流体力学第四章(20160223)
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流体力学4
第四章
流体动力学基础
u f ( x, y, z, t ), x, y, z f (t )
u x u x u x 1 p dux 1 u x ※则： X dt dx dy dz x dt dt t x y z u y u x u x u z ux uy uz t x y z
— 推导惯性和非惯性参考 1 p a b p dy 2 y 系（相对一个惯性系如 dz dy 物体转动或匀加速运动 z o 参照系）中伯努力方程。
z
c
dx
p
1 p dy 2 y
设：六面体中心 a 点压 力为 p( xyz) ，平均密度 ( xyz)，加速度 a( xyz) 。
u z dz u z ) ( p 2 ) z 下面 ( p 2 z 2 z
zx dz zx z 2
zy dz zy z 2
第四章
流体动力学基础
二、粘性流体运动方程 根据：
F
x
max ,
F
y
may ,
F
z
maz
u x ( p 2 ) u x dx x 则： Xdxdydz [( p 2 ) ]d ydz x x 2 u x ( p 2 ) u x dx x [( p 2 ) ) d ydz x x 2 zx dz zx dz [( zx )dxdy ( zx ) dxdy ] z 2 x 2 yx dy yx dy dux [( yx ) ( yx ) dxdy ] m y 2 y 2 dt
u z 2 x ( y u x 2 y ( z
2
流体力学第四章
由连续方程 V2
2
A1 V1 A2
，代入上式，有
A V A h j (1 1 ) 2 1 ，即1 (1 1 ) 2 A2 2 g A2
如以
V1
A2 则有 V2代入，则有 A1
2 A2 2 V2 h j ( 1) ， 即 2 ( A2 1) 2 A1 2g A1
4.3.2 混合长度理论
4.3.3 湍流的速度分布 1、粘性底层（层流底层）
dv （1） 很大； dy
（2）粘性底层的厚度δ很小。 2、湍流核心
dv （1） dy
很小；
（2）区域大。 3、 过渡层—有时可将它算在湍流核心的 范围。
速度分布：在粘性底层中速度分布是直 线规律；湍流核心中为对数关系。 粗糙度 Δ 管壁凹凸不平的平均尺寸。 水利光滑管 δ>Δ 粗糙度对湍流核心几乎没有影响。 水利粗糙管 δ<Δ 粗糙度的大小对湍流特性产生直接影响。
《流体力学》
教学课件
第4章 流体在圆管中的流动
1 流体在固体内部的管中流动和缝隙中流动; 2 流体在固体外部的绕流; 3 流体在固体一侧的明渠流动; 4 流体与固体不相接触的孔口出流和射流。
4.1 雷诺实验
雷诺实验
雷诺实验发现 1.用不同的流体在相同直径的管道中进行实验，
所测得的临界速度 vk 是各不相同的；
T
有
W W W ，代入上式，得
T
1 1 W W W dt W W dt T0 T0 T 1 所以 T W dt 0 0
T
即脉动量的时均值
W 0
运用时均统计法就将湍流分为两个组成部分：一部分是用时均值表示 的时均流动；另一部分是用脉动值表示的脉动运动。时均流动代表运动 的主流，脉动反映湍流的本质。
流体力学(经典课件)第4章
第4章 量纲分析与 相似理论
第4章 量纲分析与相似理论
第4章 量纲分析与相似理论
第4章 量纲分析与相似理论
第4章 量纲分析与相似理论
★本章重点掌握：
量纲分析方法（瑞利法、 定理）
相似理论及其应用（相似准则、模型实验设 计）
§4.1 量纲分析的基本概念
一、单位与量纲
单位：表征各物理量的大小。 如长度单位m、cm、mm； 时间单位小时、分、秒等。 量纲：表征各物理量单位的种类。 如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示； 小时、分、秒等同属于时间类，用T表示； 公斤、克等同属于质量类，用M表示。
F (q1, q2 ,..., qn ) 0
而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些变量成为(n – m)个无量纲π数的函数关系，即
(1, 2 ,..., nm ) 0
例题2
§4.3 流动相似的基本概念
§4.3 流动相似的基本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定比尺。
§4.4 流动相似的准则
故得雷诺准则方程：
v l vl vl 1 or ( ) p ( ) m
即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两 者对应的雷诺数 Re vl / 必须相等.
§4.4 流动相似的准则
三、欧拉准则：压力相似
要保证原型流动和模型流动的压力相似，则根据 动力相似要求有：
F F
p
I
式中，压力比尺：
F
p
( pA) p ( pA) m
p l
2
§4.4 流动相似的准则
故得欧拉准则方程：
p v
2
p p 1 or ( 2 ) p ( 2 ) m pv pv
第4章 量纲分析与相似理论
第4章 量纲分析与相似理论
第4章 量纲分析与相似理论
第4章 量纲分析与相似理论
★本章重点掌握：
量纲分析方法（瑞利法、 定理）
相似理论及其应用（相似准则、模型实验设 计）
§4.1 量纲分析的基本概念
一、单位与量纲
单位：表征各物理量的大小。 如长度单位m、cm、mm； 时间单位小时、分、秒等。 量纲：表征各物理量单位的种类。 如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示； 小时、分、秒等同属于时间类，用T表示； 公斤、克等同属于质量类，用M表示。
F (q1, q2 ,..., qn ) 0
而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些变量成为(n – m)个无量纲π数的函数关系，即
(1, 2 ,..., nm ) 0
例题2
§4.3 流动相似的基本概念
§4.3 流动相似的基本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定比尺。
§4.4 流动相似的准则
故得雷诺准则方程：
v l vl vl 1 or ( ) p ( ) m
即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两 者对应的雷诺数 Re vl / 必须相等.
