黄金30题系列高三年级数学(文)大题好拿分【提升版】

黄金30题系列高三年级数学（文）大题好拿分【提升版】

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．已知函数()ππ2sin cos cos 2cos 266f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-

++ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭， x R ∈． （Ⅰ）求π12f ⎛⎫

⎪⎝⎭

的值． （Ⅱ）求函数()f x 在区间π

,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，及相应的x 的值．

（Ⅲ）求函数()f x 在区间π,π2

⎡⎤⎢⎥⎣

⎦

的单调区间．

2．在ABC ∆中， a ， b ， c 分别是角A ， B ， C 的对边，且满足2cos cos a b B

c C

-=

． （1）求角C 的大小；

（2）设函数(

)2

2sin cos cos 2sin sin f x x x C x C =+，求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的值域．

3．在数列{}n a 中， 14a =， ()()1121n n na n a n n +-+=+. （1）求证：数列n a n ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

为等差数列，并求出数列{}n a 通项公式n a ； （2）求数列1n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和n S ．

4．已知数列{}n a ，其前n 项和为n S .

（1）若对任意的*

n N ∈， 21n a -， 21n a +， 2n a 组成公差为4的等差数列，且11a =，

求2n S ； （2）若数列n n S a a ⎧⎫

+⎨

⎬⎩⎭

是公比为q （1q ≠-）的等比数列， a 为常数， 求证：数列{}n a 为等比数列的充要条件为1

1q a

=+

. 5．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）

（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？

（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．

参考公式：22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中

n a b c d =+++．

参考数据：

6．2015 年 12 月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为 2015 年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否相关，现采集到华中某城市

由散点图知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（提示数据：

7

1

1372i i

i x y

==∑，

(2)利用(1)所求的回归方程，预测该市车流量为 12 万辆时 2.5PM 的浓度.

参考公式：回归直线的方程是ˆˆˆy

bx a =+， 其中()()()

1122211ˆˆˆ,n n

i i i i i i n n

i i i i x x y y x y nx y b a y bx x nx x x ====∑--∑-⋅===-∑-∑-. 7．甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学

生在该地区二模考试的数学成绩清况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：

乙校:

，1）计算,x y 的值；

，2）若规定考试成绩在[]120150,内为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；

，3）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校

的数学成绩有差异.

附： ()

()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++， n a b c d =+++. 8．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB DC ，90ABC ∠=︒，

AD SD =，1

2

BC CD AB ==

，侧面SAD ⊥底面ABCD ．

（1）求证：平面SBD ⊥平面SAD ；

（2）若120SDA ∠=︒，且三棱锥S BCD -SAB ∆的面积． 9．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，

4PA BC ，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．

（I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.

10．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PAB ∆与ABC ∆是等腰三角

形，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，AD =AC BA ⊥，点E 是线段AB 上靠近点

B 的一个三等分点，点F ，G 分别在线段PD ，P

C 上．

（1）证明：CD AG ⊥； （2）若三棱锥E BCF -的体积为

16，求FD PD

的值． 11．已知点P ()2,2-，圆C ， 22

80x y x +-=，过P 的动直线l 与，C 交,A B 两点，

线段AB 中点为M ， O 为坐标原点． ，1）求点M 的轨迹方程；

，2）当OP OM =时，求直线l 的方程以及，POM 面积．

12．已知圆22:100C x y ++-=点A ,P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线I 和半径CP 相交于点Q ．

（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；

（Ⅱ）直线y kx =+Q 的轨迹交于不同两点A 和B ，

且1OA OB ⋅=（其中 O 为坐标

原点），求k 的值.