您的位置：360文档中心› 正弦定理和余弦定理学习知识点情况总结(学案)

正弦定理和余弦定理学习知识点情况总结(学案)

合集下载

正弦定理、余弦定理复习学案

正弦定理、余弦定理复习学案

正弦定理、余弦定理命题人申占宝正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即A a s i n =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示） 已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a三、讲解范例：例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆ 解：030,45,10===C A c ∴0105)(180=+-=C A B由C cA a sin sin =得 21030sin 45sin 10sin sin 00=⨯==C A c a 由C c B b sin sin =得25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin 00+=+⨯==⨯==C B c b例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，∴222=+=c b a例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a Ac C C c A a0012060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴C B c b B C 时，当，1360sin 15sin 6sin sin ,151200-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=2．余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角正弦定理、余弦定理、解斜三角形一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1．在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形2．在△ABC 中，︒=∠︒=︒=70,50sin 2,10sin 4C b a ，则S △ABC =（ ）A ．81 B ．41 C ．21D ．1 3．若cC b B a A cos cos sin ==则△ABC 为（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的 （ ） A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 5．设A 是△ABC 中的最小角，且11cos +-=a a A ，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．a ≥3B ．a ＞－1C ．－1＜a ≤3D ．a ＞06．△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的△ABC （ ） A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解 D ．不能确定 7．已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ）A ．41-B ．41 C ．32-D ．32 8．锐角△ABC 中，R B A Q B A P B A =+=+=+cos cos ,sin sin ,)sin(，则 （ ）A ．Q>R>PB ．P>Q>RC ．R>Q>PD ．Q>P>R9．△ABC 的内角A 满足,0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 且则A 的取值范围是（ ）A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，π43） D ．（4π，π43） 10．关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形11．在△ABC 中，)13(:6:2sin :sin :sin +=C B A ，则三角形最小的内角是（ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．以上都错12．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 （ ） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里 二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．在△ABC 中，a +c=2b ，A －C=60°，则sinB= .14．在△ABC 中，已知AB=l ，∠C=50°，当∠B= 时，BC 的长取得最大值. 15．在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27=AD ，那么BC= . 16．△ABC 的三个角A<B<C ，且成等差数列，最大边为最小边的2倍，则三内角之比为 . 一、选择题：1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC 中，有（ ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinAB ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA 4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B （ ）A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为（ ） A ．4B ．2C ．1D ．不定7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 （ ）A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-aD ．)cos(sin cos βαβα-aABD Cα β8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ）A ．a (km)B ．3a(km)C ．2a(km)D ．2a (km)二、填空题：9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.11、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.三、解答题：13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=BA BA cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).正弦、余弦定理与解三角形一、1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.A 8.A 9.C 10.A 11.B 12.A二、13．839 14．40° 15．9 16．1:2:3一、BDBBD AAC二、（9）钝角 （10）3314 （11）4π（12）81三、（13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒22222222212260cos 0)(2=-∴c a ，c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由AAb B a A b cos sin tan tan 222⇒= ,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 22222B A B B A A AB a b B A A B B B a =∴=∴==⇒=∴A=B或A+B=90°，∴△ABC 为等腰△或Rt △. ③BA B A C cos cos sin sin sin ++= ，由正弦定理：,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理：b a acb c a c bc c b a c +=-+⨯+-+⨯22222222∆∆∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((222222. ④由条件变形为2222)sin()sin(ba b a B A B A +-=+- ︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2222B A B A B A BA B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△ABC 是等腰△或Rt △.。

正余弦定理 - 解析版

正余弦定理 - 解析版

sin B sin C c sin C sin 2B 2cos B
5
25
★★★练习 2. 在锐角 ABC 中， A = 2B ， B, C 所对的边分别为 b, c ，则 b 的取值范围是
．
b+c
答案： (1 , 1) 32
解析：分子分母齐次式直接由正弦定理进行边化角，然后利用倍角公式化简
b
b +
c
=
sin
sin B B + sin C
=
sin
B
sin B + sin(A +
B)
=
sin
B
+ sin
sin B Acos B
+
cos
A sin
B
=
1+
1 2 cos2 B
+
cos
A
=
1 4 cos2
B
下面求
B
的范围，因为 ABC
是锐角三角形，所以
A
=
A
+
2B 2
B = 3B
2
，解得 6
B
4
，代入上式可得
b 的取值范围是 (1 , 1) 。
b+c
32
★☆☆例题 4. 在 ABC 中， sin A = sin B ，则 ABC 的形状是（ ）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 锐角三角形
答案：B
解析：由 sin A = sin B 得， A = B ，三角形为等腰三角形。
sin B sin A
2
2
★★☆练习 1. ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 a = 3, cos A = 6 , B = A + 。

新教材高中数学6.4.3余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理学案新人教A版必修第二册

新教材高中数学6.4.3余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理学案新人教A版必修第二册

第1课时 余弦定理考点 学习目标核心素养 余弦定理 了解余弦定理的推导过程 逻辑推理 余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形 能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题数学运算问题导学预习教材P42－P44的内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？1．余弦定理 文字语言三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__Ab 2＝a 2＋c 2－2ac cos__B c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．■名师点拨余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．3．三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) (4)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则∠A 为锐角．( ) (5)在△ABC 中，若b 2＋c 2＜a 2，则△ABC 为钝角三角形．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝61，则角C 等于( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．45°解析：选A.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝42＋52－（61）22×4×5＝－12，所以C ＝120°，故选A.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 等于( ) A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A.由余弦定理知a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，因为a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝32，故B ＝π6.已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝________．解析：由余弦定理，得c 2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c ＝ 3. 答案： 3已知两边及一角解三角形(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】 (1)因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A.(2)由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ， 因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去.故选D. 【答案】 (1)A (2)D[变条件]将本例(2)中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A＝32”，求b 为何值？ 解：由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8，所以b ＝2 2.又因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12，所以A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.已知三边(三边关系)解三角形(1)在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°(2)在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，则A 等于( ) A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19， 所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.(2)因为(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝60°.【答案】 (1)B (2)B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[注意] 若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．1．(2019·福建师大附中期末考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：选A.由已知得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0°＜B＜180°，所以B ＝45°.2．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的最大内角的余弦值． 解：因为a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， 不妨设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k ， 显然a ＜b ＜c .所以△ABC 的最大内角为C ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4k 2＋6k 2－（3＋1）2k 246k2＝4＋6－（3＋1）246＝6－2346＝6－24.判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断△ABC 的形状． 【解】 将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C .由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a2＝a 2. 所以A ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． (2)判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2.③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2. ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2.1．在△ABC 中，A ＝60°，a 2＝bc ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形解析：选D.在△ABC 中，因为A ＝60°，a 2＝bc ， 所以由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， 所以bc ＝b 2＋c 2－bc ，即(b －c )2＝0，所以b ＝c ，结合A ＝60°可得△ABC 一定是等边三角形．故选D.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a sin A ，整理，得a ＝a sin A ，所以sin A ＝1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π2.故△ABC 为直角三角形．1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B.因为(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________．解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°， 即c 2＝a 2＋b 2－ab .① 又因为(a ＋b )2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4.②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43.答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．[A 基础达标]1．(2019·合肥调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝13，则b ＝( )A ．1B ．2C ．3D.13解析：选A.由余弦定理知(13)2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b ＝1，故选A.2．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D.由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝±15.因为A 是锐角，所以cos A ＝15.又因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以49＝b 2＋36－2×b ×6×15.解得b ＝5或b ＝－135.又因为b ＞0，所以b ＝5.3．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.4．(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( )A.322B.332C.32D ．3 3解析：选B.由BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A ，得cosA ＝12.因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3，所以AC 边上的高为AB ·sin A ＝3×32＝332. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选A.在△ABC 中，因为cos 2A 2＝b ＋c 2c ，所以1＋cos A 2＝b 2c ＋12，所以cos A ＝b c .由余弦定理，知b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________．解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.答案：347．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________． 解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，所以c ＝19.答案：198．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是________．解析：bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22.因为a ＝3，b ＝4，c ＝6，所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12×(32＋42＋62)＝612.答案：6129．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b ＝19.10．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 解：由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设所求的中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.所以所求中线长为7.[B 能力提升]11．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．－5解析：选D.由余弦定理得：cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝52＋72－822×5×7＝17.因为向量AB →与BC →的夹角为180°－∠ABC ，所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC )＝5×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝－5.12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是( ) A ．(8，10) B ．(22，10) C ．(22，10)D ．(10，8)解析：选B.只需让边长为3和a 的边所对的角均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a22×1×3＞0，a 2＋12－322×a ×1＞0，1＋3＞a ，1＋a ＞3，解得22＜a ＜10.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．不能确定解析：选A.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .因为c ＝2a ，所以2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，所以a 2－b 2＝ab >0，所以a 2>b 2，所以a >b .14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且a ＋c ＝2b ，求ac 的值． 解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .所以a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58.(2)因为b ＝13，cos B ＝58，由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac ， 又a ＋c ＝2b ＝213，所以13＝52－134ac ，解得ac ＝12. [C 拓展探究]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A ·cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.①因为sin A ≠0，所以sin B － 3 cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12， 有b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.② 又0<a <1，于是有14≤b 2<1， 即有12≤b <1.。

