考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练(三)一次函数和反比例函数结合试题

中档题型训练(三) 一次函数和反比例函数结合

纵观近8年河北省中考试题，一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容．侧重考查用待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式及解决相关问题．

利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式

【例1】(2016安徽中考)如图，已知反比例函数y ＝k 1

x

与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于点A(1，8)，B(－4，

m)．

(1)求k 1，k 2，b 的值； (2)求△AOB 的面积；

(3)若M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是反比例函数y ＝k 1

x

图象上的两点，且x 1

限，并简要说明理由．

【解析】(1)先把点A 的坐标代入y ＝k 1

x

可求得k 1＝8，则可得到反比例函数的解析式，再把B(－4，m)的坐标

代入反比例函数的解析式求得m ，得到点B 的坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式即可求得结果；

(2)由(1)知一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象与y 轴的交点坐标为(0，6)，可求S △AOB ＝12×6×|－4|＋1

2

×6×1＝15；(3)

根据反比例函数的性质即可得到结果．

【学生解答】解：(1)∵反比例函数y ＝k 1

x

与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于点A(1，8)，B(－4，m)，∴k 1＝

8，∴B(－4，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧8＝k 2＋b ，－2＝－4k 2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪

⎧k 2＝2，b ＝6；(2)由(1)知一次函数y ＝2x ＋6的图象与y 轴的交点坐标为

(0，6)，∴S △AOB ＝12×6×|－4|＋1

2

×6×1＝15；(3)M 位于第三象限，N 位于第一象限．理由：∵k 1＝8>0，∴反比

例函数y ＝k 1

x

的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小．∵x 1

象限，∴M 位于第三象限，N 位于第一象限．

1．(2016唐山路北区一模)如图，已知A(－4，0.5)，B(－1，2)是一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝m x

(m<0)图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D.

(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ (2)求一次函数解析式及m 的值；

(3)P 是线段AB 上一点，连接PC ，PD ，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点P 的坐标．

解：(1)在第二象限内，当－4

(2)把A(－4，0.5)，B(－1，2)的坐标代入y ＝ax ＋b ，得⎩

⎪⎨⎪⎧－4a ＋b ＝0.5，

－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝52，

∴一次函数的解析式

为y ＝12x ＋52，把B(－1，2)的坐标代入y ＝m

x

，得m ＝－1×2＝－2；

(3)如图，连接PC ，PD.设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫t ，12t ＋52.∵△PCA 和△PDB 的面积相等，∴12×12×(t ＋4)＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12t －52，解得t ＝－52，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－52，54. 与面积有关的问题

【例2】(2016白银中考)

如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx 与双曲线y ＝n

x

相交于A(－1，a)，B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△

AOC 的面积是1.

(1)求m 、n 的值；

(2)求直线AC 的解析式．

【思路分析】(1)因为A(－1，a)，所以B 点的横坐标为1，即C(1，0)．再由S △AOC ＝1，得A(－1，2)，再代

入y ＝mx 与y ＝n

x

即可．(2)将A ，C 坐标代入即可．

【学生解答】解：(1)∵直线y ＝mx 与双曲线y ＝n

x

相交于A(－1，a)、B 两点，∴B 点横坐标为1，即C(1，

0)，∵△AOC 的面积为1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y ＝mx ，y ＝n

x

可得m ＝－2，n ＝－2；(2)设直线AC 的

解析式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝2，

k ＋b ＝0.解得k ＝－1，b ＝1，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋1.

2．(2016泰安中考)一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m

x

的图象相交于A(－1，4)，B(2，n)两点，直线AB

交x 轴于点D.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)过点B 作BC⊥y 轴，垂足为C ，连接AC 交x 轴于点E ，求△AED 的面积S.

解：(1)y ＝－4

x

，y ＝－2x ＋2；

(2)∵△AED 的高为4，△ACB 的高为：4＋2＝6.∵ED∥BC，∴△AED ∽△ACB ，∴S △AED S △ACB ＝(46)2＝49，∴S △AED ＝4

9

×12×2×6＝83

. 3．(2016东营中考)如图是函数y ＝3x 与函数y ＝6x 在第一象限的图象，点P 是y ＝6

x

的图象上一动点，PA ⊥x 轴

于点A ，交y ＝3x 的图象与点C ，PB ⊥y 轴于点B ，交y ＝3

x

的图象于点D.

(1)求证：D 是BP 的中点； (2)求四边形ODPC 的面积．