微积分第二章典型例题

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微积分第二章详细答案

第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 l i m n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 l i m n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。

即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 l i m 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)nn n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n nnn n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n→∞=，2lim0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231nn n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim0!nn n →∞=5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。

经济数学基础微积分第二章习题解答

1 ex x0 15.设有函数f ( x) a x x 0
解： e 0 lim
x 0 1 x x 0
问常数a为何值时， f ( x)存在？ lim
x0
lim (a x) a
当a 0时， f ( x)存在. lim
x0
16.求下列极限： tan 2 x 2 arctan 5 x 3x sin 3 x (2) lim (3) lim 5 (1) lim lim 6 x 0 sin 5 x x 0 arcsin x x 0 x 0 x x 5 sin 2 2 1 x2 sin x2 (5) lim 1 lim 4 x 1 x 0 (4) lim x sin lim 2 x x 0 x 2 sin ( ) x ( ) x x 1 2 2 x tan 2 x sin x tan 2 x sin x 2 1 1 (6) lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x x
e 4
x x x 1 2 3 lim (17 ) lim ln(1 x x x ) x 0 x 0 x x
2
3
1
1
1 n 2 n 3 n n n n n n (18) lim(1 2 3 4 ) lim 4 [1 ( ) ( ) ( ) ] 4 x x 4 4 4 17.求下列极限：
x 1 x 1
1 或 lim 2 0 n x
y
解：lim f ( x) lim f ( x) 2 f (1)
x 2是第一类可去间断点
0
x
若f (1) 2, 则为连续 .
(2) x 0第二类无穷间断点 (3) x 0第一类跳跃间断点 (4) x 0第一类可去间断点 x 1第二类无穷间断点 (5) x 0第一类跳跃间断点 (6) x 0第一类可去间断点

2019版 2微积分练习题(下) 第二章答案

dx f (x, y)dy
1
1
x
13
33
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
1
1
3
y
1y
12
练习题 7
班级
学号
姓名
1. 把下列二重积分化为累次积分.
(1) f (x, y)d ，其中 D 是由 y x ，
D
x 2 及 x 轴所围成的闭区域；
解：原式＝ 2 x f (x, y)dydx . 00
2. 交换下列二次积分的积分次序(要求画出积分区域的图形)：
1
y
(1) dy f (x, y)dx ；
0
y
1x
解：原式＝ dx f (x, y)dy . 0 x2
1x
2 2x
(3) dx f (x, y)dy + dx f (x, y)dy .
00
1
0
1 2 y
解：原式＝ dy f (x, y)dx .
积函数关于 x 轴、 y 轴不对称，所以该式不
成立.
2．计算二重积分：
(| x | y)dxdy ， D : x y 1；
D
解：积分区域 D 关于 x 轴、 y 轴都对称， y 关于
y 是奇函数， ydxdy 0
D
1 1x
x dxdy 2 xdxdy 2 dx xdy
D
D1
0 x1
2
2
cos
原式=
2
0
f ( cos , sin )dd
2
2．利用极坐标计算下列各题：
(1) e x2 y2 dxdy ， D : x 2 y 2 4 ； D
解：设 x r cos , y r sin .则

微积分经济数学吴传生

设 ~ , ~ 且 lim 存在,则 lim lim .
9. 极限的唯一性
定理若lim f ( x)存在,则极限唯一.
连续定义
lim y 0
x 0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
左右连续
连续的充要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的运算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质
x x0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
4. 求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
5. 判定极限存在的准则
lim
n
xn
a,
或
xn a (n ).
" N"定义
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
定义② 设函数 f ( x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义，对于任意给定的正数 (不论它多么

