E(二章3讲)态叠加原理(二)

p
c( p, t )
i p r
p
(r )dp
式中： p (r )
1 (2 )
3/ 2
i
e
p r
(r , t )
1 (2 )
3/ 2
c( p, t )e
dp
(r , t )
1 (2 )
3/ 2
c( p, t )e
i
p r
dp
上式说明：任一波函数都可以看作是动量不同的所有平面波 （基函 数）的线性叠加 对上式作Fourier变换，得到的是以动量为自变量的波函数
• 波函数的统计解释： 不描述物理实在，只是概率幅 • 态叠加原理： 不是概率叠加，是态（波函数）的叠加 • 量子测量： 测量对体系产生不可逆转的影响。不去观测， 说物体具有什么性质是没有意义的，只有测量才导 致客观实在。
• ……
薛定谔猫 EPR佯谬
２、 EPR 佯谬
爱因斯坦：
“我不能相信，仅仅是因为看了它一眼，一只猫就能 使宇宙发生了如此剧烈的改变”。 多世界理论
c( p, t )
1 (2 )
3/ 2
(r , t )e

i
p r
dr
上式说明：任一波函数都可以看作是坐标不同的所有基函数的 线性叠加
结论：对于处于某一量子状态的粒子，其状态可以用 多个波函数进行描述，这些波函数可以进行相互转换。
补： Fourier变换
信号是由很多不同频率的波叠加形成的，所以任何一个实际 测得的时序信号f，都可以展开成多个频率不同的正弦波。 Fourier变换实现的是时域与频率之间的变换！
c11 c22
c1 0110110 c2 1001001
作业： 1. 试述如何用态叠加原理描述一个粒子的 所有可能运动状态（量子态） ２.试作波粒二象性解释光的双缝干涉实验
c1 1 c2 2
cn n ck k
k
2.当体系处于 态时，发现体系处于 k态的概率 2 是 ck (k 1,2, , , n,) ，并且有：
c
k 1
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 k
1
２. 态叠加原理的应用
根据态叠加原理，如果能找到一个量子体系的一整套 “基函数”，比如{ n } .那么这个体系处于任一状态的波函数 都可以得到。
２、存在心灵感应（超距离相互作用）： 贝尔不等式： 1964年，约翰〃贝尔发表论文证明：以下两个假设：
实在性：微观物体拥有实在性质，这实在性质可以决定量子测量结果。 局域性：在任意区域的实在性质不会被遥远区域进行的测量所影响。
之中至少有一个假设是不成立的。大量实验证明了贝尔不等式的正确性。
贝尔不等式终结了局域实在论：即量子力学必须违背局域论， 或者实在论，或者同时违背两者，这是没问题的。
以狭义相对论为基础的可分离性原则（局域性） 和以量子力学为基础的不可分离性原则形成了尖锐的对立！
意义：
（1）具有心灵感觉的体系是存在的，通过测量纠 缠粒子的性质来预测遥远粒子的性质。 （2）如果心灵感觉的体系不存在，那么存在隐变 量理论。 （3）但隐变量理论搞了几十年了，还没有什么建 树！ (４) 因此在当前及以后很长一段时间里，量子力 学是一种很好的理论，它最少是隐变量理论最好的近 似。
例如：电子在晶体表面的衍射实验中， P 反射回来的电子其动量是量子化的。一个 确定动量的自由电子波，其函数是平面波： i ( Et pr ) 1 p (r , t ) e 3/2 d (2 ) 反射回来的电子，其波函数必然是各种动量的平面波的线性叠加
(r , t ) c( p) p (r , t )