§4.4 流动相似的准则
三、欧拉准则：压力相似
要保证原型流动和模型流动的压力相似，则根据 动力相似要求有：
F F
p
I
式中，压力比尺：
F
p
( pA) p ( pA) m
p l
2
§4.4 流动相似的准则
故得欧拉准则方程：
p v
2
p p 1 or ( 2 ) p ( 2 ) m pv pv
流体力学第四章
时均速度 u
脉动速度u’ u' u u
1 t0 T udt t 0 T
4-3 圆管内紊流流动规律
一、紊流的基本特征及时均分析法
时均分析法 时均压强与脉动压强 1 t0 T p' p p p pdt t 0 T 准定常流——紊流流场中，任意定点处的时均参数 (u ，p） 不随时
4-4 沿程阻力损失的分析和计算
二、沿程损失计算
l c2 hf d 2g 64 层流流动，沿程阻力系数 Re f (Re) 紊流流动，沿程阻力系数不仅与雷诺数有关，还与相对粗糙度 d
f (Re， )
d
有关
尼古拉兹实验与实验曲线 人工粗糙管：在圆管内壁上涂胶，然后贴上具有相同半径的球形沙子， 造成不同粗糙度的圆管
4-4 沿程阻力损失的分析和计算
二、沿程损失计算
莫迪图——确定工业实际管道“λ”的曲线图 莫迪根据尼古拉兹实验结果，结合经验公式及工业管道实验总结绘 出的“λ”随“Re”、“ε/d”而变化的关系曲线图 ' ”为当量绝对粗糙度 图中“
4-4 沿程阻力损失的分析和计算
二、沿程损失计算
4-4 沿程阻力损失的分析和计算
二、沿程损失计算
4-4 沿程阻力损失的分析和计算
二、沿程损失计算
尼古拉兹实验与实验曲线 Re 2000 ），层 Ⅰ区（ab线， 流区λ=f（Re） 2000 Re 4000 ）， Ⅱ区（bc线， 过渡区λ=f（Re） 8 7 4000 Re 27 ( d / ) Ⅲ区（cd线， ), 紊流光滑区λ=f（Re） 8 .85 27(d / ) 7 Re 4160(d / 2 ) 0） Ⅳ区（cd、ef之间曲线族， , 紊流过渡区λ=f（Re，ε/d） Re 4160(d / 2 ) 0.85 ）,紊流粗糙区λ=f（ε/d） Ⅴ区（ef右侧水平的直线族 尼古拉兹实验曲线意义和不足 意义——揭示了管道流动中“λ”随 “Re”、“ε/d”的变化关系，为 计算“hf”奠定了基础。 不足——人工粗糙管与工业实际管道的粗糙情况不同，上面的结果不 便直接应用
流体力学学习课件第四章流体动力学
x y z
dt
dt
dt
1、公式推导前提条件：恒定流（条件之一）即
p 0, u 0 ux uy uz 0
t
t
t t t
因为恒定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz与时间 dt 的比为速度
分量，即有：
ux
dx dt
uy
dy dt
uz
dz dt
则：①
dux dt
dx
duy dt
y dt
单位质量流体的惯 性力在X、Y、Z坐 标轴上分量
Z 1 p duz
z dt
（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于其加
速度。 （2）适用条件：a.无粘性流体。
b.可压缩流体及不可压缩流体 c.恒定流及非恒定流
二、粘性流体运动微分方程
1、以应力表示的实际流体运动微分方程 （1）方程推导依据：
g 2g
g
h pA pB u2
g g 2g
理论流速： u 2 pA pB 2gh
实际流速： u 2gh
μ：修正系数，数值接近于1，由实验确定，μ =0.97 ； h：为两管水头差。
四、实际液体元流能量方程
实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动
时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固
dy
duz dt
dz uxdux
uyduy
uz duz
1 d (u 2 ) 2
因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二
②
p dx p dy p dz dp
x y z
（3）
则（1）式
( Xdx Ydy Zdz) 1 (p dx p dy p dz)
流体力学 第4章 第3节
应分别满足柯西—黎曼条件
2 2 2 2 , ; 2 0, 2 0 2 2 x y y x x y x y
由上述条件可以证明 , 在 平面内也满足拉氏方程，
2 2 0 2 2
R 1 1 R2 2
2
2
2c
2c
z c2
1 2 2v1 v2
平面上的两条线的夹角在 z 平面上变换为原夹角的2倍。
4.13
茹柯夫斯基变换
平面通过 c 点的光滑曲线在 z 平面变换为尖角
1 2
（参阅《Fundamental Mechanics of Fluids》， pp.92-97）
4.12 保角变换
保角变换 f z 把
z 平面中的拉氏方程转换为 平面中 的拉氏方程，即如果 x, y 在 z 平面内是调和函数， ,
在 平面内也必然是调和函数。
4.12 保角变换
4.11
镜像法
镜像法
a2 z0
z0
当流体外部流场中存在奇点（如点源、点涡 等）时，常用镜像法求得满足边界条件的复 位势，其作法是在物体内部适当位置也布置 奇点，称为外部奇点的镜像，使得由奇点及 其镜像产生的复速度势满足物体边界总是一 条流线
a
如欲求圆柱外一位于 z0 点，强度为 的点涡的复位势，可在圆柱内 z0 点 添加一强度为 的点涡，在原点添加一强度为 的点涡，三个奇点在圆柱 外共同产生的复位势即所求的复位势，且保证圆柱面本身是一条流线。 请注意圆内 a 点即对于圆外一点 z0 的所谓镜像点，它们的模的乘积等于 a2 z0 z0 a 2 ； 它们的圆心处于同一条直线上，即 z 0 和 圆半径的平方， 2 a z0 有相同的幅角。 z
流体力学第四章
流体力学
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS
流体力学第四章 流体动力学基本定理及其应用.ppt
f x dx
1
p dx u x
u dx v u dx w u dx
x
y
z
f y dy
1
p dy u y
v dy v v dy w v dy
x
y
z
(4-4)
1 p
w
w
w
f z dz
dz u z
dz v
x
y
dz w z
dz
由流线微分方程, 有
udy=vdx ydz=wdy wdx=udz