微积分第2版-朱文莉第2章极限与连续习题祥解

微积分第2版-朱文莉第2章极限与连续习题祥解第二章极限与连续习题 2.1(A)1. 观察下列数列{}n x ，当n →∞时，极限是否存在，如存在，请写出其极限值.(1) {}(1)1n n x n ⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭； (2) {}1sin n x n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；(3) {}1(1)2n n x ⎧⎫+-=⎨⎬⎩⎭； (4) {}11n n x n -⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭；(5) {}{}(1)nn x n =-； (6) {}21n n x n ⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭.解 (1) 当n →∞时，极限为1；(2) 当n →∞时，极限为0； (3) 当n →∞时，极限不存在； (4) 当n →∞时，极限为1； (5) 当n →∞时，极限不存在； (6) 当n →∞时，极限不存在. 2. 对于数列{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=1n n x n ),2,1( =n ，给定 (1) 1.0=ε，(2) 01.0=ε， (3) 001.0=ε时，分别取怎样的N ，才能使当N n >时，不等式ε<-1n x 成立? 并利用极限的定义证明此数列的极限为1.解 (1) 要使1.011111=<+=-+=-εn n n x n ，只要101.011=>+n ，9n >，故取9=N 即可.(2) 要使01.011111=<+=-+=-εn n n x n ，只要10001.011=>+n ，99n >，故99=N 即可.(3) 要使001.011111=<+=-+=-εn n n x n ，只要1000001.011=>+n ，999n >，故取999=N 即可.对于任意给定的0>ε，要使ε<+=-+=-11111n n n x n ，即ε11>+n ，11->εn .取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11εN ，则当N n >时，恒有ε<-+=-111n nx n ，故lim 11n nn →∞=+. 习题 2.1 (B)1. 用数列极限的定义证明下列极限：(1) 1(1)lim 01nn n →∞+-=+； (2) 1lim313n n n →∞=+. 证明 (1) 对于任意给定的0ε>，要使不等式n x a -=1(1)22011n n n nε+--≤<<++成立，只需2n ε>成立. 取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，恒有ε.所以 1(1)lim 01nn n →∞+-=+.(2) 对于任意给定的0ε>，要使不等式n x a -=1113133(31)9n n n nε--=<<++ 成立，只需19n ε>成立. 取19N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，恒有 1313n n ε-<+. 所以 1lim313n n n →∞=+.2. 利用数列极限的定义证明：0n →∞=. 证明对于任意给定的0ε>，要使不等式=-a xn 0ε-=<<成立，只需21n ε>成立. 取112+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，则当n N >时，恒有0ε-<.所以 )0n →∞=.3. 若数列{}n x 有界，且lim 0n n y →∞=，证明lim 0n n n x y →∞=.证明因为数列{}n x 有界，所以存在0M >，对所有的n x 都有n x M ≤，对于任意给定的0ε>，要使不等式0n n x y -=n n n x y M y ε≤<成立，只需n y M ε<，又因为lim 0n n y →∞=，所以对于给定的0Mεε'=>，存在N ，则当n N>时，恒有n y Mεε'<=. 取},max{N M K =，则当K n >时，恒有εε=<MMy x n n .所以lim 0n n n x y →∞=.4.对于数列}{n x ，若a x k →-12 )(∞→k ，a x k →2)(∞→k ，证明：a x n →)(∞→n .证明因为a x k →-12 )(∞→k ，所以0>∀ε，1k ∃0>，当1k k >时，有ε<--a x k 12；又因为a x k →2)(∞→k ，所以对上述0>ε，2k ∃0>，当2k k >时，有ε<-a x k 2. 记},max{21k k K =，取K N 2=，则当N n >时，若12-=k n ，则121k K k >+>，得ε<-=--a x a x k n 12，若k n 2=，则2k K k ≥>，得ε<-=-a x a x k n 2. 从而只要N n >，就有ε<-a x n ，即lim n n x a →∞=.习题2.2(A)1. 对下图中所示函数)(x f ，求下列极限，如果极限不存在，说明理由．(1) 2lim ()x f x →-； (2) 1lim ()x f x →-； (3)0lim ()x f x →．解 (1) 2lim ()0x f x →-=；(2)1lim ()1x f x →-=-；(3)0lim ()x f x →不存在，因为)0()0(+-≠f f .2. 对下图中所示函数)(x f ，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？(1) 0lim ()x f x →不存在； (2) 0lim ()0x f x →=；(3) 0lim ()1x f x →=； (4)1lim ()0x f x →=；(5) 1lim ()x f x →不存在； (6) 对每个)1,1(0-∈x ， 0lim ()x x f x →存在．解 (1) 错，因为0lim ()x f x →存在与否，与)0(f 的值无关.(2) 对，因为0)0()0(==+-f f .(3) 错，因为0lim ()x f x →的值与)0(f 的值无关.(4) 错，0)01(=+f ，1)01(-=-f ，故1lim ()x f x →不存在.(5) 对，因为)01()01(-≠+f f . (6) 对.3. 用极限定义证明：(1) 1lim(21)1x x →-=； (2) 224lim 42x x x →--=-+；(3) 23lim2x x x →∞+=； (4) lim 0x =.证明 (1)对于任意给定的0ε>，要使不等式()f x A -(21)121x x ε=--=-<成立，只需12x ε-<成立. 取2εδ=，则当01x δ<-<时，恒有(21)1x ε--<.所以 1lim(21)1x x →-=.(2)对于任意给定的0ε>，要使不等式()f x A -24(2)(2)(4)4222x x x x x x ε--+=--=+=+<++成立，只需取δε=即可. 则当0x δ<+<时，恒有24(2x x ε--+. 所以224lim 42x x x →--=-+.(3)对于任意给定的0ε>，要使不等式()f x A -2332x x xε+=-=< 成立，只需3x ε>成立. 取3M ε=，则当x M >时，恒有232x xε+-<. 所以 23lim2x x x →∞+=.(4)对于任意给定的0ε>，要使不等式()0f x A ε-=<< 成立，只需⎥⎦⎤⎢⎣⎡>21εx 成立. 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21εM ，则当x M >时，恒有0ε-<. 所以lim0x =.习题2.2 (B)1. 当2→x 时，4)(2→=x x f ，问δ等于多少，使当δ<-2x 时，001.04)(<-x f ？解由于2→x ，02→-x ，不妨设12<-x ，即31<<x . 要使25)2)(2(42-<-+=-x x x x0002.02=-x ，取0002.0=δ，则当δ<-<20x 时，就有001.04)(<-x f .2. 当∞→x 时，2312)(22→++=x x x f ，问X 等于多少，使当X x >时，01.02)(<-x f ？解因为222253523122)(x x x x x f <+=-++=-. 要使01.0231222<-++x x ，只要01.052<x，即510>x ，取510=X ，则当X x >时，就有01.02)(<-x f . 3. 讨论0x →时，下列函数的极限是否存在.(1) 1,0()0, 01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩； (2) ⎩⎨⎧<<<<-=10 ,0,sin )(x x x x x f π. 解 (1)由于 0lim ()lim (1)1x x f x x --→→=-=-， 00lim ()lim (1)1x x f x x ++→→=+=，故 0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠. 所以 0lim ()x f x →不存在.(2)由于0lim ()lim sin 0x x f x x --→→==，0lim ()lim 0x x f x x ++→→==. 故0lim ()x f x -→0lim ()x f x +→=. 所以0lim ()0x f x →=. 4. 设函数3()53x x f x x x+=-，求：(1) lim ()x f x →+∞； (2) lim ()x f x →-∞；(3) 0lim ()x f x +→； (4) 0lim ()x f x -→.解 34(1)lim ()limlim2532x x x x x xf x x xx→+∞→+∞→+∞+===-.321(2)lim ()limlim5384x x x x x x f x x x x →-∞→-∞→-∞+===-.3(3)lim ()lim 253x x x x x f x x x ++→→→+==-. 0321(4)lim ()lim lim 5384x x x x x x f x x xx ---→→→+===-. 5. 设函数212()22x x f x x a x ⎧+≥=⎨+<⎩，问当a 取何值时，函数)(x f 在2→x 时的极限存在.解因为 22lim ()lim (2)4x x f x x a a --→→=+=+， 222lim ()lim (1)5x x f x x ++→→=+=. 由极限存在的条件，有 2lim ()x f x -→2lim ()x f x +→=，得1a =.习题2.3(A)1. 下列变量在何种情况下为无穷小，又在何种情况下为无穷大？ (1)11x -； (2) 211x x --； (3) ln(1)x -.解 (1)由于1lim 01x x →∞=-，故x →∞时，变量11x-为无穷小. 由于11lim 1x x →=∞-，故1x →时，变量11x-为无穷大. (2) 由于21lim01x x x →∞-=-，故x →∞时，变量211x x --为无穷小. 由于211lim 1x x x →--=∞-，故1x →-时，变量211x x --为无穷大.(3) 由于2lim ln(1)0x x →-=，故2x →时，变量为ln(1)x -无穷小.由于lim ln(1)x x →+∞-=+∞，或 1lim ln(1)x x +→-=-∞，故x →+∞或1x +→时变量ln(1)x -为无穷大.2. 根据定义证明：(1) 1-=x y 为当1→x 时的无穷小； (2) xxy sin =为当∞→x 时的无穷小. 解 (1) 因为0)1(-=--x x ，所以0>∀ε，取εδ=，则当δ-<10x 时，就有ε<--0)1(x ，即1-=x y 为当1→x 时的无穷小.(2) 因为xx x 10cos ≤-，所以0>∀ε，取ε1=X ，则当X x >时，恒有ε<-0cos xx， xxy cos =为当∞→x 时的无穷小. 3. 求下列极限.(1) sin lim x x x→∞； (2) 221lim 56x x x x →+-+； (3) 224lim 2x x x →--.解 (1)因为sin x 是有界函数，x →∞时，1x为无穷小. 所以 sin lim0x xx→∞=.(2)当2x →时，1x +有界，256x x -+为无穷小. 所以221lim56x x x x →+=∞-+.(3) 22224(2)(2)lim lim lim(2)422x x x x x x x x x →→→-+-==+=--.习题2.3 (B)1. 举例说明，两个无穷小的商不一定是无穷小；无穷小与无穷大的积不一定是无穷小.解 (1) 例如 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 21=-→x x ，但2)1(lim 11lim 121=+=--→→x x x x x . 不是无穷小.(2) 例如 0)1(lim 1=-→x x ，∞=-→11lim21x x ，但是2111lim 11lim 11)1(lim 12121=+=--=--→→→x x x x x x x x 不是无穷小.2. 函数x x y cos =在),(+∞-∞内是否有界？这个函数是否为+∞→x 时的无穷大？解因为0>∀M ，总有),(0+∞∈M x ，使得1cos 0=x ，从而M x x x y >==000cos ，所以，函数x x y cos =在),(+∞-∞内无界.又存在00>N ，0>∀X ，总有),(0+∞∈X x ，0cos 0=x ，从而0000cos N x x y <==，所以，函数x x y cos =不是当+∞→x 时的无穷大.3. 根据定义证明：函数xxy 21+=为当0→x 时的无穷大. 问x 应满足什么条件，能使410>y ？证明因为212121-≥+=+x x x x ，要使M x x >+21，只要M x>-21，即21+<M x . 所以0>∀M ，取21+=M δ，当δ<-<00x 时，就有M xx>+21，即函数xxy 21+=为当0→x 时的无穷大. 令410=M ，取21014+=δ，当2101004+<-<x 时，就能使41021>+xx. 习题2.4(A)1. 简要回答下列问题.(1) 若数列{}n x 收敛，而数列{}n y 发散，则数列{}n n x y ±及数列{}n n x y 是否收敛？ (2) 若数列{}n x ，{}n y 均发散，则数列{}n n x y ±及数列{}n n x y 是否发散？解 (1) 数列{}n n x y ±发散. 如果{}n n x y ±收敛，那么()n n n n y x x y =--或()n n n n y x y x =+-也收敛.数列{}n n x y 不一定收敛. 例如：数列1n x n=收敛，(1)nn y =-发散， 1(1)n n n x y n =-收敛；又数列1n x n=收敛，2n y n =发散， n n x y n =发散. (2) {}n n x y ±及数列{}n n x y 不一定发散. 2. 求下列函数的极限.(1) 322042lim 32x x x x x x→-++； (2) 22132lim 43x x x x x →-+-+；(3) 4x →(4) )limx x →+∞；(5) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； (6) ()()()2030502332lim 21x x x x →∞-++；(7) 332lim 1x x x x →∞+-+ ； (8) 220()lim h x h x h→+-.