x x
A
2


i
e
(p x p 'x ) x
dx
' A 2 ( px p 'x ) ( px px )
2

归一化常数
A 1/ 2
归一化的平面波： 1/ 2 Px

1/2
i
e
( px x Et )
１、量子力学之Copenhagen诠释
应用： 如果心灵感觉体系（超距离相互作用）是存在的， 它们可用于：
（１）量子密码学与量子通讯，用纠缠粒子来传输 信息，那么任何窃听动作必定会留下痕迹
（２）量子信息与量子计算机，基于量子力学的态 叠加原理和量子相干性等量子逻辑进行并行运算。
当今量子信息学前沿：
（１）量子通讯，超距离传输信息（量子隐形传输）
“你是否相信，月亮只有在看着它的时候才真正存在？
量子测量 “上帝不玩弄骰子” 波函数的统计解释 “爱因斯坦，你不要告诉上帝怎么做，好不？” --玻尔
爱因斯坦-波多尔斯基-罗森悖论 （1935）
非定域相互作用： 万有引力是瞬时的超距离相互作用！ 实在难以想像没有生命的物质能够作用并影响其它物质， 不需要其他物质的传递机制，也不倚靠彼此接触……。 对于物质，引力应该是内在的、固有的、基础的，使得 一个物体能够作用于以真空相隔有限距离的另一个物体，不 需要通过任何媒介传递，这对我来说是一个特大荒谬。 我相信不会有任何在哲学方面具有足够思考能力的人士会 坠入其中。引力必定是由按照某种定律作用的媒介所造成的。 至于这媒介到底是物质的还是非物质的，在这里我留给我的 读者来思考。 ——牛顿
（２）正负电子在分开时，各自就具有固定的自旋，与测量无关。 这样，测量并不是必须的，可以通过某种可能存在的隐变量来描 述它。
悖论：
如果（１）对， 那心灵感应这种超距离作用是存在的，局域论是不对的 如果（２）对，测量并不是必须的， 那量子力学量子测量理论有问题，量子力学不完备！
悖论的可能解答：
１、存在隐变量理论： 可能存在某种描述大自然的、尚未被发现的完备理论， 量子力学只是在现阶段扮演了一种统计近似的角色，统计近 似了这个完备的理论。
黎曼: 作用力源于几何结构扭曲！ 爱因斯坦：引力源于时空弯曲
局域实在论： 爱因斯坦根据局域论认为： 这种鬼魅般的超距作用是不存在的， 因为它违反了信息传递速度的上限（光速c） 实在论认为： 真实的存在，是独立于人类感官、信仰、概 念与想法之外的，是不以人的意志为转移的。实 验观测到的现象必出自某种物理实在，与观测无 关。“月亮依旧存在，即使无人赏月”
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
光电信息学院 李小飞
第二章：波函数与Schrödinger方程
第二讲：态叠加原理(二）
１. 态叠加原理的表述 1. 若 1 , 2 , , n 是粒子的可能状态，它们的线 性叠加也是粒子的可能状态



e
x p p '
dx
★ 自由粒子平面波的归一化问题
自由粒子的波函数无法正常归一化
例3: 已知平面波 px Ae 解：
2
x
i
px x Et
, 求归一化常数
p ( x, t ) dx p ( x, t ) * p ' ( x, t ) dx
问题：根据量子测量理论： 在 “Alice”观测前，电子与正电子的自旋是不确定的， 向上向下的概率都是50%。 “Alice”的观测导致被观测的电子波函数坍塌，变成自 旋向上的。可是正电子并没有被测量，它的波函数为什么也 发生了坍塌，变成了自旋向下？
分析可能的原因：
（１）正电子有灵感（非定域相互作用），能在电子被测量时， 瞬时超距离地感受到这种测量，发生波函数坍塌 （有如心灵感应）
p (r )
1 (2 )
3/ 2
3/ 2
i
e
p r
(r , t )
1 (2 )
c( p, t )e

i
p r
dp
Fourier变换：
c( p, t ) 1 (2 )
3/ 2
(r , t )e
i
p r
dr
补：δ函数与平面波归一化
设想一条质量为1，长为2l 的均匀直线，显然直线的线密度为 ρ=1/2l；若将直线的中点放置于坐标轴的原点，有：
Alice在 太阳系 Alice与Ｂob相距150亿光年
Ｂob在 8C1433+63星系
π介子
Alice测量一个 体系（Ａ）的 所有量子态
信息传输
Ｂob可得到一 个量子态完全 相同的C
中国科技大学潘建伟教授已能实现单个光 子的多自由度多量子态300公里的隐形传输！
信息传输超光速！
当今量子信息学前沿：
（２）量子密码学， 量子态带上信息：态叠加原理
量子密码学方面的理论工作主要是基于非正交量 子态的叠加和混合的性质来构造算法
c1 1 c2 2
cn n ck k
k
量子信息的安全性：量子测量理论
测量导致波函数坍塌
c1 1 c2 2
k
cn n ck k
考虑l→0的情况，并记所得函数为δ(x)
对上式作Fourier变换：
1 δ x 2
作变量代换：


i

e
px
dp
1 δ p 2
i


i

e
xp
dx
1 δ x x0 2 1 δ p p ' 2


e
i
p x x0
dp
公式：
a 1/ 2 F (u ) ( ) e iaux f ( x ) dx 2 1
i
量子力学中的取： a
( p) 1 (2 )
1/ 2
e

px
( x)dx
量子力学态叠加原理： 任何一个波函数，都可以表示成各个动量 不同的平面波的叠加。利用Fourier变换实现的是空间域与动量域 之间的变换
EPR佯谬 π介子
假设一个零自旋中性π介子衰变成一个电子与一个正电子， 它们构成一个系统。这个系统的两个粒子各自朝着相反方向移动。 设电子移动到区域A，观察者“Alice”观测到电子沿着z轴的自旋 为+1/2和-1/2的概率各为50%。设想爱丽丝测量的为+1/2, 那么 “Bob”测得B区域正电子沿Z轴的自旋为-1/2的概率为100%。
k
当今量子信息学前沿：
（３）量子储存、量子计算机、…
量子比特(qubit):一个含两具基本量子态的系统， 根据态叠加原理，这个系统处于这两个基本量子态 的叠加状态，因此信息可由量子比特来存储
c11 c22
量子计算：机储存和处理量子比特。 经典计算机只能处理一组0110110…序列，但量子计算机 可同时处理多组态的01序列，因为根据态叠加原理，有：