七年级数学提取公因式法
湘教版数学七年级下3.2提公因式法教案
32 提公因式法第2课时提公因式法（1）教学目标：1.知识与能力：让学生了解公因式的意义，初步学会用提公因式法因式分解.2.过程与方法通过找公因式，培养学生的观察能力.3.情感态度与价值观在用提公因式法因式分解时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.教学难点：让学生识别多项式的公因式.教学过程：一、快乐启航1.什么叫做因式分解？2.请写出一个因式分解的例子.3.下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？（1）2x2+4=2（x2+2）；（2）2t2－3t+1=1t（2t3－3t2+t）；（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my.二、我会自主学习4.矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m （a+b+c），可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是因式分解.由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.即：几个多项式的公共的因式它们的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.5.写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb（m）（2）4kx－8ky（4k）（3）5y3+20y2（5y2）（4）a2b－2ab2+ab（ab）三、我会合作交流探究6.例1： 将下列各式因式分解：（1）x xy x +-352 （2）x x 642-（3）z xy y x 242128- （4）－24x 3－12x 2+28x .分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.7.议一议：①怎样找出多项式的公因式？总结出找公因式的一般步骤.首先找各项系数绝对值的最大公因数；如8和12的最大公约数是4.其次找各项中因式含有的相同的字母的最低次幂；如（3）中相同的字母有ab . ②想一想从例1中能否看出提公因式法因式分解与单项式乘以多项式有什么关系？ 提公因式法因分解式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.8.试一试：（1）把下列各式分解因式①8x －72=8（x －9）②a 2b －5ab =ab （a －5）③4m 3－6m 2=2m 2（2m －3）④a 2b －5ab +9b =b （a 2－5a +9）⑤－a 2+ab －ac =－（a 2－ab +ac ）=－a （a －b +c ）⑥－2x 3+4x 2－2x =－（2x 3－4x 2+2x ）=－2x （x 2－2x +1）（2）把3x 2－6xy +x 分解因式［生］解：3x 2－6xy +x =x （3x －6y ）［师］大家同意他的做法吗？［生］不同意.改正：3x 2－6xy +x =x （3x －6y +1）［师］后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.在分解因式时应如何减少上述错误呢？将x 写成x ·1,这样可知提出一个因式x 后，另一个因式是1.四、我会归纳总结1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma +mb +mc =m （a +b +c ）.这里的字母a 、b 、c 、m 可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法因式分解，关键在于观察、发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤（1）各项系数绝对值的最大公因数；（2）因式中相同的字母的最低次幂.4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.5.公因式相差符号的，如（x －y ）与（y －x ）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.五、快乐摘星台：1．下列各式的公因式为a 的是 ( )A.ax+ay+5B.3ma －6ma 2C.4 a 2 +10abD.a 2 －2a+ma2.（·邵阳）把22-4a a 因式分解的最终结果是（ ）A ．()2-2a aB ．()22-2a aC ．()2-4a aD ．()()-2+2a a3.（·泉州）因式分解：x x 52-= 。
七年级数学提公因式法知识点归纳
七年级数学提公因式法知识点归纳七年级数学提公因式法知识点归纳初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。
不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。
应届毕业生店铺为大家提供了七年级数学提公因式法知识点归纳，希望对大家有所帮助。
◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式;(化和为积)注意：1、因式分解对象是多项式;2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止;3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性;◆ 分解因式的.作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。
◆ 分解因式的一些原则(1)提公因式优先的原则.即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。
(2)分解彻底的原则.即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。
(3)首项为负的添括号原则.即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“-”号的括号，并遵循添括号法则。
◆ 因式分解的首要方法—提公因式法1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。
3、使用提取公因式法应注意几点：(1)提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。
(2)公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。
(找最高公因式)(3)对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。
◆ 提公因式法分解因式的关键：1、确定最高公因式;(各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积)2、提出公因式后另一因式的确定;(用原多项式的每一项分别除以公因式)。
浙教版七年级数学下册课件：4.2提取公因式法
18．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)] ＝(1＋x)2[1＋x] ＝(1＋x)3 (1)上述分解因式的方法是提__取__公__因__式__法_，共应用了__2__次．
9．下列添括号错误的是( D ) A．a2－b2－(b－a)＝a2－b2＋(a－b) B．(a＋b＋c)(a－b－c)＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] C．a－b＋c－d＝(a－d)＋(c－b) D．a－b＝－(b＋a)
10．(1)a－b－c＋d＝(a－b)－(__c_－__d___)＝a＋(_－__b_－__c_＋__d__)＝a－ (___b_＋__c_－__d__)．
3．多项式 2a2b3＋6ab2 的公因式是__2_a_b2__． 知识点 2：提取公因式法 4．把多项式 a2－4a 分解因式，结果正确的是( A ) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a－(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
5．下列多项式的因式分解，正确的是( B ) A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax) B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2) C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y) D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2) 6．(2017·丽水)分解因式：m2＋2m＝_m__(m__＋__2_)_．
7．分解因式： (1)4a3b2－10a2b3c.
解：原式＝2a2b2(2a－5bc)
(2)－49ab2y＋14a2bx＋7ab. 解：原式＝－7ab(7by－2ax－1)
七年级数学提取公因式法
代数方程
求解一元一次方程
01
在一元一次方程中，提取公因式法可以帮助我们化简方程，使
其更容易求解。
化简多元一次方程组
02
在多元一次方程组中，提取公因式法可以用于化简方程，简化
计算过程。
证明代数恒等式
03
在证明代数恒等式时，提取公因式法可以帮助我们化简等式两
边，使其更易于验证。
几何图形
计算面积和周长
特点
提取公因式法是一种简化多项式 的有效方法，它可以将多项式中 的相似项合并，使多项式更易于 理解和计算。
提取公因式法的重要性
01
02
03
提高计算效率
提取公因式法可以简化多 项式的计算过程，提高计 算效率。
培养数学思维
通过提取公因式法，可以 培养学生的数学思维和逻 辑推理能力，提高数学素 养。
应用广泛
出现。
在提取公因式后，应注意剩余部 分的符号变化，确保结果与原多
项式相等。
掌握基本代数规则
掌握基本的代数规则是正确使用提取公因式法的前提。 了解代数式的展开、合并同类项、乘法分配律等基本规则。
熟悉代数式的化简和变形技巧，能够灵活运用代数规则进行多项式的简化。
05 提取公因式法练习题与解 析
练习题一
解析
首先观察多项式$x^2 - 2x - 3x + 6$，可以发现$x$是所有项的公因式。然后提取 公因式$x$，得到$x(x - 2 - 3 + 6)$。
答案
提取公因式后，多项式变为$x(x - 1)$。
练习题二
解析
首先观察多项式$(x + y)^2 - (x - y)^2$，可以发现这是一个平方差公式，即$(a+b)(a-b)$。根据平方差公式， $(x + y)^2 - (x - y)^2$可以化简为$(x + y + x - y)(x + y - x + y)$。
提取公因式法 课件 2022—2023学年浙教版数学七年级下册
注意 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
典例2 把下列各式分解因式：
（1） ；
解:(1)6x3y28xy3z=2xy2·3x2
（2） ；
(2) .
