三角形全等之截长补短(习题及答案)

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初二数学全全等三角形截长补短(讲义及答案)及答案

初二数学全全等三角形截长补短(讲义及答案)及答案一、全等三角形截长补短1．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，∠EAF＝12请给出证明；若不成立，请说明理由．2．已知：线段AB及过点A的直线l，如果线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使得点E在AC的下方，作射线BE交直线l于点F，连接CF．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°）．①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；②用等式表示线段FA，FE与FC的数量关系，并证明．（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA，FE与FC的数量关系，不证明．3．问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是AB上的任意一点，连结PA，PB ，PC ．线段PA 、PB 、PC 满足怎样的数量关系?（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB ，∠ACB=60°，从而将CP 绕点逆时针旋转60°交PB 延长线于点M ，从而证明△PAC ≌△MBC ，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA 、PB 、PC 的数量关系是；（自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，①PC 与PA ，PB 有怎样的数量关系?请说明理由：②PC+PD 与PA ，PB 的数量关系是．（直接写出结果）（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE 与PA+PB 的数量关系是．（直接写出结果）4．在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．5．如图所示，//AB DC AB AD BE ⊥，，平分ABC CE ∠，平分BCD ∠；（1）求AB CD 、与BC 的数里关系，并说明你的理由．（2）若把AB AD ⊥条件去掉，则（1）中AB CD 、与BC 的数里关系还成立吗?并说明你的理由．6．在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点E 在直线BC 上(,B C 除外)，分别经过点E 和点B 作AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系．（1）某数学兴趣小组在探究,AE EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G (如图1)，通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；（2）那么当点E 是直线BC 上(,B C 除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”，“点E 在线段BC 的延长线”，“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；（3）当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE nBC =(01n <<)，请直接写出:ABC AEF S S △△的值．7．如图，ABC 是边长为2的等边三角形，BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以点D 为顶点作60MDN ∠=︒，点M 、N 分别在AB 、AC 上．（1）如图①，当//MN BC 时，则AMN 的周长为______；（2）如图②，求证：BM NC MN +=．8．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF =BE +FD ．9．在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，连接AE ．点O 是DE 的中点，连接CO 并延长交AD 于点F ，在CF 上取点G ，连接AG ．（1）若4tan 3B =，5AB =，6BC =，求ABE △的周长．（2）若60B EAG ∠=∠=︒，求证：AF CG =．10．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．【详解】（1）EF ＝BE +DF ，理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（1）作图见解析；（2）①260α-︒，120α︒-；②F A=FC +FE ，证明见解析；（3）AF=FC-EF ．【分析】（1）先根据轴对称的性质作出线段AC ，再分别以A 、C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点E ，可得等边△ACE ，最后根据题意画出图形即可；（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2α，根据等边三角形的性质可知∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE ；根据轴对称的性质和等边三角形的性质可得AB=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE ；②在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG 是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF ，利用SAS 可证明△AEG ≌△CEF ，即可得出AG=CF ，根据线段的和差关系即可得结论；（3）由60°＜α＜90°可知点E 在直线l 右侧，根据题意画出图形，在FA 上截取FG=EF ，根据轴对称的性质可得AF ⊥BC ，BF=CF ，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG 是等边三角形，利用SAS 可证明△AEF ≌△CEG ，可得FA=CG ，根据线段的和差关系即可得答案．【详解】（1）补全图形如下：（2）①260α-︒，120.α︒-①∵AB 、AC 关于直线l 对称，∴∠BAD=∠CAD ，AB=AC ，∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC=EC ，∵∠BAD=α，∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2α，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2α-60°．∵AB=AC ，AC=AE ，∴AB=AE ，∴∠ABE=12（180°-∠BAE ）=120°-α．故答案为：2α-60°，120°-α②数量关系是FA =FC +FE ，证明如下：在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，∴△EFG 为等边三角形，∴EG=FE=FG，∠GEF=60°，∵△AEC是等边三角形，∴∠AEC=60°，AE=CE，∴∠AEC=∠GEF=60°，∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC，即∠AEG=∠CEF，在△AEG和△CEF中，EG EFAEG CEF AE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△CEF，∴AG=FC∴FA=AG+FG=FC+FE，（3）AF=FC-EF．∵60°＜α＜90°，∴如图所示，点E在直线l右侧，在FA上截取FG=EF，连接EG，∵AB、AC关于直线l对称，点F在直线l上，∴AF⊥BC，BF=CF，∴∠ABC=∠ACB=90°-α，由（2）可知∠ABE=120°-α，∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°，∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG=60°，∵∠AEC=60°，∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°，∴∠AEF=∠CEG，在△AEF和△CEG中，EF EGAEF CEG AE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△CEG，∴AF=CG，∴AF=FC-EF．【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．3．【尝试解决】PA+PB=PC ；【自主探索】①2PC PA PB =+；理由见解析；②(21)()PC PD PA PB +=++；【灵活应用】(52)()PC PD PE PA PB ++=++．【分析】尝试解决：利用旋转性质证明△PAC ≌△MBC ，得到PA=BM ，得到PM 等于PB 与PA 的和，再证明△PCM 是等边三角形，得到PM 等于PC ，即可得到结果；自主探索：①在PC 上截取QC=PA ，证出△CBQ 全等于△ABP ，得到△PBQ 是等腰直角三角形，PQ 等于PB 的2倍，即可得到结果；②同①方法，即可得到PD 与PA 和PB 的关系，即可求出PC+PD 与PA 和PB 的关系；灵活应用：类比（自主探索）中的方法证明PC 与PA 和PB 的关系，再用同样的方法证明PE 与PA 和PB 的关系，构造△CDM 全等于△CBP ，得到PD 与PC 的关系，进一步得到PD 与PA 和PB 的关系，最终求出PD+PE+PC 的和即可得到与PA 和PB 的关系．【详解】尝试解决：PA+PB=PC ；证明：因为∠ACP+∠PCB=60°，∠MCB+∠PCB=60°，∴∠ACP=∠MCB ，又∵CP=CM ，AC=MC ，∴△ACP ≌△BCM ，所以PA=BM ，∠CBM=∠CAP ，∵四边形APBC 内接于圆O ，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴∠CBM+∠CBP=180° ，∴P 、B 、M 三点共线，∴△PCM 是等边三角形，∴PM=PC ，∴PC=PM=PB+BM=PB+PA ；自主探索：①PC 与PA 、PB 的数量关系为2PC PA PB =+；理由：截取CQ=PA ，，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=AB ，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∵PA=CQ ，∠BCQ=BAP ，BC=AB∴△BCQ ≌△BAP ，∴∠CBQ=∠ABP ，BQ=BP ，∵∠CBQ+∠ABQ=90°，∴90ABP ABQ ∠+∠=︒，∴△PBQ 是等腰直角三角形，∴PQ=2PB ， ∴2PC CQ PQ PA PB =+=+；②(21)()PC PD PA PB +=++证明：在PD 上截取DH=PB ，∵DH=PB ，∠ADH=∠ABP ，AD=AB∴△ADH ≌△ABP∴∠DAH=∠BAP ，AH=AP ，∵∠DAH+∠HAP=90°，∴∠BAP+∠HAP=90°，∴△HAP 是等腰直角三角形，∴PH=2PA ，∴PD=DH+PH=PB+2PA ，∴(21)()PC PD PA PB +=++．灵活应用：(52)()PC PD PE PA PB ++=++．证明：在PC 上截取FC=PA ，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴BC=AB=CD=DE=AE ，∠ABC=∠EAB=108°， ∵PA=CF ，AB=BC ，∠FCB=∠BAP ，∴△BAP ≌△BCF ，∴BF=PB ，∠CBF=∠ABP ，∵∠CBF+∠FBA=108°，∴∠ABP+∠FBA=108°，∴△FBP 是顶角为108°的等腰三角形，∴PF=12+PB ，∴PB+PA ，同理可证PA+PB ，延长PD 至点M 使DM=PB ，∵∠MDC+∠CDP=180°，∠CDP+∠PBC=180°，∴∠CDM=∠CBP又∵CD=BC ，∴△CDM ≌△CBP∴CM=CP ，∠MCD=∠BCP ，又∵∠PCB+∠PCD=108°，∴∠MCD+∠PCD=108°，∴△MCP 是顶角108°的等腰三角形，∴PM=12+PC ，∴PD=PM-DM=12PC-PB ， ∴PC+PD+PEPB+PA ）+PA=((22PA PB +=(()2PA PB + 【点睛】本题考查旋转性质、圆的有关性质、圆内接四边形、正五边形有关性质、三角形全等的相关性质和判定，综合性强，难度较大是一道好题，属中考压轴题型．4．（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ，证明见解析．【分析】（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝12BD ，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．∵C 是BD 边的中点，∴BC ＝CD ．∴CF ＝CD ．∵∠ACE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．∴∠ECF ＝∠ECD ．在△CEF 和△CED 中，CF CD ECF ECD CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CEF ≌△CED （SAS ）．∴EF ＝ED ．∵AE ＝AF ＋EF ，∴AE ＝AB ＋DE ．故答案为：AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ． ∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ， ∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．5．（1）AB CD BC +=，见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）先写出数量关系，过E 作EF BC ⊥于F ，然后证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得结论了．（2）成立, 在BC 上截取CF CD =证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得到结论．【详解】()1AB CD BC +=理由是：过E 作EF BC ⊥于FCE 为角平分线DCE FCE ∴∠=∠//AB DC AB AD ⊥，90D ∴∠=EF BC ⊥D CFE ∴∠=∠CE CE =()CDE CFE AAS ∆≅∆CD CF ∴=同理可证()ABE FBE AAS ∆≅∆AB BF ∴=CF BF AB +=AB CD BC ∴+=()2成立理由：在BC 上截取CF CD =CE 为角平分线DCE FCE ∴∠=∠CE CE =()CDE CFE SAS ∆≅∆CD CF ∴= D CFE ∠=∠//AB DC180D A ∴∠+∠=又180CFE EFB ∠+=A EFB ∴∠=∠又BE 是角平分线ABE FBE ∴∠=∠BE BE =()BAE BFE AAS ∆≅∆AB FB ∴=∴ CF BF AB +=AB CD BC ∴+=6．（1）AE EF =；（2）仍然成立．证明见解析；（3）()2:1:22ABC AEF S S n n =++△△．【分析】（1）连接GE ，根据等腰直角三角形的性质可得45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒，然后利用ASA 即可证出AGE EBF △≌△，从而得出结论；（2）在AC 上截取CG CE =，连接GE ，根据等腰直角三角形的性质可得45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒，然后利用ASA 即可证出AGE EBF △≌△，从而得出结论；（3）在AC 的延长线上截取CG CE =，连接GE ，AF ，利用ASA 证出AGE EBF △≌△，可得AEF 为等腰直角三角形，设CA=CB=a ，则BE nBC na ==，利用勾股定理求出AE ，根据三角形的面积公式即可求出结论．【详解】解：（1）AE EF =，连接GE∵AC BC =，点E 是BC 的中点，点G 为AC 的中点∴AG=CG=CE=EB ，因为90ACB ∠=︒，所以45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒．所以135AGE EBF ∠=∠=︒．因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠+∠=∠=∠+∠．所以FEB EAC ∠=∠．在AGE 与EBF △中，,,,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()ASA AGE EBF △≌△．所以AE EF =（2）仍然成立．在AC 上截取CG CE =，连接GE ．因为90ACB ∠=︒，所以45CGE CEG ∠=∠=︒．因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠+∠=∠=∠+∠．所以FEB EAC ∠=∠．因为CA CB =，所以AG BE =，45CBA CAB ∠=∠=︒．所以135AGE EBF ∠=∠=︒．在AGE 与EBF △中，,,,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()ASA AGE EBF △≌△．所以AE EF =．（3）如下图所示，在AC 的延长线上截取CG CE =，连接GE ，AF因为90ACB ∠=︒，所以45CGE CEG ∠=∠=︒．因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠-∠=∠=∠-∠．所以FEB EAG ∠=∠．因为CA CB =，所以AG BE =，45CBA CAB ∠=∠=︒∴∠EBF=180°－∠ABF －∠ABC=45°．所以45AGE EBF ∠=∠=︒．在AGE 与EBF △中，,,,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()ASA AGE EBF △≌△．所以AE EF =．∴AEF 为等腰直角三角形设CA=CB=a ，则BE nBC na ==∴CE=a ＋na 由勾股定理可得22CA CE +222222a na n a ++∴212ABC S a =，()222222222112222AEF S a na n a a na n a =++=++△ ∴()2:1:22ABC AEF S S n n =++△△．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握构造全等三角形的方法是解决此题的关键．7．（1）4；（2）见解析【分析】（1）首先证明△BDM ≌△CDN ，进而得出△DMN 是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=12DM=12MN ，即可解决问题；（2）延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，首先证明BDM CDE △≌△，再证明MDN EDN △≌△，得出MN NE =，进而得出结果即可．【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，//MN BC ，60AMN ABC ∴∠=∠=︒，60ANM ACB ∠=∠=︒∴AMN 是等边三角形，AM AN ∴=，则BM NC =，∵BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，30DBC DCB ∴∠=∠=︒，90DBM DCN ∴∠=∠=︒，在BDM 和CDN △中， ,,,BM CN MBD DCN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDN SAS ∴△≌△，DM DN ∴=，BDM CDN ∠=∠，∵60MDN ∠=︒，∴DMN 是等边三角形，30BDM CDN ∠=∠=︒，1122NC BM DM MN ∴===，MN MB NC ∴=+， ∴AMN 的周长4AB AC =+=．（2）如图，延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，∵ABC 是等边三角形，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，30DBC DCB ∠=∠=︒，90ABD ACD ∠∴∠==︒，90DCE ∴∠=︒，在BDM 和CDE △中，,,,BD CD MBD ECD BM CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDE SAS ∴△≌△，MD ED ∴=，MDB EDC ∠=∠，120120MDE MDB EDC ∴∠=︒-∠+∠=︒，∵60MDN ∠=︒，60NDE ∴∠=︒，在MDN △和EDN △中，,60,,MD ED MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()∴△≌△．MDN EDN SAS∴=，MN NE=+=+，又∵NE NC CE NC BM∴+=．BM NC MN【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．8．证明见解析．【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∠BAD．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 9．（1）256+；（2）见解析【分析】（1）构建直角三角形，得出AH 、BH ，然后利用角平分线的性质以及平行四边形的性质，进行等量互换，即可得解；（2）首先在AB 上截取BQ BE =，然后判定DOF EOC ≌△△和AEQ GAF ≌△△，进行等量转换，即可得证.【详解】（1）过点A 作AH BC ⊥于点H ，如图所示：4tan 3B ∠=，5AB =， 4AH ∴=，3BH =DE 平分ADC ∠，12∠∠∴=，AD BC ∵∥，13∠∠∴=23∴∠=∠，5DC EC ∴==，1BE ∴=，2EH ∴=，25AE ∴=256ABE C ∴=+△；（2）在AB 上截取BQ BE =，连接EQ ，如图所示：CD CE =，CO DE ⊥，OD DE ∴=①AD BC ∵∥，DFO ECO ∴∠=∠，ADE CED ∠=∠②③由①②③得：DOF EOC ≌△△，DF CE ∴=，又AD BC =，AD DF BC CE ∴-=-，即AF BE =60EAG ∠=︒，60BAE FAG ∴∠+∠=︒，60DFC ∠=︒，60FGA FAG ∴∠+∠=︒，CD=CFBAE FGA ∴∠=∠④又120FAG AQE ∠=∠=︒，EQ AF =⑤⑥由④⑤⑥得：AEQ GAF ≌△△，AQ FG ∴=，又AB CF =，AB AQ CF FG ∴-=-，即BQ CG =，AF CG ∴=．【点睛】此题主要考查利用三角函数值构建直角三角形以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.10．（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD ，∵CE 是∠BCA 的平分线，∴∠DCF ＝∠GCF ，在△CFG 和△CFD 中，CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG ≌△CFD （SAS ），∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG由（1）∠AFC ＝120°得，∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∴∠AFE ＝∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中，AFE AFG AF AFEAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），∴EF ＝GF ，∴DF ＝EF ；（3）结论：AC ＝AE+CD ．理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，∴∠CFG＝∠CFD＝60°，同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），∴CD＝CG，∴AC＝AG+CG＝AE+CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．。

