +1 )+8(n +1)+1-8n -9=64(8n -1+C 1n +1 8n -2+C 2n +1 8n -3+…+C n -1n +1 ).∵n ∈N *,∴8n -1+C 1n +1 8n -2+C 2n +1 8n -3+…+C n -1n +1 是整数, ∴32n +2-8n -9(n ∈N *)能被64整除. 4.解析:在通项T k +1=C k10 x 10-k(-2 y )k 中,令k =4,即得(x -2 y )10的展开式中x 6y 4的系数为C 410 ×(-2 )4=840.答案:B5.解析:二项式(2x -1x )6的展开式的通项为T k +1=C k 6 ·(2x )6-k·(-1x)k =(-1)k C k 6 ·26-k·x6-32k .令6-32k =0,解得k =4,所以常数项为(-1)4×C 46 ×22=60.答案:60 6.解析:(x +124x)n 的展开式中前三项的系数分别为C 0n ,12C 1n ,14C 2n ,由题意知C 1n =C 0n +14 C 2n ,所以n =1+n (n -1)8,即n 2-9n +8=0,解得n =8或n =1(舍去).则二项式(x +124x)8的展开式的通项为T k +1=C k8 ·x8-k 2·12k ·x -k4 =12k ·C k 8 ·x 4-34k.(1)令4-34 k =1,得k =4,所以含x 项的系数为124 ×C 48 =358 .(2)设展开式中,第k +1项为有理项,则当k =0,4,8时对应的项为有理项, 有理项分别为T 1=x 4,T 5=358 x ,T 9=1256x2 .7.解析:设(2x +x 2)10=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 20x 20,令x =1,则a 0+a 1+a 2+…+a 20=310.故选C.答案:C8.解析:设(1-2x )(1-x )8=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9,则所有奇数项的系数和为a 0+a 2+a 4+a 6+a 8,所有奇次项的系数和为a 1+a 3+a 5+a 7+a 9.令x =1,则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9=0 ①,令x =-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7+a 8-a 9=3×28=768 ②.由①+②,得a 0+a 2+a 4+a 6+a 8=12 ×768=384.由①-②,得a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=-12×768=-384,所以所有奇数项的系数和为384,所有奇次项的系数和为-384.答案:384 -3849.解析:(1)令x =1,得a 0+a 1+a 2+…+a 2 020=(-1)2 020=1.(2)令x =-1,得a 0-a 1+a 2-…-a 2 019+a 2 020=32 020, ① 由(1),知a 0+a 1+a 2+…+a 2 020=1, ②由②-①,得2(a 1+a 3+…+a 2 019)=1-32 020, ∴a 1+a 3+a 5+…+a 2 019=1-32 0202.(3)∵T k +1=(-1)k C k2 020 (2x )k,∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 2 020|=a 0-a 1+a 2-…+a 2 020=32 020.关键能力综合练1.解析:由二项式定理,得(1+2 )5=1+C 15 ×2 +C 25 ×(2 )2+C 35 ×(2 )3+C 45 ×(2 )4+C 55 ×(2 )5=1+52 +20+202 +20+42 =41+292 .所以a =41,b =29,所以a +b =70.故选C.答案:C2.解析:展开式的通项为T k +1=C k n(x )n -k (2x )k =2k C kn x n -3k2 ,令n -3k 2=0,得n =3k .根据题意有2k C k3k =60,验证知k =2,故n =6.答案:B3.解析:因为(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,所以C 25 +a C 15 =5,即10+5a =5,解得a =-1,故选A.答案:A4.解析:二项式(x -a x)8的展开式的通项公式为T k +1=C k 8 x8-k(-a x)k =(-a )k C k 8 x8-2k.对于A :令8-2k =2,解得k =3,所以展开式中x 2的系数(-a )3C 38 =-7,解得a =12,故A 正确;对于B :二项式(x -a x )8即(x -12x )8,展开式的通项公式为T k +1=(-12)k C k 8 x 8-2k.令8-2k =6,解得k =1,所以展开式中含x 6项的系数是(-12 )1C 18 =-4,故B 正确;令8-2k =-1,解得k =92 ,不为整数,故展开式中不含x -1项,故C 错误;令8-2k =0,解得k =4,所以展开式中常数项为(-12 )4C 48 =358,故D 错误.故选AB.答案:AB5.解析:(x +1x 2 -1)6=[(x +1x2 )-1]6,展开式的通项为T r +1=C r 6 (x +1x 2 )6-r (-1)r =C r 6 ·(-1)r(x +1x2 )6-r (r =0,1,…,6),对于(x +1x 2 )6-r ,设其展开式的通项为U k +1=C k 6-r x 6-r -k (1x2 )k =C k 6-r x 6-r -3k (k =0,1,…,6),令6-r -3k =2,所以r +3k =4,解得r =1,k =1或者r =4,k =0.所以(x +1x2 -1)6展开式x 2的系数为C 16 (-1)1C 15 +C 46 (-1)4C 02 =-15,故选B.答案:B6.解析:∵512 017+a =(52-1)2 017+a =C 02 017 ·522 017-C 12 017 522 016+…+C 2 0162 017 521-1+a 能被13整除,且0≤a <13,a ∈Z ,∴-1+a 能被13整除,故a =1.答案:17.解析:由(x +2)n (n ∈N *)的展开式的第4项为23C 3n x n -3,第3项的二项式系数是C 2n ,可知23C 3n xn -3=52 ,C 2n =15,可得n =6,x =14. 答案:148.解析:当x =1时,(1+2x 2)(1+1x)n 的展开式中所有项的系数和为3×2n=96,解得n =5,∴(1+1x )5展开式的通项为T k +1=C k 5 1xk ,∴(1+2x 2)(1+1x )5展开式中含1x2 项的系数为C 25 +2C 45 =20.答案:209.解析:(1)(x -23x )n (n ∈N *)的展开式的通项为T k +1=C k n (x )n -k(-23x)k =C k n (-2)kx3n -5k 6.由于展开式中第5项的系数与第3项的系数的比为30∶1, 则C 4n 24C 2n 22 =30,化简得n 2-5n -84=0, 解得n =12或n =-7(舍去), 则展开式的通项为T k +1=C k12 (-2)kx36-5k 6,当k =0,6,12时对应的项为有理项,即T 1=x 6,T 7=C 612 26x ,T 13=C 1212 ·212x -4.(2)n +6C 2n +36C 3n +…+6n -1C nn =C 112 +6C 212 +36C 312 +…+612-1C 1212=16 (1+6C 112 +62C 212 +63C 312 +…+612C 1212 )-16 =16 ×(1+6)12-16 =712-16.(3)设第k +1项的系数的绝对值最大, 由T k +1=C k12 (-2)k·x36-5k 6,得⎩⎪⎨⎪⎧C k12 2k≥C k -112 2k -1,C k 12 2k ≥C k +112 2k +1, 即⎩⎪⎨⎪⎧2C k12 ≥C k -112 ,C k 12 ≥2C k +112 ,即有⎩⎪⎨⎪⎧ 26-2k ≥k ,24-2k ≤1+k ,解得233 ≤k ≤263 ,则k =8,故系数的绝对值最大的项为T 9=C 81228x -23.学科素养升级练1.解析:因为(x +a x)(2x -1x)5的展开式中各项系数的和为2,令x =1得,1+a =2,所以a =1,故A 正确;(x +a x)(2x -1x)5=(x +1x)(2x -1x)5,(2x -1x)5展开式的通项为C k5 (2x )5-k·(-1x)k =C k 5 25-k (-1)k x 5-2k(k =0,1,…,5).令5-2k =5,解得k =0,所以x 6的系数是32,故B 错误;令5-2k =-2,无整数解,令5-2k =0,无整数解,所以展开式中不含x -1项,故C 错误;令5-2k =-1,解得k =3,令5-2k =1,解得k =2,所以展开式中的常数项为C 35 ·22·(-1)3+C 25 ·23·(-1)2=40,故D 正确.故选AD.答案:AD2.解析:(1)由题意知,m +n =19,所以m =19-n , 令x 2项的系数为C 2m +C 2n =C 219-n +C 2n =(19-n )(18-n )2 +n (n -1)2=n 2-19n+171=(n -192 )2+3234 .因为n ∈N *,所以当n =9或n =10时,含x 2项的系数最小,为(12 )2+3234=81. (2)当n =9,m =10或n =10,m =9时,x 2项的系数取最小值,此时x 7项的系数为C 710 +C 79 =C 310 +C 29 =156.。

(完整版)二项式定理(习题含答案)

(完整版)二项式定理(习题含答案)

