2013届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第五节 椭圆 理

第八章 第五节 椭圆

一、选择题

1．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 2

9＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．

在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( ) A ．6 B ．5 C ．4

D ．3

解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.

答案：A

2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2

＋y 2

＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2

41的交点个数为 ( )

A ．至多一个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2

＋y 2

＝4没有交点，

∴4

m 2＋n

2>2，∴m 2

＋n 2

<4，∴m 29＋n 24

4＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 2

41的内部，

∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2

4＝1的交点个数为2个．

答案：B

3．(2012²潍坊模拟)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2

－y 24

＝1有公共的

焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则 ( )

A ．a 2＝

13

2

B ．a 2＝13

C ．b 2

＝1

2

D ．b 2

＝2

解析：如图所示

设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a

3

，因tan ∠COx ＝2， ∴sin ∠COx ＝

2

5，cos ∠COx ＝1

5

，

则C 的坐标为(a

35，2a

35

)，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∵5＝a 2－b 2，∴b 2

＝12.

答案：C

4．已知椭圆x 2

4

＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且

1M F ² 2M F

＝0，则点M 到y 轴的距离为( ) A.23

3

B.26

3

C.3

3

D. 3

解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则 1M F ² 2M F

＝

(－3－x ，－y )²(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2

＝3 ①.又因为点M 在椭圆上，故

x 2

4

＋y 2

＝1，即y 2

＝1－x 2

4 ②.将②代入 ①，得34x 2＝2，解得x ＝±26

3.故点M 到y 轴的距离为

26

3

. 答案：B

5．方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短

轴上的一个端点，若3 1D F ＝ D A

＋2 2D F ，则该椭圆的离心率为 ( )

A.12

B.13

C.14

D.15

解析：设点D (0，b ), 则 1D F ＝(－c ，－b )， D A

＝(－a ，－b )， 2D F ＝(c ，－b )，由3 1D F ＝ D A ＋2 2D F 得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15

.

答案：D

6．已知椭圆E ：x 2m ＋y 2

4＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝

kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是 ( )

A ．kx ＋y ＋k ＝0

B ．kx －y －1＝0

C ．kx ＋y －k ＝0

D ．kx ＋y －2＝0

解析：A 选项中，当k ＝－1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆E 截得的弦长相等；B 选项中，当k ＝1时，两直线平行，两直线被椭圆E 截得的弦长相等；C 选项中，当k

＝1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆E 截得的弦长相等．

答案：D 二、填空题

7．(2012²盐城模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭

圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是________．

解析：∵∠BAO ＋∠BFO ＝90°， ∴∠BAO ＝∠FBO . ∴

OB OA ＝OF OB

. 即OB 2

＝OA ²OF ， ∴b 2＝ac . ∴a 2－c 2－ac ＝0. ∴e 2

＋e －1＝0. ∴e ＝

－1±1＋42＝－1±5

2

. 又∵0

5－12. 答案：

5－1

2

8．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 2

16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，

则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．

解析：由椭圆定义知|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2³5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5， 所以|PM |＋|PF 1|≤2³5＋5＝15. 答案：15

9．(2011²浙江高考)设F 1，F 2分别为椭圆x 2

3

＋y 2

＝1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，

若 1F A ＝5 2F B

，则点A 的坐标是________．

解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为

(－2，0)、(2，0)，可得1F A ＝(m ＋2，n ) 2F B ＝(c －2，d )．∵ 1F A

＝5