（3） .
(3) .
例题点拨与公因式相同的项，提取公因式后，此项的剩余项为“1”，切勿遗漏致错.
知识点3 添括号法则
第4章 因式分解
4.2 提取公因式法
学习目标
1.了解公因式的概念，会找出多项式中的公因式.
2.能用提取公因式法分解因式.
3.理解添括号法则.
知识点1 公因式
1.公因式：一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.如 是多项式 各项的公因式.
括号前的符号
变号情况
括号前面是“+”号
括到括号里的各项都不变号
括号前面是“-”号
括到括号里的各项都变号
典例3 下面添括号正确的是( )
A. B. C. D.
A
[解析]
选项
添括号Biblioteka 结论A√B
×
C
×
D
×
本节知识归纳
中考常考考点
难度
常考题型
考点：利用提取公因式法分解因式.
2.确定公因式的方法：
公因式是各项系数（当系数是整数时）的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.
示例
确定公因式
典例1 指出下列多项式中各项的公因式:
（1） ；
解：(1) 各项的公因式是 .
（2） ；
（3） ．
(3) 各项的公因式是 .
(2) 各项的公因式是 .
知识点2 提取公因式法分解因式重点
提取公因式和公式法4种压轴题型全攻略—2023-2024学年七年级数学上册(沪教版)(解析版)
提取公因式和公式法4种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一因式分解的概念辨析】 (1)【考点二提取公因式法的应用】 (2)【考点三公式法因式分解的应用】 (2)【考点四提取公因式法和公式法的综合应用】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一因式分解的概念辨析】【例题1】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）【答案】A【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A. 从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；B.从左至右的变形不属于因式分解且计算错误，故本选项不符合题意；C. 从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D.从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：Ａ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解）是解此题的关键．【变式1】下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）【答案】A【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案． 【详解】解：A 、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，是因式分解，故符合题意；B 、没有把一个多项式转化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；C 、是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；D 、没有把一个多项式转化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键．A ．2a b +B ．2a b −+C ．a b －－D ．2a b －【答案】A 【分析】将2212a b ab −−提取公因式12ab æö÷ç-÷ç÷çèø，据此即可求解．【详解】解：()2211222a b ab ab a b −−=−+故选：A【点睛】本题考查提公因式法分解因式．用每一项除以公因式即可得到剩下的因式组成．【考点二 提取公式法的应用】【例题2】 把多项式2(2)(2)m a m a −+−分解因式等于（ ）A ． 2(2)()a m m −+B ． 2(2)()a m m −−C ． (2)(1)m a m −−D ． (2)(1)m a m −+【答案】C【分析】用提取公因式法即可进行因式分解．【详解】2(2)(2)m a m a −+−， 22)(2)(m a m a =−−−，(2)(1)m a m =−−．故选：C ．【点睛】本题主要考查了用提取公因式法进行因式分解，熟练掌握提取公因式的方法和因式分解的定义是解题的关键．【变式1】已知3ab =−，2a b +=，则22a b ab +的值是（ ）A ．6−B ．6C ．1−D ．1【答案】A【分析】先将22a b ab +因式分解，再把3ab =−，2a b +=代入计算即可． 【详解】解：∵3ab =−，2a b +=，∴()22326ab a a b ab b ==++−⨯=−，故选：A ．【点睛】本题主要考查了因式分解，求代数式的值，解题的关键是正确找出各项的公因式进行因式分解．【变式2】计算()()2022202322−+−所得结果是（ ） A ．20222B ．20222−C ．20232D ．40452 【答案】B【分析】先逆用同底数幂的乘法，再根据有理数的乘方运算和乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：()()2022202322−+− ()()()20222022222=−+−⨯−()()2022212=−+−⎡⎤⎣⎦20222=−故选：B【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方的意义以及乘法分配律的运用，熟练掌握乘相关运算法则是解题的关键．【变式3】若()23A a m n a m an ⋅+=+，则代数式A 的值为（ ） A ．aB ．nC ．2aD ．mn【答案】A 【分析】提出公因式，可得()32a m an a a m n +=+，即可求解．【详解】解：∵()32a m an a a m n +=+，()23A a m n a m an ⋅+=+，∴代数式A 的值为a ．故选：A【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．【考点三 公式法因式分解的应用】【例题3】把()22214a a +−因式分解得（ ） A ．()2214a a +−B ．()2214a a +−C ．()()2211+−a aD ．()221a − 【答案】C 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.【详解】解：()()()()()222222214121112a a a a a a a a ==−+−++−++；故选：C. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.A ．()()5a b a b ++B ．()()5a b a b −+C ．()()5a b a b +−D ．()()5a b a b −− 【答案】D【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答．【详解】a2-6ab+5b2=a2-6ab+9b2-4b2=(a -3b)2-(2b)2=(a -3b+2b)(a -3b -2b)=(a -b)(a -5b)；故选：D ．【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．【变式2】小李在计算2023202120232023−时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ）A ．2023，2024，2025B ．2022，2023，2024C ．2021，2022，2023D ．2020，2021，2022 【答案】B【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案．【详解】解：2023202120232023−20212=2023(20231)⨯−2021=2023(20231)(2023+1)⨯−⨯2021=202320222024⨯⨯∴能被2022，2023，2024整除，故选B ．【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【考点四 提取公因式法和公式法的综合应用】A ．我爱学B ．爱思考C ．思数学D ．我爱数学 【答案】D【分析】先将()()225151a x b x −−−因式分解，结合所对应汉字即可求解． 【详解】解：()()225151a x b x −−− =()()251x a b =−−()()()511x x a b =+−− ∵5，a b −，1x +，1x −，21x −，a ，分别对应下列六个字；我，爱，数，学，思，考，∴结果中一定有“我”，“爱”，“数”，“学”，∵根据代数式的书写规则，“5”一定在最前面，∴“我”在最前面，对照四个选项可知，只有D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查因式分解，且与现实生活联系创新，正确分解确定每个因式所对应的汉字为解题关键．