初中数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案

初中数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案一、全等三角形截长补短1．如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝62，AD＝42，tan∠ABC＝2时，求CQ＋10BQ的最小值．102．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．3．如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．4．已知，90POQ ∠=，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ．（1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF ∠=时，请求出线段EF ，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF ∠=时，延长AC 交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．5．如图所示，已知AC 平分∠BAD ，180B D ∠+∠=︒，CE AB ⊥于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．6．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．⊥交AD于7．如图，四边形ABCD为矩形，F为对角线BD上一点，过点F作FE BD点H，交BA的延长线于点E，连接AF，当FD FE=时，求证：2+=．AH AB AF8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M，点G是线段CE上一点，且CO=CG．（1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF．9．已知平行四边形ABCD 中，N 是边BC 上一点，延长DN 、AB 交于点Q ，过A 作AM ⊥DN 于点M ，连接AN ，则AD ⊥AN ．（1）如图①，若tan ∠ADM ＝34，MN ＝3，求BC 的长；（2）如图②，过点B 作BH ∥DQ 交AN 于点H ，若AM ＝CN ，求证：DM ＝BH +NH ．10．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）3923S BCE =△证明见解析（3）CQ 10BQ 的最小值为5【分析】（1）根据点E 是BD 的中点，可得BCE CDE S S =△△ ,在作边CE 的高DF ,根据等边三角形三线合一DF 也是AED 的高，根据勾股定理计算出DF 的长度，在直角三角形DFC 中利用勾股定理计算出CF ,得出CE 的值，利用三角形的面积公式计算出面积．（2）延长AF ,是2AF =AG ,证明ADF CF ≅△△G ,得出CM=AD ，再根据ACD BDC ∠+∠= 60°，得出ACG ∠ =ABE ∠ ,从而证明ABE AMC ≅△△ ,得出AB=AG ，得出结论．（3）根据APD ∠ =90°，知道点P 的运动轨迹是以AD 为直径的圆，圆心记为N ，点Q 是BP 的中点，得到点Q 的运动轨迹是以BN 的中点为圆心，半径为2 的圆。

三角形全等之辅助线——截长补短类对应练习题

三角形全等之截长补短随堂测试题1、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB 的平分线AE 交CD 于E ，连接BE ，且BE 平分∠ABC ．求证：AB =AD +BC ．2、如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =80°，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC =AB +BD ．3、如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B +∠D =180°．求证：AE =AD +BE ．EDCB A EDCB A D CB AD C B AD C B AEABD CEABD C4、如图，在△ABC 中，∠A =100°，∠ABC =40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE =AD ．求证：BC =AB +CE ．5、如图，在等边三角形ABC 中，点E ，F 分别在AB ，AC 上，∠EDF =60°，DB =DC ，∠BDC =120°．求证：EF =BE +CF ．6、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE =ED =DC ，∠1=∠2，则：①AD 是△ABC 的边_________上的高，也是________的边BD 上的高，还是△ABE 的边___________上的高；②AD 既是_________的边_______上的中线，又是_______边上的高，还是_________的角平分线．CDAEBCDAEB FCE DABFCE DABED CA 217、已知：如图，AD ∥EF ，BF ∥DG ，∠A =∠B =∠G =35°．求∠EFG 的度数．8、多项式16x 2+4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平方式，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．9、计算下列各式：（1）-(3a 3b -2ab 3)÷(-ab )-(-a -2b )(-a +2b )-(-2a )2；（2）01122022111()3(3)3()()(3)233----⨯π---⨯+-÷---．【参考答案】1、证明提示方法一：在AB 上截取AF =AD ，连接EF ，证明△ADE ≌△AFE ，再证明△BFE ≌△BCE ；方法二：延长AE 交BC 的延长线于点F ，证明△ABE ≌△FBE ，再证明△ADE ≌△FCE ） 2、证明略提示：方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ，再证明CE =BD ；方法二：延长AB 到E ，使BE =BD ，证明△ADE ≌△ADC 3、证明略提示：在AE 上截取AF =AD ，证明△CDA ≌△CF A ，再证明BE =FEAE BDCF4、证明略提示：在BC上截取BF=BA，连接DF，证明△ABD≌△FBD，再证明△DFC ≌△DEC5、证明略提示：延长FC到G，使CG=BE，证明△BED≌△CGD，得ED=GD，∠BDE=∠CDG，再证明△EFD≌△GFD，得EF=GF6、①BC，△ABD，BE；②△AEC，EC，EC，∠EAC7．略；5、5；8．（1。

初中数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(及答案

初中数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(及答案一、全等三角形截长补短1．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，请探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ．先证明△ABE ≌△ADG ，得AE ＝AG ；再由条件可得∠EAF ＝∠GAF ，证明△AEF ≌△AGF ，进而可得线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．问（1）中的线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，点D 是△ABC 内一点，DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，点E 是BD 延长线上一点，AE ＝AB ．（1）求∠ADB 的度数；（2）线段DE ，AD ，DC 之间有什么数量关系？请说明理由．3．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．（解决问题）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE ADG ≌理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．（变式探究）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．（拓展延伸）如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．4．在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．5．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积． 6．（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==，求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ……小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =……请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，若BC 是⊙O 的直径，AB AC =，试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．探究2如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是⊙O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．7．思维探索：在正方形ABCD 中，AB ＝4，∠EAF 的两边分别交射线CB ，DC 于点E ，F ，∠EAF ＝45°．（1）如图1，当点E ，F 分别在线段BC ，CD 上时，△CEF 的周长是；（2）如图2，当点E ，F 分别在CB ，DC 的延长线上，CF ＝2时，求△CEF 的周长；拓展提升：如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，过点B 作BD ⊥BC ，连接AD ，在BC 的延长线上取一点E ，使∠EDA ＝30°，连接AE ，当BD ＝2，∠EAD ＝45°时，请直接写出线段CE 的长度．8．已知，在ABCD 中，AB BD AB BD E ⊥=，，为射线BC 上一点，连接AE 交BD 于点F .（1）如图1，若E 点与点C 重合，且25AF =AD 的长；（2）如图2，当点E 在BC 边上时，过点D 作DG AE ⊥于G ，延长DG 交BC 于H ，连接FH .求证：AF DH FH =+．（3）如图3，当点E 在射线BC 上运动时，过点D 作DG AE ⊥于G M ，为AG 的中点，点N 在BC 边上且1BN =，已知42AB =MN 的最小值．9．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图①，在四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 是BAD ∠的平分线，AD BC ∥．求证：AB AD BC =+．小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点F ．方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CG ．（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图④，在四边形ABCD 中，AE 是BAD ∠的平分线，E 是边CD 的中点，60BAD ∠=︒，11802D BCD ∠+∠=︒，求证：CB CE =．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，点D在边AC上（不与点A，C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作DE⊥AB于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE 绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°）（1）如图1，若α=45°，则△ECK的形状为______；（2）在（1）的条件下，若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K 为线段BD的中点，如图2所示，求证：BE-AE=2CK；（3）若△ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含α的三角函数表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；证明见解析．【分析】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题．【详解】（1）EF ＝BE +DF ，理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（1）120°；（2）DE ＝AD +CD ，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC ＝∠ACB ＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD ＝∠CAD ＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）在线段DE 上截取DM ＝AD ，连接AM ，得到△ADM 是等边三角形，根据△ABD ≌△AEM ，得到BD ＝ME ，结合图形证明结论【详解】解：（1）∵AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12（180°﹣30°）＝75°， ∵DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝30°，∴∠ABD ＝∠ABC ﹣∠DBC ＝45°，在△ABD 和△ACD 中，AB AC DB DC AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝15°， ∴∠ADE ＝∠ABD +∠BAD ＝60°，∴∠ADB ＝180°﹣∠ADE ＝180°﹣60°＝120°；（2）DE ＝AD +CD ，理由如下：在线段DE 上截取DM ＝AD ，连接AM ，∵∠ADE ＝60°，DM ＝AD ，∴△ADM 是等边三角形，∴∠ADB ＝∠AME ＝120°．∵AE ＝AB ，∴∠ABD ＝∠E ，在△ABD 和△AEM 中，ABD E ADB AME AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△AEM （AAS ），∴BD ＝ME ，∵BD ＝CD ，∴CD ＝ME ．∵DE ＝DM +ME ，∴DE ＝AD +CD ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D ∠+∠=︒，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1）ABE ADG ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ） EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（2）满足180B D ∠+∠=︒即可，证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =， 180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒， B ADG ∴∠=∠，在ABE △与ADG 中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠， 45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ） EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（3）BE+DF=EF ．证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，12EAF BAD ∠=∠，12FAG EAD FAE ∴∠=∠=∠，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．4．（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ，证明见解析．【分析】（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝12BD ，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．∵C 是BD 边的中点，∴BC ＝CD ．∴CF ＝CD ．∵∠ACE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．∴∠ECF ＝∠ECD ．在△CEF 和△CED 中，CF CD ECF ECD CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CEF ≌△CED （SAS ）．∴EF ＝ED ．∵AE ＝AF ＋EF ，∴AE ＝AB ＋DE ．故答案为：AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ． ∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ， ∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．5．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK≌，∴FH=FK，又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，∴FMK FMH≌，∴MK=FN=2cm，∴12=242FGH HFM MFN FMKFGHMNS S S S S MK FN=++=⨯⋅=五边形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．6．（1）见解析；（2）①2BD CD=+，见解析，②c a BD CD ADb b=+【分析】（1）根据题中所给的截长法或补短法思路解题，利用全等三角形的性质解题即可．（2）探究1 要求AD、BD、CD之间的数量关系，结合（1）中所给方法，在BD上截取BM CD=，再利用全等三角形及等腰直角三角形的性质进行求解．探究2 要求AD、BD、CD之间的数量关系，以AD为边构造直角三角形，再利用相似的性质求解．【详解】（1）截长法证明：如图①-1，在DB上截取DM AD=，连接AM，AB BC AC==，ABC∴是等边三角形，60ABC ACB BAC∴∠=∠=∠=︒．60ADB ACB∴∠=∠=︒，DM AD=，AMD∴△是等边三角形，60MAD∴∠=︒，AM AD=．BAM CAD∴∠=∠，()BAM CAD SAS∴△≌△，BM CD∴=，BD DM BM AD CD∴=+=+；补短法证明：如图①-2，延长CD 至点N ，使得DN AD =，DAN DNA ∴∠=∠．AB AC BC ==，ABC ∴为等边三角形，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，60BDC BAC ∠=∠=︒，18060ADN BDC ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒，ADN ∴为等边三角形，AD AN =，60DAN ∠=︒．BAD CAN ∴∠=∠．在BAD 和CAN △中，AB AC BAD CAN AD AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAN SAS ∴△≌△，BD CN ∴=，又CN CD DN CD AD =+=+，BD CD AD ∴=+．（2）探究1 解：2BD AD CD =+；证明：如图②，在BD 上截取BM CD =，连接AM ， BC 是O 的直径，AB AC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．45ADM ACB ∴∠=∠=︒，在BAM 和CAD 中，,AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM CAD SAS ∴△≌△，AM AD ∴=，BAM CAD ∠=∠．45AMD ADM ∴∠=∠=︒，90MAD ∠=︒．AMD ∴△是等腰直角三角形，2MD AD ∴=．BD MD BM =+，2BD AD CD ∴=+；探究2 解：c a BD CD AD b b=+．如图③，过点A 作AM AD ⊥交BD 于点M ，BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，BAC MAD ∴∠=∠，BAM CAD ∴∠=∠，ABM DCA ∠=∠，BAM CAD ∴△∽△，BM AB c CD AC b ∴==，c BM CD b ∴=，又ADM ACB ∠=∠，MAD BAC ∠=∠，ADM ACB ∴△∽△，DM BC a AD AC b ∴==，a DM AD b∴=， BD BM MD =+，c a BD CD AD b b∴=+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．7．思维探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE 31．【分析】思维探索：（1）利用旋转的性质，证明△AGE ≌△AFE 即可；（2）把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到AD ，交CD 于点G ，证明△AEF ≌△AGF 即可求得EF ＝DF ﹣BE ；拓展提升：如图3，过A 作AG ⊥BD 交BD 的延长线于G ，推出四边形ACBG 是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根据正方形的性质得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝x，根据线段的和差即可得到结论．【详解】思维探索：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，在△AGE和△AFE中AG AFGAE EAF AE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，故答案为：8；（2）如，2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，同（1）可证得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，∴四边形ACBG是矩形，∵AC＝BC，∴矩形ACBG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，∴△AEC≌△AGF（SAS），∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，∴∠DAF ＝∠DAE ＝45°，∵AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF （SAS ），∴∠ADF ＝∠ADE ＝30°，∴∠BDE ＝60°，∵∠DBE ＝90°，BD ＝2，∴DE ＝DF ＝4，BE ＝23，设CE ＝x ，则GF ＝CE ＝x ，BC ＝BG ＝23﹣x ，∴DG ＝2+23﹣x ，∴DG ﹣FG ＝DF ，即2+23﹣x ﹣x ＝4，∴x ＝3﹣1，∴CE ＝3﹣1．【点睛】本题以正方形为背景，结合旋转，三角形全等，解直角三角形进行综合性考查，熟知常见的全等模型，旋转性质，三角形的判定及性质，正方形，矩形的性质是解题的关键． 8．（1）42AD =2）见解析；（3）MN 的最小值为3．【分析】（1）如图1中，利用等腰三角形的性质可得90ABD ∠=︒，利用平行四边形的性质可得F 为BD 中点，在Rt ABF ∆中，由勾股定理可求得BF ，则可求得AB ，在Rt ABD ∆中，再利用勾股定理可求得AD ；（2）如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，可先证明ABK DBH ∆≅∆，再证明BFK BFH ∆≅∆，可证得结论；（3）连接AN 并延长到Q ，使NQ AN =，连接GQ ，取AD 的中点O ，连接OG ，得到90AGD ∠=︒，于是得到点G 的轨迹是以O 为圆心，以OG 为半径的弧，且4OG =，求得GQ 最小值为6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】（1）45AB BD BAD =∠=︒,，45BDA BAD ∴∠=∠=︒90 ABD ∴∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴当点E 与点C 重合时，1122BF BD AB == 在Rt ABF 中，222AF AB BF =+()()222252BF BF ∴=+ 24BF AB ∴==,Rt ABD ∴中，42AD =.（2）证明：如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，23AFD ABF FGD ∠=∠+∠=∠+∠，90ABF FGD ∠=∠=︒，23∴∠=∠，在ABK 和DBH ∆中，23AB BD AK HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABK DBH ∴∆≅∆，BK BH ∴=，61∠=∠，AK DH =，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，41645∴∠=∠=∠=︒，5645ABD ∴∠=∠-∠=︒，51∴∠=∠，在FBK ∆和FBH ∆中，51BF BF BK BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， FBK FBH ∴∆≅∆，KF FH ∴=，AF AK KF =+，AF DH FH ∴=+；()3解：连接AN并延长到Q，使NQ AN=，连接GQ，取AD的中点O，连接OG，作AK⊥BC，交BC延长线于点K，作QP⊥AD，交AD延长线于点P．∠=︒，90AGD∴点G的轨迹是以O为圆心，以OG为半径的弧，且4OG=，根据△ABD为等腰直角三角形，可得AD=228AB BD+=,∴AO=14AD=，2根据△ABK为等腰直角三角形，可得AK=BK=4，可得QE=PE=4，∴PQ=8，∵BK=4,BN=1，∴KN=5，∴KE=AP=10，∴OP=6，OQ∴=，410OG=，∴最小值为6，GQ∆的中位线，MN是AGQ∴的最小值为3．MN【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．9．（1）方法1：证明见解析；方法2：证明见解析；（2）证明见解析．【分析】∠=∠=∠，再根（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出BAF DAE F据等腰三角形的性质可得AB BF =，根据三角形全等的判定定理与性质得出AD FC =，然后根据线段的和差即可得证；方法2：先根据角平分线的定义得出DAE GAE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得,DE GE D AGE =∠=∠，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得ECG EGC ∠=∠，最后根据平行线的性质、平角的定义可得BCG BGC ∠=∠，由等腰三角形的定义可得BG BC =，由此根据线段的和差即可得证；（2）如图（见解析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出EF 平分AFG ∠，从而有12EFC AFG ∠=∠，再根据平行线的性质、角的和差得出60EFC BFC ∠=∠=︒，ECF BCF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．【详解】（1）方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点FAE ∵是BAD ∠的平分线BAF DAE ∴∠=∠//AD BCDAE F ∴∠=∠BAF F ∴∠=∠AB BF FC BC ∴==+E 是边CD 的中点DE CE ∴=在ADE 和FCE △中，DAE F AED FEC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FCE AAS ∴≅AD FC ∴=AB FC BC AD BC ∴=+=+；方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CGAE ∵是BAD ∠的平分线DAE GAE ∴∠=∠在ADE 和AGE 中，AD AG DAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE AGE SAS ∴≅,DE GE D AGE ∴=∠=∠E 是边CD 的中点DE CE ∴=CE GE ∴=ECG EGC ∴∠=∠//AD BC180D BCD ︒∴∠+∠=，即180D ECG BCG ∠+∠+∠=︒180AGE EGC BCG ∴∠+∠+∠=︒，即180AGC BCG ∠+∠=︒又180AGC BGC ∠+∠=︒BCG BGC ∴∠=∠BG BC ∴=AB AG BG AD BC ∴=+=+；（2）如图，过点C 作//CG AD ，交AE 延长线于点G ，延长GC 交AB 于点F ，连接EF 由方法1可知：,AF GF AE GE ==AFG ∴是等腰三角形EF ∴平分AFG ∠ 12EFC AFG ∴∠=∠ //CG AD ，60BAD ∠=︒60,180120BFC BAD AFG BAD ∴∠=∠=︒∠=︒-∠=︒60EFC ∴∠=︒//CG AD180D ECF ∴∠+∠=︒11802D BCD ︒∠+∠=，即1()1802D ECF BCF ∠+∠+∠=︒ 1()2ECF ECF BCF ∴∠=∠+∠ ECF BCF ∴∠=∠在ECF △和BCF △中，60EFC BFC CF CF ECF BCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ECF BCF ASA ∴≅CB CE ∴=．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），参照方法1，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．10．（1）△ECK是等腰直角三角形；（2）见解析；（3）BE-AE•tanα=2CK．理由见解析．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC，∠EKC =90°即可；（2）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q，结合等腰直角三角形的性质利用SAS可证△AEC≌△BGC，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG，等量代换可得结论.（3）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得BCAC =BGAE，易证△CAE∽△CBG，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.【详解】（1）解：结论：△ECK是等腰直角三角形．理由：如图1中，∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴CA=CB，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵DK=KB，∴EK=KB=DK=12BD，∴∠KEB=∠KBE，∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，∵∠DCB=90°，DK=KB，∴CK=KB=KD=12BD，∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，∴△ECK是等腰直角三角形．（2）证明：如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q．∵∠α=45°，DE ⊥AE ，∴∠AED=90°，∠DAE=45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DE=AE=BG ，∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵AC=BC ，∴△AEC ≌△BGC （SAS ），∴CE=CG ，∠5=∠BCG ，∴∠ECG=∠ACB=90°，∴△ECG 是等腰直角三角形，∵KD=KB ，DE=BG ，∴KE=KG ，∴CK=EK=KG ，∴BE-AE= BE-BG=EG=EK+KG =2CK ．（3）解：结论：BE-AE•tanα=2CK ．理由：如图3中，在BD 上截取BG=DE ，连接CG ，设AC 交BE 于Q ．DE AE ⊥，∠ACB=90°，90,90CAE EQA CBG CQB ︒︒∴∠+∠=∠+∠=EQA CQB ∠=∠∴∠CAE=∠CBG ，在Rt △ACB 中，tanα=BC AC，在Rt△ADE中，tanα=DEAE=BGAE，∴BCAC =BGAE，tanDE AEα=∴△CAE∽△CBG，∴∠ACE=∠BCG，∴∠ECG=∠ACB=90°，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，∴EG=2CK，∵BE-BG=EG=2CK，∴BE-DE=2CK，∴BE-AE•tanα=2CK．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.。

