2019新版考研高数模拟试题(含答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）

学校：__________ 考号：__________

一、解答题

1．如果()f x '在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导且()0,()0,f a f x '''≥>证明：

()()

f b f a >. 证明：因为()f x '在[a , b ]上连续，在（a ，b ）内可导，故在[a ，x ]上应用拉格朗日定理，则(,),()a x a x b ξ∃∈<<，使得()()

()0f x f a f x a

ξ''-''=>-,

于是()()0f x f a ''>≥,故有()()f b f a >

2．证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5). 证明：略

3．写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:

1234

579

(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,

; (3)3,,,,

.3456

357

----

解: 1

(1),1n n x n -=+当n →∞时,1n x →.

1

(2)cos

π2

n n x n -=, 当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.

21

(3)(1)21

n

n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.

4．设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤，证明：至少存在一点[0,1]ξ∈，使

()f ξξ=.

证：令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤ 若(0)0f =，则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ⋅<,由零点定理，至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=. 综上所述，至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=.

5．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:

(1) sin ,0;y x x ==

解：因为0,0

lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续.

又0

0()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x

f x x

-

-

-→→--'===-- 0

0()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x

+

+

+→→-'===- (0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导.

(2) 2

1sin ,0, 0;0,

0,x x y x x

x ⎧≠⎪

==⎨⎪=⎩ 解：因为20

1

lim sin

0(0),x x y x

→==故函数在0x =处连续. 又20

01

sin ()(0)

(0)lim

lim 00

x x x f x f x y x x

→→-'===-,

故函数在0x =处可导.

(3) ,

1, 1.2,1,x x y x x x ≤⎧==⎨->⎩

解：因为

111

1

lim ()lim(2)1lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++

--

→→→→=-===

11

lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +

-

→→===,故函数在x =1处连续. 又1

1()(1)1

(1)lim lim 11

1x x f x f x f x x -

--→→--'===-- 11()(1)21

(1)lim lim 111

x x f x f x f x x +++→→---'===---

(1)(1)f f -+''≠，故函数在x=1处不可导.

6．已知2

()max{,3}f x x =，求()f x '.

解：23, (), x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩

当x <时，()0f x '=,

当x >时，()2f x x '=,

2

((

(0,

x x

x

f x

f

-

+

'===-

'==

故(

f'不存在.

又

2

0,

(

x

x x

f

f x

-

+

'==

'==+=

故f'不存在.

综上所述知

0,

()

2,

x

f x

x x

⎧<

⎪

'=⎨

>

⎪⎩

7．求下列函数的导数：

⑴3e x

y=; ⑵2

arctan

y x

=;

⑶

y=; ⑷

2

(1)ln(

y x x

=+⋅;

⑸2

2

1

sin

y x

x

=⋅；⑹23

cos

y ax

=（a为常数）；

⑺

1

arccos

y

x

=；⑻2

(arcsin)

2

x

y=；

⑼

y=; ⑽sin cos

n

y x nx

=⋅；

⑾

y=⑿

arcsin

y=；⒀ln cosarctan(sinh)

y x

=；

⒁

2

arcsin (0

2

a x

y a

a

=>为常数）.

解：⑴3

3e x

y'=;

⑵

4

2

1

x

y

x

'=

+

;

⑶

2

y'==;

⑷

2

2ln((1)(1 y x x x

'=⋅++++

2ln(

x x

=;