先分析x方向的运动，在垂直于x轴的左右两个平面中
心点上的压强各等于 p p dx
x 2
p p dx x 2
图 4-1 推导欧拉运动微分方程用图
由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的
平均压强。设在六面体形心上的单位质量的质量力分量为
fx、fy和fz ，则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量
x y z
udu vdv wdw 1 d(u 2 v 2 w2 ) 1 dV 2
2
2
假设质量力只有重力，fx=0，fy=0，fz=-g，即z轴垂直
向上，oxy为水平面。则式(4-7)可写成
gdz 1 dp 1 dV 2 0
2
又假设为不可压缩均质流体，即ρ=常数，积分后得
gz p V 2 常数
z1
p1
g
V12 2g
z2
p2
g
V22 2g
(4-9)
在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(4-8)可以得 到静力学基本方程
z p 常数
g
二、方程的物理意义和几何意义 为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，
流体力学 第4章 第1节
r r u, p •后者求解过程中， u, p 耦合在一起需联立求解，对于势流 不再 r 耦合在一起，可分开求解：先求出Φ， u = ∇Φ ，即可求得速度场，再求
解伯努利方程得到压强场。
拉氏方程解的可叠加性
∇ 2Φ = 0
如 Φ1 ,Φ2 是解，则
Φ = c1Φ1 +c2Φ2
也是解，其中 c1 ,c2 是不全为零的常数。 在后续章节会经常用到线性方程的这一性质。
Qu = ∂Φ ∂Ψ ∂Φ ∂Ψ = , v= =∂x ∂y ∂y ∂x
∂Φ ∂Ψ ∂x = ∂y ∴ ∂Φ = - ∂Ψ ∂y ∂x
上式称柯西-黎曼条件。 流函数和速度势函数中有一个已知，另一个即可以由上式求出。
复位势
4.2 复位势和复速度
构造复函数， F(z)=Φ+ iψ z= x + i y
r
r ∇× u = 0 。 或
速度势函数
r r ∇ × u = 0 ⇔ u = ∇Φ
Φ称速度势函数。
不可压缩流体
r ∇ ⋅ u = 0 → ∇ ⋅∇Φ = 0
在不可压缩流体条件下Φ满足拉普拉斯方程
势流基本方程组
∇ 2Φ = 0 ∂Φ p 1 + + ∇Φ ⋅∇Φ + gz = f(t) ∂t ρ 2
平面无旋运动和解析函数之间存在一一对应的关系。 复变函数是强有力的数学工具。复变函数的方法不能推广到三维 流动中去。
4.3 均匀流
从本节开始将给出一些基本流动的复位势。 F(z)= c z (c为实数) W(z) = c = u – i v
u = c v = 0
如沿x轴方向速度为U, 则 F(z) = U z
4.4 点源（汇）和点涡 点源（
解伯努利方程得到压强场。
拉氏方程解的可叠加性
∇ 2Φ = 0
如 Φ1 ,Φ2 是解，则
Φ = c1Φ1 +c2Φ2
也是解，其中 c1 ,c2 是不全为零的常数。 在后续章节会经常用到线性方程的这一性质。
Qu = ∂Φ ∂Ψ ∂Φ ∂Ψ = , v= =∂x ∂y ∂y ∂x
∂Φ ∂Ψ ∂x = ∂y ∴ ∂Φ = - ∂Ψ ∂y ∂x
上式称柯西-黎曼条件。 流函数和速度势函数中有一个已知，另一个即可以由上式求出。
复位势
4.2 复位势和复速度
构造复函数， F(z)=Φ+ iψ z= x + i y
r
r ∇× u = 0 。 或
速度势函数
r r ∇ × u = 0 ⇔ u = ∇Φ
Φ称速度势函数。
不可压缩流体
r ∇ ⋅ u = 0 → ∇ ⋅∇Φ = 0
在不可压缩流体条件下Φ满足拉普拉斯方程
势流基本方程组
∇ 2Φ = 0 ∂Φ p 1 + + ∇Φ ⋅∇Φ + gz = f(t) ∂t ρ 2
平面无旋运动和解析函数之间存在一一对应的关系。 复变函数是强有力的数学工具。复变函数的方法不能推广到三维 流动中去。
4.3 均匀流
从本节开始将给出一些基本流动的复位势。 F(z)= c z (c为实数) W(z) = c = u – i v
u = c v = 0
如沿x轴方向速度为U, 则 F(z) = U z
4.4 点源（汇）和点涡 点源（
流体力学ppt课件-流体动力学
g
g
2g
水头
，
z
p
g
v2
2g
总水头， hw 水头损失
第二节 热力学第一定律——能量方程
水头线的绘制
总水头线
hw
对于理想流体，总水
1
v12 2g
2
v22 2g
头线是沿程不变的，
测压管水头线
p2
为一水平直线，对于
g
实际流体，总水头沿 程降低，但测压管水
p1 g
头线沿程有可能降低、
z2
不变或者升高。
z1
v2 A2 e2
u22 2
gz2
p2
v1A1 e1
u12 2
gz1
p1
微元流管即为流线，如果不 可压缩理想流体与外界无热 交换，热力学能为常数，则
u2 gz p 常数
2
这个方程是伯努利于1738年首先提出来的，命名为伯努利 方程。伯努利方程的物理意义是沿流线机械能守恒。
第二节 热力学第一定律——能量方程
皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河 的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和 一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正 对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱 高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为 零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称 为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影 响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。
第四章 流体动力学
基本内容
• 雷诺输运公式 • 能量方程 • 动量方程 • 流体力学方程应用
第一节 雷诺输运方程
• 前面解决了流体运动的表示方法,但要在流 体上应用物理定律还有困难.