初二数学全全等三角形截长补短测试及答案

初二数学全全等三角形截长补短测试及答案一、全等三角形截长补短1．如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝62，AD＝42，tan∠ABC＝2时，求CQ＋10BQ的最小值．102．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．3．如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．4．已知：线段AB 及过点A 的直线l ，如果线段AC 与线段AB 关于直线l 对称，连接BC 交直线l 于点D ，以AC 为边作等边△ACE ，使得点E 在AC 的下方，作射线BE 交直线l 于点F ，连接CF ．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果∠BAD ＝α（30°＜α＜60°）．①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；②用等式表示线段FA ，FE 与FC 的数量关系，并证明．（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA ，FE 与FC 的数量关系，不证明．5．如图，在正方形ABCD 中，点E 迕射线BC 上，连接AE ，作EF AE ⊥，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）若点E 在边BC 的中点处时，AE ________EF （填“＞”“＜”或“=”）（2）若点E 为边BC 上的任意一点（不含点B ，C ），探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由．（3）若点E 是边BC 延长线上的一点，探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由． 6．在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点E 在直线BC 上(,B C 除外)，分别经过点E 和点B 作AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系．（1）某数学兴趣小组在探究,AE EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G (如图1)，通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；（2）那么当点E 是直线BC 上(,B C 除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”，“点E 在线段BC 的延长线”，“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；（3）当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE nBC =(01n <<)，请直接写出:ABC AEF S S △△的值．7．如图，在正方形ABCD 中，点F 是CD 的中点，点E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+．8．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的角平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．9．如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC=AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．（1）若AE=2，CD=5，则△BCF的面积为；△BCF的周长为；（2）求证：BC=AG+EG．10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）3923S BCE =-△ (2)证明见解析（3）CQ ＋1010BQ 的最小值为25 【分析】（1）根据点E 是BD 的中点，可得BCE CDE S S =△△ ,在作边CE 的高DF ,根据等边三角形三线合一DF 也是AED 的高，根据勾股定理计算出DF 的长度，在直角三角形DFC 中利用勾股定理计算出CF ,得出CE 的值，利用三角形的面积公式计算出面积．（2）延长AF ,是2AF =AG ,证明ADF CF ≅△△G ,得出CM=AD ，再根据ACD BDC ∠+∠= 60°，得出ACG ∠ =ABE ∠ ,从而证明ABE AMC ≅△△ ,得出AB=AG ，得出结论．（3）根据APD ∠ =90°，知道点P 的运动轨迹是以AD 为直径的圆，圆心记为N ，点Q 是BP 的中点，得到点Q 的运动轨迹是以BN 的中点为圆心，半径为2 的圆。

数学全全等三角形截长补短知识点-+典型题及解析

数学全全等三角形截长补短知识点-+典型题及解析一、全等三角形截长补短1．如图，△ABC中，，AD是BC边上的高，如果，我们就称△ABC为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题：（1）若，，则△ABC____ “高和三角形”（填“是”或“不是”）；（2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论2．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．∠=︒，BD=DC，3．已知等边三角形ABC，D为△ABC外一点，BDC120∠=︒，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N．MDN60（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系；（2）当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明；（3）当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并求出BM、NC、MN之间的数量关系．4．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．⊥交AD于5．如图，四边形ABCD为矩形，F为对角线BD上一点，过点F作FE BD点H，交BA的延长线于点E，连接AF，当FD FE=时，求证：2AH AB AF+=．6．如图，在正方形ABCD中，点E、F均为中点，连接AF、DE交于点P，连接PC，证明：2+=．PE PF PC7．如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC=AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．（1）若AE=2，CD=5，则△BCF的面积为；△BCF的周长为；（2）求证：BC=AG+EG．8．思维探索：在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°．（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是；（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；拓展提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度．9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．10．已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM＝34，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）是（2）；见解析【解析】【分析】（1）在BC上截取，根据，可得△ABE为等边三角形，，问题得解；（2）在△ABC中，在DC上截取，由AD是BC边上的高且，进而证明，△ABD≌△AED（SAS）就可以得到结论.【详解】解：（1）如图，Rt△ABC中，，，，在BC上截取，则△ABE为等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴∵，且△ABE为等边三角形，∴∴，∴是高和三角形．（2）;证明：如上图，在△ABC中，在DC 上截取．∵，∴，∵AD是BC 边上的高且，∴，△ABD≌△AED（SAS ），∴，，∴.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形，理解“高和三角形”的定义是解题关键.2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF =120°，∵∠AFH ＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，∵∠BDC=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACE≌△CBM（AAS），∴CE=BM=BD，由（2）可证△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=FE，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD．故答案为：HG=CF+BD ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．3．（1）BM+NC=MN ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）NC-BM=MN ，证明见解析．【分析】（1）由DM=DN ，∠MDN=60°，可证得△MDN 是等边三角形，又由△ABC 是等边三角形，CD=BD ，易证得Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ；（2）在CN 的延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN ≌△M 1DN ，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1，可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN ≌△M 1DN ，则可得NC-BM=MN ．【详解】解（1）BM 、NC 、MN 之间的数量关系：BM+NC=MN ．证明如下：∵BD=DC ，DM=DN ，MDN 60∠=︒∴∠BDC=∠DCB=180302BDC ，△MDN 为等边三角形， ∴MN=MD=DN ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴Rt △BDM ≌Rt △CDN （HL ），∴∠BDM =∠CDN=302BDC MDN ， ∴11,22BM DM NC DN , ∴BM+NC=MN ．（2）猜想：结论仍然成立．证明：在CN 的反向延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．∵∠MBD=∠M 1CD=90°，BD=CD ，∴△DBM ≌△DCM 1，∴DM=DM 1，∠MBD=∠M 1CD ，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M 1DN=∠MDN=60°，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN=M1N=M 1C+NC=BM+NC ，（3）证明：在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1．与（2）同理可证△DBM ≌△DCM 1，∴DM=DM 1，与（2）同理可证∠CDN=∠MDN=60°，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN=M 1N ，∴NC-BM=MN ．【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．4．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌，∴FH=FK ，又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ， ∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S SS S S MK FN =++=⨯⋅=五边形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用． 5．见解析【分析】过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，先证明()EFN DFA ASA △≌△，可得N DAF ∠=∠，FN AF =，从而可以证明()AHF NBF ASA △≌△，可证得AH BN =，即可得证2AH AB +=．【详解】证明：如图，过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，EF DF ⊥，EA AD ⊥，90E ABD ∴∠+∠=︒，90ADF ABD ∠+∠=︒，E ADF ∴∠=∠，90AFN EFD ∠=∠=︒，AFD EFN ∴∠=∠，在EFN 和DFA 中，,,,EFN DFA EF DF E ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EFN DFA ASA ∴△≌△，N DAF ∴∠=∠，FN AF =，又90AFN ∠=︒，2AN AF ∴=，90AFN EFB ∠=∠=︒，AFH BFN ∴∠=∠，在AHF △和NBF 中，,,,AFH NFB AF NF HAF N ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AHF NBF ASA ∴△≌△，AH BN ∴=，2AH AB BN AB AN AF ∴+=+==．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 6．见解析【分析】延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，先证明()ADF DCE SAS △≌△，可得AFD DEC ∠=∠，即CFP CEN ∠=∠，再通过证明()CEN CFP SAS △≌△，可得CN CP =，ECN PCF ∠=∠，即可证明NCP 是等腰直角三角形，即2PN PE NE PC =+=，从而得证2PE PF PC +=．【详解】证明：如图，延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，CE DF ∴=，在ADF 和DCE 中，,90,,AD CD ADF DCE DF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ADF DCE SAS ∴△≌△，AFD DEC ∴∠=∠，CFP CEN ∴∠=∠，在CEN 和CFP 中，,,,CE CF CEN CFP EN PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEN CFP SAS ∴△≌△，CN CP ∴=，ECN PCF ∠=∠，90PCF BCP ∠+∠=︒，90ECN BCP NCP ∴∠+∠=∠=︒，NCP ∴△是等腰直角三角形， 2PN PE NE PC ∴=+=．即2PE PF PC +=．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．7．（1）3，23234+2）见解析【分析】（1）根据平行和垂直的特点求出BF ，AF ，再根据勾股定理求出CD ，根据FP 与BA 的比值求出面积，再根据勾股定理求CF ，BC 即可得到周长．（2）在AD 上截取AM=AG ，连接CM ，证△FAG ≌△CAM ；证△EFG ≌△DCM ．【详解】解：（1）面积为3；周长为23234+∵四边形ABCD 和四边形CDEF 都是平行四边形，∴EF=CD ，AB=CD ，AB ∥CD∴EF=AB=CD=5∴AE=EF-AE=5-2=3∴BF=5-3=2过F 作FP ⊥BC则FP ：AH=BF ：AB=2：5，∴::2:5BCF BCA S S FP AH == ,∵AC ⊥CD ，AB ∥CD,∴AB ⊥AC ，即∠BAC=90°，∵AC=AF=3,∴CF=223332+= ，BC=223534+= ，∴2213552BCF BCA S S CD AC ==⨯⨯= ∴△BCF 的面积为3，△BCF 周长为23234++（2）在AD 上截取AM=AG ，连接CM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC∵AH ⊥BC∴AD ⊥AH∴∠DAH=90°∵∠BAC=90°∴∠DAH=∠BAC∴∠DAH-∠CAH =∠BAC-∠CAH∴∠BAH=∠CAD∵AF=AC∴△FAG ≌△CAM∴FG=CM ，∠ACM=∠AFG∵四边形CDEF 是平行四边形，∴EF ∥CD ，EF=CD ，∴∠DCF+∠AFC=180°，∵AF=AC ， ∠BAC=90°，∴∠AFC=∠ACF=45°，∴∠DCF=180°-∠AFC=135°，∴∠ACM=∠AFG=45°，∴∠DCM=∠FCD-∠ACF-∠ACM=45°，∴∠AFG=∠DCM，∴△EFG≌△DCM，∴EG=DM，∵AD=AM+DM，∴AD=AG+EG，∵AD=BC，∴BC=AG+EG．【点睛】此题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例和勾股定理的应用．8．思维探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE1．【分析】思维探索：（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，推出四边形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根据正方形的性质得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝x，根据线段的和差即可得到结论．【详解】思维探索：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，在△AGE和△AFE中AG AFGAE EAF AE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，故答案为：8；（2）如，2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，同（1）可证得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，∴四边形ACBG是矩形，∵AC＝BC，∴矩形ACBG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，∴△AEC≌△AGF（SAS），∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，∴∠DAF＝∠DAE＝45°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴∠ADF＝∠ADE＝30°，∴∠BDE＝60°，∵∠DBE＝90°，BD＝2，∴DE＝DF＝4，BE＝设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝x，∴DG＝x，∴DG﹣FG＝DF，即x﹣x＝4，∴x1，∴CE1．【点睛】本题以正方形为背景，结合旋转，三角形全等，解直角三角形进行综合性考查，熟知常见的全等模型，旋转性质，三角形的判定及性质，正方形，矩形的性质是解题的关键． 9．见解析【分析】在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，易证△AEF ≌△AED ，可得AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，根据平行线性质可证∠C ＝∠BFE ，即可证明△BEC ≌△BEF ，可得BF ＝BC ，即可解题．【详解】证明：在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AF EAD EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．10．（1）BC ＝203；（2）见解析. 【分析】（1）如图①中，设AM ＝3k ，DM ＝4k ，则AD ＝5k ，由△ADM ∽△NDA ，可得AD 2＝DM •AN ，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，连接CH ，在DM 上取一点K ，使得DK ＝BH ．证明△ADK ≌△CBH （SAS ），推出AK ＝CH ，再证明Rt △AMK ≌Rt △CNH （HL ），推出MK ＝HN 即可解决问题．【详解】（1）解：如图①中，∵AM ⊥DN ，∴∠AMD ＝90°，∵tan ∠ADM ＝AII DN ＝34， ∴可以假设AM ＝3k ，DM ＝4k ，则AD ＝5k ，∵AD ⊥AN ，∴∠DAN ＝90°＝∠AMD ，∵∠ADM ＝∠ADN ，∴△ADM ∽△NDA ，∴AD 2＝DM •AN ，∴（5k ）2＝4k （4k +3），解得k＝43，∴AD＝203，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝203．（2）证明：如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADK＝∠BNQ，∵BH∥DQ，∴∠CBH＝∠BNQ，∴∠ADK＝∠CBH，∵DK＝BH，DA＝BC，∴△ADK≌△CBH（SAS），∴AK＝CH，∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，∴AN⊥BC，∴∠AMK＝∠CNH＝90°，∵AM＝CN，∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），∴MK＝NH，∴DM＝DK+MK＝BH+HN．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握解直角三角形、相似三角形的性质以及判定定理、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．。