【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯， 712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．【变式2】若a +b =1，则222a b b −+的值为（ ）【答案】D【分析】把222a b b −+进行变形，代入a+b=1，计算，再次代入即可求解． 【详解】解：222a b b −+()()2a b a b b=+−+2a b b =−+a b =+ 1=故选：D【点睛】本题考查了对式子变形求解，熟练掌握平方差公式是解题关键，本题也可以把a+b=1变形为a=1-b ，代入求值．【变式3】计算：2222222212345699100−+−+−++−．．．【答案】5050−【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：原式＝()()()()()()()() 1212343456569910099100−++−++−++⋅⋅⋅+−+()123499100=−++++⋅⋅⋅++10150=−⨯5050=−．【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【过关检测】一．选择题1.下列因式分解正确的是（）【答案】A【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．【详解】解：A、()()22224222121a a a a a−+=−+=−，故本选项正确，符合题意；B、()21a ab a a a b++=++，故本选项错误，不符合题意；C、()()22422a b a b a b−=+−，故本选项错误，不符合题意；D、()()()3322a b ab ab a b ab a b a b−=−=+−，故本选项错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．2．下列因式分解错误的是（）【答案】B【分析】分别把各选项分解因式得到结果，逐一判断即可．【详解】解：A 、()241644x x x x −+=−−，因式分解正确，故本选项不符合题意； B 、()222222221n n x y x y x y x −−=−，故B 因式分解不正确，故本选项符合题意；C 、422161(41)(41)x x x −=+−()()2(41)2121x x x =++−，因式分解正确，故本选项不符合题意；D 、2211()44ax ax a a x x −+−=−−+，212a x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，因式分解正确正确，故本选项不符合题意； 故选B ．【点睛】此题考查了因式分解，主要应用了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3.计算()()2022202122−+−所得的结果是（ ）A ．－2B ．2C ．－20212D ．20212 【答案】D【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．【详解】解：(-2)2022+(-2)2021=(-2)2021×(-2+1)()20212=−−20212=，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键．4．计算（﹣2）2005+3×（﹣2）2004的值为（ ）A ．﹣22004B ．22004C ．（﹣2）2005D ．5×22004【答案】B【分析】根据因式分解的提公因式法进行求解即可．【详解】解：()()()()20042004020052042233222=−⨯−+=−+⨯−；故选B ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【答案】B【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．【详解】解：原式=111111111111111111115566779999100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯⨯−⨯+⨯−⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=46576898100991015566779999100100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =41015100⨯ =101125． 故选：B ．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．6．多项式316a a −因式分解的结果是（ ）A ．()24a a −B ．()24a a +C ．()()44a a +−D ．()()44a a a +− 【答案】D【分析】先提取公因式，然后按照平方差公式因式分解即可得到答案．【详解】解：()()()32161644a a a a a a a −=−=+−，故选：D ．【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式法进行因式分解，掌握提取公因式法、平方差公式是解题的关键．二. 填空题【答案】()(21)x y a −−【分析】运用提取公因式法进行因式分解即可．【详解】解：()()2()(21)a x y x y x y a −−−=−−，故答案为：()(21)x y a −−．【点睛】本题主要考查提公因式法因式分解，掌握提公因式法分解因式的方法是解题的关键．【答案】30【分析】将所求式子提取公因式ab ，再整体代入求值即可．【详解】解：∵3a b +=−，10ab =−，∴()()2210330a b a a b a b b =+=⨯+−−=．故答案为：30． 【点睛】本题考查代数式求值，因式分解．利用整体代入的思想是解题关键．【答案】()()16x y x y −−−【分析】提公因式分解因式即可．【详解】解：()()216x y y x −+− ()()216x y x y =−−− ()()16x y x y =−−−故答案为：()()16x y x y −−−． 【点睛】本题考查利用提公因式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【答案】()21ax x −【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式，即可解答．【详解】解：322ax ax ax −+，()221ax x x =−+，()21ax x =−，故答案为：()21ax x −．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键． 11．如图，点B 在线段AC 上()BC AB >，在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，连接AM 、ME 、EA 得到AME △．当1AB =时，AME △的面积记为1S ；当2AB =时，AME △的面积记为2S ；当3AB =时，AME △的面积记为3S ；则20202019S S −= ．【答案】40392【分析】连接BE 发现，无论正方形BCEF 怎样变，△AME 面积都与△AMB 相等，因为都是以AM 为底，以AM 到BE 之间的距离为高．【详解】连接BE ，∵在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，∴BE ∥AM ．∴△AME 与△AMB 同底等高．∴△AME 的面积=△AMB 的面积．∴当AB=n 时，△AME 的面积为2n 1S n 2=，当AB=2019时，△AME 的面积为220191S 20192=⨯． 当AB=2020时，△AME 的面积为220201S 20202=⨯． ∴()22202020191202020192S S −=⨯−()()1=2020-2019202020192+ 4039=2 故答案为：40392【点睛】本题考查等面积法在几何题中的应用，善于发现BE 始终平行AM 是本题关键．【答案】20212【分析】利用提公因式法提公因式2021(2)−，即可得结果． 【详解】解：2021202220212021(2)(2)(2)(12)2−+−=−⨯−=． 故答案为：20212．【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法的应用；找出公因式是解题的关键，注意符号．【答案】4000 【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．