三角形全等之截长补短(习题及答案)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形全等之截长补短（习题）
例题示范
例 1：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，BD⊥CD 且 BD=CD， ∠DBC=45°．过点 C 作 CE⊥AB 于 E，交对角线 BD 于 F，连接 AF． 求证：CF=AB+AF．
【思路分析】 题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段 之和），所以考虑截长补短． 1 考虑截长的方法，如图所示：
1
【过程书写】 （截长的方法） 在线段 CF 上截取 CH=AB，连接 DH．
∵BD⊥CD，BE⊥CE ∴∠BEF=∠FDC=90° ∴∠EBF+∠EFB=90°
∠FCD+∠DFC=90° ∵∠EFB=∠DFC ∴∠EBF=∠FCD 在△ABD 和△HCD 中， AB HC ABD HCD BD CD ∴△ABD≌△HCD（SAS） ∴AD=HD，∠ADB=∠HDC ∵AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC=45° ∴∠HDC=45° ∴∠HDF=∠BDC-∠HDC=45° ∴∠ADB=∠HDF 在△ADF 和△HDF 中， AD HD ADF HDF DF DF ∴△ADF≌△HDF（SAS） ∴AF=HF ∴CF=CH+HF=AB+AF
2
2
6
Leabharlann Baidu
4. 证明略
提示：延长 CB 至点 G，使 BG=DF，连接 AG，证明△ABG
≌△ADF，再证明 AE=GE 即可． 思考小结
1. 倍长中线，截长补短
2. 证明略
提示：延长 BC 到 D，使 BD=BA，得到△ABC 为等边三角形，
AD=AB，根据三线合一，可得 BC= 1 BD，所以 BC= 1 AB．
2. 利用“截长补短”我们就可以证明直角三角形中非常重要的 一个定理：30°角所对的直角边是斜边的一半． 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°． 求证：BC 1 AB． 2
5
【参考答案】
巩固练习
1. 证明略
提示：
方法一：在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，证明△ABD≌△AED，
再证明 CE=DE；
方法二：延长 AB 到 E，使 BE=BD，连接 DE，证明△ADE≌
△ADC．
2. 证明略
提示：在 AE 上截取 AF=AD，证明△CDA≌△CFA，再证明
BE=FE．
3. 证明略
提示：在 BC 上截取 BF=BA，连接 DF，证明△ABD≌△FBD，
再证明△DFC≌△DEC．
4. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE． 求证：BE+DF=AE．
4
思考小结
1. 证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形 中证明全等．如果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑 通过添加辅助线，构造全等三角形来证明． 常见构造辅助线的方法： ①___________：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑 延长中线构造全等三角形． ②_________：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把 多条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系来处理．
2
巩固练习
1. 如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD 是∠BAC 的平分线． 求证：AC=AB+BD．
2. 如图，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，∠B+∠D=180°． 求证：AE=AD+BE．
3
3. 如图，在△ABC 中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长 BD 至 E，使 DE=AD，连接 EC． 求证：BC=AB+CE．
在线段 CF 上截取 CH=AB，连接 DH，只需证明 AF=HF 即可． 结合题目条件，先证明△ABD≌△HCD，再证明△ADF≌ △HDF，从而得到 AF=HF，证明成立． 2 考虑补短的方法，如图所示：
延长 BA 交 CD 的延长线于点 H，只需证明 BH=CF，AH=AF 即可． 可结合题目条件，先证明△CDF≌△BDH，再证明△ADF≌ △ADH，从而得到 BH=CF，AH=AF，证明成立．
例题示范
例 1：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，BD⊥CD 且 BD=CD， ∠DBC=45°．过点 C 作 CE⊥AB 于 E，交对角线 BD 于 F，连接 AF． 求证：CF=AB+AF．
【思路分析】 题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段 之和），所以考虑截长补短． 1 考虑截长的方法，如图所示：
1
【过程书写】 （截长的方法） 在线段 CF 上截取 CH=AB，连接 DH．
∵BD⊥CD，BE⊥CE ∴∠BEF=∠FDC=90° ∴∠EBF+∠EFB=90°
∠FCD+∠DFC=90° ∵∠EFB=∠DFC ∴∠EBF=∠FCD 在△ABD 和△HCD 中， AB HC ABD HCD BD CD ∴△ABD≌△HCD（SAS） ∴AD=HD，∠ADB=∠HDC ∵AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC=45° ∴∠HDC=45° ∴∠HDF=∠BDC-∠HDC=45° ∴∠ADB=∠HDF 在△ADF 和△HDF 中， AD HD ADF HDF DF DF ∴△ADF≌△HDF（SAS） ∴AF=HF ∴CF=CH+HF=AB+AF
2
2
6
Leabharlann Baidu
4. 证明略
提示：延长 CB 至点 G，使 BG=DF，连接 AG，证明△ABG
≌△ADF，再证明 AE=GE 即可． 思考小结
1. 倍长中线，截长补短
2. 证明略
提示：延长 BC 到 D，使 BD=BA，得到△ABC 为等边三角形，
AD=AB，根据三线合一，可得 BC= 1 BD，所以 BC= 1 AB．
2. 利用“截长补短”我们就可以证明直角三角形中非常重要的 一个定理：30°角所对的直角边是斜边的一半． 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°． 求证：BC 1 AB． 2
5
【参考答案】
巩固练习
1. 证明略
提示：
方法一：在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，证明△ABD≌△AED，
再证明 CE=DE；
方法二：延长 AB 到 E，使 BE=BD，连接 DE，证明△ADE≌
△ADC．
2. 证明略
提示：在 AE 上截取 AF=AD，证明△CDA≌△CFA，再证明
BE=FE．
3. 证明略
提示：在 BC 上截取 BF=BA，连接 DF，证明△ABD≌△FBD，
再证明△DFC≌△DEC．
4. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE． 求证：BE+DF=AE．
4
思考小结
1. 证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形 中证明全等．如果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑 通过添加辅助线，构造全等三角形来证明． 常见构造辅助线的方法： ①___________：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑 延长中线构造全等三角形． ②_________：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把 多条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系来处理．
2
巩固练习
1. 如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD 是∠BAC 的平分线． 求证：AC=AB+BD．
2. 如图，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，∠B+∠D=180°． 求证：AE=AD+BE．
3
3. 如图，在△ABC 中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长 BD 至 E，使 DE=AD，连接 EC． 求证：BC=AB+CE．
在线段 CF 上截取 CH=AB，连接 DH，只需证明 AF=HF 即可． 结合题目条件，先证明△ABD≌△HCD，再证明△ADF≌ △HDF，从而得到 AF=HF，证明成立． 2 考虑补短的方法，如图所示：
延长 BA 交 CD 的延长线于点 H，只需证明 BH=CF，AH=AF 即可． 可结合题目条件，先证明△CDF≌△BDH，再证明△ADF≌ △ADH，从而得到 BH=CF，AH=AF，证明成立．