数学全全等三角形截长补短知识点及练习题及答案

数学全全等三角形截长补短知识点及练习题及答案一、全等三角形截长补短1．如图，已知B (-1, 0)，C (1, 0)，A 为y 轴正半轴上一点，AB =AC ，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC .（1）求证：∠ABD =∠ACD ；（2）求证：AD 平分∠CDE ；（3）若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？2．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．3．已知：线段AB 及过点A 的直线l ，如果线段AC 与线段AB 关于直线l 对称，连接BC 交直线l 于点D ，以AC 为边作等边△ACE ，使得点E 在AC 的下方，作射线BE 交直线l 于点F ，连接CF ．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果∠BAD ＝α（30°＜α＜60°）．①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）； ②用等式表示线段FA ，FE 与FC 的数量关系，并证明．（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA ，FE 与FC 的数量关系，不证明．4．如图①，ABC 和BDC 是等腰三角形，且AB AC =，BD CD =，80BAC ∠=︒，100∠=︒BDC ，以D 为顶点作一个50︒角，角的两边分别交边AB ，AC 于点E 、F ，连接EF ．（1）探究BE 、EF 、FC 之间的关系，并说明理由；（2）若点E 、F 分别在AB 、CA 延长线上，其他条件不变，如图②所示，则BE 、EF 、FC 之间存在什么样的关系？并说明理由．5．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．（解决问题）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE ADG ≌理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．（变式探究）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．（拓展延伸）如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．6．在△ABC 中，AB =AC ，点D 与点E 分别在AB 、AC 边上，DE //BC ，且DE =DB ，点F 与点G 分别在BC 、AC 边上，∠FDG 12=∠BDE ．（1）如图1，若∠BDE =120°，DF ⊥BC ，点G 与点C 重合，BF =1，直接写出BC = ；（2）如图2，当G 在线段EC 上时，探究线段BF 、EG 、FG 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当G 在线段AE 上时，直接写出线段BF 、EG 、FG 的数量关系：_____________．7．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．8．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 为菱形ABCD 内对角线BD 左侧一点，连接BE 、CE 、DE ．（1）若AB ＝6，求菱形ABCD 的面积；（2）若∠BED ＝2∠A ，求证：CE ＝BE+DE ．9．如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，DE 、CE 分别是ADC ∠、BCD ∠的角平分线，若3AD =，2BC =，求CD 的长．10．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB =AD ，E 为对角线AC 上一点，∠BEC =∠BAD =2∠DEC ，探究AB 与BC 的数量关系．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB =∠ABE ”；小源：“通过观察和度量，AE和BE存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB与BC的数量关系”．……老师：“保留原题条件，如图2， AC上存在点F，使DF=CF=k AE，连接DF并延长交BC于点G，求ABFG的值”．（1）求证：∠ACB=∠ABE；（2）探究线段AB与BC的数量关系，并证明；（3）若DF=CF=k AE，求ABFG的值（用含k的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，证明△ACM≌△ABN即可；（3）用截长补短法在CD上截取CP=BD，连接AP，证明△ABD≌△ACP，由全等性质可知△ADP是等边三角形，易知 BAC 的度数.【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS）∴AM=AN．∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF =120°，∵∠AFH ＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，∵∠BDC=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACE ≌△CBM （AAS ），∴CE=BM=BD ，由（2）可证△HGF ≌△FEA （AAS ），∴GH=FE ，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD ．故答案为：HG=CF+BD ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．3．（1）作图见解析；（2）①260α-︒，120α︒-；②FA=FC +FE ，证明见解析；（3）AF=FC-EF ．【分析】（1）先根据轴对称的性质作出线段AC ，再分别以A 、C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点E ，可得等边△ACE ，最后根据题意画出图形即可；（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2α，根据等边三角形的性质可知∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE ；根据轴对称的性质和等边三角形的性质可得AB=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE ；②在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG 是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF ，利用SAS 可证明△AEG ≌△CEF ，即可得出AG=CF ，根据线段的和差关系即可得结论；（3）由60°＜α＜90°可知点E 在直线l 右侧，根据题意画出图形，在FA 上截取FG=EF ，根据轴对称的性质可得AF ⊥BC ，BF=CF ，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG 是等边三角形，利用SAS 可证明△AEF ≌△CEG ，可得FA=CG ，根据线段的和差关系即可得答案．【详解】（1）补全图形如下：（2）①260α-︒，120.α︒-①∵AB、AC关于直线l对称，∴∠BAD=∠CAD，AB=AC，∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC=EC，∵∠BAD=α，∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2α，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2α-60°．∵AB=AC，AC=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=12（180°-∠BAE）=120°-α．故答案为：2α-60°，120°-α②数量关系是FA =FC +FE，证明如下：在FA上截取FG=EF，连接EG，由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，∴△EFG为等边三角形，∴EG=FE=FG，∠GEF=60°，∵△AEC是等边三角形，∴∠AEC=60°，AE=CE，∴∠AEC=∠GEF=60°，∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC，即∠AEG=∠CEF，在△AEG和△CEF中，EG EFAEG CEF AE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△CEF，∴AG=FC∴FA=AG+FG=FC+FE，（3）AF=FC-EF．∵60°＜α＜90°，∴如图所示，点E在直线l右侧，在FA上截取FG=EF，连接EG，∵AB、AC关于直线l对称，点F在直线l上，∴AF⊥BC，BF=CF，∴∠ABC=∠ACB=90°-α，由（2）可知∠ABE=120°-α，∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°，∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG=60°，∵∠AEC=60°，∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°，∴∠AEF=∠CEG ，在△AEF 和△CEG 中，EF EG AEF CEG AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△CEG ，∴AF=CG ，∴AF=FC-EF ．【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．4．（1）EF=BE+FC ；（2）EF=FC-BE ．【分析】（1）由等腰三角形的性质，解得50ABC ACB ∠=∠=︒，40DBC DCB ∠=∠=︒，延长AB 至G ，使得BG=CF ，连接DG ，进而证明GBD △()FCD SAS ≅，再根据全等三角形对应边相等的性质解得DG FD =，再结合等腰三角形的性质可证明DEF ()DGE SAS ≅，最后根据全等三角形的性质解题即可；（2）在CA 上截取CG=BE,连接DG ，由等腰三角形的性质，可得50ABC ACB ∠=∠=︒，40DBC DCB ∠=∠=︒，进而证明BED ≅()CGD SAS 得到DG DE =，据此方法再证明EDF ≅()GDF SAS ，最后根据全等三角形的性质解题即可．【详解】（1）ABC 和BDC 是等腰三角形， ABC ACB ∴∠=∠DBC DCB ∴∠=∠80BAC AB AC ∠=︒=，50ABC ACB ∴∠=∠=︒100BDC BD CD ∠=︒=，40DBC DCB ∴∠=∠=︒90ABD ACD DCF ∴∠=∠=︒=∠延长AB 至G ，使得BG=CF ，连接DG18090GBD ABD ∠=︒-∠=︒在GBD △和FCD 中，BG=CF ，GBD DCF BD FD ∠=∠=，∴GBD △()FCD SAS ≅，DG FD ∴=BDG CDF ∴∠=∠50100EDF BDC ∴∠=︒∠=︒，50BDE CDF ∴∠+∠=︒50GDE BDG BDE CDF BDE ∠=∠+∠=∠+∠=︒在DEF 和DGE △中，DE=DE ，EDF GDE DF GD ∠=∠=，∴DEF ()DGE SAS ≅，EF EG BE GB BE CF ∴==+=+（2）在CA 上截取CG=BE,连接DGABC 是等腰三角形，80BAC ∠=︒50ABC ACB ∴∠=∠=︒100BDC BD CD ∠=︒=，40DBC DCB ∴∠=∠=︒90EBD GCD ∴∠=∠=︒CG BE BD CD ==，在BED 和CGD △中，CG=BE ，EBD GCD BD CD ∠=∠=，BED ∴≅()CGD SASDG DE ∴=在EDF 和GDF 中，FD=FD ，GDF EDF ED GD ∠=∠=，EDF ∴≅()GDF SASEF FG FC CG FC BE ∴==-=-【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D ∠+∠=︒，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1）ABE ADG ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（2）满足180B D ∠+∠=︒即可，证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，B ADG ∴∠=∠，在ABE △与ADG 中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（3）BE+DF=EF ．证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，12EAF BAD ∠=∠，12FAG EAD FAE ∴∠=∠=∠，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．6．（1）4；（2）FG=BF+EG，见解析；（3）FG=BF-EG【分析】（1）解直角三角形分别求出DF，CF即可解决问题．（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．在EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．在射线EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．【详解】（1）∵DE∥BC，∴∠BDE+∠ABC=180°，∵∠BDE=120°，∴∠ABC=60°，∵DF⊥BF，∴∠BFD=90°，∴DF=BF•tan60°133==∵∠CDF1=∠BDE=60°，∠DFC=90°，2==，∴CF=DF•tan60°333∴BC=BF+CF=1+3=4；（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．理由：在EA上截取EH，使得EH=BF．∵AB=AC ，∠B=∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴∠ADE=∠AED ，∴∠DEH=∠B ，在△DBF 和△DEH 中，BF EH B DEH BD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∵∠FDG 12=∠BDE ， ∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH 12=∠BDE ， ∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=EG+HE=EG+BF ，∴FG=BF+EG ；（3）如图3中，结论：FG=BF-EG ．理由：在射线EA 上截取EH ，使得EH=BF ．∵AB=AC ，∠B=∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴∠ADE=∠AED ，∴∠DEH=∠B ，在△DBF 和△DEH 中，BF EH B DEH BD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∴∠BDE=∠FDH ，∵∠FDG 12=∠BDE 12=∠FDH ， ∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=HE-GE=BF-EG ，∴FG=BF=-EG ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．7．（1）AM BN MN +=；证明见解析；（2）AM BN MN +=；证明见解析；（3）补图见解析；BN AM MN -=；证明见解析．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（2）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（3）在CB 截取BE=AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A EBD ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．MDN ADC BDC ∠=∠=∠，ADM NDC BDE ∴∠=∠=∠，MDC NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A DBE ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=，ADC CDB ∠=∠．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．90MDN ACD ∠+∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒，ADC CDB ∠=∠，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE=AM ，连接DE ．90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠．90B CAD ∠=∠=︒，90B DAM ∴∠=∠=︒．在DAM △和DBE 中，AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =．ADC BDC MDN ∠=∠=∠，ADN CDE ∴∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BN BE BN AM =-=-，BN AM MN ∴-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（1）3；（2）见解析【分析】（1）过点B作BH⊥AD于H，由直角三角形的性质可求BH的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE至M，使ME＝BE，连接MB，由题意可证△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，△BEM是等边三角形，可得∠CBD＝∠ABD＝60°＝∠MBE，AB＝BD＝BC，BM ＝BE，由“SAS”可证∴△MBD≌△EBC，可得MD＝EC，即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点B作BH⊥AD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝6，∵∠A＝60°，BH⊥AD，∴∠ABH＝30°，∴AH＝1AB＝3，BH＝3AH＝33，2∴菱形ABCD的面积＝AD×BH＝6×33＝183；（2）如图，延长DE至M，ME＝BE，连接MB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝60°＝∠BCD，∴△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝∠ABD＝60°，AB＝BD＝BC，∵∠BED＝2∠A＝120°，∴∠BEM＝60°，又∵BE＝ME，∴△BEM是等边三角形，∴BM＝BE，∠MBE＝∠DBC＝60°，∴∠MBD＝∠EBC，∴△MBD≌△EBC（SAS），∴MD＝EC，∴CE＝BE+DE．【点睛】本题主要考查了菱形的性质应用，结合等边三角形的性质是解题的关键．9．5【分析】如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，先证明ADE FDE △≌△，得到AE EF =，5A ∠=∠，然后证明CEF CEB △≌△，得到CF BC =，即可求出答案．【详解】解：如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，DE 是ADC ∠的角平分线，12∠∠∴=，在△ADE 和△FDE 中，,12,,AD DF DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FDE SAS ∴△≌△，AE EF ∴=，5A ∠=∠，//AD BC ，180A B ∴∠+∠=︒，56180∠+∠=︒，6B ∴∠=∠， CE 是BCD ∠的角平分线，34∴∠=∠，在CEF △和CEB △中，6,34,,B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEF CEB AAS ∴△≌△，CF BC ∴=，325CD DF CF AD BC ∴=+=+=+=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明ADE FDE △≌△是解题关键．10．（1）见解析；（2）CB=2AB ；（3）23AB k FG k = 【分析】（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE ，可证明△ABH ≌△DAE ，△ABE ∽△ACB ，利用相似三角形的性质从而得出结论；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K ，得出12AD DK CB DB ==，通过证明△ADK ∽△DBC 得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ ，设AD=a ，因此有DF=FC=QF=ka ，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka ，3AB ka =，1122FG DF ka ==，从而得出答案．【详解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC∠BAD=∠BAE+∠EAD∠BEC=∠ABE+BAE∴∠EAD=∠ABE∵AD ∥BC∴∠EAD=∠ACB∴∠ACB=∠ABE（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE∵AB=AD∴△ABH ≌△DAE∴∠AHB=∠AED∵∠AHB+∠AHE=180°∠AED+∠DEC=180°∴∠AHE=∠DEC∵∠BEC=2∠DEC∠BEC=∠HAE+∠AHE∴∠AHE=∠HAE∴AE=EH∴BE=2AE∵∠ABE=∠ACB∠BAE=∠CAB∴△ABE ∽△ACB ∴EB AE CB AB= ∴CB=2AB ；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K∵AD=AB∴12DK BD =∠AKD=90°∵12AB AD BC == ∴12AD DK CB DB == ∵AD ∥BC∴∠ADK=∠DBC∴△ADK ∽△DBC∴∠BDC=∠AKD=90°∵DF=FC∴∠FDC=∠DFC∵∠BDC=90°∴∠FDC+∠QDF=90°∠DQF+∠DCF=90°∴DF=FQ设AD=a ∴DF=FC=QF=ka∵AD ∥BC∴∠DAQ=∠QCB∠ADQ=∠QBC∴△AQD ∽△CQB∴12AD QA BC CQ == ∴AQ=ka=QF=CF∴AC=3ka∵△ABE ∽△ACB∴AE AB AB AC= ∴AB =同理△AFD ∽△CFG12DF AF FG FC == ∴1122FG DF ka ==AB FG k=．【点睛】本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．。