【详解】解：2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =111111111111......111122331999199920002000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+−+−+−+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =1341998200019992001...223319991999200022000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =1200122000⨯=20014000故答案为：20014000．【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键．【答案】2【分析】把22020分成()2200119+，利用完全平方公式展开，计算即可．【详解】2222020200119200119−−⨯222(200119)200119200119+−−=⨯22222001220011919200119200119+⨯⨯+−−=⨯2200119200119⨯⨯=⨯2=．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了利用因式分解对有理数进行简便运算，熟练应用完全平方公式是解题关键．【分析】所求式子提取公因式变形，再利用完全平方公式化简，将a+b 与ab 的值代入计算即可求出值．【详解】3223a a b ab b +++=22()()a a b b a b +++ =22()()a b a b ++ =2()()2a b a b ab ⎡⎤++−⎣⎦=3×（9+2×2）=39，故答案是：39．【点睛】此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．【答案】-2021055【分析】运用平方差公式对原式进行分解因式，通过提取公因式对原式进行计算即可解答.【详解】解：12-22+32-42+52-62+…+20092-20102=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+（5-6）（5+6）+…+（2009-2010）（2009+2010）=－(1+2+3+4+5+6+…+2009+2010)= －(2011×1005)= －2021055.故答案为－2021055.【点睛】本题考查了用平方差公式和提取公因式进行因式分解，将原式进行化简是解题的关键.【答案】1【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题．【详解】40352﹣4×2017×2018＝（2017+2018）2﹣4×2017×2018＝20172+2×2017×2018+20182﹣4×2017×2018＝（2017﹣2018）2＝（﹣1）2＝1，故答案为1．【点睛】本题考查因式分解在有理数的运算中的应用，熟练掌握完全平方公式以及平方差公式的结构特征是解题的关键.三、解答题 18．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：例11(1)(1)(1)(1)(1)ax ax ax ax ax ax ax ax +++=+++=++2(1)ax =+；例2221(1)(1)(1)(1)(1)ax ax ax ax ax ax x ax ax α+++++=++++22(1)(1)ax ax ax =+++2(1)(1)ax ax =++3(1)ax =+．(1)例2分解因式的方法是________，共应用了________次．(2)若分解因式：220201(1)(1)...(1)ax ax ax ax ax ax ax ++++++++，则需应用上述方法________次，结果是________．(3)分解因式：23200320041(1)(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x x x x x −−−+−−−+−−+−．【答案】(1)提取公因式，2(2)2020，2021(1)ax +(3)()20051x −【分析】（1）根据分解过程即可填空；（2）将多项式提公因式即可进行因式分解；（3）按照上面规律分解，注意符号的变化规律．【详解】（1）解：根据分解过程，可知例2分解因式的方法是提取公因式，共应用了2次；（2）220201(1)(1)...(1)ax ax ax ax ax ax ax ++++++++()()2202011(1)...(1)ax ax ax ax ax ax =+++++++ ()220201(1)...(1)ax ax ax ax =+++++... 2021(1)ax =+∴应用了2020次，结果是2021(1)ax +；（3）23200320041(1)(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x x x x x −−−+−−−+−−+−()223200320041(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x x x =−−+−−−+−−+−3320032004(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x =−−−+−−+−420032004(1)...(1)(1)x x x x x =−−+−−+−...()20051x =−【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 19．（1）若100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，求A B −；（2）证明5799449999⨯+⨯−能被100整除．【答案】（1）132；（2）证明见解析【分析】（1）先提取公因数11，再把1007996⨯化成()()1001.5 5.51001.5 5.5+⨯−，把9951008⨯化成()()1001.5 6.51001.5 6.5+⨯−，进而利用平方差公式进行求解即可；（2）把原式提取公因式99，进而得579944999999100⨯+⨯−=⨯，由此即可证明结论．【详解】解：（1）∵100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，∴A B −100799611119951008=⨯⨯−⨯⨯()()()()111001.5 5.51001.5 5.51001.5 6.51001.5 6.5=⨯+⨯−−+⨯−⎡⎤⎣⎦()()2222111001.5 5.51001.5 6.5⎡⎤=⨯−−+⎣⎦()()11 6.5 5.5 6.5 5.5=⨯+⨯−11121=⨯⨯132=； （2）5799449999⨯+⨯−()9957441=⨯+−99100=⨯， ∵99100⨯能被100整除，∴5799449999⨯+⨯−能被100整除．【点睛】本题主要考查了因式分解在有理数简便计算中的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键．【答案】(1)214(2)2(3)1120(4)40000【分析】（1）根据提公因式法进行计算即可求解；（2）根据平方差公式将分母化简即可求解；（3）根据平方差公式化简括号内的，然后根据有理数的乘法进行计算即可求解；（4）根据完全平方公式进行计算即可求解．【详解】（1）原式21.4 2.321.4 2.721.45=⨯+⨯+⨯()21.4 2.3 2.75=⨯++21.410=⨯214=； （2）原式=()()1000075257525+−=1000010050⨯2=；（3）原式11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233441010=+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯⋯⨯+⨯− =3142531192233441010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=111210⨯=1120；（4）原式22195219555=+⨯⨯+2195()5=+2200=40000=．【点睛】本题考查了利用提公因式法、完全平方公式与平方差公式进行简便计算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．。
2021-2022学年七年级数学下册同步精品课件之因式分解——提公因式法(沪科版)
—— 提公因式法
知识回顾 ① 完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减) 这 两个数乘积的 2 倍.
② 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差. 拓展提高 ② 利用平方差公式计算的关键是： 确定公式中的 a 和 b 怎样确定 a 与 b：符号相同的项看作 a，符号相反的项看作 b. 确定 a 和 b 后套用公式即可.
变式练习：
ab= 3 ，a+b= 5 ，求多项式 a3b+2a2b2+ab3 的值.
8
4
巩固练习
4、已知 x2+3x-2=0，求代数式 2x3+6x2-4x 的值.
巩固练习
5、试说明 817-279-913 能被 45 整除.
一、因式分解
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式.