高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理

高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理

高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理： 1. 正弦定理： ____________________.强调几个问题：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明R Aa__sin =（R 为ABC ∆的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一； （4）公式的变形：①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；②sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===；③sin sin sin ::::A B C a b c =．（5）三角形面积公式：=∆ABC S ____ ____=______ ___=_____ ___． (6)正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边和一角。

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。

2. 余弦定理： =2a _____________________；=2b ____________________； =2c _____________________.强调几个问题：(1)熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；(2)知三求一；(3)当夹角为90 时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）；(4)变形：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+=ac c b a C 2cos 222-+=．（5）余弦定理的应用范围：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3. 解斜三角形(1)．两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ①若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA②若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a三、基础检测：1. 在 中， ，则 等于（ ）A ．B ．C ．D ．2. 若 是 （ ）A ．等边三角形B ．有一内角是30°C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形 3. 在，面积，则BC 长为（ ）A ．B ．75C ．51D ．494．在 中，已知角 则角A 的值是（ ）A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°5． 中，sinB=23sin ,21=C ,则a ：b ：c 为（ ）A.1：3：2B.1：1：3C.1：2：3D.2：1：3或1：1：36. 如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===，则sin C 的值为A ．3B ．6C ．3D ．67.若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为________。

高中数学知识点总结(第四章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理)

高中数学知识点总结(第四章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理)

第七节 正弦定理和余弦定理一、基础知识 1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13，∵a ＝3>b ＝2，∴B <A ，即B为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝223. (2)∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝5π6，又∵C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. [答案] (1)223 (2)1考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b2c －a＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________.[解析](1)∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，∴由余弦定理可得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c 2，整理可得2c 2＝2c 3，解得c ＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.(2)由正弦定理可得c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C ＝ab ＋c， ∴c 2－b 2＝2ac －a 2，∴c 2＋a 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∵0<B <π，∴B ＝π4.[答案] (1)D (2)π4[题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以t a n A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A＝3×3＋2232×6＝1＋263.考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．[答案] (1)B (2)C[变透练清] 1.变条件若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形 2.变条件若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形． 答案：等腰或直角三角形 3.变条件若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba＝2”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又因为A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2，所以C ＝π2，于是△ABC是直角三角形．答案：直角三角形[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝ac ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D.6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6. 6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A.5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sinB ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：49．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又因为a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1411．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a ＝2b cos B .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16c os 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以c os 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，结合正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以bc ＝－2bc cos A ，即cos A ＝－12.由于A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3.(2)由已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，结合正弦定理，得2sin 2A ＝(2sin B ＋sin C )sin B ＋(2sin C ＋sin B )sin C ， 即sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝sin 22π3＝34.又由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，结合sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.因为B ＋C ＝π－A ＝π3，所以B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰三角形．B 级1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1，得1＋c os(A ＋B )－(2c os 2C －1)＝2－2c os 2C －cos C ＝1，即2c os 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由4sin B ＝3sin A及正弦定理，得4b ＝3a ，结合a －b ＝1，得a ＝4，b ＝3.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋32－2×4×3×12＝13，所以c ＝13.2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n Cc，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________. 解析：∵2sin A a ＝t a n C c ＝sin C c cos C ，且由正弦定理可得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C (R 为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∵sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，sin C ＝sin(A ＋B )，∴2sin A cos B ＝4sin B cos B ．当cos B ＝0时，B ＝π2，则A ＝π6，∵c ＝3， ∴a ＝1，b ＝2，则a ＋b ＝3.当cos B ≠0时，sin A ＝2sin B ，即a ＝2b .∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴b 2＝1，即b ＝1，∴a ＝2，则a ＋b ＝3.综上，a ＋b ＝3.答案：33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解：(1)2a cos C －c ＝2b ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin B ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A ，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22.又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，b ＝c ＝2，由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2c os 2π3＝6，∴a ＝ 6.第二课时 正弦定理和余弦定理(二) 考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( )A ．37 B.372C ．9D.92(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝________.[解析] (1)法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，代入数据，得a ＝3，又cos B ＝34，B ∈(0，π)，所以sin B ＝74，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝372. 法二：由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝74，由正弦定理b sin B ＝csin C 及b ＝7，c ＝4，可得sin C ＝1，所以C ＝π2，所以sin A ＝cos B ＝34，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝372.(2)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . 又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴t a n B ＝3，∵B ∈()0，π，∴B ＝π3.[答案] (1)B (2)π3[变透练清] 1.变条件本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 解析：因为sin C ＝2sin A ，所以c ＝2a ，所以a ＝2，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×4×154＝15.答案：15 2.变结论本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca的取值范围是________．解析：∵B ＝π3且C 为钝角，∴C ＝2π3－A >π2，∴0<A <π6 .由正弦定理得ca ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1t a n A.∵0<t a n A <33，∴1t a n A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即ca >2. 答案：(2，＋∞)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B －sin A )cos C ＝sin C cos A ， 即2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵B ∈(0，π)，∴sin B >0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知，C ＝π3，故S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝433，解得ab ＝163.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 又c ＝3，∴(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝32＋3×163＝25，得a ＋b ＝5.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋3＝8.[解题技法]1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 考点二 平面图形中的计算问题[典例] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1. (1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[解] (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ， 即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12.(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，即AC sin π6＝4sin θ， ① 在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠BCA ，即AC sin 3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255.[解题技法]与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．[题组训练]1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．解析：设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3. 在△ABD 中，c os ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63. 在△BDC 中，BD sin C ＝BCsin ∠BDC， ∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.答案：662.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长． 解：设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列， 所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·c os ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0， 解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． 在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CDsin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以c os ∠AEB ＝c os ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝c os 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，c os ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47.考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π4D.⎣⎡⎦⎤π6，π3(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12[解析] (1)在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin 2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b＝2a ，所以A 为锐角．又因为sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4. (2)因为cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C. [答案] (1)B (2)C[解题技法]1．三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，b －c <a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．[题组训练]1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝ b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A.2B.98C ．1D.78解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98. 2．(2018·哈尔滨三中二模)在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________．解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝2sin π3＝433，∴a ＝433sin A ，b ＝433sin B ．又∵B ＝2π3－A ，∴a ＋b ＝433sin A ＋433sin B ＝433sin A ＋433sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6.又∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1，∴a ＋b ∈(2,4]． 答案：(2,4]3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A 3sin C .(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意及正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22abc ＋a 2＋b 2－c 22abc ＝3a 3c ，整理得2a 22abc ＝3a3c ，所以b ＝ 3.(2)由题意得cos B ＋3sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1， 因为B ∈(0，π)，所以B ＋π6＝π2，所以B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ， 即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立． 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤334，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立．故△ABC 面积的最大值为334.考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] (2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 所以a sin B ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝32cos B ＋12sin B ， 所以t a n B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a ＜c ，所以cos A ＝27. 所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2c os 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] (2018·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．[解] (1)f (x )＝c os 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又∵x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又∵b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.[对点训练]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．解：(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0， 由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又因为C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z)，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z)时，f (x )取得最大值1.[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则 △ABC 的面积为( )A.12 B.14C ．1D ．2解析：选A 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由已知条件和正弦定理，得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0.化简，得2sin A cos B ＋sin A ＝0.因为角A 为三角形的内角，所以sin A ≠0，所以cos B ＝－12，所以B ＝2π3. 3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos A ＝13，因为a ＝3，所以由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3. 4．(2018·昆明检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B.2 C.3D ．2解析：选A 法一：因为t a n ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，c os ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·ABc os ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABCBC ＝2×323＝1.法二：在△ABC 中，因为t a n ∠BAC ＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，结合选项可知选A.5．(2018·重庆九校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( )A.33B.32C.3D ．23解析：选C 由a sin B ＝3b cos A ，得sin A sin B ＝3sin B cos A ，∴t a n A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3，故S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝3(当且仅当b ＝c ＝2时取等号)，故选C.6．(2019·安徽名校联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋3B ．2＋2C ．3D ．3＋2解析：选A 由b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又因为bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.7．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3(负值舍去)． 故S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×32＝1534.答案：15348．(2019·长春质量检测)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________．解析：由题意可知cos A 2＝sin B b ＝sin Aa ，因为a ＝23，所以t a n A ＝3，因为0<A <π，所以A ＝π3，由余弦定理得12＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，又因为b ＋c ＝6，所以bc ＝8，从而△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×8×sin π3＝2 3.答案：239．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC上，AD ＝1，且BD ＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.解析：由∠BAC ＝π2及∠BAD ＝2∠DAC ，可得∠BAD ＝π3，∠DAC ＝π6.由BD ＝2DC ，令DC ＝x ，则BD ＝2x .因为AD ＝1，在△ADC 中，由正弦定理得1sin C ＝x sin π6，所以sin C ＝12x，在△ABD 中，sin B ＝sin π32x ＝34x ，所以sin B sin C ＝34x 12x＝32.答案：3210．(2018·河南新乡二模)如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.解析：∵AD ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝2∠A .设AD ＝DB ＝x ， ∴在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝DB sin C，可得4sin 2A ＝xsin π3. ①在△AED 中，DE sin A ＝AD sin ∠AED ，可得22sin A ＝x1. ② 联立①②可得42sin A cos A ＝22sin A 32，解得cos A ＝64.答案：6411．(2019·南宁摸底联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 c (1＋cos B )＝b (2－cos C )．(1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .解：(1)证明：∵c (1＋cos B )＝b (2－cos C )，∴由正弦定理可得sin C ＋sin C cos B ＝2sin B －sin B cos C ， 即sin C cos B ＋sin B cos C ＋sin C ＝sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴a ＋c ＝2b .(2)∵B ＝π3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ＝43，∴ac ＝16.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac . ∵a ＋c ＝2b ，∴b 2＝4b 2－3×16，解得b ＝4. 12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求c os ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． 解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝35.由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 又因为cos B ＝45，sin B ＝35，所以cos A ＝－c os(B ＋C )＝－c os ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos Bc os π4＋sin B sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－c os 2A ＝7210. 因此，c os ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos Ac os π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. B 级1．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，6)C ．(2，3)D ．(6，4)解析：选B ∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ，∴ba ＝2cos A ．又C ＝π－3A ，C为锐角，∴0<π－3A <π2⇒π6<A <π3，又B ＝2A ，B 为锐角，∴0<2A <π2⇒0<A <π4，∴π6<A <π4，22<cosA <32，∴2<b a <3，∴2<2ba< 6. 2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋bc os 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．解析：由已知及正弦定理得sin 2A sin B ＋sin Bc os 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋c os 2A )＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当c ＝3a 时取等号．∵A 为三角形的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴0<A ≤π6，则角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π6. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π6 3．(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．解：(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以c os ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·c os ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝c os ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·c os ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58.。