初二数学全全等三角形截长补短测试含答案

初二数学全全等三角形截长补短测试含答案一、全等三角形截长补短1．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，∠EAF＝12请给出证明；若不成立，请说明理由．2．如图，已知B (-1, 0)，C (1, 0)，A 为y 轴正半轴上一点，AB =AC ，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC .（1）求证：∠ABD =∠ACD ；（2）求证：AD 平分∠CDE ；（3）若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？3．如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．（1）若点E 为BD 的中点，AD ＝4，CD ＝5，求△BCE 的面积；（2）如图2，若BC ＝CD ，点F 为CD 的中点，求证：AB ＝2AF ；（3）如图3，若AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，点P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝90°，连接BP ，取BP 的中点Q ，连接CQ ．当AB ＝62，AD ＝42，tan ∠ABC ＝2时，求CQ ＋1010BQ 的最小值． 4．如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．5．在△ABC 中，AB =AC ，点D 与点E 分别在AB 、AC 边上，DE //BC ，且DE =DB ，点F 与点G 分别在BC 、AC 边上，∠FDG 12=∠BDE ．（1）如图1，若∠BDE =120°，DF ⊥BC ，点G 与点C 重合，BF =1，直接写出BC = ；（2）如图2，当G 在线段EC 上时，探究线段BF 、EG 、FG 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当G 在线段AE 上时，直接写出线段BF 、EG 、FG 的数量关系：_____________．6．在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．7．已知等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 在直线AB 上， DE ∥BC ，交直线AC 与点E ，且BD=BC ，CH ⊥AB ，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证DH=BH+DE ；（2）当点D 在线段BA 延长线上时，如图2，当点D 在线段AB 延长线上时，如图3，直接写出DH ，BH ，DE 之间的数量关系，不需要证明．8．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交CD 于点E ．试说明AD ＝AB ﹣BC 的理由．9．在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，连接AE ．点O 是DE 的中点，连接CO 并延长交AD 于点F ，在CF 上取点G ，连接AG ．（1）若4tan 3B =，5AB =，6BC =，求ABE △的周长．（2）若60B EAG ∠=∠=︒，求证：AF CG =．10．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图①，在四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 是BAD ∠的平分线，AD BC ∥．求证：AB AD BC =+．小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点F ．方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CG ．（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图④，在四边形ABCD 中，AE 是BAD ∠的平分线，E 是边CD 的中点，60BAD ∠=︒，11802D BCD ∠+∠=︒，求证：CB CE =．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．【详解】（1）EF ＝BE +DF ，理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，证明△ACM≌△ABN即可；（3）用截长补短法在CD上截取CP=BD，连接AP，证明△ABD≌△ACP，由全等性质可知△ADP是等边三角形，易知 BAC 的度数.【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS）∴AM=AN．∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，AD=PD．∵AB=AC ，∠ABD=∠ACD ，BD=CP ，∴△ABD ≌△ACP ．∴AD=AP ；∠BAD=∠CAP ．∴AD=AP=PD ，即△ADP 是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 3．（1）3923S BCE =-△ (2)证明见解析（3）CQ ＋1010BQ 的最小值为25 【分析】（1）根据点E 是BD 的中点，可得BCE CDE S S =△△ ,在作边CE 的高DF ,根据等边三角形三线合一DF 也是AED 的高，根据勾股定理计算出DF 的长度，在直角三角形DFC 中利用勾股定理计算出CF ,得出CE 的值，利用三角形的面积公式计算出面积．（2）延长AF ,是2AF =AG ,证明ADF CF ≅△△G ,得出CM=AD ，再根据ACD BDC ∠+∠= 60°，得出ACG ∠ =ABE ∠ ,从而证明ABE AMC ≅△△ ,得出AB=AG ，得出结论．（3）根据APD ∠ =90°，知道点P 的运动轨迹是以AD 为直径的圆，圆心记为N ，点Q 是BP 的中点，得到点Q 的运动轨迹是以BN 的中点为圆心，半径为2 的圆。

(完整版)三角形全等之截长补短(整理)

三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短：题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是_______________________________________________________________________________________．二、精讲精练1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°，点E 为AB 边上一点，且DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ．求证：CD =AD +BC ．21D C B A 21DC B A21D C B A C3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ．求证：EF =BF +DE ．EDA4. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．OED BF ED C B A5. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证：CE 21BD ．OE DBEDB AEA【参考答案】【知识点睛】线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．【精讲精练】1.补短法：证明：如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE．∵∠ABD是△BDE的一个外角∴∠ABD=∠E＋∠BDE∵BE=BD∴∠E=∠BDE∴∠ABD=2∠E∵∠ABD=2∠C∴∠E=∠C在△ADE和△ADC中E21D C BAFA BD1212E C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ADC （AAS ） ∴AE =AC ∴AC =AB ＋BE=AB ＋BD 截长法：证明：如图，在AC 上截取AF =AB ，连接DF ．在△ABD 和△AFD 中12AB AF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△AFD （SAS ） ∴∠B =∠AFD ，BD =FD ∵∠B =2∠C ∴∠AFD =2∠C∵∠AFD 是△DFC 的一个外角 ∴∠AFD =∠C +∠FDC ∴∠FDC =∠C ∴DF =FC ∴BD =FC∴AC =AF +FC=AB +BD2. 证明：如图，在CD 上截取CF =CB ．∵CE 平分∠CBD ∴∠1=∠2在△CFE 和△CBE 中12CF CB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△CBE （SAS ） ∴∠CFE =∠B ∵∠B =90°∴∠CFE =∠DFE =90° ∵∠A =90° ∴∠DFE =∠A ∵DE 平分∠ADC4321FE D CA321G CDB A EF 8765421O D BE ∴∠3=∠4在△DEF 和△DEA 中34DFE A DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△DEA （AAS ） ∴DF =AD∴CD =DF +CF =AD +BC3. 证明：如图，延长FB 到G ，使BG =DE ，连接AG ．∵∠D =∠ABC =90°∴∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADE 中AB=AD ABG= D BG=DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABG ≌△ADE （SAS ） ∴AG =AE ，∠1=∠2 ∵∠BAD =90°，∠EAF =45° ∴∠2+∠3=45° ∴∠1+∠3=45° 即∠GAF =45° ∴∠GAF =∠EAF 在△AGF 和△AEF 中AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AGF ≌△AEF （SAS ） ∴GF =EF ∵GF =BF +BG ∴EF =BF +DE4. 证明：如图，在AC 上截取AF =AE ，连接OF ．∵AD ，CE 为△ABC 的角平分线∴∠1=∠2，∠3=∠4 在△AEO 和△AFO 中12AE AFAO AO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩54321FE D C B A ∴△AEO ≌△AFO （SAS ） ∴∠5=∠6 ∵∠ABC =60°∴∠1+∠2+∠3+∠4=180︒-∠B =180︒-60︒ =120︒ ∴∠2+∠3=60︒ ∴∠AOC =180°-60︒ =120°∴∠5=∠6=∠7=∠8=60° 在△OFC 和△ODC 中8734OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△OFC ≌△ODC （ASA ） ∴CF =CD ∴AC =AF +FC =AE +CD5. 证明：如图，延长CE ，交BA 的延长线于点F ．∵CE ⊥BD∴∠BEF =∠BEC =90° ∵∠BAC =90° ∴∠CAF =∠BAD =90°∵∠3=∠4 ∴∠1=∠5在△BAD 和△CAF 中 15AB ACBAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△CAF （ASA ） ∴BD =CF∵BE 平分∠ABC ∴∠1=∠2在△BEF 和△BEC 中12BE BEBEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BEF ≌△BEC （ASA ） ∴EF =EC∴CE=12CF∴CE=12BD三角形全等之截长补短每日一题1.（4月28日）在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD．2.（4月29日）如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点，连接BP，CP．求证：AB-AC>PB-PC．DBA21PD C BA3. （4月30日）已知：如图，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，∠A +∠C =180°．求证：BD =AB +CD ．4. （5月2日）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上任意一点，AF 平分∠DAE ，连接EF ．求证：AE =BE +DF ．【参考答案】1. 证明：如图，在线段DC 上截取DE =BD ，连接AE ．21N PBAFEDCBAE21A B CD∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADE =90° 在△ABD 和△AED 中AD AD ADB ADE DB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△AED （SAS ） ∴∠B =∠1，AB =AE ∵∠B =2∠C ∴∠1=2∠C∵∠1是△AEC 的一个外角 ∴∠1=∠C +∠2 ∴∠C =∠2 ∴AE =CE∴CD =CE +ED=AE +BD =AB +BD（如果延长DB 到点F ，使BF =AB ，连接AF 也可进行证明） 2. 证明：如图，在线段AB 上截取AE =AC ，连接PE ．E A BCDP12则AB -AC =AB -AE =EB 在△AEP 和△ACP 中12AE AC AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEP ≌△ACP （SAS ） ∴PE =PC在△PEB 中，PB -PE <EB ∴PB -PC <EB ∴AB -AC >PB -PC（延长AC 到点F ，使AF =AB ，连接PF ，也可证明结论） 3. 证明：如图，在BC 上截取BE =BA ，连接PE ．43E21N PD CA在△ABP 和△EBP 中12BA BE BP BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△EBP （SAS ） ∴∠A =∠3∵∠A +∠C =180°，∠3+∠4=180° ∴∠4=∠C ∵PD ⊥BC∴∠PDE =∠PDC =90° 在△PDE 和△PDC 中4C PDE PDC PD PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDE ≌△PDC （AAS ） ∴DE =DC∴BD =BE +ED=AB +CD（过点P 作PF ⊥BA 于F ，也可进行证明）4. 证明：如图，延长EB 到点G ，使BG =DF ，连接AG ．54321G FEDCBA∵四边形ABCD 为正方形∴AB =AD ，∠D =∠ABC =∠BAD =90° ∴∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADF 中AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△ADF （SAS ） ∴∠1=∠2，∠5=∠G ∵AF 平分∠DAE ∴∠1=∠3 ∵∠1+∠5=90° ∴∠3+∠G =90° ∵∠1+∠3+∠4=90° ∴∠2+∠3+∠4=90° ∴∠2+∠4=∠G ∴AE =EG ∵EG =BE +BG ∴AE =BE +DF三角形全等之截长补短（随堂测试）6. 已知：如图，在四边形ABCD 中，BC >AB ，AD =DC ，∠C =60°，BD 平分∠ABC ．求证：BC =AB +AD ．DC BA【参考答案】1. 证明略提示：在BC 上截取BE =AB ，证明△ABD ≌△EBD ，再证明 CE =AD ．三角形全等之截长补短（作业）1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =80°，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC =AB +BD ．AD AAB CD2. 如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠B +∠D =180°．求证：AE =AD +BE ．CD BAECD E3.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，连接EC．求证：BC=AB+CE．BE ADCBE ADC4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CE ⊥AB 于E ，△BDC 为等腰直角三角形，∠BDC =90°，BD =CD ，CE 与BD 交于F ，连接AF ．求证：CF =AB +AF ．A DECFBA DECFB87654321MAD E CF B【参考答案】1. 证明略提示：方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ，再证明CE =DE ；方法二：延长AB 到E ，使BE =BD ，证明△ADE ≌△ADC ． 2. 证明略提示：在AE 上截取AF =AD ，证明△CDA ≌△CF A ，再证明 BE =FE ． 3. 证明略提示：在BC 上截取BF =BA ，连接DF ，证明△ABD ≌△FBD ，再证明△DFC ≌△DEC ． 4. 截长法：证明：如图，在CF 上截取CM=BA ，连接DM ． ∵△BDC 为等腰直角三角形，BD=CD ∴∠1=∠DCB =45° ∵CE ⊥AB ，∠BDC =90° ∴∠CEB =∠BDC =90° ∵∠2=∠3 ∴∠4=∠5在△ABD 和△MCD 中45AB MC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△MCD （SAS ） ∴DA =DM ，∠6=∠7 ∵AD ∥BC ∴∠7=∠1=45° ∴∠6=45° ∴∠8=45° ∴∠7=∠8在△ADF 和△MDF 中78DA DM DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△MDF （SAS ） ∴AF =MF ∴CF =CM+MF=AB+AF 补短法：证明：如图，延长BA 交CD 的延长线于点G ． ∵△BDC 为等腰直角三角形 ∴∠GDB =∠BDC=90°，∠5=45° ∵CE ⊥AB∴∠CEB =∠BDC =90° ∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4在△GBD 和△FCD 中34GDB FDC DB DC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GBD ≌△FCD （ASA ）∴BG =CF ，DG =DF ∵AD ∥BC ∴∠6=∠5=45° ∴∠7=45° ∴∠6=∠7在△GDA 和△FDA 中76DG DF DA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GDA ≌△FDA （SAS ） ∴AG =AF ∵BG =AB +AG ∴CF =AB +AF1234567G A DE F B。

八年级数学三角形全等之截长补短综合测试(人教版)(含答案)

三角形全等之截长补短综合测试（人教版）
一、单选题(共4道，每道25分)
1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB AD，下列结论中正确的是( )
A.AB-AD BC-CD
B.AB-AD=BC-CD
C.AB-AD BC-CD
D.AB-AD与BC-CD的大小关系不确定
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形全等之截长补短
2.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C，AB=4，AD=
3.5，BD=2，则AC的长为( )
A.7.5
B.7
C.6
D.5.5
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形全等之截长补短
3.如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，则五边形ABCDE的面积为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形全等之截长补短
4.如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB=AD+2BE，则下列结论：
①；②∠ADC+∠B=180°；③CD=CB；④．其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形全等之截长补短。

三角形全等之截长补短(一)(人教版)(含答案) (1)

学生做题前请先回答以下问题问题1：垂直平分线（性质）定理是什么？问题2：角平分线（性质）定理是什么？问题3：等腰三角形的两个底角________，简称______________；如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称____________．问题4：当见到线段的______________考虑截长补短，构造全等或等腰转移____、转移____，然后和_________重新组合解决问题．以下是问题及答案，请对比参考:问题1：垂直平分线（性质）定理是什么？答：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．问题2：角平分线（性质）定理是什么？答：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．问题3：等腰三角形的两个底角，简称；如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也，简称．答：相等，等边对等角；相等，等角对等边．问题4：当见到线段的考虑截长补短，构造全等或等腰转移、转移，然后和重新组合解决问题．答：和差倍分，边，角，已知条件．三角形全等之截长补短（一）（人教版）一、单选题(共2道，每道50分)1.已知，如图，BM平分∠ABC，P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+CD．求证：∠BAP+∠BCP=180°．（截长法）证明：如图，在BC上截取BE=BA，连接PE．___________________________在△ABP和△EBP中∴△ABP≌△EBP（SAS）∴______________________________________________________∴CD=ED∵PD⊥BC∴PE=PC___________________________请你仔细观察下列序号所代表的内容：①；②∵∠1=∠2；③∠A=∠BEP；④AP=PE；⑤；⑥；⑦；⑧．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③⑥⑦B.①③⑤⑧C.②③⑥⑦D.②④⑤⑧答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之截长补短2.已知，如图，BM平分∠ABC，点P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+DC．求证：∠BAP+∠BCP=180°．（补短法）证明：如图，______________________________________________________∵BP平分∠ABC∴∠1=∠2在△BEP和△BDP中∴△BEP≌△BDP（SAS）___________________________在△PEA和△PDC中∴△PEA≌△PDC（SAS）∴∠C=∠PAE∵∠BAP+∠PAE=180°∴∠BAP+∠BCP=180°请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长BA，过点P作PE⊥BA于点E；②延长BA到E，使AE=DC，连接PE；③延长BA到E，使DC=AE；④；⑤；⑥；⑦．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②④⑦B.①⑤⑥C.②④⑥D.①⑤⑦答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之截长补短。

三角形全等之截长补短(习题及答案)

三角形全等之截长补短（习题）例1：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD且BD=CD，∠DBC=45°．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，连接AF．求证：CF=AB+AF．【思路分析】题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段之和），所以考虑截长补短法．1考虑截长的方法，如图所示：在线段CF上截取CH=AB，连接DH，只需证明AF=HF即可．结合题目条件，先证明△ABD≌△HCD，再证明△ADF≌△HDF，从而得到AF=HF，证明成立．2考虑补短的方法，如图所示：延长BA交CD的延长线于点H，只需证明BH=CF，AH=AF 即可．可结合题目条件，先证明△CDF≌△BDH，再证明△ADF≌△ADH，从而得到BH=CF，AH=AF，证明成立．【过程书写】（截长的方法）在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH．∵BD ⊥CD ，BE ⊥CE∴∠EBF +∠EFB =90°∠FCD +∠DFC =90°∵∠EFB =∠DFC∴∠EBF =∠FCD在△ABD 和△HCD 中AB HC ABD HCD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△HCD （SAS ）∴AD =HD ，∠ADB =∠HDC∵AD ∥BC∴∠ADB =∠DBC =45°∴∠HDC =45°∴∠HDF =∠BDC -∠HDC =45°∴∠ADB =∠HDF在△ADF 和△HDF 中AD HD ADF HDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△HDF （SAS ）∴AF =HF∴CF =CH +HF =AB +AF1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD是∠BAC的平分线．求证：AC=AB+BD．2.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．3.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，连接EC．求证：BC=AB+CE．4.已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠F AD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．【参考答案】1.证明略提示：方法一：在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，再证明CE=DE；方法二：延长AB到E，使BE=BD，连接DE，证明△ADE≌△ADC．2.证明略提示：在AE上截取AF=AD，证明△CDA≌△CF A，再证明BE=FE．3.证明略提示：在BC上截取BF=BA，连接DF，证明△ABD≌△FBD，再证明△DFC≌△DEC．4.证明略提示：延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG ≌△ADF，再证明AE=GE即可．。