流体力学第四章ppt课件
对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数
不随空间坐标ｘ，ｙ，ｚ和时间ｔ变化，因此
它在整个流场为常数。精选课件
10
U p V2 C
2
(通用常数)
对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常无、旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成
p V2
z
C
(通用常数)
2g
上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在
整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场
建立了速度和压力之间精的选课件关系。
11
若能求出了流场的速度分布（理论或实验的 方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分 布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流 体与固体之间的相互作用力。
应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物
理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行
U 2
2
g
近似代替 20
适用于有限大流束的伯努利方成为：
z p U2 const
2g
或
z1p1U 21g2 z2p2
U22 2g
方程适用条件：
（13） （14）
（１）理想流体，定常流动；
（２）只有重力的作用；
（３）流体是不可压缩的；
（4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断
面间不必要求为渐变流精动选课件。
驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引
的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为
什么会产生“吸底现象”等等。
精选课件
12
讨论： 1. 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流
动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？ 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的“船吸现象”。
流体力学第四章
雷诺数物理意义：雷诺数反映了惯性力和粘性力的对比关系。 因此可用来判别流态。
当Re较小时粘性力作用大，对质点运动起约束作用，流体 质点表现为有秩序互补掺混的层流状态。
当Re>Recr时，惯性力起主导作用，粘性力控制减弱，不足以 控制和约束外界扰动，惯性力将微小扰动不断扩大，形成紊流。
§层流、紊流和雷诺数
紊流
Байду номын сангаас
§层流、紊流和雷诺数
二、沿程损失与流动状态
实验装置
§层流、紊流和雷诺数
实验结果 层流： h v1.0 f 紊流： h f v1.75~2.0 结论： 沿程损失与流动状态有关，故 计算各种流体通道的沿程损失，必 须首先判别流体的流动状态。
§层流、紊流和雷诺数
三、流态的判别准则—临界雷诺数
第四章 流动阻力和能量损失
§4.1 沿程损失和局部损失
§4.2 §4.3 §4.4 §4.5
§4.6 §4.7 §4.8 §4.9
层流与紊流、雷诺数 圆管中的层流运动 紊流运动的特征和紊流阻力 尼古拉兹实验
工业管道紊流阻力系数的计算公式 非圆管的沿程损失 管道流动的局部损失 减小阻力的措施
z1
§层流、紊流和雷诺数
[惯性力]=[m][a] [ ][L]3 [ L] /[T ]2 [ ][ L]2 [v]2 [粘性力]
du [ ][ A] [ ][L]2 [v] /[L] [ ][L][v] dn
[惯性力] [ ][ L]2 [v]2 [ ][ L][v] [Re] [粘性力] [ ][ L][v] [ ]
16.6 106 vc Rec 2000 0.166 m/s d 0.2
流体力学第四章
g
2v22
2g
hw
Fx Q(2vx2 1vx1) Fy Q(2vy2 1vy1) Fz Q(2vz2 1vz1)
质量、能量和动量方程旳应用实例
1. 水流对弯管旳作用力 2.水流对分叉管道旳作用力 3.水流射流对管壁旳作用力
【例4-2】 水平放置在混凝土支座上旳变直径弯管，弯管两端与
uz
u y z
Z
1
p z
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
两边同乘以 dx
dy
dz
沿流线旳微小位移ds在三个坐标轴上旳投影为dx、dy和dz
Xdx
1
p x
dx
ux
ux x
dx
uy
ux y
dx
uz
ux z
dx
Ydy
1
p y
dy
ux
u y x
dy
uy
u y y
dy
uz
u y z
dy
Zdz
x Dt
同理
Y 1 p Duy
y Dt
Z 1 p Duz
z Dt
展开成欧拉法旳体现 式（3-9）
无黏性流体运动微分方程 （欧拉运动微分方程）
X
1
p x
ux t
ux
u x x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
uz t
所以1，2断面间的水头损失为0.83米。
应用恒定总流能量方程式时应注意几点
2v22
2g
hw
Fx Q(2vx2 1vx1) Fy Q(2vy2 1vy1) Fz Q(2vz2 1vz1)
质量、能量和动量方程旳应用实例
1. 水流对弯管旳作用力 2.水流对分叉管道旳作用力 3.水流射流对管壁旳作用力
【例4-2】 水平放置在混凝土支座上旳变直径弯管，弯管两端与
uz
u y z
Z
1
p z
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
两边同乘以 dx
dy
dz
沿流线旳微小位移ds在三个坐标轴上旳投影为dx、dy和dz
Xdx
1
p x
dx
ux
ux x
dx
uy
ux y
dx
uz
ux z
dx
Ydy
1
p y
dy
ux
u y x
dy
uy
u y y
dy
uz
u y z
dy
Zdz
x Dt
同理
Y 1 p Duy
y Dt
Z 1 p Duz
z Dt
展开成欧拉法旳体现 式（3-9）
无黏性流体运动微分方程 （欧拉运动微分方程）
X
1