解 (1) 322200424211limlim 32322x x x x x x x x x x →→-+-+==++. (2) 2211132(1)(2)(2)1lim lim lim 43(1)(3)(3)2x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+---.(3) x x →→=4x x →→===322.(4) 1lim )limlim2x x x x →+∞===. (5) 3211312lim lim 1111x x x x x x x →→+⎛⎫-==⎪--++⎝⎭.(6) 203030203050503223(23)(32)3lim lim (21)212x x x x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎛⎫⎝⎭⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (7) 3333232322lim 112lim lim 1111111lim 1x x x x x x x x x x x xx →∞→∞→∞→∞⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭.(8) 22222000()2limlim lim(2)2h h h x h x x xh h x x h x h h→→→+-++-==+=. 3. 求下列极限.(1) 1123lim 23n nn n n ++→∞++；(2)2n n(3) n →∞； (4) 1111242lim1111393n n n →∞++++++++； (5) 11lim 1335(21)(2n n →∞⎛+++⋅⋅-⎝.解 (1) 11212313lim lim 2332323nn nn n n n n ++→∞→∞⎛⎫+⎪+⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(2) 2214n n n⎫⎪===. (3) lim n →∞0n ==.(4) 111121111112422lim lim 1111113933113n n n n n n ++→∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭++++-==⎛⎫++++- ⎪⎝⎭-43. (5) 由于1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，有1111323(21)(21)n n +++⋅⋅-+111111111123352121221n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. 于是111111lim lim 11323(21)(21)2212n n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫+++=-= ⎪ ⎪⋅⋅-++⎝⎭⎝⎭.习题2.4 (B)1. 设222lim 22x x ax bx x →++=--，求常数a ，b 的值.解因为222lim 22x x ax bx x →++=--，推得b ax x ++2含有因式2x -，否则与已知矛盾.设2x ax b ++(2)()x x c =--，得2,(2)b c a c ==-+.又因为 22222(2)()2lim lim lim 22(2)(1)13x x x x ax b x x c x c cx x x x x →→→++----====---++，得4-=c ，从而得到2a =，8b =-.2. 设511lim 2-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---∞→b ax x x x ，求常数a ，b 的值. 解因为511)()1(lim 11lim 22-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---∞→∞→x b x b a x a b ax x x x x ，推得105a ab -=⎧⎨+=-⎩，得1a =，6b =-.3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<+≤+=,1,2,10,1,0,23)(2x xx x x x x f 分别讨论0→x 及1→x 的极限是否存在.解 (1) 由于 0lim ()lim (32)2x x f x x --→→=+=，200lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=+=. 由于 0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以 0lim ()x f x →不存在. (2) 由于 211lim ()lim(1)2x x f x x --→→=+=， 112lim ()lim 2x x f x x++→→==， 111lim ()lim ()lim ()2x x x f x f x f x -+→→→===，所以 1lim ()x f x →存在.4. 设1lim ()x f x →存在，且21()2lim ()x f x x x f x →=+，求1lim ()x f x →和()f x .解设1lim ()x f x A →=，则2()2f x x Ax =+，于是211lim ()lim(2)12x x A f x x Ax A →→==+=+，得1A =-，2()2f x x x =-.习题2.5(A)1. 求下列极限： (1) 0tan 2limsin 5x x x →；(2) 0lim x +→； (3) 02arcsin lim3x x x →； (4) lim 2sin (0)2nnn x x →∞≠；(5) 202lim sin 3x x x→； (6) 0tan sin limx x xx→-.解 (1) 00tan 22tan 222lim lim sin 5sin 5555x x xxx x x x xx→→==.(2) 00022lim limlim 2x x x x x+++→→→===(3) 令t x =arcsin ，则002arcsin 22limlim 33sin 3x t x t x t →→==.(4) sin 22lim 2sin lim sin lim 222nn n n n n n n nx x x x xx x x →∞→∞→∞===. (5) 22002293lim lim 9sin sin 33x x x x x x →→⎛⎫ ⎪⎝⎭==.(6) 0tan sin lim x x x x x →→-= 00sin (1lim lim cos x x x x x→→-=⋅2. 求下列极限：(1) 51lim 1n n n +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (2) lim 1xx x x →∞⎛⎫⎪+⎝⎭； (3) 21lim 23xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭； (4) 22lim 2xx x →-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (5) ()1lim 12sin xx x →+； (6) ()3sec 2lim 1cos xx x π→+.解 (1) 55111lim 1lim 11n nn n e n n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2) 11lim lim 111xx x x x x e x →∞→∞⎛⎫== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (3) 令423t x -=+，则214lim lim 12323x xx x x x x →∞→∞--⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2231322220lim(1)lim (1)lim(1)1t tt t t t t t e e ------→→→⎡⎤=+=++=⋅=⎢⎥⎣⎦. (4) 1221002lim lim 122xxx x x x e ---→→⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. (5) 012sin lim20lim(12sin )x xxx x ee →→+==.(6) 3cos 3sec 322lim(1cos )lim(1cos )x xx x x x e ππ→→+=+=.3. 设 21001lim 5xc x x e x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求c . 解 222012lim 2012510011006lim lim 155x xxxc x x x x e e e x x →∞-→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，2012=c .习题2.5 (B)1. 利用极限存在准则，计算下列各题.(1) 222111lim (1)()n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥++⎣⎦； (2) n →∞. 解 (1)由于222221111()(1)()n n n n n n n n n n<+++<=+++，又因为 1lim0n n →∞=，2lim 0()n nn n →∞=+，由夹逼准则，有 222111lim 0(1)()n n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥++⎣⎦. (2) 因为1sin 1n -<<，所以有223311n nn n -<<++，此时23lim 01nn n →∞-=+，23lim 01n n n →∞=+，由夹逼准则，有 0n →∞=. 2. 利用极限存在准则证明：数列2，22+，222++，…的极限存在，并求出该极限.解归纳证明这个数列是严格单调增加的，并以2为上界.2<，假设1n n a a -<，那么1n n a a +=<=，可见数列是单调增加的. 2<，2n a <，可推出12n a +=<=，所以数列以2为上界. 由准则Ⅱ知，此数列是收敛数列，记极限为a .由在递推公式1n a +1lim n n a +→∞=即a =2a =.3. 某企业计划发行公司债券，规定以年利率6.5%的连续复利计算利息，10年后每份债券一次偿还本息1000元，问发行时每份债券的价格应定为多少元？解设发行时每份债券的价格应定为0A 元，则65.0010%5.601000e A e A ==⨯，所以05.522100065.00≈⋅=-e A （元）.4. 设本金为p 元，年利率为r . 若一年分n 期，存期t 年，若以复利方式结算，则本金与利息之和是多少？现某人将1000p =元存入某银行，年利率为0.06r =，2t =；请按单利、季度、月利及连续复利等结算方式计算本利和.解按单利计算：本利和为=00.1120206.010001000=⨯⨯+（元）. 由复利公式有ntn r p ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1，按季度结算方式计算：4n =，利和为49.1126406.011000124≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯nt n r p (元)，按月结算方式计算：12n =，本利和为.1511271206.0110001212≈⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯nt n r p (元)，连续复利结算方式计算：本利和为 1000rt rtpe e =1127.49≈(元).5. 根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I '.证明仅就0x x →的情形证明准则I '，∞→x 的情形类似证明.0>∀ε，因为A x g x x =→)(lim 0，01>∃δ，当100δ<-<x x ，有ε<-A x g )(，即εε+<<-A x g A )(， (3)又A x h x x =→)(lim 0，对于上面的0>ε，02>∃δ，当200δ<-<x x ，有ε<-A x h )(，即εε+<<-A x h A )(. (4)取},min{21δδδ=，则当δ<-<00x x ，假设(1)及式(3)、(4)同时成立，从而有εε+<≤≤<-A x h x f x g A )()()(，即ε<-A x f )(.因此，0lim ()x x f x →存在，且等于A .习题2.6(A)1. 当0→x 时，下列各函数都是无穷小，试确定哪些是x 的高阶无穷小？同阶无穷小？等价无穷小？(1) x x +2； (2) x x sin +;(3) x x sin -； (4) x 2cos 1-； (5) x arctan ; (6) x 2tan .解 (1) 因为200lim lim(1)1x x x xx x→→+=+=，所以x x +2是与x 等价的无穷小.(2) 因为00sin sin limlim 1112x x x x x x x →→+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以x x sin +是与x 同价的无穷小. (3) 因为00sin sin limlim 10x x x x x x x →→-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以x x sin -是比x 高价的无穷小. (4) 因为20001sin 1cos 2sin 2lim lim lim sin 02x x x xx x x x x x →→→-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以x 2cos 1-是比x 高价的无穷小.(5) 因为00arctan limlim 1x x x xx x →→==，所以x arctan 是与x 等价的无穷小.(6) 因为00tan 22limlim 2x x x xxx →→==，所以x 2tan 是与x 同价的无穷小. 2. 当1x →时，无穷小111xx-+是否为等价的无穷小？解1111x x x→→-=. 故11xx -+与1.3. 当1x →时，无穷小1x -与下列无穷小是否同阶，是否等价?(1) 1 (2)2(1.解 (1) 由于11113x x x →→→===故1x -与1.(2) 由于112(1lim11x x x →→==-，故1x -与2(1等价.4. 利用等价无穷小代换原理求下列极限.(1) 0arctan 3lim sin 2x x x →； (2) 0sin lim (,)(sin )mn x x m n x →正数；(3) 201lim 1cos x x e x→--； (4) 201lim 3x x e x x →-+；(5) 21arcsin(1)lim (1)ln(21)x x x x →---； (6) 30tan sin lim ln(1)x x xx →-+；(7) 0x →； (8) 2330235lim 42tan x x x x x x →+-+.解 (1) 00arctan 333limlim sin 222x x x x x x →→==.