初二数学全全等三角形截长补短练习题及解析

初二数学全全等三角形截长补短练习题及解析一、全等三角形截长补短1．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②求AB 的长．2．如图，已知 B (-1, 0) ， C (1, 0) ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB = AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且∠BDC = ∠BAC .（1）求证： ∠ABD = ∠ACD ；（2）求证： AD 平分∠CDE ；（3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC = DA + DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？3．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积． 4．（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==，求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ……小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =……请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，若BC 是⊙O 的直径，AB AC =，试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．探究2如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是⊙O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．5．如图，ABC 是边长为2的等边三角形，BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以点D 为顶点作60MDN ∠=︒，点M 、N 分别在AB 、AC 上．（1）如图①，当//MN BC 时，则AMN 的周长为______；（2）如图②，求证：BM NC MN +=．6．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF=90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的角平分线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE=EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．7．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF =BE +FD ．8．如图所示，平行四边形ABCD 和平行四边形CDEF 有公共边CD ，边AB 和EF 在同一条直线上，AC ⊥CD 且AC=AF ，过点A 作AH ⊥BC 交CF 于点G ，交BC 于点H ，连接EG ．（1）若AE=2，CD=5，则△BCF 的面积为；△BCF 的周长为；（2）求证：BC=AG+EG ．9．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．10．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，∵BE＝BC−CE＝BC−AC，∴BC−AC＝AD．（2）①如图（b），在AB上截取AM＝AD，连接CM，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠MAC，∵AC＝AC，∴△ADC≌△AMC（SAS），∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，∵CD＝BC＝12，∴CM＝CB，∴∠B＝∠CMB，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝，则22221216(8)a a --+＝，解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果． 2．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC 的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ，证明△ACM ≌△ABN 即可；（3）用截长补短法在CD 上截取CP=BD ，连接AP ，证明△ABD ≌△ACP ，由全等性质可知△ADP 是等边三角形，易知∠BAC 的度数.【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC ，∠DFB=∠AFC ，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD ；（2）过点A 作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS）∴AM=AN．∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 3．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；≌，则有（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，由（1）易证FGH FNKFK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌， ∴FH=FK ，又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ，∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S SS S S MK FN =++=⨯⋅=五边形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用． 4．（1）见解析；（2）①2BD CD =+，见解析，②c a BD CD AD b b=+ 【分析】（1）根据题中所给的截长法或补短法思路解题，利用全等三角形的性质解题即可．（2）探究1 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，结合（1）中所给方法，在BD 上截取BM CD =，再利用全等三角形及等腰直角三角形的性质进行求解．探究2 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，以AD 为边构造直角三角形，再利用相似的性质求解．【详解】（1）截长法证明：如图①-1，在DB 上截取DM AD =，连接AM ， AB BC AC ==，ABC ∴是等边三角形，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，DM AD =，AMD ∴△是等边三角形，60MAD ∴∠=︒，AM AD =．BAM CAD ∴∠=∠，()BAM CAD SAS ∴△≌△，BM CD ∴=，BD DM BM AD CD ∴=+=+；补短法证明：如图①-2，延长CD 至点N ，使得DN AD =， DAN DNA ∴∠=∠．AB AC BC ==，ABC ∴为等边三角形，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒． 60ADB ACB ∴∠=∠=︒，60BDC BAC ∠=∠=︒， 18060ADN BDC ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒，ADN ∴为等边三角形，AD AN =，60DAN ∠=︒． BAD CAN ∴∠=∠．在BAD 和CAN △中，AB AC BAD CAN AD AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAN SAS ∴△≌△，BD CN ∴=，又CN CD DN CD AD =+=+，BD CD AD ∴=+．（2）探究1 解：2BD AD CD =+；证明：如图②，在BD 上截取BM CD =，连接AM ， BC 是O 的直径，AB AC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．45ADM ACB ∴∠=∠=︒，在BAM 和CAD 中，,AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM CAD SAS ∴△≌△，AM AD ∴=，BAM CAD ∠=∠．45AMD ADM ∴∠=∠=︒，90MAD ∠=︒． AMD ∴△是等腰直角三角形，2MD AD ∴=． BD MD BM =+，2BD AD CD ∴=+；探究2 解：c a BD CD AD b b=+．如图③，过点A 作AM AD ⊥交BD 于点M ， BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，BAC MAD ∴∠=∠， BAM CAD ∴∠=∠，ABM DCA ∠=∠，BAM CAD ∴△∽△，BM AB c CD AC b ∴==，c BM CD b ∴=，又ADM ACB ∠=∠，MAD BAC ∠=∠，ADM ACB ∴△∽△，DM BC a AD AC b ∴==，a DM AD b∴=， BD BM MD =+，c a BD CD AD b b∴=+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．5．（1）4；（2）见解析【分析】（1）首先证明△BDM ≌△CDN ，进而得出△DMN 是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=12DM=12MN ，即可解决问题；（2）延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，首先证明BDM CDE △≌△，再证明MDN EDN △≌△，得出MN NE =，进而得出结果即可．【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，//MN BC ，60AMN ABC ∴∠=∠=︒，60ANM ACB ∠=∠=︒∴AMN 是等边三角形，AM AN ∴=，则BM NC =，∵BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，30DBC DCB ∴∠=∠=︒，90DBM DCN ∴∠=∠=︒，在BDM 和CDN △中， ,,,BM CN MBD DCN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDN SAS ∴△≌△，DM DN ∴=，BDM CDN ∠=∠，∵60MDN ∠=︒，∴DMN 是等边三角形，30BDM CDN ∠=∠=︒，1122NC BM DM MN ∴===，MN MB NC ∴=+， ∴AMN 的周长4AB AC =+=．（2）如图，延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，∵ABC 是等边三角形，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，30DBC DCB ∠=∠=︒，90ABD ACD ∠∴∠==︒，90DCE ∴∠=︒，在BDM 和CDE △中，,,,BD CD MBD ECD BM CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDE SAS ∴△≌△，MD ED ∴=，MDB EDC ∠=∠，120120MDE MDB EDC ∴∠=︒-∠+∠=︒，∵60MDN ∠=︒，60NDE ∴∠=︒，在MDN △和EDN △中，,60,,MD ED MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()MDN EDN SAS ∴△≌△．MN NE ∴=，又∵NE NC CE NC BM =+=+，BM NC MN ∴+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．6．（1）正确．证明见解析；（2）正确．证明见解析.【分析】（1）在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ，根据已知条件利用ASA 判定AME ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =．（2）在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ，根据已知利用ASA 判定ANE ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =．【详解】解：（1）正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．BM BE ∴=，45BME ∴∠=°，135AME ， CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=︒，135ECF ∴∠=°，AME ECF ，90AEB BAE ，90AEB CEF ∠+∠=︒， BAE CEF ∴∠=∠， ()AME ECF ASA ，AE EF ∴=．（2）正确．证明：如图示，在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=，45N NEC ， CF 平分DCG ∠，45FCE ，N ECF ，四边形ABCD 是正方形，//AD BE ∴，DAE BEA ，DAE BEA，即9090NAE CEF，ANE ECF ASA，()∴=．AE EF【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法，熟悉相关性质是解题的关键．7．证明见解析．【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∠BAD．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．8．（1）3，23234+2）见解析【分析】（1）根据平行和垂直的特点求出BF，AF，再根据勾股定理求出CD，根据FP与BA的比值求出面积，再根据勾股定理求CF，BC即可得到周长．（2）在AD上截取AM=AG，连接CM，证△FAG≌△CAM；证△EFG≌△DCM．【详解】+解：（1）面积为3；周长为23234∵四边形ABCD 和四边形CDEF 都是平行四边形，∴EF=CD ，AB=CD ，AB ∥CD∴EF=AB=CD=5∴AE=EF-AE=5-2=3∴BF=5-3=2过F 作FP ⊥BC则FP ：AH=BF ：AB=2：5，∴::2:5BCF BCA S S FP AH == ,∵AC ⊥CD ，AB ∥CD,∴AB ⊥AC ，即∠BAC=90°，∵AC=AF=3,∴CF=223332+= ，BC=223534+= ，∴2213552BCF BCA S S CD AC ==⨯⨯= ∴△BCF 的面积为3，△BCF 周长为23234++（2）在AD 上截取AM=AG ，连接CM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC∵AH ⊥BC∴AD ⊥AH∴∠DAH=90°∵∠BAC=90°∴∠DAH=∠BAC∴∠DAH-∠CAH =∠BAC-∠CAH∴∠BAH=∠CAD∵AF=AC∴△FAG ≌△CAM∴FG=CM ，∠ACM=∠AFG∵四边形CDEF 是平行四边形，∴EF ∥CD ，EF=CD ，∴∠DCF+∠AFC=180°，∵AF=AC ， ∠BAC=90°，∴∠AFC=∠ACF=45°，∴∠DCF=180°-∠AFC=135°，∴∠ACM=∠AFG=45°，∴∠DCM=∠FCD-∠ACF-∠ACM=45°，∴∠AFG=∠DCM ，∴△EFG ≌△DCM ，∴EG=DM ，∵AD=AM+DM ，∴AD=AG+EG ，∵AD=BC ，∴BC=AG+EG ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例和勾股定理的应用．9．见解析【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．【详解】证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ．在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC12=⨯（180°﹣108°）＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°．∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．10．（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，∵CE是∠BCA的平分线，∴∠DCF＝∠GCF，在△CFG 和△CFD 中，CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG ≌△CFD （SAS ），∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG由（1）∠AFC ＝120°得，∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∴∠AFE ＝∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中，AFE AFG AF AFEAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），∴EF ＝GF ，∴DF ＝EF ；（3）结论：AC ＝AE+CD ．理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°， ∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ，∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），∴CD ＝CG ，∴AC ＝AG+CG ＝AE+CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．。

初中数学全全等三角形截长补短(讲义及答案)含答案

初中数学全全等三角形截长补短(讲义及答案)含答案一、全等三角形截长补短1．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．2．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②求AB 的长．3．如图1，在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点E ，△ADE 为等边三角形．（1）若点E 为BD 的中点，AD ＝4，CD ＝5，求△BCE 的面积；（2）如图2，若BC ＝CD ，点F 为CD 的中点，求证：AB ＝2AF ；（3）如图3，若AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，点P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝90°，连接BP ，取BP 的中点Q ，连接CQ ．当AB ＝2，AD ＝2，tan ∠ABC ＝2时，求CQ ＋1010BQ 的最小值． 4．在ABC 中，60ABC ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、BC 上，连接BD 、DE 和AE ；并且有AB BE =，AED C ∠=∠．（1）求CDE ∠的度数；（2）求证：AD DE BD +=．5．已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC （1）如图1，连接BD ，若∠BAD ＝90°，AD ＝7，求DC 的长度．（2）如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ ＝AP ＋CQ ，求证：∠PBQ ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ ＝AP ＋CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程．6．已知，90POQ ∠=，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ．（1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF ∠=时，请求出线段EF ，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF ∠=时，延长AC 交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．7．如图1．在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是正方形，(0,3)D ，点E 是OB 延长线上一点，M 是线段OB 上一动点（不包括O 、B ），作MN DM ⊥，交CBE ∠的平分线于点N ．（1）直接写出点C 的坐标；（2）求证：MD MN =；（3）如图2，若(2, 0)M ，在OD 上找一点P ，使四边形MNCP 是平行四边形，求直线PN 的解析式．8．（1）如图①，Rt ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为BC 边上的一点，将ABD △绕点A 逆时针旋转90°至ACF ，作AE 平分DAF ∠交BC 于点E ，易证明：222BD CE DE +=．若2DE BD =，则以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是______；（2）如图②，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AB AD =，若四边形ABCD 的面积是32，2CD =，求BC 的长度；（3）ABC 是以BC 为底的等腰直角三角形，点D 是ABC 所在平面内一点，且满足4=AD ，6BD =，2CD =，请画草图并求ADC ∠的度数．9．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF =BE +FD ．10．已知，在ABCD 中，AB BD AB BD E ⊥=，，为射线BC 上一点，连接AE 交BD 于点F .（1）如图1，若E 点与点C 重合，且25AF =AD 的长；（2）如图2，当点E 在BC 边上时，过点D 作DG AE ⊥于G ，延长DG 交BC 于H ，连接FH .求证：AF DH FH =+．（3）如图3，当点E 在射线BC 上运动时，过点D 作DG AE ⊥于G M ，为AG 的中点，点N 在BC 边上且1BN =，已知42AB =MN 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠=，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度. 2．（1）BC−AC ＝AD ；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，∵BE＝BC−CE＝BC−AC，∴BC−AC＝AD．（2）①如图（b），在AB上截取AM＝AD，连接CM，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠MAC，∵AC＝AC，∴△ADC≌△AMC（SAS），∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，∵CD＝BC＝12，∴CM＝CB，∴∠B＝∠CMB，∵∠CMB＋∠CMA＝180°，∴∠B＋∠D＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝，则22221216(8)a a --+＝，解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果． 3．（1）3923S BCE =△证明见解析（3）CQ ＋1010BQ 的最小值为5【分析】（1）根据点E 是BD 的中点，可得BCE CDE S S =△△ ,在作边CE 的高DF ,根据等边三角形三线合一DF 也是AED 的高，根据勾股定理计算出DF 的长度，在直角三角形DFC 中利用勾股定理计算出CF ,得出CE 的值，利用三角形的面积公式计算出面积．（2）延长AF ,是2AF =AG ,证明ADF CF ≅△△G ,得出CM=AD ，再根据ACD BDC ∠+∠= 60°，得出ACG ∠ =ABE ∠ ,从而证明ABE AMC ≅△△ ,得出AB=AG ，得出结论．（3）根据APD ∠ =90°，知道点P 的运动轨迹是以AD 为直径的圆，圆心记为N ，点Q 是BP 的中点，得到点Q 的运动轨迹是以BN 2 的圆。