高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理

高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理

高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理是高中数学中的重要知识点，用于求解不规则三角形的边长和角度。

本文将对这两个定理进行详细总结与讲解。

一、正弦定理1.1 定义正弦定理是指在任意三角形中，三条边与其对应的角的正弦值之间的关系。

设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC1.2 推导我们通过利用三角形的面积公式S=1/2 * a * b * sinC，并将其转换为对角线的形式，可以得到正弦定理的推导过程。

1.3 应用正弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。

当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用正弦定理求解未知的边长或者角度。

二、余弦定理2.1 定义余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们对应的角之间的关系。

设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理的表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC2.2 推导我们可以通过利用向量的几何关系，将余弦定理的表达式推导出来。

这个过程较为繁琐，这里就不做详细讲解。

2.3 应用余弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。

当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用余弦定理求解未知的边长或者角度。

三、正弦定理与余弦定理的比较3.1 适用范围正弦定理适用于任意三角形，而余弦定理只适用于任意三角形，不能用于直角三角形。

3.2 计算难度正弦定理的计算相对简单，只需要记住一个公式，而余弦定理的计算稍复杂，需要使用开方和乘法等运算。

3.3 精度误差由于余弦定理中涉及到平方运算，可能会带来一定的误差，而正弦定理中没有涉及到平方运算，计算结果更加准确。

3.4 应用场景正弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时较为常用，尤其适用于已知两边和夹角的情况。

而余弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时同样常用，特别适用于已知三边的情况。

正弦定理及余弦定理学习笔记记录.docx

正弦定理及余弦定理学习笔记记录.docx

正弦定理和余弦定理（1.1 正弦定理和余弦定理）一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：使学生掌握正弦、余弦定理的推导过程，能初步运用正弦、余弦定理解斜三角形；熟记正弦、余弦定理及其变形形式；通过正弦、余弦定理的推导体现数形结合的思想、分类讨论的思想。

重点难点：重点：正、余弦定理的推导及应用。

难点：正、余弦定理的向量证明，两个定理的综合运用。

学习策略：从特殊到一般：从熟悉的直角三角形的边角关系出发，概括出直角三角形中的正、余弦定理，再推广到一般，探究任意三角形中的边角关系。

二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对（一）三角形ABC 中（ 1）一般约定：ABC 中角A、B、C所对的边分别为；（ 2）A B C；（ 3）大边对，大角对，即B C b c ；等边对，等角对，即 B C b c；（ 4）两边之和第三边，两边之差第三边，即a c............b ，a c...........b.（二） Rt ABC中, C 900（ 1）B A..................；（2）a2b2..................（3）sin A.................. ，sin B ..................，sin C ..................；cos A ..................，cosB..................，cosC ..................。

知识点一：正弦定理正弦定理：即：（一）直角三角形中的正弦定理的推导证明：（二）斜三角形中正弦定理的推导法一：构造直角三角形（ 1）当ABC 为锐角三角形时如图，作 AB 边上的高线CD交AB于D，则在Rt CBD 中,CD sin B，即CD asin B，a在Rt ACD 中,CD sin A,即CD bsin A, b∴a sin Bb sin A ，即a b.sin A sin B同理可证b csin B sin C∴a b csin A sin B sin C（ 2）当ABC 为钝角三角形时法二：圆转化法（ 1）当ABC 为锐角三角形时如图，圆 O是ABC 的外接圆，直径为 AD 2R，则 C D ，∴ sin C sin D c ，2R∴2Rc（ R 为 ABC 的外接圆半径）sin C同理 , 2Ra ，2R bsin A sin B 故abc 2Rsin A sin Bsin C（2）当ABC 为钝角三角形时法三：面积法（详细内容请参考知识导学，ID ： #tbjx9#208608 ）法四：向量法（ 1）当 ABC 为锐角三角形时过 A 作单位向量j 垂直于 AC ，则AC+CB =AB两边同乘以单位向量j ，r r r uuur r uuur r uuur得 j( AC +CB )= j AB ，即 j AC j CB j AB r uuur r uuur C) ∴| j | | AC | cos900 | j | | CB | cos(90or uuurA)，| j | | AB | cos(90ouuurr uuurruuurc，∵ j AC 0 ，| j | 1，| CB | a ，| AB |cos(90o C) sinC ，cos(90oA) sin A∴ a sin C c sin A ，∴ ac ，sin A sin C同理：若过 C 作 j 垂直于 CB 得：b csin B sin C∴ab c ， sin Asin Bsin C（ 2）当 ABC 为钝角三角形时说明：（ 1）正弦定理适合于三角形；（ 2）设 R 为ABC 的外接圆半径，可以证明：a b c sin A sin B _____sin C（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。