(完整版)⼆项式定理(习题含答案)⼆项式定理⼀、求展开式中特定项 1、在的展开式中,的幂指数是整数的共有() A .项 B .项 C .项 D .项【答案】C 【解析】,,若要是幂指数是整数,所以0,6,12,18,24,30,所以共6项,故选C .3、若展开式中的常数项为.(⽤数字作答)【答案】10【解】由题意得,令,可得展⽰式中各项的系数的和为32,所以,解得,所以展开式的通项为,当时,常数项为, 4、⼆项式的展开式中的常数项为.【答案】112【解析】由⼆项式通项可得,(r=0,1,,8),显然当时,,故⼆项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________.【答案】.【解析】因为中的展开式通项为,当第⼀项取时,,此时的展开式中常数为;当第⼀项取时,,此时的展开式中常数为;所以原式的展开式中常数项等于,故应填. 6、设,则的展开式中常数项是.【答案】 332,30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+?==30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为,所以所求常数项为.⼆、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是()A .B .C .D .【答案】A【解析】由通式,令,则展开式中项的系数是.8、在x (1+x )6的展开式中,含x 3项的系数是.【答案】15【解】的通项,令可得.则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是.【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成,所以的项的系数为. 10、已知,那么展开式中含项的系数为.【答案】135【解析】根据题意,,则中,由⼆项式定理的通项公式,可设含项的项是,可知,所以系数为.11、已知,则等于()A .-5B .5C .90D .180【答案】D 因为,所以等于选D.12、在⼆项式的展开式中,只有第5项的⼆项式系数最⼤,则________;展开式中的第4项=_______.6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?)(3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=nx x )(3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x )(3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】,.【解析】由⼆项式定理展开通项公式,由题意得,当且仅当时,取最⼤值,∴,第4项为. 13、如果,那么的值等于()(A )-1 (B )-2 (C )0 (D )2 【答案】A【解析】令,代⼊⼆项式,得,令,代⼊⼆项式,得,所以,即,故选A .14、(﹣2)7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解:把x=1代⼊⼆项式,可得(﹣2)7 =﹣1, 15、(x ﹣2)(x ﹣1)5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解:在(x ﹣2)(x ﹣1)5的展开式中,令x=1,即(1﹣2)(1﹣1)5=0,所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中,所有项的系数和为,则的系数等于.【答案】【解析】当时,,解得,那么含的项就是,所以系数是-270. 17、设,若,则.【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1 a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a ++++=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?,令得:,即再令得:,即所以18、设(5x ﹣)n 的展开式的各项系数和为M ,⼆项式系数和为N ,若M ﹣N=240,则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解:由于(5x ﹣)n 的展开式的各项系数和M 与变量x ⽆关,故令x=1,即可得到展开式的各项系数和M=(5﹣1)n =4n .再由⼆项式系数和为N=2n ,且M ﹣N=240,可得 4n ﹣2n =240,即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16,或 2n =﹣15(舍去),∴n=4. (5x ﹣)n 的展开式的通项公式为 T r+1=(5x )4﹣r ?(﹣1)r ?=(﹣1)r ?54﹣r ?.令4﹣=1,解得 r=2,∴展开式中x 的系数为(﹣1)r54﹣r=1×6×25=150,19、设,则.【答案】【解析】,所以令,得到,所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项,则()A .B .C .D .【答案】B【解析】根据⼆项式展开公式有第四项为,第四项为常数,则必有,即,所以正确选项为B. 21、⼆项式的展开式中的系数为15,则()(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -?=+?+? ++?K 01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】⼆项式的展开式中的通项为,令,得,所以的系数为,解得;故选B . 22、(a +x)4的展开式中x 3的系数等于8,则实数a =________.【答案】2【解析】∵,∴当,即时,. 23、若的展开式中的系数为10,则实数() A1 B .或1 C .2或 D .【答案】B.【解析】由题意得的⼀次性与⼆次项系数之和为14,其⼆项展开通项公式,∴或,故选B . 24、设,当时,等于()A .5B .6C .7D .8 【答案】C .【解析】令,则可得,故选C .四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析:先将幂利⽤⼆项式表⽰,使其底数⽤8的倍数表⽰,利⽤⼆项式定理展开得到余数.试题解析:解:∵20152015=2015=?20162015﹣?20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣,故20152015除以8的余数为﹣=﹣1,即20152015除以8的余数为7,)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2 312(21)22222225418721n nn n n +-++++==-=?+=?=-。

二项式定理训练题(含答案)

二项式定理训练题(含答案)

二项式定理训练题一、单选题(共4题;共8分)1.若二项式的展开式中各项的系数和为243,则该展开式中含x项的系数为()A. 1B. 5C. 10D. 202.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5,则的系数为()A. 14B.C. 240D.3.若,则的值为()A. B. C. D.4.在(x2﹣x﹣2)5的展开式中,x3的系数为()A. ﹣40B. 160C. 120D. 200二、填空题(共13题;共15分)5.二项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中,x3的系数为________.8.已知的展开式中各项系数和为2,则其展开式中常数项是________.9.的二项展开式中,含项的系数为________.10.若,则的展开式的第4项的系数为________.(用数字作答)11.二项式的展开式的各项系数之和为________,的系数为________.12.已知的展开式中的系数为108,则实数________.13.的展开式中,的系数是20,则________.14.展开式中的系数是15,则展开式的常数项为________,展开式中有理项的二项式系数和为________.15.在的展开式中,的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中,的系数为15,则实数________.三、解答题(共3题;共25分)18.已知展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992,其中.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求其展开式中的有理项.19.设.(1)求;(2)求及关于的表达式.20.已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.(1)求的展开式中的常数项;(2)在(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x) 的展开式中,求项的系数.(结果用数字作答)答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得,解得,二项式展开式的通项公式为,令,解得,故展开式中含x项的系数为.故答案为:C.【分析】令,结合展开式中各项的系数和为234列方程,求得n的值,再利用二项式展开式的通项公式,即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】二项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5,可得:.解得:.所以令,解得:,所以的系数为故答案为:C【分析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得:,令展开式通项中x的指数为3,即可求得,问题得解.3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为:,故,,根据对称性知:.故答案为:C.【分析】计算,根据二项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵(x2﹣x﹣2)5=(x+1)5(x﹣2)5,∴x3的系数为.故答案为:C.【分析】先把(x2﹣x﹣2)5变形为(x+1)5(x﹣2)5,再利用二项式定理中的通项公式求出结果.二、填空题5.【答案】60【解析】【解答】二项式的展开式的通项公式为,令,解得,所以该二项式展开式中常数项为,故答案为:60。

二项式定理训练题(含答案)

二项式定理训练题(含答案)

⼆项式定理训练题(含答案)⼆项式定理训练题⼀、单选题(共4题;共8分)1.若⼆项式的展开式中各项的系数和为243,则该展开式中含x项的系数为()A. 1B. 5C. 10D. 202.已知⼆项式的展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5,则的系数为()A. 14B.C. 240D.3.若,则的值为()A. B. C. D.4.在(x2﹣x﹣2)5的展开式中,x3的系数为()A. ﹣40B. 160C. 120D. 200⼆、填空题(共13题;共15分)5.⼆项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中,x3的系数为________.8.已知的展开式中各项系数和为2,则其展开式中常数项是________.9.的⼆项展开式中,含项的系数为________.10.若,则的展开式的第4项的系数为________.(⽤数字作答)11.⼆项式的展开式的各项系数之和为________,的系数为________.12.已知的展开式中的系数为108,则实数________.13.的展开式中,的系数是20,则________.14.展开式中的系数是15,则展开式的常数项为________,展开式中有理项的⼆项式系数和为________.15.在的展开式中,的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中,的系数为15,则实数________.三、解答题(共3题;共25分)18.已知展开式中各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992,其中.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求其展开式中的有理项.19.设.(1)求;(2)求及关于的表达式.20.已知⼆项式的⼆项展开式中所有奇数项的⼆项式系数之和为128.(1)求的展开式中的常数项;(2)在(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x) 的展开式中,求项的系数.(结果⽤数字作答)答案解析部分⼀、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得,解得,⼆项式展开式的通项公式为,令,解得,故展开式中含x项的系数为.故答案为:C.【分析】令,结合展开式中各项的系数和为234列⽅程,求得n的值,再利⽤⼆项式展开式的通项公式,即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】⼆项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5,可得:.解得:.所以令,解得:,所以的系数为故答案为:C【分析】由⼆项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5可得:,令展开式通项中x的指数为3,即可求得,问题得解.3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为:,故,,根据对称性知:.故答案为:C.【分析】计算,根据⼆项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵(x2﹣x﹣2)5=(x+1)5(x﹣2)5,∴x3的系数为.故答案为:C.【分析】先把(x2﹣x﹣2)5变形为(x+1)5(x﹣2)5,再利⽤⼆项式定理中的通项公式求出结果.⼆、填空题5.【答案】60【解析】【解答】⼆项式的展开式的通项公式为,令,解得,所以该⼆项式展开式中常数项为,故答案为:60。

(完整版)二项式定理(习题含答案)

(完整版)二项式定理(习题含答案)