例 2 把下列各式分解因式：
(1) 2x(b+c)-3y(b+c)
解：原式= (b+c) ( 2x-3y )
确定公因式的方法： ① 定系数： 当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系 数的最大公因数； ② 定字母： 公因式中的字母应取各项都含有的相同的字母； ③ 定指数： 取相同字母的最低次数. ④ 看整体： 如果多项式中含有相同的多项式因式，则应将其 看成一个整体，不要拆开.
② 因式分解的结果是将多项式化为几个整式的积的形式. 积中 几个相同的因式的积要写成幂的形式.
③ 因式分解必须彻底，要把一个多项式分解到每一个因式都不 能分解为止.
对应练习
2、判断整下式列乘各法式哪些是整式乘法？因哪式些分是解因式分解？
9.13 提取公因式法课件(共45张PPT)七年级数学上册(沪教版)
a1ຫໍສະໝຸດ 指数： 相同字母的字母： 最低次数
相同的字母
所以公因式是 4a
找出多项式的公因式的一般步骤： 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 因数； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母的最低次数.
新课讲授
教材第40页
的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这 个多项式分解因式.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
因式分解和整式乘法的过程正好相反，是互为相反 的变形，即
a2 - b2
因式分解 整式乘法
(a + b)(a - b)
a2 - b2 = (a + b)(a - b) 等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积
当堂练习
12.下列因式分解正确的有( B ) ①3x2－6xy＋x＝x(3x－6y)＝3x(x－2y)； ②－5x＋5xy＝－5x(1＋y)； ③4x3－2x2y＝2x2(2x－y)； ④6a3b3＋4a2b2＋2ab＝2ab(3a2b2＋2ab)． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
提公因式后，可以利用整式乘法检查是否正确．此外，当提取 的公因式有“－”号时，应注意括号内各项要变号．
（2）x(a-b)+y(b-a)-3(b-a);
解：原式＝x(a-b)-y(a-b)+3(a-b) ＝(a-b)(x-y+3).
新课讲授
教材第43页
例题5 分解因式：
（3）6(x+y)2 -2(x-y)(x+y).
解：原式＝2(x+y)[3(x+y) －(x－y)] ＝2(x+y)(3x+3y －x + y) ＝2(x + y)(2x+4y) ＝4(x+y)(x+2y).
人教版数学七年级上册《提公因式法》教案
人教版数学七年级上册《提公因式法》教案一. 教材分析《提公因式法》是初中数学七年级上册的教学内容，主要让学生掌握提公因式法的基本概念、方法和应用。
通过学习，使学生能够熟练运用提公因式法分解因式，为后续学习整式的乘法、因式定理等知识打下基础。
二. 学情分析学生在小学阶段已经接触过简单的因式分解，但对提公因式法的概念和应用还不够了解。
因此，在教学过程中，需要从学生已有的知识出发，通过实例演示、分组讨论等方式，引导学生逐步掌握提公因式法的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法的基本概念、方法和应用。
2.过程与方法：通过实例分析、小组讨论等，培养学生的动手操作能力和合作意识。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：提公因式法的基本概念、方法和应用。
2.难点：如何引导学生发现和运用提公因式法分解因式。
五. 教学方法1.实例演示：通过具体的例子，让学生了解提公因式法的基本概念和应用。
2.小组讨论：分组让学生讨论如何运用提公因式法分解因式，培养学生的合作意识。
3.练习巩固：布置适量的练习题，让学生在实践中巩固提公因式法。
4.拓展延伸：引导学生思考提公因式法与其他数学知识之间的联系，提高学生的综合素质。
六. 教学准备1.教学PPT：制作含有详细讲解、实例演示和练习题的PPT。
2.练习题：准备适量的练习题，包括基础题和提高题。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的例子，引入提公因式法的基本概念。
例如，展示一个二次多项式，让学生尝试将其分解因式，从而引出提公因式法。
2.呈现（10分钟）利用PPT，详细讲解提公因式法的方法和步骤。
通过多个实例，让学生了解如何运用提公因式法分解因式。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试运用提公因式法分解给定的多项式。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（10分钟）布置适量的练习题，让学生在实践中巩固提公因式法。
《9.13提取公因式法》作业设计方案-初中数学沪教版上海七年级第一学期
《提取公因式法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《提取公因式法》的练习，使学生能够熟练掌握公因式的概念及提取方法，并能够运用此法解决实际问题，为后续学习多项式因式分解打下坚实基础。
二、作业内容1. 基础知识巩固：（1）理解公因式的概念，能够识别并准确找出多项式中的公因式。
（2）通过练习题，让学生掌握公因式法的基本操作步骤。
2. 实践应用：（1）设置多种形式的实际问题，要求学生运用所学知识，提取公因式解决实际问题。
（2）设置对比题和拓展题，以提升学生的逻辑思维和灵活运用能力。
3. 重点与难点突破：（1）针对《提取公因式法》的难点进行重点讲解，如复杂多项式的公因式提取。
（2）设计一系列突破难点的练习题，帮助学生掌握解题技巧。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，并确保答案的准确性和完整性。
2. 作业需在规定时间内完成，不得抄袭他人答案。
3. 对于不懂的题目，学生应主动查阅资料或向老师请教。
4. 作业格式需整洁，字迹工整，步骤清晰。
四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的情况进行评分，并给出详细的评语。
2. 对于优秀的作业，教师将在班级内进行展示，并给予一定的奖励。
3. 对于错误较多的题目，教师需在下一课时进行详细讲解和纠正。
五、作业反馈1. 教师将对作业中普遍存在的问题进行总结，并在课堂上进行讲解。
2. 对于个别学生的问题，教师将通过个别辅导或课后答疑的方式给予解答。
3. 鼓励学生之间互相交流学习心得和解题技巧，形成良好的学习氛围。
六、后续学习建议1. 继续巩固《提取公因式法》的基本知识和技巧，为后续学习多项式因式分解打下基础。
2. 鼓励学生多进行实际问题的练习，提高解决实际问题的能力。
3. 引导学生进行拓展学习，如了解其他因式分解的方法等。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 加深学生对提取公因式法原理的理解与掌握；2. 提高学生的因式分解和解题技巧，加强实际应用能力；3. 培养学生在数学学习中发现问题、分析问题和解决问题的能力。
冀教版数学七年级下册11.2《提公因式法》教学设计