高考数学复习知识点讲解教案第27讲 余弦定理、正弦定理

高考数学复习知识点讲解教案第27讲 余弦定理、正弦定理
[解析] 对于A，若，则由正弦定理得 ，即，则，所以 一定是等边三角形，故A正确；对于B，若，则由正弦定理得 ，即，则或 ，即或 ，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，若 ，则由正弦定理得，所以 ，即，所以一定是等腰三角形，故C正确；对于D，在 中，因为，且，所以,所以角 为钝角，所以一定是钝角三角形，故D正确.故选 .
（2） 若，求 的周长的取值范围.
［思路点拨］根据正弦定理，结合三角恒等变换将三角形的周长转化为正弦型三角函数，利用正弦型三角函数的性质求 周长的取值范围即可.
解： 由正弦定理得，则 ,，又 ,，所以，又 为锐角三角形，所以，，则 ，所以 ，因为，所以，则 ，所以，即的周长的取值范围为
[总结反思]破解此类问题的关键:一是观察已知三角恒等式,判断是边往角化还是角往边化,从而利用正弦定理或余弦定理进行转化;二是把所求的取值范围或最值问题转化为三角函数问题,利用三角函数的单调性进行求解,或利用基本不等式、三角函数的有界性进行求解.
［思路点拨］先由余弦定理求出，然后由正弦定理求解 即可.
[பைடு நூலகம்结反思]
（1）正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程（组），通过解方程（组）求得未知元素.（2）正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
微点2 多三角形背景解三角形
例4 [2023·新课标Ⅱ卷] 记的内角，，的对边分别为,, ，已知面积为，为的中点，且 .
（1） 若，求 ；
［思路点拨］思路一：利用三角形的面积公式求出，再利用余弦定理求得 ，进而可得，从而求得的值；思路二：利用三角形的面积公式求出 ，作出 边上的高，利用直角三角形的性质求解即可.