二项式定理一、求展开式中特定项1、在30的展开式中,x 的幂指数是整数的共有( )A .4项 B .5项 C .6项 D .7项【答案】C【解析】()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=,30......2,1,0=r ,若要是幂指数是整数,所以=r 0,6,12,18,24,30,所以共6项,故选C . 3、若2531()x x +展开式中的常数项为 .(用数字作答)【答案】10【解】由题意得,令1x =,可得展示式中各项的系数的和为32,所以232n =,解得5n =,所以2531()x x +展开式的通项为10515r r r T C x -+=,当2r =时,常数项为2510C =,4、二项式82x的展开式中的常数项为 .【答案】112【解析】由二项式通项可得,3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T (r=0,1,,8),显然当2=r 时,1123=T ,故二项式展开式中的常数项为112.5、41(23)x x--的展开式中常数项等于________.【答案】14.【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r r x -,当第一项取2时,04C 1=,此时的展开式中常数为2;当第一项取1x-时,14C (3)12x -=-,此时的展开式中常数为12;所以原式的展开式中常数项等于14,故应填14.6、设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰,则()622x ⎛-⋅+ ⎝的展开式中常数项是 .【答案】332=-332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰,6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r rr r r r r T C C x ---+==-⋅⋅,所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-.二、求特定项系数或系数和7、8()x -的展开式中62x y 项的系数是( )A .56B .56-C .28D .28-【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--,令2=r ,则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C .8、在x (1+x )6的展开式中,含x 3项的系数是 .【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=,令2r =可得2615C =.则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是 .【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅)(两部分组成,所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C .10、已知dx x n 16e 1⎰=,那么nxx (3-展开式中含2x 项的系数为 .【答案】135【解析】根据题意,66e111ln |6e n dx x x=⎰==,则n x x )(3-中,由二项式定理的通项公式1r n r rr n T C a b -+=,可设含2x 项的项是616(3)r r r r T C x -+=-,可知2r =,所以系数为269135C ⨯=.11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ,则8a 等于( )A .-5B .5C .90D .180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-,所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选D.12、在二项式1)2nx -的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则=n ________;展开式中的第4项=_______.【答案】8,1937x -.【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r rr nn T C x x C x -++=-⋅=-,由题意得,当且仅当4n =时,rn C 取最大值,∴8n =,第4项为1193)333381()72C x x +-=-.13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ,那么017a a a +++ 的值等于( )(A )-1 (B )-2 (C )0 (D )2【解析】令1x =,代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ,得70127(12)1a a a a -=++++=- ,令0x =,代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ,得70(10)1a -==,所以12711a a a ++++=- ,即1272a a a +++=- ,故选A .14、(﹣2)7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解:把x=1代入二项式,可得(﹣2)7 =﹣1,15、(x﹣2)(x﹣1)5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0解:在(x﹣2)(x﹣1)5的展开式中,令x=1,即(1﹣2)(1﹣1)5=0,所以展开式中所有项的系数和等于0.16、在*3)()n n N ∈的展开式中,所有项的系数和为32-,则1x 的系数等于.【答案】270-【解析】当1=x 时,()322--=n,解得5=n ,那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯,所以系数是-270.17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰,若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ,则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= .【答案】0.【解析】由0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos 0sin 0)2ππ=-----=,令1x =得:80128(121)a a a a -⨯=++++ ,即01281a a a a ++++= 再令0x =得:80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯ ,即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设(5x﹣)n 的展开式的各项系数和为M ,二项式系数和为N ,若M﹣N=240,则展开式中x 的系数为 .【答案】150解:由于(5x﹣)n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关,故令x=1,即可得到展开式的各项系数和M=(5﹣1)n =4n .再由二项式系数和为N=2n ,且M﹣N=240,可得 4n ﹣2n =240,即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16,或 2n =﹣15(舍去),∴n=4.(5x﹣)n 的展开式的通项公式为 T r+1=?(5x )4﹣r ?(﹣1)r ?=(﹣1)r?54﹣r ?.令4﹣=1,解得 r=2,∴展开式中x 的系数为 (﹣1)r?54﹣r =1×6×25=150,19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ,则178a a a +++= .【答案】255【解析】178a a a +++= 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-,所以令1-=x ,得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-,所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、求参数问题20、若n的展开式中第四项为常数项,则n =( )A .4B .5C .6D .7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ,第四项为常数,则必有025=-n ,即5=n ,所以正确选项为B.21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15,则=n ( )A 、5 B 、 6 C 、8 D 、10【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1,令2=-k n ,得2-=n k ,所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n ,解得6=n ;故选B .22、(a +x)4的展开式中x 3的系数等于8,则实数a =________.【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x -,∴当43r -=,即1r =时,133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=.23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10,则实数a =( )A1 B .53-或1 C .2或53- D. 【答案】B.【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14,其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=,∴22144101C a C a a +=⇒=或53-,故选B .24、设23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时,n 等于( )A .5B .6C .7D .8【答案】C. 【解析】令1x =,则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-,故选C .四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( )【答案】7【解析】试题分析:先将幂利用二项式表示,使其底数用8的倍数表示,利用二项式定理展开得到余数.试题解析:解:∵20152015=2015=?20162015﹣?20162014+?20162013﹣20162012+…+?2016﹣,故20152015除以8的余数为﹣=﹣1,即20152015除以8的余数为7,。

二项式定理测试题及答案

二项式定理测试题及答案

二项式定理测试题及答案二项式定理测试题一、选择题1.(x-1)的10次方的展开式的第6项的系数是().A。

C10B。

-C10C。

C10D。

-C102.(2x+x)的展开式中x的3次方的系数是().A。

6B。

12C。

24D。

483.(1-x的3次方)(1+x)的10次方的展开式中x的5次方的系数是().A。

-297B。

-252C。

297D。

2074.(Ax+B)的展开式中,各项都含有x的奇次幂,则n().A。

必为偶数B。

必为奇数C。

奇偶数均可D。

不存在这样的正整数5.二项式的展开式中二项式系数最大的项为().A。

第6项B。

第5、6项C。

第7项D。

第6、7项6.设(2+x) = a + a1/x + a2/x的10次方 + a10/x的10次方,则(a+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值是()A。

1B。

-1C。

0D。

(2-1)7.把(x-1)的9次方按x降幂排列,系数最大的项是()A。

第四项和第五项B。

第五项C。

第五项和第六项D。

第六项8.若(3x-4)的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为()A。

-540B。

-162C。

162D。

540二、填空题9.9192被100除所得的余数为92.+3Cn+5Cn+n+(2n+1)Cn=2n+3Cn。

11.在(x2+x-1)的7次方(2x+1)的4次方的展开式中,奇数项的系数的和为0.12.(x+4)的展开式中系数最大的项为C4.三、解答题13.(3x+4)的展开式为:81x的4次方+108x的3次方+54x 的2次方+12x+1.14.已知二项式(3x-1/3):1) 展开式第四项的二项式系数为35.2) 展开式第四项的系数为-80/27.15.在(5x-2y)的20次方的展开式中,系数最大的项是C10*(5x)的10次方*(-2y)的10次方,系数最小的项是C20*(-2y)的20次方。

2.由题意可得,4-r+r=3,解得r=2.因此,223x的系数为C4-2=6,乘以2得到答案为12.3.展开(1-x)(1+x),得到1-x^2.展开式中含x项的系数为-1,因此,1-x^2中含x项的系数为0.而1-x^2=(1+x)-(x^2),因此,含x项的系数为1,含x^2项的系数为-1.因此,x项系数为-C10=-207.4.展开式中的一般项为Tr+1=C(Ax)^r+1,其中A=5,x=-1.要使展开式中含有x^10,必须使n为奇数。