(2) 00sin lim lim (sin )mmn n x x x x x x→→==0,1,,m n m n m n >⎧⎪=⎨⎪∞<⎩. (3) 222001limlim 21cos 2x x x e x xx →→-==-. (4) 22000111lim lim lim 3333x x x x e x x x x x x →→→-===+++. (5) 2211arcsin(1)(1)1lim lim (1)ln(21)(1)(22)2x x x x x x x x →→--==----.(6) 2333000tan sin tan (1cos )12limlim lim ln(1)ln(1)2x x x x x x x x x x x x →→→⋅--===++.(7) 22lim42x x xx x →→==+.(8) 2330235lim 42tan x x x x x x →+-+2200220lim(235)2352lim 1tan tan 242lim 42x x x x x x x x x x x x x →→→+-+-====⎛⎫++ ⎪⎝⎭.习题2.6 (B)1. 证明当0→x 时，有如下结论：(1) x x ~arctan ； (2) 221~1sec x x -； (3)221~1sin 1x x x -+； (4) 222~11x x x --+. 证明 (1) 令x t arctan =，则t x tan =，当0→x 时，0→t . 于是000arctan cos limlim lim 1sin tan x t t x t tt x tt →→→===，故x x ~arctan .(2) 因为200002222111sec 11cos cos 2lim lim lim lim 11111cos cos 2222x x x x xx x x x x x x x x →→→→---====⋅⋅，所以，221~1sec x x -.(3)因为0022sin lim 111)22x x x x x x x →→→===，所以，221~1sin 1x x x -+. (4) 因为20001x x x →→→===，所以222~11x x x --+.2. 证明无穷小的等价关系具有下列性质：(1) αα~（自反性）； (2) 若βα~，则αβ~（对称性）； (3) 若βα~，γβ~，则γα~（传递性）.证明 (1) 因为1lim=αα，所以αα~. (2) 因为βα~，即1lim=βα，所以1lim =αβ，即αβ~.(3) 因为βα~，γβ~，即1lim=βα，1lim =γβ，所以 1lim lim lim lim=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=γββαγββαγα，即γα~. 3. 当0x →时，变量122(1)1kx +-与变量cos 1x -为等价无穷小，求常数k 的值.解 2122200(1)12lim lim 1cos 12x x kx kx k x x →→+-==-=--. 即 1k =-.解其中x 习题2.7(A)1. 讨论下列函数的连续性.(1) ⎩⎨⎧>≤=0 ,0 ,sin )(2x x x x x f ； (2) ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=1 ,111 ,1,1)(2x x x x x f .解 (1) 因为，当0<x 时，x x f sin )(=是连续的；当0>x 时，2)(x x f =是连续的，由于lim sin 0x x -→=，20lim 0x x +→=，00sin )0(==f ，故()f x 在0x =处连续. 从而函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续.(2) 因为)(x f 为分函数，当1-<x ，11<<-x ，1>x 时，函数)(x f 均是连续的.在1-=x 处，由于1lim (1)1x -→--=-，21lim 1x x +→-=，所以1-=x 是跳跃间断点；在1=x 处，由于21lim 1x x -→=，1lim11x +→=，且1)1(=f ，所以，函数在1=x 处连续. 综上所述：函数)(x f 在区间) ,1()1 ,(∞+---∞ 内连续.2. 确定常数a ，b 使下列函数连续.(1) ⎩⎨⎧>+≤=0 ,0 ,)(x a x x e x f x ； (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,sin 0 ,20 ,)31ln()(x x axx x bx x x f .解 (1) 当0<x 与0>x 时，函数)(x f 为初等函数，它是连续的. 要使函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续，只需要函数)(x f 在0=x 处连续即可.因为1)0(0==e f ，0lim 1x x e -→=，0lim ()x x a a +→+=，所以当1=a 时，即有 00lim ()lim ()(0)1x x f x f x f -+→→===，即当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续. 故当取1=a 时，函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续.(2) 当0<x 与0>x 时，函数)(x f 为初等函数，故它是连续的. 要使函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续，只需要函数)(x f 在0=x 处连续即可.因为00033lim ()lim lim x x x x f x bx b---→→→-==-，000sin lim ()x x x a axf x a x ax +→+→+→==.由函数)(x f 在0=x 处连续知，00lim ()lim ()(0)2x x f x f x f -+→→===，即得，23=-=ba . 故当2=a ，23-=b 时，函数)(x f 在0=x 处连续. 也即函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续.3. 考察下列函数在指定点的连续性. 如果是间断点，指出其属于哪一类；如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其成为函数的连续点.(1) 23122+--=x x x y ，1=x ，2=x ；(2) xxy sin =， πk x =，),2 ,1 ,0( ±±=k ； (3) xy 1cos 2=，0=x ；(4) ⎩⎨⎧>-≤-=1,31,12x x x x y ，1=x .解 (1) 因为)2)(1()1)(1(23122--+-=+--=x x x x x x x y ，函数在1=x ，2=x 处无定义，所以都是间断点.又因为221lim )2)(1()1)(1(lim 231lim 11221-=-+=--+-=+--→→→x x x x x x x x x x x x ， ∞=+--→231lim 222x x x x ，所以，1=x 为第一类间断点（可去间断点），重新定义，当1=x 时，令2-=y ，则函数在1=x 处连续.2=x 为第二类间断点（无穷间断点）.(2) 函数xxy sin =在 πk x =，),2 ,1 ,0( ±±=k 处无定义，所以它们都是间断点. 因为1sin lim0=→xxx ，故0=x 是函数y 的第一类间断点（可去间断点）.若令1)0(=y ，则函数在0=x 处连续；若0≠k ，则∞=→xxk x sin lim π，故 πk x =),2 ,1( ±±=k 为函数y 的第二类间断点（无穷间断点）.(3) 对0=x ，因为21lim cos x x -→及201lim cos x x+→均不存在，所以0=x 为函数的第二类间断点.(4) 对1=x ，因为11lim ()lim(21)1x x f x x --→→=-=，11lim ()lim(3)2x x f x x ++→→=-=，所以 1=x 第一类间断点(跳跃间断点).4. 求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间，并求0lim ()x f x →，3lim ()x f x →-，2lim ()x f x →.解由于323223333()6(3)(2)x x x x x x f x x x x x +--+--==+-+-，得()f x 的定义域为()()(),33,22,-∞--+∞. 由于初等函数在其定义区间内连续，故函数()f x 的连续区间为()()(),33,22,-∞--+∞.01lim ()(0)2x f x f →==，22333(3)(3)18lim ()lim lim (3)(2)25x x x x x x x f x x x x →-→-→-+-+-===-+--，由于0)3)(1()2)(3(lim )(1lim222=+--+=→→x x x x x f x x ，故 222(3)(3)lim ()lim (3)(2)x x x x x f x x x →→+-+==∞+-.5. 求下列极限(1) 52lim 20+-→x x x ； (2) 34)2(sin lim x x π→;(3) sin 0lim xx x e→；(4) 145lim1---→x xx x .解 (1) 5502052lim 220=+⨯-=+-→x x x .(2) 142sin )2(sin lim 334=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→ππx x . (3) e e eex x xxx x ===→→1sin limsin 00lim .(4) )45)(1()1(4lim145lim11x x x x x x x x x +---=---→→21==→x .习题2.7 (B)1. 设2,01()2,1ln(1), 13ax b x f x x bx x ⎧+<<⎪==⎨⎪+<≤⎩， a ，b 为何值时，()f x 在1x =处连续？解由于211lim ()lim()x x f x ax b a b --→→=+=+，11lim ()lim ln(1)ln(1)x x f x bx b ++→→=+=+. 要使()f x 在1x =处连续，须有ln(1)2,2b a b +=+=.解之得 23a e =-，21b e =-. 2. 讨论下列函数的连续性.(1) 1()lim(0)1n n f x x x →∞=≥+； (2) 221()lim 1nnn x f x x x →∞-=+.解 (1) 1, 0111()lim , 1120, 1nn x f x x x x →∞≤<⎧⎪⎪===⎨+⎪>⎪⎩，由于 11lim ()lim11x x f x --→→==，11lim ()lim 00x x f x ++→→==，故1x =为间断点. (2) 22, ||11()lim 0, 11,||1n nn x x x f x x x x x x →∞<⎧-⎪===±⎨+⎪>⎩-，由于 11lim ()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim()1x x f x x ++→→=-=-. 故1x =为间断点. 同理1x =-也为间断点. 3. 求下列极限.(1) 21limcos ln 1x x x →∞⎡-⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； (2) sin 0lim xxx e →；(3) 01limarctan x x e x →⎛⎫- ⎪⎝⎭； (4) ()110lim 2x x x x e -→+. 解 (1) 2121limcos ln(1)cos ln lim(1)cosln 3x x x x x x →∞→∞--⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(2) 0sin sin limlim x x xxxx eee →→==.(3) 0011limarctan arctan lim arctan14x x x x e e x x π→→⎛⎫⎛⎫--=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4) ()()11ln 2ln 2111lim 2lim 2x x e xx x x x x eee +---→→+===. 4. 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例.(1) 如果函数)(x f 在点0x 连续，那么)(x f 也在点0x 连续； (2) 如果函数)(x f 在点0x 连续，那么函数)(x f 也在点0x 连续. 解 (1) 对. 因为0)()()()(00→-≤-x f x f x f x f )(0x x →，所以)(x f 也在点0x 连续. (2) 错. 例如⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则)(x f 在点00=x 连续，但函数)(x f 在点00=x 不连续.习题2.8(A)1. 证明方程3310x x --=在区间(1,2)内至少有一个实根.证明因为函数3()31f x x x =--在闭区间[1, 2]上连续，又(1)30f =-<，(2)10f =>，根据零点定理，在开区间(1, 2)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即3310ξξ--=.故方程3310x x --=在区间(1,2)内至少有一个实根ξ.2. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>，证明：至少有一个(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明构造辅助函数x x f x g -=)()(.因为函数()f x 在闭区间[, b]a 上连续，且(),()f a a f b b <>，所以x x f x g -=)()(在闭区间[, b]a 上也连续，且0)()(<-=a a f a g ，0)()(>-=b b f b g . 根据零点定理，x x f x g -=)()(在开区间(, b)a 内至少有一点ξ，使得()()0g f ξξξ=-=，即 ()f ξξ=.3. 设函数()f x 在闭区间[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =，证明：在[0,]a 至少存在一点ξ，使()()f f a ξξ=+.证明构造辅助函数：)()()(x f a x f x g -+=.因为函数()f x 在闭区间[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =，所以)()()(x f a x f x g -+=在闭区间[0,]a 上也连续，且()()0)()2()2()()()0(≤--=a f a f a f a f a g g .根据零点定理，)()()(x f a x f x g -+=在开区间(0,)a 内至少有一点ξ，使得()()()0g f a f ξξξ=+-=，即()()f f a ξξ=+.4. 证明方程 sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一正根，并且不超过a b +. 证明令()sin ,f x a x b x =+-[]0,x a b ∈+，()f x 在[]0,a b +上连续，又(0)0f b =>，()sin()()[sin()1]0f a b a a b b a b a a b +=++-+=+-≤。