中考数学一轮复习全全等三角形截长补短知识点-+典型题及答案

中考数学一轮复习全全等三角形截长补短知识点-+典型题及答案一、全等三角形截长补短1．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②求AB 的长．2．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，请探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ．先证明△ABE ≌△ADG ，得AE ＝AG ；再由条件可得∠EAF ＝∠GAF ，证明△AEF ≌△AGF ，进而可得线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．问（1）中的线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．3．如图，已知 B (-1, 0) ， C (1, 0) ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB = AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且∠BDC = ∠BAC .（1）求证： ∠ABD = ∠ACD ；（2）求证： AD 平分∠CDE ；（3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC = DA + DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？4．已知，90POQ ∠=，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ．（1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF ∠=时，请求出线段EF ，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF ∠=时，延长AC 交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．5．如图，ABC 中，点D 在AC 边上，且1902BDC ABD ∠=+∠．（1）求证：DB AB =；（2）点E 在BC 边上，连接AE 交BD 于点F ，且AFD ABC ∠=∠，BE CD =，求ACB ∠的度数．（3）在（2）的条件下，若16BC =，ABF 的周长等于30，求AF 的长．6．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积． 7．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．8．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 为菱形ABCD 内对角线BD 左侧一点，连接BE 、CE 、DE ．（1）若AB ＝6，求菱形ABCD 的面积；（2）若∠BED ＝2∠A ，求证：CE ＝BE+DE ．9．（1）如图①，Rt ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为BC 边上的一点，将ABD △绕点A 逆时针旋转90°至ACF ，作AE 平分DAF ∠交BC 于点E ，易证明：222BD CE DE +=．若2DE BD =，则以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是______；（2）如图②，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AB AD =，若四边形ABCD 的面积是32，2CD =，求BC 的长度；（3）ABC 是以BC 为底的等腰直角三角形，点D 是ABC 所在平面内一点，且满足4=AD ，6BD =，2CD =，请画草图并求ADC ∠的度数．10．如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，DE 、CE 分别是ADC ∠、BCD ∠的角平分线，若3AD =，2BC =，求CD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，∵BE＝BC−CE＝BC−AC，∴BC−AC＝AD．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠MAC ，∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ），∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，∵CD ＝BC ＝12，∴CM ＝CB ，∴∠B ＝∠CMB ，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝，则22221216(8)a a --+＝，解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果． 2．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．【详解】（1）EF ＝BE +DF ，理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC 的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ，证明△ACM ≌△ABN 即可；（3）用截长补短法在CD 上截取CP=BD ，连接AP ，证明△ABD ≌△ACP ，由全等性质可知△ADP 是等边三角形，易知∠BAC 的度数.【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC ，∠DFB=∠AFC ，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD ；（2）过点A 作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC ，OA ⊥BC ，∴AB=AC ，∵∠ABD=∠ACD ，∴△ACM ≌△ABN （AAS ）∴AM=AN ．∴AD 平分∠CDE ．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC 的度数不变化．在CD 上截取CP=BD ，连接AP ．∵CD=AD+BD ，AD=PD ．∵AB=AC ，∠ABD=∠ACD ，BD=CP ，∴△ABD ≌△ACP ．∴AD=AP ；∠BAD=∠CAP ．∴AD=AP=PD ，即△ADP 是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 4．（1）见解析；（2）EFAE BF =+；（3）222MN EN FM =+，见解析【分析】（1）连接AB ,通过90POQ ∠=，OA OB =得到AOB 为等腰直角三角形，进而得到45OAB OBA ∠=∠=，根据过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ，可推出45CBA ∠=，45BAC ∠=，最后通过证明AOB ≌ACB △，可以得出结论；（2）在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合45ECF ∠=，90ACB ∠=推导证明ECD ≌ECF △，得到ED EF =，最后等量代换线段即可求解；（3）延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合135ECF ∠=，推导证明ECD ≌ECF △，得到D CFM ∠=∠，根据D CFB ∠=∠，等量代换可知CFM CFB ∠=∠，又因为//AC OQ ，推出MCF CFB ∠=∠，进而得到MC MF =，同理可证CN EN =，最后根据勾股定理即可求解．【详解】解：（1）证明：连接AB ．90POQ ∠=，OA OB =，∴AOB 为等腰直角三角形，∴45OAB OBA ∠=∠=，又//BC OP ，且90POQ ∠=，∴BC OQ ⊥，∴90CBF ∠=，∴45CBA ∠=，同理，45BAC ∠=，在AOB 与ACB △中OAB CAB AB ABOBA CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴AOB ≌ACB △()ASA ，∴90AOB ACB ∠=∠=，OA OB AC BC ===；（2）如图1，在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ．在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，45ECF ∠=，90ACB ∠=，∴45ACE BCF ∠+∠=，∴45ACE ACD ECD ∠+∠=∠=，∴ECD ECF ∠=∠，在ECD 与ECF △中CD CF ECD ECF CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ECD ≌ECF △()SAS ，∴ED EF =，又ED AD AE BF AE =+=+，∴EF AE BF =+．（3）222MN EN FM =+．证明如下：如图2，延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ．∴90CAD CBF ∠=∠=，在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，90ACD DCB ∠+∠=，∴90BCF DCB DCF ∠+∠==∠，∴90FCD BCA ∠=∠=，135ECF ∠=，∴36090135135ECD ∠=--=，∴ECF ECD ∠=∠，在ECD 与ECF △中EC EC ECD ECF CD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ECD≌ECF△()SAS，∴D CFM∠=∠，CAD≌CBF，∴D CFB∠=∠，∴CFM CFB∠=∠，//AC OQ，∴MCF CFB∠=∠，∴CFM MCF∠=∠，∴MC MF=，同理可证：CN EN=，∴在Rt MCN△中，由勾股定理得：22222MN CN CM EN FM=+=+．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键．5．（1）见解析；（2）ACB∠＝60°；（3）AF＝11【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出A BDA∠=∠，证得DB AB=；（2）作CH＝BE，连接DH，根据角的数量关系证得EAC C∠=∠，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH为等边三角形，即可得出ACB∠＝60°；（3）借助辅助线AO⊥CE，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE∽△BDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值．【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋12∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，∴∠A＝90°－12∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－12∠ABD．∴∠A＝∠BDA＝90°－12∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH为等边三角形．∴∠ACB ＝60°．（3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等边三角形．设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴16BF BE EF x BD BH DH x-===． ∴1616x x BF BD AB x x--==， ()21616x x EF DH x x--==． ∵△ABF 的周长等于30，即AB ＋BF ＋AF ＝AB ＋16x AB x -＋x －()216x x-=30，解得AB ＝16－8x ．在Rt △ACO 中，AC ＝2x ，AO ， ∴BO ＝16－2x ．在Rt △ABO 中，AO 2＋BO 2＝AB 2，即2221616428x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得10x =（舍去）225621x =． ∴AC ＝25621． ∴AF ＝11．【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，．6．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌，∴FH=FK ，又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ， ∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S SS S S MK FN =++=⨯⋅=五边形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用． 7．（1）AM BN MN +=；证明见解析；（2）AM BN MN +=；证明见解析；（3）补图见解析；BN AM MN -=；证明见解析．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（2）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（3）在CB 截取BE=AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A EBD ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．MDN ADC BDC ∠=∠=∠，ADM NDC BDE ∴∠=∠=∠，MDC NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A DBE ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=，ADC CDB ∠=∠．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．90MDN ACD ∠+∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒，ADC CDB ∠=∠，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，MDN EDN DN DN ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE=AM ，连接DE ．90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠．90B CAD ∠=∠=︒，90B DAM ∴∠=∠=︒．在DAM △和DBE 中，AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =．ADC BDC MDN ∠=∠=∠，ADN CDE ∴∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，MDN EDN DN DN ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BN BE BN AM =-=-，BN AM MN ∴-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（1）183；（2）见解析【分析】（1）过点B 作BH ⊥AD 于H ，由直角三角形的性质可求BH 的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE 至M ，使ME ＝BE ，连接MB ，由题意可证△ABD 是等边三角形，△BCD 是等边三角形，△BEM 是等边三角形，可得∠CBD ＝∠ABD ＝60°＝∠MBE ，AB ＝BD ＝BC ，BM ＝BE ，由“SAS”可证∴△MBD ≌△EBC ，可得MD ＝EC ，即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点B 作BH ⊥AD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝6，∵∠A ＝60°，BH ⊥AD ，∴∠ABH ＝30°，∴AH ＝12AB ＝3，BH ＝3AH ＝33， ∴菱形ABCD 的面积＝AD×BH ＝6×33＝183；（2）如图，延长DE 至M ，ME ＝BE ，连接MB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ，∠A ＝60°＝∠BCD ，∴△ABD 是等边三角形，△BCD 是等边三角形，∴∠CBD ＝∠ABD ＝60°，AB ＝BD ＝BC ，∵∠BED ＝2∠A ＝120°，∴∠BEM ＝60°，又∵BE ＝ME ，∴△BEM 是等边三角形，∴BM ＝BE ，∠MBE ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠EBC ，∴△MBD ≌△EBC （SAS ），∴MD ＝EC ，∴CE ＝BE+DE ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质应用，结合等边三角形的性质是解题的关键．9．（1）等腰直角三角形；（2）3）图见解析，135°或45°【分析】（1）要判断以BD 、DE 、EC 为边的三角形形状，根据题干中所给条件，只需证明BD EC =即可；（2）先构造出ABE ADC △≌△，进而判断出CAE 是等腰直角三角形，四边形的面积等于ACE △的面积，由此求出AC ，CE 即可；（3）分情况讨论：①当点D 在ABC 内时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题；②当点D 在ABC 外时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题．【详解】解：（1）222BD CE DE +=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，2DE =，设BD a =，则DE =，2222a EC a ∴+=，EC a ∴=，BD EC ∴=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是等腰直角三角形．故答案：等腰直角三角形．（2）如图①，延长CB 至E ，使BE CD =，连接AE ，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，180ABC ADC ∴∠+∠=︒，180ABC ABE ∠+∠=︒，ABE ADC ∴∠=∠，在ABE △和ADC 中，,,,AB AD ABE ADC BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADC SAS ∴△≌△，AE AC ∴=，BAE DAC ∠=∠，90CAE BAE BAC DAC BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，212ACE S AC ∴=△，四边形ABCD 的面积为32，ACE ABCD S S =△四边形， 21322AC ∴=， 8AC ∴=（负值已舍），282EC AC ∴==，82272BC EC BE ∴=-=-=．图①（3）①画图如图②，③．当点D 在ABC 内时，如图②，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ， 90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==，242DE ==2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，4590135ADC ∴∠=︒+︒=︒；②当点D 在ABC 外时，如图③，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==， 242DE ==，2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，45ADC ∴∠=︒．综上所述，ADC ∠的度数为135°或45°．图② 图③【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．5【分析】如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，先证明ADE FDE △≌△，得到AE EF =，5A ∠=∠，然后证明CEF CEB △≌△，得到CF BC =，即可求出答案．【详解】解：如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，DE 是ADC ∠的角平分线，12∠∠∴=，在△ADE 和△FDE 中，,12,,AD DF DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FDE SAS ∴△≌△，AE EF ∴=，5A ∠=∠，//AD BC ，180A B ∴∠+∠=︒，56180∠+∠=︒，6B ∴∠=∠， CE 是BCD ∠的角平分线，34∴∠=∠，在CEF △和CEB △中，6,34,,B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEF CEB AAS ∴△≌△，CF BC ∴=，325CD DF CF AD BC ∴=+=+=+=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明ADE FDE △≌△是解题关键．。