(完整word版)高中数学二项式定理练习题.doc

(完整word版)高中数学二项式定理练习题.doc

选修 2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题1.二项式 (a + b)2n 的展开式的项数是 ( )A .2nB .2n +1C .2n - 1D .2(n +1)2.(x -y)n 的二项展开式中,第 r 项的系数是 ()A .C rr +1nB .C nr -1D .(- 1) r -1 r -1C .C n C n.在 - 10 的展开式中, x 6的系数是 ( )3 (x 3)64A .- 27C 10B .27C 106 4C .- 9C 10D .9C 104.(2010 全·国Ⅰ理, 5)(1+2x)3(1- 3x)5 的展开式中 x 的系数是 ( )A .- 4B .- 2C .2D .45.在 2x 3+ 12 n ∈ * 的展开式中,若存在常数项,则n 的最小值是 ( )x (n N )A .3B .5C .8D .10.在 - 3 + x) 10的展开式中 x 5的系数是 ( )6 (1 x )(1 A .- 297 B .- 252C .297D .2077.(2009 北·京 )在 x 2-1 n的展开式中,常数项为 15,则 n 的一个值可以是x()A .3B .4C .5D .6a 53的系数为 10,则实数 a 等于8.(2010 陕·西理, 4)(x +x ) (x ∈R)展开式中 x ()19.若 (1+ 2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项,则 x 的取值范围是()11 1 1A.12< x < 5B.6<x <51 21 2C.12< x < 3D.6<x <5.在3120的展开式中,系数是有理数的项共有 ()102x - 2A .4 项B .5 项C .6 项D .7 项二、填空题. + + 2·- x) 10 的展开式中, x 5 的系数为 ____________. 11 (1 x x ) (1. + 2 - x) 5 的展开式中 x 3的系数为 ________. 12 (1 x) (12 + 1 63 5 .若 x 的二项展开式中 x 的系数为 ,则 a =________(用数字作答 ).13 ax 2. ·宁理,辽 + + 2-1 6 的展开式中的常数项为 ________. 14 (201013)(1x x )(xx)三、解答题15.求二项式 (a +2b)4的展开式.16. m 、 n ∈ N * ,f(x)= (1+x)m +(1+x)n 展开式中 x 的系数为 19,求 x 2 的系数的最小值及此时展开式中 x 7 的系数.17.已知在 (3x -1)n 的展开式中,第 6 项为常数项.3(1)求 n ;(2)求含 x 2 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.118.若x +4n 展开式中前三项系数成等差数列.求:展开式中系数最 2 x大的项.1.[答案 ]B2[答案 ] D 3 [ 答案 ] D[ 解析 ]r 10- r(- 3) r.令 10-r = 6,∵ T r +1 =C 10x解得 r = 4.∴系数为 (-4443) C 10=9C 10. 4[答案 ] C[ 解析 ] (1+ 2 x)3(1- 3 x)5=(1 +6 x + 12x + 8x x)(1-3x)5,故(1+ 2 33 5 3 (- 3 3 0=- 10x + 12x = 2x ,所以 x 的系数为 x) (1- x) 的展开式中含 x 的项为 1×C 5 x) + 12xC 5 2.5[答案 ] Br3 n - r1 rn - rr 3n - 5r[ 解析 ] T r +1= C n (2x ) (x 2) = 2·C n x .令 3n -5r =0,∵ 0≤r ≤ n ,r 、 n ∈ Z .∴n 的最小值为 5.6[答案 ] D[ 解析 ] x 5 应是 (1+ x)10 中含 x 5 项与含 x 2 项. ∴其系数为 C 5 + C 2 (- 1)= 207.10107[答案 ] D[ 解析 ] r2 n - r1 rr r 2n -3rr通项 T r + 1=C 10( x ) (- x ) = (- 1) C n x,常数项是 15,则 2n = 3r ,且 C n = 15,验证 n =6时, r =4 合题意,故选 D.8[答案 ] D [ 解析 ]r r a 5- rr 5- r 2r - 5 ,令 2r -5=3, ∴r = 4,C 5·x ( x ) = C 5·a x4由 C 5·a = 10,得 a =2.9[答案 ]AT 2>T 11[ 解析 ] 由C 62x>1∴1< x <1.T 2>T 3 得 1 2 2C 62x>C 6(2x) 12510[ 答案 ]Ar320- r- 1 r 2 r320- r r20-r[ 解析 ] T r +1= C 20( 2x) 2 = - 2·( 2) C 20·x ,∵系数为有理数,20- r∴( 2)r与 2 3 均为有理数,∴ r 能被 2 整除,且 20- r 能被 3 整除,故 r 为偶数, 20-r 是 3 的倍数, 0≤r ≤ 20.∴ r = 2,8,14,20.11[答案 ] - 16212[ 答案 ] 5[ 解析 ] 解法一: 先 形 (1+x)2(1 -x)5=(1 -x)3·(1- x 2) 2= (1-x)3(1 +x 4- 2x 2) ,展开式中 x 3 的系数 -1+ (- 2) ·C 1( -1)= 5;3331222 1-1)= 5.解法二: C 5( -1) +C 2 ·C 5(- 1) +C 2C 5( 13[ 答案 ] 232 31 320 35 3[ 解析 ] C 6(x ) ·(ax) = a 3 x= 2x , ∴a =2.14[ 答案 ] -51[ 解析 ] (1+ x +x 2)(x - x )61 1 1 =(x -x)6+ x (x - x )6+x 2(x -x )6,1 6 1 1r 6 rr rr 6 2r∴要找出 (x - x )中的常数 ,x 的系数, x 2 的系数, T r + 1=C 6x- (- 1) x -r= C 6( -1) x-,令 6- 2r =0, ∴r = 3,令 6- 2r =- 1,无解.令 6- 2r =- 2,∴ r =4.∴常数 -34C6+ C 6=- 5. 15[ 解析 ] 根据二 式定理n0 n 1 n -1k n - k kn n(a +b) = C n a + C n a b + ⋯+ C n a b + ⋯+ C n b n 得40 41 32 22 3 3 4 4 4 3 2 2 3 4(a +2b) =C 4 a + C 4a (2b)+ C 4a (2b) + C 4a(2b) + C 4(2b) =a +8a b + 24a b +32ab +16b .16[ 解析 ] 由 m + n =19,∵m , n ∈ N *.m =1 m =2 m = 18∴ , , ⋯,n = 1 . n =18 n = 1722 2 = 1 2 1 2 2 - 19m +171. x 的系数 C m +C n 2(m -m)+ 2 (n -n)= m∴当 m =9 或 10 , x2的系数取最小7 的系数 7781,此 xC 9+C 10= 156. 17[ 解析 ] r 3 x) n - r ·(- 1 r(1)T r +1 =C n ·( )2 3xr1 n - r1 ·x - 1 ) r=C n ·(x )·(-332=( -1)r ·C r ·xn - 2r. n23∵第 6 常数 ,n -2r∴r = 5 时有 = 0, ∴n = 10.3n -2r1(2)令3 =2,得 r =2( n -6)= 2,∴所求的系数为 2 1 2 45 C 10(- ) =4 .210- 2r∈Z(3)根据通项公式,由题意得:30≤ r ≤ 10r ∈Z10-2r= k(k ∈ Z),则 10- 2r =3k , 令310-3k 3 即 r =2 =5-2k.∵r ∈ Z ,∴ k 应为偶数, ∴ k 可取 2,0,- 2,∴r = 2,5,8,∴ 第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项.21 22 51 5它们分别为 C 10·(-2)·x ,C 10(-2) ,C 8 ·(-1)8·x - 2. 102rn - r1 r[ 解析 ]x) · 4 . 通项为: T r +1= C n ·( x 22 11 1由已知条件知: C n +C n ·2n ·,解得: n = 8.2 = 2C 2 记第 r 项的系数为 t r ,设第 k 项系数最大,则有:t k ≥ t k + 1 且 t k ≥ t k - 1.又 t =C r - 1·2-r +1,于是有:r8k 1 ·2-k +1 k·2-k C 8-≥C 8k 1 ·2-k +1k 2 ·2- k + 2 C 8-≥C 8-8! × 2≥ 8!( k -1)! ·(9 -k) ! ,k ! (8-k)! 即8!8!≥( k -1)! ·(9 -k) ! × 2.(k - 2)!·(10- k) !2≥1,9- kk∴解得 3≤ k ≤4.12≥.37 ∴系数最大项为第 3 项 T3= 7·x5和第 4 项 T4=7·x4.。

二项式定理(题型及答案)

二项式定理(题型及答案)

⼆项式定理(题型及答案)1、(1) 已知92-x x a 的展开式中3x 的系数为49,常数a 的值为___________. (2)设k=1,2,3,4,5,则的展开式中的系数不可能是()A. 10B. 40C. 50D. 80(3)若展开式中含项的系数与含项的系数之⽐为-5,则n 等于()A. 4B. 6C. 8D. 102、求值: (1) =-++?-?+-nn n n n C C C 3)1(333133221(2) S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1= (3)=3、试求下列⼆项展开式中指定项的系数:(1)(a+b+c)10的展开式中,含a 5b 3c 2的系数为_________(2)求的常数项(3) 的展开式中项的系数(4) 的展开式中项的系数(5) 的展开式中项的系数(6) 的展开式中x 项的系数(7) 的展开式中项的系数(8)5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为。

,其中b 0+b 1+b 2+……+b n =62, 则n=_________(Ⅱ)如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是()A. 7B. –7C. 21D. –21(Ⅲ)已知(1)求a 0, (2)求a 1+a 2+a 3+a 4+a 5(3)求(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3+a 5)2(4)求a 1+a 3+a 5 (5)|a 0|+|a 1|+……+|a 5|5、已知⼆项式展开式中,末三项的系数依次成等差数列,求此展开式中所有的有理项。

~6、已知nx x )3(232 的展开式各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992. (1)展开式中⼆项式系数最⼤的项 (2)求展开式中系数最⼤的项.]*7、已知的展开式中奇数项的⼆项式系数之和等于512,试求:(1)⼆项式系数最⼤的项;(2)系数的绝对值最⼤的项;(3)系数最⼤的项。

