第3章 基本波函数

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标量亥姆霍兹方程的解
基本波函数的线性组合必定也是标量亥姆霍兹方程的解。式（3-4）中的分离 常数只有两个是独立的，因此，对两个分离常数的可能选择求和，就能构成更一 般的波函数。 如果分离常数具有一些离散值，标量亥姆霍兹方程的一种解就可以写成求和 形式，例如 (3-6) Ψ = 邋 Ak x ,k y h(k x x)h(k y y )h(k z z )
ν® n
当 ρ ® 0 时， N n (k ρ ρ)
（3-20） sin νπ 。当 n 为整数时， N n (k ρ ρ ) 为贝塞尔方程的另一个线性
cos νπJ ν (k ρ ρ) - J - ν (k ρ ρ)
无关的解。 第三类柱贝塞尔函数 又称为汉开尔函数。汉开尔函数又分为第一类汉开尔函 (2) 数和第二类汉开尔函数，分别用 H (1) n ( k ρ ρ ) 和 H n ( k ρ ρ ) 表示，它们与第一类及第二 类柱贝塞尔函数之间的关系分别为 H (1) n ( k ρ ρ ) = J n ( k ρ ρ) + jN n ( k ρ ρ) H (2) n ( k ρ ρ ) = J n ( k ρ ρ ) - jN n ( k ρ ρ ) (3-21a) (3-21b)
2.1 亥姆霍兹定理 2.2 唯一性定理 2.3 镜像定理 *#2.4 等效定理 2.5 感应原理 2.6 巴比涅原理 #2.7 互易定理 2.8 线性系统的算子方程
第3章 基本波函数



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*3.1 标量波函数 *#3.2 平面波，柱面波和球面波用标量基本波函数展开 3.3 理想导电圆柱对平面波的散射 3.4 理想导电圆柱对柱面波的散射 3.5 理想导电劈对柱面波的散射 3.6 理想导电圆筒上的孔隙辐射 3.7 理想导电圆球对平面波的散射 3.8 理想导电圆球对球面波的散射 *3.9 分层媒质上的电偶极子 *3.10 矢量波函数
' kx = 0
复数 k x e jkx x
'' kx = 0
' kx = 0
e- k x x ee '' ek x x
'' ' jk x x
复数 k x sin k x x cos k x x
'' kx = 0 ' kx = 0 '' kx = 0 ' kx = 0
ek x x e jkx x
' sin k x x '' sinh kx x ' cos k x x '' cosh k x x
式中柱贝塞尔函数 Bn (k ρ ρ ) 的类型可根据具体电磁场的特征选取。当 Bn (k ρ ρ ) 选为
(1) (2) 第一类汉开尔函数 H n (k ρ ρ) 或第二类汉开尔函数 H n (k ρ ρ) 时，基本波函数分别表
示向内或向外的柱面波。 在圆柱坐标系的基本波函数中， 本征值 n 为离散谱， 而 kz 或 k ρ 值为离散谱还是连续谱取决于边界情况。由于各种可能的 n 和 k z 取值所对应 的基本波函数都是标量亥姆霍兹方程的解，因此，在本征值 k z 为离散谱的情况下， 标量亥姆霍兹方程的通解为 Ψ( ρ, φ, z ) =
2 别等于常数 - k x2 , - k y 和 - k z2 ，则得到 3 个常微分方程
d2X + k x2 X = 0 2 dx d 2Y 2 + ky Y= 0 2 dy d 2Z + k z2 Z = 0 2 dz 式中 3 个分离常数 k x , k y , k z 满足下列方程：
2 k x2 + k y + k z2 = k 2
x
(1) n
(3-22c)
H ( x) ®
x
(2) n
(3-22d)
从以上几类柱贝塞尔函数的大宗量渐进式可以看出用这几类贝塞尔函数所 表示的波的特性。
当 k z2 > k 2 时， k ρ 为虚数，令 k ρ = jκ ，则式（3-15）变为 d 2R dR （3-23） ρ + ρ - (κ 2 ρ 2 + n 2 ) R = 0 2 dρ dρ 上式称为修正贝塞尔方程，其解为修正贝塞尔函数。修正贝塞尔函数又分为第一 类修正贝塞尔函数和第二修正贝塞尔函数，分别以 I n (κρ) 和 K n (κρ) 表示，其定义
第1章 电磁理论基本方程