冀教版数学七年级下册11.2《提公因式法》教学设计一. 教材分析冀教版数学七年级下册11.2《提公因式法》是整式乘法中的一个重要内容，主要让学生掌握提公因式法分解因式的技巧。
通过本节课的学习，学生能够理解提公因式法的概念，掌握提公因式法分解因式的步骤，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了整式的基本概念，如单项式、多项式等，并了解了整式乘法的基本法则。
但学生在提公因式法的理解和运用上还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，引导学生主动探究，突破重难点。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握提公因式法分解因式的技巧，能运用提公因式法分解简单的多项式。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳、实践等过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学的美妙。
四. 教学重难点1.重点：提公因式法分解因式的步骤和技巧。
2.难点：如何引导学生发现并运用提公因式法分解因式，以及在不同情境下灵活运用提公因式法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、分组讨论法、归纳总结法等，引导学生主动探究，合作学习，提高学生的学习效果。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含案例、步骤、练习等环节的PPT，方便学生直观地了解提公因式法的应用。
2.学习资料：为学生准备相关的学习资料，以便学生在课堂上进行分组讨论。
3.黑板：准备一块黑板，用于板书解题过程和总结知识点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题，引导学生思考如何解决这个问题。
例如，展示一个多项式，询问如何将其分解因式。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现提公因式法的定义和步骤，让学生初步了解提公因式法。
同时，通过PPT展示一些典型案例，让学生观察和分析，引导学生发现提公因式法的规律。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试运用提公因式法分解一些简单的多项式。
七年级数学下册《因式分解的意义提公因式法》优秀教学案例
（一）知识与技能
1.让学生理解因式分解的概念，掌握提公因式法的基本步骤，能够熟练运用该方法对多项式进行因式分解。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，让学生学会运用因式分解解决一些简单的实际问题。
3.通过因式分解的学习，使学生掌握数学中的分解思想，提高他们分析问题和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课的环节，我将以一个简单的数学问题引发学生的思考：“同学们，我们之前学过如何将一个数分解成几个数的乘积，那么对于多项式，我们是否也可以这样做呢？”通过这个问题，激发学生对因式分解的好奇心，从而引出本节课的主题。
接着，我会简要回顾整式的乘法运算，引导学生发现整式乘法与因式分解之间的联系，为学习因式分解打下基础。
2.问题导向的探究学习
本案例以问题导向的方式引导学生主动探究、发现数学规律。通过一系列具有启发性的问题，如因式分解的意义、操作步骤等，让学生在思考、讨论中逐步掌握因式分解的知识。这种教学策略有助于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作的互动交流
小组合作是本案例的又一亮点。在小组合作中，学生相互讨论、共同探究，充分发挥每个人的优势，共同解决问题。这种互动交流的学习方式不仅提高了学生的学习效果，还培养了他们的团队协作精神和沟通能力。
（二）过程与方法
1.采用启发式教学方法，引导学生通过自主探究、小组合作等方式，发现并理解因式分解的意义。
2.设计丰富的教学活动，如实例分析、互动讨论等，让学生在实践中掌握提公因式法的运用，提高他们的运算能力和逻辑思维能力。
3.创设生活情境，让学生在实际问题中运用所学的因式分解知识，培养他们将理论知识与实际相结合的能力。
（二）问题导向
七年级数学上册 9.13《提取公因式法》课件
观察分析 归纳(guīnà)总结
添括号法则(fǎzé)：括号前面是“+” 号，括到括号里的各项都不变号；
括号前面是“-”号，括到括号 里的各项都变号。
第二十九页，共三十一页。
第三十页，共三十一页。
内容(nèiróng)总结
9.13 提取公因式法。（1）3a(a+2)=3a2+6a。（5）a2-2ab+b2=(a-b) 2。（7）2ab2 –ab=2ab （b-0.5）。（2）-x2+xy-xz。（3）2x3+6x2+2x。现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法 (jiě fǎ)如下：。解:2x3+6x2+2x。如:3a2c-6a3c=3a2(c-2ac)。添括号法则：括号前面是“+”号，括到 括号里的各项都不变号。观察分析 归纳总结
(1) 5x-5y+5z =（
）
(2) 7x2-21x= （
）
(3) 2m2n-6mn2= （
）
(4) 24x3-12x2+28x= （
）
第二十二页，共三十一页。
☞
把下列(xiàliè)各式分解因式
(1)-am2-an (2)x4y2-4x2y-xy (3)8a3b2-12ab3c+abc (4) a2b-2ab2+ab
注意：如果多项式的第一项的系数是负的，
一般(yībān)要提出“-”号，使括号内的第
一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项 式的各项都要变号。
练习 : (liànxí) 1、把-4x2+8ax+2x 分解因式
2、把-3ab + 6abx - 9aby分解因式
湘教版数学七年级下册《3.2提取公因式法(1)》说课稿
湘教版数学七年级下册《3.2提取公因式法（1）》说课稿一. 教材分析湘教版数学七年级下册《3.2提取公因式法（1）》这一节，主要介绍了提取公因式法的基本概念、方法和应用。
通过本节课的学习，使学生掌握提取公因式法的基本原理，能够正确运用提取公因式法进行因式分解，为后续学习更高级的数学知识打下坚实的基础。
本节课的内容主要包括：提取公因式法的概念、提取公因式法的基本步骤、提取公因式法的应用实例等。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握提取公因式法，提高解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了整式的加减、乘法等基础知识，对整式的运算法有了初步的了解。
但学生对提取公因式法这一概念可能比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
同时，学生可能对因式分解这一概念有一定的了解，但提取公因式法是因式分解的一种特殊形式，学生需要通过对比和分析，理解提取公因式法的特点和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解提取公因式法的概念，掌握提取公因式法的基本步骤，能够正确运用提取公因式法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，学生能够培养逻辑思维能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学学科的兴趣，培养积极的学习态度。