p x
ux t
ux
u x x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
uz t
所以1，2断面间的水头损失为0.83米。
应用恒定总流能量方程式时应注意几点
流体力学 第四章
水塔截面积很大，水位恒定。已
知管道直径d=200mm，水头 H=4.5m，引水流量Q=100 L/s。 试求水流的总水头损失。
解：选取水塔自由面为断面1-1， 引水管出口为断面2-2，基准面 通过2-2的中心。
分析：断面1-1：
断面2-2：
由恒定总流的能量方程：
Z1 H，P1 0，V1 0 Z2 0，P2 0，V2 V
V2 2
，
求通过管道的流量。
2g
文丘里流量计是一种量测管道中流量的 设备。在管道中安装一段逐渐收缩后又 逐渐扩散的管段，并在收缩段的前后断 面各安装一根测压管。收缩段前后的管 径为d1和d2。只需测出两测压管中的水 面高差，即可求得通过管道的流量。试 导出流量计的流量公式。
例题1 水塔引水管如图示，
量Q=0.03m3/s, 断面1和断面2形心处
的压强分别为p1=49.0KN/m2和 p2=39.2KN/m2, 断面1和2的法线 方向与ox轴的夹角分别为θ1=0˚和 θ2= 60˚。试计算支座所受的作用 力。
一水管将水流射至一三角形 楔体上，并于楔体顶点处沿 水平面分为两股，两股水流 的方向分别与x轴成30 ˚。已 知管道出口直径d=8cm，总 流量 Q=0.05m3/s, 每股流量 均为Q/2。设水流通过楔体 前后的流速大小不变，求水 流对楔体的水平作用力。
测压管水头线
水力坡度
d (z p V 2 )
J
g 2g dhw
ds
ds
测压管坡度
d(z p )
Jp
g
ds
总流能量方程的应用
z1
p1
g
1V12
2g
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
流体力学第四章
消公共因子 : 2 4 R' ' r R' r 4 ( R ) P' (1) 2 2 1 ' ' ' 2 ( R ) P (2),' 表示对R微商 r r r R' 2 ( R ) 0 (3) r
流体力学第四章
总32页
10
代边界条件 : R ( ) U , c3 U , c4 0 ( ) U , c3 U , c4 0 c1 c2 R(a ) 3 U 0 a a c1 c2 ( a ) 3 U 0 2a 2a 3 c1 2 aU 1 3 c2 a U 2
P [( prr ) r a cos ( pr ) r a sin )]d
[( prr ) r a cos ( pr ) r a sin )]2a sin ad
0
4 ga 3 6Ua 浮力 阻力，其中阻力p 6Ua 3
1 vr r 2 sin 2、存在流函数 (r , )， 1 v r sin r 3 a 1 a3 求积可得 : a (r , ) Ur 3 sin 2 ( ) 3 4r 4r
流体力学第四章 总32页 13
§3、流体对小球的Stokes阻力
总32页 3
p 2 v 0
流体力学第四章
性质：
1 不可压、小数 Re 流动， 压力p为调和函数， 即 2 p 0 、 对方程 : 1
p 2 v p 2 v两边取散度
p 2 p 2 v 2 ( v ) 0 2、 若流动为二维， 则流函数满足双调和方程 2 ( 2 ) 0 引ς v, (ς 涡度矢) ( v ) ( v ) 2 v 2 v 即 2 v ς p ς
流体力学第四章
总32页
10
代边界条件 : R ( ) U , c3 U , c4 0 ( ) U , c3 U , c4 0 c1 c2 R(a ) 3 U 0 a a c1 c2 ( a ) 3 U 0 2a 2a 3 c1 2 aU 1 3 c2 a U 2
P [( prr ) r a cos ( pr ) r a sin )]d
[( prr ) r a cos ( pr ) r a sin )]2a sin ad
0
4 ga 3 6Ua 浮力 阻力，其中阻力p 6Ua 3
1 vr r 2 sin 2、存在流函数 (r , )， 1 v r sin r 3 a 1 a3 求积可得 : a (r , ) Ur 3 sin 2 ( ) 3 4r 4r
流体力学第四章 总32页 13
§3、流体对小球的Stokes阻力
总32页 3
p 2 v 0
流体力学第四章
性质：
1 不可压、小数 Re 流动， 压力p为调和函数， 即 2 p 0 、 对方程 : 1
p 2 v p 2 v两边取散度
p 2 p 2 v 2 ( v ) 0 2、 若流动为二维， 则流函数满足双调和方程 2 ( 2 ) 0 引ς v, (ς 涡度矢) ( v ) ( v ) 2 v 2 v 即 2 v ς p ς
流体力学第四章
2
k 0 .4
2
u
*2
du 2 ( k y) ( ) dy
u* du dy ky
积分有
u* u ln y C k
y
速度分布的 指数形式
u u max
y n ( ) a
1
a (a-y) d x
0
Re 410 2.3
4
104
1.1 105
1.1 106
2.0 106
8Lu 32 Lu h f P 2 R d2
范宁摩擦因子 f （Fanning friction factor）
摩擦因子的定义：流体在壁面处的剪应力与管内单位体积流 体的平均动能之比
1 d P f 2 u / 2 4 L u2/ 2
s
L u2 L u2 P 4 f λ d 2 d 2
普朗特混合 长度假说
y
du u c1l dy v c2 u c1c2 l du dy
u
l
y
b A a 0
u l y
u
v u
x 涡体
l
b a
l 称为混合长度
2 ( c1l
2 l 2 c1 c2l 2
du du du 2 2 ) 2 )( )( c1c2l (c1 c2l ) dy dy dy 2 du 2 2 l ( ) dy
伯金汉（Buckingham）定理
一个物理方程可以变换为无因次准数方程，独立准数的个数 N 等于原方程变量数 n 减去基本因次数 m。
N nm
根据实验结果，直管层流摩擦阻力损失与管长成正比，指数 b=1
du d P 2 K d L u
k 0 .4
2
u
*2
du 2 ( k y) ( ) dy
u* du dy ky
积分有
u* u ln y C k
y
速度分布的 指数形式
u u max
y n ( ) a
1
a (a-y) d x
0
Re 410 2.3
4
104
1.1 105
1.1 106
2.0 106
8Lu 32 Lu h f P 2 R d2
范宁摩擦因子 f （Fanning friction factor）