* 第1章 电磁理论基本方程 *1.1 麦克斯韦方程 1.2 物质的电磁特性 *1.3 边界条件和辐射的条件 1.4 波动方程 *1.5 辅助位函数及其方程 #1.6 赫兹矢量 1.7 电磁能量和能流
第2章 基本原理和定理



（3-25a）
π -x e (3-25b) x 2π 在附录中列出了贝塞尔函数和修正贝塞尔函数的性质及有关迭推公式，有关贝塞 尔函数更详细的内容请查阅数学物理方程、数学物理方法等书籍。
由式（3-14） ，在圆柱坐标中，基本波函数为 ψ ( ρ, φ, z ) = Bn (k ρ ρ)h(nφ)h(k z z ) （3-26）
注：“*”表示重点，“#”表示难点，“★”表示涉及学科前沿
背景



求解无源区的电磁场的问题可以归结为一定边界条件 下的齐次矢量亥姆霍兹方程的求解。有一些电磁场问 题，可以转化为一定边界条件下标量亥姆霍兹方程的 求解。 而当某些电磁场问题具有特殊的边界，以至于在相当 的坐标中可用分离变量法求出齐次亥姆霍兹方程的通 解时，就可以用这些通解构成具体电磁场问题的特解。 也就是说，用分离变量法求出的这些通解形式是亥姆 霍兹方程的基本波函数，可以将具有相同边界条件的 场用基本波函数展开，那么只要求出展开系数，就可 以确定场。 本章介绍3种常用坐标系中基本波函数的求解，以及 基本波函数在电磁场问题中一些应用。
式中
式（3-16）及式（3-17）为谐函数，其解为谐函数 h(nφ) 和 h(k z z ) 。考虑到函数 Φ(φ) 随 φ 的变化以 2 π 为周期，因此常数 n 应为整数，即 n=0,1,2,…。式（3-15）为贝 塞尔方程，其解为柱贝塞尔函数，也称为柱函数，用 Bn (k ρ ρ ) 表示，称为第 n 阶贝 塞尔函数。柱贝塞尔函数有多种类型：
3.1 标量波函数

