微积分第二章典型例题

补充知识

一、数列与其子列之间的关系

定义 从数列}u {n 中任意抽取无穷多项，并保持原有次序，这样得到的一个新数列称为数列}u {n 的一个子数列，简称子列．记作

}u {k n ： ,u ,,u ,u k 21n n n ．

其中k n 表示k

n u 在原数列}u {n 中的位置，k 表示k

n u 在子列中的位置．

例如 ：奇数子列 ,,,,1231-k u u u ， 其中12,,3,121-===k n n n k 显然k n k ≥．

下面的定理给出了数列}u {n 与其子列}u {k

n 之间的关系．

定理：对于数列}u {n ，

(1) A u lim n n =→∞

的充要条件是对}u {n 的任何子数列}u {k

n 都有A u lim k

n k =∞

→.

(2) A u lim n n =→∞

的充要条件是}u {n 的偶数子列}u {k 2和奇数子列}u {1k 2+满

足 A u lim u lim 1k 2k k 2k ==+∞

→∞

→．

(3) 若}u {n 单调，则A u lim n n =→∞

的充要条件是存在一个子数列}u {k

n 满足

A u lim k n k =∞

→．

二、数列极限与函数极限的关系

定理2.18（Heine 定理）A x f x

x =→)(lim 0

的充要条件为：

对于任意收敛于0x 的数列}{n x )(0x x n ≠，都有A )x (f lim n n =∞

→．

常用结论：若A x f x =+∞

→)(lim ，则A n f n =∞

→)(lim 。

例如：由1sin lim

=→x

x

x ，可以推出111

sin

lim

=∞→n n n ，11

1sin lim 22

=++∞→n n

n n n 等。

注（1）对于+→0x x ，-

→0x x ，∞→x ，+∞→x ，-∞→x 等情形，

只要将定理中的条件作相应修改，定理的结论仍成立．

（2）该定理建立了函数极限与数列极限之间的联系，可以将函数的极限转化为数列的极限去研究，也可以将数列的极限转化为函数的极限来讨论．

（3）用该定理可以说明某函数极限不存在。 例如：证明x 0

1

limsin x

→不存在. 证明： 取2

21)

1(π

π+

=

n x n ， π

n x n 21

)

2(=

， ,2,1n =，显然 (1)n n lim x 0→∞

=，(2)

n n lim x 0→∞

=, 但是11lim 1sin lim )

1(==∞

→∞

→n n

n x ，00lim 1sin

lim )

2(==∞

→∞

→n n

n x 。

由Heine 定理可知， x 01

limsin x

→不存在． 三、求极限的一般方法

(1) 利用极限的四则运算法则. 往往结合对函数的恒等变形,常用的具体方法有：因式分解，通分，有理化，约去公因子，三角恒等变形等；

(2) 利用无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量之间的关系（特别是利用有界变量与无穷小量的积仍是无穷小量的性质）等； (3) 利用等价无穷小量的性质； (4) 利用高阶无穷小量的性质； (5) 利用极限存在准则； (6) 利用重要极限；

(7) 利用极限与左、右极限的关系（适用于求分段函数在分段点处的极限以及用定义求极限等情形）；

(8) 利用连续性（适用于求函数在其连续点处的极限）；

思考题解答

1.用定义证明11

lim

1=→x

x 。 证：0>∀ε，要使ε<-=

-|

||

1|11x x x

。 由于1→x 时的极限只与自变量邻近1的函数值有关，不妨考虑

21|1|0<

-

3

21<

|1|ε

<-x 。

取}2,21min{ε

δ=，则当δ<-<|1|0x 时ε<-11x

恒成立。 由极限定义得 11

lim

1=→x

x 。 2、利用三角函数的周期性求极限 （1）

()()

10cos 21)2(1cos lim 21)2(cos lim 1)2(cos lim 222==⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=-+=+∞→∞

→∞

→ππ

ππn n n n n n n n

（2）

()()

224cos 2141cos lim 2)2(cos lim 2)2(cos lim )2(cos lim 222=

=⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

++=-+=+∞→∞→∞

→∞

→ππππ

ππn n n n n n n n n n n n n n （3）