高考数学《二项式定理》真题含答案

高考数学《二项式定理》真题含答案

高考数学《二项式定理》真题含答案一、选择题1.(x +1)6的展开式中的第二项为( )A .6xB .15x 2C .6x 5D .15x 4答案:C2.⎝⎛⎭⎫x 2-2x 3 5 的展开式中的常数项为( ) A .80 B .-80C .40D .-40答案:C解析:由二项展开式通项知T k +1=(-2)k C k 5 ·(x 2)5-k ⎝⎛⎭⎫1x 3 k=(-2)k C k 5 x 10-5k ,令10-5k =0,得k =2.∴常数项为T 3=(-2)2C 25 =40.3.(多选)已知(a +2b )n 的展开式中第6项的二项式系数最大,则n 的值可能为( )A .8B .9C .10D .11答案:BCD4.若(x +2)⎝⎛⎭⎫a x -x 5 展开式中的常数项为80,则a =( )A .-2B .2C .±2D .4答案:B解析:⎝⎛⎭⎫a x -x 5 的展开式的通项公式为T k +1=C k 5 ·(-1)k ·a 5-k ·x 2k -5,显然,2k -5为奇数,故(x +2)⎝⎛⎭⎫a x -x 5 展开式中的常数项为C 25 ·a 3=80,所以a =2. 5.若(x -2y )6的展开式中的二项式系数和为S ,x 2y 4的系数为P ,则P S为( ) A .152 B .154C .120D .240答案:B解析:由题意得S =26=64,P =C 46 (-2)4=15×16=240,∴P S =24064 =154. 6.在二项式⎝⎛⎭⎫x +3x n 的展开式中,各项系数之和为A ,各项二项式系数之和为B ,且A +B =72,则展开式中常数项的值为( )A .6B .9C .12D .18答案:B解析:在⎝⎛⎭⎫x +3x n的展开式中令x =1,得A =4n ,各项二项式系数之和为B =2n ,由 4n +2n =72,得n =3,∴⎝⎛⎭⎫x +3x n =⎝⎛⎭⎫x +3x 3 ,其通项为T k +1=C k 3 (x )3-k ⎝⎛⎭⎫3x k =3k C k 3 x 3-3k 2,令3-3k 2=0,得k =1,故展开式的常数项为T 2=3C 13 =9. 7.⎝⎛⎭⎫x +y 2x (x +y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A .5 B .10C .15D .20答案:C解析:要求⎝⎛⎭⎫x +y 2x (x +y )5的展开式中x 3y 3的系数,只要分别求出(x +y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可,由二项式定理可得(x +y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 =10,x 4y 的系数为C 15 =5,故⎝⎛⎭⎫x +y 2x (x +y )5的展开式中x 3y 3的系数为10+5=15.故选C. 8.设S =(x -1)4+4(x -1)3+6(x -1)2+4(x -1)+1,则S =( )A .(x -2)4B .(x -1)4C .x 4D .(x +1)4答案:C解析:S =C 04 (x -1)4+C 14 (x -1)3+C 24 (x -1)2+C 34 (x -1)1+C 44 (x -1)0=(x -1+1)4=x 4.9.(多选)已知(2+x )(1-2x )5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6,则( )A .a 0的值为2B .a 5的值为16C .a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6的值为-5D .a 1+a 3+a 5的值为120答案:ABC解析:对于A ,令x =0,得a 0=2×1=2,故A 正确;对于B ,(1-2x )5的展开式的通项T k +1=C k 5 (-2x )k =(-2)k C k 5 x k ,所以a 5=2×(-2)5C 55 +1×(-2)4C 45 =-64+80=16,故B 正确;对于C ,令x =1,得(2+1)(1-2×1)5=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6 ①,即a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=-3-a 0=-3-2=-5,故C 正确;对于D ,令x =-1,得(2-1)[1-2×(-1)]5=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6 ②,由①②解得a 1+a 3+a 5=-123,故D 不正确.综上所述,选ABC.二、填空题10.[2024·全国甲卷(理)](13+x )10的展开式中,各项系数中的最大值为______. 答案:5解析:方法一 二项式(13 +x )10的展开式的通项为T k +1=C k 10 (13)10-k x k . 由⎩⎨⎧Ck 10 (13)10-k >C k -110 (13)11-k ,C k 10 (13)10-k >C k +110 (13)9-k ,解得294 <k <334. 又k ∈N *,所以k =8.所以所求系数的最大值为C 810 (13 )2=5.方法二 展开式中系数最大的项一定在下面的5项中:C 510 (13 )5x 5,C 610 (13)4x 6,C 710 (13 )3x 7,C 810 (13 )2x 8,C 910 (13 )1x 9,计算可得,所求系数的最大值为C 810 (13)2=5. 11.在二项式(2 +x )9的展开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是______________.答案:162 5解析:该二项展开式的第k +1项为T k +1=C k 9 (2 )9-k x k ,当k =0时,第1项为常数项,所以常数项为(2 )9=162 ;当k =1,3,5,7,9时,展开式的项的系数为有理数,所以系数为有理数的项的个数为5.12.在(x -1x)7的展开式中,系数最大的是第________项. 答案:5解析:二项式⎝⎛⎭⎫x -1x 7的展开式的通项为T k +1=C k 7 ·x 7-k ·(-1)k x -k =(-1)k C k 7 x 7-2k ,故第k +1项的系数为(-1)k C k 7 ,当k =0,2,4,6时,系数为正,因为C 07 <C 67 <C 27 <C 47 ,所以当k =4时,系数最大,是第5项.。

二项式定理4(含答案)

二项式定理4(含答案)