标量波函数是齐次标量亥姆霍兹方程的基本 解，也就是标量亥姆霍兹方程对应算子的本征 函数。下面分别求解在直角坐标系、圆柱坐标 和球坐标系中标量亥姆霍兹方程的标量波函数。
（1）直角坐标系中的标量波函数
在直角坐标系中，标量亥姆霍兹方程具有以下形式： 2 2 2 抖 ψ ψ ψ (3-1) + + + k 2ψ = 0 2 2 2 抖 x y z 将式（3－1）的解写成 ψ = X ( x)Y ( y ) Z ( z ) 形式，代入上式后除以 ψ ，得 1 d 2 X 1 d 2Y 1 d 2 Z + + + k2 = 0 (3-2) 2 2 2 X dx Y dy Z dz 要使上式对任意得 x, y, z 都成立，其中每一项必须等于常数，若令前 3 项分
在圆柱坐标系中，可令 代入 ? 2ψ ψ = R( ρ)Φ(φ) Z ( z ) k 2ψ = 0 ，可得下列 3 个独立的常微分方程 d2R dR 2 2 ρ 2 + ρ + (kρ ρ - n2 )R = 0 dρ dρ
2
（3-14）
（3-15） （3-16） （3-17） （3-18）
d 2Φ + n 2Φ = 0 2 dφ d 2Z + k z2 Z = 0 2 dz 2 kρ + k z2 = k 2
ky kx
式中 Ak x ,k y 是与 k x , k y , k z 有关的常数。任何具体问题所需的 k x , k y , k z 值由具体问题的 边界条件的确定，称为本征值或特征值。通常在有限区域（如波导或谐振腔中） ， 解的特征是本征值具有离散谱，也就是本征值取一些离散值； 而在无限区（如在天线周围） ，本征值具有连续谱，也就是本征值取连续值。 在本征值为连续谱的情况下， 标量亥姆霍兹方程的一种解就可以写成积分的形式， 例如 Ψ = 蝌 A(k x , k y )h(k x x)h(k y y )h(k z z )dk x dk y
第一类柱贝塞尔函数 通常称为贝塞尔函数，以 J n (k ρ ρ) 表示，称为第 n 阶贝 塞尔函数。当 n 为整数时，可由下列级数表示 ¥ k ρ 1 （3-19） J n (k ρ ρ) = å (- 1) k ( ρ ) n+ 2 k k !(n + k )! 2 k= 0 第二类贝塞尔函数 又称为诺依曼函数，以 N n ( k ρ ρ) 表示。它与第一类贝塞尔 函数的关系为 N n (k ρ ρ) = lim
'' kx = 0
函数的表示 ee
'' ' jk x x '' - kx x ' jk x x
波动特性 向 x 方向传播的等幅行波 随 x 衰减的凋落波 向 x 方向传播的衰减行波 向 - x 方向传播的等幅行波 随 - x 衰减的凋落波 向 - x 方向传播的衰减行波 沿 x 分布的正弦驻波 两种凋落波的合成 沿 x 分布的余弦驻波 两种凋落波的合成
邋
n kz
An ,k z B(k ρ ρ)h(nφ)h(k z z )
（3-27）
在本征值 k z 为连续谱的情况下，标量亥姆霍兹方程的通解为 Ψ( ρ, φ, z ) =
k y kx
（3-7）
取基本波函数为指数形式 - j ( k x+ k y + k z ) ψ= e x y z 如果 k x , k y , k z 均为实数，定义传播矢量 k 为 k = k x e x + k y e y + k z ez 在圆球坐标中， k x , k y , k z 可用传播矢量 k 的极角 θk 和方位角 φk 表示为
(3-3a) (3-3b) (3-3c)
(3-4)
上式说明，3 个分离常数中仅有两个是独立的。
谐函数
上述 3 个分离的二阶常微分方程类型相同，称为谐方程。其解具有相 同的结构，可以是正弦函数、余弦函数或指数函数，通称为谐函数，通常用 h(k x x), h(k y y )和h(k z z ) 表示。因此，标量亥姆霍兹方程的解可以表示为 ψ = h( k x x ) h ( k y y ) h( k z z ) （3-5）
2
为 I n (κρ) = j- n J n ( jk ρ ρ) I (κρ) - I ν ( κρ) π lim - ν sin νπ 2 ν® n 修正贝塞尔函数的大宗量渐进式分别为 1 x I n ( x) ® e x 2πx K n (κρ) = K n ( x) ® （3-24a） (3-24b)
（3-8） （3-9）
z k
k x = ω με sin θk cos φk
k y = ω με sin θk sin φk
(3-10a) (3-10b)
k
y
(3-10c) k z = ω με cos θ k k 式（3-8）可写为 x （3-11） ψ = e- jk r 由此可见， k x , k y , k z 为实数时基本波函数表示沿空间角 θk ， φk 方向传播的平面波。 将式（3-11 代入式（3-6）及式（3-7）得 Ψ=
邋
ky kx
Ak x ,k y e-
jk r
(3-12)
jk r
Ψ=
蝌
k y kx
A(k x , k y )e-
dk x dk y
(3-13)
以上两式说明，标量亥姆霍兹方程的解可以表示成不同传输方向的平面波之和， A(k x , k y ) 称为 Ψ ( x, y, z ) 的波谱或角谱。
（2）圆柱坐标系中的标量波函数
式中 h 表示正弦函数、余弦函数或指数函数中的任一种谐函数。各种谐函数 的性质[以 h(k x x) 为例]在表 3-1 中列出。 对于具体问题的给定边界条件， 必须 适当选择谐函数的类型。式（3-5）通称为基本波函数。
表3-1
h(k x x )
ejk x x
谐函数的类型及对应的性质
' '' kx = kx - jk x
几类柱贝塞尔函数的大宗量渐进分别为
J n ( x)®
x
2 2n + 1 cos( x π) πx 4 2 2n + 1 sin( x π) πx 4 2 j ( x- 2 n4+ 1π ) e πx 2 e πx
j ( x2 n+ 1 π) 4
(3-22a)
Nn ( x)®
x
(3-22b)
H ( x) ®