(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明

(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明

正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法1．掌握正弦定理、 余弦定理，并能解决一些简单的三角形胸怀问题．2．能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与丈量和几何计算相关的实质问题．主要考察相关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转变的数学思想．解三角形经常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一同求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1． 正弦定理(1) 正弦定理：在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等， 即 ．其 中 R 是三角形外接圆的半径．(2) 正弦定理的其余形式：， c① a ＝ R A ， b ＝2 sin＝；a②sin A ＝2R ， sin B ＝，sin C ＝ ；③a ∶b ∶c ＝______________________.2． 余弦定理——王彦文 青铜峡一中(1) 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝，b 2＝，c 2＝.，即为勾若令 C ＝°，则 c 2＝90股定理．(2) 余 弦 定 理 的 变 形 ： cosA＝ ， cosB ＝ ，cosC ＝ .若 C 为锐角，则 cosC>0，即 a 2＋ b 2 ______c 2；若 C 为钝角，则 cosC<0，即 a 2＋b 2______c 2. 故由 a 2 ＋b 2 与 c 2 值的大小比较，能够判断 C 为锐角、钝角或直角．(3) 正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦能够写成 sin 2A＝ sin 2B ＋ sin 2C － 2sin Bsin CcosA ，近似地，sin 2B ＝ ____________ ； sin 2C ＝__________________.注意式中隐含条件 A ＋ B ＋C ＝π.3． 解斜三角形的种类(1) 已知三角形的随意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2) 已知三角形的随意两边与此中一边的对 角 ， 用 ____________ 定 理 ， 可 能 有___________________．如在△ ABC 中，已知 a ， b 和 A 时，解的状况如表：A 为钝角A 为锐角或直角图 形关 a ＝ b A aa ≥b a b 系 b A sin <b> 式 sin <解 的 ① ② ③ ④ 个 数(3) 已知三边，用 ____________定理．有1解时，只有一解．(4) 已知两边及夹角，用 ____________定理，必有一解．4． 三角形中的常用公式或变式(1) 三角形面积公式 S △＝ ＝＝ ____________ ＝ ____________ ＝____________．此中 R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．，(2) A ＋ B ＋ C ＝π，则 A ＝__________A＝ __________ ， 从 而sin A ＝2____________，cosA ＝ ____________ ， tan A ＝____________；A Asin 2＝ __________， cos 2＝__________，Atan 2 ＝ ________.tan A ＋ tan B ＋ tan C ＝__________.(3) 若三角形三边 a ，b ，c 成等差数列，则b ＝____________? 2sin B ＝____________?2B A －C A ＋ C A － C A2sin 2＝ cos2 ? 2cos 2 ＝ cos 2 ? tan 2C 1tan 2＝3.【自查自纠】． a bc R1(1)sin A ＝ sin B ＝sin C ＝ 2R BRC ② bc(2) ①2 si2 siRR2 2③ s in A ∶sin B ∶sin C2． (1) b 2＋c 2－2bccosA c 2＋a 2－ 2cacosB a 2 ＋b 2－2abcosC a 2＋ b 2b 2 ＋c 2－a 2c 2＋a 2－b 2a 2 ＋b 2－c 2>(2)2ca2ab2bc<(3) 互化sin 2C ＋sin 2A －2sin Csin AcosBsin 2A ＋ sin 2B －2sin Asin BcosC3．(1) 正弦 (2) 正弦 一解、两解或无解①一解 ②二解 ③一解 ④一解 (3) 余弦 (4) 余弦．11 1 abc(1) ab sin C bc s inA ac s in B2 22R412( a ＋b ＋c) rπ B ＋C(2) π－ ( B ＋ C)2 － 2sin( B ＋C－cos( B ＋C) )－ tan( B ＋ C cos B ＋CsinB ＋ C) 2 21 B ＋Ctan 2A B C (3)a ＋ csin A ＋ sin C tan tan tan2在△ABC中， A B 是A B 的()>sin >sinA．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选 C.在△ABC中，已知 b＝， c＝，B＝°，则61030解此三角形的结果有 ()A．无解B．一解C．两解D．一解或两解解：由正弦定理知 sin C＝c·sin B5b＝6，又由c>b>csin B知， C有两解．也可依已知条件，画出△ ABC，由图知有两解．应选 C.( 2013·陕西 ) 设△ ABC的内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若b cos C＋ c cos B＝a sin A,则△ ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确立C＋解：由已知和正弦定理可得BC B ＝A· A ，即sin cos＝sin sin sin sin( B ＋C cos A)sinA A，亦即sinA＝A因为Aπ，sin sin sin.0< <π所以 sin A＝1，所以 A＝ 2.所以三角形为直角三角形．应选.B( 2012·陕西 ) 在△ ABC中，角 A，B，C 所对的π边分别为 a，b，c. 若 a＝2，B＝6，c＝23，则 b＝________．解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－ 2accosB＝π222 ＋( 23)－2×2×2 3×cos 6＝ 4， b＝ 2.在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a＝ 2，b＝2，sin B＋cosB＝ 2，则角 A 的大小为 ________．解：∵ sin B＋ cosB＝2，ππ∴2sin B＋4＝ 2，即 sin B＋4＝1.πππ又∵ B∈(0 ，π ) ，∴ B＋4＝2， B＝4 .a b依据正弦定理sin A＝sin B，可得sin A＝asin B1＝.b2ππ∵a＜b，∴ A＜B. ∴ A＝6 . 故填6 .种类一正弦定理的应用△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 A－ C＝90°， a＋ c＝ 2b，求 C.解：由 a＋c＝ b 及正弦定理可得sinA2＋s in C＝ 2sin B.又因为 A－ C＝90°， B＝180°－ ( A＋ C) ，故 cosC＋ sin C＝ sin A＋sin C＝ 2sin( A＋ C) ＝2sin(90 °＋ 2C) ＝ 2sin2(45 °＋ C) ．∴2 sin(45° ＋C＝2 2 sin(45° ＋)C)cos(45 °＋ C) ，41即 cos(45 °＋ C) ＝2.又∵ 0°＜ C＜90°，∴ 45°＋ C＝60°，C ＝15°.【评析】利用正弦定理将边边关系转变为角角关系，这是解本题的重点．( 2012·江西 ) 在△ ABC中，角 A，B，C 的对边分别为a， b，c已知 A＝π，bsinπ＋C －.44c sinπ＋B ＝a4.π(1)求证： B－C＝2；(2)若 a＝ 2，求△ ABC的面积．解：(1)证明：对bπ＋C－sin4csin π＋ B＝ a应用正弦定理得4B π＋ C －sinCπ＋B ＝sinA，sin sin4sin422即sin B2 sin C＋2 cosC－sinC222，整理得 B C2 sin B＋2 cosB ＝2sin cos －s in CcosB＝ 1，即 sin ( B－C)＝1.3ππ因为 B，C∈ 0，4，∴ B－C＝2 .3π，又由 (1)知 B－C(2) ∵ B＋ C＝π－ A＝4π＝2，5ππ∴B＝8，C＝8.∵a＝2，A＝πb＝，∴由正弦定理知4a Bπa Cπsin5sinsin A＝ 2sin8，c＝sin A＝2sin 8 .115ππ∴S△ABC＝2bcsin A＝2×2sin8×2sin 8×225ππππ2＝ 2sin8 sin 8＝ 2cos8 sin8＝2π 1sin 4＝2.种类二 余弦定理的应用1 3 3∴S △ABC ＝2acsin B ＝ 4 .【评析】①依据所给等式的构造特色利用余弦定理将角化边进行变形是快速解答本题的 重点．②娴熟运用余弦定理及其推论，同时还 要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运 用．在△ ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，cosBb且cosC ＝－ 2a ＋c .(1) 求 B 的大小；(2) 若 b ＝ 13，a ＋c ＝4，求△ ABC 的面积．a 2＋ c 2－b 2， 解：(1) 由余弦定理知， cosB ＝ac2cosC ＝ a 2＋b 2－ c 2cosB b 2ab ，将上式代入cos C ＝－ a ＋c2 得a 2 ＋c 2－b 2 abb2＝－ a ＋c ， ac·a 2＋b 2－c22整理得 a 2＋c 2－ b 2＝－ ac.a 2＋c 2－b 2 －ac 1 ∴cosB ＝ ac ＝ ac ＝－ .22 22∵B 为三角形的内角，∴ B ＝ 3π.(2) 将 b ＝ 13，a ＋c ＝4，B ＝23π 代入 b 2＝a 2＋ c 2－2accosB ，得 13＝42－ 2ac －2accos 2 3π，解得 ac ＝3.若△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边 a ，b ，c 知足( a ＋b) 2－ c 2＝4，且 C ＝60°，则 ab 的值为 ( )4A. 3B ．8－4 3C ． 12D.3解：由余弦定理得 c 2＝ a 2 ＋b 2－2abcosC ＝a 2＋b 2－ab ，代入 ( a ＋ b) 2－ c 2 ＝4 中得 ( a ＋ b) 24－ ( a 2＋b 2－ab) ＝ 4，即 3ab ＝ 4，∴ ab ＝3. 应选A.6种类三正、余弦定理的综合应用以用余弦定理化边后用不等式求最值．( 2013·全国新课标Ⅱ ) △ ABC的内角A、B、 C的对边分别为 a，b，c，已知 a＝bcosC＋ csin B.(1)求 B；(2)若 b＝2，求△ ABC面积的最大值．解： (1) 由已知及正弦定理得 sin A＝sin BcosC＋ sin Csin B. ①又 A＝π－ ( B＋ C) ，故sin A ＝ sin( B ＋ C) ＝ sin BcosC ＋cosBsin C. ②由①，②和 C∈(0 ，π ) 得 sin B＝ cosB.π又 B∈(0 ，π ) ，所以 B＝4 .12(2) △ ABC的面积 S＝2acsin B＝4 ac.由已知及余弦定理得 4 ＝ a2＋ c2－π2accos 4 .又 a2＋ c2≥2ac，故 ac≤4，2－ 2当且仅当 a＝c 时，等号成立．所以△ ABC面积的最大值为2＋1.【评析】(1) 化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧； (2) 已知边及其对角求三角形面积最值是高考取考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可( 2013·山东 ) 设△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 a＋ c＝ 6， b＝ 2， cosB7＝9.(1)求 a，c 的值；(2)求 sin( A－ B) 的值．解： (1) 由余弦定理 b2＝a2＋ c2－2accosB，得 b2＝( a＋c) 2－2ac(1 ＋cosB) ，又 a＋ c ＝6，b＝2，7cosB＝9，所以 ac＝9，解得 a＝3，c＝3.242(2) 在△ ABC中， sin B＝ 1－cos B＝9 ，asin B 22由正弦定理得 sin A＝b＝ 3 .因为 a＝c，所以 A 为锐角，21所以 cosA＝1－sin A＝3.所以 sin( A－B) ＝sin AcosB－ cosAsin B＝10 227.种类四 判断三角形的形状后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的 关系；或将角都化成边，而后进行代数恒等变 形，可一题多解，多角度思虑问题，进而达到 对知识的娴熟掌握．在三角形 ABC 中，若 tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形 ABC 的形状．a 2 sin 2A解法一：由正弦定理，得 b 2＝sin 2B ， tan A sin 2 A所以 tan B ＝sin 2 B ，A Bsin 2AA ＝ Bsin cos2 ，即sin2所以cosAsin B ＝sinB sin2 . 所以 A ＝ B ，或2 A ＋B ＝π，所以 A ＝B2 22π或 A ＋ B ＝ 2 ，进而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．a2sin 2A解法二：由正弦定理，得 b 2＝ sin 2B ，所以tan A sin 2A cosB sin Atan B ＝sin 2B，所以 cosA ＝ sin B，再由正、余弦a 2＋ c 2 －b 2aca a 2－ b2c 2－定理，得 2 22 2 )( b ＋ c －a ＝ b ，化简得 (2bca 2－b 2 )＝ ，即 a 2＝ b 2 或c 2＝ a 2 ＋b 2. 进而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．【评析】由已知条件，可先将切化弦，再联合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然( 2012·上海 ) 在 △ABC 中 ， 若 sin 2A ＋sin 2B 2C ，则△ ABC 的形状是 ( )<sin A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不可以确立解：在△ ABC 中，∵ sin 2A ＋sin 2 B<sin 2C ，∴由正弦定理知 a 2 ＋b 2<c 2. ∴cos C ＝ a 2＋b 2－c 22ab<0，即∠ C 为钝角，△ ABC 为钝角三角形． 应选 C.种类五 解三角形应用举例某港口 O 要将一件重要物件用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口 O北偏西 30°且与该港口相距20 n mile的A 处，并以 30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假定该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过 t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假定小艇的最高航行速度只好达到 30 n mile/h ，试设计航行方案 ( 即确立航行方向和航行速度的大小 ) ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明原因．解法一：(1) 设相遇时小艇航行的距离为 S n mile ，则S＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos（90°－ 30°）＝t2－t ＋400＝900600900 t －123＋300，1103故当 t ＝3时，S min＝103，此时 v＝1＝3 303.即小艇以 30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在 B 处相遇，则v2 t 2＝400＋t 2－900 2·20·30t ·cos(90 °－ 30°) ，2600400故 v ＝ 900－t＋t2.v≤，∴6004002－＋≤，即∵0<30900t t900t3－t≤0，22解得 t ≥3. 又 t ＝3时，v＝30. 故 v＝ 30 时，2t 获得最小值，且最小值等于3.此时，在△ OAB中，有 OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案以下：航行方向为北偏东30°，航行速度为 30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1) 若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．在 Rt△OAC中， OC＝20cos30°＝ 10 3，AC＝20sin30 °＝ 10.又 AC＝30t ，OC＝vt ，101103此时，轮船航行时间 t ＝30＝3，v＝1＝330 3.即小艇以 30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假定 v＝ 30 时，小艇能以最短时间与轮船在 D处相遇，此时 AD＝DO＝30t .又∠ OAD＝60°，所以 AD＝ DO＝OA＝20，2解得 t ＝3.据此可设计航行方案以下：航行方向为北偏东 30°，航行速度的大小为30 n mile/h. 这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明以下：如图，由 (1) 得 OC＝103， AC＝10，故 OC>AC，且关于线段 AC上随意点 P，有OP≥ OC>AC.而小艇的最高航行速度只好达到30 n mile/h ，故小艇与轮船不行能在 A，C 之间 ( 包括 C) 的随意地点相遇．设∠ COD＝θ (0 °<θ<90°) ，则在 Rt△COD 中，103CD＝103tan θ， OD＝cosθ .因为从出发到相遇，轮船与小艇所需要的10＋10 3tan θ和 t ＝103，时间分别为 t ＝30vcosθ10＋10 3tan θ10 3所以30＝vcosθ.153由此可得，v＝sin （θ＋30°）.3又 v≤30，故 sin( θ＋30°) ≥2，进而，30°≤ θ<90°.因为θ＝30°时， tan θ获得最小值，且3最小值为3 .10＋103tan θ于是，当θ＝30°时，t ＝302获得最小值，且最小值为3.【评析】①这是一道相关解三角形的实质应用题，解题的重点是把实质问题抽象成纯数学识题，依据题目供给的信息，找出三角形中的数目关系，而后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实质问题中，有宽泛的应用．在物理学中，相关向量的计算也要用到解三角形的方法．最近几年的高考取我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热门问题之一．③不论是什么种类的三角应用问题，解决的重点都是充足理解题意，将问题中的语言表达弄理解，画出帮助剖析问题的草图，再将其归纳为属于哪种可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简易．10( 2012·武汉 5月模拟 ) 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 60°方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里 / 小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，恰好用2 小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin α的值．解： (1)依题意，∠BAC＝°，A B＝，12012 AC＝× ＝2，在△ ABC中，由余弦定理知 BC 1022022∠ BAC＝2＋2－＝AB＋ AC－ AB·AC·12202cos2×12×20×cos120°＝ 784，BC＝ 28.所以渔船甲的速度为 v＝28＝14( 海里 / 小2时) ．(2)在△ ABC中， AB＝12，∠ BAC＝120°，BC＝ 28，AB ∠BCA＝α，由正弦定理得sinα＝BC12＝28，进而 sin α＝，即sin120 °sin ∠ BAC sin α12sin120 °3328＝14.1．已知两边及此中一边的对角解三角形时，要注意解的状况，提防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转变为角角关系 ( 注意应用 A＋ B＋ C＝π 这个结论 ) 或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形( 如因式分解、配方等 ) 求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，不然有可能遗漏一种形状．3．要熟记一些常有结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与引诱公式联合产生的结论：sin A＝ sin( BA B＋C ＋C) ，cosA＝－ cos( B＋ C) ，sin 2＝cos 2，sin2 A＝－ sin2( B＋C) ，cos2A＝ cos2( B＋C) 等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)剖析：理解题意，分清已知与未知，画出表示图；(2)建模：依据已知条件与求解目标，把已11知量与求解量尽量集中到一个三角形中，成立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)查验：查验上述所求得的解能否切合实际意义，进而得出实质问题的解．5．正、余弦定理是应用极为宽泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，进而使三角与几何产生联系，为求与三角形相关的量( 如面积、外接圆、内切圆半径和面积等 ) 供给了理论依照，也是判断三角形形状、证明三角形中相关等式的重要依照．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意领会此中蕴涵的函数与方程思想、等价转变思想及分类议论思想．12。