二项式定理知识梳理:1.二项式定理的有关概念(1)二项式定理:(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b 1+…+C k n a n -k b k +…+C n n b n(n ∈N *),这个公式叫做______________.①二项展开式:右边的多项式叫做(a +b )n 的二项展开式. ②项数:二项展开式中共有________项.③二项式系数:在二项展开式中各项的系数________(k =______________)叫做二项式系数.④通项:在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项,用T k +1表示,即通项为展开式的第k +1项:T k +1=____________________.2.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端________的两个二项式系数相等.(2)增减性与最大值:当n 是偶数时,中间的一项二项式系数________________取得最大值;当n 为奇数时,中间的两项二项式系数____________、________________________相等,且同时取得最大值.(3)各二项式系数和:C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n =______,C 0n +C 2n +C 4n +…+C 偶n =________,C 1n +C 3n +C 5n +…+C 奇n =________.自我检测 1.(2011·福建)(1+2x )5的展开式中,x 2的系数等于( ) A .80 B .40 C .20 D .102.(2011·陕西)(4x-2-x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A .-20 B .-15 C .15 D .20 3.(x -2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A .840 B .-840 C .210 D .-2104.(2010·四川)⎝⎛⎭⎪⎫2-13x 6的展开式中的第四项是______.5.(2011·山东)若(x -ax2)6展开式的常数项为60,则常数a 的值为________.6.(2011·烟台期末)已知n 为正偶数,且⎝⎛⎭⎫x 2-12x n 的展开式中第4项的二项式系数最大,则第4项的系数是__________.(用数字作答) 探究点一 二项展开式及通项公式的应用例1 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x -123x n 的展开式中,第6项为常数项. (1)求n ;(2)求含x 2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.变式迁移1 (2010·湖北)在(x +43y )20的展开式中,系数为有理数的项共有________项. 探究点二 二项式系数的性质及其应用例2 (1)求证:C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C nn =n ·2n -1; (2)求S =C 127+C 227+…+C 2727 除以9的余数.变式迁移2 (2011·上海卢湾区质量调研)求C 22n +C 42n +…+C 2k 2n +…+C 2n2n 的值.探究点三 求系数最大项例3 已知f (x )=(3x 2+3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.变式迁移3 (1)在(x +y )n 的展开式中,若第七项系数最大,则n 的值可能等于( ) A .13,14 B .14,15 C .12,13 D .11,12,13(2)已知⎝⎛⎭⎫12+2x n,(ⅰ)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数的最大项的系数;(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.学案 二项式定理自主梳理1.(1)二项式定理 ②n +1 ③C k n 0,1,2,…,n ④C k n an -k b kC k n an -k b k 2.(1)等距离 (2)2nn C 12n n C + 12n nC -(3)2n 2n -1 2n -1自我检测 1.B [(1+2x )5的第r +1项为T r +1=C r 5(2x )r =2r C r 5x r ,令r =2,得x 2的系数为22·C 25=40.]2.C [设展开式的常数项是第r +1项,则T r +1=C r 6·(4x )r ·(-2-x )6-r ,即T r +1=C r 6·(-1)6-r ·22rx ·2rx -6x =C r 6·(-1)6-r ·23rx -6x ,∴3rx -6x =0恒成立.∴r =2,∴T 3=C 26·(-1)4=15.∴选C.]3.A4.-160x5.4解析 (x -a x2)6展开式的通项为T r +1=C r 6x 6-r (-1)r ·(a )r ·x -2r =C r 6x 6-3r(-1)r ·(a )r . 令6-3r =0,得r =2.故C 26(a )2=60,解得a =4.6.-52课堂活动区例1 解题导引 (1)通项T r +1=C r n an -r b r是(a +b )n 的展开式的第r +1项,而不是第r 项;二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念,二项式系数是指C r n ,r =0,1,2,…,n ,与a ,b 的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分.(2)求二项展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项.解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项的方式一致.解 (1)通项公式为T r +1=C r n3n rx-⎝⎛⎭⎫-12r 3rx - =C r n⎝⎛⎭⎫-12r 23n r x -,因为第6项为常数项,所以r =5时,有n -2r3=0,即n =10.(2)令n -2r 3=2,得r =12(n -6)=12×(10-6)=2, ∴所求的系数为C 210⎝⎛⎭⎫-122=454.(3)根据通项公式,由题意得⎩⎨⎧10-2r3∈Z ,0≤r ≤10,r ∈N .令10-2r 3=k (k ∈Z ),则10-2r =3k ,即r =5-32k ,∵r ∈N ,∴k 应为偶数.∴k 可取2,0,-2,即r 可取2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫-122x 2,C 510⎝⎛⎭⎫-125,C 810⎝⎛⎭⎫-128x -2. 变式迁移1 6解析 展开式的通项T r +1=C r 20·x 20-r ·(43y )r =C r 20·x 20-r ·y r ·43r.由0≤r ≤20,r4∈Z 得r =0,4,8,12,16,20.所以系数为有理数的项共有6项.例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中,经常用到形如C 0n =C n n =C n +1n +1,C kn =C n -k n ,k C k n =n C k -1n -1等式子的变形技巧;(2)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式.求余数问题时,应明确被除式f (x )、除式g (x )[g (x )≠0]、商式q (x )与余式的关系及余式的范围.(1)证明 方法一 设S =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+(n -1)·C n -1n +n C n n ,① ∴S =n C n n +(n -1)C n -1n +(n -2)C n -2n +…+2C 2n +C 1n =n C 0n +(n -1)C 1n +(n -2)C 2n +…+2C n -2n +C n -1n ,② ①+②得2S =n (C 0n +C 1n +C 2n +…+C n -1n +C n n )=n ·2n . ∴S =n ·2n -1.原式得证. 方法二 ∵k n C k n =k n ·n !k !(n -k )!=(n -1)!(k -1)!(n -k )!=C k -1n -1,∴k C k n =n C k -1n -1.∴左边=n C 0n -1+n C 1n -1+…+n C n -1n -1=n (C 0n -1+C 1n -1+…+C n -1n -1)=n ·2n -1=右边. (2)解 S =C 127+C 227+…+C 2727=227-1=89-1=(9-1)9-1=C 09×99-C 19×98+…+C 89×9-C 99-1 =9(C 09×98-C 19×97+…+C 89)-2 =9(C 09×98-C 19×97+…+C 89-1)+7,显然上式括号内的数是正整数. 故S 被9除的余数为7.变式迁移2 解 (1+x )2n =C 02n +C 12n x +C 22n x 2+C 32n x 3+…+C 2n 2n x 2n. 令x =1得C 02n +C 12n +…+C 2n -12n +C 2n 2n =22n ;再令x =-1得C 02n -C 12n +C 22n -…+(-1)r C r 2n +…-C 2n -12n +C 2n 2n =0.两式相加,再用C 02n =1,得C 22n +C 42n +…+C 2n 2n =22n2-1=22n -1-1.例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项:如果n 是偶数,则中间一项[第⎝⎛⎭⎫n 2+1项]的二项式系数最大;如果n 是奇数,则中间两项[第n +12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n +12+1项]的二项式系数相等且最大;(2)求展开式系数最大的项:如求(a +bx )n (a ,b ∈R )的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为A 1,A 2,…,A n +1,且第r +1项系数最大,应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r -1A r ≥A r +1解出r 来,即得系数最大的项. 解 (1)令x =1,则二项式各项系数的和为 f (1)=(1+3)n =4n ,又展开式中各项的二项式系数之和为2n . 由题意知,4n -2n =992.∴(2n )2-2n -992=0,∴(2n +31)(2n -32)=0, ∴2n =-31(舍),或2n =32,∴n =5.由于n =5为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是T 3=C 2523x 骣琪琪桫3(3x 2)2=90x 6, T 4=C 3523x 骣琪琪桫2(3x 2)3=270223x .(2)展开式的通项公式为T r +1=C r 53r·()2523r x+.假设T r +1项系数最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r -15·3r -1,C r 53r ≥C r +15·3r +1,∴⎩⎪⎨⎪⎧5!(5-r )!r !×3≥5!(6-r )!(r -1)!,5!(5-r )!r !≥5!(4-r )!(r +1)!×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16-r,15-r ≥3r +1.∴72≤r ≤92,∵r ∈N ,∴r =4. 变式迁移3 (1)D [(1)分三种情况:①若仅T 7系数最大,则共有13项,n =12;②若T 7与T 6系数相等且最大,则共有12项,n =11;③若T 7与T 8系数相等且最大,则共有14项,n =13,所以n 的值可能等于11,12,13,故选D.](2)解 (ⅰ)∵C 4n +C 6n =2C 5n ,∴n 2-21n +98=0.∵n =7或n =14,当n =7时,展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423=352, T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324=70, 当n =14时,展开式中二项式系数的最大的项是T 8. ∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727=3 432. (ⅱ)∵C 0n +C 1n +C 2n =79,∴n 2+n -156=0.∴n =12或n =-13(舍去). 设T k +1项的系数最大, ∵⎝⎛⎭⎫12+2x 12=⎝⎛⎭⎫1212(1+4x )12, ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k -1124k -1,C k 124k ≥C k +1124k +1.∴9.4≤k ≤10.4.∴k =10.∴展开式中系数最大的项为T 11,T 11=⎝⎛⎭⎫1212C 1012410x 10=16 896x 10.专项训练1.在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -2x 6的展开式中x 2的系数是________.解析 设展开式中第r +1项是x 2项, 则由T r +1=C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6-r ·(-2x )r =(-2)r C r 6x2r -6, 得2r -6=2,解得r =4.∴x 2项系数为(-2)4C 46=16×15=240. 答案 2402.若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52,则a =________.解析 设第r +1项的系数为52,则T r +1=C r 6(x 2)6-r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax r =C r 61a r x 12-3r, 令12-3r =3,得r =3,∴C 361a 3=52, ∴a 3=8,a =2. 答案 23.⎝⎛⎭⎪⎫xy-y x 6的展开式中,x 3的系数等于________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫xy -y x 6的通项为T r +1=C r 6⎝⎛⎭⎪⎫x y 6-r ⎝⎛⎭⎪⎫-y x r =C r 6(-1)rx 6-32ry 32r -3, 令6-32r =3,得r =2,32r -3=0,故x 3的系数为C 26(-1)2=15.答案 154.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +1x 27的展开式中倒数第三项为________. 解析 由于n =7,可知展开式中共有8项, ∴倒数第三项也为正数第六项. ∴T 6=C 57(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25=22·C 57·1x 8. 答案 84x 85.已知(1+ax )5=1+10x +bx 2+…+a 5x 5,则b =________. 解析 根据题意知,二项展开式的第二项为C 15·ax =10x ,∴a =2.第三项为C 25·(ax )2=bx 2,即b =40.答案 406.如果⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x 2n 的展开式中第4项与第6项的系数相等,求n 及展开式中的常数项.解 由已知可得C 32n =C 52n ,所以3+5=2n ,即n =4. 所以展开式中的通项为T r +1=C r 8x8-2r , 若它为常数项,则r =4,所以T 5=C 48=70.综合提高 (限时30分钟)7.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-1x n的展开式中,常数项为15,则n =________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-1x n 的通项为T r +1=C r n x 2(n -r )·(-1)r ·x -r =(-1)r ·C r n ·x 2n -3r . 令2n -3r =0,则2n =3r ,即r =23n . 当n =3时,r =2,T r +1≠15, 当n =6时,r =4,T r +1=15. 答案 68.(1+2x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x 8的展开式中的常数项为________.解析 设⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x 8的第r +1项为T r +1=(-1)r C r 8x8-2r. 则令8-2r =0,得r =4;令8-2r =-2,得r =5. 故原式展开式中常数项为1×(-1)4C 48+2×(-1)5C 58=-42.答案 -429.设f (x )=(2x +1)5-5(2x +1)4+10(2x +1)3-10(2x +1)2+5(2x +1)-1,则f (x )=________.解析 f (x )=C 05(2x +1)5+C 15(2x +1)4·(-1)+ C 25(2x +1)3·(-1)2+C 35(2x +1)2·(-1)3+ C 45(2x +1)·(-1)4+C 55(-1)5=(2x +1-1)5=32x 5.答案 32x 510.(1-x )4(1+x )4的展开式中x 项的系数是________. 解析 ∵(1-x )4(1+x )4=(1-x )4,∴展开式中含x 的项为C 14(-x )1=-4x ,故展开式中x 项的系数为-4. 答案 -411.在(3-x )20(x ∈R ,x ≠0)的展开式中,已知第2r 项与第r +1项(r ≠1)的二项式系数相等. (1)求r 的值;(2)若该展开式的第r 项的值与倒数第r 项的值的1256相等,求x 的值.解 (1)由题意知C 2r -120=C r20,即2r -1=r 或2r -1=20-r ,解得r =7或r =1(舍去).(2)T r =C r -120·321-r ·(-x )r -1,当r =7时,T 7=C 620·314·x 6, 倒数第7项,即T 15=C 1420·36·x 14, 由题意C 620·314·x 6=1256·C 1420·36·x 14, 解得x =±6.12.(3x +32)100展开式所得关于x 的多项式中系数为有理数的共有多少项?解,若第k +1项的系数为有理数,则50-k 2,k3均为整数,故k 为6的倍数时,第k +1项的系数为有理数.∵0≤k ≤100,∴k =6×0,6×1,6×2,…,6×16时,项的系数为有理数,故有17项系数为有理数.13.(创新拓展)求⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a 2+110展开式中的常数项. 解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a 2+110=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a 210,则其通项为:T k +1=C k 10·⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a 2k , (其中k =0,1,2,…,9).要求原式的常数项,则需要求⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a 2k 的展开式中的常数项. ∵T r +1=C r k ·a k -r ·a -2r =C r k ·a k -3r (其中r =0,1,2,…,k ). 由题意,令k -3r =0,则k =3r ,即k 是3的倍数,所以k =0,3,6,9.当k =0时,C 010=1.当k =3时,r =1,C 310·C 13=360. 当k =6时,r =2,C 610·C 26=3 150. 当k =9时,r =3,C 910·C 39=840. 所以原式展开式中的常数项是C 010+C 310·C 13+C 610·C 26+C 910·C 39=4 351.高考专区:1.(2011·陕西高考理科·T4)6(42)xx --(x ∈R )展开式中的常数项是 ( )(A )20- (B )15- (C )15 (D )20【思路点拨】根据二项展开式的通项公式写出通项,再进行整理化简,由x 的指数为0,确定常数项是第几项,最后计算出常数项.选C.62(6)1231666(1)(4)(2)(1)22(1)2-----+=-=-⋅⋅=-⋅r r x r x r r r x r xr r rx xr r T C C C , 令1230x xr -=,则4r =,所以45615T C ==,故选C .2.(2011.天津高考理科.T5)在6的二项展开式中,2x 的系数为 ( ) (A )154-(B )154 (C )38-(D )38【思路点拨】利用二项展开式定理求解. 选C. 6226216(1)2--+=-r rrr r T C x,令1422662321,2.28--===-=-r r T C x 得, 3.(2011·福建卷理科·T6)(1+2x )5的展开式中,x 2的系数等于( )(A )80 (B )40 (C )20 (D )10【思路点拨】先利用二项式定理写出展开式中的2x 项,再从中提取“系数”.【精讲精析】选B. 由二项式定理易得,5(12)x +的展开式中的222225240x C x x =项为,2x ∴ 的系数等于40.4.(2011·新课标全国高考理科·T8)512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )(A )-40 (B )-20 (C )20 (D )40【思路点拨】用赋值法求各项系数和,确定a 的值,然后再求常数项,也可以用组合提取法求解.【精讲精析】选D.解析1: 令1x =,可得51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数和为1+a ,∴12a +=,即1a =.51(2)x x -的通项公式5151(2)()r r r r T C x x-+=-552r r C -=⋅52(1).r r x --∴511()(2)x x x x+-的展开式中的常数项为323152(1)x C x -⋅⋅- 232512(1)+⋅⨯-C x x=40. 解析2:用组合提取法,把原式看做6个因式相乘,若第1个括号提出x ,从余下的5个括号中选2个提出x ,选3个提出1x ;若第1个括号提出1x ,从余下的括号中选2个提出1x ,选3个提出x .故常数项为223322335353111(2)()()(2)408040.x C x C C C x xx x⋅⋅-+⋅-⋅=-+= 二、填空题5.(2011·安徽高考理科·T12)设2121221021)1x a x a x a a x ++++=- (,则1110a a += .【思路点拨】利用二项式展开式的性质,可知第11项和第12项二项式系数最大,且项的系数互为相反数.【精讲精析】利用二项式展开式的性质,可知第11项和第12项二项式系数最大,且项的系数互为相反数,即1110a a +=0. 【答案】0。