摩擦因子的定义：流体在壁面处的剪应力与管内单位体积流 体的平均动能之比
1 d P f 2 u / 2 4 L u2/ 2
s
L u2 L u2 P 4 f λ d 2 d 2
普朗特混合 长度假说
y
du u c1l dy v c2 u c1c2 l du dy
u
l
y
b A a 0
u l y
u
v u
x 涡体
l
b a
l 称为混合长度
2 ( c1l
2 l 2 c1 c2l 2
du du du 2 2 ) 2 )( )( c1c2l (c1 c2l ) dy dy dy 2 du 2 2 l ( ) dy
伯金汉（Buckingham）定理
一个物理方程可以变换为无因次准数方程，独立准数的个数 N 等于原方程变量数 n 减去基本因次数 m。
N nm
根据实验结果，直管层流摩擦阻力损失与管长成正比，指数 b=1
du d P 2 K d L u
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1 p u 2 u x fx ( ) 2(u z y u y z ) x x 2 t 1 p u 2 u y fy ( ) 2(u x z u z x ) y y 2 t 1 p u 2 u z fx ( ) 2(u y x u x y ) z z 2 t
得：
u12 p2 u 2 2 z1 z2 2g 2g p1
4.2 理想流体元流的伯努利方程
4.2.2理想流体元流伯努利方程的物理意义
1、理想流体元流伯努利方程的物理意义 z是元流过流断面上单位重量流体从某一 基准面算起所具有的位能，称单位位能。 p/ρg是元流过流断面上单位重量流体从 某一基准面算起所具有的压能，称单位 压能。 z+p/ρg 是元流过流断面上单位重量流 体从某一基准面算起所具有势能，称单 位势能。 u 2/ 2g是元流过流断面上单位重量流体 所具有的动能（kinetic energy），称 单位动能。 物理意义：元流各过流断面上单位重量流体 所具有的总机械能沿流程保持不变；同时， 亦表示了元流在不同过流断面上单位重量流 体所具有的位能、压能、动能之间可以相互 转化的关系。 2、理想流体元流伯努利方程的几何意 义 z是位臵水头 p/ρg 是压强水头。 z+p/ρg是测压管水头 u 2/ 2g是速度 水头
u y u x 0 t t
不可压缩流体，即 =Const u 运动方程 1 p x
X x
ux x
uy
u x y
u y u y Y 1 p u x uy y x y
连续性方程 u x
u y 0 x y
4.3 理想流体元流的伯努利方程
4.3.1速度势的性质
恒定势流中必然存在速度势函数φ (x、 2、速度势值相等的点所连成的空 y、z)，满足： 间曲面称等势面，与流线相正交， ux ,uy 即为过流断面。d u dl 0 x y 1、速度势对任意方向 m 的偏导数，等 3、速度势值沿流线 s 方向增大。 d uds 于速度 u 在该方向的速度分量 um 4、速度势满足拉普拉斯方程，是 x y z 调和函数。 2 2 m x m y m z m
t x y z 1 p u z u u u fz ux z u y z uz z z t x y z 当恒定流时 ux u y uz 0 t t t
y
当静止时
ux u y uz 0
边界条件：一般包括固体边界和自由表 面等处的运动要素情况。 固体边界： u ( x, y, z, t ) n 0 自由表面： p( x, y, z , t ) pa ( x, y, z , t )
p ( x, y , z , t )
t 0
p0 ( x, y, z )
4.1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4.1.2葛罗米柯（又称兰姆）运动微分方程
欧拉运动微分方程变化为区分有势流、有涡流的运动微分方程。 u y 将 u y 和 uz uz 加到欧拉微分方程第一式等号的右边，整理。 x x 同理对第二、三式作类似处理得：
将流体运动分为有势流和有涡流。严格 讲，实际流体的运动都不是有势流，只 有理想流体的运动才有可能是有势流。 因为：理想流体没有粘性，不存在切应 力，不能传递旋转(转动)运动；它既不 能使不旋转的流体微元产生旋转，也不 能使已旋转的流体微元停止旋转。 解决实际流体运动，将流场划分为两个 区间： 一个是紧靠固体边界的粘性起作用的 区间，用粘性流体边界层理论； 一个是不受固体边界阻力影响的、粘性 不起作用的区间用无粘性(理想)流体势 流理论。 恒定平面势流基本方程组（不可 压缩恒定二元势流 ）： 平面无旋，即 z 0 恒定流，即
4.1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4.1.1理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
1 、用微元分析法推导流体的运动微分 方程 ：设点M的坐标为x、y、z，压 强为p。 x 轴方向受力分析： 利用 泰勒级数， ABCD 和 EFGH 中心点处的 dx p 压强分别为： p dx p p 2 x 2 x 表面力为：
4.1.1理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
2、区分恒定流和非恒定流的欧拉运动 3、欧拉运动微分方程和求解条件 微分方程 ：加速度表示式展开，欧 方程式中有ρ、 fx、fy、fz、 ux、uy、 拉运动微分方程写为 uz、p八个物理量 。 u u u 1 p u x fx u x x u y x u z x 初始条件：在起始时刻 t=0 时，各处的 x t x y z 流速、压力值；对于恒定流，则不 u u u 1 p u y 存在条件。 u ( x, y, z, t ) t 0 u0 ( x, y, z ) fy ux y u y y uz y
cos( m, x) cos( m, y ) cos( m, z) x y z 意义：平面势流的问题就归结为在 u x cos(m, x) u y cos(m, y ) uz cos(m, z)
2 0 2 2 x y
一维几何理解 d dx d
(p
质量力为：
1 p 1 p dx)dydz ( p dx)dydz 2 x 2 x
du 惯性力为： dxdydz x dt 根据牛顿第二定律
(p
f x dxdydz
化简移项后得： f x 1 p dux
x
dt
同理 ：
fy
1 p du y y dt
fz
1 p du z y dt
du 1 p 1 p dx)dydz ( p dx)dyd f x dxdydz dxdydz x 2 x 2 x dt