中考数学全全等三角形截长补短测试试题含答案

中考数学全全等三角形截长补短测试试题含答案一、全等三角形截长补短1．已知ABC 是等边三角形，6AB =．（1）如图1，点M 是BC 延长线上一点，60AMN ∠=︒，MN 交ABC 的外角平分线于点N ，求CN CM -的值；（2）如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边CPQ ，连接DQ ，求DQ 的最小值．2．如图，已知 B (-1, 0) ， C (1, 0) ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB = AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且∠BDC = ∠BAC .（1）求证： ∠ABD = ∠ACD ；（2）求证： AD 平分∠CDE ；（3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC = DA + DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？3．已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC （1）如图1，连接BD ，若∠BAD ＝90°，AD ＝7，求DC 的长度．（2）如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ ＝AP ＋CQ ，求证：∠PBQ ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ ＝AP ＋CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程．4．如图，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠<︒，D 是边BC 的中点，以AC 为边作等边三角形ACE ，且ACE △与ABC 在直线AC 的异侧，连接BE 交DA 的延长线于点F ，连接FC 交AE 于点M ．（1）求证：FB FC =；（2）求证：FEA FCA ∠=∠；（3）若8FE =，2AD =，求AF 的长．5．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．（解决问题）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE ADG ≌理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．（变式探究）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．（拓展延伸）如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．6．如图，ABC 中，点D 在AC 边上，且1902BDC ABD ∠=+∠．（1）求证：DB AB =；（2）点E 在BC 边上，连接AE 交BD 于点F ，且AFD ABC ∠=∠，BE CD =，求ACB ∠的度数．（3）在（2）的条件下，若16BC =，ABF 的周长等于30，求AF 的长．7．如图，在正方形ABCD中，点E、F均为中点，连接AF、DE交于点P，连接PC，证明：2+=．PE PF PC8．已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M，点G是线段CE上一点，且CO=CG．（1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF．10．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=AD，E为对角线AC上一点，∠BEC=∠BAD=2∠DEC，探究AB与BC的数量关系．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB=∠ABE”；小源：“通过观察和度量，AE和BE存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB与BC的数量关系”．……老师：“保留原题条件，如图2， AC上存在点F，使DF=CF=k AE，连接DF并延长交BC于点G，求ABFG的值”．（1）求证：∠ACB=∠ABE；（2）探究线段AB与BC的数量关系，并证明；（3）若DF=CF=k AE，求ABFG的值（用含k的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）6；（2）3 2【分析】（1）在CN上截取点H，使CH=CM，先证出△CMH为等边三角形，然后利用ASA证出△AMC≌△NMH，从而得出AC=NH，从而求出结论；（2）连接BQ，利用SAS证出△QCB≌△PCA，从而得出∠CBQ=∠CAP，然后根据三线合一和等量代换即可求出∠CBQ=30°、∠ABQ =90°，从而判断出点Q的运动轨迹，然后根据垂线段最短即可得出当DQ⊥BQ时，DQ最短，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论．【详解】解：（1）在CN上截取点H，使CH=CM，连接MH∵△ABC 为等边三角形∴∠ACB=60°，AC=AB=6∴∠ACM=180°－∠ACB=120°∵CN 平分∠ACM∴∠MCN=12∠ACM=60° ∴△CMH 为等边三角形 ∴CM=HM ，∠CMH=∠CHM=60°∴∠NHM=180°－∠CHM=120°，∠AMC ＋∠AMH=60°∴∠ACM=∠NHM∵60AMN ∠=︒∴∠NMH ＋∠AMH=60°∴∠AMC=∠NMH在△AMC 和△NMH 中AMC NMH CM HMACM NHM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AMC ≌△NMH∴AC=NH∴CN CM -=CN －CH=NH=AC=6（2）连接BQ∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形∴BC=AC ，QC=PC ，∠PCQ =∠ACB=∠ABC=∠BAC =60°∴∠PCQ －∠PCB=∠ACB －∠PCB∴∠QCB=∠PCA在△QCB 和△PCA 中BC AC QCB PCA QC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QCB ≌△PCA∴∠CBQ=∠CAP∵AD BC ⊥∴∠CAP=12∠BAC=30°，BD=12BC=3 ∴∠CBQ=30°∴∠ABQ=∠ABC ＋∠CBQ=90°∴点Q 在过点B 作AB 的垂线上运动根据垂线段最短可得：当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短此时在Rt △BDQ 中，∠QBD=30°∴DQ=12BD=32即DQ 的最小值为32．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、直角三角形的性质和垂线段最短的应用，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半和垂线段最短是解决此题的关键． 2．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC 的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ，证明△ACM ≌△ABN 即可；（3）用截长补短法在CD 上截取CP=BD ，连接AP ，证明△ABD ≌△ACP ，由全等性质可知△ADP 是等边三角形，易知∠BAC 的度数.【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC ，∠DFB=∠AFC ，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD ；（2）过点A 作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC ，OA ⊥BC ，∴AB=AC ，∵∠ABD=∠ACD ，∴△ACM ≌△ABN （AAS ）∴AM=AN ．∴AD 平分∠CDE ．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC 的度数不变化．在CD 上截取CP=BD ，连接AP ．∵CD=AD+BD ，AD=PD ．∵AB=AC ，∠ABD=∠ACD ，BD=CP ，∴△ABD ≌△ACP ．∴AD=AP ；∠BAD=∠CAP ．∴AD=AP=PD ，即△ADP 是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.3．（1）7DC =；（2）见解析；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠，证明见解析【分析】（1）根据已知条件得出BDC 为直角三角形，再根据HL 证出△≌△Rt BAD Rt BCD ，从而证出AD CD =即可得出结论；（2）如图2，延长DC 到 K ，使得CK=AP ，连接BK ，通过证△BPA ≌△BCK （SAS ）得到：∠1=∠2，BP=BK ．然后根据SSS 证明得≌PBQ BKQ ，从而得出21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，然后得出结论；（3）如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC=AP ，连接BK ，构建全等三角形：△BPA ≌△BCK （SAS ），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS 证得：△PBQ ≌△BKQ ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+12∠ADC ．【详解】（1）证明：如图1，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，90BAD ∠=︒，∴90BCD BAD ∠=∠=︒，在Rt BAD 和Rt BCD 中，BD BD AB BC =⎧⎨=⎩∴()△≌△Rt BAD Rt BCD HL ，∴AD DC =，∴7DC =；（2）如图2，延长DC 至点K ，使得CK AP =，连接BK∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BCD BCK ∠+∠=︒，∴BAD BCK ∠=∠，∵AP CK =，AB BC =，∴()△≌△BPA BCK SAS ， ∴12∠=∠，BP BK =，∵PQ AP CQ =+，QK CK CQ =+，∴PQ QK =，∵BP BK =，BQ BQ =，∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，∴PBQ ABP QBC ∠=∠+∠；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠；如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC AP =，连接BK ， ∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BAD PAB ∠+∠=︒，∴PAB BCK ∠=∠，在BPA △和BCK 中，AP CK BAP BCK AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()△≌△BPA BCK SAS ， ∴ABP CBK ∠=∠，BP BK =，∴PBK ABC ∠=∠，∵PQ AP CQ =+，∴PQ QK =，在PBQ △和BKQ 中，BP BK BQ BQ PQ KQ =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴PBQ KBQ ∠=∠，∴22360PBQ PBK PBQ ABC ∠+∠=∠+∠=︒， ∴()2180360PBQ ADC ∠+︒-∠=︒， ∴1902PBQ ADC ∠=︒+∠．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．4．（1）见解析；（2）见解析；（3）4【分析】（1）利用AD 所在直线是BC 的垂直平分线，点F 在直线AD 上即可得出结论．（2）由ACE △是等边三角形，得AC=AE=AB 推得ABF FEA ∠=∠．易证ABF ≌ACF （SSS ），ABF FCA FEA ∠=∠=∠即可，（3）延长AD 至点P 处，使DP AD ，连接CP ．先证直角三角形ADC ≌PDC△（SAS ），推出AC CP CE ==，ACD PCD ∠=∠．再证60EFC EAC ∠=∠=︒．求出，FBD 30FCD ∠=∠=︒．用ACD ∠表示30ECF ACD ∠=︒+∠．而30FCP ACD ∠=︒+∠，得ECF FCP ∠=∠．可证ECF △≌PCF （SAS ），可推得AF EF AP =-即可．【详解】（1）证明：∵AB AC =，D 是边BC 的中点，∴AD 所在直线是BC 的垂直平分线，又∵点F 在直线AD 上∴FB FC =．（2）证明：∵ACE △是等边三角形，∴60EAC ACE ∠=∠=︒，AC AE =．∵AB AC =，∴AB AE =，∴ABF FEA ∠=∠．由（1）可知，FB FC =，又∵AF AF =，AB AC =，∴ABF ≌ACF （SSS ），∴ABF FCA ∠=∠，∴FEA FCA ∠=∠．（3）解：如图，延长AD 至点P 处，使DP AD ，连接CP ．∵AB AC =，D 是边BC 的中点，∴90ADC PDC ∠=∠=︒．∵ACE △是等边三角形，∴AC CE =，60EAC ∠=︒．∵AD DP =，ADC PDC ∠=∠，CD CD =，∴ADC ≌PDC △（SAS ），∴AC CP CE ==，ACD PCD ∠=∠．由（2）可知，FEA FCA ∠=∠，∵AMC FME ∠=∠，∴60EFC EAC ∠=∠=︒．由（1）可知，BF CF =， ∴()18060260BFD CFD ∠=∠=︒-︒÷=︒，∴906030FCD ∠=︒-︒=︒．∵FCA FCD ACD ∠=∠-∠，∴30FCA ACD ∠=︒-∠．∵ECF ECA FCA ∠=∠-∠，∴()303030ECF ECA ACD ECA ACD ACD ∠=∠-︒-∠=∠-︒+∠=︒+∠． ∵FCP FCD PCD ∠=∠+∠，∴30FCP ACD ∠=︒+∠，∴ECF FCP ∠=∠．∵FC FC =，CE CP =，∴ECF △≌PCF （SAS ），∴FE FP =，∴2FE FA AP AF AD =+=+，∴2822=4AF EF AD =-=-⨯．【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，会利用引辅助线构造三角形全等转化线与线关系，角与角关系来解决问题．5．（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D ∠+∠=︒，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1）ABE ADG ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（2）满足180B D ∠+∠=︒即可，证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，B ADG ∴∠=∠，在ABE △与ADG 中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（3）BE+DF=EF ．证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠， 12EAF BAD ∠=∠，12FAG EAD FAE ∴∠=∠=∠，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．6．（1）见解析；（2）ACB ∠＝60°；（3）AF ＝11【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出A BDA∠=∠，证得DB AB=；（2）作CH＝BE，连接DH，根据角的数量关系证得EAC C∠=∠，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH为等边三角形，即可得出ACB∠＝60°；（3）借助辅助线AO⊥CE，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE∽△BDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值．【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋12∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，∴∠A＝90°－12∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－12∠ABD．∴∠A＝∠BDA＝90°－12∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH ＝DH ＝CD ．∴△DCH 为等边三角形．∴∠ACB ＝60°．（3）如图2，过点A 作AO ⊥CE ，垂足为O ．∵DH ∥AE ，∴∠CAE ＝∠CDH ＝60°，∠AEC ＝∠DHC ＝60°．∴△ACE 是等边三角形．设AC ＝CE ＝AE ＝x ，则BE ＝16－x ，∵DH ∥AE ，∴△BFE ∽△BDH ． ∴16BF BE EF x BD BH DH x-===． ∴1616x x BF BD AB x x--==， ()21616x x EF DH x x--==． ∵△ABF 的周长等于30，即AB ＋BF ＋AF ＝AB ＋16x AB x -＋x －()216x x-=30，解得AB ＝16－8x ．在Rt △ACO 中，AC ＝2x ，AO ＝32x ， ∴BO ＝16－2x ．在Rt △ABO 中，AO 2＋BO 2＝AB 2，即2221616428x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得10x =（舍去）225621x =．∴AC ＝25621． ∴AF ＝11．【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，．7．见解析【分析】延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，先证明()ADF DCE SAS △≌△，可得AFD DEC ∠=∠，即CFP CEN ∠=∠，再通过证明()CEN CFP SAS △≌△，可得CN CP =，ECN PCF ∠=∠，即可证明NCP是等腰直角三角形，即PN PE NE =+=，从而得证PE PF +=．【详解】证明：如图，延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，在正方形ABCD 中， E 、F 分别是BC 、CD 的中点，CE DF ∴=，在ADF 和DCE 中，,90,,AD CD ADF DCE DF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ADF DCE SAS ∴△≌△，AFD DEC ∴∠=∠，CFP CEN ∴∠=∠，在CEN 和CFP 中，,,,CE CF CEN CFP EN PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEN CFP SAS ∴△≌△，CN CP ∴=，ECN PCF ∠=∠，90PCF BCP ∠+∠=︒，90ECN BCP NCP ∴∠+∠=∠=︒，NCP ∴△是等腰直角三角形，PN PE NE ∴=+=．即PE PF +=．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．8．（1）见详解；（2）图2：=DH BH DE -，图3：+DE DH BH =【分析】（1）在线段AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ，证明DMC DEC △≌△，可得到DE DM =，即可求解．（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH BH =，连接CM ，DC ，由题意可证BHC CHM △≌△，可得B CMB ∠=∠，由题意可得=B AED ∠∠，即可证DMC DEC △≌△，可得DE DM =，则可得DH BH DE =-；当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH HM =，连接CM ，CD ，由题意可证BHC CHM △≌△，可得B CMB ∠=∠，由题意可得B AED ∠=∠，即可证DMC DEC △≌△，可得DE DM =，则可得DE DH BH =+．【详解】解：（1）证明：在线段AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD∵CH AB ⊥，HM BH =∴CM BC =∴B CMB ∠=∠∵AB AC =∴B ACB ∠=∠∵//DE BC∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，CDE BCD ∠=∠∴AED BMC ∠=∠∴DEC DMC ∠=∠∵BD BC =∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠∵CD CD =∴CDM CDE △≌△∴=DM DE∴+BH DE DM HM DH =+=（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH BH DE =-如图2：在BA 的延长线上截取MH BH =，连接CM ，DC∵AB AC =∴A ABC CB =∠∠∵BD BC =∴BDC DCB =∠∠∵//DE BC∴E ACB B EDB ===∠∠∠∠∵=CH CH ，BH MH =，BHC CHM =∠∠∴BHC CHM △≌△∴=B M ∠∠∴E M =∠∠∵+MDC B DCB =∠∠∠，EDC BDC EDB =+∠∠∠∴MDC EDC =∠∠又∵E M =∠∠，DC CD =∴DEC DMC △≌△∴DE DM =∵=DH MH DM -∴DH BH DE =-当点D 在线段AB 延长线上时，DE DH BH =+如图3：当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH HM =，连接CM ，CD∵BH HM =，CH CH =，90CHB MHC ==︒∠∠∴MHC BHC △≌△∴ABC BMC =∠∠∵AB AC =∴A ABC CB =∠∠∵BD BC =∴BDC BCD ∠=∠∵//BC DE∴BCD CDE ∠=∠，ACB AED ∠=∠∴BDC CDE ∠=∠，BMC AED =∠∠，且CD CD =∴CDM CDE △≌△∴DE DM =∵DM DH HM =+∴DE DH BH =+【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键．9．（1）4；（2）见解析【分析】（1）根据条件证明△OCF ≌△GCF ，由全等的性质就可以得出OF=GF 而得出结论；（2）在BF 上截取BH=CF ，连接OH ，通过条件可以得出△OBH ≌△OCF ，可以得出OH=OF ，从而得出OG ∥FH ，OH ∥FG ，进而可以得出四边形OHFG 是平行四边形，就可以得出结论．【详解】解：（1）∵CF 平分∠OCE ，∴∠OCF=∠ECF ．∵OC=CG ，CF=CF ，∵在△OCF 和△GCF 中，OC GC OCF ECF CF CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△OCF ≌△GCF （SAS ），∴FG=OF=4即FG 的长为4．（2）证明：在BF 上截取BH=CF ，连接OH ．∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∠DBC=45°，∴∠BOC=90°，∴∠OCB=180°-∠BOC-∠DBC=45°．∴∠OCB=∠DBC ．∴OB=OC ．∵BF ⊥CF ，∴∠BFC=90°．∵∠OBH=180°-∠BOC-∠OMB=90°-∠OMB ，∠OCF=180°-∠BFC-∠FMC=90°-∠FMC ，且∠OMB=∠FMC ，∴∠OBH=∠OCF ．∵在△OBH 和△OCF 中OB OC OBH OCF BH CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△OBH ≌△OCF （SAS ）．∴OH=OF ，∠BOH=∠COF ．∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°． ∴1180452OHF OFH HOF ∠=∠=︒-∠=︒（） ∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．∵△OCF ≌△GCF ，∴∠GFC=∠OFC=135°，∴∠OFG=360°-∠GFC-∠OFC=90°． ∴1180452FGO FOG OFG ∠=∠=︒-∠=︒（）， ∴∠GOF=∠OFH ，∠HOF=∠OFG ．∴OG ∥FH ，OH ∥FG ，∴四边形OHFG 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． ∴OG=FH ．∵BF=FH+BH ，∴BF=OG+CF【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时采用截取法作辅助线是关键．10．（1）见解析；（2）CB=2AB ；（3）23AB k FG k = 【分析】（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE ，可证明△ABH ≌△DAE ，△ABE ∽△ACB ，利用相似三角形的性质从而得出结论；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K ，得出12AD DK CB DB ==，通过证明△ADK ∽△DBC 得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ ，设AD=a ，因此有DF=FC=QF=ka ，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka ，3AB ka =，1122FG DF ka ==，从而得出答案．【详解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC∠BAD=∠BAE+∠EAD∠BEC=∠ABE+BAE∴∠EAD=∠ABE∵AD ∥BC∴∠EAD=∠ACB∴∠ACB=∠ABE（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE∵AB=AD∴△ABH ≌△DAE∴∠AHB=∠AED∵∠AHB+∠AHE=180°∠AED+∠DEC=180°∴∠AHE=∠DEC∵∠BEC=2∠DEC∠BEC=∠HAE+∠AHE∴∠AHE=∠HAE∴AE=EH∴BE=2AE∵∠ABE=∠ACB∠BAE=∠CAB∴△ABE ∽△ACB ∴EB AE CB AB= ∴CB=2AB ；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K∵AD=AB∴12DK BD =∠AKD=90°∵12AB AD BC == ∴12AD DK CB DB == ∵AD ∥BC∴∠ADK=∠DBC∴△ADK ∽△DBC∴∠BDC=∠AKD=90°∵DF=FC∴∠FDC=∠DFC∵∠BDC=90°∴∠FDC+∠QDF=90°∠DQF+∠DCF=90°∴DF=FQ设AD=a ∴DF=FC=QF=ka∵AD ∥BC∴∠DAQ=∠QCB∠ADQ=∠QBC∴△AQD ∽△CQB∴12AD QA BC CQ == ∴AQ=ka=QF=CF∴AC=3ka∵△ABE ∽△ACB∴AE AB AB AC= ∴AB =同理△AFD ∽△CFG12DF AF FG FC == ∴1122FG DF ka ==AB FG k=．【点睛】本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．。

全等三角形截长补短拔高练习(含标准答案)

全等三角形截长补短拔高练习(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：八年级数学全等三角形辅助线添加之截长补短（全等三角形）拔高练习试卷简介:本讲测试题共两个大题，第一题是证明题，共7个小题，每小题10分；第二题解答题，2个小题，每小题15分。

学习建议:本讲内容是三角形全等的判定——辅助线添加之截长补短，其中通过截长补短来添加辅助线是重点，也是难点。

希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线，进而构造出全等的三角形。

一、解答题(共1道，每道20分)1.如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=（AD+AB）.问：∠1和∠2有何关系？答案：解：∠1+∠2=180°证明：过点C作CF⊥AN于点F，由于AC平分∠NAM，所以CF=CE，则在Rt△ACF和Rt△ACE 中∴△ACF≌△ACE（HL），∴AF=AE，由于2AE=AD+AB，所以AB-AE=AF-AD∴DF=BE，在△CFD和△CEB中所以△CFD≌△CEB（SAS），∴∠2=∠FDC，又∠1+∠FDC=180°，∴∠1+∠2=180°。

解题思路：见到角平分线就要想到作垂直，找到全等关系是解决此类问题的关键易错点：找到三角形全等的所有条件试题难度：四颗星知识点：三角形二、证明题(共8道，每道10分)1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：CE=BD.答案：延长CE交BA的延长线于点H，由BE平分ABC，BE CE，得CE=EH=CH。

又1+H=90°,，2+H=90°1= 2在△ACH和△ABD中HAC=DAB=90°AC=AB1= 2△ACH≌△ABD（ASA）CH=BDCE=CH=BD解题思路：根据题意，要证明CE=BD，延长CE与BA，由题意的垂直平分线可得CE的两倍长CH，只需证明CH=BD即可，很显然有全等可以证明出结论易错点：不能正确利用题中已知条件BF平分∠ABC，CE⊥BD于E，做出辅助线，进而解答。

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4. 证明略
提示：延长 CB 至点 G，使 BG=DF，连接 AG，证明△ABG
≌△ADF，再证明 AE=GE 即可．思考小结
1. 倍长中线，截长补短
2. 证明略
提示：延长 BC 到 D，使 BD=BA，得到△ABC 为等边三角形，
AD=AB，根据三线合一，可得 BC= 1 BD，所以 BC= 1 AB．
再证明 CE=DE；
方法二：延长 AB 到 E，使 BE=BD，连接 DE，证明△ADE≌
△ADC．
2. 证明略
提示：在 AE 上截取 AF=AD，证明△CDA≌△CFA，再证明
BE=FE．
3. 证明略
提示：在 BC 上截取 BF=BA，连接 DF，证明△ABD≌△FBD，
再证明△DFC≌△DEC．
2. 利用“截长补短”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：30°角所对的直角边是斜边的一半．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°．求证：BC 1 AB． 2
5
【参考答案】
巩固练习
1. 证明略
提示：
方法一：在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，证明△ABD≌△AED，
4. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．
4
思考小结
1. 证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形中证明全等．如果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑通过添加辅助线，构造全等三角形来证明．常见构造辅助线的方法： ①___________：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑延长中线构造全等三角形． ②_________：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把多条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系来处理．上截取 CH=AB，连接 DH，只需证明 AF=HF 即可．结合题目条件，先证明△ABD≌△HCD，再证明△ADF≌ △HDF，从而得到 AF=HF，证明成立． 2 考虑补短的方法，如图所示：
延长 BA 交 CD 的延长线于点 H，只需证明 BH=CF，AH=AF 即可．可结合题目条件，先证明△CDF≌△BDH，再证明△ADF≌ △ADH，从而得到 BH=CF，AH=AF，证明成立．
2
巩固练习
1. 如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC=AB+BD．
2. 如图，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．
3
3. 如图，在△ABC 中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长 BD 至 E，使 DE=AD，连接 EC．求证：BC=AB+CE．
三角形全等之截长补短（习题）
例题示范
例 1：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，BD⊥CD 且 BD=CD， ∠DBC=45°．过点 C 作 CE⊥AB 于 E，交对角线 BD 于 F，连接 AF．求证：CF=AB+AF．
【思路分析】题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段之和），所以考虑截长补短． 1 考虑截长的方法，如图所示：
1
【过程书写】（截长的方法）在线段 CF 上截取 CH=AB，连接 DH．
∵BD⊥CD，BE⊥CE ∴∠BEF=∠FDC=90° ∴∠EBF+∠EFB=90°
∠FCD+∠DFC=90° ∵∠EFB=∠DFC ∴∠EBF=∠FCD 在△ABD 和△HCD 中， AB HC ABD HCD BD CD ∴△ABD≌△HCD（SAS） ∴AD=HD，∠ADB=∠HDC ∵AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC=45° ∴∠HDC=45° ∴∠HDF=∠BDC-∠HDC=45° ∴∠ADB=∠HDF 在△ADF 和△HDF 中， AD HD ADF HDF DF DF ∴△ADF≌△HDF（SAS） ∴AF=HF ∴CF=CH+HF=AB+AF

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