二项式定理(含答案)

二项式定理(含答案)

二项式定理1.若对于任意实数x ,有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-,则2a 的值为( )A .3B .6C .9D .122. 在()()1n x n N *+∈的二项展开式中,若只有5x 的系数最大,则n =A .8B . 9 X. 10 D .113. 已知n 展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n 等于( )A.4B.5C.6 D.74.设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ,则01211a a a a ++++ 的值为( )A.2-B.1-C.1 D.25. 如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值为( ) A.3B.5C.6D.106. (1+2x 2)(x -1x)8的展开式中常数项为 。

(用数字作答)7.若(ξ+12x)ν的展开式中前三项的系数成等差数,则展开式中ξ4项的系数为 (A)6(B)7(X)8 (∆)98. 若9m x⎛-⎝的展开式中3x 的系数是94,则常数m 的值为9. 已知n 展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64, (1)求n ;(2)求二项式系数最大的项;(3)求关于x 的有理项;(4)是否存在常数项?若存在,求出常数项,若不存在,说明理由。

10.设*,m n N ∈,函数()(1)(1)m n f x x x =+++中的x 一次项系数是19,求()f x 的二次项系数的最小值.11.若(2)2011=220110122011a a x a x a x ++++ ,求20242010()a a a a ++++ - 2132011()a a a +++ 的值.答案:BCCA ;B (6)42-B (8)4(9)6=n ;(10)81;(11)1作业:1.若二项式⎝⎛⎭⎫x 2-2x n 的展开式中二项式系数的和是64,则展开式中的常数项为( )A .-240B .-160C .160D .2402.⎝⎛⎭⎫x 2+2x 8的展开式中x 4的系数是( )A .16B .70C .560D .1 1203.在⎝ ⎛⎭⎪⎫x2-13x n 的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是() A .-7 B .7 C .-28 D .284.如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -13x 2n 的展开式中二项式系数之和为128,则展开式中1x3的系数是( )A .7B .-7C .21D .-21 5.(2010·全国⎺)(1+2x )3(1-3x )5的展开式中x 的系数是( )A .-4B .-2C .2D .46.C 22n +C 42n + +C 2k 2n + +C 2n 2n 的值为( )A .2nB .22n -1C .2n -1D .22n -1-17.(2010·湖北)在(x +43y )20的展开式中,系数为有理数的项共有________项.8.(x -y )10的展开式中,x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________.9.(1+x )+(1+x )2+ +(1+x )6的展开式中x 2的系数为________.10.已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x -123x n 的展开式中,第6项为常数项.(1)求n ; (2)求含x 2项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.11.设(3x -1)8=a 8x 8+a 7x 7+ +a 1x +a 0,求:(1)a 8+a 7+ +a 1;(2)a 8+a 6+a 4+a 2+a 0.12.(1)求⎝⎛⎭⎫x 2-12x 9的展开式中的常数项; (2)已知⎝⎛⎭⎫a x- x 29的展开式中x 3的系数为94,求常数a 的值; (3)求(x 2+3x +2)5的展开式中含x 的项.作业答案:1.D2.D3.B4.C5.C6.D7.68.-2409.3510. (1)n =10.(2) 454;(3)C 210⎝⎛⎭⎫-122x 2,C 510⎝⎛-125,C 810⎝⎛⎭⎫-128x -2. 11. 12(28+48);12. 解 (1) 2116;(2) a =4.(3)240x .。

高中试卷-专题28 二项式定理(含答案)

高中试卷-专题28 二项式定理(含答案)