微积分课后题答案第二章习题详解

解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.
例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.
4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：
(1) f(x)= ；(2) f(x)＝；
(3) f(x)= ；(4) f(x)= ；
(5) f(x)= .
解: (1)由得x=-1, x=-2
证:
,由极限的保号性知.
,使当时有,此时与同号,因为n为奇数,所以(2X)n与(-2X)n异号,于是与异号,以在上连续,由零点存在定理,至少存在一点,使,即至少有一实根.
（7）正确，见教材§2.3定理5；
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f(x)= ,x→2;(2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；
(3) f(x)= ,x→0+，x→0-；(4) f(x)= -arctanx,x→+∞;
也即，所以当时，.
再证必要性：
若当时，，则，
所以＝＝.
综上所述，当x→x0时，(x)～β(x)的充要条件是
＝０.
2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，证明(x)=0.
证：
即.
3. 证明：若当x→0时，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，则f(x)·g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tanx－sinx是x的几阶无穷小量.
解: ∵f(0)=a,
要f(x)在x=0处连续,必须.
即a=1.
6※.设f(x)= ，讨论f(x)的连续性.

微积分经济数学吴传生第二章

记作 o();
(2)如l果 im C(C0)就 , 说与是同阶;的
特殊如地果 lim1,则称与是等价的;无
记作 ~;
(3)如l果 im kC (C0,k0)就 , 是说是 k阶的无穷 . 小
8. 等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理)
准则Ⅰ′ 如果当xU0(x0,r)(或x M)时,有 (1) g(x) f (x) h(x),
(2) limg(x) A, limh(x) A,
xx0 ( x)
xx0 ( x)
那末lim f (x)存在,且等于A.(夹逼准则) xx0 ( x)
准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限 .
设 ~ , ~ 且 li m 存 ,则 l在 i m li m .

9. 极限的唯一性
定理若 lif( m x ) 存在 ,则极限唯一 .
连续定义
limy0
x0
x l ix0m f(x)f(x0)
左右连续
连续的充要条件
在区间[a,b] 上连续
推论2 如果 lim f(x)存,在而 n是正,整则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
4. 求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
5. 判定极限存在的准则
连续函数的运算性质
非初等函数的连续性
初等函数的连续性
间断点定义
第一类可跳去跃间间断断点点
第二类无振穷荡间间断断点点

微积分习题答案第二章极限与连续

练习2.11.写出下列数列的前五项.()12312+-=n n a n (n=1,2,3,…) ()23)1(1n nn a --= (n =1,2,3, …)()3n n na )11(+= n=1,2,3, …)()4)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …)，其中x 是固定的实数.解：()1由2312+-=n n a n (n=1,2,3, …)得数列的前五项为 51，83，115，147，179. ()2由3)1(1nnn a --= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为２，０，332，０，352. ()3由n n na )11(+= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为２，2)23(，3)34(，4)45(，5)56(.()4由)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …) 得数列的前五项为!1x，!33x -，!55x ，!77x -，!99x .2.做出下面各数列在数轴上的点，并说出哪些数列有极限？哪些没有极限？()1n n a 21=()2n nna )1(-= ()3n n n a 1)1(-= ()41+=n n a n ()5n n a n πsin 1= ()62sin πn n a n =. 解：作图略.()1有极限为0 ()2没有极限 ()3有极限为0 ()4有极限为1 ()5有极限为0 ()6没有极限.3*（略） 4*（略） 5*（略）6.设()⎩⎨⎧≥-<=1,131,x x x x x f ，作()x f 的图形，并讨论当1→x 时()x f 的左右极限，问)(lim 1x f x → 是否存在？解：图略.因为 2)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1=-→x f x)(lim )(lim 11x f x f x x -+→→≠所以)(lim 1x f x →不存在.7.求下列函数在指定点的极限.()1xx x f ||)(=在0=x 处 ()2⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x ，1=x ，2=x 处. 解：()1⎩⎨⎧-==11||)(x x x f Θ00<>x x 11lim )(lim 00==++→→x x x f ，11lim )(lim 0-=-=--→→x x x f所以xx x f ||)(=在0=x 处极限不存在. ()24)4(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ，4)4(lim )(lim 0=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x 处极限为4.1)12(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ，5)4(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在1=x 处极限不存在.3)12(lim )(lim 22=-=++→→x x f x x ，3)12(lim )(lim 22=-=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在2=x 处极限为3.8.下列函数在什么情况下是无穷大量，什么情况下是无穷小量？()111-=x y ()2x y ln = ()32x y = ()4x e y =.解：()1当1→x 时11-=x y 是无穷大量，当∞→x 时11-=x y 是无穷小量.()2当+∞→x 时x y ln =是无穷大量，当+→0x 时x y ln =是无穷大量，当1→x 时x y ln =是无穷小量.()3当∞→x 时2x y =是无穷大量，当0→x 时2x y =是无穷小量.()4当+∞→x 时x e y =是无穷大量，当-∞→x 时x e y =是无穷小量.9.下列各题中哪些是无穷小，哪些是无穷大？()1221,0xx x +→ ()212,0-→-x x()3x x lg ,0+→ ()4θθθsec 1sin ,0+→.解：()1、()3是无穷大，()2、()4是无穷小. 10.下列说法是否正确？()1无穷大量是极限为无穷大的变量()2无穷大量是无界变量，无界变量也是无穷大量 ()3无极限的数列一定无界.解：()1不正确。