正弦定理和余弦定理教案学情分析

正弦定理和余弦定理教案学情分析

正弦定理和余弦定理教案学情分析标题：正弦定理和余弦定理教案学情分析学情分析：1.学生背景知识：在初中阶段，学生应已熟悉直角三角形的基本概念和常见定理，如勾股定理和正弦、余弦、正切等函数的基本概念和性质。

2.学生认知水平：学生对于前文所提到的三角函数应有一定的理解，并有能力在三角形中应用这些函数进行计算。

此外，学生应该具备解决简单方程和应用比例的能力。

3.学生学习态度：学生的学习态度可能因为抽象的数学概念和符号操作而出现挫折感。

因此，需要通过具体的实例和互动活动来激发学生的学习兴趣，并提供足够的实践机会来加深对概念的理解和应用能力。

教案内容：1.教学目标：- 熟练掌握正弦定理和余弦定理的概念和基本公式；- 能够根据给定条件应用正弦定理和余弦定理解决实际问题；- 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

2.教学重难点：- 教学重点：正弦定理和余弦定理的概念和应用；- 教学难点：如何分析问题，确定适用的定理，并应用数学知识解决实际问题。

3.教学方法和教学手段：- 引导式授课：通过问题导向的方式引导学生思考，激发他们的学习兴趣。

- 情境模拟：通过实际场景模拟和计算机辅助教学等方式，将学生置身于实际应用情境中，增强他们对知识点的理解和记忆。

- 小组合作学习：通过小组活动和合作探究，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

4.教学步骤：- 导入：通过展示一些与三角形相关的实际问题激发学生的兴趣，引起他们对本节知识的探究欲望。

- 知识讲解：简明扼要地介绍正弦定理和余弦定理的概念和基本公式，通过具体的图例进行演示。

- 实例演练：提供一些实际问题，引导学生根据已知条件进行分析并应用相应的定理解决问题。

- 学生合作探究：分组让学生自主探究并讨论解决一些更复杂的问题，鼓励他们彼此思考和合作，促进深层次的学习。

- 拓展延伸：引导学生举一反三，应用所学知识解决更多实际问题，并与其他数学概念进行关联。

- 总结归纳：总结本节课学到的内容和方法，并强调重要的概念和技巧。

正余弦定理复习教案

正余弦定理复习教案

正弦、余弦定理一. 教学内容：正弦、余弦定理二. 教学重、难点：1. 重点：正弦、余弦定理。

2. 难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。

一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理>⇔a>b⇔A>B）注：在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。

（∵sinA>sinB⇔R R22二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东α 即由指北方向顺时针旋转α 到达目标方向； ②北偏本α 即由指北方向逆时针旋转α 到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 2、ΔABC 的面积公式（1）1()2a a S a h h a =表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abcS ab C ac B bc A R R ====为外接圆半径；（3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。

【典型例题】[例1] 已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。

练习：不解三角形，判断下列三角形解的个数。

（1）5=a ，4=b ，︒=120A （2）7=a ，14=b ，︒=150A （3）9=a ，10=b ，︒=60A （4）50=c ，72=b ，︒=135C正弦定理余弦定理的应用：例2：在ABC∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2s i n c o sc o s AA B +=（ ）A ．12 B ．12C ． -1D ． 1 练习：在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ利用正弦定理余弦定理判断三角形的形状及求取值范围[例3]若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =则△ABC A ．一定是锐角三角形. B ．一定是直角三角形.C ．一定是钝角三角形.D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.练习：1、在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于______，AC 的取值范围为______．2、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3＜C ＜π2且b a －b ＝sin2Csin A －sin2C(1)判断△ABC 的性状；(2)若|BA ＋BC |＝2，求BA ·BC的取值范围． 3、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为 ( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形利用正余弦定理求三角形面积〖例4〗（2009浙江文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值．练习：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．正余弦定理实际应用问题〖例5〗（本小题满分12分）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。

正余弦定理知识点梳理学案-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

正余弦定理知识点梳理学案-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

正余弦定理知识点梳理与练习知识点梳理1.正弦定理知识填空（在三角形ABC 中）（设三角形ABC 的外接圆半径为R ） （1）正弦定理：(2)=c b a ::（3）=a , =b ,=c ；=A sin ,=B sin =C sin（4）=∆ABC S = =（5）S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )＝12rl ，其中r ，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长．2.余弦定理知识填空（在三角形ABC 中） （1）余弦定理=2a ，=2b =2c=A cos B cos = =C cos（2）A 为锐角⇔ A 为直角⇔ A 为钝角⇔3.三角形的重要性质（1）内角和等于 即： 所以：=A sin =A cos（2）大边对 即：b a >⇔ ⇔（3）三角形最多只有一个 或 。

4. 余弦定理、正弦定理应用 1．基线的概念与选择原则 (1)定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)性质在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图所示)典型例题1．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于()A.39B．83C．102D．732．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60° B．45° C．120° D．30°3. 在△ABC中，下列式子与sin Aa的值相等的是()A.bc B.sin Bsin A C.sin Cc D.csin C4．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于()A．5 2 B．10 3 C.1033D．565．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是() A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形6．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有()A．一解B．两解C．无解D．无法确定7．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C ＝60°，则△ABC的面积为()A．3B．33C．6D．638．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有()A．一解B．两解C．无解D．无法确定10．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C ＝60°，则△ABC的面积为()A．3B．33C．6D．6311．在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝2，则B＝________.12．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.13. (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 3 cm，A＝π6，则a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________.14．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于________．15．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝π3，则C＝________.16．△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是．17. 在△ABC中，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.18．(1)在△ABC中，若a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝.(2)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于．19. 在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求A，B，C.20.在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状.21. 已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.22．已知B＝30°，b＝2，c＝2，求A，C，a.23.在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC 的形状.24.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝23，b＝6，A＝30°.25. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin 2C.(1)求C的大小；(2)若c＝23，A＝π6，求△ABC的面积.26.济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)27.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．28.如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B 处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)同步训练例题1：判定三角形的形状。