专题28 二项式定理一、单选题1.(2020·北京高三一模)在的展开式中,常数项是( )A .B .C .20D .160【答案】A 【解析】展开式的通项公式为,令,可得,故展开式的常数项为,故选:A.2.(2020·江苏省邗江中学高二期中)在的二项展开式中,含的项的系数是( )A .10B .15C .20D .25【答案】B 【解析】的二项展开式的通项为.令,解得.含的项的系数是.故选:B3.(2020·北京大峪中学高二期中)的展开式的常数项是( )A .B .C .3D .4【答案】D 【解析】612x x æö-ç÷èø160-20-612x x æö-ç÷èø()()()66621662112r r r r rr r r r T C x x C x ----+=××-×=-×××620r -=3r =612x x æö-ç÷èø368160C -×=-10212x x æö+ç÷èø11x 10212x x æö+ç÷èø2102031101011()22r rr r r r r T C x C x x --+æöæö==ç÷ç÷èøèø20311r -=3r =11x 33101152C æö=ç÷èø()522111x x æö+-ç÷èø3-4-展开式中的第项为,当,即时,此时;当,即时,此时.则.故选:D.4.(2020·江苏省邗江中学高二期中)已知,则( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】当取 时, 取8个,则,当 取时, 取7个,则,所以 .故选:A5.(2020·北京市鲁迅中学高二月考)的展开式中系数最大的项为( )A .第项B .第项C .第项D .第项【答案】B 【解析】的展开式的通项公式为:,要使系数最大,则r 为偶数,且r 只可能从2,4,6中选,故,且,所以,且,所以,且,经验证:当时,符合,所以的展开式中系数最大的项为第五项,5211x æö-ç÷èø1k +()()52101552111kkkk k k k T C C x x --+æö=-=-ç÷èø2102k -=-4k =()44515C -=2100k -=5k =()55511C -=-514-=()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++8a =45-2727-45()1x -1()91-x x 1891a C =-´()1x -x -()91-x x ()278911a C =-´´-()27189911145a C C =-´´--´=-()712x -4578()712x -()()17722+=-=-r rrr r r T C x C x ()()227722---³-rr rr C C ()()227722++-³-rr rr C C ()()()7!7!4!7!2!9!r r r r ´³×--×-()()()7!7!4!7!2!5!r r r r ³´×-+×-()()()41198³---r r r r ()()()()147621³--++r r r r 4r =()712x -6.(2020·阳江市第三中学高二期中)的展开式中,系数最小的项为( )A .第6项B .第7项C .第8项D .第9项【答案】C 【解析】由题设可知展开式中的通项公式为,其系数为,当为奇数时展开式中项的系数最小,则,即第8项的系数最小,应选答案C.7.(2020·辽宁省高三其他(理))已知二项式的展开式中,二项式系数之和等于64,则展开式中常数项等于( )A .240B .120C .48D .36【答案】A 【解析】由题意,解得,则,则二项式的展开式的通项公式为,令即,则.故选:A.8.(2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中)在的展开式中第4项与第8项的系数相等,则展开式中系数最大的项是( )A .第6项B .第5项C .第5、6项D .第6、7项【答案】A 【解析】因为的展开式中每一项的系数和二项式系数相等,第4项与第8项的系数相等所以,所以所以展开式里系数最大的项是第6项()131x -11313()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-13(1)r rC -r 13(1)r rC -7r =121(2)n x x+264n=6n =1162211(2(2)n x x x x+=+1621(2)x x +6133622166122rrr r rr T C x C x x ---+æöæö=××=××ç÷ç÷èøèø3302r -=2r =6426622240r r C C -×=×=()nx y +()nx y +37n n C C =10n =二、多选题9.(2020·江苏省扬州中学高二期中)已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则n 的值可以为( )A .7B .8C .9D .10【答案】ABC 【解析】∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n =8或n =9故选:ABC .10.(2020·南京市江宁高级中学高二期中)若的展开式中第3项与第8项的系数相等,则展开式中二项式系数最大的项为( )A .第3项B .第4项C .第5项D .第6项【答案】CD 【解析】由题可知,该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等,且展开式中第3项与第8项的系数为,又因为其相等,则所以该展开式中二项式系数最大的项为与项即为第5项;第6项.故选:CD11.(2020·福建省南安市侨光中学高二月考)关于的展开式,下列结论正确的是( )A .所有项的二项式系数和为32B .所有项的系数和为0C .常数项为D .二项式系数最大的项为第3项【答案】BC 【解析】解:二项式展开式的通项为()na b +()na b +4n C 7n =1(nx x+27,n n C C 9n =91152-+=91162++=61x x æö-ç÷èø20-61x x æö-ç÷èø()66216611rr r r r r r T C x C x x --+æö=-=-ç÷èø令,解得,则常数项为,故C 正确;且二项式系数最大的项为第4项,故D 错误;二项式系数和;令,得所有项的系数和为0,故A 错误,B 正确;故选:BC12.(2020·江苏省高二期中)下列组合数公式中恒成立的有( )A .B .C .D .【答案】ABD 【解析】对于,因为,,所以,即正确;对于,,故正确;对于,当时,左边,右边,等式不成立,故不正确;对于,因为,等式左边的系数为:,等式右边的系数为:,所以,故正确.故选:ABD620r -=3r =()3346120T C =-=-012345666666666264C C C C C C C ++++++==1x =mn mn nC C -=11m m n n mC nC --=111m mmn n n C C C +++=+()()()()22220122nn nn nn nC C C C C +++×××+=A !!()!mn n C m n m =-!!()![()]!!()!n m n n n C n m n n m m n m -==----m n mn n C C -=AB !(1)!!()!(1)!()!mn n n n mC m m m n m m m n m ×-=×=×-×-×-(1)!(1)![(1)(1)]!n n m n m -=×-×---11m n nC --=BC 1m n ==221C ==1112123C C =+=+=C D 2(1)(1)(1)n n n x x x +×+=+n x 011220nn n n n n n nn n n nC C C C C C C C --×+×+×++×L 001122n n n n n n n n n n C C C C C C C C =×+×+×++×L =0212222()()()()n n n n n C C C C ++++L n x 2nn C ()()()()2222122n n nn n n n C C C C C +++×××+=D三、填空题13.(2020·上海复旦附中高二期中)若,则=__________.【答案】64【解析】在中,令可得,.所以故答案为:64.14.(2020·上海交大附中高三期中)计算:_____.【答案】【解析】由题得原式=.故答案为:15.(2020·山东省高二期中)二项式的展开式中的系数是 【答案】40【解析】依题意,二项式展开式的通项公式为,当,故的系数是.16.(2020·浙江省高三三模)二项式的展开式中,所有二项式系数的和是__________,含x 的项的系数是__________.【答案】128 84 【解析】由题意所有二项式系数的和为,题中二项式展开式通项公式为,令,,6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+0126a a a a +++×××+=6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+1x =()6012611a a a a +=+++×××+60126264a a a a +++×××+==012393n nn n n n C C C C ++++=L 4n 0011223333(13)4n n n nn n n n C C C C ++++=+=L 4n252(x x-4x ()()()52110315522rrrrr r r T C x x C x ---+=×-=-××1034,2r r -==4x ()225240C -×=722x x æö+ç÷èø72128=77317722(2r rrr r r r T C xC x x--+==731r -=2r =所以含x 的项的系数是.故答案为:128;84.四、解答题17.(2020·延安市第一中学高二期中(理))已知,求(1)的值; (2)的值.【答案】(1);(2)1093【解析】(1)令,则;(2)令,则①令,则②由①②得,即18.(2020·北京大峪中学高二期中)已知展开式中的第三项的系数为,求:(1)含的项;(2)二项式系数最大的项.【答案】(1);(2).【解析】(1)展开式的通项为,由于展开式中第三项的系数为,即,即,整理得,,解得,则展开式通项为,227284C =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a ++¼+0246a a a a +++1-1x =()7017121a a a ++¼=--=1x =-0123672187a a a a a a -+-+¼+-=0x =01a =12372a a a a \+++¼=-+()02462218722185a a a a +++=-=2461092a a a =++0246110921093a a a a \+++=+=1nx x æö+ç÷èø454x 4120x 2521n x x æö+ç÷èø211n rr r rr n r nn T C x C x x --+æö=×=×ç÷èø45245n C =()1452n n -=2900n n --=n N *ÎQ 10n =210110rr r T C x-+=×令,解得,因此,展开式中含的项为;(2)由二项式系数的对称性可知,二项式系数最大的项为.19.(2020·湖北省高二期中)已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.【答案】(1),;(2).【解析】(1)由题意知,又展开式的通项为:展开式中共有8项,其中二项式系数最大的项为第4,第5项所以,(2)展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生,即在,,,时,也即在,,,中产生,而,, ,故系数最大的项为第5项20.(2020·怀仁市第一中学校高二月考(理))已知(xn 的展开式中的第二项和第三项的系数相等.(1)求n 的值;(2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1);(2),,.【解析】2104r -=7r =4x 744810120T C x x =×=5610252T C ==2nx ö-÷ø14280T x -=-525560T x-=525560T x-=34n n C C =7n \=72x ö÷ø()()773221777222rr rrr r r rr r r T C C xC x x ---+æö=-=-=-ç÷èø()793312472280T C xx--=-=-()71254422572560T C xx--=-=0r =2461T 3T 5T 7T 721T x =12384T x =525560T x -=1127448T x -=525560T x-=5n =51T x =2352T x =5516T x=二项式展开式的通项公式为,;(1)根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得,即,解得;(2)二项式展开式的通项公式为,;当时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为,,.21.(2020·江西省上高二中高二月考(理))在二项式的展开式中,前三项的系数依次成等差数列.(1)求展开式中的所有有理项;(2)求系数最大的项.【答案】(1),,(2)和【解析】(nx 32112rrn r n rr r nn T C x C x--+æö=××=××ç÷èø()0,1,2r n =×××2121122nn C C æö×=×ç÷èø()111242n n n -=×5n =3521512rrr r T C x -+æö=××ç÷èø()0,1,2r n =×××0,2,4r =00551512T C x x æö=××=ç÷èø22532351522T C x x -æö=××=ç÷èø44565515216T C x x -æö=×=ç÷èøn +(1)∵由题设可知解得n=8或n=1(舍去)当n=8时,通项据题意,必为整数,从而可知r 必为4的倍数,而0≤r≤8∴ r=0,4,8,故x 的有理项为,,(2)设第r+1项的系数t r+1最大,显然t r+1>0,故有≥1且≤1∵, 由≥1得r≤3又∵,由≤1得:r≥2∴ r=2或r=3所求项为和22.(2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考(理))已知展开式前三项的二项式系数和为22.(1)求的值;(2)求展开式中的常数项;(3)求展开式中二项式系数最大的项.【答案】(1);(2);(3).【解析】由题意,展开式前三项的二项式系数和为22.1二项式定理展开:前三项二项式系数为:,解得:或舍去.即n 的值为6.2nx æçèn 66032160x (2nx ()()01211222n n n n n C C C n -++=++=6n =7(n =-)2由通项公式,令,可得:.展开式中的常数项为;是偶数,展开式共有7项则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为.()36662166(2)2k k k k k k k T C x C x ---+==3602k -=4k =\1264642416260T C x --+==()3n Q .\936363223162160T C x x --+==。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

二项式定理
单选题
(x+1)4的展开式中x的系数为
A.2
B. 4
C. 6
D.8
答案
B
解析
分析:根据题意,(x+1)4的展开式为T r+1=C4r x r;分析可得,r=1时,有x的项,将r=1代入可得答案.
解答:根据题意,(x+1)4的展开式为T r+1=C4r x r;
当r=1时,有T2=C41( x)1=4x;
故答案为:4.
故选B.
点评:本题考查二项式系数的性质,特别要注意对x系数的化简.
2 (x+2)6的展开式中x3的系数是
A.20
B.40
C.80
D. 160
答案
D
解析
分析:利用二项展开式的通项公式求出通项,令x的指数为3求出展开式中x3的系数.
解答:设含x3的为第r+1,
则Tr+1=C6rx6-r•2r,
令6-r=3,
得r=3,
故展开式中x3的系数为C63•23=160.
故选D.
点评:本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具
3在(1+数学公式)4的展开式中,x的系数为
A.4
B.6
C.8
D.10
答案
B
解析
分析:根据题意,数学公式的展开式为Tr+1=C4r(数学公式)r;分析可得,r=2时,有x的项,将x=2代入可得答案.
解答:根据题意,数学公式的展开式为Tr+1=C4r(数学公式)r;
当r=2时,有T3=C42(数学公式)2=6x;
故选B.
点评:本题考查二项式系数的性质,特别要注意对x系数的化简.
4(1+x)7的展开式中x2的系数是
A.21
B.28
C.35
D.42
答案
A
解析
分析:由题设,二项式(1+x)7,根据二项式定理知,x2项是展开式的第三项,由此得展开式中x2的系数是数学公式,计算出答案即可得出正确选项
解答:由题意,二项式(1+x)7的展开式中x2的系数是数学公式=21
故选A
点评:本题考查二项式定理的通项,熟练掌握二项式的性质是解题的关键
4 填空题
二项式(2x-1)9的展开式中的第八项为________.
答案
-144x2
解析
分析:利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项,令通项中的x取7,求出展开式中的第八项.解答:二项展开式的通项为Tr+1=(-1)r29-rC9rx9-r
令r=7得T8=22C97x2=-144x2
故答案为:-144x2
点评:求二项展开式的特定项问题常用的工具是二项展开式的通项公式.
5 (数学公式-数学公式)6的展开式中常数项是________.
答案
-160
解析
分析:据二项展开式的通项公式求得第r+1项,令x的指数为0得常数项.
解答:展开式的通项为Tr+1=(-2)rC6rx3-r
令3-r=0得r=3
所以展开式的常数项为(-2)3C63=-160
故答案为:-160.
点评:二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具.
6 数学公式的展开式中x的系数为________.
答案
数学公式
解析
分析:由数学公式的展开式中的通项公式即可求得展开式中x的系数.
解答:∵数学公式的展开式的通项公式Tr+1=数学公式数学公式,
令r=1,得T2=数学公式•数学公式=数学公式x,
∴数学公式的展开式中x的系数为数学公式.
故答案为:数学公式.
点评:本题考查二项式定理的应用,考查二项展开式中的通项公式的应用,属于中档题。

相关文档
最新文档