上面三式为理想流体的运动微分方程， 又称欧拉运动微分方程。
4.1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4.3.2流函数及其性质
流体平面运动(不一定是势流)的流 1、函数Ψ对任意方向 m 的偏导数， 等于速度u在该方向顺时针旋转 90°后 线方程为： dx dy 的 m’方向的速度分量um ’ ux u y 2、流函数值相等的点连成的曲线称 u x dy u y dx 0 所以 等流函数线，即为流线；或者说，同 不可压缩均质流体平面运动的连续 一流线上的流函数相等。 性方程为： u x u y 3、流函数值沿流线s方向逆时针旋转 0 x y 90°后n的方向增大。 存在函数Ψ(x，y)的全微分： 4、任意两条流线的流函数值之差 (Ψ2-Ψ1)，等于该两条流线间所通过 d u x dy u y dx 的单宽流量q 函数Ψ(x，y)称流函数 5、平面势流的流函数满足拉普拉斯 适用范围：无旋流、有旋流、实际 方程，是调和函数 流体、理想流体的不可压缩 流体 意义：求出流函数，即可求得任一 的平面流动 点的两个速度分量，这样就简化了分 析的过程。
第四章
理想流体力学和平面势流
王浩 1251934
本章概论
4.1理想流体的运动微分方程 ——欧拉微分方程
4.2 理想流体元流的伯努利方程
4.3 恒定平面势流
流体动力学
1、流体动力学（hydrodynamics//fluid dynamics）：是研究流体运动而涉及力的规律及 其在工程中的应用。 2、理想流体的动压强与流体静压强一样亦具 有两个特性。 一是：动压强的方向总是沿着作用面的内法 线方向； 二是：理想流体中任一点的动压强大小与其 作用面的方位无关
称葛罗米柯运动微分方程，又称兰姆(Lamb)运动微分方程。
4.1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4.1.3理想流体运动微分方程的积分、伯努利方程
1、 伯努利方程(能量方程)的推导： 2、伯努利方程的物理内涵： 满足下列条件下： 伯努利方程是说明能量守恒概念的， 因此又称能量方程。它说明：在流场中 （1）流体是不可压缩均质的理想流体， 任一点单位质量流体的位势能 W、压势 密度为常数； 能 p/ρ和动能u2/2 的总和保持一常数 （2）质量力是有势的； 值，而这三种机械能可以相互转化。 （3）恒定流理想流体运动微分方程简化 3、伯努利方程的应用条件： 为： dx dy dz 静止流体 p u2 d (W ) 2 x y z 2 整个有势流 即流场中所有各点的总机 ux u y uz 械能保持不变，不限于在同一条流线上。 （4）行列式为零 dx dy dz 有涡流 但限于同一条流线上各点的总 x y z 0 机械能保持不变；不同流线上各点的总 ux u y uz 机械能则是不同的。这和有势流的情况 2 p u 化简得 W 2 const 不同。 ux u y uz 上式为伯努利方程(Bernoulli equation)。 整个螺旋流 为螺旋流
u cos(u, m) um
d cos( m, x ) d m d x dm dx u x cos( m, x ) um
特定的边界条件下解拉普拉斯方程， 把解两个未知函数 ux 、uy (或 ur 、 uθ ) 的问题变为 解一个未 知函数 φ 的问题。
4.3 理想流体元流的伯努利方程
pS u A2 p A 2g
整理得
式中：pA、uA分别为A点处在皮托管 放入前的压强和速度。
1 pS p A u A 2 2
pA 为静压
1 2 u A 为动压 2
uA
2( pS p A )
ps 为全压或总压
4.3 理想流体元流的伯努利方程
有势流近似处理条件
gdA1ds1dtz1 gdA2 ds2 dtz 2 dQdt ( z1 z 2 )
p1dA1u1dt p2 dA2u2 dt d定理 2 u2 u12 dQdt ( ) dQdt ( z1 z2 ) dQdt ( p1 p2 ) 2g 2g
得：
u12 p2 u 2 2 z1 z2 2g 2g p1
4.2 理想流体元流的伯努利方程
4.2.2理想流体元流伯努利方程的物理意义
1、理想流体元流伯努利方程的物理意义 z是元流过流断面上单位重量流体从某一 基准面算起所具有的位能，称单位位能。 p/ρg是元流过流断面上单位重量流体从 某一基准面算起所具有的压能，称单位 压能。 z+p/ρg 是元流过流断面上单位重量流 体从某一基准面算起所具有势能，称单 位势能。 u 2/ 2g是元流过流断面上单位重量流体 所具有的动能（kinetic energy），称 单位动能。 物理意义：元流各过流断面上单位重量流体 所具有的总机械能沿流程保持不变；同时， 亦表示了元流在不同过流断面上单位重量流 体所具有的位能、压能、动能之间可以相互 转化的关系。 2、理想流体元流伯努利方程的几何意 义 z是位臵水头 p/ρg 是压强水头。 z+p/ρg是测压管水头 u 2/ 2g是速度 水头
u y u x 0 t t
不可压缩流体，即 =Const u 运动方程 1 p x
X x
ux x
uy
u x y
u y u y Y 1 p u x uy y x y
连续性方程 u x
u y 0 x y
4.3 理想流体元流的伯努利方程
4.3.1速度势的性质
恒定势流中必然存在速度势函数φ (x、 2、速度势值相等的点所连成的空 y、z)，满足： 间曲面称等势面，与流线相正交， ux ,uy 即为过流断面。d u dl 0 x y 1、速度势对任意方向 m 的偏导数，等 3、速度势值沿流线 s 方向增大。 d uds 于速度 u 在该方向的速度分量 um 4、速度势满足拉普拉斯方程，是 x y z 调和函数。 2 2 m x m y m z m
t x y z 1 p u z u u u fz ux z u y z uz z z t x y z 当恒定流时 ux u y uz 0 t t t
y
当静止时
ux u y uz 0
边界条件：一般包括固体边界和自由表 面等处的运动要素情况。 固体边界： u ( x, y, z, t ) n 0 自由表面： p( x, y, z , t ) pa ( x, y, z , t )
p ( x, y , z , t )
t 0
p0 ( x, y, z )
4.1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4.1.2葛罗米柯（又称兰姆）运动微分方程
欧拉运动微分方程变化为区分有势流、有涡流的运动微分方程。 u y 将 u y 和 uz uz 加到欧拉微分方程第一式等号的右边，整理。 x x 同理对第二、三式作类似处理得：