解三角形 正弦定理和余弦定理复习学案教师版

解三角形 正弦定理和余弦定理复习学案教师版

第 1 页解三角形正弦定理和余弦定理复习学案一、正、余弦定理解三角形的基本问题例1 在△ABC 中，(1)已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 、c ；(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．点拨 (1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A ，再求其余的量． (2)先由sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，求出a ∶b ∶c ，再由余弦定理求出最大角．解 (1)由正弦定理及已知条件有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32，∵a >b ，∴A >B ＝45°，∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22，当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22(2)根据正弦定理可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10， ∴边c 最大，即角C 最大．设a ＝(3＋1)k ，b ＝(3－1)k ，c ＝10k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3回顾归纳 已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．►变式训练1 (1)△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠C ＝30°，求△ABC 的面积；(2)已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．解 (1)1sin 30°＝3sin B ，∴sin B ＝32，∴B ＝60°或120°，当B ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32.当B ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34.综上，△ABC 的面积为32或34.(2)∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝32，于是C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21，∴c ＝21；当C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ＝61， ∴c ＝61.∴c 的长度为21或61. 二、正、余弦定理在三角形中的应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长．已知b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc .第 2 页(1)求∠A 的大；(2)求b sin Bc 的值．点拨 (1)利用cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 求解；(2)利用正弦定理对代数式b sin Bc进行转化．解 (1)∵b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc ，∴a 2－c 2＝b 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)方法一 在△ABC 中，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ，∵b 2＝ac ，∴b a ＝cb.∴sin B ＝b sin A a ＝c ·sin A b ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.方法二 在△ABC 中，由面积公式得：12bc sin A ＝12ac sin B∵b 2＝ac ，∴bc sin A ＝b 2sin B ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．(2)要注意利用△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B ＋C )＝sinA ，cos(B ＋C )＝－cos A ，tan(B ＋C )＝－tan A ，sin B ＋C 2＝cos A2等，进行三角变换的运算．►变式训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．解 (1)∵B ＋C ＝180°－A ，∴B ＋C 2＝90°－A2.由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72，得4cos 2A 2－cos 2A ＝72，即2(1＋cos A )－(2cos 2 A －1)＝72.整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0.∴cos A ＝120°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∵a ＝3，∴b 2＋c 2－bc ＝3.又b ＋c ＝3，∴b 2＋c 2＋2bc ＝9，∴bc ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝1. 三、正、余弦定理在实际问题中的应用例3 A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，A 见塔在东北方向，B 见塔在正东方向，C 见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．解如图所示，过C、B、P分别作CM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M、N 、Q.设BN=x，则PQ=x，PA=2x.∵AB=BC，∴CM=2BN=2x，PC=2x.在△PAC中，由余弦定理得AC2=PA2+PC2-2PA·PC·cos 75°，即4=2x2+4x2-42x2·624-，解得x2=2(43)13+，过P作PD⊥AC，垂足为D，则线段PD的长为塔到直路的距离．在△PAC中，由于12AC·PD=12PA·PC·sin 75°，得PD020sin7522sin752P A P C xAC⋅⋅⋅==，=2(43)62753213413+++⋅⋅=(km)．答塔到直路的距离为75313+km.回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：①准确地理解题意；②正确地作出图形(或准确地理解图形)；③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；④根据实际意义和精确度的要求给出答案．(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语．►变式训练3如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往B处救援，求sin θ的值．解在△ABC中，AB=20，AC=10，∠BAC=120°，由余弦定理知：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=202+102-2×20×10×12⎛⎫-⎪⎝⎭=700.∴BC=107第3 页第 4 页由正弦定理得sin sin A B B C A C B B A C=∠∠，∴sin ∠ACB=A B B C·sin ∠BAC=·sin 120°=7.∴cos ∠ACB=7.∴sin θ=sin(∠ACB+30°)=sin ∠ACB ·cos 30°+cos ∠ACB ·sin 30°=7×2+7×12=14，.课堂小结：1．正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题： (1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定． 2．余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的．(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解．3．正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．课后作业一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对答案 C 解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 C 解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0，∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．(2008·福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D 解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49第 5 页答案 D 解析 S △ABC ＝12AC ×AB ×sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401∴BC ＝49.5．(2012·广东东莞模拟)△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A 解析 ①由a 2>b 2＋c 2知A 为钝角，①正确；②由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知A ＝120°，②错；③由a 2＋b 2>c 2，仅能判断C 为锐角，A 、B 未知，③错；④由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，知A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2，④错．所以仅①正确．二、填空题6．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．答案 6 cm 2解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．7．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝______.答案 2393.解析 由S ＝12sin A ＝121×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 8．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________．解析 如图所示，sin 45sin 30BCAC =，∴BC=sin 30A C ×sin 45°=20122⨯， (km)．9．(2012·广东广州一模)已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，第 6 页cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×3517，∴b ＝17.10．在△ABC 中，已知AB ＝463，cos B ＝66，AC 上的中线BD ＝5，求sin A 的值．解 设E 为BC 的中点．连接DE ，则DE ∥AB ，且DE ＝12AB ＝263，设BE ＝x .在△BDE 中利用余弦定理可得：BD 2＝BE 2＋ED 2－2BE ·ED cos ∠BED ，5＝x 2＋83＋2×263×66x ，解得x ＝1，x ＝－73(舍去)．故BC ＝2，从而AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝283AC ＝2213.又sin B ＝306，故2sin A ＝2213306，sin A ＝7014.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C 2－cos 2C ＝72， ∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，整理，得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2－3ab ， 由条件a ＋b ＝5，得7＝25－3ab ，ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.。

正弦定理和余弦定理教案

正弦定理和余弦定理教案
从余弦定理，又可得到以下推论：
cos A cos B cos C
(三) 理解定理 ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
例题： 例 1、△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝ 2a. b (1)求 ； a (2)若 c2＝b2＋ 3a2，求 B.
)
8.△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，∠B＝30° ，则△ABC 的面积等于( A. 3 2 B. 3 4 C. 3 或 3 2 D.
) 3 3 或 2 4
2π 9．在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，∠C＝ ，则 a＝________. 3
10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 2，b＝2，sinB＋cosB＝ 2，则角 A 的大小为 ________． 1 11.在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD＝ DC，∠ADB＝120° ，AD＝2.若△ADC 的面积为 3－ 3，则∠BAC 2 ＝_______.
)
3、已知△ABC 中，a＝c＝2，A＝30° ，则 b＝( A. 3 B. 2 3
4、 △ABC 中，a＝ 5，b＝ 3，sinB＝ A. 1 个 B. 2 个
2 ，则符合条件的三角形有( 2 C. 3 个 D. 0 个
)
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 a2－b2＝ 3bc，sinC＝2 3sinB，则 A＝( A．30° B．60° C．120° D．150°
a
sin A
a
sin A

b
sin B
，
ห้องสมุดไป่ตู้

正弦定理和余弦定理的小结课(丰三忠)

正弦定理和余弦定理的小结课(丰三忠)

（1）初中所学的：S

1 底高 2
困惑：高的作出和计算， 尤其是钝角三角形。
(2)初中所学的还有：S
1 (a b c)r 2
已知三边和三角形内切圆的半径
（3）两边夹一角的三角形正弦面积计算公式：
S
1 absin C 1 acsin B 1 bcsin A.
2
2
2
优越性：不需要作出高
a b cosC c cosB,
当角A为钝角或直角也可以类似证明。
刚才的证明主要是应用几何图形的含义，而且还要分类讨论。 还有其他较为简洁的证明方法吗？
由余弦定理可得：cosC a2 b2 c2 , cos B a2 c2 b2 , 反映了“把角化成边”的转化思想
2ab
2ac
a2 b2 c2 b cosC c cos B b
a2 c2 b2 c
2a2
a
原等式成立。
2ab
2ac
2a
三.课本上的两个重Βιβλιοθήκη 结论 （2）课本第20页第13题：
ABC的三边分别为a,b, c, 边BC上的中线记为ma,证明：ma