解答微积分B上第二章练习二

第二章练习二(§2.4、§2.5)班级________________姓名________________学号______________一、是非判断题1、如果在某一极限过程中，)(),(x g x f 都无极限，则)()(x g x f +也可能有极限.[ 是 ]11(0)x x x→，，-2、如果在某一极限过程中，)(),(x g x f 都无极限，则)()(x g x f ⋅ 必无极限. [ 非 ]1(sin )sin x x x→∞，，3、如果在某一极限过程中，)(x f 有极限，)(x g 无极限，则)()(x g x f +必无极限. [ 是 ]4、如果在某一极限过程中，)(x f 有极限，)(x g 无极限，则)()(x g x f ⋅必无极限. [ 非 ]1(0)x x x→，,，5、如果0)(lim ,)(lim 0==→→x g A x f x x x x 则 )()(limx g x f x x →必不存在. [ 非 ] (0sin )x x x →，，6、如果)(x f ＞)(x g ，而,)(lim 0A x f x x =→,)(lim 0B x g x x =→那么A ＞B . [ 非 ]7、若)()(limx g x f x x →存在，且0)(lim 0=→x g x x ，则0)(lim 0=→x f x x . [ 是 ]8、如果a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ，且1010>n 时有 n y ≤n x ≤n z ，那么a x n n =∞→lim . [ 是 ]9、数列收敛的充分必要条件是数列单调有界. [ 非 ]10、如果｛n a ｝是单调数列，则数列有极限或者∞=∞→n n a lim . [ 是 ]11、如果)(x f ＞0，且,)(lim 0A x f x x =→ 那么A ≥0. [ 是 ]12、如果 A x f x =+∞→)(lim ，0>∃X 且x ＞X 时)(x f ≥0，那么A ≥0. [ 是 ]二、填空题1、,6)2)(1(lim 21-=--++→x x cbx x x 则=b 4 ，=c -5 .22111lim(1)(2)0lim 6,lim()0,(1),(1)(2)x x x x bx cx x x bx c c b x x →→→++--==-++==-+--（而故必得 22211111(1)lim lim lim(1)(2)(1)(2)(1)(2)x x x x bx c x bx b x b x x x x x x x →→→+++---+-==------于是令 11lim264,5)2x x bb bc x →++==--=-==--，得2、l x x ax x x =++---→14lim231,则=a 4 ，=l 10 . 3、=→xctgx x 0lim 1 ；=∞→nn n x2sin2lim x . 4、x x x 432cos sin 与 nx 是同阶无穷小，则n ＝ 5 0)n x x →(由题设是无穷小,故.234334422000sin cos sin sin sin (cos ,limcos 1,lim 1,23,lim ,n n n x x x x x x x x x x x n x x x x --→→→=⋅==->=∞当时∴333222000sin sin sin 023,lim ,20,lim 0,23lim 10)n n n x x x x x xn n n x x x---→→→<-<-≤=-==≠时不存在时仅当时5、设0)(lim 0=→x x x α，则=→)()(sin lim0x x x x αα 1 .6、当∞→x 时，2)2sin(3x与2xA是等价无穷小，则A ＝ 12 . 22222222223sin()3sin()12sin()sin1212((,1),112)222()()4x x x x x A A A A A A x x x x==→→∞→=⇔=当时而三、计算题1、502030)12()23()12(lim +--∞→x x x x =20)23(.22222211lim (11)lim11x x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞++-+-++--+=+++-+2、222lim1111111x x x x x→+∞==+++-+.3、h a h a h sin )sin(lim0-+→ 4、30sin lim xxtgx x -→02sin cos()22lim h h h a h→+= 30sin (1cos )lim cos x x x x x →-= 0s i n 2l i m c o s ()c o s .22h hh a a h →=⋅+= 22001sin 12lim lim cos 2x x x x x x x →→=⋅=. 5、x x x x x 2cos 2sin 1cos sin 1lim 0-+-+→ 6、xx x x x 2220tan 43)2cos 1(25lim +--→201sin cos lim 2sin cos 2sin x x x x x x →+-=+ 20202(1cos 2)5limtan 34lim()x x x x x x →→--=+00sin 1cos lim lim 2sin (cos sin )2sin (cos sin )x x x x x x x x x x →→-=+++ 2202012(2)25lim 1tan 734(lim )x x x x x x→→⋅-==+. 2001112lim lim 2(cos sin )2(cos sin )2x x x x x x x x →→=+=++.四、利用夹逼准则求极限)1211(lim 222πππn n n n n n +++++++∞→ .（略）五、设),,2,1(,11,111 =++==+n x x x x nnn 利用单调有界准则求n n x ∞→lim .证显然{}110,12,(1,2,),1n n n n n x x x n x x -->=+<=+从而即数列有界;又121132,11,12x n x x x ==+=>=+时 2111111,1111k k k k k k k x n k x x x x x n k x ------=>+>⇒+>=++设时,即,于是当时，11111111111111211*********k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x xx x x x x x x x x -----+-----+++-=+-=+--=-+++++++222111111111111222310,(23)(1)(23)(1)k k k k n k k k k k k x x x x x x x x x x x -----------+++--+-==>++++{}11,,,k k n n n x x n Z x x x ++>∀∈>＋即从而即数列单调增加;{}11lim ,1,1n n n n n n x x x A x x -→∞-==++由单调收敛则,数列收敛,设则由111112lim lim 12n n n n n n n n n n x x x x x x x x ----→∞→∞+=+++有，于是（）=（）,21512,2A A A A ±+=+⇒=∴ 15150,,lim 22n n n x A x →∞++>==又即∴.。

《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案

第2章多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。

(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。

(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。

(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。

2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

《微积分》各章习题及详细答案

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域就是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。

(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有。

(Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。

微积分习题解答(第二章)

微积分习题解答（第二章）1写出下列数列的一般项，并通过观察指出其中收敛数列的极限值。

()()11120,,0,,0,,2461112nn u n ⎡⎤=+-⎣⎦解：一般项该数列收敛，其极限为零。

()()11113,,,,26122011n u n n =+ 解：一般项该数列收敛，其极限为零。

()2510172642,,,,,23451n n u n+=解：一般项该数列发散。

3.利用定义证明下列极限；()nnnnn -11lim 060-110661ln ln 61ln 1,ln 6-106-1lim 06n n n N n N εεεεε→∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭>⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>⎡⎤⎢⎥=+>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫-< ⎪⎝⎭⎛⎫∴= ⎪⎝⎭证明：对于任给，要使只要取正整数当时总有不等式成立()223lim010111,0limn n n N n N εεεεε→∞→∞=>-=<>⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦-<∴=证明：对于任给，要使只要取正整数当时总有不等式成立4.试判断下列论点断是否正确。

()()()1,,lim 11111lim01n n n n n u A u A nnn n→∞→∞-=⨯--=+=≠-如果越大越接近零则有错误例如随着越大，而越加接近零，但()(){}1130lim 0N =N n >N 10lim n n n n n n n u A u Au u u Aεεεε→∞→∞>-=∠>-=<∴=如果对于任给，在数列中除有限项外，都满足不等式<，则有正确设N 为题中的‘有限项’中的最大下标，由题意对于任给，只要取正整数+1，当时，总有不等式满足()(){}5s in s in n n n u nu n u ⨯==≤有界数列必定收敛错误例如显然1，但发散6．利用定义证明下列极限：()()()()()()111lim 3120312311,3312lim 312x x x x x x x x εεεδδε→→-=>--=-<=<-<--<-=证明：对于任意给定的，要使只需取，则当0时总有成立，于是，由极限定义可知()3lim ln 0ln 0,ln lim ln x MMx x M x M x eex x Mx δδ++→--→=-∞>∴<-⇒<<=<<<-=-∞证明：对于任意给定的，y =l n x 单调增加，要使只需取，则当0时总有成立，于是，由极限定义可知()14lim2120111212211,12121lim212x x x x x x x x X x xx x x εεεε→∞→∞=+>-=<<++=-<+=+证明：对于任意给定的，要使只需取，则当>X 时总有成立，于是，由极限定义可知()()()5lim 00010ln 01,ln 0,lim 0xx xxxxxx ee ee x x X eeεεεεεεεε→-∞→-∞=><<-==<=<<∴<<-<= 证明：对于任意给定的不妨设，要使只需取，取正数X =-l n ,则当>X 时总有成立，于是，由极限定义可知7。