将流体运动分为有势流和有涡流。严格 讲，实际流体的运动都不是有势流，只 有理想流体的运动才有可能是有势流。 因为：理想流体没有粘性，不存在切应 力，不能传递旋转(转动)运动；它既不 能使不旋转的流体微元产生旋转，也不 能使已旋转的流体微元停止旋转。 解决实际流体运动，将流场划分为两个 区间： 一个是紧靠固体边界的粘性起作用的 区间，用粘性流体边界层理论； 一个是不受固体边界阻力影响的、粘性 不起作用的区间用无粘性(理想)流体势 流理论。 恒定平面势流基本方程组（不可 压缩恒定二元势流 ）： 平面无旋，即 z 0 恒定流，即
4.1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4.1.1理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
1 、用微元分析法推导流体的运动微分 方程 ：设点M的坐标为x、y、z，压 强为p。 x 轴方向受力分析： 利用 泰勒级数， ABCD 和 EFGH 中心点处的 dx p 压强分别为： p dx p p 2 x 2 x 表面力为：
4.1.1理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
2、区分恒定流和非恒定流的欧拉运动 3、欧拉运动微分方程和求解条件 微分方程 ：加速度表示式展开，欧 方程式中有ρ、 fx、fy、fz、 ux、uy、 拉运动微分方程写为 uz、p八个物理量 。 u u u 1 p u x fx u x x u y x u z x 初始条件：在起始时刻 t=0 时，各处的 x t x y z 流速、压力值；对于恒定流，则不 u u u 1 p u y 存在条件。 u ( x, y, z, t ) t 0 u0 ( x, y, z ) fy ux y u y y uz y
cos( m, x) cos( m, y ) cos( m, z) x y z 意义：平面势流的问题就归结为在 u x cos(m, x) u y cos(m, y ) uz cos(m, z)
2 0 2 2 x y
一维几何理解 d dx d
(p
质量力为：
1 p 1 p dx)dydz ( p dx)dydz 2 x 2 x
du 惯性力为： dxdydz x dt 根据牛顿第二定律
(p
f x dxdydz
化简移项后得： f x 1 p dux
x
dt
同理 ：
fy
1 p du y y dt
fz
1 p du z y dt
du 1 p 1 p dx)dydz ( p dx)dyd f x dxdydz dxdydz x 2 x 2 x dt
上面三式为理想流体的运动微分方程， 又称欧拉运动微分方程。
4.1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4.3.2流函数及其性质
流体平面运动(不一定是势流)的流 1、函数Ψ对任意方向 m 的偏导数， 等于速度u在该方向顺时针旋转 90°后 线方程为： dx dy 的 m’方向的速度分量um ’ ux u y 2、流函数值相等的点连成的曲线称 u x dy u y dx 0 所以 等流函数线，即为流线；或者说，同 不可压缩均质流体平面运动的连续 一流线上的流函数相等。 性方程为： u x u y 3、流函数值沿流线s方向逆时针旋转 0 x y 90°后n的方向增大。 存在函数Ψ(x，y)的全微分： 4、任意两条流线的流函数值之差 (Ψ2-Ψ1)，等于该两条流线间所通过 d u x dy u y dx 的单宽流量q 函数Ψ(x，y)称流函数 5、平面势流的流函数满足拉普拉斯 适用范围：无旋流、有旋流、实际 方程，是调和函数 流体、理想流体的不可压缩 流体 意义：求出流函数，即可求得任一 的平面流动 点的两个速度分量，这样就简化了分 析的过程。
第四章
理想流体力学和平面势流
王浩 1251934
本章概论
4.1理想流体的运动微分方程 ——欧拉微分方程
4.2 理想流体元流的伯努利方程
4.3 恒定平面势流
流体动力学
1、流体动力学（hydrodynamics//fluid dynamics）：是研究流体运动而涉及力的规律及 其在工程中的应用。 2、理想流体的动压强与流体静压强一样亦具 有两个特性。 一是：动压强的方向总是沿着作用面的内法 线方向； 二是：理想流体中任一点的动压强大小与其 作用面的方位无关
称葛罗米柯运动微分方程，又称兰姆(Lamb)运动微分方程。
4.1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4.1.3理想流体运动微分方程的积分、伯努利方程
1、 伯努利方程(能量方程)的推导： 2、伯努利方程的物理内涵： 满足下列条件下： 伯努利方程是说明能量守恒概念的， 因此又称能量方程。它说明：在流场中 （1）流体是不可压缩均质的理想流体， 任一点单位质量流体的位势能 W、压势 密度为常数； 能 p/ρ和动能u2/2 的总和保持一常数 （2）质量力是有势的； 值，而这三种机械能可以相互转化。 （3）恒定流理想流体运动微分方程简化 3、伯努利方程的应用条件： 为： dx dy dz 静止流体 p u2 d (W ) 2 x y z 2 整个有势流 即流场中所有各点的总机 ux u y uz 械能保持不变，不限于在同一条流线上。 （4）行列式为零 dx dy dz 有涡流 但限于同一条流线上各点的总 x y z 0 机械能保持不变；不同流线上各点的总 ux u y uz 机械能则是不同的。这和有势流的情况 2 p u 化简得 W 2 const 不同。 ux u y uz 上式为伯努利方程(Bernoulli equation)。 整个螺旋流 为螺旋流
u cos(u, m) um
d cos( m, x ) d m d x dm dx u x cos( m, x ) um
特定的边界条件下解拉普拉斯方程， 把解两个未知函数 ux 、uy (或 ur 、 uθ ) 的问题变为 解一个未 知函数 φ 的问题。
4.3 理想流体元流的伯努利方程
pS u A2 p A 2g
整理得
式中：pA、uA分别为A点处在皮托管 放入前的压强和速度。
1 pS p A u A 2 2
pA 为静压
1 2 u A 为动压 2
uA
2( pS p A )
ps 为全压或总压
4.3 理想流体元流的伯努利方程
有势流近似处理条件
gdA1ds1dtz1 gdA2 ds2 dtz 2 dQdt ( z1 z 2 )
p1dA1u1dt p2 dA2u2 dt d定理 2 u2 u12 dQdt ( ) dQdt ( z1 z2 ) dQdt ( p1 p2 ) 2g 2g