初中数学竞赛题中有关不等式的解题策略

初中数学竞赛题中有关不等式的解题策略

例1关于x 的不等式组255332

x x x x a +⎧-⎪⎪⎨+⎪+⎪⎩＞＜只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ） 11111111.6.6.6.62222

A a

B a

C a

D a ---≤--≤--≤≤-＜＜＜＜ 例2某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6，第7，第8，第9场比赛中分别获得了 23,14,11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高.如果他的10场比

赛

的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？

例3已知x ，y ，z 是正整数，求方程

11178x y z ++=的正整数解.

例4设a ，b 为正整数，且

2537

a b <<，求a+b 的最小值 .

变式：使得不等式981715

n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 . 例5五个整数a 、b 、c 、d 、e ，它们两两相加的和按从小到大顺序排分别是183，186，187， 190，191，192，193，194，196，x.已知e d c b a ≤≤≤≤，x ＞196.求a 、b 、c 、d 、e 及 x 的值.

例6实数a ，b ，c 满足a+b+c=1.求a 2+b 2+c 2的最小值.

例7设S=++…+，求不超过S 的最大整数[S]．

例8

，求[S]．

例9设3333311111=+++++12320102011

S ，则4S 的整数部分等于（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7

应用练习：

1．若不等式2|x-1|+3|x-3|≤a 有解，则实数a 最小值是（ ）

A.1

B.2

C.4

D.6

2．若不等式|x-4|+|3-x|＜m 恒不成立，实数m 的取值范围是（ ）

A ．m ＜2

B ．m ＜1

C ．m≤1

D ．m ＜0

3．设a ，b 是常数，不等式 10x a b +＞的解集是15x ＜，则关于x 的不等式bx-a ＞0的解集是（ ） A ．x ＞

15 B ．x ＜- 15 C ．x ＞-15 D ．x ＜ 15

4.已知△ABC 的三条边a,b,c 满足321a b c =+，则∠A=（ ） A 、锐角 B 、 直角 C 、 钝角 D 、非直角

5.若△ABC 的三个内角满足3∠A ＞5∠B ，3∠C ＜2∠B ，则△ABC 必是 三角形.

6. x 1，x 2，……，x 100是自然数，且x 1＜x 2＜……＜x 100，若x 1+x 2+……+x 100=7001，那么， x 1+x 2+……+x 50的最大值是（ ）

A.2225

B.2226

C.2227

D.2228

7.如果7

889

q p ＜＜，p ，q 是正整数，则p 的最小值是（ ） A ．15 B ．17 C ．72 D ．144

8.计算：已知，求M 的整数部分．

（第6届睿达杯八年级复赛）

9.已知13,28,a b a b ≤+≤≤-≤若9,t a b =+则t 的取值范围是 .

10.已知21141,,=2

n n n a a a a a +==+则 ; 12320141111

,111

1s a a a a =++++++++则与s 最接近的整数为 . 11.已知关于x 的不等式组230,320

a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则这三个整数解是 ;

a 的取值范围是 .

12“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船”，每逢除夕夜，寒山寺主持便敲钟108响，祈求天下太平.已知寺外的江中有两条客船，当第一次钟声响起时，两船分别以3cm/s 、9cm/s 的速度从江边分别向上游、下游行驶.若寒山寺到江边的距离忽略不计，且每隔9秒钟响一次，声音传播速度为300m/s.试求当上游的船客听到第108次钟声时，下游的船客只听到了多少次钟声？

13（08全国竞赛）条长度均为整数厘米的线段：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，满足a 1＜a 2＜

a 3＜a 4＜a 5＜a 6＜a 7，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若a 1=1厘米，a 7=21

厘米，则a 6=（ ）

(A) 18厘米 (B) 13厘米 (C) 8厘米 (D) 5厘米

参考答案：

例1 C

解析：3-2a ＜x ＜20，∴14≤3-2a ＜15，得C

例2 解析：学生容易把平均分认为是整数出现错误.

解：设前5场比赛的总分为x 分，第10场比赛得分为y 分.

6895

85

84

x x x x +><=

84681810

29

y y ++>= 例3解析：利用不等式的放缩性

不妨令x y z ≥≥

从而确定z 的范围是2或3，进而把三元方程的解转化为二元.

（2,3,24）；（2，4,8）；共12个解.

例4利用不等式的放缩性.

a+b=17

变式：解法1: 981715

7889788987298144144n n k k n n n k n n n n <<+∴<<∴<<-≤≤∴= 解法2： 981715

7889

1718,89

178

118798

144

144

n n k k n k k n n k n k k n n n n <<+∴<<-+∴≤≥-∴-≥-+--≥-≤∴= 例5由题意得

a+b=183①a+c=186②c+e=196③d+e=x ④

由①-②+③得b+e=193⑤则c+d=194⑥

①-②的b-c=-3

∴b+c=187

即a=91，b=92，c=95，d=99，e=101，x=200