微积分第二章第五节极限存在性定理与两个重要极限

n
2 1 1 1
2! 3!
n!
2 1 1 1
12 23
n(n 1)
21 1 1 1 1 1 3 1 3.
223
n1 n
n
19
综上所述， {un } 单调增加且有上界,
因此 lim(1 1 )n 存在,记为 e.
n
n
无理数 e 2.718281828459
以e为底的对数称为自然对数，log e x 记作 ln x .
三、证明：若 , 是无穷小，则 ~ 0( ).
x 2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x)的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1) ， x1 lim f ( x) f (1) . x1
例12 求 lim(1 cos x) 4secx . x 2 4
解原式 lim (1 cos x) cosx e4 . x / 2
lim cos x 0
x 2
22
例13 连续复利问题
将本金A0 存入银行, 年利率为 r, 则一年后本息
之和为 A0 (1 r ) . 如果年利率仍为 r，但半年计一次
2
x
2
8.
13
例7 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解当 x 0 时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式
x x lim x0 (2 x)3
0.
解当 x 0 时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
5、 lim sin x __________. x 2x

第二章微分学答案

f ( x)
(e x ) f (e x ) f ( x )) (e f
x
§2.3隐函数的导数
e y 一.1. y ; y 1 xe ye xy 2 xy cos( x 2 y ) 2. y ; xy 2 2 2 y xe x cos( x y ) y ( x ln y y ) 3. y x ( y ln x x ) 3 4. y t; 2 x x 5. y y (ln 1); 1 x 1 x

切线方程为：y ( x e 2 ) x e 2 法线方程为：y ( x e 2 )

二.3.解：两边同时取对数， 1 则有 ln y ln x ln( x 1) 2ln( x 2) 2 方程两边同时对x求导 : y 1 1 2 y x 2( x 1) x 2 1 1 2 y y ( ) x 2( x 1) x 2
§2.2求导法则
一.1.B; 2. y 2. B 1 1 x2 1 . x 二 .1. y tan 2 x . y y x 3( x 1) 1 2 1 4. y y x 1 3x 1 3(2 x ) 5. 1
1 1 三.3.解： y , x 2 x 1 ( 1)n n ! ( 1)n n ! y(n) n1 ( x 2) ( x 1)n1
dy dy dt 2sin t cos t 三.4.解： 2cos t , dx dx sin t dt dy d 2 y d ( dx ) 2sin t 2. 2 dx dx sin t
1 三. 1.(1)解：y 3sec (ln x ) sec(ln x ) tan(ln x ) x 1 sin 2 1 1 1 1 2 sin2 1 v v (2)解：y e ( 2sin cos )( 2 ) 2 (sin )( e ) v v v v v 1 2 (3)解：y (sec t tan t sec t ) sec t sec t tan t 1 x 1 ( x 1) 1 (4)解：y 2 2 2 ( x 1) x 1 x 1 1 x 1 (5)解：y 2 xe x cos x x 2e x cos x x 2e x sin x

微积分上第二章习题参考答案

2 2 dy sin x 2. (1 x 2 )sin x 2 x[cos x 2 ln(1 x 2 ) ] ; 2 dx 1 x
微积分第二章习题参考答案
16
x e x sin e x cos 0 x 三.解: , 2 3 2 0 y
1 S | 2 x0 | | 2 y0 | 2a 2为常数,与切点无关. 2
微积分第二章习题参考答案 6
§2.2求导法则(21-22)
一.1. 2cos x sec x, 3cos x 2sec x; x e sin 2. cos e , ; 2x 1 e
2 2
x 2 x cos2 x sin2 x 1 2 3. , e ( cos3 x 3sin3 x ); 2 x 2
微积分第二章习题参考答案 26

(n)
2
n 1

2. y xe .
x x x x y e xe e ( x 1),
y e x ( x 1) e x e x ( x 2),
t2 2 t2
3. y
1 1 x
2
, y
x (1 x )
2 3 2
;
4. y ( n ) n ! 2n e 2 x 1 ;
5. y e (sin cos ) 2e sin(

4
);
微积分第二章习题参考答案

20
2 dy d y 2 2 2 2 6. 2tf ( t ) , 2 2 f ( t ) 4t f ( t ) ; dt dx
lim f (cos x )( sin x )
x 0

微积分第三版第一章及第二章练习

第一章、第二章练习1.求lim x →+∞2.求10tan lim .2e x xx→+3.求1sin 01tan lim .1sin xx xx →+⎛⎫⎪+⎝⎭4.求201lim .e 1x x →- 5.求极限1ln 14lim arctan .πxx x →⎛⎫ ⎪⎝⎭6.求极限1211lim .2x x x x -→⎛⎫+ ⎪⎝⎭7.求极限()2ππ02lim tan .x x x -→-8.求极限()1ln 1lim.xx x x →+∞+⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.求极限22220sin co s lim .sin x x x xx x →-10.求极限()30e sin 1lim .xx x x x x →-+11.已知21lim 5,1x x ax bx →++=-求,.a b12.讨论函数()xx x f --=1e 11的间断点并指出其类型.13.设()f x 在[]0,2a 上连续，且()()2,f a f a =证明至少存在一点[]0,a ξ∈使得()().f f a ξξ=+14.设()0,0,0,x f x x ≠==⎩问函数()f x 在0x =处⑴是否连续？⑵是否可导？15.,y x =求.y ' 16.,4x xy = 求.y '17.2co s y =求.y '18.()23ln ln ln ,y x ⎡⎤=⎣⎦求.y '19.y = 求.y '20. 求.y ' 21.242ln ,y y x += 求.y '22.设()21sin , 0,0, 0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩讨论函数()f x 在0x =处的连续性，可导性，导函数的连续性。

23.()21,y f x x = 求,.y y ''' 24.()()e ,f x y f x = 求,.y y '''25.设33co s ,sin ,x a t y a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩求22d .d y x 26.设函数()y f x =由方程sin e 0y y x +=确定，求d ,d y x 并求出曲线()y f x =在()0,0处的切线方程。

微积分第二章第1节

e x x 0, 练习试问 f ( x ) 在 x 0点 x x 0, 的导数是否存在? 若存在, 并求出其值.
解

f (0 ) lim f ( x ) lim e x 1 f (0),
x 0
x 0
f (0 ) lim f ( x ) lim x 0,
1 x 2
4,
例求曲线 y
解
3 x2
的通过点 (0,4) 的切线方程.
设切点为( x0 , y0 ), 则所求切线的斜率为 3 3 k y | x x0 x0 . 3 x 2 2 x x0 3 x0 ( x x0 ) 于是所求切线的方程为 y y0 2 3 2 x0 4, y0 x0 , 3 y0 8. 4 y0 x0 (0 x0 ), 2 故所求切线的方程为 y 8 3( x 4)
x 0
x 0
f ( x )在 x 0 处不连续,
进而不可导.
例
x2 x1 欲使 f ( x ) ax b x 1 在 x 1 处连续且可导, a、b 应取何值？
必需有解欲使 f ( x )在 x 1处连续，
f (1 ) f (1 ) f (1), 即 a b 1, b 1 a.
看左右导数是否存在且相等.
作业
习题2-1 (83页) 1(2)(4); 4. 5. 8. 9.
13. 14. 17(2)
思考题
函数 f ( x ) 在某点x 0 处的导数 f ( x 0 ) 与导函数 f ( x ) 有什么区别与联系？
思考题解答
由导数的定义知， f ( x0 )是一个具体的数值， f ( x )是由于 f ( x ) 在某区间 I 上每一点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即 x I ，有唯一值 f ( x ) 与之对

大一微积分二至四章课后习题答案

第二章习题解答习题 2—11. 用定义求函数2y x =在1x =处的导数。

解：（1）22(1)(1)(1)12()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆;（2)22()2y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆； (3）00limlim(2)2x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.2. 已知一物体的运动方程为38s t =+ ()m ,求该物体在2()t s =时的瞬时速度。

解:(1）323(2)(2)(2)816126()()s s t s t t x t ∆=+∆-=+∆+-=∆+∆+∆；（2）230[126()()](2)lim12t s t x t v t t∆→∆∆+∆+∆===∆∆。

3. 求在抛物线22y x =+上点1x =处的切线方程与法线方程. 解：因为2(2)2y x x ''=+=,12,x y ='= 故所求的切线方程为 32(1)y x -=- 即 210x y -+-=所求的法线方程为 13(1)2y x -=--即 15022x y +-=。

4. 设0()f x '存在，试利用导数的定义求下列极限:(1）000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆; （2)000()()lim h f x h f x h h →+--；(3)000()(2)lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆.解：（1） 0000000()()[()]()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆；（2）原式0000000()()()()lim lim 2()h h f x h f x f x h f x f x h h→→+---'=+=-；（3）原式0000000()()(2)()3lim lim ()222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆--∆-'=+=∆-∆。