四. 说教学重难点1.重点：提取公因式法的概念和基本步骤。
2.难点：如何正确运用提取公因式法进行因式分解，以及提取公因式法的应用。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、实例分析法、练习法等教学方法。
通过教师的讲解和引导，使学生理解提取公因式法的概念和步骤；通过实例分析和练习，让学生亲自动手操作，培养学生的实践能力。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，丰富教学形式，激发学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入：通过复习整式的加减、乘法等基础知识，引出提取公因式法这一概念。
2.讲解：讲解提取公因式法的概念、基本步骤和应用实例。
七年级数学提公因式法知识点
七年级数学提公因式法知识点一、概述提公因式法是数学中的一种常见方法，用于简化多项式的表达形式。
该方法通过找出多个项之间的公因子，将它们提取出来并合并为一个因式，从而简化多项式的表达形式。
提公因式法不仅可以简化计算过程，还能够帮助我们更好地理解多项式的结构，提高解题效率。
二、提公因式的基本原则提公因式法的基本原则是找出多个项之间的公因子，并将它们提取出来合并为一个因式。
在提取公因子的过程中，需要遵循以下基本原则：1.提取公因子时，要确保公因子是最大公因子。
最大公因子是指能够整除所有项的最大整数因子。
2.提取公因子时，要注意多项式中项的系数。
如果一个项没有系数或者系数为1，则表示该项没有公因子。
3.提取公因子时，要考虑多项式中各项的指数。
只有当所有项的指数相同时，才能够提取公因子。
4.提取公因子时，要保持多项式的符号不变。
即如果多项式中的项为正数，则提取公因子时也应该保持为正数；如果多项式中的项为负数，则提取公因子时也应该保持为负数。
三、提公因式的步骤提公因式法的具体步骤如下：1.观察多项式中的各项，找出它们之间的公因子。
2.将公因子提取出来合并为一个因式。
3.将原多项式中的各项除以公因子，得到简化后的多项式。
4.检查简化后的多项式，看是否还有进一步提取公因子的可能。
5.重复步骤1至4，直到多项式无法再提取公因子为止。
四、提公因式的例题演练下面通过几个例题来演练提公因式法的具体步骤。
例题1：将多项式2x3+4x2进行提公因式。
解答：观察多项式中的各项，发现它们之间的公因子是2。
因此，可以将2提取出来合并为公因式。
2x3+4x2=2(x3+2x2)简化后的多项式为2(x3+2x2)。
例题2：将多项式3xy2+6xy进行提公因式。
解答：观察多项式中的各项，发现它们之间的公因子是3x。
因此，可以将3x提取出来合并为公因式。
3xy2+6xy=3x(y2+2y)简化后的多项式为3x(y2+2y)。
例题3：将多项式4a2bc−8ab2c进行提公因式。
沪教版(上海)七年级数学第一优秀教学案例：9.13提取公因式法
作为一名特级教师，我深知教学内容与过程的详细规划对于学生的学习至关重要。在教学过程中，我会根据学生的实际情况，灵活调整教学内容和过程，确保每一个学生都能在课堂上充分发挥自己的潜能。同时，我会注重培养学生的学习兴趣和自信心，让他们在学习过程中感受到数学的魅力，为他们的未来发展奠定坚实的基础。在教学实践中，我会不断总结经验，反思教学，努力提高教学质量，为学生的成长付出辛勤的努力。
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结提取公因式法的关键点。
2.学生进行自我归纳，梳理出提取公因式法的步骤和注意事项。
3.教师给出总结性发言，强调提取公因式法在数学学习中的地位和作用。
（五）作业小结
1.布置针对性的作业，让学生巩固提取公因式法的应用。
2.强调作业的重要性，提醒学生认真对待，及时巩固所学知识。
2.通过示例，讲解如何找到公因式，并将多项式进行因式分解。
3.强调提取公因式法在简化运算和解决问题中的重要性。
（三）学生小组讨论
1.学生分组进行讨论，分享各自对提取公因式法的理解和心得。
2.教师参与讨论，引导学生深入思考，纠正理解上的误区。
3.通过小组合作，让学生共同探索提取公因式法的应用技巧。
（四）总结归纳
2.学生通过参与课堂讨论、提问、解答问题，提高自主学习和合作学习的能力。
3.学生通过练习不同类型的题目，巩固提取公因式法的应用，提高解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够积极投入到课堂学习中，对提取公因式法产生兴趣，树立自信心。
2.学生在解决问题过程中，能够克服困难，培养坚持不懈、勇于挑战的精神。
3.学生能够理解提取公因式法在实际生活中的应用，认识到数学与生活的紧密联系，提高学习数学的积极性。
第10讲 提取公因式法、公式法分解因式(原卷版)-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假精品课(沪
第10讲 提取公因式法、公式法分解因式模块一：提取公因式法1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．3、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．4、提取公因式法：多项式ma mb mc ++各项都含有公因式m ，可把公因式m 提到外面， 将多项式ma mb mc ++写成m 与a b c ++的乘积形式，此法叫做提取公因式法．5、提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式．（2）提出公因式．（3）写成m 与a b c ++的乘积形式．6、提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净；（2）视“多”为“一”；（3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．【例1】 分解因式：（1）2368a a -；（2）322618m m m -+-； （3）2124ad bd d --+．【例2】 分解因式：（1）32228x y x y +；（2）22462a b ab ab --； （3）3121326m n m n m n x y x y x y -+--+．【例3】 把下列各式分解因式：（1）()()33113510m m ab a b a b b a +----； （2）()()()223222122418ab x y a b y x ab y x -+-+-．【例4】 分解因式：()()93168a x yb y x -+-． 【例5】 试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除．【例6】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++．模块二：公式法1、平方差公式：()()22a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．2、完全平方公式：()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=- ①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．【例7】 分解因式：（1）()()2222a b a b +--；（2）()()227216a b a b --+； （3）()()2294a b c d a b c d +++--+-．【例8】 分解因式：()()222248416x x x x ++++．【例9】 把下列各式分解因式：（1）()222224x y x y -+； （2）()()22114m n mn --+．【例10】 利用分解因式证明：712255-能被120整除．1. （2022秋·上海·七年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．231(3)1--=--x x x xB ．222()2x y x xy y +=++C ．2()a ab a a a b -+=-D ．229(3)(3)-=+-x y y x x y(2)421++．x x。