1 2
2(b2 c2 ) a2
已知两边及其夹角，求第三边。 （4）余弦定理的变形公式：
cos A b2 c2 a2 , cos B a2 c2 b2 ,
b2 c2 c2
cosC
,
2bc
2ac
2bc
已知三边求角
二.再谈三角形面积的计算公式
约定：在ABC中，R为ABC外接圆的半径，r为ABC内切圆的半径。
代入得： a2 c2 2ac cos120 0 13, 即a2 c2 ac 13,

正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明

正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明

正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明正弦定理概述：正弦定理是三角形的一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的正弦值之间的关系。

正弦定理可以用于求解任意三角形的边长或角度。

正弦定理表达式：在一个三角形ABC中，有以下正弦定理的表达式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形的角度。

正弦定理表明，三角形的任意一边的长度与这条边相对的角的正弦值成正比。

正弦定理的证明：可以使用数学推导来证明正弦定理。

这里给出一种较为详细的证明方法。

证明：1. 通过三角形的边长关系：a = b * sin(A) / sin(B)和c = b *sin(C) / sin(B)，可得到以下关系式：a * sin(B) = b * sin(A)和c * sin(B) = b * sin(C)2.利用向量叉积原理知识，假设D为线段BC上的一点，则由向量的垂直性知：向量BD与向量AD是垂直的，向量CD与向量AD是垂直的。

3. 记向量AD为向量a，向量BD为向量b，向量CD为向量c，由向量b与向量a的垂直性可得：向量b·向量a = ，b， * ，a， *sin(∠BA) = b * AD * sin(∠BA)。

4. 同理，由向量c与向量a的垂直性可得：向量c·向量a = ，c，* ，a，* sin(∠CA) = c * AD * sin(∠CA)。

5. 因为∠C + ∠A = ∠BA，即∠CA + ∠BA = 180°，所以sin(∠BA) = sin(∠CA)。

所以有b * AD * sin(∠BA) = c * AD *sin(∠CA)。

6. 即有b * AD * sin(∠BA) = c * AD * sin(∠BA)，那么b = c，所以定理得证。

余弦定理概述：余弦定理是三角形的另一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的角之间的关系。

(1)正弦定理和余弦定理 知识梳理

(1)正弦定理和余弦定理 知识梳理

正弦定理和余弦定理 知识梳理一、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R （其中R 是三角形外接圆的半径） 应用：①已知两角和任意一边，求其他边和角；②已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.例1：（1）已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆.（2）在ABC ∆中，已知a =16，b =，A=30°，解三角形.由正弦定理可以变形：（1）a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；（2）a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C = a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C（3）a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；（4）sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R等形式，解决不同的三角形问题． 例2.（1）在△ABC 中，a=5，b=3，则sin :sin A B 的值是___________.（2）已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于___________.（3）在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________. 二、余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 应用：①已知两边及夹角就可以求出第三边；②知三角形的三条边就可以求出三个角．例3.（1）在△ABC 中，已知a =b =，450=∠c ，求c .（2）已知三角形的三边长分别为a =3、b =5、c =7，求最大角.三、应用（1）三角形面积：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B. （2）判断角的情况：大角对大边，小角对小边，在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角；若222a b c +<，则角C 是钝角；若222a b c +>，则角C 是锐角．（3）判断三角形的形状，主要有两种途径： ①化边为角:a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；②化角为边:sin A ＝a 2R ， sin B ＝b 2R ， sin C ＝c 2R， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.例4.(1).2,30,O ABC AB BC B ABC ∆===∆在中，求的面积.（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2s i n (2)s i n (2)s i n a A b c B c b C =-+-，①求角A 的大小；②若sin sin B C +=ABC 的形状.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

正弦定理和余弦定理一、正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： 1．已知两角和任意一边，求另两边和另一角； 2．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．第一类问题有唯一解，当三角形的两角和任一边确定时，三角形就被唯一确定． 第二类问题的三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况． 下面以已知a ，b 和A ，解三角形为例加以说明．法一;由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： (1)若sin B ＝b sin A a>1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；(2)若sin B ＝b sin A a＝1，则满足条件的三角形的个数为1；(3)若sin B ＝b sin A a<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.显然由0<sin B ＝b sin A a<1可得B 有两个值，一个为钝角，一个为锐角，考虑到“大角对大边”、“三角形内角和等于180°”等，此时需进行讨论．判断三角形解的个数也可由“三角形中大边对大角”来判定．设A 为锐角，若a ≥b ，则A ≥B ，从而B 为锐角，有一解；若a <b ，则A <B ，由正弦定理得sin B ＝b sin A a；①sin B >1，无解；②sin B ＝1，一解；③sin B <1，两解．法二：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式①a ＝b sin A ②a ≥b b sin A <a <ba <b sin Aa >ba ≤b解的个数 一解两解无解一解无解三、三角形的面积公式已知条件选用公式三角形的一边及此边上的高公式1：S △ABC ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h cS △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 、r 分别是三角形外接圆、内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．0个D ．无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________．(3)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________.公式4：(海伦公式)S △ABC ＝p p －a p －b p －c ，其中p ＝12(a ＋b ＋c ).【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x ＞2B ．x ＜2C ．2＜x ＜22D ．2＜x ＜23(2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝________.高频考点二 和三角形面积有关的问题例2、(2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 【感悟提升】(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 【变式探究】四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．高频考点三 正弦、余弦定理的简单应用例3、(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC中，cos 2B 2＝a ＋c2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【举一反三】(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin Bsin C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 练习：1．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A .32B .34C .36D .382．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝2B ，则cb为( )A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A .π6B .π4C .π3D .3π44．在△ABC 中，若lg (a ＋c)＋lg (a －c)＝lg b －lg 1b ＋c，则A ＝( )A ．90°B ．60°C ．120°D ．150°5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( )A ．－19B .13C ．1D .726．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A＋sin B 的最大值是( )A ．1B . 2C . 3D ．37.在△ABC 中,若A=错误!未找到引用源。

,B=错误!未找到引用源。

,BC=3错误!未找到引用源。

,则AC=( )A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.2错误!未找到引用源。

D.4错误!未找到引用源。

8.在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,则B= ( )A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

10.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=错误!未找到引用源。

a,则 ( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定 11.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则cosB= .12.△ABC 中,三个内角A,B,C 对的边分别为a,b,c,若sin 2A+sin 2C-sin 2B=3sinAsinC,则B= .13.△ABC中,点D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求错误!未找到引用源。

.(2)若∠BAC=60°,求B.14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

=2,且b=2错误!未找到引用源。

,求a和c的值.15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点(a,b)在直线x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上.(1)求角C的值.(2)若2cos2错误!未找到引用源。

-2sin2错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,且A<B,求错误!未找到引用源。

.16.如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=错误!未找到引用源。

.(1)求cos∠CAD的值.(2)若cos∠BAD=-错误!未找到引用源。

,sin∠CBA=错误!未找到引用源。

,求BC的长.正余弦定理在实际中的应用对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解(1)坡角：坡向与⑧水平方向的夹角，如图．(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线⑨上方的角叫仰角，在水平线⑩下方的角叫俯角，如图．(3)方位角：指从正北方向⑪顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为α.(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的⑫小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图中∠ABC为北偏东60°或为东偏北30°.[知识点一] 测量距离问题[例1] (导学号：30280048)如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°.求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离．1．如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是( )A．240(3－1)m B．180(2－1) m C．120(3－1) m D．30(3＋1) m （1）（2）（3）（4）[知识点二] 测量高度问题[例2] (导学号：30280050)某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．2．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M 点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.[知识点三] 测量角度问题[例3] (导学号：30280052)如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船，并求出所需时间．(结果保留根号，无需求近似值)3．(导学号：30280053)甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a nmile，乙船向正北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，问甲船应按什么方向前进才能尽快追上乙船？此时乙船行驶了多少？。

相关文档
最新文档