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补充知识一、数列与其子列之间的关系定义从数列}u {n 中任意抽取无穷多项，并保持原有次序，这样得到的一个新数列称为数列}u {n 的一个子数列，简称子列．记作}u {k n ： ,u ,,u ,u k 21n n n ．其中k n 表示kn u 在原数列}u {n 中的位置，k 表示kn u 在子列中的位置．例如：奇数子列 ,,,,1231-k u u u ，其中12,,3,121-===k n n n k 显然k n k ≥．下面的定理给出了数列}u {n 与其子列}u {kn 之间的关系．定理：对于数列}u {n ，(1) A u lim n n =→∞的充要条件是对}u {n 的任何子数列}u {kn 都有A u lim kn k =∞→.(2) A u lim n n =→∞的充要条件是}u {n 的偶数子列}u {k 2和奇数子列}u {1k 2+满足 A u lim u lim 1k 2k k 2k ==+∞→∞→．(3) 若}u {n 单调，则A u lim n n =→∞的充要条件是存在一个子数列}u {kn 满足A u lim k n k =∞→．二、数列极限与函数极限的关系定理2.18（Heine 定理）A x f xx =→)(lim 0的充要条件为：对于任意收敛于0x 的数列}{n x )(0x x n ≠，都有A )x (f lim n n =∞→．常用结论：若A x f x =+∞→)(lim ，则A n f n =∞→)(lim 。

例如：由1sin lim=→xxx ，可以推出111sinlim=∞→n n n ，111sin lim 22=++∞→n nn n n 等。

注（1）对于+→0x x ，-→0x x ，∞→x ，+∞→x ，-∞→x 等情形，只要将定理中的条件作相应修改，定理的结论仍成立．（2）该定理建立了函数极限与数列极限之间的联系，可以将函数的极限转化为数列的极限去研究，也可以将数列的极限转化为函数的极限来讨论．（3）用该定理可以说明某函数极限不存在。

例如：证明x 01limsin x→不存在. 证明：取221)1(ππ+=n x n ， πn x n 21)2(=， ,2,1n =，显然 (1)n n lim x 0→∞=，(2)n n lim x 0→∞=, 但是11lim 1sin lim )1(==∞→∞→n nn x ，00lim 1sinlim )2(==∞→∞→n nn x 。

由Heine 定理可知， x 01limsin x→不存在．三、求极限的一般方法(1) 利用极限的四则运算法则. 往往结合对函数的恒等变形,常用的具体方法有：因式分解，通分，有理化，约去公因子，三角恒等变形等；(2) 利用无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量之间的关系（特别是利用有界变量与无穷小量的积仍是无穷小量的性质）等； (3) 利用等价无穷小量的性质； (4) 利用高阶无穷小量的性质； (5) 利用极限存在准则； (6) 利用重要极限；(7) 利用极限与左、右极限的关系（适用于求分段函数在分段点处的极限以及用定义求极限等情形）；(8) 利用连续性（适用于求函数在其连续点处的极限）；思考题解答1.用定义证明11lim1=→xx 。

证：0>∀ε，要使ε<-=-|||1|11x x x。

由于1→x 时的极限只与自变量邻近1的函数值有关，不妨考虑21|1|0<-<x ，即2321<<x ，此时|1|2|||1|-<-x x x ，故只需使ε<-|1|2x ，即2|1|ε<-x 。

取}2,21min{εδ=，则当δ<-<|1|0x 时ε<-11x恒成立。

由极限定义得 11lim1=→xx 。

2、利用三角函数的周期性求极限（1）()()10cos 21)2(1cos lim 21)2(cos lim 1)2(cos lim 222==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+=+∞→∞→∞→ππππn n n n n n n n（2）()()224cos 2141cos lim 2)2(cos lim 2)2(cos lim )2(cos lim 222==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=+∞→∞→∞→∞→ππππππn n n n n n n n n n n n n n （3）()()11sin )1(lim 1sin )1(lim 1sin lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-+-=+∞→∞→∞→ππππn n n n n nn n n n ，其中最后一步用了⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++πn n 11sin 2是无穷小量，n )1(-是有界变量，乘积仍为无穷小量。

3、设2,211=+=+u u u n n ，证明n n u ∞→lim 存在，并求其值。

证明：12122,2u u u >+==，进而212322u u u u =+>+=，猜测n n u u >+1，用数学归纳法证明。

假设k n =时不等式成立，即k k u u >+1，那么1+=k n 时，11222+++=+>+=k k k k u u u u ，即不等式成立。

所以对任意自然数n ，都有n n u u >+1，即{}n u 单调增加。

由n n n u u u +<+=≤-2201，得n n u u +<22，解得20<≤n u ，所以{}n u 有界。

（或先观察22,22,2223121<+=<+=<=u u u u u ，猜测2<n u ，再用数学归纳法证明）因此n n u ∞→lim 存在.不妨设 A u n n =∞→lim ，在n n u u +=+21两端令∞→n 得，A A +=2，所以2=A .典型例题例1、已知)(lim 1x f x →存在，)(lim 23)(12x f x x x f x →+=，求)(x f 。

解：设A x f x =→)(lim 1，则Ax x x f 23)(2+=，两边令1→x ，得A A 23+=，3-=∴A ，x x x f 63)(2-=。

例2、（1）若b x ax x x =+++→15lim2-1，则=a _______,=b _______．（2）若5)(cos sin lim0=+-→b x ae xx x ，则=a _______,=b _______．（3）若)(x f 在a x =连续，且2)(lim a =-→ax x f x ，则_______)(=a f 。

（4）已知5x1bax x lim21x =-++→，则=a _______,=b _______．常用结论：（1）若A x g x f x =→)()(limX，并且0)(lim X =→x g x ，则0)(lim X =→x f x 。

（2）若A x g x f x =→)()(limX，0≠A ，并且0)(lim X =→x f x ，则0)(lim X =→x g x 。

证明：（1）00)()()(lim )(lim XX =⋅=⋅=→→A x g x g x f x f x x 。

（2）00)()()(lim )(lim XX ===→→Ax g x f x f x g x x 。

解：（1）06)5(lim 2-1=-=++→a ax x x ，所以6=a ， 41)5)(1(lim 156lim -12-1=+++=+++=→→x x x x x x b x x （2）()01lim=-=-→a a e x x ，所以1=a 。

51)(cos lim )(cos 1sin lim00=+=+=+-→→b b x xxb x e x x x x ，所以4=b 。

（3）0)(lim a=→x f x ，由)(x f 在a x =连续得0)(lim )(a==→x f a f x . （4）由1lim →x 0)b ax x (2=++得，01=++b a ，即a b --=1，所以52)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 1lim 112121=--=---=-++-=---+=-++→→→→a a x xa x x x a ax x xb ax x x x x x 从而7a -=，6b =．例3．若nn x xx f 211lim)(+-=∞→，讨论)(x f 的间断点。

解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-<≥<<--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-<-=1,111,011,11||,01||,211||,1)(x x x x x x x xx x x f 或，函数的间断点只能出现在分段点处。

在1-=x 处，,2)01(,0)01(=+-=--f f 所以1-=x 为跳跃间断点。

在1=x 处，0)1(,0)01(,0)01(==+=-f f f ，所以)(x f 在1=x 连续。

总之，)(x f 的间断点为1-=x 。

例4. （1）已知0])([lim =--∞→b ax x f x ，求xx f x )(lim∞→。

（2）若0)()21ln(lim 320=++→x x xf x x ，求x x f x )(lim 0→。

（3）若2sin 1)(lim20=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→x x xx f x ，求)(lim 0x f x →。

解：（1）（方法一）由01)(lim )(lim ])([lim =--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--∞→∞→∞→xx ba xx f x b a xx f x b ax x f x x x ，得 0)(lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞→x b a xx f x ，从而a x x f x =∞→)(lim 。

（方法二）由极限与无穷小的关系得，α=--b ax x f )(，其中0lim =∞→αx ，从而x x b a x x f b ax x f αα++=++=)(,)(，a x x b a x x f x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→∞→αlim )(lim（2）由0)()21ln(lim )()21ln(lim220320=++=++→→x x x f x x x x xf x x x ，得 0)()21ln(lim 220=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→x x f x x x ，所以220)21ln()()21ln(lim )(lim 222200-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=→→x x x x f x x x x f x x 。

类似（1）的方法二留作练习。

（3）由2sin 1)(lim sin 1)(lim 020=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→→xx xx f x x xx f x x ，得0sin 1)(lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→x x x f x ，故2)(lim 0=→x f x 。