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3( x 2) （提取公因式）
(2)
7 x 2 21x 7 x x 7 x 3 （找公因式） 7 x( x 3) （提取公因式）
(3)
（提取公因式） 8a 3b 2 12ab3c ab ab 8a 2b ab 12b 2c ab 1 ab(8a 2b 12b 2c 1) （找公因式）
观察分析：
ab bc b(a c) 3x 2 x x(3x 1) my 2 ny y y (my n 1)
提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式 , 那么就可以把这 个公因式提出来, 从而将多项式化成两个因式乘积的形式, 这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2
2 3 y a a2 ) ( 3a y 3ay 6 y
35x3 yz 14 x 2 y 2 z 21xy2 z 2 7 xyz ( 5 x 2 2 xy 3 yz )
例1. 将下列各式分解因式：
(2) 7 x 2 21x 3x 6 3 2 3 (3) 8a b 12ab c ab (4) 24 x 3 12 x 2 28 x (1) 3x 6 3x 3 2（找公因式：把各项写成公因式与一个单项式 解： (1) 的乘积的形式。）
(4)
24 x3 12 x 2 28x (24 x3 12 x 2 28x) （先提出“—”号） (4 x 6 x 2 4 x 3x 4 x 7) 4 x(6 x 2 3x 7)
3x 6 3( x 2)
7 x 2 21x 7 x( x 3) 8a 3b 2 12ab3c ab ab(8a 2b 12b 2c 1) 24 x 3 12 x 2 28 x 4 x(6 x 2 3x 7)
2. (1) 多项式 ab bc各项都含有相同的因式吗? (相同因式 b) 多项式 3x 2 x 呢? (相同因式 x) 2 my ny y呢? (相同因式 y) 多项式 (2) 动手试一试: 将 (1) 中的多项式分解因式，写成几个整式 的乘积。
ab bc b(a c) 3x 2 x x(3x 1) my 2 ny y y (my n 1)
敬请各位老师指导，谢谢！
例如： (1) 多项式 (2) (3) (4)
1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的相 同因式, 叫做这个多项式各项的公因式.
ab bc 的公因式是 b 多项式 3x 2 3 y 的公因式是 3 多项式 7 a 2 21a 的公因式是 7a 多项式 3 x 3 6 x 2 的公因式是 3 x 2
(2) 分解因式： 4 x 4 正确解答：4 x 4
错因分析： 括号内还有公因式没提出来，导致分解不彻底
1. 提公因式法是最基本的分解因式的方法 之一，其一般步骤是什么？
2. 提公因式法的关键是什么？ 3. 检验分解因式正误的方法有那些？
4.你还有什么新的认识与体会？
1. 习题
1.
2.
2. 想一想： 公因式可能是多项式吗？如果可能， 那又当如何分解因式呢？举例并尝试。
(1) (3) (2)
解：
(1) (2) (3)
12 xyz 9 x 2 y 2 3xy(4 z 3xy) 3a 2 y 3ay 6 y 3 y(a 2 a 2) 35x3 yz 14 x 2 y 2 z 21xy2 z 2 7 xyz(5x 2 2 xy 3 yz )
(1) 用提公因式法分解因式后，括号里的多项式中有没有公因式？ ( 不能再有公因式 )
(2) 用提公因式法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相 比，有没有什么变化？
( 项数相等，常利用这一点检验提公因式时是否出现“漏项”的错 误) (3) 以上4个式子从左向右的变形过程是提公因式分解因式 , 那从右向左的 变形过程是 单项式乘多项式 ，所以它们之间的关系是 互逆的 ； 因式的结果是否正确，我们可以采用什么方法呢？ ( 利用单项式乘多项式的法则乘回去，进行验证 )
1. 将下列各式分解因式：
(1)
8a 3b 2 12ab3c 4ab 2 (2a 2 3bc)
3x 2 6 xy x x(3x 6 y 1)
(2)
(3) (4)
4m3 16m 2 26m 2m(2m2 8m 13)
24 x 2 y 12 xy2 28 y 3 4 y(6 x 2 3xy 7 y 2 ) 12ab 4 4ab 4ab(2a 2b 3b3 )
1.填空:（口答）
(1)
2R 2 ( R r )
1 1 2 1 2 2 g (t12 t 2 ) (3) gt1 gt 2 2 2 2
(5)
1 2 1 2 1 2 (4) gt1 gt 2 g (t12 t 2 ) 2 2 2
还 可 能 错 哪
2. 辨别正误并指明错因：
(1) 分解因式： 8a 3b 2
错因分析：由于“漏乘”所致 正确解答： 8a
3 2
b 12ab 4 4ab 4ab(2a 2b 3b3 1) 2 x 3 y x 3 (4 x 2 y ) 2 x 3 y 2 x 3 (2 x y )
1.分析下列计算是整式乘法中的哪一种 并求出结果: (口答)
(1) (2) (3) (4)
3( x 2) 3x 6 7 x( x 3) 7 x 2 21x 4 x(6 x 2 3x 7) 24 x 3 12 x 2 28 x ab(8a 2b 12b 2c 1) 8a 3b 2 12ab3c ab
1.写出下列多项式各项的公因式：
(1)
(2) (3)
8x 72
a 2 x 2 y axy2
公因式
8
公因式
公因式
axy
2x 2ab
)
公因式
4 x 2 2 x 2 x3
(4)
6a 2b 4a 3b3 2ab
2.把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)
12 xyz 9 x 2 y 2 3 xy ( 4 z 3xy
是字母 是数字系数 是数字系数与字母的乘积 是数字系数与字母的乘积
2.观察上述举例，分析并猜想：
确定一个多项式的公因式时，要从 数字系数 和 字母 考虑： (1) 如何确定公因式的系数？
分别进行
公因式的系数应取各项系数的最大公约数。
(2) 如何确定公因式中的字母？那字母的指数该怎么定呢？ 公因式中的字母取各项相同的字母，而且各相同字母的指数取其次数 最低的。
(6)
3x 3 6 x 2 3 x 2 ( x 2)
12 xyz 9 x 2 y 2 35x3 yz 14 x 2 y 2 z 21xy2 z 2
7a 2 21a 7a ( a 3 )
3a 2 y 3ay 6 y
都错在哪了？ 哪儿有困难？
2.把下列各式分解因式：（板演）